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Demonstra¸c˜ao. Veja que (1) segue imediatamente da proposi¸c˜ao pr´evia. Como ΓI,J(M) ´e

um R-m´odulo (I, J)-tor¸c˜ao, (2) segue de (1). A partir da seguinte sequˆencia exata

0 → ΓI,J(M) → M → M/ΓI,J(M) → 0

e do fato que Hi

I,J(ΓI,J(M)) = 0 para i > 0 (item (2) da mesma proposi¸c˜ao), segue a sequˆencia exata longa de cohomologias que

0 → ΓI,J(ΓI,J(M)) → ΓI,J(M) → ΓI,J(M/ΓI,J(M)) → 0 e os isomorfismos

Hi

I,J(M) ≅ HI,Ji (M/ΓI,J(M))

para todo i> 0. Assim temos provado o item (4). O item (3) segue do fato que ΓI,J(ΓI,J(M)) = ΓI,J(M) (Proposi¸c˜ao 2.1.4(4)) e a sequˆencia exata anterior.

Para provar (5), primeiramente note que por (3) e a sequˆencia exata pr´evia temos que ΓI,J(HI,J(M)) ≅ H0 I,J(M), isto ´e, H0 0

I,J(M) ´e (I, J)-tor¸c˜ao. Portanto, como HI,Ji (M) (i ≥ 0) ´e um subquociente de um (I, J)-tor¸c˜ao, temos que ele ´e tamb´em um m´odulo (I, J)-tor¸c˜ao pelo Corol´ario 2.1.8 (2).

Observa¸c˜ao 2.1.14. Considere R um anel local e M um R-m´odulo finitamente gerado. Se

Hi

I,J(M) = 0 para todo inteiro i > 0, ent˜ao M ´e um R-m´odulo (I, J)-tor¸c˜ao. Em outras, a rec´ıproca do corol´ario anterior, ´ıtem (1), ´e v´alido com estas hip´oteses. Este resultado ser´a provado mais a frente.

2.2

O complexo de ˇCech generalizado

Por meio da breve introdu¸c˜ao feita na se¸c˜ao anterior, nesta se¸c˜ao apresentaremos uma generaliza¸c˜ao do complexo de ˇCech. Semelhantemente feito ao [6, Teorema 5.1.19], o principal objetivo ´e mostrar que a cohomologia local com respeito `a um par de ideais ´e obtida das

2.2 O complexo de ˇCech generalizado 34

Defini¸c˜ao 2.2.1. Para um elemento a∈ R, seja Sa,J o subconjunto de R consistindo de todos os elementos da forma an+ j, onde n ∈ N e j ∈ J. Mais explicitamente

Sa,J = {an+ j ∣ n ∈ N, j ∈ J}.

Note que Sa,J ´e um subconjunto multiplicativamente fechado de R. De fato, 1 = a0+ 0

e para an1 + j1, an2 + j

2 em Sa,J temos que (an1 + j1)(an2 + j2) = an1+n2 + j3, com j3 ∈ J.

Assim, para um R-m´odulo M , vamos denotar por Ma,J o m´odulo de fra¸c˜oes do m´odulo M

com respeito ao conjunto multiplicativo Sa,J, ou melhor, Ma,J = S−1 a,JM. Defini¸c˜ao 2.2.2. Para um elemento a∈ R, o cocomplexo C●

a,J ´e definido como C_a,J● = (0 → R→ Ra,Jι → 0),

onde ι ´e o mapa de localiza¸c˜ao canˆonico, R e Ra,J est˜ao situados na posi¸c˜ao 0 e 1 respec-

tivamente no cocomplexo. Agora, para a = a1, . . . , as uma sequˆencia de elementos de R ,

definimos o cocomplexo C● a,J como segue: C● a,J = ⊗ s i₌₁Ca●i,J = (0 → R →∏s i=1 Rai,J → ∏ i<j(R ai,J)a_j,J → . . . →(. . . (Ra1,J). . .)a_s,J → 0).

Este cocomplexo ´e chamado cocomplexo de ˇCech generalizado com respeito a sequˆencia

a= a1, . . . , as. Observe que se J = 0, temos que C●

a,J coincide com o cocomplexo de ˇCech or- din´ario C●

a com respeito a sequˆencia de elementos a = a1, . . . , as do anel R. Para mais

detalhes, veja [6, Cap´ıtulo 5].

Daremos agora algumas propriedades b´asicas referentes ao complexo de ˇCech generali-

zado.

Proposi¸c˜ao 2.2.3. Seja a∈ R. (1) 0∈ Sa,J, se, e somente se, a∈

√ J. (2) Se a∈√J, ent˜ao C●

a,J ≅ R como complexo de cadeias.

2.2 O complexo de ˇCech generalizado 35 (4) Se a∈ I, ent˜ao Hi I,J(Ma,J) = 0 ∀ i ≥ 0. (5) Se √I=√(a1, . . . , as), ent˜ao a sequˆencia 0 → ΓI,J(M) → M → s ∏ i=1 Mai,J ´e exata.

Demonstra¸c˜ao. (1) Se 0 ∈ Sa,J ent˜ao 0= an+ j para algum natural n e j ∈ J. Ent˜ao, como an = −j ∈ J temos que a ∈√_{J . Reciprocamente, se a}∈ √_{J, existe um inteiro n ≥ 0 tal que} an= j ∈ J. Ent˜ao 0 = an+ (−j) ∈ S

a,J.

(2) Se a ∈√J segue do item(1) que 0 ∈ Sa,J. Assim Ra,J = 0 e portanto Ca,J● = 0 → R → 0, como quer´ıamos.

(3) Sejam p ∈ W(I, J) e a ∈ I. Ent˜ao In⊆ J+p para um inteiro n ≥ 0. Como an∈ In⊆ J+p, existe um j ∈ J e c ∈ p tal que an= j + c. Portanto segue que c = an+ (−j) ∈ p ∩ S

a,J.

Reciprocamente, suponha p∩ Sa,J ≠ ∅ para qualquer a ∈ I. Correspondendo a cada a ∈ I,

seja c(a) um elemento de p ∩ Sa,J (que ´e da forma c(a) = an(a)+ j(a), para algum natural n(a) e j(a) ∈ J). Ent˜ao an_(a)= j(a) + c(a) ∈ J + p. Como este fato ocorre para qualquer a ∈ I e I ´e finitamente gerado, temos que In⊆ J + p para algum n. Portanto p ∈ W(I, J).

(4) Seja E●_{uma resolu¸c˜ao injetiva de um R-m´odulo M . Ent˜ao}(E●)_{a,J ´e uma R-resolu¸c˜ao} injetiva de Ma,J. Assim Hi

I,J(Ma,J) = Hi(ΓI,J((E●)a,J). Descrevendo cada Ei como uma soma direta de m´odulos injetivos indecompon´ıveis Ei = ⊕

p_∈Spec(R)ER(R/p)µi(p,M), temos que (Ei) a,J = ⊕ p_∈Spec(R) ER(R/p)µi(p,M) a,J = ⊕ p_∈Spec(R)

ERa,J(Ra,J/pRa,J)

µi(p,M)_.

Portanto, de (3) e o fato que a ∈ I, temos a igualdade ΓI,J((Ei)

a,J) = ⊕

p_{∈W (I,J)}

ERa,J(Ra,J/pRa,J)

µi(p,M)= 0.

Disto segue que Hi

I,J(Ma,J) = 0.

(5) Para provar esta afirma¸c˜ao ´e suficiente provar que x ∈ ΓI,J(M) se, e somente se, x∈ Ker(M → ∏s_i=1Mai,J). Se x ∈ ΓI,J(M), ent˜ao existe um inteiro n ≥ 0 tal que a

n

ix= JX,

para todo ai ∈ I, uma vez que I ´e finitamente gerado. Assim, como (an

2.2 O complexo de ˇCech generalizado 36

bi∈ J e an

i − bi ∈ Sai,J, segue que x∈ Ker(M → ∏

s

i=1Mai,J). Reciprocamente se x ∈ Ker(M →

∏s

i₌₁Mai,J), ent˜ao para cada i, existe um inteiro ni ≠ 0 e bi ∈ J tal que (a

ni

i − bi)x = 0. Ent˜ao

podemos concluir que existe um inteiro n ≠ 0 suficientemente grande tal que an

i ∈ Jx para

todo i. Uma vez que √I =√(a1, . . . , as), conclu´ımos que In_x ⊆√(a_{1, . . . , as}) ⊆ Jx, isto ´e, x∈ ΓI,J(M).

Teorema 2.2.4. Sejam M um R-m´odulo e a= a1, . . . , as uma sequˆencia de elementos de R

que geram o ideal I. Ent˜ao para algum inteiro i, existe um isomorfismo natural Hi

I,J(M) ≅ Hi(Ca●,J ⊗RM).

Demonstra¸c˜ao. Pela Proposi¸c˜ao 2.2.3 (5) temos que ΓI,J(M) = Ker(M → ∏si=1Mai,J) e como

Ker(M → ∏si₌₁Mai,J) ≅ H 0(C● a,J ⊗ M), segue que H0(C● a,J ⊗ M) ≅ ΓI,J(M). Como {Hi(C●

a,J ⊗ −) ∣ i ≥ 0} ´e uma sequˆencia de funtores cohomol´ogicos, por [6, Teorema 1.35] ´e suficiente provar que Hi(C●

a,J ⊗ E) = 0 para qualquer i > 0 e qualquer R-m´odulo injetivo E. Para provar isso, uma vez que todo m´odulo injetivo ´e soma direta de envolventes

injetivos(ver Apˆendice), podemos assumir que E = E(R/p) onde p ´e um ideal primo de R.

Procederemos por indu¸c˜ao sobre o comprimento s da sequˆencia de elementos a. Se s= 1 ent˜ao

Ca●,J ⊗ E = (0 → ER(R/p) → ER(R/p)a1,J → 0),

onde ER(R/p)a1,J ´e isomorfo a ER(R/p) se p ∉ W((a1), J) e (0) se p ∈ W((a1), J), pela

Proposi¸c˜ao 2.1.11. Em ambos os casos, temos que Hi(C●

a,J ⊗ E) = 0.

Na sequˆencia, assuma s > 1 e defina a′ = a_{2, . . . , as. Ent˜ao temos a igualdade C}● a,J = C●

a1,J⊗RC

●

a′,J. Portanto existe uma sequˆencia espectral de Grothendieck ([56, Teorema 5.8.3]) E₂p,q= Hp(Ca●1,J ⊗ H q(C● a′_,J ⊗ E(R/p))) ⇒ H p+q_(C● a,J ⊗ E(R/p)). Como Hq(C●

a′,J ⊗ E(R/p)) = 0 para q > 0 por hip´otese de indu¸c˜ao, a sequˆencia espectral se degenera, obtendo assim os isomorfismos

Hn(Ca●,J ⊗ E(R/p)) = H n(C●

a1,J ⊗ H

0(C●

2.2 O complexo de ˇCech generalizado 37 = Hn(C_● a1,J ⊗ Γa ′_,J(E(r/p))) = Hn(0 → Γ a′,J(E(r/p)) → (Γa′,J(E(r/p)))a1,J → 0).

Isto mostra que Hn(C●

a,J ⊗ E(R/p)) = 0 para n ≥ 2. Note a partir da Proposi¸c˜ao 2.1.11 que Γa′_,J(E(R/p)) ´e igual a E(R/p) ou (0). Resta ent˜ao mostrar que H1(C●

a1,J ⊗ E(R/p)) = 0,

mas isto j´a foi feito no caso s= 1, o que finaliza a prova.

Corol´ario 2.2.5. Sejam a = a1, . . . , as uma sequˆencia de elementos de R tal que I = (a) e

M um R-m´odulo J-tor¸c˜ao. Ent˜ao existe um isomorfismo natural C●

a,J ⊗RM ≅ Ca● ⊗RM. Portanto, para qualquer inteiro i temos HI,J(M) ≅ Hi i

I(M).

Demonstra¸c˜ao. Para um elemento a∈ I, existe um mapa natural ϕ ∶ Ma→ Ma,J definido por

ϕ(z/an) = z/an_{. Primeiramente vamos mostrar, sob as condi¸c˜oes do enunciado, que ϕ ´e um} isomorfismo.

Suponha que ϕ(z/an) = 0 ∈ M

a,J. Ent˜ao (am− b)z = 0 para um inteiro m ≥ 0 e b ∈ J. Como am− b divide (a2l_m

− b2l

), vemos que (a2l_m

− b2l

)z = 0 para todo inteiro l ≥ 0. Como M ´e J-tor¸c˜ao temos que b2l

z∈ J2l

z= 0 para um l suficientemente grande. Ent˜ao a2l_m

z= 0 e com isto conclu´ımos que z/an= 0 ∈ M_{a, o que mostra a injetividade de ϕ.}

Para mostrar a sobrejetividade de ϕ, seja w= z/(an−b) ∈ M

a,J, onde z ∈ M e b ∈ J. Como M ´e J-tor¸c˜ao, existe um inteiro l tal que b2l_z= 0. Escrevendo a2ln−b2l = c(an−b), para c ∈ R, segue que a2l_n

z= c(an− b)z ∈ M. Portanto w = z/(an− b) = cz/a2l_n

∈ Ma,J, como quer´ıamos. Com isto mostramos que Ma ≅ Ma,J, para qualquer a∈ I. Ent˜ao segue que Ca●,J ⊗RM ≅ C●

a⊗RM, para qualquer a∈ I. Note agora os seguintes isomorfismos de complexos de cadeia: Ca●,J ⊗RM ≅ C ● a1,J⊗ C ● a2,J ⊗ . . . ⊗ C ● as,J⊗ M ≅ C● a1 ⊗ C ● a2⊗ . . . ⊗ C ● as ⊗ M = C● a⊗ M.

Por meio disto e do Teorema 2.2.4, segue que Hi

I,J(M) ≅ HIi(M) para qualquer inteiro i. Proposi¸c˜ao 2.2.6. Se {Mλ∣ λ ∈ Λ} ´e um sistema direto de R-m´odulos, ent˜ao para qualquer

i≥ 0 existe um isomorfismo natural

H_I,Ji (lim_Ð→

λ

Mλ) ≅ lim_Ð→

λ