R ÖKLİD 3-UZAYINDA BERTRAND EĞRİLERİNİN VE SABİT EĞİMLİ 3 YÜZEYLERİN BAZI KARAKTERİZASYONLARI

Bu bölümde, S Öklid 2-küresi üzerindeki birim hızlı eğriler için Sabban çatısı ve ² küresel evolüt kavramlarını verdik. S Öklid 2-küresi üzerindeki birim hızlı eğrilerden ² Bertrand eğrilerinin oluşturulabileceğini gösterdik. Bertrand eğrileriyle helisler arasındaki bir bağlantıyı verdik. Bertrand eğrilerinin Darboux göstergelerinin küresel evolütlere eşit olduğunu ispatladık. Ayrıca bir uzay eğrisinin teğetler, asli normaller, binormaller ve Darboux göstergeleri için sabit eğimli yüzeylerin parametrizasyonlarını bulduk ve bazı sonuçlar elde ettik. Sabit eğimli yüzeylerin v-parametre eğrilerine karşılık gelen Bertrand eğrilerini araştırdık.

: 2

f I→ S birim hızlı küresel eğri olsun. f nin yay-parametresini v ile gösterelim.

( )v = f v′( )

t olmak üzere ( ),t v f nin v noktasındaki teğetidir. ( )s v = f v( )∧t( )v olsun, burada f v eğrinin konum vektörüdür. Böylece f boyunca ( ),

{

f v( ), ( ), ( )t v s v

}

ortonormal çatısı elde edilir. Bu çatıya f eğrisinin Sabban çatısı denir (Koenderink 1990). Buradan f nin küresel Frenet formülleri;

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

g

g

f v v

v f v v v

v v v

κ κ

⎧ ′ =

⎪ ′ = − +

⎨⎪ ′ = −

⎩

t

t s

s t

şeklindedir, burada κ_g^{( ) det}v =

(

f v( ), ( ), ( )t v t′ v

)

olmak üzere f nin jeodezik eğriliğidir.

Şimdi κ_g( ) 0v ≠ olmak üzere herhangi bir v₀∈ için I

0 0 0

0 2

0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1

g f

g

v f v v

e v

v κ

κ

= +

+ s

birim vektörünü düşünelim. Ayrıca r₀ =κ_g( )v₀ κ_g²( ) 1v₀ + olmak üzere

{ }

1 2

0 0 0 0

( ( ), )_f , ( )_f

S e v r = x∈S <x e v >=r çemberini alalım. Buradan

0 0

2

( ): ; ( )( ) , ( )0 0

f f

e v e v f

h S → R h x =<x e v > −r yükseklik fonksiyonunu tanımlayalım. Böylece

2

0 0 2 0

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0

f f f

e e e

d d

h f v h f v h f v

dv dv

= = =

o o o

olduğu gösterilebilir. Bu durumda S e v¹( ( ), ),_{f 0} r₀ f ye f v noktasında 2. basamaktan ( )₀ değer. Böylece S e v¹( ( ), ),_{f 0} r₀ f nin f v noktasındaki eğrilik çemberidir. Ayrıca ( )₀

( ),0

e vf f nin f v noktasındaki eğrilik merkezidir. Sonuç olarak, f nin eğrilik ( )₀ merkezinin geometrik yeri veya f nin küresel evolütü

2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1

g f

g

v f v v e v

v κ

κ

= +

+ s

dir (Izumiya ve Takeuchi 2002).

Bertrand eğrilerinin karakterizasyonu, Izumiya ve Takeuchi (2002) makalelerinde verildi. Burada Bertrand eğrilerinin farklı bir karakterizasyonunu lemma olarak verelim.

Lemma 3.1. f : I→ S birim hızlı küresel eğri olsun. Bu durumda ²

0 0

( )v a ^vf t dt( ) atan ^vf t( ) f t dt( )

γ^% =

∫

+ ξ

∫

∧ ′ (3.1) bir Bertrand eğrisidir, burada a ve ξ ξ= ( ) cot lnu = θ u sabit sayılardır. Ayrıca bütün Bertrand eğrileri bu metodla inşa edilebilir.

İspat. (⇒ ): Izumiya ve Takeuchi (2002)’deki metodu uygulayalım. γ% nın eğriliğini ve torsiyonunu hesaplayalım. (3.1) eşitliğinin v ye göre üç kez türevi alınırsa

 

( )

( )

( ) (

²

)

( ) ( ) tan ( ) , ( ) 1 tan ( ) ( ),

( ) 1 tan ( ) ( ) tan ( ) ( ) ( ) tan ( ) ( )

g

g g g g

v a f v v

v a v v

v a v f v a v v a v v v

γ ξ

γ ξκ

γ ξκ ξκ κ ξκ

′ = +

′′ = −

′′′ = − + − ′ + −

%

%

%

s t

t s

eşitlikleri elde edilir. Böylece (2.1.2)’deki eğrilik ve torsiyon eşitlikleri kullanılarak, ε = ±1 olmak üzere

( ) ( )

2 2

cos 1 tan ( ) cos ( ) tan

( ) ^g v ve ( ) ^g v

v v

a a

ξ ξκ ξ κ ξ

κ =ε ⁻ τ = ⁺ (3.2)

bulunur. Buradan ^a

(

^{εκ( ) tanv + ξτ( )v}

)

⁼¹ olduğundan γ% bir Bertrand eğrisidir.

(⇐ ): γ% bir Bertrand eğrisi olsun. Bu durumda Aκ( )s +B sτ( ) 1= olacak şekilde sıfırdan farklı A ve B reel sabitleri vardır. A=a ve B=atanξ alalım. Ayrıca a> 0, ε±1 ve

cos a 0

ε ξ > olsun. Şimdi

( )

( ) cos ( ) sin ( ) f s =ε ξT s − ξB s küresel eğrisini tanımlayalım. Böylece

( )

( ) cos ( ) tan ( ) ( ) cos ( )

f s s s N s N s

a

ε ξ κ ξτ ε ξ

′ = + =

bulunur. f nin yay-parametresi v olsun. Bu durumda dv ds=εcosξ a dir. Ayrıca

( ) ( )

( )dv cos ( ) sin ( ) cos cos cos ( ) sin ( )

af s a T s B s T s B s

ds a

ε ξ ξ ε ξ ξ ξ ξ

= − = −

ve

( )

( )

tan ( ) tan cos ( ) sin ( ) cos ( )

sin cos ( ) sin ( ) df dv

a f s a T s B s N s

dv ds a

B s T s

ξ ξε ξ ξ ε ξ

ξ ξ ξ

∧ = − ∧

= +

elde edilir. Bu iki eşitlik kullanılarak

( )

( )

0

0

0

0 ( ) tan 0 ( ) ( ) cos cos ( ) sin ( )

sin cos ( ) sin ( ) ( ) ( )

v v s

s s s s s

a f t dt a f t f t dt T t B t dt

B t T t dt T t dt s

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

γ

+ ∧ ′ = −

+ +

= =

∫ ∫ ∫

∫

∫

^%

bulunur. Böylece ispat tamamlanır.

Bu lemmadan aşağıdaki sonucu verebiliriz.

Sonuç 3.1. f : I → S birim hızlı küresel eğrisinin çember olması için gerek ve yeter ² şart f ye karşılık gelen γ%: I →R Bertrand eğrisinin dairesel helis olmasıdır ³ (Babaarslan vd. 2012).

İspat. (3.2) eşitliklerini kullanarak

sin 2 ( ) cos2 ( )

( ) ve ( )

2

g v g v

v v

a a

ξκ ξκ

κ′ = −ε ^′ τ′ = ^′

elde edilir. f : I→ S birim hızlı küresel eğrisinin çember olması için gerek ve yeter ² şart ( ) 0κ_g′ v ≡ olmasıdır. Bu durum, ( )κ v ve τ( )v nin sabit olmasına denktir. Buradan

: I 3

γ% →R Bertrand eğrisi bir dairesel helistir. Böylece ispat tamamlanır.

Ayrıca aşağıdaki önermeyi verebiliriz.

Önerme 3.1. f : I → S birim hızlı küresel eğri ve f ye karşılık gelen Bertrand eğrisi ² : I 3

γ% →R olsun. Bu durumda γ% nın Darboux göstergesi, f nin küresel evolütüne eşittir.

İspat. (3.2) eşitliklerinden

( ) ( )

2 2

cos 1 tan ( ) cos ( ) tan

( ) ^g v ve ( ) ^g v

v v

a a

ξ ξκ ξ κ ξ

κ =ε ⁻ τ = ⁺

  dir. Ayrıca hesaplanırsa

( )

( ) ( ) tan ( ) dv

T v a f v v

ξ ds

= + s ve N v( )= tε ( )v

olarak bulunur. Böylece

( )

( ) ( ) ( ) dv ( ) tan ( )

B v T v N v a v f v

ε ds ξ

= ∧ = s −

dir. Buradan

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dv _g( ) ( ) ( )

D v v T v v B v v f v v

τ κ ds κ

= + = + s

olur. Sonuç olarak C v( ) = ( )D v D v( ) =e v_f( ) elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.

Şimdi aşağıdaki teoremleri verelim.

Teorem 3.1. f : I → S birim hızlı küresel eğri ve ² γ%:I →R f ye karşılık gelen ³, Bertrand eğrisi olsun. Bu durumda γ′% eğrisi, ( , )x u v sabit eğimli yüzeyi üzerinde yatar.

İspat. (3.1) eşitliğinin v ye göre türevi alınırsa

( )v af v( ) atan f v( ) f v( ) γ%′ = + ξ ∧ ′

bulunur. Bu eşitlikte sin cosa=u θ ξ ve bu durumda tana ξ =usin sinθ ξ alınabilir, burada u ve θ sabitlerdir. Böylece (1.1) eşitliğinden ,γ_{′% ( , )}x u v sabit eğimli yüzeyinin

v-parametre eğrisidir ve bu yüzey üzerinde yatar. Bu ise ispatı tamamlar.

Teorem 3.2. x S: → R ³, S sabit eğimli yüzeyinin R Öklid 3-uzayına izometrik ³ immersiyonu ve ( ),x v ( , )x u v sabit eğimli yüzeyinin v-parametre eğrisi olsun. Bu durumda

0^vx v dv( )

∫

bir Bertrand eğrisidir.

İspat. (1.1) eşitliğinde u=sabit alınarak

( ) sin cos ( ) sin sin ( ) ( ) x v =u θ ξf v +u θ ξ f v ∧ f v^′ bulunur. Eğer x v eşitliğinde her iki tarafın integrali alınırsa ( )

0 0 0

( ) sin cos ( ) sin sin ( ) ( )

v v v

x v dv=u θ ξ f v dv u+ θ ξ f v ∧ f v dv′

∫ ∫ ∫

elde edilir. ( )f v ve ( )f v ∧ f v′( ) nin katsayıları sabit olduğundan sin cosu θ ξ = ve a bu durumda usin sinθ ξ =atanξ alınabilir. Buradan

0 0 0

( ) ( ) tan ( ) ( )

v v v

x v dv=a f v dv+a ξ f v ∧ f v dv′

∫ ∫ ∫

bulunur. Böylece Lemma 3.1’den,

0^vx v dv( )

∫

bir Bertrand eğrisidir.

Şimdi bir uzay eğrisinin, teğetler, asli normaller, binormaller ve Darboux göstergeleri için aşağıdaki sonuçları verelim.

Önerme 3.2. α: I → R ³, s yay-parametresiyle parametrelendirilmiş bir uzay eğrisi ve

: 2,

T I → S α uzay eğrisinin teğetler göstergesi olsun. Bu durumda sabit eğimli yüzey ( , ) sin cos ( ) sin sin ( )

x u vT =u θ ξT v +u θ ξB v şeklinde parametrize edilebilir, burada

0 ( )

v=

∫

s T s ds′ ^dir.

İspat. (1.1) eşitliğinden sabit eğimli yüzey

( )

( , ) sin cos ( ) sin ( ) ( ) x u v =u θ ξ f v + ξ f v ∧ f v′

dir. T: I → S küresel eğri olduğundan, ( )² f v =T v( ) alınabilir. Böylece

( )

( , ) sin cos ( ) sin ( ) ( ) x u vT =u θ ξT v + ξT v ∧T v′ bulunur. Frenet çatısı ve Frenet formülleri kullanılarak bu eşitlik

 

( , ) sin cos ( ) sin sin ( ) x u vT =u θ ξT v +u θ ξB v olur.

Önerme 3.2’nin aşağıdaki sonuçlarını verebiliriz.

Sonuç 3.2. ( , )x u v sabit eğimli yüzeyinin _T v-parametre eğrisi ( )x v olsun. Bu _T durumda aşağıdaki eşitlikler sağlanır;

( ), ( ) sabit, ( ), ( ) sabit ve ( ), ( ) 0

T T T

x v T v x v B v x v N v

< >= < >= < >=

dir.

Sonuç 3.3. ( , )x u v sabit eğimli yüzeyinin _T v-parametre eğrisi ( )x v olsun. Bu _T durumda

0 0 0

( ) sin cos ( ) sin sin ( )

v v v

x v dvT =u θ ξ T v dv u+ θ ξ B v dv

∫ ∫ ∫

bir Bertrand eğrisidir.

Sonuç 3.4. T: I → S birim hızlı küresel eğrisinin çember olması için gerek ve yeter ² şart T ye karşılık gelen

0

v ( ) x v dvT

∫

Bertrand eğrisinin dairesel helis olmasıdır.

Önerme 3.3. α: I → R ³, s yay-parametresiyle parametrelendirilmiş bir uzay eğrisi ve

: 2,

N I → S α uzay eğrisinin asli normaller göstergesi olsun. Bu durumda sabit eğimli yüzey

( , ) sin cos ( ) sin sin ( ) xN u v =u θ ξN v +u θ ξC v şeklinde parametrize edilebilir, burada

0 ( )

s

v=

∫

N s ds′ ^dir.

İspat. (1.1) eşitliğinden sabit eğimli yüzey

( )

( , ) sin cos ( ) sin ( ) ( ) x u v =u θ ξ f v + ξ f v ∧ f v′

dir. N: I → S küresel eğri olduğundan ( )² f v =N v( ) alınabilir. Böylece

( )

( , ) sin cos ( ) sin ( ) ( ) xN u v =u θ ξN v + ξN v ∧N v′ dir. ( )N v ∧N v′( )=C v( ) olduğundan

( , ) sin cos ( ) sin sin ( ) xN u v =u θ ξN v +u θ ξC v elde edilir.

Önerme 3.3’ün aşağıdaki sonuçlarını verebiliriz.

Sonuç 3.5. x u v sabit eğimli yüzeyinin _N( , ) v-parametre eğrisi ( )x_N v olsun. Bu durumda aşağıdaki eşitlikler sağlanır;

( ), ( ) sabit ve ( ), ( ) sabit

N N

x v N v x v C v

< >= < >=

dir.

Sonuç 3.6. x_N( , )u v sabit eğimli yüzeyinin v-parametre eğrisi ( )x_N v olsun. Bu durumda

0 0 0

( ) sin cos ( ) sin sin ( )

v v v

xN v dv=u θ ξ N v dv u+ θ ξ C v dv

∫ ∫ ∫

bir Bertrand eğrisidir.

Sonuç 3.7. N: I→ S birim hızlı küresel eğrisinin çember olması için gerek ve yeter ² şart N ye karşılık gelen

0

v ( ) xN v dv

∫

Bertrand eğrisinin dairesel helis olmasıdır.

 

Önerme 3.4. α: I → R ³, s yay-parametresiyle parametrelendirilmiş bir uzay eğrisi ve

: 2,

B I → S α uzay eğrisinin binormaller göstergesi olsun. Bu durumda sabit eğimli yüzey

( , ) sin cos ( ) sin sin ( ) x u vB =u θ ξB v +u θ ξT v şeklinde parametrize edilebilir, burada

0 ( )

s

v=

∫

B s ds′ ^dir.

İspat. (1.1) eşitliğinden sabit eğimli yüzey

( )

( , ) sin cos ( ) sin ( ) ( ) x u v =u θ ξ f v + ξ f v ∧ f v′

dir. B: I → S küresel eğri olduğundan ( )² f v =B v( ) alınabilir. Böylece

( )

( , ) sin cos ( ) sin ( ) ( ) x u vB =u θ ξB v + ξB v ∧B v′ dir. Frenet çatısını ve Frenet formüllerini kullanarak

( , ) sin cos ( ) sin sin ( ) x u vB =u θ ξB v +u θ ξT v bulunur. Böylece ispat tamamlanır.

Önerme 3.4’ün aşağıdaki sonuçlarını verebiliriz.

Sonuç 3.8. x u v sabit eğimli yüzeyinin _B( , ) v-parametre eğrisi ( )x v olsun. Bu _B durumda aşağıdaki eşitlikler sağlanır;

( ), ( ) sabit, ( ), ( ) sabit ve ( ), ( ) 0

B B B

x v T v x v B v x v N v

< >= < >= < >=

dir.

Sonuç 3.9. x u v sabit eğimli yüzeyinin _B( , ) v-parametre eğrisi ( )x v olsun. Bu _B durumda

0 0 0

( ) sin cos ( ) sin sin ( )

v v v

x v dvB =u θ ξ B v dv u+ θ ξ T v dv

∫ ∫ ∫

bir Bertrand eğrisidir.

Sonuç 3.10. B: I→ S birim hızlı küresel eğrisinin çember olması için gerek ve yeter ² şart B ye karşılık gelen

0

v ( ) x v dvB

∫

Bertrand eğrisinin dairesel helis olmasıdır.

Önerme 3.5. α: I → R ³, s yay-parametresiyle parametrelendirilmiş bir uzay eğrisi ve

: 2,

C I→ S α uzay eğrisinin Darboux göstergesi olsun. Bu durumda sabit eğimli yüzey

( , ) sin cos ( ) sin sin ( ) x u vC =u θ ξC v +u θ ξN v şeklinde parametrize edilebilir, burada

0 ( )

s

v=

∫

C s ds′ ^dir.

İspat. (1.1) eşitliğinden sabit eğimli yüzey

( )

( , ) sin cos ( ) sin ( ) ( ) x u v =u θ ξ f v + ξ f v ∧ f v′

dir. C: I → S küresel eğri olduğundan ( )² f v =C v( ) alınabilir. Böylece

( )

( , ) sin cos ( ) sin ( ) ( )

x u vC =u θ ξC v + ξC v ∧C v′ (3.4) dir. C=(τT+κB) τ²+κ² olmak üzere C′ =(κT−τB) τ²+κ² bulunur. Buradan

C∧C′=N dir. Bu eşitlik (3.4)’de yerine yazılırsa

( , ) sin cos ( ) sin sin ( ) x u vC =u θ ξC v +u θ ξN v elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.

Sonuç 3.11. x u v sabit eğimli yüzeyinin _C( , ) v-parametre eğrisi ( )x v olsun. Bu _C durumda aşağıdaki eşitlikler sağlanır;

( ), ( ) sabit ve ( ), ( ) sabit

C C

x v N v x v C v

< >= < >=

dir.

 

Sonuç 3.12. x u v sabit eğimli yüzeyinin _C( , ) v-parametre eğrisi ( )x v olsun. Bu _C durumda

0 0 0

( ) sin cos ( ) sin sin ( )

v v v

x v dvC =u θ ξ C v dv u+ θ ξ N v dv

∫ ∫ ∫

bir Bertrand eğrisidir.

Sonuç 3.13. C: I → S birim hızlı küresel eğrisinin çember olması için gerek ve yeter ² şart C ye karşılık gelen

0

v ( ) x v dvC

∫

Bertrand eğrisinin dairesel helis olmasıdır.

Şimdi Mathematica programını kullanarak sabit eğimli yüzeylere ve Bertrand eğrilerine bir örnek verelim.

Örnek 3.1. S üzerindeki ² f v( ) (cos ,sin ,0)= v v birim hızlı eğrisini düşünelim. Böylece ( ) ( ) (0,0,1)

f v ∧ f v′ = bulunur. θ π= / 5 için sabit eğimli yüzey;

( , ) sin cos cot ln ( ) sin cot ln ( ) ( )

5 5 5

x u v =u π ⎛⎜⎝ ⎛⎜⎝ π u f v⎞⎟⎠ + ⎛⎜⎝ π u f v⎞⎟⎠ ∧ f v′ ⎞⎟⎠

şeklindedir.

Şekil 3.1 Sabit eğimli yüzey ( , )x u v

Eğer u=e alınırsa yüzeyin v-parametre eğrisi;

( ) sin cos cot ( ) sin cot ( ) ( )

5 5 5

x v =e π ⎛⎜⎝ ⎛⎜⎝ π ⎞⎟⎠f v + ⎛⎜⎝ π ⎞⎟⎠ f v ∧ f v′ ⎞⎟⎠

olur.

Şekil 3.2 v-parametre eğrisi ( )x v

Böylece Teorem 3.2’yi kullanarak aşağıdaki Bertrand eğrisi elde edilir;

0 0 0

( ) sin cos cot (cos ,sin ,0) sin sin cot (0,0,1) .

5 5 5 5

v v v

x v dv e _{⎛ ⎞}π _⎛ π _⎞ v v dv e _{⎛ ⎞}π _⎛ π _⎞ dv

= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ + ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎟⎠

∫ ∫ ∫

  Şekil 3.3 Bertrand eğrisi

0^vx v dv( )

∫

f eğrisi çember olduğundan Sonuç 3.1’den,

0^vx v dv( )

∫

Bertrand eğrisi bir dairesel helistir.

4. R MINKOWSKI 3-UZAYINDA SPACE-LIKE BERTRAND EĞRİLERİ VE ₁³

Belgede ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ SABİT EĞİMLİ YÜZEYLER VE UYGULAMALARI Murat BABAARSLAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2013 Her hakkı saklıdır (sayfa 31-44)