FONKSİYONLAR KONU ANLATIMI

(1)

FONKSİYONLAR

KONU ANLATIMI

(2)

Simedy

an A

kademi

KONU ANLATIMI

FONKSİYON

A ve B boş olmayan birer küme olmak üzere; A'nın ... elemanını, B'nin ... eşleyen f bağıntısına A'dan B'ye

bir ... denir.

(3)

Simedy an A kademi KONU ANLATIMI

FONKSİYON

* A kümesi fonksiyonun ... * B kümesi fonksiyonun ...

* f(A)= {f(x)=x Î A} kümesi ise f fonksiyonun ... * f(A) ... B'dir. f(A)= ... A _... B ... ... .1 .2 .3 .a .b .c .d .e .f

(4)

FONKSİYON

NOT

f: A ® B fonksiyon olması için

I. Tanım kümesinde ... eleman kalmamalı.

(5)

FONKSİYON

Örnek-3 Örnek-1 A f B .a .b .c .d .1 .2 .3 .4 .5 .6

Buna göre, tanım kümesinin görüntülerini bulalım. f(a)=

f(b)= f(c)= f(d)=

(6)

FONKSİYON

Örnek-2 A f₁ B .x .y .z 1 2 3 4 5 A f₃ B .a .b .c .d x y z p A f₂ B a b c e f g h I) III) II)

Aşağıdakilerden hangileri fonksiyon belirtir.

... ... ... A f₄ B 1 2 3 4 a b c IV) ...

(7)

FONKSİYON

Örnek-3 f: A® B bir fonksiyon f: {(-1,3), (0,1),(1,2),(-2,0)} fonksiyonunda tanım kümesini bulunuz.

(8)

FONKSİYON

Örnek-4 A f B .1 .3 .5 .7 -3 -1 0 4 5 f: A® B bir fonksiyon olmak üzere,

a) f(A) görüntü kümesini bulunuz. b) f(3)+f(7) kaçtır?

(9)

FONKSİYON

FONKSİYON MAKİNESİ

Fonksiyonun tanım kümesi (x değerleri) makinenin girdi kısmında, makinenin çıktı kıs-mında ise f(x) değerleri çıkar.

... ...

(10)

FONKSİYON

Örnek-5

A={1,3,5} kümesi veriliyor. f: A® B olmak üzere

f:"Tanım kümesindeki elemanın 2 katından 3 fazlası" ile verildiğine göre, görüntü

(11)

FONKSİYON

Örnek-6

f: A ® B ve f(x)= x2-2x olmak üzere, A={-2,0,4} olduğuna göre, f(A) kümesinin

(12)

FONKSİYON

Örnek- 7 f: A ® B ve f(x)= 3x+1

2 fonksiyonunun görüntü kümesi, f(A)={5,11,26} olduğuna göre,

(13)

FONKSİYON

Örnek- 8

f: [-2,3] ® R ve f(x)= 3x-2 olduğuna göre, f fonksiyonunun görüntü kümesini

(14)

FONKSİYON

Örnek- 9

(15)

FONKSİYON

Örnek- 10

(16)

FONKSİYON

Örnek- 11

(17)

FONKSİYON

Örnek- 12 f: R ® R tanımlı

(18)

FONKSİYON

FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1) İÇİNE FONKSİYON: Değer kümesinde ... eleman kalıyorsa, f fonksiyonuna ... ... denir. a b c d e f g A f B

(19)

Simedy

an A

kademi

KONU ANLATIMI

FONKSİYON

2) ÖRTEN FONKSİYON: f:A ® B fonksiyonu için f(A)=B olduğunda yani

... kümesi, değer kümesine ... olduğunda f fonksiyonu ...

Değer kümesinde ... eleman kalmayacak

.a .b .c .1 .2 A B

(20)

FONKSİYON

Örnek- 13 A={0,1,2} B={1,3,5}

(21)

FONKSİYON

Örnek- 14 f:Z® Z

(22)

Simedy

an A

kademi

KONU ANLATIMI

FONKSİYON

3) BİRE-BİR FONKSİYON: Boş olmayan A ve B kümeleri için,

f: A® B fonksiyonunun tanım kümesindeki her farklı elemanın görüntüsü farklı ise, f fonksiyonuna ... fonksiyon denir.

A a,b Î A

(23)

FONKSİYON

Örnek- 15

Reel sayılar kümesinde I) f(x)= 2x-1 II) g(x)= x2-2 III) h(x)= x3 fonksiyonlarından hangisi ya da hangileri 1-1 dir? 123

(24)

FONKSİYON

Örnek- 16

A={1,2,3,4,5,6} olmak üzere, f:A® A fonksiyonu 1-1 dir.

Buna göre,

f(1)+f(2)+f(3)+f(4)

toplamının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

(25)

FONKSİYON

Örnek- 17

A={ a₁,a₂,a₃}, B={b₁,b₂,b₃,b₄,b₅} kümeleri veriliyor.

A'dan B'ye f(a₂)= b₄ olacak

şekilde kaç tane 1-1 fonksiyon tanımlanabilir? A f _B .a₁ .a₂ .a₃ .b₁ .b₂ .b₃ .b₄ .b₅

(26)

FONKSİYON

4) BİRİM FONKSİYON:

f: A® A fonksiyonunda ... şeklinde ise f fonksiyonuna ... fonksiyon denir.

Tanım kümesinde her elemanın görüntüsü ... eşittir.

A f B .1 .2 .3 .1 .2 .3

(27)

FONKSİYON

Örnek- 18

(28)

FONKSİYON

Örnek- 19

f: R® R, f(2x-3)=(a-2)x2+(b-3)x+c birim fonksiyon olduğuna göre, a+b+c toplamı

(29)

Simedy

an A

kademi

KONU ANLATIMI

FONKSİYON

5) SABİT FONKSİYON: Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü değer kümesinde ... olduğunda fonksiyona sabit fonksiyon denir.

A f B .a .b .c .1 .2 .3 .4

(30)

FONKSİYON

Örnek- 20

(31)

FONKSİYON

Örnek- 21

(32)

FONKSİYON

NOT: ax+b cx+d

f(x)= _{fonksiyonu tanımlı olduğu bölgede sabit fonksiyon olduğunda} ...=... olmalıdır.

(33)

FONKSİYON

Örnek- 22 2x+4 x+k

(34)

FONKSİYON

Örnek- 23 (a-4)x+12 (b-2)x2+3x+4

(35)

FONKSİYON

6) PARÇALI FONKSİYON: g(x), x<a f(x)= biçiminde h(x), x ≥ a

alt aralıklarda tanımlanan fonksiyona denir.

(36)

FONKSİYON

3x-2, x>1 f(x)= x+1, x ≤ 1

fonskiyonu için f(2)-f(-3) kaçtır?

123

(37)

FONKSİYON

1-2x, x≤-4 f(x)= x+5, -4<x ≤2 3x+1, 2 < 2

veriliyor. Buna göre, f(-4)+f(1)-f(5) kaçtır?

123

(38)

FONKSİYON

2x-1, x>4 f(x+3)= 4x+1 3 , x≤1

olduğuna göre, f(7)+f(2) kaçtır?

123

(39)

FONKSİYON

x+a, x<0 f(x)= 3x-a, x≥0

f(-2)=5 olduğuna göre, f(5) kaçtır?

123

(40)

FONKSİYON

7) DOĞRUSAL FONKSİYON:

f:A ® B fonksiyonu için

(41)

FONKSİYON

Örnek- 28 f doğrusal fonksiyon f(4)= 11 f(6)= 15 olmak üzere, a) f(x) nedir? b) f(14) nedir?

(42)

FONKSİYON

FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM

A ile B ayrık olmayan iki küme olsun.

f: A®R, g: B®R ve AÇB¹Æ olmak üzere * (f+g): A Ç B ®R (f+g)(x)=... * (f-g): A Ç B ®R (f-g)(x)=... *(f.g) : A Ç B ®R (f.g)(x)=...

(43)

FONKSİYON

*(_{g) : A Ç B ® R}f ( f g)(x)= ... (...) *(c.f)(x)=... (c Î R)

İki fonksiyonun toplam, fark,çarpma ve bölümlerinin tanım kümesi, bu iki fonksiyonun tanım kümelerinin ...

(44)

FONKSİYON

f: A®B, g: C®D tanımlanıyor. f={ (1,3),(3,5),(4,0)} g={(-1,0),(1,4),(2,7),(3,9)} veriliyor. Buna göre,

a) (f+g) nedir? b) (f-g) nedir?

c) (3f+2g) nedir? Örnek- 29

(45)

FONKSİYON

Örnek- 30

Reel sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları f(x)=2x-1 g(x)=x2-3 olduğuna göre, a) (f+g) (-2) değeri kaçtır? b) (3f-2g) (1) değeri kaçtır? c) (f.g) (-3) değeri kaçtır? d) ( 2f+9 3f-4g) (0) değeri kaçtır?

(46)

FONKSİYON

Örnek- 31

Reel sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları veriliyor. (3f+g)(x)=4x-1

(2f-g)(x)=x+6

(47)

Simedy

an A

kademi

KONU ANLATIMI

FONKSİYON

f(x)=xn Biçimindeki Fonksiyonların Grafiği 1) Fonksiyona ait değerler tablosu yapılır.

2) Fonksiyonun grafiği üzerinde yer alan ve koordinatları, değerler tablosu ile verilen noktalara kartezyen düzlemde gösterilir.

3)Düzlemde geçen eğri kabaca çizilir.

Örnek- 32

f:R® R f(x)= x2

(48)

FONKSİYON

Örnek- 33 f:R® R f(x)= x3 grafiğini çiziniz.

(49)

FONKSİYON

Örnek- 34 f:R® R f(x)= (x-2)2 grafiğini çiziniz.

(50)

FONKSİYON

Örnek- 35 f:R® R f(x)= (x-2)2+1 grafiğini çiziniz.

(51)

Simedy

an A

kademi

KONU ANLATIMI

FONKSİYON

Doğrusal Fonksiyonun Grafiği

f(x)= ax+b fonksiyonunun grafiğini çizmek için sırasıyla x= 0 için y=?

y=0 için x=? değerleri bulunup grafik çizilir.

Örnek- 36

f(x)= 2x-4

(52)

FONKSİYON

Örnek- 37 f(x)= 3x+6 grafiğini çiziniz.

(53)

Simedy

an A

kademi

KONU ANLATIMI

FONKSİYON

y=f(x) grafiği verilip denklem istenirse ... kuralı ile bulunur.

a

b

x y

(54)

FONKSİYON

-2 4 _x y Örnek- 38 y=f(x) f(x) nedir?

(55)

Simedy

an A

kademi

KONU ANLATIMI

FONKSİYON

Fonksiyon Grafiklerini Okuma ve Yazma

y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilirse

a b x y A(a,b) y=f(x) f grafiğinde f(a)= ... f grafiğinde f-1(b)= ... şekindedir.

(56)

FONKSİYON

4 0 2 -3 5 x y y=f(x) Örnek- 39 y= f(x) fonksiyonunda f(-3)-f(0) f(4) kaçtır?

(57)

Simedy

an A

kademi

KONU ANLATIMI

FONKSİYON

Fonksiyon Grafiklerinde Tanım ve Görüntü Kümesi Bulma

f(x) x a c d b

(58)

FONKSİYON

Örnek- 40 -3 0 -1 -2 1 2 5 3 f x

(59)

FONKSİYON

Örnek- 41 -3 0 -2 3 4 7 f x

(60)

FONKSİYON

Örnek- 42 0 -1 2 3 2 3 1 ₄ y=f(x) x

y=f(x) fonksiyonunun grafiğinde f(0)+f(2)-f(4) kaçtır?

(61)

FONKSİYON

Örnek- 43 -3 -1 5 3 2 2 6

y=f(x) fonksiyonunun grafi veriliyor

a) f(x)=0 denkleminin kökler toplamı kaçtır?

(62)

Simedy

an A

kademi

KONU ANLATIMI

FONKSİYON

Bir Grafiğin Fonksiyon Olma Durumu

Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmaıdığı, tanım kümesi boyunca çizilen sonsuz tane ... doğru testi ile belirlenir. Bu doğruların hepsi grafiği ... zorundadır. Yalnızca ... noktada kesmelidir.

y=f(x) x y y=g(x) x y

(63)

FONKSİYON

Örnek- 44

Aşağıdaki grafiklerden hangileri fonskiyondur?

I) II) III) IV) ... ... ... ...

(64)

FONKSİYON

NOT: ... ...

Değer kümesinden x eksenine çizilen paralel doğrular fonksiyonu-nun grafiğini ... noktada kesiyorsa grafik ...di

(65)

FONKSİYON

Tek-Çift Fonksiyon

A: [-x,x] Î R, f:A® R fonksiyonu tanımlanıyor. y= f(x) fonksiyonunda x yerine -x yazıldığında ...=... eşitliğini sağlayan fonksiyonlara ... fonksiyon denir. x yerine -x yazıldığında ...=... eşitliğini sağlayan fonksiyonlara ... fonksiyon denir.

(66)

FONKSİYON

Tek fonksiyonların grafikleri ... göre ... Polinom fonksiyonlarda fonksiyon tek fonksiyon ise kuvveti ... olan te-rimler olmamalıdır.

Çift fonksiyonların

grafikleri ... göre ...

Polinom fonksiyonlarda fonksiyon çift fonksiyon ise kuvveti ... olan te-rimler olmamalıdır.

NOT:

(67)

FONKSİYON

Örnek- 1

Aşağıdaki fonksiyonları tek fonksiyon veya çift fonksiyon olup olmadıklarını inceleyiniz.

a) f(x)= x5_+x3

(68)

FONKSİYON

Örnek- 2 f(x)= (a+2)x3-3x2+(b-1)x+a.b

(69)

FONKSİYON

Örnek- 3 f(x)= 2x3_-(m+2)x2_+x-1-n

(70)

FONKSİYON

Örnek- 4

y=f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetriktir. x2.f(x)-3.f(-x)=2x2+1 olduğuna göre, f(2) kaçtır?

(71)

FONKSİYON

Ters Fonksiyon

f:A® B, y=f(x) fonksiyonu bire bir ve örten ise f fonksiyonunun tersi ... : ... ® ... tanımlıdır.

Yani

f:A® B ise ... : ... ® ...

y=f(x) ...=... şeklinde gösterilir.

x

A B

f(x)=y ...

(72)

FONKSİYON

Örnek- 5

f fonksiyonu 1-1 ve örten fonksiyon f: {(1,3), (2,-1),( 0,2), (-2,4)} veriliyor.

(73)

FONKSİYON

Örnek- 6 f: [2,+ ∞) ® [2,+∞) fonksiyonu 1-1 ve örtendir.

(74)

Simedy

an A

kademi

KONU ANLATIMI

FONKSİYON

Bir Fonksiyonun Tersini Bulma

1)_{y=f(x)=ax (a≠0) olmak üzere,}

... ...

(75)

FONKSİYON

Örnek- 7

(76)

Simedy

an A

kademi

KONU ANLATIMI

FONKSİYON

2) f uygun koşullarda tersi alınabilir fonksiyon y=f(x)=ax+b (a≠0)

(77)

FONKSİYON

Örnek- 8

(78)

FONKSİYON

Örnek- 9

(79)

Simedy

an A

kademi

KONU ANLATIMI

FONKSİYON

3) Rasyonel fonksiyonların tersi

y=f: R- {...} ® R-{...} tanımlı fonksiyon verilsin ax+b

cx+d

y=f(x)= olduğunda

(80)

FONKSİYON

Örnek- 10 f: R-{2} ® R- {3} f(x)= 3x+4

(81)

FONKSİYON

Örnek- 11

Tanımlı olduğu aralıkta 2x= f(x)+2

(82)

FONKSİYON

Örnek- 12

(83)

FONKSİYON

Örnek- 13 f(x) uygun koşullarda

(84)

FONKSİYON

Örnek- 14

(85)

FONKSİYON

Bileşke Fonksiyon f: A® B ve g: B® C y=f(x) z=g(y) fonksiyonları tanımlanıyor. x A B C y=f(x) (gof)(x) ... _...

(86)

FONKSİYON

Örnek- 15 f(x)= 3x-5 g(x)= 2x+1 olduğuna göre, a) (fog)(x) nedir? b) (fog) (3) kaçtır?

(87)

FONKSİYON

Örnek- 16 f(x)= 2x+3

(88)

FONKSİYON

Örnek- 17

Tanımlı olduğu aralıkta f(x)= x+2

3x-1 ve g(x)= 2x+1

(89)

FONKSİYON

Örnek- 18 (fog)(x)= 6x-3 g(x)= 2x+1

(90)

FONKSİYON

Özellikler

1)_{fog ... gof ( Değişme özelliği genellikle ...)} 2)_{(fogoh)= ... ( Birleşme özelliği)}

3)_(fog)-1=...

(91)

FONKSİYON

Örnek- 19 f(2x+5)= g(x-2)

(92)

FONKSİYON

Örnek- 20 f(x)= 3x+2 g(x)= x+1

(93)

FONKSİYON

Örnek- 21 f(x)= 3x-6 g(x)= (x+1)2

(94)

FONKSİYON

ÖSYM f(x)= x2_-x+3 g(x)= 3x+1 h(x)=4