Bugünün Konusu

Fizik 101: Ders 2

Bugünün Konusu

 Hatırlatma: Sabit ivmeli 1-D hareket

 1-D serbest düşme

 örnek

 Vektörler

 3-D Kinematik

 Serbest atış (şut)

 x ve y bileşenlerinin bağımsızlığı

Sabit ivmeli harekette:



t yerine konduğunda:

at v

v  ₀  _{0 0} at²

2 t 1 v x

x   

 t için çözüm:

a v t  v  ⁰

2 0 0

0

0 a

v a v

2 1 a

v v v

x

x 



 



  



 



  



) x x ( a 2 v

v²  ₀²   ₀

 Hız _ Yol

Zamansız hız formülü

Alternatif türetim

dt

d

d

d

dt

d x

x

v

a  v  

) x x ( a 2 v

v²  ₀²   ₀

(zincir ilkesi)

x

v v

a d

 d

 a  d x  v  d v





 ^{ }

^

v x

x x

x_{0 0 0}

v

v

x

a

x

a d d d



 ^{( v v )}

2

) 1

-

(

a x x





(a = sabit)

Özet:

 Sabit ivme için

:

 Buradan ^:

x

a

v t

t t

at v

v  ₀ 

2 0

0 at

2 t 1 v x

x   

sabit a 

v) 2 (v

v 1

) x 2a(x v

v

0 av

0 2

0 2











Gördüklerimizin tekrarı :

2 0

0 at

2 t 1 v x

x   

1-D Serbest Düşme

 Sabit ivmeli harekete güzel bir örnek:

 Bu durumda, ivme yer çekim kuvvetiyle oluşur:

 genelde y-ekseni “yukarı” seçilir.

 Çekim ivmesi “aşağı”:

y

a_y =  g

0 -

y y

v  v gt

2 y

0

0 g t

2 t 1 v

y

y   

g a_y  

y

a v

t t t

Yerçekimine dair:

 g maddenin yapısından bağımsızdır!

 İlk kez Galileo (1564-1642) tarafından keşfedildi!

 Nominal olarak g = 9.81 m/s²

 Ekvatorda g = 9.78 m/s²

 Kuzey kutbunda g = 9.83 m/s²

 Dahası birkaç ders sonra!

Problem:

 Bir helikopter pilotu 1000 m yükseklikten bir tuğla

parçasını bırakıyor. Havanın sürtünmesini ihmal ederek

tuğlanın yere düşmesine kadar geçen zaman nedir ve yere

düştüğü andaki hızı nedir?

1000 m

Problem:

 İlk olarak koordinat sistemi seçelim.

 Orijin ve y-yönü.

 Konum denklemini yazalım:

 İlk hız v_0y = 0.

2 0y

0 gt

2 t 1

v y

y  

2

0 gt

2 y 1

y  

1000 m

y = 0

y

Problem:

 y = 0 ve y₀ = 1000 m zamanı çekersek t

 Formülden:

 V_y çekilirse:

y₀ = 1000 m

y s

3 s 14

m 81 9

m 1000 2

g y t 2

2

0 .

. 





2

0 gt

2 y 1

y  -

y = 0 )

( ₀

2 y 0 2

y v 2a y y

v -  -

s m 140

gy 2

v_{y 0}

 /







Ders 2, Soru 1

1D serbest düşme

 H yüksekliğindeki uçurumun kenarında duran biri, iki elindeki iki tenis topunu aynı ilk hızla v₀, sağ elindekini aşağı ve sol elindekini yukarı fırlatıyor. Topların yere düştüğü andaki

hızları v_A (aşağı fırlatılan için) ve v_B (yukarı fırlatılan için) ise aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

(a) v_A < v_B (b) v_A = v_B (c) v_A > v_B

v₀ v₀

H v_A v_B

 Yukarı ve sonra aşağı olan hareket simetrik olduğundan sezgisel olarak v = v₀

 Bu sezginin doğruluğunun kanıtı:

v₀

H v= v₀

^{H H} ⁰

g 2 v

v²  ₀²  ( )  

Denklem:

Burada yukarı fırlatılan topun v₀ hızıyla aşağı

fırlatılacağını çıkartırız.

y = 0

Ders 2, Soru 1

1D serbest düşme

 Aynı denklemi kullanarak

:

^{0 H}

g 2 v

v²  ₀²  ( ) 

Aşağı fırlatılan top için:

v₀ v₀

y = 0

^{0 H}

g 2 v

v²  ₀²  ( ) 

Yukarı fırlatılan top için : aynı !!

Ders 2, Soru 1

1D serbest düşme

Özet:

 Sabit ivme için

:

 Buradan ^:

x

a

v t

t t

at v

v  ₀ 

2 0

0 at

2 t 1 v x

x   

sabit a 

v) 2 (v

v 1

) x 2a(x v

v

0 av

0 2

0 2











Vektörler

 Yönü ve büyüklüğü olan nicelikleri vektörlerle gösteririz.

 Bir boyutta, yönü + yada -.

örneğin önceki örnekte a_y = -g vs.

 2 yada 3 boyutta sadece yönü göstermek için işaretten daha fazlası gereklidir:

 Örnek 2 boyutta konum vektörü r :

Örnek: Sivas nerde?

 Orijini Ankara seç.

 Uzaklık koordinatını (km) ve yönü (N,S,E,W) al.

 Bu durumda Sivas’ın Ankara’ya göre konumunu belirten vektör r Ankara’dan 414 km doğuya yönelen bir vektördür.

Sivas Ankara

r

Vektörler...

 Vektörel niceliklerin gösterimleri:

 Kalın yazılarla: A

 “ok” işaretiyle:

A =

 A

A 

Vektörler...

 r vektörünün büyüklüğü (uzunluk) pisagor teoremiyle bulunabilir:

r  r x²  y²

r y

x

 Vektörün büyüklüğü yöne bağlı değildir.

Vektörler...

 r vektörünün bileşenleri (x,y,z) koordinatlarıdır.

 r = (r_x ,r_y ,r_z ) = (x,y,z)

 2-D olarak göz önüne alırsak (kolay olduğundan):

 r_x = x = r cos 

 r_y = y = r sin  ^{burada r = |r |}

y

x

(x,y)



r arctan( y / x )

Birim Vektörler...

 Bir Birim vektör büyüklüğü 1 olan bir vektördür ve birimsizdir.

 Yön göstermek için kullanılır.

 u birim vektörü U vektörünün yönünü gösterir

 genellikle “şapka” ile gösterilir: u = û

 Örnek: kartezyen birim vektörleri [ i, j, k ]

 yönelişleri y ve z eksenleri doğrultusundadır.

U

û

_x

y

z

i j

k

Vektör toplamı:

 A ve B vektörlerini dikkate alalım. A + B ?

A

B

A B A B

C = A + B

 Yönü ve büyüklüğünü değiştirmeden vektörleri istediğimiz gibi düzenleyebiliriz!

Bileşenleri kullanarak vektör toplamı:

 C = A + B ise:

(a) C = (A_x i + A_y j) + (B_x i + B_y j) = (A_x + B_x)i + (A_y + B_y)j

(b) C = (C_x i + C_y j)

 Bileşenleri karşılaştırırsak :

 C_x = A_x + B_x

 C_y = A_y + B_y

C

B_x A

B_y B

A_x

A_y

Ders 2, Soru 2

Vektörler

 Vektör A = (0,2,1)

 Vektör B = (3,0,2)

 Vektör C = (1,-4,2)

Toplam vektör D=A+B+C nedir?

(a) (3,5,-1) (b) (4,-2,5) (c) (5,-2,4)

Ders 2, Soru 2

Çözüm

D = (A_Xi + A_Yj + A_Zk) + (B_Xi + B_Yj + B_Zk) + (C_Xi + C_Yj + C_Zk)

= (A_X + B_X + C_X)i + (A_Y + B_Y+ C_Y)j + (A_Z + B_Z + C_Z)k

= (0 + 3 + 1)i + (2 + 0 - 4)j + (1 + 2 + 2)k

= {4,-2,5}

İki vektörün skaler çarpımı:



C = A B = A B Cos(  )

^{(a) C = (A}

^{i + A}

^{j + A}

^{k) (B}

^{i + B}

^{j + B}

^k)

(A

B

) + (A

B

) + (A

B

)

İki vektörün vektörel çarpımı:

cˆ

Sinθ

B

A

B

A

C      

) B A - B (A kˆ ) B A - B (A ˆ j - ) B A - B (A iˆ

B B

A A B kˆ

B A jA

ˆ B

B A A iˆ B

B B

A A A

kˆ jˆ iˆ B

A C

x y y

x x

z z

x y

z z

x

y x

y x z

x z x z

y z y

z y x

z y x















  



 



C_x C_y C_z

Özel not

0 kˆ kˆ 0

jˆ kˆ 1

kˆ kˆ

jˆ kˆ

iˆ iˆ

jˆ kˆ k

iˆ jˆ 0 jˆ jˆ 0

kˆ iˆ 1

jˆ jˆ

jˆ iˆ kˆ iˆ

kˆ jˆ k

jˆ iˆ 0

iˆ iˆ 0

jˆ iˆ 1

iˆ iˆ



































































 Vektörel çarpımda yön bulmak için sağ el kuralı uygulanır.

Üç Boyutta (3-D) Kinematik

 İlgilenilen parçacığın konumu, hızı ve ivmesi 3 boyutta:

r = x i + y j + z k

v = v_x i + v_y j + v_z k (i , j , k birim vektörler ) a = a_x i + a_y j + a_z k

 Bir boyutta (1-D) kinematik denklemlerini gördük.

a dv dt

d x dt

  ²

v dx 2

 dt x  x(t)

 3-D için, denklemin her bir bileşeni için 1-D denklemlerini uygularız.

 Bileşenler vektör olarak birleştirilip tek bir ifade halinde yazılabilir:

r = r(t) v = dr / dt a = d

r / dt

3-D Kinematik

a d x

x  dt²

2

x  x(t)

a d y

y  dt²

2

y  y t( )

a d z

z  dt²

2

v dx

x  dt v dy

y  dt v dz

z  dt

z  z t( )

3-D Kinematik

 Sabit ivmeli hareket için integre ederek:

 a = sabit

 v = v₀ + a t

 r = r₀ + v₀ t + ¹/₂ a t²

(burada hepsi a, v, v₀, r, r₀, vektördür.)

2-D Kinematik

 İvme sabit ise 3-D problemlerinin pek çoğu 2-D problemine indirgenebilir:

 y ekseni ivme yönü olarak seçilir

 x ekseni hareketin başka yönü için seçilir.

 Örnek: hava sürtünmesini ihmal ederek bir tenis topunu fırlatırsak

 İvme sabit (yerçekim ivmesi::gravitasyon)

 y ekseni yukarı doğru seçilir: a_y = -g

 x ekseni hareketin yere paralel bileşeni için seçilir.

Hareketin “x” ve “y”

bileşenleri birbirinden

bağımsızdır.

 Trende bir adam elindeki topu havaya fırlatıyor.

Bu harekete iki referans noktasından bakış:

Trenden bakış

Yerden bakış

Problem:

 Bir serbest atışta orta sahadan v ilk hızı ve yer paraleli ile 30^o () açı yaparak şutlanan bir topun

“kalecinin uykuda olması” halinde gol olabilmesi için ilk hızı hangi aralıkta olmalıdır? Orta sahanın

kaleye uzaklığı 55 m (D) ve kale direğinin yüksekliği 2.44 m (h) dir.



v

h D

y ₀

Problem...

 y eksenini yukarı seç.

 x eksenini yere paralel ve topun vurulma yönünde seç.

 Orijin (0,0) : topun vurulduğu nokta.

 Başlangıç koşulları : t = 0, x = x₀ = 0

 Hareket denklemleri:

v_x = v_0x v_y = v_0y - gt

x = v_xt y = y₀ + v_0y t - ¹/ ₂ gt²

Problem...

 Geometriyi kullanarak v_0x ve v_0y bulabiliriz.

y

x g

v 

v_0x

v_0y

v_0x = |v| cos .

v_0y = |v| sin .

y₀

Problem...

 Kaleye ulaşma zamanı: t = D / v_x (basit!)

 Hareketin y bileşeni denklemi: y(t) = y₀ + v_0y t + a t²/ 2

 Gerisi sayıları yerine koymak:

 arananlar:

 v_x = v cos(30) m/s

 v_y = v sin(30) m/s

 t = (D m) / v_x m/s

 y(t) = (0.0 m) + (v_y m/s) t - ½ g m/s²)(t s)²

Özetle…

 Sabit ivmeli 1-D hareket.

 1-D serbest düşme

 Vektörler

 3-D Kinematik