12. DersBenzetimde cıktı Analizi BENZETİM

BENZETİM

Prof.Dr.Berna Dengiz

12. Ders

Benzetimde cıktı Analizi

Benzetimde Çıktı Analizi

 BİR SİSTEMİN ÇIKTI ANALİZİ

 Çıktı analizi, benzetimden üretilen verilerin (çıktıların) analizidir. Çıktı analizinde amaç, bir sistemin performansını tahmin etmek ya da iki ya da daha fazla alternatif sistem tasarımlarınının performansını karşılaştırmaktır.

 Girdi değişkenlerinin değerlerini üretmek için rassal sayı üreteçleri kullanıldığından, bir benzetimden elde edilen çıktı da rassal değişkendir. Çünkü farklı başlangıç

değerleri kullanılarak elde edilen çıktılar birbirinden farklı olacaktır.

Neden Çıktı Analizi

 Sistemin performansı  parametresi ile ölçülürse, benzetim deneylerinin sonucunda ’nın tahmini elde edilecektir.

 Tahmincinin hassasiyeti,  ’nın varyansı (ya da standart hata) ile ölçülebilir.

 İstatistiksel analizin amacı, bu varyansı tahmin etmek ya da istenilen hassasiyeti sağlamak için gerekli gözlemlerin sayısını belirlemektir.

sonlu

simulasyon sonsuz (bitissiz)

simulasyon

denge durumu denge durumu diger

BENZETİM TÜRLERİ

Bitişli Benzetim :

 İstenilen performans ölçülerinin tahmini değerlerini , önceden belirtilen bir E olayı ortaya çıkıncaya kadar geçen benzetim süresi için tahmin eder. Bu süre (0,T_E) aralığı ile gösterilsin; T_E ; E olayının ortaya çıktığı zaman olarak dikkate alındığında, T_E rassal değişken olabilir.

 Örneğin; E={beklemeleri tamamlanmış m müşteri}

olarak tanımlansın. Örneğin bir kuyruk sisteminde m müşteriye hizmet verilecekse bu sistemin bitiş zamanı, T_E ; m. müşterinin hizmet alarak sistemden çıktığı zamandır.

Örnek 1:

 Bir banka sisteminin benzetimini ele alalım.

Banka sabah 9⁰⁰’da açılmakta ve akşam 5⁰⁰’ de kapanmaktadır. Bu sistemin benzetimi ile, verilen zaman aralığı için, müşteri servisinin kalitesinin tahmin edilmek isteniyor olabilir.

 E = {benzetim 8 saat için yapılacak }

 Benzetin için başlangıç koşulu; ”0” anındaki müşteri sayısıdır.

Örnek 2:

 Bir uçak üreticisi sipariş üzerine 18 ay içerisinde 100 uçak üretmek zorundadır. Şirket, alternatif üretim modellerinden en düşük maliyetli olanına karar vermek istiyor.

 Araç olarak her bir üretim modeli ile 100 uçağı üretecek alternatif benzetim modelleri kurulur.

 Buradaki E olayı E = {100 uçağın üretimi} ve

 T_E zamanı da 100. uçağın üretildiği an olur.

Örnek3:

 Bir günde 16 saat (2 vardiya) çalışan bir üretim sistemini dikkate alalım. 16 saat sonunda kalan işler bir sonraki gün kalındığı yerden devam edilerek işlenmektedir.

 Bu sistemin benzetimi, bir bitişli benzetim olarak dikkate alınabilir mi?

 E = {16 saatlik üretim}

 Alınamaz. Çünkü, bu üretim sistemi gerçekte sürekli bir sistemdir. Bir gün için bitiş koşulları bir sonraki gün için başlangıç koşulları olacaktır.

Örnek 4:

 Bir ürün satan bir işletme, 120 aylık bir süre içinde aylık stok politikasını belirlemek istiyor olsun.

Başlangıç stok düzeyi verildiğinde amaç; aylık beklenen maliyeti enküçük yapacak aylık sipariş miktarını belirlemektir. Bu durumda ;

 E = { 120 ay için sistemi izlemek }

 Benzetim , mevcut stok düzeyi ile başlatılır.

Bitişli olmayan benzetim:

 İstenilen performans ölçütlerinin tahminini, benzetim zamanının istatistiksel olarak yeterli uzunluğa ulaştığı (sonsuza) durum için tahmin eder. Benzetim çalışma süresini belirleyecek herhangi bir E olayı yoktur.

 Bu tür benzetim için performans ölçütü , “denge durumu parametresi” olarak adlandırılır. Eğer bu parametre ;

y₁,y₂,,,, stokastik çıktı prosesinin bir karakteristiği ise denge durumu parametresinden söz edilir

1.durum:

 Y rassal değişkeni denge durumu dağılımına sahip ise benzetim =E(y) denge durumu ortalamsının tahmini ile ilgilenir.

 Örnek 5: Bir işletmede yeni bir üretim sistemi kuruluyor olsun. İşletme, işçiler yeni sisteme alıştıktan, işlerini öğrendikten ve mekanik zorluklar ortadan kalktıktan sonra bu sistem için (denge durumunda) bir saatlik ortalama çıktısını belirlemek istiyor.

Bu sistemle ilgili kabuller

 Üretim sistemi günde 16 saat, haftada 5 gün çalışmaktadır ,

 Vardiya sonunda ya da başında üretim kaybı ihmal edilmektedir.

 Günün belirli zamanlarında üretimi kesen bir ara (öğle yemeği gibi) yoktur.

 Hafta sonu ve 16 saatlik vardiya dışındaki boş zaman (8 saatlik boş zaman) ihmal edilerek sistemin 16 saatlik benzetimi yapılabilir.

 Ni: i. Saatte üretilen parçaların sayısı olsun . N1, N2,…..

stokastik prosesi, ilgilenilen N rassal değişkeni ile denge durumu dağılımına sahipse,  =E(N) ortalamanın tahmini ile ilgileniriz.

 Bir çok gerçek sistem için stokastik proses , denge durumu dağılımına sahip değildir. Çünkü, sistemin karakteristikleri zaman içinde sürekli olarak değişir.

 Örneğin; bir üretim sisteminde; üretim çizelgeleme kuralları ve fabrika yerleşimi (yani; makinların sayısı ve yerleşimi) zamanla değişebilir.

 Diğer taraftan, gerçeğin bir özet gösterimi olan benzetim modeli denge durumu dağılımlarına sahip olabilir. Çünkü modelin

karakteristiklerinin zaman içinde değişmediği kabul edilir.

 Örnek 5’te işletme; başlangıçtan normal duruma (yani işçiler işlerini öğrenip mekanik problemlerin ortadan kalktığı durum) gelinceye kadar geçen süreyi bilmek isterse, benzetim sonlu bir benzetimdir.

Çünkü, benzetimi bitiren bir E olayı vardır.

 E = {sistem normal duruma gelinceye kadar benzetim}

 Bu örneklerden görüldüğü gibi bir sistem için benzetim; benzetim çalışmasının amaçlarına bağlı olarak bitişli veya bitişli olmayan benzetim olabilir.

 Denge durumu dağılımına sahip olmayan bir sonsuz benzetim için y₁, y₂,,,, stokastik prosesini dikkate

alalım . Zaman eksenini eşit uzunlukta , çevrim olarak adlandırılan , ardışık zaman aralıklarına böldüğümüzü kabul edelim.

 Örneğin ; bir üretim sisteminde bir çevrim 8 saatlik bir vardiyanın çalışma zamanı olabilir.

 Y_Ic; i. Çevrimde tanımlanan bir rassal değişken olsun.

 Benzetim denemeleri sonucunda Y_1c, y_2c, ….. Prosesi elde edilir.

2.durum

 y_1c, y_2c,….. C boyutunda bir çevrim prosesinin bir denge durumu dağılımına (F^c) sahip olduğunu kabul edelim. Y^c~ F^c .

 Bu durumda performans ölçütü

“denge durumu çevrim parametresi” olarak adlandırılır.

^c = E(y^c)

 Bir denge durumu çevrim parametresi , y_1c, y_2c,…

çevrim prosesinin denge durumu parametresidir.

3.durum:

 Bitişli olmayan benzetim için y₁, y₂, y₃, …..

stokastik prosesin denge durumuna sahip olmadığını kabul edelim.

 Aynı zamanda uygun bir çevrim tanımlaması olmasın.

Yani y_1c, y_2c,… prosesinin bir denge durumuna sahip bir çevrim tanımlaması olmasın.

 Bu durum, modelin parametreleri zaman içinde değiştiğinde söz konusudur.

Örnek

 Bir telefon şirketinde telefon aramalarının varış oranı haftadan haftaya, yıldan yıla değişiyorsa, denge durumu parametreleri tanımlanamayacaktır.

 Bu durumda , girdi parametrelerinin zaman içinde nasıl değiştiğini tanımlayan bir veri mevcut değildir.

 Benzetimi bitirecek bir E olayı vardır.

 Sonlu benzetim için kullanılan analiz teknikleri , bu tür sistemlerin benzetim çıktılarının analizinde kullanılabilir.

Örnek 7:

 Mikrobilgisayarlar için bir montaj hattından ve bir test alanından oluşan bir üretim sistemini dikkate alalım. Her hafta üretilecek bilgisayarların sayısını ve tiplerini tanımlayan 3’er aylık çizelgenin mevcut olduğunu kabul edelim. Bu çizelge, yeni bilgisayarların pazara girmesi ve satışlardaki değişikliklerden dolayı haftadan haftaya değişmektedir. Böyle bir durumda, haftalık ya da aylık çıktılar denge durumu dağılımına sahip olmayacaktır. Her hafta için gerçek ortalama çıktıyı tahmin etmek üzere uzunluğu 3 ay olan sonlu benzetim kullanılır.

BİTİŞLİ BİR SİSTEM İÇİN ÇIKTI ANALİZİ

 Bitişli bir sistemin sonlu benzetimi için n bağımsız tekrarlama yaptığımızı varsayalım.

 Her tekrarlama bir E olayı ile bitirilmekte ve aynı başlangıç koşulu ile başlamaktadır.

 Tekrarlamaların bağımsızlığı, her tekrarlamada farklı başlangıç değerleri kullanarak sağlanmaktadır.

 Benzetim çalışmasında bir performans ölçütü ile ilgilenildiğini kabul edelim.

 J=1,2,3, .... ,n için X_j ; j. Tekrarlamadaki bir rasal değişken (çıktı) olsun.

 Xj’ler bağımsız özdeş dağılıma sahip rassal değişkenlerdir. M/M/1 kuyruk sistemi için ;



 j. tekrarlamadaki ortalama beklemedir.

 N; müşteri sayısıdır.

Ortalama Tahmini :

 X; bir benzetim tekrarlamasında tanımlanan rassal değişken olmak üzere;

 =E(x) ortalama için bir nokta tahminini ve güven aralığını elde edelim.

 Benzetimin n bağımsız tekrarlamasını yap.

 x₁,x₂,....,x_n ; bağımsız özdeş dağılmış rassal değişken olsun.

 X_j: j. tekrarlamasda elde edilen tahmin.

Buradan 1- güvenlik katsayısınadüzeyinde  (ortalama) için güven aralığı ;

 

.

x n t s



n

 

 

  

 

Örnek :

 M/M/1 kuyruk sistemi benzetim modelinin 10 deneme (tekrar) sonuçları aşağıda verilmektedir. Bir gün sonunda bir müşterinin ortalama bekleme zamanını tahmin ederek

%90 güvenlik düzeyinde güven aralığını elde edin.

Tekrarlama 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Kuyrukta Ort.

Bek.

1,53 1,66 1,24 2,34 2,00 1,69 2,69 2,86 1,70 2,60

B u s o n u c a g ö r e ; % 9 0 g ü v e n l i k d ü z e y i n d e g e r ç e k o r t a l a m a [ 1 . 7 1 , 2 . 3 5 ] a r a lı ğ ı n d a b u l u n m a k t a d ı r .

 

n j j

x

x n





E X E

N



 

 

 

  

 

 



   

2 1 0 . 3 1

1

n

j j

x x n

s n





 





  9 , 0 . 9 5 . s ²  2 . 0 3 0 . 3 2 

G A x n t

n

 

     

 

 

G A   1 . 7 1 , 2 . 3 5 

Örnek:

 Bir stok sisteminde, 120 aylık planlanan aralıkta beklenen ortalama maliyet için nokta tahmini ve %90 güvenlik düzeyinde güven aralığı oluşturulmak isteniyor. Bunun için 10 bağımsız deneme tekrarı yapılmış ve aşağıdaki maliyetler elde edilmiştir.

Tekrarlama 1 2 3 4 5

Ort. maliyet 129.35 127.11 124.03 122.13 120.44

Tekrarlama 6 7 8 9 10

% 9 0 g ü v e n l i k d ü z e y i n d e G A ;

 

1 2 0

1

1 2 0

i i

D

E X E ^

 

 

 

  

 

 



 

1 0

1 0 1 1 2 6 . 0 7

1 0

j j

x

x 







1 0 2

2 1

1 0

2 3 . 5 5 9

j j

x x

s ^







 





G A x n t

n

 

     

 

 





G A 

Belirli Bir Hassaslığın Elde Edilmesi ( Law

& Kelton ,1991)



n tekrarlamaya dayalı bu metodun bir dezavantajı analistin güven aralığının yarı uzunluğu [ya da ortalamanın hassalığını] kontrol edememesidir.



Sabit n değeri için, yarı uzunluk

 .

 X_j ‘in tahminindeki hatayı ölçmek için 2 yol vardır.

 Mutlak Hata :

 ise , ort(x)’in mutlak hatasının  kadar olduğu söylenebilir.

 1- güvenlik düzeyinde güven aralığının yarı uzunluğu nun ’ya eşit ya da daha küçük oluncaya kadar tekrarlama yapılırsa;

 Bu durumda, yaklaşık 1-α olasılığı ile , en fazla β kadar mutlak hataya sahip olacaktır (diğer bir anlatımla, %90 güvenlik düzyinde 100 bağımsız güven aralığı oluşturduğumuızda, 100 güven aralığının 90’ında en fazla β kadar mutlak hataya sahip olacaktır.

Yaklaşık 10 güven aralığında mutlak hata β’dan büyük olacaktır).

 n tekrarlamaya dayalı olarak μ için bir güven aralığı oluşturduğumuzu kabul edelim. Tahmin edilen yığın varyansı s^2’nin tekrarlama sayısı arttıkça değişmeyeceğini kabul edersek, β mutlak hatayı elde etmek için istenilen toplam tekrarlama sayısı n^*_a(β) ;



 (1)

 şartını sağlayan en küçük i değeri olarak alınabilir.

Diğer bir yol ise;

şartını sağlayıncaya kadar i’ yi birer birer artırmaktır.

  



 s n i

t_{i 1,1 /2} ²( ) /

Örnek:

K u y r u k t a o r t a l a m a b e k l e m e i ç i n n = 5 t e k r a r l a m a y a pı l m ı ş v e

2 ) 2

(

 15 . 58 dak . s ( n )  2( . 46 )

x

β = 1 iç i n g ü v e n a r a l ı ğ ı o l u ş t u r m a k i s t e n i y o r . G e r e k l i t e k r a r l a m a n ı n y a k l aş ı k d e ğ e r i ; ^{  0 .05}

23 . 23 24

1 ) ( ) 46.

2(

) )(

( ^{1 / 2 2 2 0 .975 2}

2









 ^

i z n z

s

i 



1 039

. ) 1

46 .

; 2(

24 ^{23 0, .975}   

 t 

i













 26 ( ) 26 5 21

)

( ^*

* n n

n _a  _a  e k t e k r a r la m a s a yıs ı

2 4 ,0 .9 7 5 ( 2 .4 6 )

2 5 ; 1 .0 1 5 1

2 5

i  t    

2 5 , 0 .9 7 5 ( 2 .4 6 )

2 6 ; 0 .9 9 1

2 6

i  t    

Göreli hassasiyet

n t e k r a r l a m a s a yı s ı n a b a ğ l ı o l a r a k  iç in b ir g ü v e n a r a lı ğ ın ın o l uş t u r u l a c a ğ ı n ı k a b u l e d e l i m . T e k r a r l a m a s a y ı s ı a r t a r k e n y ı ğ ı n o r t a l a m a sı v e y ı ğ ı n v a r y a n s ı n ı n t a h m i n l e r i n i n d e ğ i ş m e y e c e ğ i k a b u l u a l tı n d a ;  g ö r e li h a ta iç in g e r e k li te k r a r la m a s a yıs ı

;

 

*

nr 

 

 

 

2

* 1 ,1 2 '

.

m i n :

n n

r

n

t s

n i n i

x







 

 

 

    

 

 

Örnek: 5

t e k r a r l a m a s o n u c u n d a e l d e e d i l e n g ö z l e m l e r i n o r t a l a m a sı v e v a r y a n s ı o r t ( x _{( n )} ) = 1 5 . 5 8 , s ² _{( n )} = ( 2 . 4 6 ) ² . G ö r e l i h a t a nı n  = 0 . 1 0 ‘ a eş i t o l m a s ı i ç i n g e r e k l i o l a n g ö z l e m s a yı s ı n ı b u l u n u z .  = 0 . 0 5

i = 1 0 

 

2

2 1 2

n '

n

z

i s

x









 

  

 

     

2

2 1 . 9 6

2 . 4 6 9 . 5 8

0 . 1 0 . 1 5 . 5 8

 

  

 

i = 1 0

i = 1 0 i ç i n

i = 1 1 i ç i n

i = 1 2 i ç i n

9 , 0 . 9 7 5

'

2 . 4 6

. 1 0 0 . 1 2 9 9 0 . 1 0

1 5 . 5 8 t



  

1 0 , 0 . 9 7 5

2 . 4 6

. 1 1 0 . 1 2 7 0 . 1 0

1 5 . 5 8 t

 

1 1 , 0 . 9 7 5

2 . 4 6

. 1 2 0 . 1 0 1 5 . 5 8

t

 

i= 1 3 için

1 3 -5 = 8 ad et ek tek rarlam a yapılm ası g erek ir.

 

*

1 3

n

 

1 2 ,0 .9 7 5

2 .4 6

. 1 3 0 .1 0

1 5 .5 8 t

 

DENGE DURUMU PARAMETRELERİ İÇİN İSTATİSTİKSEL ANALİZ

Bitişli Olmayan Sistemler

•Başlangıç Yanlılığı Etkisini Azaltmmak İçin Metodlar

•Benzetime denge durumu koşulunu gösteren bir başlangış koşulu ile başlamak

•Benzetim modelini başlangıç yanlılığının etkisini ortadan kaldıracak kadar uzun çalıştırmak.

•Başlangıç periyodunu tahmin etmek ve bu periyotta kaydedilen gözlemleri sildikten sonra denge durumu parametresini tahmin etmek.

' B

TB T ise ; veri seti başlangıç periodundan veri içerir. Elde edilen tahmin yanlıdır.

' B

TB  T ise ; gereksiz miktarda veri atılmaktadır. Bu bilgisayar zamanı açısından önemlidir.

TB

B'

T T_B

Kümülatif ortalamanın grafiği çizilerek benzetimin dengeye girdiği T_B noktası belirlenir.

TB



Denge Durumu Parametrsini Tahmin Etmek İçin Metotlar

 Literatürde 5 metot vardır.

 Tekrarlama / silme metodu (Replication / Deletion)

 Küme Ortalamaları Metodu

 Regenerative Metod

 Otoregressive Metod

 Standartlaştırılmış Zaman Serileri Metodu.

1. Tekrarlama Silme Metodu

S o n l u b e n z e t i m i n çı k t ı a n a l i z i n d e k u l l a n ı l a n t e k r a r l a m a m e t o d u i l e a y n ı d ı r . T e k f a r k lı l ı k ; h e r t e k r a r l a m a d a b a ş l a n g ı ç y a n l ı l ı ğ ı n ı o r t a d a n k a l d ı r m a k i ç i n L g ö z l e m i n s i l i n m e s i d i r . L g ö z l e m d e n s o n r a k i g ö z l e m l e r o r t a l a m a nı n t a h m i n e d i i l m e s i n d e k u l l a n ı l ı r .

B e n z e t i m M o d e l i

1 1

r u n  x

2 2

r u n  x

r u n n  x n

G ü v e n A r a lı ğ ı

1 1 , 2 , .. .. ,

m

j i j i l

y

x j n

m l

   





  ¹

n

j j

n

x

x n





 

1 ,1 2

. ⁿ

n

G A x n t s

 n

 

 

 

 

 

 

Örnek :

 Varış oranı saatte 10 müşteri ve ortalama servis zamanının 0.08 saat olduğu M/M/1 kuyruk sisteminde denge durumunda sistemde bekleyen ortalama müşteri sayısı tahmin edilmek isteniyor.

sistemin benzetimi 500 saat için yapılacaktır.

B u s i s t e m i n d e n g e d u r u m u b e n z e t i m i i ç i n ö n c e l i k l e b aş l a n g ı ç p e r i y o d u n u n t a h m i n e d i l m e s i g e r e k i r . Y a pı l a n ç a l ı ş m a s o n u c u b a ş l a n g ı ç p e r i y o d u i l k 5 0 s a a t o l a r a k b e l i r l e n m iş t i r .

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 s a a t

Tekrarlama/silme metodu kullanılarak 25 tekrarlama yapılmıştır. Her tekrarlamada 500 saat için benzetim yapılarak ilk 50 saat içindeki gözlemler başlangıç yanlılığını ortadan kaldırmak için dikkate alınmamıştır.

J 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sistemdeki

Müş. Say. 17 5 11 0 0 1 2 14 19 1

J 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Sistemdeki

Müş. Say. 0 0 5 4 5 0 0 1 0 3

% 9 5 g ü v e n l i k d ü z e y i n d e g ü v e n a r a lı ğ ı ;

 _n

3 . 8 4

x  ^s

^  ^{5 . 5 7} 

 

1 , 1 2

. ⁿ

n

G A x n t s

 n

 

 

 

 

 

 

     

3 . 8 4 2 . 0 6 4 . 1 . 1 1 4 3 . 8 4 2 . 2 9

     







Küme Ortalamaları (Batch- Means) Metodu

 Tekrarlama / silme metodunun bir dezavantajı ; her tekrarlamada başlangıç yanlılığını ortadan kaldırmak için L adet verinin silinmesidir. Bu durumda ise harcanan bilgisayar zamanı artmaktadır.

1 . R u n

1 . R u n 'd a s i l i n e n g ö z l e m l e r ¹ X

. '

n R u n d a s i l i n e n g ö z l e m l e r

. n R u n

X n

2 . R u n

2 . R u n 'd a s i l i n e n g ö z l e m l e r

X 2

  1 , 1

2 n .

x n t s

 n

 



 Küme ortalamaları metodunda , n adet tekrarlama yapmak yerine benzetim modeli bir kere çok uzun çalıştırılarak başlangıç yanlılığını ortadan kaldırmak için l adet gözlem silindikten sonra geri kalan gözlemler kümelere bölünür.

 Denge durumu parametresi bu kümeler kullanılarak tahmin edilir.

K ü m e l e r b ağ ı m s ı z i s e G A ;

1 . . . . . 2 . . . . 3 . . . . _n

x x x x

p e r f o r m a n s ö l ç ü s ü

s i l i n e n g ö z l e m l e r

z a m a n

  ^{. s}

x n t

 

  

U z u n l uğ u m o l a n b i r b e n z e t i m ç a l ı ş m a s ı y a p ı l d ı ğ ı n d a i l k L

a d e t g ö z l e m s i l i n d i k t e n s o n r a k i g ö z l e m l e r k g e n iş l i ğ i n d e k ü m e l e r e b ö l ü n ü r . B u d u r u m d a ;

  ¹

1 2 1

1 . ; , , . . . ,

k

l i i

l l l k

x

k ü m e x x x x

k



    



  ¹

1 2 2 . 2

2 . ; , , . . . ,

k

l k i i

l k l k l k

x

k ü m e x x x x

k

  

      



 ^{1 .} ¹  ^{1 .} ²

. ;

,

, . . . ,

n k ü m e x

x

x

Birden Fazla Performans Ölçüsü

Şimdiye kadar anlatılan metodlarda bir performans ölçüsünün tahmini için güven aralığı oluşturulmaktadır. Ancak gerçek hayatta benzetim uygulamalarında aynı anda birden fazla performans ölçüsü ile ilgilenilir.

kuyruktakiortalamabeklemezamanı

servisindolulukoranı

 

1 1,1

2

. ⁿ

n

GA xn t s

 n

 

 

 

 

 

 

 

2 1,1

2

. ⁿ

n

GA xn t s

 n

 

 

 

 

 

 

Benzetim Modeli

x

y

p e r f o r m a n s ö l ç ü s ü i ç i n g ü v e n l i k d ü z e y i n d e g ü v e n a r a lı ğ ı o l s u n .

K a d e t g ü v e n a r a lı ğ ı n ı n a y n ı a n d a g e r ç e k d e ğ e r l e r i k a p s a m a o l a sı l ı ğ ı ;

 

: 1 , 2 , . . . ,

s s

I  s  k ₁

 s



 

¹

1 , 2 , . . . , 1

E

k

s s s

s

T o p l a m H a t a

P s k i ç i n I



 





   



Eş i t s i z l iğ i



  ¹ E

P A l l 

  

P ( B i r y a d a b i r d e n f a z l a G A ’ nı n g e r ç e k d e ğ e r i k a p s a m a m a ) =

P ( B i r y a d a b i r d e n f a z l a ) =

P ( B i r y a d a d a h a f a z l a )

 

1  P A l l

 

1  P A l l  1  _E

E h a t a s o n u ç i ç i n ü s t sı n ı r



 

Ö r n e k : 4 p e r f o r m a n s ö l ç ü s ü i ç i n g ü v e n a r a lı k l a r ı o l u ş t u r u l a c a k t ı r .

T ü m s i s t e m g ü v e n i l i r l iğ i n i n % 9 0 o l m a s ı i ç i n h e r b i r g ü v e n a r a l ı ğ ı i ç i n h a t a o r a nı n e d i r ?

o l d uğ u i ç i n

4

1 2 3 4

1

1 _s 0 . 9 0 0 . 1 0

s

    







1 2 3 4

      

4  _E  0 . 1 0   _E  0 . 0 2 5