Dog al logaritma ve exp fonksiyonları 1

Dog ̌ al logaritma ve exp fonksiyonları

1. x ∈ 0, ∞ olduǧuna göre xn dizisi

xn = n ⁿx − 1 ; n ∈ N

olarak tanımlanan dizi olsun. Aşaǧıdaki önermeleri kanıtlayınız.

a) Her n ∈ Niçin xn+1 ≤ xn dir.(Y. G. b = x^nn1+1 koyunuz.)

b) Her n ∈ Niçin ^x−1_x ≤ xn ≤ x − 1. (Y. G. b = x¹ⁿ koyunuz.) Eşitliǧin olması için gerek ve yeter koşul x = 1 olmasıdır.

c) O haldexn yakınsaktır. Bu limit ln x ile gösterilir. ln x sayısına x in doǧal logaritması denir.

d. ln 1 = 0 dir.

e. ^x−1_x ≤ ln x ≤ x − 1. Eşitliǧin olması için gerek ve yeter koşul x = 1 olmasıdır.

f. x, y ∈ 0, ∞ olduǧuna göre lnxy = lnx + lny ve ln¹x = −lnx dir.

g. x ∈ 0, ∞ ve r ∈ Q olduǧuna göre lnx^r = rlnx dir.

h. x, y ∈ 0, ∞ ve x < y ise lnx < lny dir.

i. xn ⊂ 0, ∞ dizisi yakınsak ve lim xn = x ∈ 0,∞ ise lnxn dizisi de yakınsak ve lim ln xn = lnx dir.

j. xn ⊂ 0, ∞ ve lim xn = ∞ ise lim lnxⁿ = ∞ dur.

k. xn ⊂ 0, ∞ ve lim xn = 0 ise lim lnxn = −∞ dur.

2. xn ve yn dizileri

xn = 1 + 1n ⁿ ve yn = 1 + 1n ⁿ⁺¹; n ∈ N olarak tanımlanıyor. Aşaǧıdaki önermeleri kanıtlayınız.

a) Her n ∈ Niçin yn+1 ≤ yndir.

b) Her n ∈ Niçin xn ≤ xn+1 dir.

c) Her n ∈ Niçin xn ≤ yn dir.

d) xn ve yn dizileri yakınsak ve lim xn = limyndir. Bu limit e ile gösterilir.

e) 2 < e < 3 dür.(Y.G. x¹ < e < y⁵) 3. x ∈ Rolduǧuna göre xn dizisi

xn = 1 + xn ⁿ; n ∈ N

olarak tanımlanan dizi olsun. m, k ∈ Nsayıları −m < x < k olacak şekilde seçilsin.

Aşaǧıdaki önermeleri kanıtlayınız.

a) Her m ≤ n ∈ Niçin xn ≤ xn+1 dir.

b) Her m ≤ n ∈ Niçin xn ≤ e^k dir. (Y. G. 1+ n^k ≤ 1 + ¹n ^k olup 1+ xn ⁿ ≤ 1 + kn ⁿ ≤ 1 + 1n ^kn olduǧuna dikkat ediniz.)

c) O haldexn yakınsaktır. Bu limit exp x ile gösterilir. Özel olarak e = exp1 dir.

d) Her m ≤ n ∈ Niçin 1+ x ≤ xⁿ ≤ exp x.

e. exp 0 = 1 dir.

f. x ∈ Rise 1+ x ≤ expx. Eşitliǧin olması için gerek ve yeter koşul x = 0 olmasıdır.

g. x, y ∈ Rolduǧuna göre expxexp−x = 1 dir. (Y.G. 1 − ^xn² ≤ 1 − ^x2

n²

n ≤ 1)

h. x ∈ Rise exp x > 0 ve lnexpx = x dir.

i. x ∈ 0, ∞ ise expln x = x dir.

j. x ∈ Rve r ∈ Q olduǧuna göre exprx = expx^rdir.

k. x, y ∈ Rve x < y ise expx < expy dir.

l. x, y ∈ Rolduǧuna göre expxexpy = expx + y dir. (Y.G.

x+ y = lnexpx + lnexpy = lnexpxexpy

olduǧuna dikkat ediniz.)

m. x ∈ Rise |exp x − 1| ≤ |x| exp|x|. (Y:G. Önce 0 < t ise t ≤ e^t − 1 ≤ te^t olduğunu gösteriniz ve 1 − e^−t ≤ t ≤ te^t olduğuna dikkat ediniz. )

n. xn ⊂ Rdizisi yakınsak ve lim xn = x ise expxⁿ dizisi de yakınsak ve lim exp xn = expx.

o. xn ⊂ Rve lim xn = ∞ ise lim expxⁿ = ∞ dur.

p. xn ⊂ Rve lim xn = −∞ ise lim expxⁿ = 0 dır.

a tabanına göre logaritma ve üstel fonksiyon

1. a ∈ 0, ∞ ve x ∈ Rolduǧuna göre

a^x = expxlna

olarak tanımlayalım.

a) x ∈ Rolduǧuna göre e^x = expx dir.

b) r ∈ Q olduǧuna göre daha önce tanımlanan a^rile yeni tanımlanan a^rnin ayni sayılardır.

c) a⁰ = 1 dir.

d) x, y ∈ Rolduǧuna göre a^x+y = a^xa^y vea^x^y = a^xy dir.

2. a ∈ 0, ∞, a ≠ 1 ve x ∈ 0, ∞ olduǧuna göre log_ax = lnx

ln a olarak tanımlayalım.

a) ln x = logex b) log_a1 = 0 dır.

c) x, y ∈ 0, ∞ olduǧuna göre log_axy = logax+ logay ve log_a¹_x  = −logax dir.

d) x ∈ Rolduǧuna göre log_aa^x = x dir.

e ) x ∈ 0, ∞ olduǧuna göre a^logax = x dir.