L’HOSPİTAL KURALI
Türevin uygulamalarından biri, limit hesabında
kullanılmasıdır. Bir fonksiyonun xa noktasındaki limiti hesaplanırken karşımıza çıkan,
0 0 ,
, , 0. , 1 , 00 , 0
belirsizlikleri, 0 0 veya
belirsizliklerinden birine dönüştürülerek, L’Hospital Kuralı yardımıyla kolayca sonuçlandırılır.
Kural
1. f ve g fonksiyonları (a,b) aralığında türevlenebilir olsunlar.
2. Her x(a,b) için g(x)0 olsun.
3. c(a,b) olmak üzere g(x) 0
c xlim ) x ( f c
xlim
olmak üzere,
4. L
) x (' g
) x (' f c
xlim
ise L
) x ( g
) x ( f c
xlim
dir.
Eğer,
0 0 ) x (' g
) x (' f c
xlim
veya
g('x) ) x (' f c
xlim ise
yukarıdaki kural bir daha uygulanır.
A. 0
0 Belirsizliği
Örnek:
2 4 x
4 16 x 2 xlim
limitinin değerini araştıralım.
Çözüm:
0 0 2 4
2 4 16 2 2 xlim 2 4
x 4 16 x 2
xlim
dır.
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
4 8 32 2 . 2
23 . 4 0 x 2
3 0 x 4 2 xlim 2 4
x 4 16 x 2
xlim
olur.
Örnek:
3 x 2 4 x
2 x 2 6 x 3 5 x 1 x lim
limitinin değerini araştıralım.
Çözüm:
3 ) 1 .(
2 4 ) 1 (
2 ) 1 .(
6 ) 1 .(
3 5 ) 1 ( 3 x 2 4 x
2 x 2 6 x 3 5 x 1 x lim
0
0 dır.
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
4 x 2
6 x 2 10 x 3 1 x lim 3
x 2 4 x
2 x 2 6 x 3 5 x 1 x lim
2 1 4
) 1 .(
2
6 ) 1 .(
2 10 ) 1 .(
3
Uyarı
L’Hospital Kuralında 0 0 veya
belirsizliğini ortadan kaldırmak için yapılan işlemin: payın türevini paya, paydanın türevini paydaya yazmak olduğuna dikkat ediniz.
Örnek:
3 6 x
2 x 2 3 x 2 5
x 3 xlim
limitinin değerini araştıralım.
Çözüm:
0 0 3
6 x
2 x 2 3 x 2 5
x 3
xlim
dır.
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
3 6 x
2 x 2 3 x 2 5
x 3 xlim
6 x . 2
1 2 x 2 3 x 2
3 x x 2
2
3 xlim
4 117
6 3 . 2
1
2 3 . 2 3 3 . 2
3 3 . 3 2 . 2
tür.
Örnek:
x 2 tan
x 8 tan 0 xlim
limitinin değerini araştıralım.
Çözüm:
0 0 0 tan
0 tan x 2 tan
x 8 tan 0
xlim
belirsizliği vardır.
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
4 1 2 1 8
) 0 . 2 2( cos
2 ) 0 . 8 2( cos
8
x 22 cos
2 x 28 cos
8
0 xlim x 2 tan
x 8 tan 0
xlim
tür.
Örnek:
4 x 2 4 x
8 x 2 12 x 3 6 x 2 xlim
limitinin değerini araştıralım.
Çözüm:
0 0 4 2 . 2 4 2
8 2 . 2 12 2 . 3 6 2 4 x 2 4 x
8 x 2 12 x 3 6 x 2
xlim
dır.
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
4 x 2
12 x 2 12 x 3 2 xlim 4
x 2 4 x
8 x 2 12 x 3 6 x 2 xlim
0 0 4 2 . 2
12 2 . 2 12 2 .
3
dır.
Birinci uygulamamızda belirsizlik ortadan kalkmadığı için, tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım.
4 x 2
12 x 2 12 x 3 2 xlim 4
x 2 4 x
8 x 2 12 x 3 6 x 2 xlim
2 12 x 6 2
xlim
0
2 12 2 .
6
dır.
II.Yol
)2 2 x (
)3 2 x ( 2 xlim 4
x 2 4 x
8 x 2 12 x 3 6 x 2 xlim
)2 2 x (
)3 2 x ( 2 xlim
(x 2) 0 2
xlim
dır.
Uyarı
L’Hospital Kuralında belirtilen koşullar sağlandığı sürece, kural uygulanmaya devam edilir.
Örnek:
x 1
cos 1 2x sin 1 xlim
limitinin değerini araştıralım.
Çözüm:
cos 1 11 11 00
2 1 sin 1 x cos
1 2x sin 1
xlim
dır.
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
.sin x
2x cos 2. 1 xlim 1 x cos
1 2x sin 1 xlim
0 0 sin cos2 2.
1
dır.
Tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım.
sin x
2x cos 2 1 1 xlim 1 x cos
1 2x sin 1 xlim
.cos x
2x sin 2. 2 1 1 xlim
cos .
sin2 2. 2 . 1
4 1 1 . 1 2 . 1 2
1
tür.
B.
Belirsizliği
Örnek:
2 2 3 x x
3 x x x lim
limitinin değerini araştıralım.
Çözüm:
3 2 2
3 2 2
3 x x
3 x x
x lim dur.
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
3. 2 2.
2 1 . 3 x 2 2 x 3
2 1 x 3 x lim 2 2
3 x x
3 x x x lim
olur.
Tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım.
2 x 6
x 6 xlim x 2 2 x 3
2 1 x 3 x lim 2 2
3 x x
3 x x x lim
2 . 6
.
6 olur.
Tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım.
2 x 6
x 6 xlim x 2 2 x 3
2 1 x 3 x lim 2 2
3 x x
3 x x x lim
1
6 6
x lim
bulunur
Bu soru, limit bilgisiyle kısa yoldan sonuçlandırılabilirdi.
Ancak, konuyu örnekleme düşüncesiyle, bu yöntem denendi.
Örnek:
x 1 3 e x
1 x 2 5 x x lim
limitinin değerini araştıralım.
Çözüm:
3 e 1
1 2 5
x 1 3 e x
1 x 2 5 x
x lim dur.
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
ex x2 3
5 x 2 x lim x 1
3 e x
1 x 2 5 x x lim
0 e . 6
2 ex
x 6
2
x lim
dır.
Örnek:
x tan
x 2 tan
x 2 lim
limitinin değerini araştıralım.
Çözüm:
x 22 cos
2x cos 2
x 2 lim 2x
cos 1
x 22 cos
2
x 2 x lim tan
x 2 tan
x 2
lim
2.cos2 02 . 2
.2 2 2 cos . 2
2 cos2 2
12 0
. 2
0
olur.
C. .0 Belirsizliği
1
. 0
. veya
0 0 0 0. 0 1
.
düzenlemelerinden
biri yapılarak sonuca gidilebilir.
Örnek:
4x 3 . 1 ex
x lim limitinin değerini araştıralım.
Çözüm:
0 3 . x 4 . 1 ex
x lim
dır.
3 x 4
ex x lim 3
x 4 . 1 ex
x lim olur.
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
4 ex x lim 3
x 4 . 1 ex
x lim dur.
Örnek:
x.lnx
0 x
lim
limitinin değerini araştıralım.
Çözüm:
. 0 x ln . x 0 x
lim dur.
x
1 x ln 0 x
lim x
ln . x 0 x
lim olur.
L’Hospital Kuralını uygulayalım
x2 1 x 1
0 x
lim x
1 x ln 0 x
lim x
ln . x 0 x
lim
x 0
0 x
lim
dır.
Örnek:
x
sin4 . x
x lim limitinin değerini araştıralım.
Çözüm:
0 x . sin4 . x
x lim
dır.
0 0
x 1
x sin4
xlim x
sin4 .
x lim x
olur.
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
x 1
x sin4
xlim x
sin4 . x lim x
2 x
x cos4 2. x
4
x lim
x 2. x
1 x lim x . cos4 x lim ).
8 x lim (
0 0 . 1 .
8
dır.
D. Belirsizliği
0 0 0 1 0 1
düzenlemesiyle sonuca gidilir.
Örnek:
x)
cos(2 1 ) x sin(
1 1 x
lim limitinin değerini araştıralım.
Çözüm:
cos2 1 sin
1 ) 2x cos(
1 ) x sin(
1 1 x
lim
0 1 0
1 dur.
x)
cos(2 1 ) x sin(
1 1 x
lim
0 0 ) 2x cos(
).
x sin(
) x sin(
) 2x cos(
1 x
lim
olur.
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
x)
cos(2 1 ) x sin(
1 1 x
lim
) 2x cos(
).
x sin(
) x sin(
) 2x cos(
1 x
lim
) x sin(
).
2x sin(
) 2x cos(
).
x cos(
.
) x cos(
) 2x 2sin(
1 x
lim
) 1 . sin(
).
1 2. sin(
) 1 2. cos(
).
1 . cos(
.
) 1 . cos(
) 1 2. 2sin(
1 x
lim
0
2 0 . 1 0 ).
1 .(
) 1 .(
1 2.
1 x
lim olur.
Örnek:
sin( x) 1 1 x
1 1 x
lim limitinin değerini araştıralım.
Çözüm:
) 1 . sin(
1 1 1
1 ) x sin(
1 1 x
1 1 x
lim
0
1 0
1 dur.
(x 1).sin( x) 1 x ) x sin(
1 x ) lim x sin(
1 1 x
1 1 x
lim
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
sin( x) 1 1 x
1 1 x
lim
(x 1).sin( x) 1 x ) x sin(
1 x
lim
sin( x) .(x 1).cos( x) 1 ) x cos(
. 1
x lim
) 1 . cos(
).
1 1 .(
) 1 . sin(
1 ) 1 . cos(
.
0 0
1 dur.
Örnek:
ln(x 2) 1 3 x
1 3
xlim limitinin değerini araştıralım.
Çözüm:
) 2 x ln(
1 3 x
1 3
xlim dur.
(x 3).ln(x 2) 3 x ) 2 x ln(
3 xlim )
2 x ln(
1 3 x
1 3 xlim
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
(x 3).ln(x 2) 3 x ) 2 x ln(
3 xlim )
2 x ln(
1 3 x
1 3 xlim
2 x
3 ) x 2 x ln(
. 1
2 1 x
1
3 xlim
2 3
3 ) 3 2 3 ln(
2 1 3
1
3 xlim
0 0
1 0 0
1
1
Tekrar L’Hospital Kuralını uygulayalım.
2 x
3 ) x 2 x ln(
. 1
2 1 x
1
3 xlim )
2 x ln(
1 3 x
1 3 xlim
)2 2 x (
3 x 2 x 2 x
1
)2 2 x (
1
3 xlim
2 1 1 1
1
)2 2 3 (
1 2 3
1 )2 2 3 (
1
dir.
E. 0 , 1 , 0
0 Belirsizlikleri
Bu tür belirsizliklerde, e tabanında logaritma alınarak sonuca gidilir.
Örnek:
x 15 ) x 5 1 ( 0 xlim
limitinin değerini araştıralım.
Çözüm:
0 1
15 ) 0 . 5 1 x ( 15 ) x 5 1 ( 0
xlim olur.
x 15 ) x 5 1 (
y olsun.
x 15 ) x 5 1 ln(
y x ln 15 ) x 5 1 (
y
.ln(1 5x) x
y 15
ln
0 0 x
) x 5 1 ln(
. 15 0 xlim ) y (ln 0
xlim
L’Hospital Kuralını uygulayalım.
x
) x 5 1 ln(
. 15 0 xlim ) y (ln 0 xlim
75
1 0 . 5 1 . 5 15 1
x 5 1 . 5 15 0
xlim
