T sınıfı içinde güç fonksiyonu

9.5. En Güçlü Testler

Bir hipotez testi probleminde, hata olasılıklarının küçük olması arzu edilir. Birinci tür hata olasılığı sabit tutularak ikinci tür hata olasılığı en küçük (gücü en fazla) olacak şekilde test kuralları geliştirilmeye çalışılır. Bazı testler, birinci tür hata olasılıklarını kontrol altında tutar (örneğin,

 

düzeyli testlerin birinci tür hata olasılığı en fazla



kadardır). Ancak, iyi bir test için ikinci tür hata olasılığının da küçük (testin gücünün de fazla) olması beklenir. Herhangi iki test, Test I ve Test II olsun. Eğer Test I in ikinci tür hata olasılığı Test II nin ikinci tür hata olasılığından daha küçük ise Test I tercih edilir. Kısaca, birinci tür hata olasılığı sabit tutulduğunda ikinci tür hata olasılığı küçük olan test daha iyidir. Birinci tür hata olasılığı sabit tutulduğunda ikinci tür hata olasılığı en küçük olan bir test varsa böyle bir test en iyi testtir. Bu kısımda bu tür testler ele alınacaktır.

Tanım 9.5.1

H

⁰

:  

⁰ hipotezinin

H

_a

:  

^0c alternatif hipotezine karşı testi problemi için bütün

 

düzeyli testlerin sınıfı T olsun. T sınıfı içinde güç fonksiyonu

 

_( ) _{olan bir}



testi güç fonksiyonu

 

_^*

( )

olan her

 T

^* _ve

  

₀^c _için

( )

*

( )

 

    

oluyorsa,



testine düzgün en güçlü (uniformly most powerful, UMP) test denir



Tanım 9.5.2



güç fonksiyonu

 

_( ) olan bir test olmak üzere,

0 1 0 0 1 0

( ) ( ) , her , ^c

 

 



  







ise,



test fonksiyonuna yansızdır denir



Tanımdaki koşul o kadar ağırdır ki, bir çok hipotez testi problemi için düzgün en güçlü test bulunamaz. Ayrıca, birinci tür hata olasılığı dikkate alınmadan ikinci tür hata olasılığını en küçük yapmak o kadar önemli değildir. Örneğin, bir test

H

⁰ hipotezini 1 olasılıkla red ederse, bu test için ikinci tür hata olasılığından bahsedilemez.

Aşağıdaki teorem,

 

ölçekli düzgün en güçlü testlerin bulunması için önemlidir. Bu teorem, parametre uzayının sadece iki elemandan oluştuğu varsayımına dayanır. Bilindiği gibi, parametre kümesinde sadece bir eleman bulunan hipotezler basit, birden fazla eleman bulunan hipotezler de karmaşık hipotezlerdir. Yani, teorem basit hipotezlerin basit hipotezlere karşı test edilmesi problemleri için geçerlidir.

  { , }  

^{0 1} _ise

H

₀

:   

₀ hipotezinin

H

_a

:   

¹ alternatif

hipotezine karşı test edilmesi problemi için düzgün en güçlü test aşağıdaki teorem yardımı ile bulunabilir.

Teorem 9.5.1 (Neyman-Pearson Lemması)

X X

¹

,

²

, ,  X

_n olasılık veya olasılık yoğunluk fonksiyonu i0,1 için

f x ( ; ) 

_i olan kitleden bir örneklem olsun.

H

⁰

:   

⁰ _yokluk hipotezinin

H

_a

:   

¹ alternatif hipotezine karşı testi problemi için önerilen

1 0 1 0 1 0

( ; ) 1 , ( ; ) ( ; )

( ) ,

( ; ) ( ; ) 0 , ( ; )

f x c

f x

x f x c

f x

f x c

f x





  







 

 

 

  

 

 







 







(

n

örneklem hacmi yeterince büyük olduğunda test

1 0 1 0

( ; ) 1 , ( ; )

( ) ( ; )

0 , ( ; )

f x c

x f x

f x c

f x



 





 

 

    





 



şeklinde ifade edilir).



bir test için



_ve

c

sabitleri ( 0 



1,c ) 0

E

_⁰

( ( ))  X  



olacak şekilde belirlendiğinde, bu test bütün

 

düzeyli testler arasında en güçlüdür 

Teoremin ispatı bir çok istatistik teorisi kitabında bulunabilir (Öztürk, Akdi, Aydoğdu ve Karabulut (2006), sayfa 190 veya biraz değişik bir ifade ile Casella ve Berger (2002), sayfa 388).

Bu kısımda, bu teoremin uygulamaları üzerinde durulacaktır. Ayrıca,



nın yeterli bir T tahmin edicisi için Neyman-Pearson Lemması’nın uygulaması daha kolaydır.

1

,

2

, ,

_n

X X  X

parametresi



olan kitleden bir örneklem, T de



için yeterli ve T nin

olasılık veya olasılık yoğunluk fonksiyonu i0,1 için

g t ( ; ) 

_i olsun. Bu durumda, Neyman- Pearson lemması T nin değerine göre yazılabilir. Neyman-Pearson lemmasındaki



_test fonksiyonu için

 

_

( )

¹

    

_

( )

⁰

olup bu test yansızdır.

Örnek 9.5.1

N ( ,  

²

)

dağılımından bir örneklem

X X

¹

,

²

, ,  X

_{n olsun.}



⁰

 

¹

olmak üzere,

H

⁰

:   

⁰ hipotezini

H

_a

:   

¹

alternatif hipotezine karşı test etmek isteyelim.

Burada, parametre uzayı

{ ,  

^{0 1}

}

gibi iki elemandan oluşan bir kümedir. X örneklemⁿ ortalaması



için yeterli olup dağılımı

X

_n

~ ( , N  

²

/ ) n

_dir. X nin olasılık yoğunluk_n fonksiyonu da,

 ^; 

₂

^exp

₂

^{( ) ,}

²

2 2

n n

g x  x  x

 

 

     

  

şeklindedir. Herhangi bir pozitif

k

sayısı (

k  0

_{) için}

g x ( ; 

¹

)  k g x ( ; 

⁰

)

ise,

1 0

( ; ) / ( ; ) g x  g x   k

dir. Buradan,

g x ( ; ) 

¹

 kg x ( ; 

⁰

)

_ise

x

_n

 c

_olduğu

1 2

1 2 2 2

1 0

2 2

0 2

2 2 2

0 1 1 0

2 2 2

2 2 2

1 0

1 0

0 1 0 1

exp ( )

( ; ) 2 exp ( ) ( )

( ; ) exp () 2

2

2 ln( )

2 ( )

2 ln( ) / ( )

( 2 ln( ) / ) ( )

2( ) 2( )

n x

g x n

k k x x k

n g x

x k

n k n k n

x c

    

 



    

  

  

   

  

   

   

           

 

    

   

    

   

 

önermelerinin denkliğinden açıktır. Yani,

g x ( ; 

¹

)  k g x ( ; 

⁰

)

ise herhangi bir

c

sayısı için

x c 

dir. Burada, önceden belirlenen bir



sayısı (birinci tür hata olasılığı, testin anlam düzeyi) için,

0 0

0 0

0

( ) ( )

( )

(

_n

) n X

ⁿ

n c n c

P

_

X c P

_

  P Z 

   

      

   

     

   

   

eşitliği yazılır. Buna göre,

  0.5

_için ^{n c(} 



^{0) /}



 ^z

dır.

P Z (   z

_

)  

_olup, normal dağılım tablosundan

c  

⁰

  z

_

/ n

olarak bulunur. Dolayısı ile, bu problem için red bölgesi

 { : x x

_n

 

⁰

  z

_

/ n }

R 

olan bir test UMP

 

düzeyli testtir



Aynı problemde, önceden belirlenen bir



⁰ sayısı için hipotezler

H

⁰

:   

⁰ _ve

:

0

H

a

  

olarak alınmış olsaydı, test kuralı aynı olacaktı. Ancak, elde edilen testin UMP

 

düzeyli olduğunu söyleyemezdik. Neyman-Pearson lemması basit hipotezlerin basit hipotezlere karşı testi probleminde UMP

 

düzeyli testlerin bulunmasında kullanılır. Burada, karmaşık hipotezlerin karmaşık hipotezlere karşı testi söz konusudur. Karmaşık hipotezler için bazı özel durumlarda UMP

 

düzeyli testler bulunabilir.

Tanım 9.5.3 (Monoton Olabilirlik Oranı) T rasgele değişkeninin olasılık veya olasılık yoğunluk fonksiyonlarının ailesi C{ ( ; ):g t

 

} olsun. Eğer



²

 

¹

için

g t ( ; 

²

) / ( ; ) g t 

¹

oranı

t

nin azalmayan bir fonksiyonu ise

C

sınıfına monoton olabilirlik oranı (MLR) özelliğine sahiptir denir



Bu oran,

{ : ( ; ) 0 ve ( ; t g t 

¹

 g t 

²

) 0} 

kümesi üzerinde tanımlı olup,

c  0

_için

c / 0

_,



olarak alınır. Bilinen bir çok olasılık dağılımlarının ailesi MLR özelliğine sahiptir. Aslında, üstel aile özelliğine sahip olasılık veya olasılık yoğunluk fonksiyonlarının ailesi MLR özelliğine de sahiptir.

{ ( ; ): ( ; )g t



g t



h t c( ) ( ) exp( ( ) ) ,



w



t



}

  

C

şeklinde üstel aile özelliğine sahip olasılık fonksiyonlarının ailesinde ( )w



_,



nın azalmayan bir fonksiyonu ise MLR özelliğine sahiptir. ( )w



_,



nın azalmayan bir fonksiyonu ise



²

 

¹

için

2 1

( ) ( ) 0 w   w  

dır. Ayrıca,

 

2 2 2 2

2 1

1 1 1 1

( ; ) ( ) ( ) exp( ( ) ) ( )

exp{[ ( ) ( )] }

( ; ) ( ) ( ) exp ( ) ( )

g t h t c w t c

w w t

g t h t c w t c

   

 



^

 

^



^

olup,

c ( ) / ( ) 0 

²

c  

¹

ve

w ( ) 

²

 w ( ) 0 

¹



olduğundan

g t ( ; 

²

) / ( ; ) g t 

¹

oranı her zaman

t

nin azalmayan bir fonksiyonudur. Yani, ( )w



_,



nın azalmayan bir fonksiyonu ise üstel aile özelliğine sahip olasılık fonksiyonlarının ailesi MLR özelliğine de sahiptir.

Örnek 9.5.2 a) Poission dağılımlar ailesini göz önüne alalım. Poisson dağılımının olasılık fonksiyonu x0,1, 2,3,... için ^{P X}_



^x



^e

^

^{x / !x} _olup



2

 

1

için

2

2 2 1

1 1

( )

2 2

1 1

( ) / !

( ) / !

x x

x

P X x e x

P X x e x e

   

 

 

 

  



  

     

  

şeklinde yazılır. Buradan,

(   

²

/

¹

) 1

için bu oran

x

in azalmayan bir fonksiyonudur. Yani, Poisson dağılımlar ailesi MLR özelliğine sahiptir.

b) X ~N( ,1)



_ise



2

 

1

için

 

   

 

1/2 2 2

2 2

2

1/2 2 2

1 1 1

2 2

1 2 2 1 1 2 2 1

(2 ) exp ( ) / 2 exp ( ) / 2 ( ; )

( ; ) (2 ) exp ( ) / 2 exp ( ) / 2

exp[( ) / 2] exp( ( )) ( , ) exp( ( ))

x x

f x

f x x x

x c x

  



   

       





   

 

   

    

olup



²

 

¹

 0

olduğundan olasılık yoğunluk fonksiyonlarının oranı,

x

in azalmayan bir fonksiyonudur. Dolayısı ile, X ~ ( ,1)N



dağılımlar ailesi de MLR özelliğine sahiptir.

c) Binom dağılımlar ailesi de MLR özelliğine sahiptir. Çünkü

p

²

 p

¹ için olasılık fonksiyonlarının oranı

 

2 1

22 2 2

2 2

2 2

2 12 1 1 1

1 1

2 1 2

1 2

1 2 1

(1 )

( ) (1 ) 1

( ) (1 ) (1 ) 1

(1 ) 1

(1 ) 1 ,

n x n x x n x

p

n x n x p

x n

x

n p p

P X x x p p p p

P X x n p p p p p p

x

p p p

c p p a

p p p

  

 

  

             

          

 

     

        

olarak yazılabilir. Burada,

p

²

 p

¹ olduğundan

a  ( p

²

(1  p

¹

)) / ( (1 p

¹

 p

²

)) 1 

dir. Dolayısı ile olasılık fonksiyonlarının P_p²(X x P) / _p¹(X x)

oranı

x

in azalmayan bir fonksiyonudur



Basit hipotezlerin basit hipotezlere karşı testi için UMP

 

düzeyli testler Neyman-Pearson lemması ile bulunabilir. Olasılık fonksiyonlarının ailesi MLR özelliğine sahip ise karmaşık hipotezler için de UMP

 

düzeyli testler aşağıdaki teorem yardımı ile bulunur. Bu teoremin ispatı da bir çok istatistik teorisi kitabında bulunabilir (Öztürk, Akdi, Aydoğdu ve Karabulut (2006), sayfa 209 veya biraz değişik bir ifade ile Casella ve Berger (2002), sayfa 391). Teoremin ifadesi aşağıda verilmiştir.

Teorem 9.5.2

X X

¹

,

²

, ,  X

_n olasılık veya olasılık yoğunluk fonksiyonu ( ; )f x



_olan kitleden bir örneklem ve T de



için yeterli olsun. T nin olasılık veya olasılık yoğunluk fonksiyonlarının ailesi, C{ ( ; ):g t

 

} MLR özelliğine sahip ise,

H

⁰

:   

⁰

yokluk hipotezinin

H

_a

:   

⁰ alternatif hipotezine karşı testi problemi için

  ^{1 , , ( ) ( )}

0 , ( ) T x c

x T x c

T x c

 

 

   

 





 



gibi bir test fonksiyonundaki



_{( 0}  ve ,( 0)



1) c c sabitleri

0

( ( ))

0

( ( ) )

0

( ( ) ) E

_

 X  P T X

_

  c  P T X

_

  c 

  

olacak şekilde belirlendiğinde



testi UMP

 

düzeyli testtir 

Örnek 9.5.3 a) N( ,

 

²) dağılımından bir örneklem

X X

¹

,

²

, ,  X

_n olsun. Önceden belirlenen bir



⁰

sayısı için

H

⁰

:   

⁰

hipotezini

H

_a

:   

⁰

alternatif hipotezine karşı test etmek isteyelim. X örneklem ortalaması ⁿ



için yeterli olup dağılımı normaldir. Yani,

~ ( ,

2

/ )

X

n

N   n

olup normal dağılımlar ailesi üstel ve tamdır. Ayrıca, normal dağılımlar ailesi MLR özelliğine sahiptir (Örnek (9.5.2b)). Buradan Teorem (9.5.2) ye göre,

  ^{1 ,}

0 , . . x

n

c

x d y

  

  



şeklindeki bir test

 

düzeyli düzgün en güçlü testtir. Burada,

P Z (  z

_

)  

olmak üzere,

0

(

_n

)

0

[ (

_n 0

) / (

0

) / ] ( (

0

) / )

P

_

X c P

_

n X n c P Z n c

               

eşitliğinden

c

sabitinin değeri

  P Z (  n c (  

⁰

) / ) 

olacak şekilde normal dağılım tablosundan belirlenir. Yani, z_  n c( 



⁰) /



olup c



⁰



z_ / n

dir. Buradan bu hipotez testi problemi için,

1 ,

0

/

( ) 0 , . .

x

n

z n

x d y

 



    

  



veya buna denk olan

1 , (

0

) / ( ) 0 , . .

n x

n

z

x d y

 



      

 

şeklindeki bir test

 

düzeyli düzgün en güçlü testtir.

b)

X X

¹

,

²

, ,  X

_n parametresi p olan Bernoulli dağılımından bir örneklem olsun. Önceden belirlenen bir

p

⁰

sayısı için

(0  p

⁰

 1) H

₀

: p  p

₀

hipotezinin

H

_a

: p  p

⁰

alternatif

hipotezine karşı testi problemini ele alalım. ¹

n i i

T X







istatistiği p için yeterli olup dağılımı

~ ( , )

T Binom n p dir. Ayrıca, Binom dağılımlar ailesinin MLR özelliğine sahiptir (Örnek (9.5.2)).

Buna göre, önceden belirlenen bir



sayısı (testin anlam düzeyi veya birinci tür hata olasılığı) için,

1 , ( )

( ) , ( )

0 , ( ) T x c

x T x c

T x c

 

 

   

 





 



şeklindeki bir test

 

düzeyli düzgün en güçlü testtir. Buradaki,



_ve

c

sabitleri,

0 0 0

1 1

( ( ))

^{n n}

p p i p i

i i

E X P X c P X c

  

 

   

        

     



eşitliği ile belirlenir.

c)

X X

¹

,

²

, ,  X

_n beklenen değeri



olan üstel dağılımdan bir örneklem olsun. Önceden belirlenen bir



⁰

sayısı için

H

⁰

:   

⁰

hipotezinin

H

_a

:   

⁰

alternatif hipotezine karşı testi

problemini ele alalım. ¹

n i i

T X



 

istatistiği



için yeterli ve tam olup dağılımı Gamma n( , )



_dır.

Bu dağılımlar ailesi de üstel olup MLR özelliğine sahiptir. Dolayısı ile, bu hipotez testi problemi için

 

düzeyli düzgün en güçlü test,

1 , ( ) ( ) 0 , ( )

T x c

x T x c

  

    

 

şeklindedir. Yani,

H

⁰

:   

⁰

hipotezinin

H

_a

:   

⁰

alternatif hipotezinin testi problemi için

 

düzeyli düzgün en güçlü test,

1 , ( )

( ) 0 , ( ) T x c

x T x c

  

    

 

dir. Burada,

c

sabitinin değeri önceden belirlenen bir



sayısı (birinci tür hata olasılığı veya testin anlam düzeyi) ile belirlenir



Bir çok hipotez testi problemi için düzgün en güçlü test yoktur.

Örnek 9.5.4

N ( ,  

²

)

dağılımından bir örneklem

X X

¹

,

²

, ,  X

_n olsun. Önceden belirlenen bir



⁰

sayısı için

H

⁰

:   

⁰

hipotezinin

H

_a

:   

⁰

alternatif hipotezine karşı testi problemini ele alalım.

Bu problem için düzgün en güçlü test bulunamaz. Bir an için düzgün en güçlü testin bulunduğunu varsayalım.



¹

 

⁰

olacak şekilde



¹

belirlendiğinde, önceden belirlenen bir



sayısı (birinci tür hata olasılığı vaya testin anlam düzeyi) için,

1 0

1 , /

( ) 0 , . .

x

n

z n

x d y

 



      

 

testi



¹

noktasında en yüksek güce sahiptir. Yani, düzgün en güçlü test varsa bu



¹

olacaktır.

Ayrıca,

2 0

1 , /

( ) 0 , . .

x

n

z n

x d y

 



      

 

testi verilmiş olsun. Bu test de

 

düzeylidir. Şimdi,



²

 

¹

olacak şekilde bir



²

noktası belirleyelim.

 

¹

( )

ve

 

²

( )

bu testlerin sırası ile güç fonksiyonlarını göstersin. Buradan, bu iki testin güç fonksiyonları arasında

2 2 2 0

0 2 0 2

( ) ( / )

( ( )) , 0 olduğundan

P Xn z n

P Z z n

 



   

   

  

     

2 2

0 2

2 0

1 2

( ) ( ) , 0 olduğundan

( ( ) / ) ( / )

( )

n n

P Z z P Z z

P n X z P X z n

 

   

 

   

 

      

       



şeklinde bir karşılaştırma yapılabilir. Bu ise bir çelişkidir. Çünkü, böyle bir hipotez testi problemi için düzgün en güçlü test varsa bunun



¹

olması gerektiğini söyledik. Oysa, aynı noktada gücü



¹ in gücünden daha fazla olan bir



²

testi bulundu (

 

²

(

²

)   

¹

(

²

)

). O halde böyle bir problem için düzgün en güçlü test bulunamaz



Testin gücü ve kritik değeri birinci tür hata olasılığına bağlıdır.

Örnek 9.5.5

X X

¹

,

²

, ,  X

³⁰ başarı olasılığı p olan Bernoulli dağılımından bir örneklem

olsun.

H

⁰

: p  1/ 2

hipotezini

H

_a

: p  1/ 4

alternatif hipotezine karşı test edelim. ¹

n i i

T X







, p için yeterli olup dağılımı Binom n p dir. ( , )

n

örneklem hacmi yeterince büyükse,

 

_düzeyli düzgün en güçlü test, Neyman-Pearson lemmasına göre,

  ^{1 ,} ( ;1/ 4) / ( ;1/ 2) 0 , . .

f t f t c

x d y

  

  



dir. Burada, ( ;1/ 4) / ( ;1/ 2)f t f t oranı

t

nin azalan bir fonksiyonu olup

t

nin küçük değerleri için

H

⁰

: p  1/ 2

hipotezi red edilir. Yani,

 

düzeyli düzgün en güçlü test

1 , ( ) ( ) 0 , . .

T x c

x d y

  

   



şeklindedir.

  0.05

_ve

  0.022

anlam düzeyleri verilmiş olsun.

  0.05

_için,

10 10 30 10

1/2 30

0 0 0

30 1 1 1 30

( 10) ( )

2 2 2

26504551

0.049368573 0.05 536870912

k k

p k k k

P T P T k

k k



_ ^

  

       

                     

  

  

olduğundan,

  0.05

anlam düzeyli düzgün en güçlü test

1 1

1 , 10

( )

0 , . .

n i i

x x

d y



_

 

  

 





şeklinde olur. Ayrıca,

  0.022

_için,

9 9 30 9

1/2 30

0 0 0

30 1 1 1 30

( 9) ( )

2 2 2

22964087

= 0.021386972 0.022 1073741824

k k

p k k k

P T P T k

k k



_ ^

  

       

             

   

   

 

  

olduğundan

  0.022

anlam düzeyli düzgün en güçlü test de

2 1

1 , 9

( )

0 , . .

n i i

x x

d y



_

 

  

 





dir. Buna göre,

1 1

1 , 10

( )

0 , . .

n i i

x x

d y



_

 

  

 





,

2 1

1 , 9

( )

0 , . .

n i i

x x

d y



_

 

  

 





şeklinde verilen testlerin güç fonksiyonları sırası ile

10 10

1 0 30

0 0

( )

_p

( Red)

_p

( 10)

_p

( ) 30

^k

(1 )

^k

k k

p P H P T P T k p p

 k

^

 

          

   

9 9

2 0 30

0 0

( )

_p

( Red)

_p

( 9)

_p

( ) 30

^k

(1 )

^k

k k

p P H P T P T k p p

 k

^

 

          

   

şeklindedir. Açıkça görüldüğü gibi



¹

( ) p  

²

( ) p

dir



9.6. Güven Aralıkları

1

,

2

, ,

_n

X X  X

parametresi



olan kitleden bir örneklem ise,



yı tahmin etmek için örneklemin bir fonksiyonu olan T rasgele değişkeni kullanıldı. T nin değerine de



_{nın bir} tahmini demiştik.



parametre kümesini göstermek üzere T nin değeri parametre kümesinde bir noktadır ( ( )T x 

 ).

Güven aralıkları ile hipotez testleri arasında yakın bir ilişki vardır.

X X

¹

,

²

, ,  X

_{n beklenen} değeri



, varyansı



² olan normal dağılımdan bir örneklem olsun.

H

⁰

:   

⁰

hipotezinin

:

0

H

a

  

alternatifine karşı



anlam düzeyinde testi için test kuralının “

(

0

) /

h n

z  n x   

olmak üzere,

| z

_h

|  z

_^/2 _ise

H

₀ hipotezi red edilir” şeklinde olduğunu biliyoruz.

Şekil 9.6.1 Güven aralığı ile çift yölü hipotez testi arasındaki ilişki

Yani,

 z

_^/2

 z

^h

 z

_^/2 _ise

H

₀ red edilemez. Burada,

z

^h nin değeri yerine konulduğunda

/2 /2

( / ) ( / )

n n

x   n z

_

   x   n z

_

şeklinde bir eşitsizlik elde edilir. Şekil (9.6.1) de görüldüğü gibi

z

^h değeri taralı alan içinde (

/2

/

h h

z  x   z

_

n

_veya

z

_h

 x

_h

  z

_/2

/ n

) kalıyorsa

H

⁰

:   

⁰

red edilir. Buna göre, aralığın



parametresini içermesi olasılığı

1  

dır. Böylece,



_için

1  

lık güven aralığı,

/2 /2

( x

_h

  z

_

/ n , x

_h

  z

_

/ n )

şeklinde yazılabilir.

Tanım 9.6.1

X X

¹

,

²

, ,  X

_n olasılık veya olasılık yoğunluk fonksiyonu ( ; )f x



_olan kitleden bir örneklem olsun. ( )L X U X( )

  eşitsizliğini sağlayan [ ( ),L X U X( )]

  rasgele aralığına



için bir aralık tahmin edicisi denir



Tanımdaki kapalı aralık yerine (, ( )]U X

 gibi tek taraflı aralık tahmin ediciler (Öztürk ve diğerleri, 2006, sayda 252) de kullanılabilir.

Tanım 9.6.2



parametresinin [ ( ),L X U X( )]

  gibi bir aralık tahmin edicisi için

( [ ( ), ( )])

P

_

  L X U X

 

olasılığına tahmin edicinin örtme olasılığı,

inf P

_

( [ ( ), ( )]) L X U X









 

sayısına da bu tahmin edicinin güven katsayısı denir



Bir aralık tahmin edicisi, güven katsayısı ile birlikte güven aralığı olarak isimlendirilir.

Alışılagelmiş olarak güven katsayısı değeri

1  

gibi bir olasılıkla ifade edilir.

1  

_güven

katsayılı bir güven aralığı için,

inf P

_

( [ ( ), ( )]) 1 L X U X



 



  

 

dır.



_nın

1  

_güven katsayılı bir güven aralığı [ ( ),L X U X( )]

  olmak üzere,

( ( , ( ))) ( ( ( ), )) / 2 P

_

   L X  P

_

  U X   

 

ise bu güven aralığına dengeli-kuyruklu (equally tailed) güven aralığı denir.

Örnek 9.6.1

X X

¹

,

²

, ,  X

_n beklenen değeri



, varyansı



² olan normal dağılımdan bir örneklem olsun. X , ⁿ



için arzu edilen birçok istatistiki özelliği sağlar.



_için

a  

^ olmak üzere [X_na X, _na] gibi bir güven aralığını ele alalım. Bu durumda örtme olasılığı,

( [ , ]) ( ) ( )

( )

n n n n n

n

P X a X a P X a X a P a X a

P a n X a P a Z a

n n n n

  



  



   



            

    

                 

şeklindedir. Bu örtme olasılığı parametreye bağlı değildir. Dolayısı ile,

inf P ( [ X

_n

a X ,

_n

a ]) P a Z a

n n

 

 





 

        

 



dir. Bazı durumlarda, örtme olasılığı parametreye bağlı olabilir (Öztürk ve diğerleri, 2006, sayfa 253)



Örnek 9.6.2 Hipotez testleri ile güven aralıkları arasında, her test fonksiyonuna bir güven aralığı, her güven aralığına da bir test fonksiyonu karşılık gelecek şekilde bir bağ kurulabilir.

( , 2)

N

 

dağılımından bir örneklem

X X

¹

,

²

, ,  X

_n olsun. Önceden belirlenen bir



⁰ için

0

:

0

H   

hipotezinin

H

_a

:   

⁰

alternatif hipotezine karşı testi problemi için,

( 0) /

h n

z  n x 

 

olmak üzere,



anlam düzeyli testin

  ^{1 , | |}

^/2

0 , . . z

h

z

x d y

  



  



şeklinde verildiğini biliyoruz. Bu testin red bölgesi,

 { :| x z

_h

|  z

_^/2

}

R 

_olup

H

0

:   

0

hipotezinin kabul bölgesi

/2 0 /2 /2 0 /2

{ : | x z

_h

| z } { :| x n x (

_n

) / | z } x x :

_n

z x

_n

z

n n



 



 



 





          

 

  

dir. Ayrıca,

0

:

_n /2 0 _n /2

1

P x X z X z

n n



     



    



      

 

  

olup bu ifade her

  

⁰ için geçerli olduğundan,

0

:

_n /2 _n /2

1

P x X z X z

n n



     



    



      

 

  

veya

0

:

/2 _n /2

1

P x z X z

n n



      



    



      

 

  

dir. Yani,



_için

1  

güven katsayılı güven aralığı

/2

,

/2

n n

X z X z

n

^

n

^

 

   

 

 

şekildedir. Buradan, X örneklem ortalamasının ⁿ

x

ⁿ gözlem değeri için güven aralığı,

/ 2

,

/ 2

n n

x z x z

n

^

n

^

 

   

 

 

olarak yazılır



Güven aralıkları ile ilgili, varyansın bilinip veya bilinmediği durumlara göre normal dağılımın beklenen değeri ve varyansı için güven aralıklarının nasıl yazılacağı aşağıda özetlenmiştir. Bu güven aralıkları birçok temel istatistik kitabında bulunabilir.

a)



² biliniyor ise,



_için

1  

güven katsayılı güven aralığı,

/2 /2

[ x

_n

  z

_

/ n , x

_n

  z

_

/ n ]

dır.

b)



² bilinmiyorsa,



_için

1  

güven katsayılı güven aralığı da

1 1

[ x

_n

 s t

_{n n}

( / 2) /  n , x

_n

 s t

_{n n}

( / 2) /  n ]

şeklinde yazılır.

c)



² _için

1  

güven katsayılı güven aralığı ise

2 2

2 2

1,1 /2 1, /2

( 1) ( 1)

n

,

n

n n

n s n s

 



_{ }



_

   

 

 

 

olarak verilir.

d) Benzer şekilde, normal dağılımlı iki kitlenin beklenen değerleri arasındaki fark (



^x

 

^y ) için

1  

güven katsayılı güven aralığı (varyansların biliniyor olması halinde),

2 2 2 2

/2 /2

( x

_n

y

_m

) z

_

( 

_x

/ ) ( n 

_y

/ ), ( m x

_n

y

_m

) z

_

( 

_x

/ ) ( n 

_y

/ ) , m

       

 

 

varyanslar bilinmiyor (

2 2 2

x y

    

) ise,

2 2

[(x_n y_m)s_p (1/ ) (1/ )n  m t_{n m } ( / 2), ( x_n y_m)s_p (1/ ) (1/ )n  m t_{n m } ( / 2)] şeklindedir. Burada,

2

(( 1)

2

( 1)

2

) / ( 2)

p X Y

S  n  S  m  S n m  

dir.

Örnek 9.6.3. Bir istatistik dersinin A grubundaki öğrencilerin notları

(

_a

,

_a2

) N  

, B

grubundaki öğrencilerin notları da

(

_b

,

_b2

) N  

dağılımlarına uygun olsun. Bu gruplardan rasgele seçilen

25

öğrencinin notları aşağıda verilmiştir.

A Grubu Notları B Grubu Notları

60 61 70 58 56 65 69 74 71 68 65 70 84 79 74 97

72 85 81 56 72 73 73 71 68 72 76 70 81 71 73 78

87 56 74 72 67 67 71 49 76 78 71 72 57 86 81 66

64 81

Bu verilereden

x

_n

 68.12

_,

s

²_x

 85.1933

_,

y

_n

 74.6

_ve

s

²_y

 64.5833

özet bilgileri elde edilmiştir.

a) Varyanslar biliniyor (



_a²

 

_b²

 81

_{) ise}



_{a ve}



_b parametreleri için %95 lik (yani,

  0.05

için %95 güven katsayılı) güven aralıklarını oluşturalım.

  0.05

_için,

(

/2

) / 2 0.025

P Z  z

_

  

için normal dağılım tablosundan

z

_^/2

 1.96

dir. Buna göre,

i)



^a için %95 lik güven aralığı:

[ x

_n

  z

_^/2

/ n x ,

_n

  z

_^/2

/ n ]

olup değerler yerine konulduğunda aralık,

/2 /2

[ x

_n

  z

_

/ n x ,

_n

  z

_

/ n ] [68.12 9(1.96) / 5 , 68.12 9(1.96) / 5] [64.592,71.648]    

olur.

ii)



^b

için %95 lik güven aralığı:

[ y

_n

  z

_^/2

/ n y ,

_n

  z

_^/2

/ n ]

olup değerler yerine konulduğunda bu aralık da,

/2 /2

[ y

_n

  z

_

/ n y ,

_n

  z

_

/ n ] [74.6 9(1.96) / 5, 74.6 9(1.96) / 5] [71.072,78.128]    

olarak belirlenir.

b) Varyansların bilinmediği durumda



^a

ve



^b

parametreleri için %95 lik (

  0.05

_için

0.95

güven katsayılı) güven aralığı yazalım.

  0.05

_için,

P t t ( 

_n1

( / 2)) 0.025  

ise

t 

dağılım tablosundan

t

²⁴

(0.025) 2.064 

_bulunur.

i)



^a

için %95 lik güven aralığı:

[ x

_n

 s t

_{x n}¹

( / 2) /  n , x

_n

 s t

_{x n}¹

( / 2) /  n ]

_olup değerler yerine konulduğunda



^a

için %95 lik güven aralığı,

1 1

[ ( / 2) / , ( / 2) / ]

[68.12 (9.23)(2.064) / 5 , 68.12 (9.23)(2.064) / 5] [64.031 , 71.93]

n x n n x n

x  s t

_

 n x  s t

_

 n

   

olur.

ii)



^b için %95 lik güven aralığı: [y_ns t_{y n}¹( / 2) /



n , y_ns t_{y n}¹( / 2) /



n] olup değerler yerine konulduğunda



^b için %95 lik güven aralığı da,

1 1

[ ( / 2) / , ( / 2) / ]

[74.6 (8.036)(2.064) / 5 , 74.6 (8.036)(2.064) / 5] [71.28 , 77.92]

n y n n y n

y s t _



n y s t _



n

   

olarak hesaplanmıştır.

c)



^a2 için %95 lik güven aralığı yazalım.

  0.05

için ki-kare dağılım tablosundan,

2 2

1,1 /2 24,0.975

39.364

n 



_{ }

  

ve

2 2

1, /2 24,0.025

12.401

n 



_

  

olarak bulunmuştur. Buna göre,

2a



için %95 lik güven aralığı,

     

2 2

2 2

1,1 /2 1, /2

(24) 85.1933 (24) 85.1933

( 1) ( 1)

, , 51.93,164.88

39.364 12.401

n n

n n

n s n s

 



_{ }



_

     

     

   

 

olarak hesaplanmıştır.

Şekil 9.6.2 Örnek (9.6.3c) de varyans için güven aralığına ait ki-kare değeri

d) Şimdi de, varyansların eşit olduğu varsayımı altında,



^b

 

^a farkı için %95 lik güven aralığı oluşturalım. Önce,

2 2

, , 0.05

24,24

2 2

, ,

max{ , } max{85.1933, 64.5833} 85.1933

1.32 1.98 min{85.1933, 64.5833} 64.5833

min{ , }

n X m Y n X m Y

S S

F F

S S

     

olup

2 2

0

:

_{a b}

H   

hipotezi

  0.05

anlam düzeyinde red edilemez. Diğer taraftan,

2_p

(( 1)

2_x

( 1) ) / (

2_y

2) (

_x2 2_y

) / 2 (85.1933 64.5833) / 2 74.8883

s  n  s  m  s n m    s  s   

olup,

2 2

[y_nx_ns_p (1/ ) (1/ )n  n t_{n n } ( / 2) ,



y_nx_ns_p (1/ ) (1/ )n  n t_{n n } ( / 2)]



formülünde

t

⁴⁸

(0.025) 2.009 

ile beraber diğer değerler yerine yazıldığında,



^b

 

^a farkı için

%95 lik güven aralığı,

( ) 2 / 25 48( / 2) (74.6 68.12) 2 / 25 ( 74.8883) (2.009) 6.48 4.92 (1.56 , 11.4)

n n p

y x  s t



  

  

olarak hesaplanmıştır

