• Sonuç bulunamadı

Perov tip sabit nokta teoremleri ve yarı lineer operatör sistemlerine uygulamaları

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Perov tip sabit nokta teoremleri ve yarı lineer operatör sistemlerine uygulamaları"

Copied!
57
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

T.C.

KIRIKKALE ÜN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ

MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI YÜKSEK L˙ISANS TEZ˙I

PEROV T˙IP SAB˙IT NOKTA TEOREMLER˙I VE YARI L˙INEER OPERATÖR S˙ISTEMLER˙INE UYGULAMALARI

Emine ˙ILHAN

ARALIK - 2019

(2)

Matematik Anabilim Dalında Emine ˙ILHAN tarafından hazırlanan PEROV T˙IP SA- B˙IT NOKTA TEOREMLER˙I VE YARI L˙INEER OPERATÖR S˙ISTEMLER˙INE UY- GULAMALARI Adlı Yüksek Lisans Tezinin Anabilim Dalı standartlarına uygun ol- du˘gunu onaylarım.

Prof. Dr. Ali OLGUN Anabilim Dalı Ba¸skanı

Bu tezi okudu˘gumu ve tezin Yüksek Lisans Tezi olarak bütün gereklilikleri yerine ge- tirdi˘gini onaylarım.

Prof. Dr. ˙Ishak ALTUN Danı¸sman Jüri Üyeleri

Ba¸skan : Prof. Dr. Hakan ¸S˙IM ¸SEK Üye(Danı¸sman) : Prof. Dr. ˙Ishak ALTUN

Üye : Doç. Dr. Murat OLGUN

.../.../...

Bu tez ile Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Li- sans derecesini onaylamı¸stır.

Prof. Dr. Recep ÇALIN Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

(3)

ÖZET

PEROV T˙IP SAB˙IT NOKTA TEOREMLER˙I VE YARI L˙INEER OPERATÖR S˙ISTEMLER˙INE UYGULAMALARI

˙ILHAN, Emine Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi Danı¸sman: Prof. Dr. ˙Ishak ALTUN

Aralık 2019, 51 sayfa

Bu yüksek lisans tez çalı¸sması dört bölümden olu¸smaktadır. Birinci bölümde sabit nokta teorinin tarihsel geli¸simi ve bazı uygulamalarından bahsedilmi¸stir. ˙Ikinci bö- lümde tezde kullanılacak olan bazı temel metrik uzay ve vektör-de˘gerli metrik uzayın tanım, teorem ve sonuçları verilmi¸stir. Üçüncü bölümde Perov sabit nokta teoremi- nin büzülme e¸sitsizli˘gi ile Λ-geçi¸slilik kavramı kullanılarak elde edilen bir genelle¸stir- menin ifade ve ispatı ele alınmı¸stır. Ardından ilk olarak Wardowski tarafından ortaya atılan ve kullanılan F-büzülme dönü¸sümü kavramı vektör-de˘gerli metrik uzayda dik- kate alınıp, Perov sabit nokta teoreminin F-büzülme dönü¸sümü kavramı ile birlikte bir genelle¸stirmesi elde edilmi¸stir. Ayrıca Perov tip F-büzülme teoremi dikkate alınarak, bir yarı lineer operatör sisteminin çözümü için varlık teoremi sunulmu¸stur. Son bölüm tartı¸sma ve sonuç için ayrılmı¸stır.

Anahtar Kelimeler: Vektör-de˘gerli metrik uzay, Perov sabit nokta teoremi, Λ- geçi¸slilik, F-büzülme.

(4)

ABSTRACT

PEROV TYPE FIXED POINT THEOREMS AND APPLICATION TO SEMILINEAR OPERATOR SYSTEMS

˙ILHAN, Emine Kırıkkale University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics, M.Sc. Thesis

Supervisor: Prof. Dr. ˙Ishak ALTUN December 2019, 51 pages

This thesis work consists of four chapters. In the first chapter, historical development of fixed point theory and some applications are mentioned. In the second chapter, the definition, theorem and results of some basic metric space and vector-valued metric space to be used in the thesis are given. In the third chapter, the expression and proof of a generalization of Perov’s fixed point theorem by considering the contraction ine- quality with by using the concept of Λ-admissible is used. Then, the expression and proof of generalization of Perov’s the fixed point theorem is debated both with regard to contraction inequality and using the notion of admissible. Then, first put forward and used by Wardowski the concept of F-contraction mapping is considered in vector- valued metric space, a generalization of Perov’s fixed point theorem with together the concept of F-contraction mapping is obtained. Moreover, considering the Perov’s type F-contraction theorem, existence theorem for a semilinear operator system is presen- ted. The final chapter is divided the conclusion.

Key Words: Vector-value metric space, Perov’s fixed point theorem, Λ- admissible , F-contraction.

(5)

TE ¸SEKKÜR

Tez çalı¸smamın gerçekle¸stirilmesinde, de˘gerli bilgilerini benimle payla¸san, her zaman sabırla ve büyük bir ilgiyle bana yol gösteren, güler yüzünü ve samimiyetini benden esirgemeyen ve meslek hayatımda bana verdi˘gi de˘gerli bilgilerden faydalanaca˘gımı dü¸sündü˘güm danı¸sman hoca statüsünü hakkıyla yerine getiren kıymetli danı¸sman ho- cam, Sayın Prof. Dr. ˙Ishak ALTUN’a, bilgileriyle çalı¸smamın olu¸sum a¸samalarında yardımını esirgemeyen Sayın Doç. Dr. Murat OLGUN hocama te¸sekkür ederim.

Beni bu günlere sevgi, saygı ve aile kelimelerinin anlamlarını bilecek ¸sekilde yeti¸s- tirerek getiren ve benden hiçbir zaman destek ve güvenlerini esirgemeyen babama, anneme, karde¸sime ve aileme sonsuz te¸sekkür ederim.

(6)

˙IÇ˙INDEK˙ILER D˙IZ˙IN˙I

ÖZET . . . i

ABSTRACT . . . ii

TE ¸SEKKÜR . . . iii

˙IÇ˙INDEK˙ILER D˙IZ˙IN˙I . . . iv

1. G˙IR˙I ¸S . . . 1

1.1 Kaynak Özetleri . . . 3

1.2 Çalı¸smanın Amacı . . . 4

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER . . . 5

2.1 Bazı Temel Metrik Kavramlar . . . 5

2.2 Vektör De˘gerli Metrik . . . 11

3. ARA ¸STIRMA BULGULARI . . . 17

3.1 Perov Sabit Nokta Teoremi . . . 17

3.2 Λ-Geçi¸sli Dönü¸sümler . . . 21

3.3 F-Büzülme Dönü¸sümleri . . . 29

3.3.1 Hardy-Rogers Tip F-Büzülme . . . 34

3.3.2 Ciric Tip F-Büzülme . . . 35

3.4 Perov tip F-Büzülme . . . 35

3.5 Yarı Lineer Operatör Sistemleri ˙Için Varlık Sonuçları . . . 47

4. TARTI ¸SMA VE SONUÇ . . . 49

KAYNAKLAR . . . 50

(7)

1 . G˙IR˙I ¸S

Analizde bazı problemlerin çözümleri, uygun bir f fonksiyonu için f (x) = x ¸seklinde yazılabilen bir denklemin çözümünü bulmaya dönü¸sebilir. Bu tür denklemlerin çö- zümüne sabit nokta ve sabit noktaların varlı˘gını inceleyen teoremlere ise sabit nokta teoremleri denir. Sabit nokta teori matemati˘gin pek çok dalında kullanılır. Genel to- poloji, fonksiyonel analiz, matematiksel analiz, diferansiyel denklemler gibi pek çok alanda uygulamaları vardır.

Genel olarak sabit nokta teori çalı¸smaları iki yönlü ilerlemektedir. Bunlardan biri, normlu lineer uzayların kompakt ve konveks alt kümeleri üzerinde tanımlı sürekli dö- nü¸sümler için sabit nokta teorisi, di˘geri tam metrik uzay üzerinde büzülme ve büzülme tipi dönü¸sümler için sabit nokta teorisidir.

Normlu lineer uzaylarda sabit nokta teori çalı¸smaları 1900 lü yılların ba¸slarında L.E.J.

Brouwer’in çalı¸smaları ile ba¸slamı¸stır. Bilinen ilk sabit nokta teoremi, " X = [a, b] ⊂ R olmak üzere f : X → X sürekli bir dönü¸süm ise, f nin X de bir sabit noktası vardır."

¸seklindedir. 1912 yılında Brouwer bu teoremi, " Rnnin kapalı birim yuvarından kendi üzerine tanımlı sürekli her dönü¸sümün sabit noktası vardır." ¸seklinde genelle¸stirmi¸stir.

Tam metrik uzaylarda sabit nokta teori çalı¸smaları da 1922 yılında S. Banach ile ba¸s- lamı¸stır. "Büzülme Dönü¸süm Teoremi" olarak da bilinen Banach Sabit Nokta Teoremi sabit noktanın varlı˘gını ve tekli˘gini garanti eden en önemli teoremlerden biridir. Ba- nach, teoremi ¸su ¸sekilde ifade etmektedir:

(X , d) bir tam metrik uzay ve T : X → X dönü¸sümü α ∈ [0, 1) olmak üzere her x, y ∈ X

d(T x, Ty) ≤ αd(x, y)

büzülme ¸sartını sa˘glasın. Bu durumda T dönü¸sümünün X uzayında bir tek sabit nok- tası vardır. Üstelik X uzayındaki herhangi bir ba¸slangıç noktasından elde edilen Picard

(8)

iterasyonu T dönü¸sümünün sabit noktasına yakınsar.

Büzülme dönü¸sümleri, Banach sabit nokta teoreminden sonra bir çok ara¸stırmacı ta- rafından geni¸sletilmi¸s ve genelle¸stirilmi¸stir. (Perov-1964, Hardy-Rogers-1973, Ciric- 1974, Wardowski-2012).

1964 yılında Perov, Banach sabit nokta teoremini vektör-de˘gerli metrik uzaylarda ta- nımlı dönü¸sümler için genelle¸stirmi¸stir. Di˘ger taraftan Banach sabit nokta teoreminin bir ba¸ska genelle¸stirmesi 2012 yılında Wardowski tarafından ortaya atılan F-büzülme kavramı ile elde edilmi¸stir. Yine 2012 yılında Samet ve arkada¸sları ise büzülme dö- nü¸süm prensibini genelle¸stirerek α-geçi¸sli dönü¸sümleri ifade edip sabit nokta teorisi kavramına yeni bir bakı¸s açısı getirmi¸slerdir.

Bu tez çalı¸smasında, ilk olarak Perov sabit nokta teoremi ve bazı genelle¸stirmeleri incelenecektir. F-büzülme kavramı vektör-de˘gerli metrik uzayda dikkate alınıp, Pe- rov sabit nokta teoreminin F-büzülme dönü¸sümü ile birlikte bir genelle¸stirmesi elde edilecektir. Son olarak elde edilecek olan bu genelle¸stirme, bir yarı lineer operatör sis- teminin çözümünün varlık ve tekli˘ginin garanti edilmesinde uygulanacaktır.

(9)

1.1. Kaynak Özetleri

Temel metrik ve topolojik kavramlar için Soykan’ın "Metrik Uzaylar ve Topolojisi"

ve Koçak’ın "Genel Topolojiye Giri¸s ve Çözümlü Alı¸stırmalar" adlı kitaplarından ya- rarlanılmı¸stır [1,2] . Vektör-de˘gerli metrik ile ilgili tanım ve özellikler için Filip ve Petru¸sel’in "Fixed point theorems on space endowed with vector-valued metrics" ça- lı¸sması, Allaire ve Kaber’in "Numerial Linear Algebra" ve Varga’nın "Matrix Iterative Analysis" adlı kitapları kullanılmı¸stır [3,4,5] . Daha sonra Perov sabit nokta teoremi- nin ifadesi için Altun ve Olgun’nun "Fixed point results for Perov type F-contractions and application" çalı¸sması dikkate alınmı¸stır [6] . Ardından Λ-geçi¸slilik kavramı için Ali, Tchier ve Vetro’nun "On the existence of bounded solutions to a class of nonlinear initial value problems with delay" adlı kaynak göz önüne alınmı¸stır [7] . F-büzülme dönü¸sümlerinin metrik uzaydaki tanım ve teoremleri için Acar’ın "Metrik uzaylarda bazı sabit nokta teoremleri ve uygulamaları" isimli doktora tezinden yararlanılmı¸stır [8] . Wardowski’nin F-büzülme dönü¸sümlerini dikkate alarak elde etti˘gi sabit nokta teoremi için Wardowski’nin "Fixed point of a new type of contractive mapping in complete metric spaces" çalı¸smasına atıfta bulunulmu¸stur [9] . Hardy-Rogers ve Ci- ric tip F-büzülme dönü¸sümlerinin ifadesi için sırasıyla Cosention ve Vetro’nun "Fixed point results for F-contractive mapping of Hardy-Rogers-Type" ve Gülhan, Helvacı, Altun’nun "Ciric type generalized F-contractions on complete metric space and fixed point results" çalı¸smaları dikkate alınmı¸stır [10,11] . Son olarak Perov tip F−büzülme dönü¸sümü ve elde edilen sonuçların bir uygulamasını görmek için Altun ve Olgun’nun

"Fixed point results for Perov type F-contractions and application" çalı¸sması kullanıl- mı¸stır [6] .

(10)

1.2. Çalı¸smanın Amacı

Banach sabit nokta teoreminin vektör-de˘gerli metrik uzaydaki kar¸sılı˘gı olan Perov sa- bit nokta teoremi ve bazı genelle¸stirmeleri incelenmi¸stir. Wardowski tarafından ortaya atılan ve kullanılan F-büzülme dönü¸sümü kavramı vektör-de˘gerli metrik uzayda dik- kate alınarak Perov sabit nokta teoreminin F-büzülme dönü¸sümü kavramı ile birlikte bir genelle¸stirmesi elde edilecektir. Bu tez çalı¸smasıyla Perov tip F-büzülme dönü-

¸sümü ile ilgili yapılacak yeni çalı¸smalara yön vermek amaçlanmı¸stır.

(11)

2 . TEMEL TANIM VE TEOREMLER

2.1. Bazı Temel Metrik Kavramlar

Tanım 2.1.1. X bo¸s olmayan bir küme olsun. X üzerinde tanımlı bir metrik, her x, y ∈ X için

• d(x, y) ≥ 0

• d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y

• d(x, y) = d(y, x)

• Her x, y, z ∈ X için d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

özelliklerini sa˘glayan bir

d: X × X → R

fonksiyonudur. E˘ger d fonksiyonu X üzerinde bir metrik ise o zaman (X , d) çiftine bir metrik uzay denir.

Örnek 2.1.1. X = R olsun.

(x, y) → d(x, y) = |x − y|

¸seklinde tanımlı d : X × X → R metri˘gine R üzerinde tanımlı alı¸sılmı¸s metrik denir.

Örnek 2.1.2. X 6= ∅ olsun.

d(x, y) =









1 , x 6= y

0 , x = y

(12)

¸seklinde tanımlı d : X × X → R metri˘gine X üzerinde tanımlı ayrık metrik denir.

Tanım 2.1.2. (X , d) bir metrik uzay a ∈ X ve ε > 0 olsun. Bu durumda

B(a, ε) = {x ∈ X : d(x, a) < ε}

D(a, ε) = {x ∈ X : d(x, a) ≤ ε}

S(a, ε) = {x ∈ X : d(x, a) = ε}

kümelerine sırasıyla a merkezli ε yarıçaplı açık yuvar, kapalı yuvar ve yuvar yüzeyi (sınırı) denir.

Örnek 2.1.3. (X , d) bir ayrık metrik uzay olsun. a ∈ X ve ε > 0 olmak üzere

B(a, ε) = {x ∈ X : d(x, a) < ε}

=









{a} , ε ≤ 1

X , ε > 1 kümesi a merkezli ε yarıçaplı açık yuvar,

D(a, ε) = {x ∈ X : d(x, a) ≤ ε}

=









{a} , ε < 1

X , ε ≥ 1 kümesi a merkezli ε yarıçaplı kapalı yuvar ve

S(a, ε) = {x ∈ X : d(x, a) = ε}

=









∅ , ε 6= 1

X− {a} , ε = 1 kümesi a merkezli ε yarıçaplı yuvar yüzeyidir.

Tanım 2.1.3. (X , d) bir metrik uzay olsun ve A, X in bo¸stan farklı bir alt kümesi olsun.

(13)

E˘ger her x, y ∈ A için

d(x, y) ≤ k

olacak ¸sekilde bir k > 0 varsa A ya sınırlıdır denir. E˘ger A sınırlı de˘gilse, A ya sınırsız denir.

Tanım 2.1.4. (X , d) bir metrik uzay ve U ⊆ X olsun. x ∈ U için B(x, ε) ⊆ U olacak

¸sekilde bir ε > 0 varsa x noktasına U kümesinin bir iç noktası denir. E˘ger U kümesinin her noktası bir iç noktası ise U ya açık küme denir. U nun iç noktalarının kümesiUo ile gösterilir. X \U açık ise U ya kapalı küme denir.

Tanım 2.1.5. (X , d) metrik uzayında bir dizi {xn} olsun. Her ε > 0 sayısına kar¸sılık her n > N için

d(xn, x) < ε

olacak biçimde bir N ∈ N varsa {xn} dizisine x ∈ X ye yakınsıyor denir. Bu durumda {xn} dizisine, x limitli bir yakınsak dizidir denir ve

n→ ∞ için d(xn, x) → 0

veya

n→∞limxn= x

¸seklinde ifade edilir. Yakınsak olmayan diziye ıraksak dizi denir.

Tanım 2.1.6. (X , d) metrik uzayında bir dizi {xn} olsun. Her n, m ∈ N için

d(xn, xm) ≤ r

olacak ¸sekilde r > 0 varsa {xn} dizisine sınırlı dizi denir. Buna göre

{xn} sınırlıdır. ⇔ A = {xn: n ∈ N} sınırlıdır.

Teorem 2.1.1. Metrik uzayda yakınsak bir dizinin limiti tektir.

˙Ispat. (X,d) bir metrik uzay ve {xn}, X de bir dizi olsun. {xn} dizisinin x, y ∈ X gibi iki farklı noktaya yakınsadı˘gını varsayalım. ε =d(x,y)2 diyelim. ¸Simdi B(x, ε) ∩ B(y, ε) = ∅

(14)

oldu˘gunu gösterelim. z ∈ B(x, ε) ∩ B(y, ε) olsun. Bu durumda d(x, z) < ε ve d(y, z) < ε olur. Buradan

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) < ε + ε = 2ε

olur. Bu ise 2ε = d(x, y) olmasıyla çeli¸sir. O halde B(x, ε) ∩ B(y, ε) = ∅ olur. ¸Simdi {xn} dizisi x noktasına yakınsadı˘gından bir n0∈ N sayısı her n ≥ n0için xn∈ B(x, ε) olacak ¸sekilde vardır. Benzer ¸sekilde {xn} dizisi y noktasına yakınsadı˘gından bir n1∈ N sayısı her n ≥ n1için yn∈ B(y, ε) olacak ¸sekilde vardır. Bu durumda her n ≥ maks{n0, n1} için xn∈ B(x, ε) ∩ B(y, ε) olur. Bu ise B(x, ε) ∩ B(y, ε) = ∅ olmasıyla çeli¸sir. O halde {xn} dizisi tek bir noktaya yakınsar.

Tanım 2.1.7. (X , d) bir metrik uzay ve {xn} terimleri X in elemanlarından olu¸san bir dizi olsun.

a) Her ε > 0 ve her n0∈ N için

d(xn, x) < ε ve n ≥ n0

olacak ¸sekilde bir n ∈ N varsa x ∈ X noktasına {xn} disinin bir yı˘gılma noktası denir.

b) Her ε > 0 için bir n0∈ N sayısı n, m ≥ n0oldu˘gunda

d(xn, xm) < ε

olacak ¸sekilde varsa {xn} dizisine bir Cauchy dizisi denir.

Teorem 2.1.2. Metrik uzayda yakınsak her dizi bir Cauchy dizisidir.

˙Ispat. {xn} dizisi (X, d) metrik uzayında tanımlı ve x ∈ X noktasına yakınsak olsun.

Her ε > 0 için bir n0∈ N sayısı n ≥ n0oldu˘gundan d(xn, x) < ε2 olacak ¸sekilde vardır.

Böylece n, m ≥ n0için

d(xn, xm) ≤ d(xn, x) + d(x, xm)

< ε 2+ε

2

= ε

olur. Sonuç olarak {xn} bir Cauchy dizisidir.

(15)

Örnek 2.1.4. X = (0, 1), xn=1n olarak alırsak {xn} dizisi Cauchy dizisi fakat yakınsak de˘gildir.

Teorem 2.1.3. Metrik uzayda her Cauchy dizisi sınırlıdır.

Teorem 2.1.4. (X , d) metrik uzay ve {xn} bir Cauchy dizisi olsun. x ∈ X noktası {xn} nin bir yı˘gılma noktası ise {xn} dizisi x noktasına yakınsar.

Tanım 2.1.8. (X , d) bir metrik uzay olsun. X uzayındaki her Cauchy dizisi X in bir noktasına yakınsıyorsa (X , d) metrik uzayına tam metrik uzay denir.

Tanım 2.1.9. (X , d1) ve (Y, d2) metrik uzayları ile bir f : X → Y fonksiyonu verilsin.

E˘ger f fonksiyonu X uzayının her noktasında sürekli ise, f fonksiyonuna X üzerinde sürekli fonksiyon veya kısaca sürekli fonksiyon denir.

Tanım 2.1.10. (X , d1), (Y, d2) metrik uzayları ve bir f : X → Y fonksiyonu verilsin.

a) Her ε > 0 için bir δ > 0 reel sayısı

d1(x, y) < δ

özelli˘gini sa˘glayan her x, y ∈ X için

d2( f (x), f (y)) < ε

olacak ¸sekilde varsa f fonksiyonuna düzgün süreklidir denir.

b) Her x, y ∈ X için

d2( f (x), f (y)) ≤ kd1(x, y)

olacak ¸sekilde sabit bir k > 0 sayısı varsa f fonksiyonuna Lipschitz süreklidir denir.

Tanım 2.1.11. (X , d) bir metrik uzay T : X → X bir dönü¸süm olsun. Her x, y ∈ X için

d(T x, Ty) ≤ αd(x, y)

olacak ¸sekilde bir α ≥ 0 sayısı varsa T ye Lipschitz dönü¸sümü denir. Bu e¸sitsizli˘gi sa˘glayan α sayılarının en küçü˘güne T nin Lipschitz sabiti denir ve L harfi ile gösterilir.

E˘ger L < 1 ise T dönü¸sümüne büzülme dönü¸sümü denir.

(16)

Teorem 2.1.5. (X , d) bir tam metrik uzay ve T : X → X bir büzülme dönü¸sümü ise T nin X de bir tek sabit noktası vardır.

˙Ispat. x0∈ X keyfi bir nokta olsun.

x1= T x0, x2= T x1= T2x0, · · · , xn= T xn−1= Tnx0

biçiminde tanımlı {xn} dizisini göz önüne alalım. Bu durumda her n ∈ N için

d(xn, xn+1) = d(T xn−1, T xn)

≤ Ld(xn−1, xn)

≤ Lnd(x0, x1)

olur. O halde m, n ∈ N ve m > n için

d(xn, xm) ≤ d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+2) + · · · + d(xm−1, xm)

≤ Lnd(x0, x1) + Ln+1d(x0, x1) + · · · + Lm−1d(x0, x1)

= [Ln+ Ln+1+ · · · + Lm−1]d(x0, x1)

≤ Ln

1 − Ld(x0, x1)

bulunur ki bu {xn} dizisinin bir Cauchy dizisi oldu˘gunu gösterir. X tam oldu˘gundan lim xn= z olacak biçimde bir z ∈ X noktası vardır. Ayrıca T sürekli oldu˘gundan

z= lim xn+1= lim T xn= T lim xn= T z

elde edilir ki bu T nin sabit noktasının var oldu˘gunu gösterir. ¸Simdi w ∈ X noktası T nin bir ba¸ska sabit noktası ise

0 < d(z, w) = d(T z, Tw) ≤ Ld(z, w) < d(z, w)

olur ki bu L < 1 oldu˘gundan bir çeli¸skidir. Yani T nin sabit noktası tektir.

(17)

2.2. Vektör De˘gerli Metrik

R+negatif olmayan reel sayıların kümesini, Rm, m × 1 tipindeki reel matrislerin küme- sini, Rm+ negatif olmayan reel sayılardan olu¸san m × 1 tipindeki matrislerin kümesini, θ , m × 1 tipinde sıfır matrisini, Mm,m(R+) negatif olmayan reel sayılardan olu¸san tüm m× m tipindeki matrislerin kümesini, Θ, m × m tipinde sıfır matrisini, I, m × m tipinde birim matrisini göstersin. A ∈ Mm,m(R+) matrisi için , AT sembolü A matrisinin trans- pozu olsun. α = (αi)mi=1, β = (βi)mi=1 ∈ Rm olsun. Her i ∈ {1, 2, ..., m} için αi≤ βi

i< βi) ise bu durumu α  β (α ≺ β ) ile gösterelim. Bu durumda α  β ve β  α aynı anlamda kullanılacaktır.

Tanım 2.2.1. X bo¸s olmayan bir küme ve d : X × X → Rm bir fonksiyon olsun. Her x, y, z ∈ X için

• d(x, y) = θ ancak ve ancak x = y,

• d(x, y) = d(y, x),

• d(x, y)  d(x, z) + d(z, y).

¸sartlarını sa˘glayan d fonksiyonuna vektör-de˘gerli metrik denir. Bu durmda (X , d) iki- lisine de vektör-de˘gerli metrik uzay denir.

Bir vektör-de˘gerli metrik uzayda, yakınsaklık, Cauchy dizisi ve tamlık kavramları met- rik uzayındaki tanımlarına benzerdir.

Tanım 2.2.2. X , F cismi (R veya C) üzerinde bir vektör uzayı ve k · k : X → R bir fonksiyon olsun.

• Her x ∈ X için kxk ≥ 0 ve kxk = 0 ⇐⇒ x = 0 (0, X nin sıfır vektörü),

• Her x, y ∈ X için kx + yk ≤ kxk + kyk,

• Her λ ∈F için kλxk = |λ|kxk

özellikleri sa˘glanıyorsa k · k fonksiyonuna X üzerinde bir norm denir. (X , k · k) sıralı ikilisine de normlu (reel veya kompleks) uzayı denir.

(18)

Örnek 2.2.1. x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn(veya Cn) için

kxk2=

n i=1

|xi|2

!12

¸seklinde tanımlı k · k2: X → R fonksiyonu Rn(veya Cn) üzerinde bir normdur. Buna Öklid normu adı verilir.

m× m tipindeki reel (veya kompleks) matrislerin sınıfı Mm,m(F ) olsun. E˘ger F = R ise Mm,m(F ) = Mm,m(R) ve F = C ise Mm,m(F ) = Mm,m(C) olarak gösterilecek- tir. Bilindi˘gi gibi Mm,m(F ) sınıfı F üzerinde bir vektör uzayıdır. Mm,m(F ) üzerinde a¸sa˘gıdaki normları tanımlayabiliriz: A = [ai j] ∈ Mm,m(F ) olmak üzere

kAk2 =

n i=1

n j=1

ai j

2

!12

, (2.2.1)

kAkp =

n

i=1 n

j=1

ai j

p

!1p

, p ≥ 1 (2.2.2)

kAk = max{

ai j

: 1 ≤ i j ≤ n}. (2.2.3)

Tanım 2.2.3. k·k fonksiyonu Mm,m(F ) üzerindeki bir norm olsun. E˘ger her A,B ∈ Mm,m(F ) için

kABk ≤ kAk kBk

e¸sitsizli˘gi sa˘glanıyorsa k·k normuna Mm,m(F ) üzerinde bir matris normu denir.

Örnek 2.2.2. Mm,m(F ) üzerinde (2.2.1) e¸sitli˘gi ile tanımlı k·k2normu bir matris nor- mudur fakat (2.2.3) ile tanımlı k·knormu bir matris normu de˘gildir.

Tanım 2.2.4. E˘ger A = [ai j] matrisi n × n tipinde bir kompleks matris ise

kAk := sup

x6=0

kAxk kxk

ifadesine A matrisinin spektral normu veya A matrisinin vektör normuna ba˘glı olarak elde edilen normu denir.

Aksi belirtilmedikçe vektör normunu Öklid normu olarak dikkate alaca˘gız. Bir matri-

(19)

sin spektral normunun temel özellikleri, vektör normunun özelliklerinden elde edilebi- lir.

Teorem 2.2.1. A ve B, n × n tipinde iki kompleks matris olsun. O zaman a¸sa˘gıdaki özellikler sa˘glanır.

A6= Θ ise kAk > 0

• α kompleks bir skaler olmak üzere

kαAk = |α| kAk ,

kA + Bk ≤ kAk + kBk

kABk ≤ kAk kBk

Üstelik her x vektörü için

kAxk ≤ kAk kxk olur. Yine

kAyk = kAk kyk e¸sitli˘gini sa˘glayan sıfırdan farklı bir y vektörü vardır.

Yukarıdaki teoremi dikkate alacak olursak (Mm,m(F ),k·k) ikilisi bir normlu uzaydır.

Üstelik spektral normu Mm,m(F ) üzerinde bir matris normudur.

Tanım 2.2.5. A = [ai j] matrisi n × n tipinde 1 ≤ i ≤ n için λi özde˘gerlere sahip bir kompleks matris olsun. O zaman

1≤i≤nmax|λi|

ifadesine A matrisinin spektral yarıçapı denir ve ρ(A) ile gösterilir.

Geometrik olarak, ρ(A) spektral yarıçapı, A matrisinin tüm özde˘gerlerini içeren komp- leks düzlemdeki orijin merkezli en küçük diskin yarıçapıdır. Bir matrisin spektral ya- rıçapı ile spektral normu arasındaki ili¸skiyi a¸sa˘gıdaki sonuç ile verebiliriz.

(20)

Sonuç 2.2.1. A matrisi n × n tipinde bir matris olsun. O zaman

kAk ≥ ρ(A)

olur.

˙Ispat. λ , A matrisinin herhangi bir özde˘geri ve x de bu özde˘gere kar¸sılık gelen sıfırdan farklı bir özvektör ise Ax = λ x e¸sitli˘gi sa˘glanır. Böylece

|λ | kxk = kλ xk = kAxk ≤ kAk kxk

oldu˘gundan A nın her λ özde˘geri için kAk ≥ |λ | elde edilir. Yani

kAk ≥ ρ(A)

olur.

Tanım 2.2.6. {Ai}, Mm,m(F ) sınıfına ait matrislerin bir dizisi ve A ∈ Mm,m(F ) olsun.

E˘ger

i→∞limkAi− Ak = 0

olacak biçimde Mm,m(F ) üzerinde bir k·k matris normu varsa {Ai} dizisine A matri- sine yakınsıyor denir. A matrisine de dizinin limiti adı verilir. Bu durum A = limi→∞Ai biçiminde gösterilir.

Not. Mm,m(F ) uzayı sonlu boyutlu oldu˘gundan yakınsaklık seçilen norma ba˘glı de-

˘gildir.

Tanım 2.2.7. {Ai}, Mm,m(F ) sınıfına ait matrislerin bir dizisi olsun. {Ai} matris di- zisinin kısmi toplamını Si ile gösterelim. O zaman {Si} matris dizisinin limitine bir matris serisi adı verilir. Yani

j=0

Aj

bir matris serisidir. E˘ger bir matris dizisinin kısmi toplamlar dizisi yakınsak ise bu matris dizisinin olu¸sturdu˘gu seriye yakınsaktır denir.

Matris serileri içerisinde daha çok matris kuvvet serileri ile ilgilenece˘giz. {ai} skaler bir dizi, A, Mm,m(F ) sınıfına ait bir matris ve Aide A matrisinin i. kuvvetini göstersin.

(21)

O zaman

i=0

aiAi

serisine bir matris kuvvet serisi denir. {aiAi} matris dizisisin Θ ya yakınsaması bu kuvvet serisinin yakınsaklı˘gı için gereklidir fakat yeterli de˘gildir. Bir matrisin kuvvet iterasyonunun Θ ya yakınsaması için gerekli ve yeterli ko¸sulları a¸sa˘gıdaki lemma ifade edebiliriz.

Lemma 2.2.1. A ∈ Mm,m(F ) de bir matris olsun. A¸sa˘gıdaki dört ¸sart birbirine denktir:

1. limi→+∞Ai= Θ;

2. ∀x ∈Fmvektörleri için limi→+∞Aix= θ ; 3. ρ(A) < 1;

4. k·k spektral norm olmak üzere kAk < 1 dir.

˙Ispat. (1) ⇒ (2) :

Aix ≤

Ai kxk e¸sitsizli˘ginden

i→+∞lim Aix= θ elde edilir.

(2) ⇒ (3) : ρ(A) ≥ 1 olsun. O zaman x 6= θ için

Ax= λ x ve ρ(A) = |λ |

olacak biçimde bir λ 6= 0 özde˘geri vardır. Bu durumda

Aix= λix

e¸sitli˘gi sa˘glanır ki bu limi→+∞Aix6= θ oldu˘gunu gösterir.

(3) ⇒ (4) : Spektral yarıçapı ρ(A) < 1 olsun. Buna göre

ρ (A) ≤ min( max

1≤ j≤n n i=1

ai j , max

1≤i≤n n j=1

ai j

) = kAk < 1

(22)

elde edilir.

(4) ⇒ (1) :Ba˘glı matris normu kAk < 1 olsun. Buna göre

i→ +∞ için kAik ≤ kAki→ 0

yakınsaklı˘gı Ai’nin Θ’a yakınsadı˘gını ispatlar.

Teorem 2.2.2. A ∈ Mm,m(R+) olsun. A¸sa˘gıdaki ¸sartlar birbirine denktir.

1. A sıfıra yakınsar yani n → ∞ için An→ Θ,

2. A nın özde˘gerleri açık birim yuvarın içindedir. Yani det(A − λ I) = 0 olacak ¸sekilde her λ ∈ C için | λ |< 1 dir ,

3. I − A matrisi singüler de˘gildir ve

(I − A)−1= I + A + · · · + An+ · · ·

e¸sittir.

(23)

3 . ARA ¸STIRMA BULGULARI

3.1. Perov Sabit Nokta Teoremi

¸Simdi Perov sabit nokta teoremini ifade ve ispat edelim:

Teorem 3.1.1. (X , d) bir vektör-de˘gerli tam metrik uzay ve T : X → X bir dönü¸süm olsun. Her x, y ∈ X için

d(T x, Ty)  Ad(x, y) (3.1.1)

olacak ¸sekilde bir A ∈ Mm,m(R+) matrisinin var oldu˘gunu kabul edelim. E˘ger A sıfıra yakınsıyor ise,

1. T dönü¸sümü bir tek z ∈ X sabit noktasına sahiptir,

2. Her x0∈ X için, xn= Tnx0ile tanımlı {xn} dizisi z sabit noktasına yakınsar, 3. Ayrıca her n ∈ N için

d(xn, z)  An(I − A)−1d(x0, T x0)

olur.

˙Ispat. x0∈ X keyfi bir nokta olmak üzere her n ∈ N için xn+1= T xnbiçiminde tanımlı {xn} dizisini göz önüne alalım. O halde n ∈ N için

d(x1, x2) = d(T x0, T x1)

 Ad(x0, x1)

(24)

ve

d(x2, x3) = d(T x1, T x2)

 Ad(x1, x2)

 AAd(x0, x1)

= A2d(x0, x1)

elde edilir. Bu ¸sekilde devam edilerek her n ∈ N için

d(xn, xn+1)  And(x0, x1)

olur. Buradan n ≥ m için

d(xn, xm)  d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+2) + · · · + d(xm−1, xm)

 And(x0, x1) + An+1d(x0, x1) + · · · + Am−1d(x0, x1)

=

m−1

i=n

Aid(x0, x1)

 An

i=0

Ai

!

d(x0, x1)

= An(I + A + A2+ · · · + An+ · · · )d(x0, x1)

= An(I − A)−1d(x0, x1) (3.1.2)

elde edilir. n −→ ∞ için limit alınırsa m −→ ∞ oldu˘gundan d(xn, xm) −→ θ olur. Yani {xn} bir Cauchy dizisidir. (X, d) vektör-de˘gerli tam metrik uzay oldu˘gundan {xn} di- zisi bir z ∈ X noktasına yakınsar. Yani limn−→∞xn= z olur. Böylece

d(z, T z)  d(z, xn+1) + d(T xn, T z)

 d(z, xn+1) + Ad(xn, z)

olup n → ∞ için limit alınırsa

d(z, T z)  θ elde edilir. Yani T z = z olur.

(25)

¸Simdi sabit noktanın tek oldu˘gunu gösterelim. z ve w noktaları T dönü¸sümünün her- hangi iki sabit noktası olsun. O zaman

d(z, w) = d(T z, Tw)  Ad(z, w)

olup buradan

(I − A)d(z, w)  θ

elde edilir. I − A matrisi singüler olmayan bir matris ve üstelik (I − A)−1∈ Mm,m(R+) oldu˘gundan d(z, w)  θ olmalıdır. Yani z = w olur.

Son olarak (3.1.2) e¸sitsizli˘ginde m −→ ∞ limit alınırsa her n ∈ N için

d(xn, z)  An(I − A)−1d(x0, T x0)

elde edilir.

Örnek 3.1.1. X = {0, 1, 2, . . .} ve

d(x, y) =









(0, 0) , x = y

(x + y, x + y) , x 6= y

¸seklinde tanımlansın. O halde (X , d) vektör-de˘gerli tam metrik uzaydır. T : X −→ X dönü¸sümü

T x=









0 , x ∈ {0, 1}

x− 1 , x≥ 2

¸seklinde tanımlansın. O zaman T bir Perov büzülme de˘gildir. Gerçekten y ≥ 2 olmak üzere x = y + 1 alınırsa

d(x, y) = (2y + 1, 2y + 1) ve

d(T x, Ty) = (2y − 1, 2y − 1)

(26)

olur. ¸Simdi T dönü¸sümünün bir Perov büzülme oldu˘gunu farz edelim. Her x, y ∈ X için

d(T x, Ty)  Ad (x, y)

¸sartını sa˘glayan sıfıra yakınsayan bir A =

 a b c d

∈ M2,2(R+) matrisi var olsun. O halde

(2y − 1, 2y − 1) 

 a b c d

2y + 1 2y + 1

= ((a + b)(2y + 1), (c + d)(2y + 1)).

elde edilir. Böylece y ≥ 2 oldu˘gundan a + b ≥ 1 ve c + d ≥ 1 olur. Buradan A matrisinin sıfıra yakınsamadı˘gı görülür. Sonuç olarak T dönü¸sümü bir Perov büzülme de˘gildir.

(27)

3.2. Λ-Geçi¸sli Dönü¸sümler

Literatürde Perov sabit nokta teoreminin bazı genelle¸stirmeleri mevcuttur. A¸sa˘gıda hem daha genel bir büzülme e¸sitsizli˘gi hem de dönü¸sümün Λ-geçi¸slili˘gi dikkate alına- rak elde edilen bir genelle¸stirmesini ifade ve ispat edelim. Burada kullanılacak bazı no- tasyonları hatırlayalım. A = [ai j]m×m, B = [bi j]m×m∈ Mm,m(R+) matrislerini göz önüne alalım. E˘ger her i, j ∈ {1, 2, · · · m} için ai j ≤ bi j ise A matrisi B matrisinden daha kü- çük veya e¸sittir denir ve bu durum A  B biçiminde gösterilir. A  B ifadesi ile B  A ifadesi aynı anlama gelecektir. Bu durumda A, B ∈ Mm,m(R+), α ∈ Rm+ ve A  B ise Aα  Bα oldu˘gu açıktır.

Bir metrik uzaydan kendisine tanımlı bir T dönü¸sümünün α-geçi¸slili˘gi kavramı Sa- met ve arkada¸sları tarafından tanımlanmı¸s ve daha sonra sabit nokta teoride sıklıkla kullanılmı¸stır. Buradaki α bir fonksiyon olup, X × X üzerinde tanımlı reel de˘gerlidir.

Bu kavram klasik sabit nokta teoremlerindeki büzülme e¸sitsizli˘gini zayıflatmak için kullanılmaktadır ancak bu durumda bahsi geçen dönü¸sümün süreklili˘gine veya uzayın α -regülerlik adı verilen bir özelli ˘ge sahip olmasına ihtiyaç duyulmaktadır.

Bu dü¸sünceleri vektör-de˘gerli metrik uzayda sabit nokta teoremlerine uygulamak için bahsi geçen α fonksiyonunu Mm,m(R+) de˘gerli almak gerekmektedir. Böylece vektör- de˘gerli metrik uzayda bir T dönü¸sümünün α-geçi¸slili˘gini a¸sa˘gıdaki biçimde tarif ede- biliriz. Burada metrik uzaydaki kullanımından farklılı˘gını belirtmek için bahsi geçen fonksiyonu Λ ile gösterece˘giz.

Tanım 3.2.1. X bo¸s olmayan bir küme, Λ : X × X −→ Mm,m(R+) bir fonksiyon ve T : X −→ X bir dönü¸süm olsun. E˘ger her x, y ∈ X için

Λ (x, y)  I =⇒ Λ (T x, Ty)  I

oluyorsa T dönü¸sümüne Λ-geçi¸slidir denir.

Tanım 3.2.2. (X , d) bir vektör-de˘gerli metrik uzay ve Λ : X × X → Mm,m(R+) bir fonksiyon olsun. Bu durumda limn−→∞xn= x ve her n ∈ N için Λ (xn, xn+1)  I olacak biçimdeki her {xn} ⊆ X dizisi için Λ (xn, x)  I oluyorsa X uzayına Λ-regülerdir denir.

Perov sabit nokta teoreminin hem büzülme e¸sitsizli˘ginin bir genel hali dikkate alı-

(28)

nıp hem de Λ-geçi¸slilik kavramı kullanılarak elde edilen bir genelle¸stirmesini ifade ve ispat etmek için a¸sa˘gıdaki hipotezleri göz önüne alalım: (X , d) bir vektör-de˘gerli metrik uzay, T : X → X bir dönü¸süm ve Λ : X × X → Mm,m(R+) bir fonksiyon olsun.

A1, A2, A3, A4, B ∈ Mm,m(R+) olmak üzere

1. A = (I − A3− A4)−1(A1+ A2+ A4) sıfıra yakınsar, 2. Λ (x0, T x0)  I olacak ¸sekilde x0∈ X vardır, 3. T fonksiyonu Λ-geçi¸slidir,

4. a. (X , d) uzayı Λ-regülerdir veya b. T süreklidir.

Bu hipotezler dikkate alınarak a¸sa˘gıdaki teoremi ifade edebiliriz.

Teorem 3.2.1. (X , d) vektör-de˘gerli tam metrik uzay, T : X −→ X bir dönü¸süm ve Λ : X × X → Mm,m(R+) bir fonksiyon olsun. Her x, y ∈ X için

Λ (x, y) d (T x, Ty)  A1d(x, y) + A2d(x, T x) + A3d(y, Ty) + A4d(x, Ty) + Bd (y, T x) (3.2.1) olacak ¸sekilde (1)-(4) ¸sartlarını sa˘glayan A1, A2, A3, A4, B ∈ Mm,m(R+) matrisleri varsa T dönü¸sümü bir sabit noktaya sahiptir. Ayrıca e˘ger A1+ A4+ B sıfıra yakınsar ve her x, x ∈ Fix (T ) = {x ∈ X : x = T x} için Λ(x, x)  I olursa T dönü¸sümünün sabit noktası tektir.

˙Ispat. Λ(x0, T x0)  I olacak ¸sekildeki x0∈ X noktasını göz önüne alalım. x1= T x0 ve x2= T x1diyelim. O zaman hipotez (3) ve (3.2.1) dikkate alınarak

d(x1, x2) = d (T x0, T x1) = Id (T x0, T x1)  Λ (x0, x1) d (T x0, T x1)

 A1d(x0, x1) + A2d(x0, T x0) + A3d(x1, T x1) + A4d(x0, T x1) + Bd (x1, T x0)

= A1d(x0, x1) + A2d(x0, x1) + A3d(x1, x2) + A4d(x0, x2) + Bd (x1, x1)

 A1d(x0, x1) + A2d(x0, x1) + A3d(x1, x2) + A4[d (x0, x1) + d (x1, x2)] + Bθ .

(29)

elde edilir. Buradan

d(x1, x2)  (I − A3− A4)−1(A1+ A2+ A4) d (x0, x1) = Ad (x0, x1) . (3.2.2)

bulunur. Benzer ¸sekilde x3= T x2dersek hipotez (3) ile beraber

d(x2, x3) = d (T x1, T x2) = Id (T x1, T x2)  Λ (x1, x2) d (T x1, T x2)

 A1d(x1, x2) + A2d(x1, T x1) + A3d(x2, T x2) + A4d(x1, T x2) + Bd (x2, T x1)

= A1d(x1, x2) + A2d(x1, x2) + A3d(x2, x3) + A4d(x1, x3) + Bd (x2, x2)

 A1d(x1, x2) + A2d(x1, x2) + A3d(x2, x3) + A4[d (x1, x2) + d (x2, x3)] + Bθ .

elde edilir. Böylece

d(x2, x3)  (I − A3− A4)−1(A1+ A2+ A4) d (x1, x2) = Ad (x1, x2) . (3.2.3)

bulunur. (3.2.2) ve (3.2.3) den

d(x2, x3)  A2d(x0, x1) .

elde edilir. Bu ¸sekilde devam ederek her n ∈ N için xn= T xn−1, Λ (xn−1, xn)  I ve

d(xn, xn+1)  And(x0, x1)

olacak biçimde X içinde bir {xn} dizisi olu¸sturabiliriz.

¸Simdi {xn} disinin bir Cauchy dizisi oldu˘gunu gösterelim. n, m keyfi do˘gal sayılar

(30)

olsun. Vektör-de˘gerli metrik için üçgen e¸sitsizli˘gi dikkate alınarak

d(xn, xn+m) 

n+m−1 i=n

d(xi, xi+1)



n+m−1

i=n

Aid(x0, x1)

 An

i=0

Aid(x0, x1)

= An(I − A)−1d(x0, x1)

elde edilir. ¸Simdi n −→ ∞ için

n−→∞lim d(xn, xn+m) = θ

olur. Böylece {xn} dizisinin bir Cauchy dizisi oldu˘gu görülür. (X, d) uzayı tam oldu-

˘gundan, xn−→ xolacak ¸sekilde x∈ X vardır.

¸Simdi (X , d) uzayı Λ-regüler olsun. O zaman her n ∈ N için Λ (xn, x)  I sa˘glanır.

Böylece (3.2.1) dikkate alınırsa

d(T xn, T x) = Id (T xn, T x)  Λ (xn, x) d (T xn, T x)

 A1d(xn, x) + A2d(xn, T xn) + A3d(x, T x) + A4d(xn, T x) + Bd (x, T xn)

= A1d(xn, x) + A2d(xn, xn+1) + A3d(x, T x) + A4d(xn, T x) + Bd (x, xn+1) .

olur. Son e¸sitsizlikte n −→ ∞ için

d(x, T x)  (A3+ A4) d (x, T x)

veya buna denk olarak

(I − A3− A4) d (x, T x)  θ

elde edilir. Burada I − A3− A4matrisi singüler olmadı˘gından d (x, T x) = θ olmalıdır.

Sonuç olarak x= T xbulunur.

(31)

¸Simdi e˘ger T dönü¸sümü sürekli ise n −→ ∞ için T xn−→ T xolaca˘gından

xn+1−→ T x

olur. O zaman T x= xbulunur.

Buradan varlık ve tekli˘gin varlık bölümü ispatlanmı¸s olur. Teklik için kabul edelim ki x, x noktaları T nin farklı iki sabit noktası olsun. Bu durumda Λ (x, x)  I oldu˘gu ve (3.2.1) dikkate alınarak

d(T x, T x) = Id (T x, T x)  Λ (x, x) d (T x, T x)

 A1d(x, x) + A2d(x, T x) + A3d(x, T x) + A4d(x, T x) + Bd (x, T x)

= A1d(x, x) + A2d(x, x) + A3d(x, x) + A4d(x, x) + Bd (x, x)

= (A1+ A4+ B) d (x, x) .

elde edilir. Bu ¸sekilde devam edilirse her n ∈ N için

d(x, x)  (A1+ A4+ B)nd(x, x)

bulunur ki n → ∞ için limit alındı˘gında d (x, x) = θ olur. Bu ise x6= x olması ile çeli¸sir. Böylece T dönü¸sümünün sabit noktası tektir.

Örnek 3.2.1. X = R+üzerinde her x = (x1, x2) , y = (y1, y2) ∈ X için

d(x, y) = (|x1− y1| , |x2− y2|)T

biçiminde tanımlı vektör-de˘gerli metri˘gi göz önüne alalım. T : X −→ X dönü¸sümü

T x=









2x1

3x32+ 1,x32+ 1

, x = (x1, x2) ve x1≤ 3

x1x22 + 1,x22+ 1

, x = (x1, x2) ve x1> 3

(32)

biçiminde tanımlansın. Kolaylık olması bakımından

T1(x1, x2) =









2x1

3x32 + 1 , x1≤ 3

x1x22+ 1 , x1> 3 ve

T2(x1, x2) =









x2

3 + 1 , x1≤ 3

x2

2 + 1 , x1> 3 olmak üzere

T x= T (x1, x2) = (T1(x1, x2) , T2(x1, x2)) biçiminde gösterelim. Di˘ger taraftan

Λ (x, y) = Λ ((x1, x2) , (y1, y2)) =





































 1 0 0 1

 , 0 ≤ x1, x2, y1, y2≤ 3

2 3 0 0 23

 , x1, x2, y1, y2> 3

 0 0 0 0

 di˘ger durumlarda

¸seklinde tanımlı Λ : X × X −→ M2,2(R+) fonksiyonunu dü¸sünelim. ¸Simdi (3.2.1) ¸sar- tının her x, y ∈ X için sa˘glandı˘gını gösterece˘giz.

A1=

2 3

1 3

0 13

olsun.

(33)

Durum 1. E˘ger 0 ≤ x1, x2, y1, y2≤ 3 ise

Λ (x, y) d (T x, Ty) = Λ (x, y) d(T (x1, x2) , T (y1, y2))

= Λ (x, y) d(((T1(x1, x2) , T2(x1, x2)), ((T1(y1, y2) , T2(y1, y2)))

= Λ((x1, x2) , (y1, y2))(|T1(x1, x2) − T1(y1, y2)| , |T2(x1, x2) − T2(y1, y2)|)T

= Λ((x1, x2) , (y1, y2))

|T1(x1, x2) − T1(y1, y2)|

|T2(x1, x2) − T2(y1, y2)|

=

 1 0 0 1

|T1(x1, x2) − T1(y1, y2)|

|T2(x1, x2) − T2(y1, y2)|

=

|T1(x1, x2) − T1(y1, y2)|

|T2(x1, x2) − T2(y1, y2)|

=

(2x31x32+ 1) − (2y31y32 + 1) (x32+ 1) − (y32+ 1)



2

3|x1− y1| +13|x2− y2|

1

3|x2− y2|

=

2 3

1 3

0 13

|x1− y1|

|x2− y2|

= A1d(x, y).

olur.

(34)

Durum 2. E˘ger x1, x2, y1, y2> 3 ise

Λ (x, y) d (T x, Ty) =

2

3|T1(x1, x2) − T1(y1, y2)|

2

3|T2(x1, x2) − T2(y1, y2)|



2 3

1 3

0 13

|x1− y1|

|x2− y2|

= A1d(x, y) .

olur.

Durum 3. x1, x2, y1ve y2noktalarının di˘ger durumlarını göz önüne alırsak

Λ (x, y) d (T x, Ty) =

 0

0



2 3

1 3

0 13

|x1− y1|

|x2− y2|

= A1d(x, y) .

olur.

Böylece her x, y ∈ X için (3.2.1) e¸sitsizli˘ginin

A1=

2 3

1 3

0 13

ve

A2= A3= A4= B = Θ

olmak üzere sa˘glandı˘gı görülmü¸s olur. Ayrıca (I − A3− A4)−1(A1+ A2+ A4) = A1 matrisinin de sıfıra yakınsadı˘gı açıktır.

(35)

3.3. F-Büzülme Dönü¸sümleri

Di˘ger taraftan Banach sabit nokta teoreminin bir genelle¸stirmesi 2012 yılında Wardo- wski tarafından F-büzülme kavramı ile elde edilmi¸stir. Bu genelle¸stirmede Wardowski, tam metrik uzaylarda F-büzülme dönü¸sümlerinin bir tek sabit noktaya sahip oldu˘gunu göstermi¸stir. ¸Simdi önce F-büzülme kavramını ve buna ili¸skin bazı örnekleri verelim.

F : (0, ∞) → R bir fonksiyon olsun. Bunun için a¸sa˘gıdaki özellikleri dikkate alalım:

F1) F kesin artandır. Yani her α, β ∈ (0, ∞) için α < β iken F(α) < F(β ) dır.

F2) Pozitif sayıların her {xn} dizisi için limn→∞xn= 0 dır ancak ve ancak

n→∞limF(xn) = −∞

dır.

F3) limα →0+αkF(α) = 0 olacak biçimde bir k ∈ (0, 1) vardır.

(F1)-(F3) ¸sartlarını sa˘glayan tüm fonksiyonların ailesini Ω ile gösterelim. Örne˘gin, F(α) = ln α, F(α) = α + ln α, F(α) = −1

α ve

F(α) =

ln α , α ≤ 1 2α , α > 1

biçiminde tanımlı fonksiyonlar Ω sınıfına aittirler.

Tanım 3.3.1. (X , d) bir metrik uzay, T : X → X bir dönü¸süm ve F ∈ Ω olsun. E˘ger d(T x, Ty) > 0 özelli˘gindeki her x, y ∈ X için

τ + F (d(T x, Ty)) ≤ F (d(x, y)) (3.3.1)

olacak biçimde bir τ > 0 varsa T ye bir F-büzülme adı verilir.

Ω sınıfına ait F fonksiyonlarını dikkate alarak bazı klasik büzülme e¸sitsizliklerini elde edebiliriz.

Örnek 3.3.1. F1: (0, ∞) → R dönü¸sümü F1(α) = ln α ile tanımlansın. E˘ger T bir F-

(36)

büzülme ise d(T x, Ty) > 0 özelli˘gindeki her x, y ∈ X için

d(T x, Ty) ≤ e−τd(x, y) (3.3.2)

e¸sitsizli˘gi sa˘glanır. Ayrıca d(T x, Ty) = 0 olacak biçimde her x, y ∈ X için (3.3.2) e¸sit- sizli˘gi de sa˘glanır. Böylece T dönü¸sümü L = e−τ sabiti ile birlikte bir Lipschitz dö- nü¸sümüdür. L = e−τ < 1 oldu˘gundan T bir büzülme dönü¸sümüdür. Dolayısıyla her büzülme dönü¸sümü bir F-büzülmedir.

Örnek 3.3.2. F2: (0, ∞) → R dönü¸sümü F2(α) = α + ln α ile tanımlansın. E˘ger T bir F-büzülme ise d(T x, Ty) > 0 özelli˘gindeki her x, y ∈ X için

d(T x, Ty)

d(x, y) = ed(T x,Ty)−d(x,y)≤ e−τ (3.3.3) e¸sitsizli˘gi sa˘glanır.

Örnek 3.3.3. F3: (0, ∞) → R dönü¸sümü F3(α) = −1

α ¸seklinde tanımlansın. E˘ger T bir F-büzülme ise d(T x, Ty) > 0 özelli˘gindeki her x, y ∈ X için

d(T x, Ty) ≤ 1 (1 + τp

d(x, y))2d(x, y) e¸sitsizli˘gi sa˘glanır.

Not. (F1) ve 3.3.1 e¸sitsizli˘ginden her F-büzülme, bir büzülebilir dönü¸sümdür. Yani, T bir F-büzülme ise d(T x, Ty) > 0 özelli˘gindeki her x, y ∈ X için d(T x, Ty) < d(x, y) sa˘glanır. Bu yüzden her F-büzülme dönü¸sümü süreklidir.

Wardowski F-büzülme dönü¸sümlerini dikkate alarak a¸sa˘gıdaki sabit nokta teoremini elde etmi¸stir.

Teorem 3.3.1. (X , d) bir tam metrik uzay ve T : X → X dönü¸sümü bir F-büzülme olsun. Bu durumda T dönü¸sümünün bir tek sabit noktası vardır. Üstelik herhangi bir x0∈ X için {Tnx0} dizisi T dönü¸sümünün sabit noktasına yakınsar.

˙Ispat. ˙Ilk olarak T nin sabit noktasının var olması halinde tek olması gerekti˘gini gös- terelim. Gerçekten z ve w, T nin farklı iki sabit noktası olsun. Bu durumda d(z, w) =

(37)

d(T z, Tw) > 0 ve (3.3.1) e¸sitsizli˘ginden

τ ≤ F (d(z, w)) − F (d(T z, Tw)) ≤ 0

elde edilir ki bu bir çeli¸skidir. O halde T nin sabit noktası varsa tektir.

¸Simdi T nin bir sabit noktasının var oldu˘gunu gösterelim. Bunun için keyfi bir x0∈ X noktasını ele alalım. Her n ≥ 0 tamsayısı için xn+1= T xnolacak biçimde X de bir {xn} dizisini göz önüne alalım ve γn= d(xn+1, xn) olsun. E˘ger xn0+1= xn0 olacak biçimde bir n0∈ N varsa, bu durumda T xn0 = xn0 olur. Böylece ispat tamamlanır. ¸Simdi her n≥ 0 tamsayı için xn+16= xn oldu˘gunu kabul edelim. O halde her n ≥ 0 tamsayı için γn> 0 oldu˘gundan (3.3.1) e¸sitsizli˘ginden

F(γn) ≤ F(γn−1) − τ ≤ F(γn−2) − 2τ ≤ · · · ≤ F(γ0) − nτ (3.3.4)

e¸sitsizli˘gi elde edilir. (3.3.4) e¸sitsizli˘ginde n −→ ∞ için limit alınırsa

n−→∞lim F(γn) = −∞

elde edilir. Bu yüzden (F2) den

n−→∞lim γn= 0 olur. O halde (F3) den

n−→∞lim γnkF(γn) = 0

olacak biçimde bir k ∈ (0, 1) vardır. Ayrıca (3.3.4) e¸sitsizli˘ginden her n ≥ 0 tamsayı için

γnkF(γn) − γnkF(γ0) ≤ −γnknτ ≤ 0 (3.3.5) olur. (3.3.5) e¸sitsizli˘ginde n −→ ∞ için limit alınırsa

n−→∞lim γnkn= 0 (3.3.6)

bulunur. Dolayısıyla (3.3.6) dan her n ≥ n1 için γnknτ ≤ 1 olacak biçimde bir n1∈ N

Referanslar

Benzer Belgeler

eşitsizliği sağlanırsa ye büzülebilir dönüşüm denir. Banach sabit nokta teoremi, tam metrik uzay üzerinde tanımlı her büzülme dönüşümün bir tek

Laplace dönü¸ sümleri yard¬m¬yla n yinci basamaktan sabit katsay¬l¬lineer bir diferensiyel denklem ve ba¸ slang¬ç ko¸ sullar¬ndan meydana gelen bir Cauchy

Diğer kısımlarda ise Berinde, Ciric ve Suzuki tip büzülme dönüĢümleri de dahil olmak üzere literatürde bulunan pek çok büzülme dönüĢümlerinin aynı zamanda

Tanım 2.1.1.. 7 kümesine yuvar yüzeyi denir. bir metrik uzay ve da X in boş olmayan bir alt kümesi olsun. bir metrik uzay olsun. b) içindeki her kapalı yuvar

Bu tezde; metrik ve konik metrik uzaylarda sabit noktası var olan ve veya özelliğine sahip olan bazı daralma dönüşümleri verildi. Tezin orijinal kısmı olan

Metrik uzayda en ilgi çekici ve çok sayıda uygulama alanına sahip olan bazen de Banach daralma dönüşümü olarakta adlandırılan Banach sabit nokta teoremi

Gürsoy [32] daralma dönü ümleri için Picard-S iterasyonun, Picard, Mann, Ishikawa, Noor, SP, CR, S, Normal-S, S* ve Abbas ve Nazır iterasyon metodlarından daha hızlı

Bölüm 4 ün ilk kısmında G − konik metrik uzaylarda ϕ − dönüşümleri kullanılarak zayıf uyumluluk özelliğine sahip olan iki dönüşüm için sabit nokta teoremleri