ANALİZ 3. Konu Şeması. Bilgi : Konu şemamız 5 bölümden oluşmaktadır. Şimdi bunları detaylı olarak 1. BÖLÜM DİZİLER

ANALİZ 3

TAYLOR ve

Konu Şema

MACLAURİ

SER KUVVET SERİLERİ N SERİLERİ

FONKSİ DİZİLER

YON DİZİ İLER

ve SERİLERİ

sı

 



Bilgi : Konu şemamız 5 bölümden oluşmaktadır. Şimdi bunları detaylı olarak işleyelim.

1. BÖLÜM DİZİLER

Tanım : Tanım kümesi pozitif doğal sayılar olan fonksiyona Dizi denir.

→

A

_n sembolü ile gösterilir. n =1, 2, 3, 4,... değerlerini alır.

Bilgi :

' ' n

değerleri başka hiçbir değer alamaz.

1 3 , 3, 0, 3, ,...

2 5

n    − −  

 

olur.

→

A

_n

= ( a a a

1

,

2

,

3

,... , a a

_{n n+}1

,... )

şeklinde tanımlanır.

An

→ dizinin genel terimidir.

Bilgi : ‘’ Her dizi bir fonksiyondur ‘’ fakat ‘’ Her fonksiyon bir dizidir ‘’ ifadesi doğru olmayabilir.

Bilgi : Bir fonksiyonun Dizi olması için boşta eleman kalmamalıdır. Yani her elemanın bir görüntüsü olmalıdır.

Örnek : 1

n 2 A = n

+ fonksiyonu bir dizi belirtir mi ? Çözüm :

Dizi olması için bütün terimlerin karşılığı olmalıdır. Boşta eleman kalmamalıdır.

1

2

3

100

1 1

3 2 1

4 3 1

5

100 1

102 n için a

n için a

n için a Şeklinde

n için a

= =

= =

= =

= =

her elemanın görüntüsü vardır. DİZİDİR

Örnek : 1

2 6 An

= n

− fonksiyonu bir dizi belirtir mi ? Çözüm :

Aynı işlemler uygulanır boşta eleman var ise dizi değildir.

1

2

3

1 1

4 2 1

2

3 1 Tan

0 n için a

n için a

n için a ımsız

= =

−

= =

−

= = =

bakılır ise a₃ elemanı boşta kalır. DİZİ DEĞİLDİR

Bilgi : Rasyonel fonksiyonlarda paydayı sıfır yapan pozitif doğal sayı var ise Dizi değildir.

Örnek : 3

4 2 An

= n

− fonksiyonu bir dizi belirtir mi ? Çözüm :

Terimleri tek tek incelersek boşta eleman kalmaz. Bu fonksiyon DİZİDİR.

Dikkat edersek ; Paydayı sıfır yapan değer 1

n =2 olur. Fakat bu değer pozitif

DİZİLERDE KOMŞULUK

Tanım : x ve



bir reel sayı olmak üzere ; (x−



, x+



) açık aralığına

x in '



komşuluğu denir.

• Bir A_n Dizisi için ;



0

→   için

A

_n

−  a 

olacak şekildeki nN⁺ sayılarına A_n dizisinin

a

sayısının



komşuluğu içinde kalan terimler denir.



0

→   için

A

_n

−  a 

eşitliğini sağlayan nN⁺ sayılarına ise komşuluk dışında kalan terimler denir.

Örnek : 4 6

n 2 A n

n

= +

+ dizisinin Limitinin 1

4 komşuluğu içinde kalan kaç terim vardır?

Çözüm : 4 6

n 2 A n

n

= +

+ ^,

4 6

lim lim 4

n

2

n n

a A n

→ →

n

 + 

= =   +   =

^,

1



=4 olur. Formülde yerine yazarsak ;

A

n

−  a 

formülü komşuluk içindeki terimleri verir.

4 6 1 2 1 2 1

4 2 8 6

2 4 2 4 2 4

n n n

n n n

+ −   −     +   

+ + +

olur.

6

n 

ise a a a₇, ₈, ₉,... terimleri komşuluk içinde yer alır.

Örnek : 2 3

n 1 A n

n

= +

+ dizisinin Limitinin 1

3 komşuluğu dışında kalan kaç terim vardır?

Çözüm : 2 3

n 1 A n

n

= +

+ ^,

2 3

lim lim 2

n

1

n n

a A n

→ →

n

 + 

= =   +   =

^,

1



=3 olur. Formülde yerine yazarsak ;

A

n

−  a 

formülü komşuluk dışındaki terimleri verir.

2 3 1 1 1 1 1

2 1 3 2

1 3 1 3 1 3

n n n

n n n

+ −       +   

+ + +

olur.

2

n 

ise n=1 , n=2 yani a₁ ve a₂ terimleri komşuluk dışında yer alır.

Örnek : 2

n 1 A n

= n

+ dizisinin kaç terimi 3 'ün 1

2 komşuluğu içinde yer alır ? Çözüm :

2

n 1 A n

= n

+ ^,

a = 3

, 1



= 2 olur. Formülde yerine yazarsak ;

A

n

−  a 

formülü komşuluk içindeki terimleri verir.

2 5 1 2 1 1 2 1 1 3 1 1 3 3

3 1

1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2

n n n

n n n n n

+ −   −   −  −   −  − +    

+ + + + +

işleme devam edersek ;

1 3 3 1 2

2 6 1 2 5 1

2 1 2 3 3

n n n

n

    +    +    

+ sonucu bulunur.

5   n 1

ise n =2, 3, 4 yani a a a₃, ₄, ₅ terimleri komşuluk içindedir. 3 TERİM olur.

TARAMA SINAVI – 1

1) Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi Dizi değildir ?

A) 3 1 1 n n

+

+ B) ₂2 1 n

n + C) 8 2 1

n n

−

−

D) 5 3 7

n

n − E) 1 3 9

n n

−

−

2) : A_n =log(3n−6)

2 3

:

n 5 B n

n

 = +

−

:C_n =2 cos( )n −n

Yukarıda verilen fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri Dizi belirtir ?

A) Yalnız



B)

 ve 

C) Yalnız



D) Yalnız



E)

 ve 

3) A =_n 3.2ⁿ −1 dizisi için İnfimumA_n değeri kaçtır ?

A)

0

B) 1 C)

5

D)

6

E) −1

4) 2 4

n 1 B n

n

= +

+ dizisinin üst sınırlarının en küçüğü (EKÜS) kaçtır ?

A) 2 B)

3

C) 5 D) 4 E) 1

5) Aşağıdakilerden hangisi Monoton artan bir dizidir?

A) 2 5

4 1 n

n +

− B) 2 3 n n

−

+ C) 1 2 3

n n

+

−

D) 3 2 5 4

n n

− +

− E) 4 3 2 4

n n

+

−

6) ⁿ 4 2

k n

C n

= +

− dizisi monoton azalan bir dizi ise

k nın '

alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır ?

A) −2 B) −1 C) 0 D) 1 E) 2

7) Aşağıdakilerden hangisi 2 1

n 2 3 A n

n

= +

− dizisinin Alt dizisi olamaz ?

A) 2 1

3 5 n n

−

− + B)

2

2

2 1

2 3 n

n +

− C) 6 1 5 9

n n

−

−

D) 4 1 2 6

n n +

− E)

4 12 1

2 3 3

n n + +

− +

3) İNTEGRAL TESTİ

1 n n

a





= pozitif terimli seri olsun.

• f : [1, ) üzerinde tanımlı olsun.

 n N⁺ için ; f n( )= a_n için ;

→

1

( ) f x dx





Yakınsak ise

1 n n

a





= de Yakınsaktır.

→

1

( ) f x dx





Iraksak ise

1 n n

a





= de Iraksaktır.

Bilgi: İntegralin sonucu reel sayı ise integral yakınsaktır.

Aksi halde ıraksak olur.

Örnek : ₂

1

2

k

k 1



=

 

 + 

 



serisini inceleyiniz.

Çözüm :

İntegral testi uygularız. ₂2

( ) 1

f x = x

+ ^olur.

( )

2 1

1

2 2 arctan 2 arctan 2 arctan1 1

2. 2. .

2 4 2

dx x

x

  

olur

 

= =  −

+

 − =



İntegral sonucu reel sayı olur.

2 R



_

olur.

2 1

2 1 dx x



 +

integrali Yakınsaktır.



₂

1

2 1 dx x



 +

Yakınsak olduğundan ,

2 1

2

k

k 1



=

 

 + 

 



Serisi de Yakınsaktır.

4) ORAN TESTİ

1 n n

a





= pozitif terimli seri olsun.

lim

ⁿ 1

n n

a L

a

+

→

 

→   =

 

limiti hesaplanır.

L değeri için 3 durum vardır .

• L 1 ise Seri YAKINSAKTIR.

• L =1 ise Yorum Yapılamaz.

• L 1 ise Seri IRAKSAKTIR.

Bilgi : Oran testi üslü ve faktöriyel sorularında daha çok kullanılır.

Örnek :

1

4

!

n

k

n



=

 

 

 



serisini inceleyiniz.

Çözüm :

Oran testi uygularız.

4

!

n

an

= n ise

1

1

4 ( 1)!

n

a

n

n

+ +

=

+

^olur.

1

1

4

4 !

( 1)!

lim .

4 ( 1)! 4

! 4. 4

n

n

n n

n

n

n n

n n

+

+

→

 

 + 

 

→ = =

+

 

 

 

 ( n + 1). ! n . n !

4

ⁿ

4 4

1 0

= n = =

+ 

0 1

L =  olduğundan Seri YAKINSAKTIR.

O halde ;

1

4

!

n

k

n



=

 

 

 



serisi

Yakınsaktır.

Örnek : ₃

3

2

k

k .ln k



=

 

 

 



serisinin Karakterini bulunuz ? Çözüm :

Verilen seri [1, ) üzerinde tanımlı ve pozitif terimli bir seridir. İntegral testi uygulanabilir.

3 3

2

k

k .ln k



=

 

 

 



serisi için

2

₃

( ) .ln

f x = x x

olur. ₃

3

2 .ln dx

x x





integralini inceleriz.

3 3

2 .ln dx

x x





^{için lnx=u , 1}_x^dx=du dönüşümü yaparsak ; ₃

ln 3

2 du u





olur.

3 2 2 2 2

ln 3 ln 3

2 1 1 1 1 1

ln 3 0 ln 3 ln 3 u du u

 

 

= − = − − −      = + =



olur ki sonuç bir reel sayıdır.

Sonuç reel sayı olduğundan integral Yakınsaktır.

İntegral testine göre ;

3 3

2 .ln dx

x x





Yakınsak olduğundan ₃

3

2

k

k .ln k



=

 

 

 



serisi de YAKINSAKTIR.

Örnek :

1

2

!

n

n

n



=

 

 

 



serisinin Karakterini bulunuz ?

Çözüm :

Faktöriyel ve üslü terim vardır. Oran testi uygularız.

1

2

!

n

n

n



=

 

 

 



serisi için ;

1

1

2 2

! ( 1)!

n n

n n

a ve a

n n

+

=

+

=

+

olur.

1

1

2

2 2 2. 2

( 1)!

lim .

2 ( 1)! !

!

n

n n n

n n

n

n n

n

+

+

→

 

 + 

 

→ = 

  +

 

 

(n+1). !n . n!

2ⁿ

2 2

0 .

1 olur

= n  =

+ 

Limit değeri

0

olur.

0 1 

olduğundan Oran Testine göre seri YAKINSAKTIR.

5) KÖK TESTİ

1 n n

a





= pozitif terimli seri olsun. ^lim_n→

( )

^{n an =L} limit değeri hesaplanır.

L değeri için 3 durum vardır .

• L 1 ise Seri YAKINSAKTIR.

• L =1 ise Yorum Yapılamaz.

• L 1 ise Seri IRAKSAKTIR.

Örnek :

1

1 1 2 3

n

n n



=

 + 

 

 



serisinin Karakterini inceleyelim.

.

n dereceden kök içine alınır ve limit değeri hesaplanır.

1 1 1 1 1 1 1 1

lim 0

2 3 2 3 2 2 2

n n

n n

n→

 +  = +   + = + =

    

    limit hesaplanır.

• 1

21 olduğundan Seri YAKINSAKTIR.

Örnek :

2

1

1

ⁿ

n

n n



=

 + 

 

 



serisinin Karakterini bulunuz ? Çözüm :

Kök testi uygularız. n. dereceden kök içine alınır ve limit değeri hesaplanır.

2

1 1 1

lim 1

n n n

n n

n n

n n n

→

+ +

  =     + 

     

     

^olur.

1

^ belirsizliği vardır.

lim 1

lim 1 1 ⁿ

n n

n

n e e e

n

→

  

 

→

 +  = = =

 

  olur. Limit değeri e bulunur.

Kök testine göre ;

• e 1 olduğundan Seri IRAKSAKTIR

KUVVET SERİSİNİN YAKINSAKLIK

−

IRAKSAKLIK DURUMU

Tanım : Kuvvet serilerinin karakteri x değişkeninin durumuna bağlı olarak değişir.

→

Bazı x ler' için Yakınsak ya da bazı x ler' için Iraksak olabilir.

→ Bazen her x için Yakınsak ya da her x için Iraksak olabilir.

• Kuvvet serisinin karakteri nasıl bulunur ? Görelim.

•

0

.( )

^k

k k

a x b



=

 −

Kuvvet serisi verilsin.

x = b

Kritik Noktadır.

1)

lim

^{k 1}

k k

a L

a

+

→

=

ya da lim ^k _k

k a L

→ = ile L sayısı bulunur.

2) Yakınsaklık Yarı Çapı 1

R L

= = formülü ile hesaplanır.

3) Kuvvet Serisinin yakınsaklık aralığı için 3 durum söz konusudur. (L sayısına bağlıdır.)

1. DURUM

•

0    L

ise ;

→ 1

R= L ile hesaplanır.

x b R

→ − 

için YAKINSAKTIR

→ Yakınsaklık aralığı :

b R −   + x b R

olarak bulunur.

→ Sınır değerler ise ayrı ayrı yerine yazılır ve incelenir.

x = − b R

yazılır ve karakter incelenir.

x = + b R

yazılır ve karakter incelenir.

2. DURUM

•

L = 0

ise ;

→ 1

R= L yani ;

1

R = 0 = + bulunur.

• R =  ise

→ Her x için YAKINSAKTIR

→

Yakınsaklık aralığı :

R dir ' .

Not : Eğer Kritik nokta paydada ise bu değer çıkarılır.

3. DURUM

• L =  ise ;

→ 1

R= L yani ;

1

0 R = =

 bulunur.

•

R = 0

ise

→ Sadece

x = b

değeri için YAKINSAKTIR.

→ Yakınsaklık aralığı :

  ^{' .}

x = b dir

Not :

x = b

Paydada ise Yakınsaklık aralığı Boş kümedir.

Örnek :

0

( 1) 5

k k k



x

=

 −

Kuvvet serisinin Yakınsaklık yarı çapını bulunuz ?

Çözüm :

Kuvvet serisidir. Öncelikle

lim

^{k 1}

k k

a L

a

+

→

=

ile L değeri bulunur.

0

( 1) 5

k k k



x

=

 −

serisi için ; 1

k 5k

a = ve ₁ 1₁

k 5k

a ₊ = ₊ olur.

1

1 5 1

lim 1 5. 5 5

k k k

k +

→

= 5

.

k

1

1 = = 5 L

değeri hesaplanır.

Yakınsaklık Yarı Çapı 1

R L

= = ise

1

1 5 5

R =  R =

olarak hesaplanır.

Örnek :

0

( 3)

!

k

k

x k



=

 +

Kuvvet Serisinin en geniş Yakınsaklık aralığını bulunuz. ?

Çözüm :

Öncelikle yakınsaklık yarı çapı bulunur.

0

( 3)

!

k

k

x k



=

 +

serisi için ; 1

k !

a = k ve ₁ 1

( 1)!

ak + = k

+ olur.

lim

^k 1

k k

a L

a

+

→

=

için

1

1 ! 1

( 1)!

lim .

1 ( 1)! 1 ( 1). !

!

k

k k

k k k

k

→

+ = 

+ +

. k ! 1 1

1 1 0 L

= k  = =

+ 

0

L =

ise R = + olarak yarıçap bulunur.

R = + için konu kısmındaki 2. Durum söz konusudur.

Seri , Her x için YAKINSAKTIR .

Kritik nokta

x = − 3

paydada olmadığı için çıkarılmaz.

Kuvvet Serisinin Yakınsaklık Aralığı :

R dir ' .

22) Genel terimi

( )

2tan

n 1 a n

n



=



+ olan

( ) ^a

_n dizisinin limiti kaçtır ? A)



B) 1



C) 0 D)

−

E) 2



23) a pozitif bir gerçel sayı olmak üzere ,

1 n n n

c x





= kuvvet serisinin yakınsaklık aralığı

( ^{− a a dır ,} ) ^{' .}

Buna göre ,

. ₂

1

1

n n n

c x n



=

+



.

1

1

3 2

n n n n n

c x

 +



=

.

1

!

n n n

c x n





=

Kuvvet serilerinin hangilerinin yakınsaklık aralığı

( ^{− a a ,} )

aralığını içerir ? A) Yalnız



B) Yalnız



C)



ve



D)



ve



E)



,



ve



24)

a

pozitif bir gerçel sayı olmak üzere ,

( )

1

.

n

n n

x a n a



=

 −

Serisinin yakınsaklık aralığı aşağıdakilerden hangisidir ?

A)

( ^{− a a ,} )

B)

( ^{0, 2a} 

C)

 ^{0, 2a} )

25) Elif , ²

1

0

e⁻x dx



integralinin değerini hesaplamak için ,

0

! ,

n x

n

e x x

n



=

=   

eşitliğini kullanarak sırasıyla ;

→

^{f x}

( )

^=e−x2 fonksiyonunun

x = 0

noktasına göre Taylor serisini bulmuştur.

→

Bu serinin ilk üç terimini toplayarak dördüncü dereceden bir

^{p x} ( )

polinomu bulmuştur.

1

( )

0

p x dx

→



integralinin değerini hesaplamıştır.

Buna göre , Elif ‘ in hesapladığı bu integralin değeri kaçtır ?

A)

1

2

B) 17

30 C) 7

10 D)

23

30

E) 1

26) Genel terimi ,

2 2

4 1

an = n + n− n − olan

( ) ^a

_n dizisinin limiti kaçtır ?

A)

0

B) 1 C) 2 D)

3

E) 4

27)

( )

1

3 .cos 2

n n

n

n n

 x





= serisinin yakınsaklık yarıçapı kaçtır ? A)

1

6

B) 2

3 C) 3

2 D)

1

E) 2

ÇIKMIŞ SORULAR CEVAP ANAHTARI

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 A C C A A C B B B B D E C C A A C C E A E C D C D C E

TEST – 1 ÇÖZÜMLER

1) Paydayı sıfır yapan doğal sayı değeri varsa dizi belirtmez.

D şıkkını incelersek ; 1

3n 3

−

− için

n = 1

doğal sayı değeri paydayı sıfır yapar. Dizi değildir.

2) _n an b

A cn d

= +

+ formatındaki diziler için , d 1

− c ve

ad bc −  0

ise monoton azalandır.

C şıkkını incelersek ; 1

5 3 n

n +

− ^{için ,}

3 1 5 d

− = c ve

ad bc − = −  8 0

olur ki monoton azalandır.

3)

2 3

1 2

n

n

 + 

 + 

  dizisinde

1

^ belirsizliğine göre çözülür.

3 2.3

2 6

lim 1 2

n n

n

n e e

→ n

 +  = =

 + 

  olarak hesaplanır.

4)

ln

k e

1 k k



=

 

 + 

 



serisini düzenleyip açılımı yaparsak ;

( ) ( )

ln ln ln 1 ln ln 1

k e 1

k k k e e

k



=

  = − +  − +

 + 

 



^{+ ln}

⁽

^e+1

⁾

^{− ln}

⁽

^e+2

⁾

^+ln

⁽

^e+2

⁾

^−ln

⁽

^{e+ +3}

⁾

^....

Sonuç olarak sadece ilk eleman kalacaktır.

ln e = 1

olarak bulunur.

5) B şıkkını incelersek ;

3 1

2

n

1 n n



=

 

 + 

 



^p testine göre ,

3 1 2 1 − = 

olduğundan yakınsaktır.

6) E şıkkını incelersek ;

3

1 n n

e





= serisinin içinin limit değerine bakılır.

3

lim

ⁿ 0

1

n

e e

→

  = =

   

olur ki sıfırdan farklı olduğu için testlere bakılmadan ıraksak denir.