T. C.
İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
KESİRLİ DERECELİ KONTROL SİSTEMLERİNİN DAYANIKLI ANALİZ VE TASARIMI
MÜNEVVER MİNE ÖZYETKİN
DOKTORA TEZİ
ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI
NİSAN 2013
Tez Başlığı: Kesirli Dereceli Kontrol Sistemlerinin Dayanıklı Analiz ve Tasarımı
Tezi Hazırlayan: M. Mine ÖZYETKİN
Sınav Tarihi: 22 Nisan 2013
Yukarıda adı geçen tez jürimizce değerlendirilerek Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalında Doktora Tezi olarak kabul edilmiştir.
Sınav Jüri Üyeleri
Tez Danışmanı Prof. Dr. Nusret TAN İnönü Üniversitesi
Jüri Başkanı Doç. Dr. İbrahim KAYA Dicle Üniversitesi
Üye Doç. Dr. Müslüm ARKAN
İnönü Üniversitesi
Üye Yrd. Doç. Dr. Cem ONAT
İnönü Üniversitesi
Üye Yrd. Doç. Dr. Celaleddin YEROĞLU
İnönü Üniversitesi
Prof. Dr. Mehmet ALPASLAN Enstitü Müdürü
ONUR SÖZÜ
Doktora Tezi olarak sunduğum “Kesirli Dereceli Kontrol Sistemlerinin Dayanıklı Analiz ve Tasarımı” başlıklı bu çalışmanın bilimsel ahlak ve geleneklere aykırı düşecek bir yardıma başvurmaksızın tarafımdan yazıldığını ve yararlandığım bütün kaynakların, hem metin içinde hem de kaynakça yöntemine uygun biçimde gösterilenlerden oluştuğunu belirtir, bunu onurumla doğrularım.
M. Mine ÖZYETKİN
i ÖZET Doktora Tezi
KESİRLİ DERECELİ KONTROL SİSTEMLERİNİN DAYANIKLI ANALİZ VE TASARIMI
Münevver Mine ÖZYETKİN İnönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı 188+xii sayfa
2013
Danışman: Prof. Dr. Nusret TAN
Kesirli dereceli türev ve integral klasik hesaplamanın gelişiminden beri bilinen bir kavramdır. Fakat, karmaşık yapısından ötürü uzun yıllar boyunca genellikle matematikçiler tarafından incelenen bir konu olarak kalmıştır. Bu konuyu cazip kılan en önemli özelliği gerçel sistemleri tamsayı dereceli yaklaşımlara göre daha iyi ifade etmesidir. Bu tez çalışmasında, kesirli dereceli kontrol sistemlerinin dayanıklı analiz ve tasarımı ile ilgili çalışmalar yer almaktadır. Yapılan çalışmalar kısaca şöyle özetlenebilir: Sürekli kesir açılımı metodu kullanılarak = 0.1, 0.2, … , 0.9 için
’nın tamsayı dereceli yaklaşımları hesaplanmış ve birer tablo halinde sunulmuştur.
Aralık türünden derece belirsizliğine sahip kesirli dereceli türev ( [ , ]) için tamsayı dereceli eşdeğer transfer fonksiyonları elde edilmiştir. Kararlılık sınır eğrisi metodu kullanılarak kesirli dereceli zaman gecikmeli kontrol sistemleri için , ve kontrolör tasarımı yapılmıştır. Tamsayı dereceli yaklaşımlar kullanılarak orjinal sistemin ve yaklaşımların kararlılık bölgesi üzerindeki etkileri gözlemlenmiştir.
Kararlılık sınır eğrisi metodu kullanılarak kesirli dereceli zaman gecikmeli sistemler için kesirli dereceli , , kontrolör tasarımı yapılmıştır. Bu tür kontrolörler için zaman cevabı analizini yapabilmek amacıyla MATLAB’da Simulink blok diyagramları oluşturulmuştur. Ağırlıklı geometrik merkez metodu kullanılarak kesirli dereceli zaman gecikmeli sistemler için , kontrolör tasarımına yönelik bir çalışma sunulmuştur. Aralık belirsizlik yapısındaki kesirli dereceli polinomların kararlılığı incelenmiştir. Kesirli dereceli aralık polinomlar için Kharitonov teoreminin kullanılamayacağı gösterilmiştir. Bu tip polinomların değer kümelerinin elde edilmesi için kenar teoremine dayalı bir yöntem sunulmuş ve dayanıklı kararlılık analizleri yapılmıştır. Bunun yanısıra aralık türünden kesir derece belirsizliğine sahip kontrol sistemlerinin dayanıklı kararlılığı incelenmiştir. Ters sarkaç sistemi için kesirli dereceli kontrolör kullanılarak bazı performans deneyleri yapılmıştır.
ANAHTAR KELİMELER: Kesirli dereceli kontrol sistemleri, kesirli dereceli kontrolörler, PID, parametre belirsizliği, dayanıklı kararlılık, tamsayı dereceli yaklaşımlar, ters sarkaç sistemi.
ii ABSTRACT
PhD. Thesis
ROBUST ANALYSIS AND DESIGN OF FRACTIONAL ORDER CONTROL SYSTEMS
Münevver Mine ÖZYETKİN İnönü University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Electrical and Electronics Engineering
188+xii pages 2013
Supervisor: Prof. Dr. Nusret TAN
The notion of fractional order derivative and integral has been known since the development of conventional calculus. Generally, however, due to its complexity, it has been studied by the mathematicians for a long time. The most important property of the fractional order representation is that it is more accurate to describe real world systems than those of integer order models. In this thesis, the robust analysis and design of the fractional order control systems has been studied. The results obtained can be summarized as follows: Integer order approximations of for = 0.1, 0.2, … , 0.9 by using continued fraction expansion method have been calculated and each of them is given in a table. Equivalent integer order transfer functions of fractional order derivative ( [ , ]) having interval order uncertainty are computed.
The design of , and controllers for fractional order systems with time delay has been done using stability boundary locus method. Integer order approximations are used to show the effects of the order of approximation and original system on the stability region. Then, the extension of the stability boundary locus method for computation of all stabilizing fractional order , and controllers to the fractional order systems with time delay is given. To investigate time domain analysis of fractional order controllers, MATLAB Simulink block diagrams are constructed. Design of controller for the fractional order systems with time delay using weighted geometrical center method is presented. Stability of fractional order polynomials having parametric uncertainty (Fractional Order Interval Polynomials-FOIP) is studied. It has been shown that the Kharitonov theorem is not sufficient for testing robust stability of the FOIP. A method based on the edge theorem for construction of the value set and robust stability results of the FOIP family are presented. Besides, robust stability of the fractional order system having interval order uncertainty has been studied. Some results related to real time control of inverted pendulum system by using fractional order controller are presented.
KEY WORDS: Fractional order control systems, fractional order controllers, PID, parametric uncertainty, robust stability, integer order approximations, inverted pendulum.
iii TEŞEKKÜR
Çalışmalarımın her safhasında yardım ve önerilerini eksik etmeyen bilgisinden her zaman yararlandığım çok değerli danışman hocam Sayın Prof. Dr. Nusret TAN’a, beni değerli bilgileriyle yönlendiren tez izleme komitesi üyeleri Sayın Doç.
Dr. İbrahim KAYA ve Doç. Dr. Müslüm ARKAN’a, çalışmalarıma farklı bir boyut katan Sayın Yrd. Doç. Dr. Cem ONAT’a, hepsi birbirinden değerli tüm Elektrik- Elektronik Mühendisliği Bölümü hocalarına, bilhassa anlayışından ötürü bölüm başkanı Sayın Prof. Dr. Salih MAMİŞ’e, hayatımın her evresini paylaştığım, maddi ve manevi olarak hep yanımda olan biricik aileme şükranlarımı sunarım.
Ayrıca, bu çalışmayı 2010/06 nolu doktora projesi kapsamında maddi olarak destekleyen İnönü Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Koordinasyon Birimi’ne teşekkür ederim.
M. Mine ÖZYETKİN
iv
İÇİNDEKİLER
ÖZET... i
ABSTRACT... ii
TEŞEKKÜR... iii
İÇİNDEKİLER... iv
ŞEKİLLER LİSTESİ... vii
TABLOLAR LİSTESİ... xi
SİMGELER VE KISALTMALAR... xii
1. GİRİŞ... 1
1.1. Konuyla İlgili Yapılabilecek Yeni Çalışmalar... 17
1.2. Tezde Yapılan Çalışmalar... 20
2. KESİRLİ DERECELİ TRANSFER FONKSİYONLARININ TAMSAYI DERECELİ YAKLAŞIM MODELLERİNİN ELDE EDİLMESİ……….... 23
2.1. Giriş... 23
2.2. Kesirli Dereceli Sistemlerin Tamsayı Dereceli Rasyonel Yaklaşımları... 24
2.2.1. Sürekli Kesir Açılımı Metodu (CFE)... 25
2.2.2. Genel CFE metodu... 26
2.2.3. Carlson metodu... 27
2.2.4. Matsuda Metodu... 27
2.2.5. Oustaloup metodu... 27
2.2.6. Chareff metodu... 28
2.2.7. CFE kullanarak ayrık zaman yaklaşımı... 29
2.3. Rasyonel Yaklaşım... 29
2.4. Kesirli Dereceli Aralık Derece Belirsizliğine Sahip Transfer Fonksiyonları ve Tamsayı Dereceli Eşdeğerleri... 34
2.4.1. [ , ]’nın tamsayı dereceli eşdeğerleri... 35
2.5. Uygulamalar... 37
2.5.1. Örnek 1... 38
2.5.2. Örnek 2... 39
2.5.3. Örnek 3... 41
2.5.4. Örnek 4... 44
2.5.5. Örnek 5... 45
2.5.6. Örnek 6... 47
2.6. Sonuçlar... 51
3. KESİRLİ DERECELİ SİSTEMLER İÇİN KLASİK KONTROLÖR TASARIMI VE EŞDEĞER YAKLAŞIM MODELLERİNİN KARARLILIK BÖLGESİNE ETKİLERİ... 52
3.1. Giriş... 52
3.2. PID Kontrolör Yapısı... 53
3.2.1. PID Katsayılarını elde etmede kullanılan yöntemler... 54
3.3. Bir Sistemi Kararlı yapan Bütün PID Kontrolörlerin Hesaplanması 55 3.3.1. PI kontrolör tasarımı... 56
3.3.2. PD kontrolör tasarımı... 58
3.3.3. PID kontrolör tasarımı... 60
3.4. Uygulamalar... 62
3.4.1. Örnek 1... 62
3.4.2. Örnek 2... 67
v
3.4.3. Örnek 3... 71
3.5. Sonuçlar... 75
4. ZAMAN GECİKMELİ SİSTEMLER İÇİN KESİRLİ DERECELİ PID KONTROLÖR TASARIMI... 76
4.1. Giriş... 76
4.2. Kesirli Dereceli Kontrolörler... 77
4.2.1. Kontrolör Tasarımı... 79
4.2.2. Kontrolör Tasarımı... 83
4.2.3. Kontrolör Tasarımı... 86
4.3. Kesirli Dereceli Kontrolörlerin Matlab’da Blok diyagramlarının Oluşturulması ve Zaman Cevabı Analizi... 90
4.4. Kesirli Dereceli Kontrolörler için Yeni Bir Katsayı Belirleme Metodu... 95
4.4.1. Ağırlıklı geometrik merkez metodu... 95
4.5. Uygulamalar... 97
4.5.1. Örnek 1... 97
4.5.2. Örnek 2... 99
4.5.3. Örnek 3... 104
4.6. Sonuçlar... 106
5. KESİRLİ DERECELİ ARALIK POLİNOMLARIN VE ARALIK TÜRÜNDEN KESİR DERECE BELİRSİZLİĞİNE SAHİP POLİNOMLARIN DAYANIKLI KARARLILIK ANALİZİ... 107
5.1. Giriş... 107
5.2. Parametre Belirsizliğine Sahip Kontrol Sistemleri... 109
5.2.1. Kharitonov teoremi... 110
5.2.2. Kharitonov polinomlarının elde edilmesi... 111
5.3. Kesirli Dereceli Aralık Polinom (KDAP) için Kharitonov Teoremi Geçerli midir?... 112
5.4. Değer Kümesinin Belirlenmesi ve KDAP Kararlılığı... 116
5.5. Aralık Kesir Dereceli Transfer Fonksiyonlarının Frekans Cevabı Analizi... 120
5.5.1. On altı Kharitonov transfer fonksiyonu... 122
5.5.2. Otuz iki sistem ... 122
5.6. Uygulamalar... 124
5.6.1 Örnek 1... 124
5.6.2. Örnek 2... 127
5.6.3. Örnek 3... 131
5.6.4. Örnek 4... 133
5.6.5. Örnek 5... 138
5.7. Sonuçlar... 140
6. TERS SARKAÇ SİSTEMİNİN KESİRLİ DERECELİ PID KONTROLÖR İLE PERFORMANS ANALİZİ... 141
6.1. Giriş... 141
6.2. Ters Sarkaç Sisteminin Deneysel Yapısı………... 142
6.3. Hareket Denklemlerinin Elde Edilmesi………... 144
6.4. Gerçek Zamanlı Deney Sonuçları……….. 148
6.4.1. Ters sarkaç kontrolü için gerçek zamanlı deney sonuçları……….... 148
6.4.2. Swing hold kontrol için gerçek zamanlı deney sonuçları………….. 151
6.5. Sonuçlar………. 157
vi
7. SONUÇ VE ÖNERİLER... 158
7.1. Tez Çalışmasında Elde Edilen Sonuçlar... 158
7.2. Gelecekte Yapılabilecek Çalışmalarla İlgili Öneriler... 160
KAYNAKLAR... 163
EKLER... 176
ÖZGEÇMİŞ... 185
vii
ŞEKİLLER LİSTESİ
Şekil 1.1. Yolda hareket eden bir aracın a) makroskopik b) mikroskopik olarak gidiş-geliş rotası………... 1 Şekil 1.2. Kesirli dereceli LTI sistemler için kararlılık bölgeleri a) = 1
için (s düzleminde) kararlılık bölgesi, b) 0 < < 1 için kararlılık bölgesi, c) 1 < < 2 için kararlılık bölgesi…………. 9 Şekil 1.3. Farklı kutup yerleşimlerine göre ω düzleminde kararlılık
bölgeleri……… 11
Şekil 1.4. Dört temel elektriksel devre elemanı ve aralarındaki ilişki... 13 Şekil 2.1. s . için Bode diyagramı: (***) gerçek sistem, (
—
) birincidereceden yaklaşım, (
—
) ikinci dereceden yaklaşım, (….) üçüncü dereceden yaklaşım, (+++) dördüncü derecedenyaklaşım………... 39
Şekil 2.2. Birim geri beslemeli sistem……….. 39 Şekil 2.3. ( ) için orjinal sisteme ve ikinci dereceden yaklaşıma göre
Nyquist diyagramı……… 40
Şekil 2.4. ( ) için orjinal sisteme ve ikinci dereceden yaklaşıma göre
Nichols diyagramı……… 40
Şekil 2.5 Denklem 2.31’de verilen sistem için birinci dereceden yaklaşıma göre kök-yer eğrisi………... 43 Şekil 2.6. Denklem 2.31’de verilen sistem için çeşitli K değerlerine göre
birim basamak tepkileri……… 43
Şekil 2.7. Denklem 2.33’de verilen sistemin farklı K değerleri için birim
basamak cevabı………. 44
Şekil 2.8. Denklem 2.35’deki orjinal sistem için alt limit ( . ) ve üst limit ( . )’e göre ve ( . ) ve ( . ) için türevin ikinci dereceden yaklaşımına göre Bode diyagramları………... 47 Şekil 2.9. Denklem 2.40’daki orjinal sistemin ve birinci dereceden
yaklaşımın alt limite göre Nyquist diyagramı………... 49 Şekil 2.10. Denklem 2.40’daki orjinal sistemin ve birinci dereceden
yaklaşımın alt limite göre Nichols diyagramı……….. 49 Şekil 2.11. Denklem 2.40’daki orjinal sistemin ve dördüncü dereceden
yaklaşımın üst limite göre Nyquist diyagramı………... 50 Şekil 2.12. Denklem 2.40’daki orjinal sistemin ve dördüncü dereceden
yaklaşımın üst limite göre Nichols diyagramı………. 50 Şekil 3.1. Birim geri beslemeli sistem……….. 56 Şekil 3.2. Birinci dereceden yaklaşımın ve gerçek sistemin kararlılık
bölgeleri……… 63
Şekil 3.3. İkinci dereceden yaklaşımın ve gerçek sistemin kararlılık
bölgeleri……… 64
Şekil 3.4. Üçüncü dereceden yaklaşımın ve gerçek sistemin kararlılık
bölgeleri……… 64
Şekil 3.5. Dördüncü dereceden yaklaşımın ve gerçek sistemin kararlılık
bölgeleri……… 65
Şekil 3.6. Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü dereceden yaklaşımların ve gerçek sistemin kararlılık bölgeleri……….. 65 Şekil 3.7. =0.5 ve =0.5. için birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü
dereceden yaklaşımların birim basamak cevapları………... 66
viii
Şekil 3.8. =0.5 ve =0.5 için birinci (-.-.-), ikinci (…), üçüncü (---) ve dördüncü (−) dereceden yaklaşımların birim basamak
cevapları……… 66
Şekil 3.9. ( , ) düzleminde = 0 ve = 0.6 için kararlılık bölgeleri……… 69
Şekil 3.10. ( , ) düzleminde = 0.1 ve = 0.6 için kararlılık bölgeleri……… 69
Şekil 3.11. = 1 için kararlılık bölgesi……… 70
Şekil 3.12. Kararlı , ve değerleri………... 70
Şekil 3.13. Farklı , ve değerleri için birim basamak cevapları…... 71
Şekil 3.14. Nyquist diyagramları……… 73
Şekil 3.15. Şekil 3.14’ün büyütülmüş versiyonu……… 73
Şekil 3.16. Bode diyagramları……… 74
Şekil 3.17. Sistemin birim basamak tepkileri………... 74
Şekil 4.1. P-I-D düzlemi ve PID kontrolör………... 78
Şekil 4.2. Tek girişli-tek çıkışlı bir kontrol sistemi……….. 79
Şekil 4.3. PID kontrolör………... 92
Şekil 4.4. 1, 1 için PID kontrolörün açık blok diyagramı…….. 92
Şekil 4.5. Kapalı çevrim sistemin blok diyagramı……… 93
Şekil 4.6.
ve
’nün dört farklı durumu için sistemin birim basamak cevabı………... 94Şekil 4.7. 1 için kararlılık bölgesi ve ( , ) geometrik merkezi... 96
Şekil 4.8. 1 ve 0:0.02:0.14’e göre çizilen kararlılık bölgesi ve 0 i k çizgisi……… 97
Şekil 4.9. Orjinal sisteme göre farklı değerleri için kararlılık bölgeleri… 98 Şekil 4.10. Farklı değerleri için 4. dereceden yaklaşıma göre birim basamak cevapları………. 98
Şekil 4.11. Farklı değerleri için orjinal sisteme göre kararlılık bölgeleri.. 100
Şekil 4.12. Tüm kontrolörler için ortak kararlılık bölgesi……….. 101
Şekil 4.13. 1 için birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü dereceden yaklaşımlara göre kararlılık bölgeleri………... 101
Şekil 4.14. 1 için büyütülmüş olarak ikinci, üçüncü, dördüncü dereceden yaklaşımlara ve orjinal sisteme göre kararlılık bölgeleri……… 102
Şekil 4.15. Farklı değerleri için ( , ) geometrik merkez değerleri ve kararlılık bölgeleri………. 102
Şekil 4.16. Farklı değerleri için ( , ) ortalama değerlerine göre birim basamak cevapları………. 103
Şekil 4.17. Farklı değerleri için ( , ) ortalama değerlerine göre ve 1 ’in katsayılarını kullanarak 0.9’a göre birim basamak cevapları……… 103
Şekil 4.18. ( , ) arasındaki bağıntıya göre elde edilen çeşitli katsayılara göre 1 için birim basamak cevapları……….. 104
Şekil 4.19. Sistemin farklı kontrolörler için birim basamak cevapları……... 105
Şekil 5.1. Kharitonov dörtgeni ve k1(s)’in Mikhailov eğrisi………... 112
Şekil 5.2. Denklem 5.13’ deki aralık polinomun değer kümesi……… 114
ix
Şekil 5.3. Denklem 5.15’deki belirsiz polinom ailesinin 2 rad/sn için 1000 polinomun ve dört Kharitonov polinomunun
görüntüleri……… 116
Şekil 5.4. Üç belirsiz parametreli Denklem 5.1 yapısındaki bir polinom için a) parametre uzayındaki belirsizlik kutusu b) kompleks düzlemdeki etkin kenarların görüntüsü……… 118
Şekil 5.5. Denklem 5.31 için 625 polinomun ve etkin kenarlar kümesinin 3 rad/sn’deki görüntüsü……… 125
Şekil 5.6. Denklem 5.31’deki polinom ailesinin 010 için değer kümeleri……… 126
Şekil 5.7. Kesirli dereceli aralık bir kontrol sistemi………. 127
Şekil 5.8. 1 rad/san’de Denklem 5.38’deki ( qs, )’nun değer kümesi 129 Şekil 5.9. 015 rad/san için Denklem 5.38’deki ( qs, )’nun değer kümesi………... 130
Şekil 5.10. Belirsiz parametrelerin farklı değerleri için birinci derece yaklaşıma göre birim basamak cevapları……….. 130
Şekil 5.11. Orjinal sistemin için alt limit ( . ) ve üst limit ( . )’e göre ve ( . ) ve ( . ) için türevin ikinci dereceden yaklaşımına göre Bode diyagramları………. 132
Şekil 5.12. Orjinal sistemin alt limiti (mavi) ve üst limiti (kırmızı) için ve türevin ikinci dereceden yaklaşımına göre on altı Kharitonov transfer fonksiyonu (siyah) için Bode diyagramları ……… 132
Şekil 5.13. ( ) için türevin ikinci dereceden yaklaşımına göre on altı Kharitonov transfer fonksiyonunun Bode diyagramları……….. 134
Şekil 5.14. ( ) için türevin ikinci dereceden yaklaşımına göre on altı Kharitonov transfer fonksiyonunun Nyquist diyagramları…….. 134
Şekil 5.15. ( ) için türevin ikinci dereceden yaklaşımına göre on altı Kharitonov transfer fonksiyonunun Nichols diyagramları…….. 135
Şekil 5.16. = 1’de ( ) için otuz iki sistemin Nyquist zarfı………. 135
Şekil 5.17. 0 ≤ ≤ 2 aralığında ( ) için otuz iki sistemin Nyquist zarfı………... 136
Şekil 5.18. 0 ≤ ≤ 2 aralığında ( ) için otuz iki sistemin Nyquist zarfı (mavi) ve on altı Kharitonov transfer fonksiyonunun Nyquist eğrileri (siyah)………... 136
Şekil 5.19. Kontrolörlü sistemin türevin ikinci dereceden yaklaşımına göre on altı Kharitonov transfer fonksiyonunun (siyah) ve orjinal sistemin alt limit (kırmızı) ve üst limitlerinin (mavi) birim basamak cevapları (λ = μ = 1 için)………. 137
Şekil 5.20. Denklem 5.57’ye göre 0 ≤ ≤ 2 için aralık polinomun değer kümesi………... 139
Şekil 6.1. Dijital sarkaç mekanik yapısı……… 143
Şekil 6.2. Ters sarkaç kontrol sistemi………... 143
Şekil 6.3. Sarkaç sisteminin mekaniksel modeli………... 144
Şekil 6.4. Ters sarkaç sisteminin kararlılık ve salınım bölgeleri………….. 145
Şekil 6.5. ve . . için ters sarkaç pozisyon kontrolü……… 149
Şekil 6.6. ve . . için ters sarkaç açı kontrolü………... 149
Şekil 6.7. Farklı kontrolörler için ters sarkaç pozisyon kontrolü………... 150
Şekil 6.8. Farklı kontrolörler için ters sarkaç açı kontrolü……… 150
Şekil 6.9. Deneme 1’de farklı kontrolörler için swing hold pozisyon kontrolü………. 151
x
Şekil 6.10. Şekil 6.9’un büyütülmüş versiyonu……….. 152 Şekil 6.11. Deneme 1’de farklı kontrolörler için swing hold açı kontrolü... 152 Şekil 6.12. Şekil 6.11’in büyütülmüş versiyonu………... 153 Şekil 6.13. Deneme 1’de farklı kontrolörler için swing hold kontrol
sinyalleri……… 153
Şekil 6.14. Deneme 2’de farklı kontrolörler için swing hold pozisyon
kontrolü………. 154
Şekil 6.15. ve . . için swing hold pozisyon kontrolü…………... 155 Şekil 6.16. Deneme 2’de farklı kontrolörler için swing hold açı kontrolü... 155 Şekil 6.17. Şekil 6.16’nın büyütülmüş versiyonu………... 156 Şekil 6.18. ve . . için swing hold açı kontrolü………. 156
xi
TABLOLAR LİSTESİ
Tablo 2.1. . için rasyonel yaklaşımlar……….. 31
Tablo 2.2. . için rasyonel yaklaşımlar……….. 31
Tablo 2.3. . için rasyonel yaklaşımlar……….. 32
Tablo 2.4. . için rasyonel yaklaşımlar……….. 32
Tablo 2.5. . için rasyonel yaklaşımlar……….. 32
Tablo 2.6. . için rasyonel yaklaşımlar……….. 33
Tablo 2.7. . için rasyonel yaklaşımlar……….. 33
Tablo 2.8. . için rasyonel yaklaşımlar……….. 33
Tablo 2.9. . için rasyonel yaklaşımlar……….. 34
Tablo 4.1. Birim basamak cevabı parametreleri………... 105
Tablo 6.1. Sarkaç sisteminin parametreleri………... 146
xii
SİMGELER VE KISALTMALAR
PI Oransal İntegral (Proportional-Integral) kontrolör PD Oransal Türevsel (Proportional-Derivative) kontrolör
PID Oransal İntegral Türevsel (Proportional-Integral-Derivative) kontrolör
Kesirli dereceli PI kontrolör Kesirli dereceli PD kontrolör Kesirli dereceli PID kontrolör İntegral teriminin kesir derecesi Türev teriminin kesir derecesi Oransal kazanç sabiti
İntegral kazanç sabiti Türevsel kazanç sabiti ( ) Laplace domeni giriş sinyali ( ) Laplace domeni çıkış sinyali
( ) Kontrolörün Laplace domeni gösterimi
∆( ) Karakteristik denklemin Laplace domeni gösterimi ( , , ) ( , ) düzleminde kararlılık sınır eğrisi
BIBO Sınırlı Giriş Sınırlı Çıkış (Bounded Input Bounded Output) LTI Lineer Zamanla Değişmeyen (Linear Time Invariant) CFE Sürekli Kesir Açılımı (Continued Fraction Expansion) KDS Kesir/Kesirli Dereceli Sistem
KDKS Kesirli Dereceli Kontrol Sistemi KDAP Kesirli Dereceli Aralık Polinom Interval polinom Aralık polinom
Kontrolör Denetçi
Robust kontrol Dayanıklı denetim
[] Teorem ispatını bitiş işareti
1 1. GİRİŞ
Kesirli dereceli türev ve integral klasik hesaplamanın gelişiminden beri bilinen ya da üzerinde düşünülen bir kavramdır [1]. Fakat uzun yıllar boyunca genellikle matematikçiler tarafından incelenen bir konu olarak kalmıştır ve bu konuda yapılan çalışmalar çoğunlukla ileri analiz diliyle yapılmış olduğundan mühendislik ve diğer bilim dalları tarafından ulaşılması ve anlaşılması pek de kolay olmamıştır [1]. Kesirli dereceli davranış sergilediği belirlenebilen ilk fiziksel sistemin yarı sonsuz kayıplı (semi-infinite lossy) (RC) iletim hattı olduğu söylenebilir [1]. Hattaki akım uygulanan gerilimin yarı türevine eşittir. Yani ( ) 1 I(s)
s s
V ’tir. Bunun yanı sıra yarı sonsuz katı içerisinde ısı difüzyonu [1], viskoelastik sistemler [2-6, 7], renkli gürültü [8], elektrot-elektrolit polarizasyon [9, 10], dielektrik polarizasyon [11], kanal [12]
ve elektromanyetik dalgalarda [13] kenar katmanı etkisi, yeniden ısıtma fırınları (reheating furnaces), kimyasal prosesler, kaos sistemleri buna örnek olarak verilebilir [1, 14].
Daha önceki tüm olayların hafızasına sahip olan sistemlerde, sonraki olayların tahmin edilebilmesi için bunların kayıtlı olması gerekir. Dolayısıyla bütün sistemler kendilerini ifade eden denklemlerde kesirli dereceli gösterime ihtiyaç duyar [15 s:18]. Bu konuyu cazip kılan en önemli özelliği gerçek sistemleri tamsayı dereceli yaklaşımlara göre daha iyi ifade etmesidir [1, 14-17]. Tamsayı dereceli tanımlama, gerçek sistemle matematiksel modeli arasında önemli farklara sebep olabilir [16].
Tamsayı dereceli modelleri kullanmanın temel sebebi, kesirli dereceli diferansiyel denklemlerin çözüm metotlarının olmamasıdır [16]. Konuyu daha iyi anlamak için Şekil 1.1’de verilen örneği ele alalım.
Şekil 1.1. Yolda hareket eden bir aracın a) makroskopik b) mikroskopik olarak gidiş- geliş rotası [15 s: 17]
a) b)
2
Şehir trafiğine yukarıdan kuşbakışı baktığımızı farzedersek, araçları düz bir rotada ilerliyormuş gibi görürüz. Buna bağlı olarak hıza ait eğriyi çizmek istediğimizde, birinci dereceden tamsayı dereceli bir denklem olan yer değiştirmenin zamana göre türevini kullanırız [15 s: 17]. Fakat, aynı aracın hareketini çok daha büyük ve detaylı olarak incelediğimizde aracın aslında zikzaklar çizerek hareket etmiş olduğunu farkederiz. Bu rota, zikzaklar çizmesine rağmen süreklidir. Yani diferansiyel denklemle ifade edilebilir. Birinci durumda (düz bir rotada ilerlerken) hızın ifadesi dx/dt iken ikinci durumda (zikzaklar çizen rotada) hız ya dx/dt şeklinde (yani lineermiş gibi düşünülerek) ya da d1x/ dt1 şeklinde ifade edilebilir (burada 01) [15 s: 17]. Görüldüğü gibi ikinci ifadede diferansiyel denklem tamsayı dereceli olmayan bir hale dönüşmektedir. Klasik (uniform zaman skalasında) hesaplamada dx/dt hızı, d2x/ dt2 ise ivmeyi ifade etmektedir. Fakat d1x/ dt1 diferansiyel denkleminin d1.25x/ dt1.25olduğunu varsayarsak bu ifade klasik hesaplamada hız ile ivme arasında yer alır. Yani, bu ifadeyi mevcut bilgilerimizle fiziksel olarak anlamlandırmak pek de kolay değildir [15 s: 17].
Kesirli dereceli hesaplama, tamsayı dereceli olmayan a
D
t operatörü için, burada operatörün derecesini (genellikle R’dir) ve a ve
t
ise operatörün limitlerini ifade etmektedir, türev ve integralin bir genellemesidir denilebilir [18]. Sürekli zamanlı türev ve integral (integro-diferansiyel veya differ-integral) operatörü Denklem 1.1’deki gibi tanımlanabilir [18, 19].0 :
1 :
0 :
) ( 1
t
a t a
d dt
d
D
(1.1)Kesirli dereceli türev ve integraller için genel olarak iki tanım yaygın olarak kullanılmaktadır. Bunlar, Riemann-Liouville ve Grünwald-Letnikov tanımıdır.
Grünwald-Letnikov tanımı Denklem 1.2’deki gibidir [14, 18, 19, 20].
3
h t
j j t h
a f t jh
h j t
f D
0 0 ( 1) ( )
lim )
( (1.2)
Burada ℎ zaman artışı ve [.] tamsayı kısım anlamına gelir [20].
Riemann-Liouville’nin kesirli dereceli integrali 01 ve t0 için f( t) 0 olmak üzere Denklem 1.3’deki gibi tanımlanır [18 s: 4].
t
t f t t f d
D
0
1
0 ( ) ( )
) ( ) 1
(
1
0 , t0 (1.3)
Riemann-Liouville’nin kesirli dereceli türevi ise aşağıdaki gibi tanımlanır.
t n n
n
t t f d
dt d t n
f D
0
1
0 ( ) ( )
) ( ) 1
(
n
n1 (1.4)
Burada (.) Euler’in Gamma fonksiyonudur [18]
Riemann-Liouville ve Grünwald-Letnikov’un kesirli dereceli integralinin Laplace dönüşümü Denklem 1.5’deki gibi tanımlanır [18 s: 6].
0D f(t);s
s F(s)L t (1.5)
n
n1 olmak üzere Riemann-Liouville’nin kesirli dereceli türevinin Laplace dönüşümü Denklem 1.6’daki gibi tanımlanmaktadır [18, 19].
01 0 1
0
0 (); ( ) [ ()]
t k t
n
k k
t f t s s F s s D f t
D
L (1.6)
Yani kesirli dereceli türev ile integral ise ile ifade edilir. ± ’nın frekans cevabını elde etmek istersek ( )± yazmamız yeterli olacaktır. Bu göstermektedir ki kesirli dereceli sistemlerin frekans alanı analizi tıpkı tamsayı dereceli sistemlerdeki gibi yapılabilmektedir. Bu da frekans tabanlı yöntemlerin avantajlarından biridir.
4
Kesirli dereceli türev ve integralin temel özellikleri aşağıdaki gibi özetlenebilir [15, 18, 19].
1) Eğer f(t), t’nin analitik bir fonksiyonu ise onun kesirli dereceli türevi )
0Dtf(t , t ve ’nın analitik bir fonksiyonudur.
2) n tamsayı olmak üzere n için 0Dtf(t) klasik tamsayı derece n ile elde edilen sonucu verir.
3) 0 için 0Dtf(t) operatörü özdeş operatördür:
) ( )
0 (
0Dt f t f t
4) Kesirli dereceli türev ve integral lineer işlemlerdir:
) ( )
( )
( )
( 0 0 0
0Dtaf t Dtbg t a Dtf t b Dtg t
5) f(t) fonksiyonunun bazı makul sınırlamaları altında üslerin toplamı kuralı aşağıdaki gibidir.
) ( )
( )
( 0 0 0
0
0Dt Dtf t Dt Dt f t Dtf t
Kesirli dereceli bir kontrol sistemi aşağıdaki gibi bir kesirli dereceli diferansiyel denklem ile tanımlanabilir [19, 21].
) ( ...
) ( )
( )
( ...
) ( )
(t a 1D 1yt a0D 0yt b D r t b 1D 1rt b0D0r t y
D
an n n n m m m m (1.7)
bunu sürekli transfer fonksiyonu biçiminde ifade edersek [18, 21]
0 1
0 1
0 1
0 1
...
) ...
(
s a s
a s a
s b s
b s s b
G n n
m m
n n
m m
(1.8)
olur. Burada ak (k0,...,n) ve bk (k0,...,m) sabit, k (k0,...,n) ve k )
,..., 0
(k m rastlantısal reel sayılardır. Ayrıca n n1....0 ve 0
1 ....
m m ’dır. Kesirli dereceli sistemlerin ayrık zaman modeli aşağıdaki gibi elde edilir [19, 21].
0 1
0 1
)) ( ( ...
)) ( ( ))
( (
)) ( ( ...
)) ( ( ))
( ) (
( 1
0 1
1 1
1 0 1
1 1
z a z
a z
a
z b z
b z
z b
G n n
m m
n n
m
m (1.9)
5
Burada G(z) kesirli dereceli sistemin ayrık zaman transfer fonksiyonunu ifade etmektedir. Verilen bu denklemlerden şu yorum çıkarabilir: Kesirli dereceli sistemler, Laplace domeninde irrasyonel sürekli transfer fonksiyonuna veya Z domeninde sonsuz boyutlu ayrık transfer fonksiyonuna sahip sistemlerdir [21, 22].
Başka bir deyişle kesirli dereceli sistemler sınırsız hafızaya sahiptir [21-23]. Tamsayı dereceli sistemler ise bu genel durumun özel bir formudur ve sınırlı hafızaya sahiptir [14, 21].
Kesirli dereceli sistemlerin teorik olarak avantajlarının olduğu ortada olmasına karşılık, ki özellikle frekans alanında incelenmesi oldukça kolaydır, bu tür sistemlerin realizasyonu ve uygulamaları hala problemli ve muhtemelen en şüpheli noktalardan biridir [14]. Kesirli dereceli sistemler sonsuz boyuta sahip olduklarından kesirli dereceli kontrolörlerin mükemmel bir şekilde realize edilebilmesi için bütün geçmiş girişlerin memorize edilmesi (dikkate alınması) gerekmektedir ve bu da gerçek uygulamalarda imkansızdır [14]. Yani, ancak tamsayı dereceli durum için transfer fonksiyonunun, analog (direnç, kondansatör ve indüktans gibi geleneksel devre elemanlarını kullanarak) veya dijital (dijital filtreleri veya sonlu dereceli fark denklemlerini kullanarak) realizasyonu yapılabilir [21]. Sonuç olarak bu tür sistemlerin gerçekleştirilebilmeleri için tamsayı dereceli yaklaşımlarını elde etmek gerekmektedir. Bu tez çalışmasında daha çok analog realizasyonla ilgili olan yaklaşımlar üzerinde durulmuştur.
Kontrol mühendisliğinde kesirli dereceli hesaplama uygulamaları 1958’de Tustin’in büyük objeler için pozisyon kontrolü yapmasıyla başlar [14, 24, 25]. Daha sonra 1960’larda Manabe, non-integer integral ve kontrol sistemlerine uygulamaları [26] ve non-integer integral kullanarak sistem tasarımı gibi çalışmalar yapmıştır [27].
Ancak o dönemlerde kesirli derecenin yaygın bir fikir olmaması, çok az sayıda fiziksel uygulamanın olması ve sınırlı hesaplama yöntemleri sebebiyle kesirli dereceli hesaplamanın gelişimi çok da hızlı olmamıştır [14, 25]. Son yirmi yılı aşkın sürede yapılan araştırmalar sonucunda, kesirli dereceli gösterimin gerçek sistemleri tamsayı dereceli denklemlere göre daha iyi ifade ettiğini göstermeleri sonucu konuya olan ilgi artmış ve gelişim çok daha hızlı bir biçimde ilerlemiştir [14] (kesirli dereceli kontrol ile ilgili daha geniş bilgilere ulaşmak için [15, 18, 19, 28, 29] incelenebilir).
Konuya olan ilgi arttıkça doğal olarak kullanım alanları da genişlemiştir.
Viskoelatisite, difüzyon, dalga propogasyonu, elektromanyetik, kaos, ısı transferi, biyoloji, elektronik, sinyal işleme, robotik, genetik algoritma, telekomünikasyon,
6
fizik, kimya, kontrol sistemleri, biyomühendislik, biyomedikal, ekonomi ve finans gibi geniş bir yelpazede uygulama alanı bulmuştur [30-34]. Ancak literatürde çalışmaların çoğunlukla transfer fonksiyonu √s ve/veya e √ içeren dağıtımlı parametreli sistemlerin bir sınıfı üzerine yoğunlaştığı görülür [35]. T. T. Hartley et al. güncel olarak kesirli dereceli sistemlerin ve kontrolörlerin anlaşılması açısından önemli çalışmalar yapmışlardır [36, 37]. [14]’de hareket kontrolüyle ilgili olarak burulma (torsional) sistemine kesirli dereceli PID kontrolör uygulaması yapılmıştır.
Benzer bir çalışma [25]’de bulunabilir. [1]’de kesirli dereceli sistemlerde kaos üzerine bir çalışma bulunmaktadır. [30]’da bir robotun empedans tasarımı için kesirli dereceli hesaplama kullanılmıştır. [31]’de kesirli hesaplamanın kontrolör ayarlanması, ayaklı robotlar, redundant robotlar, ısı difüzyonu ve dijital devre sentezinde kullanımına dair araştırmalar yapılmıştır. [38]’de robotikler, yapay zeka, nanoteknoloji, medikal endüstri ve askeriyedeki araştırmacıların ilgilendiği bir konu olan biomimetic (doğanın taklit edilmesi ve bu konseptin başka bir teknoloji için kullanılması) kontrol uygulaması bulunabilir.
Bir sistem kesirli dereceli olabileceği gibi sistem denetimini sağlayan kontrolör de kesirli dereceli yapıya sahip olabilir. Dinamik sistemler için kesirli dereceli kontrolörleri kullanma fikri ilk kez CRONE (Controle Robuste d’Ordre Non Entier) kontrolörü geliştirmiş olan A. Oustaloup tarafından ortaya atılmıştır [39]. Oustaloup klasik PID kontrolöre kıyasla kesirli dereceli kontrolörün avantajlarını da göstermiştir. 1994’te PID kontrolörlerin kesirli dereceli versiyonu olan PID kontrolör yapısı Podlubny tarafından literatüre tanıtılmıştır [39, 40]. PID ile sembolize edilen kesirli dereceli PID kontrolör domeninde (alanında) Denklem 1.10 ile ifade edilir.
s
k s k s
s k s k k k s
C p i d d p i
) (
)
( , (,0) (1.10)
Zaman domeninde ise PID kontrolör Denklem 1.11’deki gibi ifade edilmektedir.
) ( )
( )
( )
(t k e t kD e t k D e t
u p i d (1.11)
7
Burada integral teriminin kesir derecesini, ise türev teriminin kesir derecesini ifade eden rastgele reel sayılardır. kp oransal kazanç sabiti, ki integral kazanç sabiti, kd ise türevsel kazanç sabitidir. Bu kontrolörler, klasik kontrolörleri de içine alan çok daha geniş bir tanımlama alanına sahiptirler. Ancak klasik kontrolörlere kıyasla ayarlanması gereken fazladan iki parametreleri vardır. Yani ayarlanması gereken beş parametre söz konusudur. Bunlar kp, ki, kd, ve ’dür (burada , >0). Bu da kontrolörün ayarlanmasına yönelik çalışmaları karmaşık bir hale getirmektedir. Ancak, daha esnek bir çalışma alanı sağladığından dayanıklı kontrol sistem tasarımında tamsayı dereceli kontrolörlere göre avantaj sağlamaktadır [41]. Ayrıca kontrolör parametrelerini ( ve ) ayarlamak için sistematik bir yöntem henüz yoktur [42]. CRONE, TID (Tilt-Integral-Derivative) ve lead-lag kontrolör gibi kesirli dereceli başka kontrolör tipleri de bulunmaktadır [38].
Kesirli dereceli sistemler için kontrolör tasarımı yapmak büyük önem taşımaktadır ve bu konuda pekçok çalışma yapılmıştır [16, 17, 43-51]. Örneğin, [17]’de kesirli dereceli PID ve PD kontrolörler çalışılmış, [43]’de dört kesirli dereceli kontrolör tipi üzerine çalışılmış, [44, 45]’de
PI
D
ayarlaması yapılmış, [46]’da PD kontrolör tasarımı yapılmış, [47]’de Ziegler-Nichols kurallarını kullanarak
D
PI ayarlama üzerine çalışılmıştır. [52, 53]’de kesirli dereceli lead kompansatör ele alınmış, [54]’de kesir dereceli lead-lag kompansatör üzerine bir çalışma yapılmıştır. [55]’de DC motor için kompleks dereceli kontrolör tasarımı yapılmıştır.
[42]’de ikinci dereceden sistemler (DC motor pozisyon servo sistem) için yeni bir kesir dereceli PD kontrolör ayarlama metodu önerilmiştir. [56-59]’da benzer şekilde hareket kontrolü için kesir dereceli kontrolör tasarımı bulunmaktadır. [60], kesirli dereceli kontrolörlerin tasarımı ve performans analizi bakımından değerli bir çalışmadır. Bu çalışmalar KDS (Kesirli Dereceli Sistem)’lerin kesirli dereceli kontrolör yapılarıyla daha iyi denetlenebildiğini göstermiştir [17, 48]. Geleneksel / kontrolörler endüstride çok yaygın olarak kullanıldıkları için kesirli dereceli / kontrolörlerin bu kontrolörlere alternatif olarak kullanımının çok yüksek bir ihtimal olduğu öngörülmektedir [19, 38].
Kontrol teorisinde kararlılık konusu oldukça önemlidir. Kesirli dereceli kontrol sistemleriyle ilgili olarak dayanıklı kararlılık, BIBO (Bounded Input Bounded Output) kararlılık, interval (aralık) kararlılık, kök-yer eğrisi, dayanıklı kontrol
8
edilebilirlik ve gözlemlenebilirlik vb. hala çözülememiş önemli konular bulunmaktadır [61]. Bu tür sistemlerde klasik kontroldeki polinomun köklerini bulup kararlılığını incelemek gibi doğrudan yaklaşım metotları kullanılamaz [22]. Bunun sonucunda Routh-Hurwitz, Jury gibi cebirsel metotlar bilinen şekliyle uygulanamaz [22]. Bunun yerine Nyquist gibi geometrik yöntemler söz konusudur. Yani çoğunlukla argüment prensibine dayanan kompleks analizin geometriksel teknikleri uygulanmaktadır [62].
Literatürde, KDS’lerin kararlılığı üzerine bazı çalışmalar mevcuttur [61-67].
[68]’de zaman gecikmeli dağıtımlı parametreli sistemlerin (distributed parameter systems) kararlılık analizi için bir metot sunulmuştur. Bu metot KDS’ler için de uygulanabilir [61]. [63]’de orantılı kesir dereceli lineer zamanla değişmeyen (Linear Time Invariant-LTI) sistemler için kararlılık analizi, [61]’de lineer ve nonlineer KDS’ler için kararlılık çalışmaları yapılmıştır. [69]’da Nyquist kararlılık kriterine dayalı bir test prosedürü sunulmuş, [70]’de oransal kesir dereceli sistemler için kök- yer eğrisinin oluşturulmasına yönelik bir çalışma yapılmıştır. [71-74]’de kesirli dereceli nonlineer sistemler (kaotik sistemler) için kararlılık araştırmaları yapılmıştır.
Aralık KDS’ler için kararlılık analizi [75-79]’da bulunabilir. Fakat KDS’lerin dayanıklı kararlılığı için bir test prosedürü hala ucu açık bir araştırma ve tartışma konusudur [61].
Özellikle orantılı derece türünden KDS’lerin kararlılık analizinde önemli bir metot olan Riemann katmanlarını gözlemlemek zor olduğundan kompleks düzleminden kompleks düzlemine geçmek bir nevi kolaylık sağlar [15, 36].
) ( ) ( )
0dtqx(t ax t bu t , > 0 (1.12)
Denklem 1.12 ile verilen temel kesirli dereceli diferansiyel denklemin kararlılığını ve davranışını analiz etmek için Denklem 1.13 ile verilen transfer fonksiyonu G(s)’in kutup yerleşimini analiz etmek gerekir [15, 36]. Denklem 1.12’den elde edilen kesirli dereceli transfer fonksiyonu G(s) aşağıdaki gibi tanımlanır [15, 36].
a s
b s
U s s X
G q
( ) ) ) (
( , > 0 (1.13)
9
Bilindiği gibi klasik kontrol teorisinde q1 olarak alındığında sistem tamsayı dereceli yapıya dönüşür. Bu tamsayı dereceli sistem için kararlılık analizi kutup yerleşiminin kompleks düzleminde incelenmesiyle sağlanır ve bu düzlemde kararlılığı belirleyen sanal eksendir. Yani sanal eksenin solunda yer alan kutup yerleşimi sistemin kararlı zaman cevabına, sağındaki yerleşimi ise kararsız zaman cevabına sahip olduğunu gösterir [15, 36]. Bu durum Şekil 1.2.a’da gösterilmiştir.
Kesirli dereceli sistem için farklı aralıklarına göre kararlılık bölgeleri ise Şekil 1.2.b ve Şekil 1.2.c’de görülmektedir.
Şekil 1.2. Kesirli dereceli LTI sistemler için kararlılık bölgeleri a) q1 için ( düzleminde) kararlılık bölgesi, b) 0 q1 için kararlılık bölgesi, c) 1 q2 için kararlılık bölgesi
a)
b) c)
10
Fakat, Denklem 1.13 ile verilen transfer fonksiyonunda kutuplar sq düzleminde incelenmelidir. ’in kesirli dereceli kompleks düzlemini incelemek yerine sq değişimi yaparak kutup yerleşimini kompleks düzleminde incelemek mümkündür.
Bu işlemi kolaylaştırmak için kesirli olan kuvvetin 0 q1 aralığında sınırlandığını varsayalım [15, 36].
ej j ve s rej (1.14)
olmak üzere
sq (rej )q rqejq ej (1.15)
olarak elde edilir. Burada rq ve q’dır. Buradan hareketle domenindeki bir ifadeyi düzleminde görüntülemek mümkündür. Daha önce belirtildiği gibi düzleminde kararlılığı belirleyen sanal eksen yani 2
j
re
s ’tir ve bu düzleminde
2
rqejq ’ye denk gelir. Bu da
2
q ’de bir çift doğru anlamına gelir. Yani
kompleks sağ yarı düzlemi, düzleminde 0 q1 olduğundan açısı
2
q
olan üçgensel bölgeye denk gelir. Örneğin q1/2 olduğunu varsayarsak sağ yarı düzlemi, düzleminde
4
ile sınırlanan üçgensel bölgeye denk gelmektedir.
Dolayısıyla düzleminde 4
ile sınırlanan bölge kararsızlık bölgesini ifade
eder. Bunun yanı sıra kararlılık analizinde kompleks düzleminin negatif reel ekseninin düzleminde görüntülenmesi de oldukça önemlidir. Buna göre srej,
düzleminde rqejq’ye denk gelir. Yani düzleminin tüm birinci katmanı, düzleminde q180 dereceden küçük bir alana denk gelirken düzleminin ikinci katmanı düzleminin kalan kısmına denk düşer. Örneğin q1/2 yarı dereceli sistem için düzleminin negatif reel ekseni, düzleminde 90 derece çizgileri arasında kalır [15 s: 152-153], [36]. Şekil 1.3’de, düzlemindeki kutup yerleşimi gösterilmiştir.
11
Şekil 1.3. Farklı kutup yerleşimlerine göre düzleminde kararlılık bölgeleri [15 s:
152]
Tablo 1.1. düzleminde kutup yerleşimi özellikleri [15 s: 153]
Kutup numarası (Şekil 1.3)
düzlemindeki bölge
düzlemindeki bölge
Zaman cevabı
1
2
q Re(s)>0
(sağ yarı düzlem)
Kararsız
2
q
q
2
Re(s)<0 (sol yarı düzlem)
Kararlı az sönümlü salınımlı
3 q Negatif reel eksen
) ( j
re s
Kararlı aşırı sönümlü
4 q İkinci Riemann
katmanı
Kararlı hiper sönümlü
5 İkinci Riemann
katmanı
Kararlı ultra sönümlü
[80]’de Machado, Grünvald-Letnikov tanımına dayalı olarak kesirli dereceli türevin olasılıksal bir yorumunu sunmuştur. Analog alanda böyle bir işlem fraktans aygıtı olarak adlandırılır ve genel olarak F ile gösterilir [81]. Ya da kesir dereceli
12
davranış sergileyen devreye fraktans denilebilir [82]. Fraktans aygıtının empedans fonksiyonu gösterimi aşağıdaki gibidir [81].
s
s k
Z( ) 0 (1.16)
Burada k0 sabit ve kesirli derecedir. ’nın değerine bağlı olarak elemanın davranışı indüktörle kapasitör arasında değişir [81]. Fraktansın realizasyonuna yönelik çalışmalar önem kazanmıştır ve konuyla ilgili pekçok çalışma yapılmıştır [83-88]. Bu tür aygıtlar fraktal yapı kullanılarak gerçekleştirilebilir ancak fraktal tabanlı realizasyon büyük hacim ve yüksek maliyet gibi dezavantajlara sahiptir [81, 89]. İdeal fraktansın faz açısı frekans değişiminden bağımsız ve sabittir ancak sadece kesir derece ’ya bağlı olarak değişir. Bu yüzden sabit faz elemanı (Constant Phase Element-CPE) olarak da bilinir [18, 81, 88].
Kesirli dereceli sistemlerin dijital veya analog realizasyonu yapılabilmektedir [19, 89]. [88], kesirli dereceli sistemlerin ve kontrolörlerin analog realizasyonuna yönelik önemli bir çalışmadır. [89]’da kesirli dereceli sistemlerin analog realizasyonunu basitleştirmeye yönelik bir çalışma yapılmıştır. [90, 91]’de kesirli dereceli kontrolörlerin sürekli kesir açılımı metodunu kullanarak (Continued Fraction Expansion-CFE) analog realizasyonuna yönelik çalışmalar bulunabilir. [23, 41]’de kesirli dereceli kontrolörlerin memristör (memory resistor) kullanılarak realizasyonuna yönelik bir çalışma yapılmıştır. [92]’de ise ayrık zaman realizasyonu ile ilgili çalışmalar bulunmaktadır.
Literatüre 1971’de Chua tarafından kazandırılan, nöromorfik (Neuromorphic) araştırmalar için önemli olarak görülen ve literatürde kayıp eleman olarak geçen memristör (direnci uygulanan gerilimin miktarı, polaritesi ve süresine bağlı olarak değişen iki uçlu eleman) ya da daha genel ifadeyle memristive aygıtlar (memristör, memkapasitör ve memindüktör [93]) [23, 41, 94, 95]’de kesirli dereceli hesaplama kullanılarak çalışılmıştır. Ayrıca bu çalışmalarda, bu tür aygıtların kesirli dereceli kontrolörlerin realizasyonu için de kullanılabileceği gösterilmiştir. Memristörün en önemli özelliği durumunu değiştirecek olan yeni bir gerilim uygulanıncaya kadar mevcut durumunu koruması ve bunun için fazladan güç gerektirmemesidir [23, 41, 94]. Yani bu sistem geçmişini hafızada tutmaktadır ve daha da önemlisi bunu yaparken güç harcamayarak enerji tasarrufu sağlamaktadır. Ayrıca memristör
13
davranışı diğer temel devre elemanlarını kullanarak gerçekleştirilemez [41, 95]. Şekil 1.4’de dört temel elektriksel devre elemanı görülmektedir [41]. Yapılan araştırmalarda kesirli hesaplamayla ilgili olarak fraktor (fractor) ve frakdüktör (fractional inductor) [23, 41, 95] gibi kesirli dereceli memristive sistemlerin (ya da fraktansın) özel bir durumu olarak da görülebilecek [23] yeni aygıtların literatüre girmeye başladıkları görülür.
Hafızaya sahip sistemlerin ve devre elemanlarının ortaya çıkması yeni gelişmekte olan kesirli dereceli hesaplama ve uygulama alanlarını çok daha fazla genişletmiştir.
Bu tür hafızaya sahip sistemlerin muhtemel öngörülen uygulamaları şimdilik şöyle özetlenebilir [23, 41]: daha fazla enerji tasarrufunun sağlandığı bilgisayarların yapımı, insan beyninin fonksiyonlarının taklit edilmesi amacıyla bir sinapsis gibi kullanılması, gerilim bölücü, anahtarlayıcı, osilatör, kompensatör, AD-DA (Analog Dijital-Dijital Analog) dönüştürücüler gibi elektronik devreler, öğrenme özelliğinden ötürü ilkel zekanın anlaşılabilmesi amacıyla biyolojik organizmaların modellenmesi, sinir ağlarında, kontrol sistemlerinde ve kesirli dereceli kontrolörlerin realizasyonunda vs. Kesirli hesaplamanın bu yeni araştırma alanları sayesinde kuvvetle muhtemeldir ki başka birçok uygulama alanı daha ortaya çıkacaktır.
Şekil 1.4. Dört temel elektriksel devre elemanı ve aralarındaki ilişki [41]
14
Kesirli differintegralin standart tanımları kesirli elementlere sahip karmaşık sistemlerin zaman alanı simülasyonlarında operatörün doğrudan kullanımına müsade etmediğinden bu tür sistemleri etkili bir biçimde analiz edebilmek için standart tamsayı dereceli operatörleri kullanarak kesirli operatörlerin yaklaşımlarının geliştirilmesi gerekmektedir [1, 96]. Tamsayı dereceli yaklaşımlarla ilgili olarak pekçok çalışma yapılmıştır [9-13, 97-99] (Detaylı bilgi için 2. Bölüme bakılabilir).
KDS’lerin zaman alanı cevabı farklı metotlarla değerlendirilebilir [19]. Örneğin [100]’de oransal KDS’lerin darbe birim basamak cevapları Mittag-Leffler fonksiyonlarını kullanarak elde edilmiştir. Ancak çözümü oldukça zor ve zaman alıcıdır. [101]’de lineer KDS’lerin zaman alanı cevabının elde edilmesine yönelik bir çalışma yapılmıştır. KDS’lerin zaman alanı cevabıyla ilgili detaylı bir çalışma [19]’da bulunabilir. Ancak analitik çözüm metotları mevcut olmadığından [19]’da yapılan çalışmada birim basamak cevabının seçilen adıma bağlı olarak bazı farklılıklar gösterdiği görülmektedir. [102]’de KDS’lerin zaman alanı simülasyonlarının elde edilmesi için Podlubny’nin analitik metodu ve Grünwald- Letnikov yaklaşım metoduna karşılık iki yeni yaklaşım metodu sunularak kıyaslamalar yapılmıştır. Bu çalışmada Podlubny’nin analitik metodunun geniş zaman skalası söz konusu olduğunda başarılı olmadığı ve önerilen metotların hem Podlubny hem de Grünwald-Letnikov metotlarına kıyasla daha iyi sonuçlar sağladığı gösterilmiştir. KDS’ler sonsuz hafızaya sahip olduklarından [66, 103] bu tür sistemlerin zaman alanı analizini doğrudan elde etmek oldukça zahmetli ve karmaşıktır [14, 103]. Bunun yerine tamsayı dereceli eşdeğerler gibi yaklaşım metotları kullanılabilmektedir. Ancak unutmamak gerekir ki bu yaklaşım metotları belirli frekans aralıklarında geçerlidirler [103]. Son yıllarda bu tür sistemlerin modellenmesi ve çözümlenmesine ilişkin MATLAB araçlarına dayalı olarak CRONE ve ninteger toolbox gibi bazı programlar geliştirilmiştir [104-109].
MATLAB programlarıyla ilgili özet bir çalışma [20]’de bulunabilir. KDS’lerin zaman alanında incelenmesi zor ve yeniliklere açık bir konudur [110]. Dolayısıyla bu konuda yapılacak olan verimli çalışmalara ihtiyaç duyulmaktadır. Bu tez çalışmasında hazır bir takım programları kullanmak yerine CFE metoduna göre elde etmiş olduğumuz eşdeğer transfer fonksiyonlarını kullanarak oluşturulmuş olan MATLAB programları kullanılarak KDS’ler için zaman alanı analizi yapılmıştır [111].
