ZEMİNLERİN GEÇİRİMLİLİĞİ

21

ZEMİNLERİN

GEÇİRİMLİLİĞİ

22

GİRİŞ

İnşaat Mühendisliğinde, zemin içindeki su akımları ile birçok durumda karşılaşılır. Toprak yapılar [toprak baraj, toprak set (sedde) vb.] içinden suların sızması, yapıların (baraj, regülatör vb.) altından suların sızması, açılan ve su çekilen kuyu veya çukura suyun sızması vb. yer altında oluşan su akımlarına (akışlarına) örnek olarak verilebilir. Bu gibi olayları incelemek için, zeminde su akımı ile ilgili bilgilerin öğrenilmesi gerekir.

23

GİRİŞ

24

DARCY YASASI

Zemin, boşluklu bir ortam olup, boşlukları birbirine bağlıdır. Bazı cisimler boşluklu olup, boşluklar kapalıdır, birbirine bağlı değildir. Su, zemin ortamın boşluklarında hareketsiz (durgun su durumu) durumda bulunabildiği gibi, birbirine bağlı boşluklardan geçerek, akabilir (hareketli yeraltı su durumu, akış durumu). Darcy (1856), laminer akım koşullarında suya doygun bir zemin ortamında; hızın, hidrolik eğim ile orantılı olduğunu göstermiştir. Yeraltı su akımlarının genellikle laminer (düşük hıza sahip) olduğu bilinmektedir. Eğer, L uzunluklu, A enkesit alanlı bir zemin örneği, h₁-h₂ su düzey farkına maruz bırakılırsa, Darcy Yasası, aşağıdaki gibi yazılabilir.

25

DARCY YASASI

ki v 

q/A v

vA q







Aki q 

v

q

^A

; alan

i

k

26

DARCY YASASI

Hidrolik eğim düşükken, hız hidrolik eğimle doğrusal olarak değişiyor.

Akım hızı belirli bir hidrolik eğimi (i_cr) geçtiğinde türbülanslı akım görülmekte ve Darcy yasasının geçerliliği kaybolmaktadır.

27

DARCY YASASI

v hızı, filtre hızı (debi hızı) olup, su akışının zeminin tüm A enkesitinin her noktasından akıyormuş gibi düşünülerek adlandırıldığı ortalama hayali bir hızdır.

Gerçekte, su, zeminin enkesitinin her noktasından akmayıp, ancak daneler arası boşlukların oluşturduğu bir bölümünden sızıntı hızı (gerçek hız), v_s, ile akar.

Ancak hızın bu şekilde tanımı, su akımlarının incelenmesinde uygundur. Sızıntı hızı ile filtre hızı arasında aşağıdaki bağıntı vardır.

nv

v 

n, zeminin porozitesi olup, n < 1 olduğu için, v < v_s dir.

28

DARCY YASASI

k, zeminin geçirimlilik (permeabilite, geçirgenlik) katsayısı (hidrolik iletkenlik veya geçirimlilik) olup, zeminin su geçirme özelliğini yansıtır ve hız boyutundadır (m/s vb.).

Hidrolik eğim (su akımının üzerindeki iki nokta arasında), i, aşağıdaki gibi tanımlanır ve boyutsuzdur.

q, debi olup, birim zamanda bir kesitten (akım yönüne dik olan kesit) geçen suyun miktarını belirtir (m³/s vb.).

Su akımının meydana gelmesine bağlı olarak L'nin konumu yatay, düşey, eğik vb. olabilir.

L h L

h

i h 

 



 ^{1 2}

uzunlugu Akim

farki düzeyleri

Su

29

DARCY YASASI

su

Gevşek zemin - Akış kolay

- Yüksek permeabilite

Sıkı zemin - Akış yavaş

- Düşük permeabilite

30

DARCY YASASI

Tablodan anlaşılacağı üzere, iri daneli zeminlerde k büyük;

ince daneli zeminlerde, k küçük değerler almaktadır. Kilin geçirimlilik katsayısı çok küçük olduğundan, kil zemin geçirimliliği çok azaltmada kullanılır (toprak barajlarda kil çekirdek oluşturma, çöp depolama alanlarının alt ve yanlarında kil tabaka oluşturma vb.)

31

GEÇİRİMLİLİK KATSAYISI

Geçirimlilik katsayısının belirlenmesi :

32

k’nın LABORATUVAR DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ

SABİT SEVİYELİ PERMEAMETRE :

Geçirimliliği yüksek olan iri daneli zeminler için uygundur.

Geçirimliliği belirlenecek zemin, istenilen sıkılıkta veya arazideki sıkılığına benzer olarak saydam bir silindire yerleştirilir.

Sabit su düzeyli bir hazneden gelen su, zeminden geçerek, hacim bölümlü bir kapta toplanır. Kararlı akış elde edildikten sonra, belli bir sürede (Δt), kapta toplanan su miktarı (ΔQ) belirlenir. Zemin örneğinin alt, üst ve orta kısımlarına bağlanan saydam borularda (piyezometre boruları), su düzeyleri gözlenir, okunur, kaydedilir. Darcy Yasasından k hesaplanır.

33

k’nın LABORATUVAR DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ

sabit su haznesi

Piyezometre boruları

Zemin numunesi

Su toplama kabı L (dereceli silindir)

34

k’nın LABORATUVAR DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ

Üstten Besleme Durumu

35

k’nın LABORATUVAR DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ

Ai k  q

t q  Q

L i  h

Kesit alanı, A

Fazla su

Su besleme

Hacim, Q Zaman, t

t h A

L k Q

. .

.

 

h

Debi;

Alttan Besleme Durumu

36

k’nın LABORATUVAR DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ

DÜŞEN SEVİYELİ PERMEAMETRE :

Geçirimliliği düşük olan ince daneli (kil, silt) zeminler için uygundur.

Zeminin cinsine göre, uygun enkesitteki (çaplı) saydam bir boru (iç çapları 5-20 mm) zemin örneği üzerine takılır.

Üstteki boruya doldurulan su, zeminden geçerek dışarı akar.

Kararlı akış elde edildikten sonra; deney başında ve sonundaki su yükseklikleri ile arada geçen zaman ve enkesit alanlarından, zeminin geçirimlilik katsayısı hesaplanır.

37

k’nın LABORATUVAR DENEYLERİYLE

BELİRLENMESİ

38

k’nın LABORATUVAR DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ

Üstten Besleme Durumu

39

k’nın LABORATUVAR DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ

Kesit alanı, A

İnce tüpün kesit alanı, a Su yüksekliği

h₁’den h₂’ye düşüyor h₁

h₂

Tüpten geçen debi,

dt a dh Q   .

Zeminden geçen debi,

L A k h

Q  .

Alttan Besleme Durumu

40

k’nın LABORATUVAR DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ

L A k h dt

a.dh  . .

 dt

L k a A h

dh   . .





1 2

1

.

t

t h

h

L dt k a A h

dh 2

1 2

1 . .

ln ^h_h t ^t_t L k a h   A





2

1 ln . .

ln t t

L k a h A

h    







2 1 1

2

1 ln .

. h

h t

L t A k a

41

UYGULAMA

Sabit seviyeli permeabilite deneyi yapılan bir kum numunesi için permeabilite katsayısını (cm/s cinsinden) hesaplayınız.

Verilenler:

Numune boyu, L = 45 cm Kesit alanı, A = 22.6 cm²

Sabit su yüksekliği, h = 71 cm

Toplanan su miktarı, Q = 353.6 cm³ (t = 3 dakikada)

42

UYGULAMA

Numune boyu, L = 45 cm Kesit alanı, A = 22.6 cm²

Sabit su yüksekliği, h = 71 cm

Toplanan su miktarı, Q = 353.6 cm³ (t = 3 dakikada)

0551 .

) 0 60 3

( 71 6

. 22

45 6

. 353 .

.

. 







 

 

t h A

L

k Q

43

UYGULAMA

Düşen seviyeli permeabilite deneyi yapılan siltli kum numunesi için permeabilite katsayısını (cm/s cinsinden) hesaplayınız.

Verilenler:

Numune boyu, L = 20 cm

Numune kesit alanı, A = 10 cm² Kılcal tüp kesit alanı, a = 0.4 cm² t = 0’da yükseklik farkı, h₁ = 50 cm

t = 180 s’de yükseklik farkı, h₂ = 30 cm

44

UYGULAMA

L = 20 cm A = 10 cm² a = 0.4 cm² t = 0’da h₁ = 50 cm t = 180 s’de h₂ = 30 cm







2 1 1

2

1 ln .

. h

h t

L t A k a





. 20 10 .

4 .

0    _



 





 

k cm/s

45

k’nın ARAZİ DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ

Su içeren geçirimli tabakaya akifer denilir. Akiferler iki türlü olabilir;

1.Serbest 2. Basınçlı

Serbest (sınırlanmamış) akiferde, yeraltı su düzeyi, doygun bölgenin üst sınırıdır. Basınçlı (artezyen, sınırlanmış) akiferde, yeraltı suyu, üstten geçirimsiz bir tabaka ile sınırlanmıştır.

46

k’nın ARAZİ DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ

ZEMİNDEN SU ÇEKEREK (SERBEST AKİFERDE):

Serbest akiferde, geçirimlilik katsayısının belirlenmesinde pompa ile su çekmek için zeminde bir kuyu açılır. Sabit bir debi ile sürekli su çekilir. Başlangıçta yatay olan yeraltı su düzeyi, kuyu içinde alçalarak, şekildeki sabit alçalmış durumu alır.

Kararlı durum elde edildikten sonra, deney kuyusu merkezinden itibaren, aynı doğrultu üzerinde açılmış en az iki gözlem kuyusu ile alçalan su düzeyi, gözlenerek ölçülür.

47

k’nın ARAZİ DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ

48

k’nın ARAZİ DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ

dr i  dh

dr k dh rh Aki

q   2 . .

dr

dh Hidrolik Eğim :

Darcy Yasası yazılırsa,



 ^

1 2

1

2

h

h r

r

hdh r k

q dr 

) (

) / ln(

2 1 2

2

1 2

h h

r r k q

 



49

Kuyudan sabit bir q debisi çekilerek, kararlı durum elde edildikten sonra, gözlem kuyularındaki su düzeyleri gözlenerek, ölçülür. Kuyu merkezinden itibaren r yarıçaplı bir kesit düşünelim. Bu kesit için Darcy Yasası yazılır, integre edilirse;

k’nın ARAZİ DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ

dr rbk dh Aki

q   2





1 2

1

2

h

h r

r

dh r kb

q dr  BASINÇLI AKİFERDE :

) (

2

ln

1 2

1 2

h h

b

r q r

k  



50

k’nın ARAZİ DENEYLERİYLE BELİRLENMESİ





1 2

1

2

h

h r

r

dh r kb

q dr  dr

rb dh Aki

q   2



ln

1 2

1 2

h h

b

r q r

k  



PERMEABİLİTE DEĞERLERİ (cm/s)

10^-5

10^-7 10⁰

Kil Silt Kum Çakıl

Kaba Daneli İnce Daneli

 Dolaylı yollardan da permeabilite hesaplanabilir ;

Hansen; k = c* (D₁₀)²

Terzaghi Üniform Kumlar İçin; k = 200*e²* (D₁₀)²

2. Konsolidasyon deneyinden;

u v

w

m c

k   * *

1. Dane dağılımı yardımıyla;

52

YATAY ve DÜŞEY YÖNDE GEÇİRİMLİLİK

Zeminlerde yatay ve düşey yöndeki geçirimlilik katsayıları ortamın anizotrop özellikleri nedeniyle genellikle farklılık gösterir. Çakıl ve kumlarda bu fark, katsayıların yeterince yüksek olması nedeniyle önemsenmeyebilir. Ancak özellikler çökel killerde yatay/düşey geçirimlilik oranının (k_h/k_v) 20’ye kadar yükseldiği bulunmaktadır.

53

TABAKALI ZEMİNLERDE KARAKTERİSTİK GEÇİRİMLİLİK KATSAYISI

n tane

tabakadan

oluşan bir zemin sisteminde yatay yöndeki

geçirimlikik katsayıları k_h,

düşey yöndekiler ise k_v ile

gösterilsin,

54

TABAKALI ZEMİNLERDE KARAKTERİSTİK GEÇİRİMLİLİK KATSAYISI

YATAY YÖNDE AKIM :

q  q

 q

 ....  q

Her katmanda hidrolik eğim değişmez.

H i k

q

H i k

q

H i k q

eş h

h h

. . ...

. .

. .

) (

2 2

2

1 1

1







+





eş

h

k H k H k H

k  H 1   ... 

2 2 1

1 )

(

55

TABAKALI ZEMİNLERDE KARAKTERİSTİK GEÇİRİMLİLİK KATSAYISI

DİKEY YÖNDE AKIM : Her katmanda n geçen debi ve buna bağlı olarak

hızın olması gerekir.

v

v v

v 



 .... 

n vn v

v eş

v

i k i k i k i

k

v 

. 





56

TABAKALI ZEMİNLERDE KARAKTERİSTİK GEÇİRİMLİLİK KATSAYISI

n n

H i

H i

H i

H

i . 

.



.

 ...  .

DİKEY YÖNDE AKIM :

Her tabakadaki hidrolik eğim farklıdır.

Akım için toplam enerji her tabakada oluşan yük kaybının toplamına eşit olmalıdır.



 



   



vn n v

v eş

v

k H k

H k

H k H

...

2 2 1

1 )

(

57

UYGULAMA

1.0 m 1.5 m

2.0 m 1.2 m

3.0 m

kanal

0.5 m k=2.3*10^-7 cm/s

k=5.2*10^-6 cm/s k=2.0*10^-6 cm/s

k=0.3*10^-4 cm/s

k=0.8*10^-3 cm/s

Sulama kanalı amacı ile şekildeki kazı yapılmıştır.

Kaplamasız kanalda zemine yanlardan ve tabandan su sızacaktır. Sızıntı hesabına esas olacak k değerlerini hesaplayınız.

58

UYGULAMA

1.0 m

1.5 m kanal

0.5 m

k=2.3*10^-7 cm/s k=5.2*10^-6 cm/s k=2.0*10^-6 cm/s

Yatay yönde akım, _{( )} ¹ ^k ₁^H₁ ^k ₂^H₂ ^k ₃^H₃

k_{h eş}  H _h  _h  _h





3

1 _{6 6 6}

) (





  

eş  kh

s

cm

k

 3 * 10

/

59

UYGULAMA

1.5 m 1.2 m

3.0 m

kanal

k=2.0*10^-6 cm/s

k=0.3*10^-4 cm/s

k=0.8*10^-3 cm/s

Düşey yönde akım,



 



  



3 3 2

2 1

1 )

(

v v

v eş

v

k H k

H k

H k H

60

UYGULAMA



 



  







6 4 3

) (

10

* 8 . 0

0 . 3 10

* 3 . 0

2 . 1 10

* 0 . 2

5 . 1

7 . 5

eş

kv

1.5 m 1.2 m

3.0 m

kanal

k=2.0*10^-6 cm/s

k=0.3*10^-4 cm/s

k=0.8*10^-3 cm/s

s cm k_v(eş)  7.2*10^6 /

KRİTİK HİDROLİK EĞİM

KRİTİK HİDROLİK EĞİM

Efektif Gerilme,

Bu denklem için özel durum, toplam gerilmenin, boşluk suyu basıncına eşit olması durumudur. Yani, efektif gerilmenin sıfır oluşu.

Efektif gerilmenin sıfır olması, yani danelerin üzerindeki yükleri alttaki danelere aktaramaması durumunda, zemin taşıyıcı özelliğini yitirmekte ve katı veya plastik durumdan sıvı duruma dönüşmektedir.

Bu duruma neden olan minimum hidrolik eğime, kritik hidrolik eğim (i_cr) denir.

u



 



KRİTİK HİDROLİK EĞİM

Şekilde kritik hidrolik eğimin anlatımı için laboratuarda

gösterilebilecek basit bir modelleme

yapılmaktadır.

KRİTİK HİDROLİK EĞİM

• Cam tüp B seviyesine kadar doldurulursa, sistem hidrostatik dengeye gelecektir. Ve tüm piyezometrelerde su yüksekliği B seviyesinde olacaktır.

B

C A

• Yükselim tüpündeki suyun B kotundan daha aşağıda olması durumunda, su zemin içerisinden aşağı doğru akacaktır.

Yükselim tüpündeki suyun B kotunun üzerine çıkması durumunda ise, bu olayın tersi söz konusu olacaktır.

KRİTİK HİDROLİK EĞİM

• Yani, yükselim tüpündeki suyun B kotunun üzerine çıkması durumunda, su hareketi zemin içinden yukarıya doğru olacaktır.

B

C A

• Şekilde görüldüğü gibi, B kotu üzerinde h yüksekliği ne kadar büyükse, yük veya enerji kaybı ile zemine iletilen sızma kuvvetleri de o kadar büyük olacaktır.

h

KRİTİK HİDROLİK EĞİM

• Sızma kuvvetleri giderek büyürken, zemin üzerine etkiyen yerçekimi kuvvetine baskın gelerek akıcı durumun veya kaynamanın meydana gelmesine yol açar.

B

C A

• Zeminin akıcı duruma geldiği anda B kotu üzerindeki h yüksekliği ne kadardır?

h

KRİTİK HİDROLİK EĞİM

• Su yüksekliğinin B kotunda olması durumunda, XX düzlemindeki toplam gerilme ve boşluk suyu basıncı;

B

C A

h

X X

L h

w

XX

 .  .

  

) ( h L u

 



Efektif gerilme ise, olacaktır.



  '. L

KRİTİK HİDROLİK EĞİM

• Toplam gerilme sabit olduğuna göre, boşluk suyu basıncını artırırsak veya azaltırsak nasıl bir sonuçla karşılaşırız?

• Su seviyesinin B kotu üzerinde h kadar yükselmesini sağlarsak, boşluk suyu basıncı,

B

C A

h

X X

) ( h L h u

 

 

Yeni su yüksekliği

Numune tabanındaki boşluk suyu basıncı artışı;

h u

 

.



KRİTİK HİDROLİK EĞİM

• Yeni denge durumunda, XX düzlemindeki efektif gerilme değeri,

B

C A

h

X X

Yeni su yüksekliği

Yani numune tabanındaki efektif gerilme, boşluk suyu basıncı artışı kadar azalmış olacak!!!

wYENI

XX

XX

   u



h L

XX

 '.  .

 ^{ }

KRİTİK HİDROLİK EĞİM

• Zemin kolonunun tabanındaki efektif gerilme ne zaman sıfır olacak ?

B

C A

h

X X

Yeni su yüksekliği

0 .

'.  

 L

h

XX

 



L

h



 '



Kritik hidrolik eğim w

i



 '



KRİTİK HİDROLİK EĞİM

• Su altında birim hacim ağırlığı;

w s

e

G 

 .

1

' 1 



 







 

1 e

G_s._w e._w

w s

d e

e

G 

 .

1 



 







 

HATIRLATMA

• Kritik hidrolik eğim;

e i

G



  1

1

ZEMİNDE SIZMA

(AKIM AĞLARI)

ZEMİNDE AKIM PROBLEMLERİ

Beton baraj altında Kazı alanına

ZEMİNDE AKIM PROBLEMLERİ

Toprak baraj içinden

ZEMİNDE AKIM PROBLEMLERİ

Drenaj kuyularına

AKIM AĞLARI

AKIM BORUSU

AKIM AĞLARI

g z v h u

w





 2

2



h; Toplam enerji yüksekliği u/_w; basınç yüksekliği

v²/2g; hız yüksekliği z; kot yüksekliği

Sızıntı hızı çok düşük olduğu için ikinci ifade ihmal edilebilir.



 



 

 



 



 







 _B

w A B

w B A

A u z

u z h

h

h

 

AKIM AĞLARI

Doygun zemin elemanı,

x dx v v

v_{(x x) x} ^x .



 

 



y dy v v

v_{(y y) y} ^y .



 

 



z dz v v

v_{(z z) z} ^z .



 

 



AKIM AĞLARI





. . .

.    



 



  



 







 

 



 







  dz dx dy v dz dy v dx dy

z v v

dy dz x dx

v_x v^x _z ^z _{x z}

Giren Su = Çıkan Su 2 Boyutlu düşünürsek,

 0



 





z v x

v_{x z}

düzenlenirse,

z k h

i k v

x k h

i k v

z z

z z

x x

x x



 





 



. .

. .

0 .

. ₂

2 2

2 



 





z k h

x

k_x h _z

AKIM AĞLARI

0 .

. ₂

2 2

2 



 





z k h

x

k_x h _z

k_x = k_z = sabit olarak düşünülürse,

2 0

2 2

2 



 





z h x

h

Veya k.h= (hız potansiyeli)

2 0

2 2

2 





 







z x

AKIM AĞI HESAP YÖNTEMLERİ

A) Teorik Analiz

B) Sayısal Analiz

B.1. Sonlu Farklar B.2. Sonlu Elemanlar C) Elektriksel Benzeşim D) Tahmini Akım Ağı

2 0

2 2

2 





 







z x

AKIM AĞININ ÖZELLİKLERİ

Akım ağı, akım çizgileri ve eş potansiyel çizgilerinden oluşur.

Akım çizgisi, suyun ortalama akış yolunu gösteren çizgidir. İki akış çizgisi arasındaki aralığa, akım kanalı (borusu) (dikdörtgen en kesitli olup, şekil düzlemine dik boyutu 1 birim (1 m vb.) dir.) denilir.

Eşpotansiyel çizgisi, akış ortamında, aynı piyezometrik yatay düzeye sahip noktaları birleştiren çizgidir. Bir eşpotansiyel çizgisi üzerine batırılan bütün borulardaki su yüksekliği, aynı yatay düzlemdedir.

Akım ağı, ölçekli çizilmiş bir şekil üzerinde, deneme- yanılma ile oluşturulur.

AKIM AĞININ ÖZELLİKLERİ

AKIM AĞININ ÖZELLİKLERİ

Akım ağı, akım çizgileri ve eş potansiyel çizgilerinden oluşur.

• Akım ipleri, eşpotansiyellerle dik açıda kesişir, kesişimden kare veya eşkenar dörtgen belirmelidir.

• Akım ipleri ve eşpotansiyeller birbirini kesemez.

• Akım ipleri zemine dik açıda girer, ancak akım boruları mansapta kare tamamlayarak çıkmazlar. Zira zemin yüzeyi bir eşpotansiyel değildir.

Seçilen akım çizgileri ve eş potansiyel çizgileri ağı

Beton Baraj

Geçirimsiz Tabaka

Zemin

90º Eğriler kare

oluşturacak şekilde kesişir

AKIM AĞININ ÖZELLİKLERİ

AKIM AĞININ ÖZELLİKLERİ

Palplanş

Akım ipi eşpotansiyel

Akım Borusu Sayısı : F = 3 Eşpotansiyel Sayısı : N = 8 H

Toplam yük kaybı : H

1

2 3

4 5

6 7

8 1 2

3

AKIM AĞININ ÖZELLİKLERİ

Toprak Dolgu Baraj

Akım Borusu Sayısı : F = 4 Eşpotansiyel Sayısı : N = 19

2 1 3 4

1 2 …

18 19

… …

AKIM AĞININ ÖZELLİKLERİ

Beton Baraj

AKIM AĞININ ÖZELLİKLERİ

Drenaj kanallı dolgu

Akım borusu

Eşpotansiyel L

S q

h

SIZINTI DEBİSİ DENKLEMİ

SIZINTI DEBİSİ DENKLEMİ

AKIM BORUSU

akım ipi S

L

h

q

Akım Borusu Sayısı : F

Eşpotansiyel Sayısı : N Toplam Akım İpi : F+1

n. eşpotansiyel çizgisi

(n+1). eşpotansiyel çizgisi

SIZINTI DEBİSİ DENKLEMİ

AKIM BORUSU

akım ipi S

L

h

q

Darcy Yasası

v  k . i

Sızıntı Hacmi

q  v .  A k . i . A

 ¹ 

.

.  

 S

L k h

n n+1

Kesit Alanı

SIZINTI DEBİSİ DENKLEMİ

Karede

S /  L 1 q  . k  h

Akım ağında N tane eşpotansiyel olduğuna göre,

N h  H



Toplam Debi :

 

 









 N

H F k

q F

q

Q . .

H : toplam yük kaybı

(Ardışık iki eşpotansiyel arasındaki hidrolik yük farkı)

BAZI AKIM AĞI ÖRNEKLERİ

BAZI AKIM AĞI ÖRNEKLERİ

NOT: Toplam yük kaybına (H) dikkat ediniz.

F = 4

N = 8

BAZI AKIM AĞI ÖRNEKLERİ

NOT: Toplam yük kaybına (H) dikkat ediniz.

F = 5 N = 9

1 2

8 9

BAZI AKIM AĞI ÖRNEKLERİ

Aynı eşpotansiyel üzerindeki su yükseklikleri aynı noktada olacaktır.

1

h

F = 4

N = 6

UYGULAMA

6 m

6 m ^1.5

10.5 m 18 m

Şekildeki beton bağlama için akım ağını oluşturarak, bağlama altından sızan su miktarını, bağlama tabanına etkiyen su kaldırma basıncını belirleyiniz.

k = 0.05 cm/s

UYGULAMA

Sistemdeki hidrolik yük kaybı : H = 6 m Akım kanalı sayısı : F = 4

Eşpotansiyel sayısı : N = 14

UYGULAMA

m 429 .

146  0





 N

h H

Ardışık eşpotansiyel çizgileri arasındaki hidrolik kayıp :

Bağlamanın birim uzunluğu için sızan su miktarı :





 N

H F k

Q . .

/s m 10

57 . 14 8

6 4 10

5 ^4   ^{4 3}











 Q

UYGULAMA

Bağlama altındaki noktalarda hidrolik yükler ve su kaldırma basınçları :

A noktasındaki toplam yük kaybı = 5.6h = 5.6*0.429 = 2.40 m

1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14

5.6

A noktasındaki toplam yük = 6.00 – 2.40 = 3.60 m

UYGULAMA

1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14

5.6

karşılaştırma düzlemi

g 2 v z u

h

2 su





 

Bernoulli denkleminden,

Yeraltı su akımlarının hızı göreli olarak küçük olduğu için, hız yüksekliği ihmal edilir.

su

z u

h ^{ }



UYGULAMA

1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14

5.6

karşılaştırma düzlemi

su

z u

h ^{ }



A noktası için h değerini belirlemiştik.

z ise karşılaştırma düzleminin altında kaldığı için (z = -1.5 m) olacaktır.

Boşluk suyu basıncı ise,

^{u }  ^{h  z}  ^

UYGULAMA

1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14

5.6

karşılaştırma düzlemi

su

z u

h ^{ }



A noktası için boşluk suyu basıncı,

 ^{3 . 60}  ⁽  ^{1 . 50 )}   ^{9 . 81}  ^{50 . 03 kN/m}



u

UYGULAMA

Benzer şekilde diğer noktalar için de aynı işlemler yapılırsa,

UYGULAMA

Noktalar altındaki boşluk suyu basıncı değerlerini şekil üzerinde gösterecek olursak,

ZEMİNDE SU AKIMININ MATEMATİKSEL İFADESİ (La Place Denklemi)

• Yeraltı suyu problemleri iki boyutlu akım koşuluna yakın olup, bu tür problemlerin iki boyutlu olarak analiz edilmesi gereklidir.

• İki boyutlu akımda i ve A akış rejiminin tamamında değişken olduğundan, Darcy Yasası iki boyutlu analizde doğrudan kullanılamamaktadır.

• Genel olarak bu analizler karmaşık olup, LaPlace denklemi olarak bilinen matematiksel fonksiyonun kullanılması gerekir.

Yapılan Kabuller

• Darcy yasası geçerlidir.

• Zemin tamamen suya doygundur

• Zemin elemanının boyutu sabit kalır

• Zemin homojendir

İki boyutlu olarak incelenebilecek akım problemleri

Zemin mekaniği problemleri gerçekte üç boyutlu problemler olmakla beraber, uygulamada bunların birçoğu çözümü basitleştirmek için iki boyutlu problem haline indirgenerek incelenmektedir.

Problemi üç boyutlu halden iki boyutlu hale indirgemek çoğu problemde çözümün doğruluk derecesini çok az etkilemektedir.

İki boyutlu olarak incelenebilecek

akım problemleri

Zeminlerde Su Akımı

• Yeraltı suyu akım bölgesi içindeki bir zemin elemanını göz önüne alalım.

• Şekil ’de dx, dy, dz boyutlarında ve içinden x, y, z doğrultularında yeraltı suyu akımı gerçekleşen bir zemin elemanı gösterilmiştir.

• Herhangi bir doğrultudaki su akımının Darcy Kanunu’na uygun hareket ettiği kabul edilebilir.

3 boyutlu akım durumu Kararlı akım durumunda (elemanın boşluk oranı sabit, suya doygunluğu sabit) elemana giren su örneğin: x ekseninde q_x=(v_xA_x) burada v_x x yönündeki hız bileşeni ve A_x= (dz dy) akım yönüne dik kesit alanıdır.

q kiA k h A L

æ D ö

= = ç ÷

è ø

Örneğin, z- doğrultusundaki akım gözönüne alındığında, zemin elemanına birim zamanda giren ve çıkan su miktarları, sırasıyla,

k_z zeminin z doğrultusundaki permeabilite katsayısı olmaktadır.

Zemin elemanı için z – doğrultusundaki net su akımı miktarı, giren ve çıkan su miktarlarının farkı olacağı için,

Aynı şekilde, x- ve y- doğrultuları için yazmak mümkündür.

Su akımı sırasında zemin elemanının hacminin sabit kaldığı göz önüne alınarak, birim zamandaki toplam net su akımının sıfıra eşit olacağını (elemana giren

toplam suyun çıkan su miktarına eşit olacağını) söyleyebiliriz.

Şeklinde yazarak zeminlerde su akımını tanımlayan genel diferansiyel denklemi elde edebiliriz.

Bu denklem hidrolik yükün akım bölgesi içinde değişimini matematiksel olarak ifade etmektedir.

Denklemin çözümü ile, akım bölgesi içindeki bütün noktalarda toplam hidrolik yükün değeri elde edilmiş olmaktadır.

Toplam hidrolik yük değerleri bulunduktan sonra, hidrolik eğimler, akım hızları, akım miktarı, sızma kuvvetleri ve su basınçları kolaylıkla elde edilebilmektedir.

Zeminlerde Su Akımı

Zeminlerde Su Akımı

Zeminin her doğrultusundaki permeabilitenin aynı olduğu izotropik koşullarda k_x=k_y=k_z olacağı durumlarda diferansiyel denklem

şeklini alacaktır. (La Place denklemi) Bu ikinci derece kısmi diferansiyel denklem matematikte La Place denklemi olarak bilinir.

La Place denkleminin çözümünü elde etmek nisbeten daha kolay olduğu için akım problemlerinde genellikle zeminin izotropik özelliklere (k_x = k_y = k_z) sahip olduğu varsayılmaktadır.

İki boyutlu problemlerde, zemin içinde su akımını tanımlayan La Place denklemi

Denklemde h(x,z) potansiyel fonksiyonu, akım bölgesindeki herhangi bir noktada toplam hidrolik yükün değerini temsil etmektedir.

Buna göre

x ve z doğrultusundaki hidrolik eğim şeklinde ifade

edilebilir.

2 2 2

2 2 2 0

h h h

x y z

¶ + ¶ + ¶ =

¶ ¶ ¶

2 0

2 2

2 + =

z h x

h

¶

¶

¶

¶

÷ø ç ö

è æ

¶

= ¶

x

i_x h ^÷

ø ç ö

è æ

¶

= ¶

z i_z h

Akım Çizgileri ve Eş Potansiyel Çizgileri

Darcy Kanunu’na göre akım hızının hidrolik eğim ile doğru orantılı olarak artacağını biliyoruz.

h(x,z) potansiyel fonksiyonu, akım bölgesindeki herhangi bir noktada toplam hidrolik yükün değerini temsil etmektedir.

Y(x,z) hız potansiyel fonksiyonu, akım bölgesindeki herhangi bir noktada akım hızının değerini temsil etmektedir.

x ve z doğrultularındaki akım hızlarını, Y(x,z) hız potansiyel fonksiyonundan yararlanarak (v=ki)

şeklinde ifade edebiliriz.

Yukarıdaki ifadelerin x ve z’ye göre türevlerini alıp birbiri ile toplayarak

Y(x,z) hız potansiyel fonksiyonunun da La Place denklemini sağladığını kanıtlayabiliriz.

x k h

z ¶

- ¶

¶ = Y

¶

z k h

x ¶

= ¶

¶ Y

¶

0 k

2 2

2 2 2

2 =

¶

¶ - ¶

¶

¶

= ¶

¶ Y + ¶

¶ Y

¶

x z k h z

x h z

x

Akım Çizgileri ve Eş Potansiyel Çizgileri

Akım bölgesi içinde Y hız potansiyel fonksiyonunun değerinin sabit kaldığı (Y=sabit) bir eğri üzerinde, türevin sıfıra eşit olacağı gözönüne alınarak

Böyle bir eğrinin eğimi şeklinde ifade

edilebilir.

Bu durumda, Y=sabit eğrilerine çizilecek teğetler, o noktadaki hız vektörünü göstermekte Y=sabit eğrileri ise zemin içinde akan bir su damlasının takip edeceği izler olmaktadır.

Bu eğrilere, zemin mekaniğinde akım eğrileri adı verilir.

0 dz =

¶ Y + ¶

¶ Y

= ¶

Y dx z

d x

/ /

/ /

z x

v

dz x h z

dx z h x v

¶Y ¶ ¶ ¶

= - = =

¶Y ¶ ¶ ¶

Akım Çizgileri ve Eş Potansiyel Çizgileri

Akım bölgesi içinde hidrolik yük dağılımını gösteren h(x, z) potansiyel fonksiyonunun sabit değerler aldığı (h=sabit) ve eğrilerin eğimi ise

şeklinde elde edilebilir.

Görüldüğü gibi h=sabit eğrilerinin (eş potansiyel çizgileri) eğimi, akım çizgilerinin eğiminin tersine ve ters işaretlisine eşit olmaktadır.

Bu da bize akım çizgileri ile eşpotansiyel çizgilerinin birbirini dik açılar ile kestiğini, başka bir ifade ile, h (x,z) ve Y(x,z) potansiyel fonksiyonlarının birbirine dik (ortogonal) iki

fonksiyon olduğunu göstermektedir.

Bir akım bölgesi içindeki akım çizgilerini gösteren Y=sabit ile eşpotansiyel çizgilerini gösteren h=sabit eğri takımlarını bir arada çizerek, o akım bölgesi için akım ağını elde edebiliriz.

0 dz =

¶ + ¶

¶

= ¶

z dx h

x dh h

/ /

x z

v

dz h x

eğim dx h z v

¶ ¶

= = - = -

¶ ¶

Akım Ağları

Şekil ’de bu şekilde elde edilmiş bir akım ağının bir parçası,