FİZ217- Titreşimler ve Dalgalar 2017-2018 Güz Dönemi I. Ara Sınav 06.11.2017- 09:00-11:00 Adı-Soyadı:

FİZ217- Titreşimler ve Dalgalar 2017-2018 Güz Dönemi I. Ara Sınav 06.11.2017- 09:00-11:00 Adı-Soyadı:

No: Şubesi:

İmzası :

SORULAR

*4 ya da 5’in sadece birisi çözülecek.

1. Kütlesi ihmal edilebilen 𝑙𝑙 ₁ ve 𝑙𝑙 ₂ uzunluğundaki iplerin ucuna kütleleri 𝑚𝑚 ₁ ve 𝑚𝑚 ₂ olan küçük kütleler bağlanarak birer basit sarkaç yapılmış ve yay sabitleri 𝑘𝑘 1, 𝑘𝑘 ₂ ve 𝑘𝑘 ₃ olan üç yay ile şekildeki gibi çiftlenimli bir sistem oluşturulmuştur. 𝑚𝑚 2 kütlesine 𝐹𝐹(𝑡𝑡) = 𝐹𝐹 0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡 ile tanımlı dış sürücü kuvveti uygulanmaktadır.

a) 𝑚𝑚 ₁ ve 𝑚𝑚 ₂ kütlelerinin hareketini tanımlayan diferansiyel denklemleri yazınız. 𝑚𝑚 1 = 𝑚𝑚 ₂ = 0,1 𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝑙𝑙 ₁ = 2𝑙𝑙 ₂ = 2 𝑚𝑚 ve 𝑘𝑘 1 = 2 𝑁𝑁/𝑚𝑚, 𝑘𝑘 2 = 1 𝑁𝑁/𝑚𝑚, 𝑘𝑘 3 = 1,5 𝑁𝑁/𝑚𝑚 özel hali için denklemeleri düzenleyiniz. (g = 10 m/s ² ).

b) Kütlelerin hareketi için 𝑥𝑥 ₁ = 𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡, 𝑥𝑥 ₂ = 𝐵𝐵 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡 şeklinde harmonik çözümler olduğunu kabul ederek, A ve B genlik ifadelerini türetip, sistemin rezonans frekanslarını hesaplayınız.

2. Yatay düzlemde, kütlesi 𝑚𝑚 = 0,2 𝑘𝑘𝑘𝑘 olan bir blok, kuvvet sabiti 𝑘𝑘 = 80 𝑁𝑁/𝑚𝑚 olan bir yayın ucuna bağlıdır. Sisteme sürtünmeler nedeniyle sönüm sabiti 𝑏𝑏 = 4 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑐𝑐 olan ve hız ile orantılı bir sönüm kuvveti etkimektedir. Ayrıca sisteme 𝐹𝐹(𝑡𝑡) = 3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡 (N) ile verilen bir harmonik dış kuvvet etki ettiriliyor.

a) Kararlı durumda sistemin rezonans frekansını veren ifadeyi elde ederek değerini hesaplayınız. Sistemin rezonans genliğini hesaplayınız.

b) Bir periyotluk sürede sönüm kuvveti ne deniyle soğrulan ortalama gücün 𝑃𝑃�(𝑐𝑐) = _{2𝑚𝑚�(ω} ^{ω 2 𝐹𝐹 0 2 𝛾𝛾}

0 2 −ω ² ) ² +ω ² γ ² �

ifadesi ile verilebileceğini gösteriniz. Genlik rezonansı durumunda sürücü dış kuvvetin sisteme uyguladığı ortalama gücü hesaplayınız.

3. Kütlesi 𝑀𝑀, uzunluğu 𝐿𝐿 olan homojen bir çubuk şekildeki gibi uçlarından yatay yaylarla duvara tutturulmuştur. Çubuk, kütle merkezinden sayfa düzlemine dik bir mil etrafında küçük açılı titreşim hareketi yapmaktadır. Çubuğun hareket denklemini yazarak, hareketin periyodunu verilenler cinsinden bulunuz.

�𝐼𝐼 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 1

12 𝑀𝑀𝐿𝐿 ² �

4. * Birbirine dik iki titreşim 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝑐𝑐𝑡𝑡 + ^𝜋𝜋 ₂ � ve 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(3𝑐𝑐𝑡𝑡) ve ifadelerine uymaktadır. Bu iki titreşimin üst üste gelmesinden ortaya çıkan Lissajous eğrisini cevap kâğıdında verilen şekil üzerine çiziniz.

5. * Bir cisim, aynı doğrultuda 𝑥𝑥 1 = √2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 �4𝑡𝑡 + ^𝜋𝜋 ₄ � ve 𝑥𝑥 2 = 4𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 �4𝑡𝑡 + ^𝜋𝜋 ₂ � ifadeleri ile verilen iki harmonik titreşime maruz kalmaktadır, burada 𝑡𝑡 saniye ve 𝑥𝑥 santimetre olarak verilmektedir. Cismin toplam titreşimine karşı gelen genliği, frekans ve faz sabitini belirleyerek titreşim fonksiyonunu yazınız.

Soru Puan

1 30

2 30

3 20

*4 20

*5 20

Toplam 100

KM θ

k 2

k 1

𝑥𝑥 ₁ 𝑥𝑥 2

𝐹𝐹 ₀ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑘𝑘 3

𝑘𝑘 2

𝑘𝑘 ₁ 𝑙𝑙 ₁

𝑙𝑙 2

𝜃𝜃 ₁

𝜃𝜃 2

1

FİZ217- Titreşimler ve Dalgalar 2017-2018 Güz Dönemi I. Ara Sınav 06.11.2017- 09:00-11:00

BAZI FORMÜLLER

sinx = 𝑥𝑥 − ^𝑥𝑥 _3! ³ + ^𝑥𝑥 _5! ⁵ − ^𝑥𝑥 _7! ⁷ + ⋯ ; cosx = 1 − ^𝑥𝑥 _2! ² + ^𝑥𝑥 _4! ⁴ − ^𝑥𝑥 _6! ⁶ + ⋯ sin 𝑥𝑥 ± sin 𝑦𝑦 = 2 sin ¹ ₂ (𝑥𝑥 ± 𝑦𝑦) cos ¹ ₂ (𝑥𝑥 ∓ 𝑦𝑦)

cos 𝑥𝑥 + cos 𝑦𝑦 = 2 cos ¹ ₂ (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) cos ¹ ₂ (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) ; cos 𝑥𝑥 − cos 𝑦𝑦 = −2 sin ¹ ₂ (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) sin ¹ ₂ (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥 ± 𝑦𝑦) = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑦𝑦 ± 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦 ; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥 ± 𝑦𝑦) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑦𝑦  𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦

sin 2𝑥𝑥 = 2 sin 𝑥𝑥 cosx ; cos 2𝑥𝑥 = cos ² 𝑥𝑥 - sin ² 𝑥𝑥 = 1- 2sin ² 𝑥𝑥 = 2cos ² 𝑥𝑥 − 1

∫ sin ₀ ^{𝑇𝑇 2} (𝑐𝑐𝑡𝑡 − 𝛿𝛿) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = ¹ ₂ 𝑇𝑇 ; ∫ cos ₀ ^{𝑇𝑇 2} (𝑐𝑐𝑡𝑡 − 𝛿𝛿) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = ¹ ₂ 𝑇𝑇 Titreşimler için genel diferansiyel denklemi:

𝑥𝑥̈ + 𝛾𝛾𝑥𝑥̇ + 𝑤𝑤 ₀ ² 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 ₀ cos(𝑤𝑤𝑡𝑡) ; 𝑓𝑓 ₀ = 𝐹𝐹 ₀ 𝑚𝑚 Çözümler:

𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑒𝑒 ^{− 𝛾𝛾𝛾𝛾 2} cos(�𝑤𝑤 ₀ ² − 𝛾𝛾 ²

4 𝑡𝑡) + 𝑥𝑥 ^{𝑠𝑠𝑠𝑠} (𝑡𝑡) ; 𝑤𝑤 ₀ > 𝛾𝛾 2 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝑡𝑡)𝑒𝑒 ^{− 𝛾𝛾𝛾𝛾 2} + 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑡𝑡) ; 𝑤𝑤 0 = 𝛾𝛾

2

𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑒𝑒 ^{(− 𝛾𝛾 2 +𝛽𝛽)𝛾𝛾} + 𝐵𝐵𝑒𝑒 ^{−( 𝛾𝛾 2 +𝛽𝛽)𝛾𝛾} + 𝑥𝑥 _{𝑠𝑠𝑠𝑠} (𝑡𝑡) , 𝑤𝑤 ₀ < ^𝛾𝛾 ₂ ; 𝛽𝛽 = � ^𝛾𝛾 ₄ ² − 𝑤𝑤 ₀ ² �

1 2

Kararlı Durum (steady state) çözümü:

𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑡𝑡) = 𝐴𝐴(𝑐𝑐) cos[𝑐𝑐𝑡𝑡 − 𝛿𝛿(𝑐𝑐)] olup burada 𝐴𝐴(𝑐𝑐) = ^{𝑓𝑓 0}

�(𝜔𝜔 ₀ ² −𝜔𝜔 ² ) ² +𝛾𝛾 ² 𝜔𝜔 ² � ^1/2 ; tan 𝛿𝛿(𝑐𝑐) = ( _𝜔𝜔 ^{𝛾𝛾𝜔𝜔}

0 2 −𝜔𝜔 ² )

Başarılar,

Prof. Dr. Leyla Yıldırım & Prof. Dr. Mustafa Polat

2

FİZ217- Titreşimler ve Dalgalar 2017-2018 Güz Dönemi I. Ara Sınav 06.11.2017- 09:00-11:00

Şekildeki çemberler ^𝜋𝜋

6 ’ lık eşit açılara bölünmüştür

3