2. Korunumlu Alanlar

2. Korunumlu Alanlar

! r = @

@x

! i + @

@y

! j + @

@z

! k

nabla operatörü olmak üzere

rot ! V = !

r ! V =

! i ! j ! k

@

@x

@

@y

@

@z

X Y Z

! 0

ise ! V kuvvet alan¬korunumludur denir. Bu durum bize

X(x; y; z) dx + Y (x; y; z) dy + Z(x; y; z) dz

ifadesinin bir tam diferensiyel oldu¼ gunu söyler. O halde öyle bir (x; y; z) fonksiyonu vard¬r ki

@

@x = X(x; y; z) ; @

@y = Y (x; y; z) ; @

@z = Z(x; y; z)

e¸ sitlikleri sa¼ glan¬r. Burada (x; y; z) fonksiyonuna kuvvet fonksiyonu denir.

H(x; y; z) = (x; y; z)

fonksiyonu ise potansiyel fonksiyonu ad¬n¬al¬r. Potansiyellerin de¼ gi¸ smedi¼ gi

H(x; y; z) = sabit

denklemi ile tan¬mlanan yüzeylere e¸ s potansiyelli yüzeyler ad¬verilir. Korunumlu bir alanda A(a

; a

; a

) noktas¬ndan B(b

; b

; b

) noktas¬na gidilmesi halinde yap¬lan i¸ s

T

= Z

dT = Z

A

d (x; y; z) = (x; y; z) j

= (B) (A) = H(A) H(B)

dir.

Örnek 1.

1

! V = [2xz

+ 6y; 6x 2yz; 3x

z

y

] vektörü ile tan¬mlanan kuvvet alan¬n¬n korunumlu

oldu¼ gunu gösteriniz ve e¸ s potansiyelli yüzeylerin denklemini bulunuz. Bu alanda A(1; 1; 1) noktas¬ndan B(2; 1; 1) noktas¬na gidilmesiyle yap¬lan i¸ si hesaplay¬n¬z.

Çözüm:

! V = X(x; y; z) ! i + Y (x; y; z) ! j + Z(x; y; z) ! k

olmak üzere,

rot ! V = !

r ! V =

! i ! j !

k

@

@x

@

@y

@

@z

2xz

+ 6y 6x 2yz 3x

z

y

= ( 2y + 2y) ! i (6xz

6xz

) ! j + (6 6) ! k

! 0

oldu¼ gundan verilen kuvvet alan¬korunumludur ve yap¬lan i¸ s yoldan ba¼ g¬ms¬zd¬r. O halde öyle bir (x; y; z) fonksiyonu vard¬r ki,

@

@x = 2xz

+ 6y ; @

@y = 6x 2yz ; @

@z = 3x

z

y

dir. O halde kuvvet fonksiyonu,

(x; y; z) = x

z

+ 6xy y

z + c

olarak bulunur. Potansiyel fonksiyon,

H(x; y; z) = x

z

6xy + y

z c

olup e¸ s potansiyelli yüzeylerin denklemi,

x

z

+ 6xy y

z = c

2

¸ seklindedir. Bu alanda yap¬lan i¸ s yoldan ba¼ g¬ms¬z olup,

T

= Z

dT = Z

A

d (x; y; z) = (x; y; z) j

= (B) (A)

= 15 i¸ s birimi

olarak elde edilir.

3