Bölüm 4 Dağılış Ölçüleri. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

Bölüm 4 Bölüm 4

Dağılış Ölçüleri

Dağılış Ölçüleri

Yer ölçüleri gözlemlerin sadece merkezini göstermekte olup, bu m

Yer ölçüleri gözlemlerin sadece merkezini göstermekte olup, bu merkez erkez etrafındaki dağılışın şekli hakkında bir fikir vermezler.

etrafındaki dağılışın şekli hakkında bir fikir vermezler.

Örneğin aynı ortalamaya sahip iki grubun gösterdiği dağılışın şe

Örneğin aynı ortalamaya sahip iki grubun gösterdiği dağılışın şekli birbirinden kli birbirinden farklı olabilir. Bu durumu daha iyi açıklayabilmek için aşağıdak

farklı olabilir. Bu durumu daha iyi açıklayabilmek için aşağıdaki iki grup i iki grup gözlemi ele alalım.

gözlemi ele alalım.

XX_AA={20,28,30,25,40,22,45},={20,28,30,25,40,22,45}, XX_BB={27,28,32,30,33,26,34},={27,28,32,30,33,26,34},

= 30 x

= 30 x

Dağılış Ölçüleri

Aşağıdaki her iki grubun ortalaması aynı olduğu halde gözlemler

Aşağıdaki her iki grubun ortalaması aynı olduğu halde gözlemlerin gösterdiği in gösterdiği dağılışın şekli birbirinden farklıdır.

dağılışın şekli birbirinden farklıdır.

Şekilden de görüldüğü üzere grup

Şekilden de görüldüğü üzere grup B’ninB’nin gözlem değeri grup A’yagözlem değeri grup A’ya göre daha göre daha fazla ortalama etrafında toplanmıştır. Başka bir deyişle grup

fazla ortalama etrafında toplanmıştır. Başka bir deyişle grup A’dakiA’daki gözlemler gözlemler ortalamadan en fazla 45

ortalamadan en fazla 45--30 = 15 birim, fakat grup 30 = 15 birim, fakat grup B’deB’de ise 34ise 34-30 = 4 birim -30 = 4 birim farklılık göstermektedirler.

farklılık göstermektedirler.

Dağılış Ölçüleri

Buraya kadar yapılan açıklamalardan anlaşılacağı üzere, yer ölçü

Buraya kadar yapılan açıklamalardan anlaşılacağı üzere, yer ölçüleri leri verilerin tüm özelliklerini tek başına yansıtabilecek yeterli bi

verilerin tüm özelliklerini tek başına yansıtabilecek yeterli bir ölçü r ölçü değildirler. Bundan dolayı, verilerin diğer bazı özelliklerini

değildirler. Bundan dolayı, verilerin diğer bazı özelliklerini yansıtabilecek başka ölçülerin kullanılmasına gerek vardır.

yansıtabilecek başka ölçülerin kullanılmasına gerek vardır.

Bu bölümde istatistikte en çok kullanılan dağılış ölçülerinden;

Bu bölümde istatistikte en çok kullanılan dağılış ölçülerinden;

‹‹Değişim GenişliğiDeğişim Genişliği

‹‹Değişim OranıDeğişim Oranı

‹

‹KantillerKantiller Arası GenişlikArası Genişlik

‹‹Ortalamadan Mutlak SapmaOrtalamadan Mutlak Sapma

‹

‹VaryansVaryans

‹‹Standart SapmaStandart Sapma

‹‹Standart HataStandart Hata

‹‹Değişim (Varyasyon) KatsayısıDeğişim (Varyasyon) Katsayısı

‹‹Standart DeğişkenStandart Değişken üzerinde durulacaktır.

üzerinde durulacaktır.

Dağılış Ölçüleri

Değişim Genişliği Değişim Genişliği

Değişim genişliği, gözlemlerin en büyük değeri (

Değişim genişliği, gözlemlerin en büyük değeri (XmaxXmax) ile en küçük değeri ) ile en küçük değeri (Xmin(Xmin) arasındaki farktır. Bu tanıma göre,) arasındaki farktır. Bu tanıma göre,

Değişim Genişliği (DG) =

Değişim Genişliği (DG) = XmaxXmax –– XminXmin şeklinde hesaplanır.

şeklinde hesaplanır.

Örnek:

Örnek:

XX_AA={20,28,30,25,40,22,45},={20,28,30,25,40,22,45}, XX_BB={27,28,32,30,33,26,34},={27,28,32,30,33,26,34},

Grupları için değişim genişliğini bulunuz.

Grupları için değişim genişliğini bulunuz.

DGDG_AA= 45-= 45-20 = 2520 = 25 DGDG_BB= 34-= 34-26 = 826 = 8

Dağılış Ölçüleri

Değişim genişliğinin hesaplanması basit ve anlaşılması kolay Değişim genişliğinin hesaplanması basit ve anlaşılması kolay olması yanında değişim genişliğini verirken bunun

olması yanında değişim genişliğini verirken bunun

hesaplanmasında kullanılan iki sayıyı da belirtmekte yarar hesaplanmasında kullanılan iki sayıyı da belirtmekte yarar vardır. Ancak bu durumda okuyucuya daha iyi fikir verir.

vardır. Ancak bu durumda okuyucuya daha iyi fikir verir.

Değişim genişliği iki aşırı uç değere bağlı olarak hesaplanışı Değişim genişliği iki aşırı uç değere bağlı olarak hesaplanışı nedeniyle uç değerler arasındaki diğer gözlemlerin hangi nedeniyle uç değerler arasındaki diğer gözlemlerin hangi bölgede yoğunlaştığı konusunda bir bilgi vermez.

bölgede yoğunlaştığı konusunda bir bilgi vermez.

Bunun yanında, değişim genişliği örnek büyüklüğü ile birlikte Bunun yanında, değişim genişliği örnek büyüklüğü ile birlikte büyüyebileceğinden, eşit sayıda gözlem bulundurmayan

büyüyebileceğinden, eşit sayıda gözlem bulundurmayan örneklerin karşılaştırılması anlamlı bir sonuç vermez.

örneklerin karşılaştırılması anlamlı bir sonuç vermez.

Son olarak değişim genişliği, matematik işlemlere de Son olarak değişim genişliği, matematik işlemlere de elverişli değildir

elverişli değildir

Dağılış Ölçüleri

Varyans ve Standart Sapma

Varyans: gözlemlerin aritmetik ortalamadan olan sapmalarının kareler ortalaması şeklinde tanımlanabilir. Bu tanım çerçevesinde varyans formülü ;

Populasyon için Örnek için

Dağılış Ölçüleri

N x

N

i

i

2 2 1

)

( μ

σ

−

= ∑

=

Burada;

σ² : Populasyon varyansını, s² : Örnek varyansını μ : Populasyon ortalamasını, : Örnek ortalamasını N : populasyon genişliğini, n : Örnek genişliğini göstermektedir.

1 )

(

2 1

−

−

= ∑

=

n

x x

S

n

i

i

x

İstatistikte dağılış ölçüsü olarak kullanılmaya en uygun ve en

elverişli ölçü; varyans ve bunun karekökü olan standart sapmadır.

Her iki ölçü bir populasyonu veya bir örneği oluşturan tüm gözlemler dikkate alınarak hesaplanır.

Genellikle varyansın yorumlamak oldukça güçtür. Çünkü varyansın birimi, verilerin ifade edildiği ölçü biriminin karesidir. Yani, veriler kg, gr, m, cm ile ifade edilmişse varyansın birimi sırasıyla kg2 , gr2 , m2 , cm2 olur . Bu da bir anlam taşımaz. Bundan dolayı varyansın karekökü alınır ve buna standart sapma denir. Standart sapmanın birimi verilerin ifade edildiği ölçü birimi ile aynıdır (kg, gr, m, cm). Standart sapma varyansın karekökü olduğuna göre;

Populasyon için Örnek için

N x

N

i

i

2 2 1

)

( μ

σ σ

−

=

= ∑

=

1 )

(

2 1

−

−

=

= ∑

=

n

x x S

S

n

i

i

şeklinde hesaplanır.

Dağılış Ölçüleri

Standart sapma: gözlemlerin aritmetik ortalamadan olan sapmalarının ortalaması şeklinde tanımlanabilir. Yukarıdaki formül kullanılarak

varyansın hesaplaması özellikle gözlem sayısı fazla olduğunda güç olur. Bu nedenle varyansın

formülü ile hesaplanması daha kolaydır. Her iki formül de aynı sonucu verir.

Örnek yukarıda verilen Grup A ve B için varyansı ve standart sapmayı hesaplayınız.

XX_AA={20,28,30,25,40,22,45},={20,28,30,25,40,22,45}, XX_BB={27,28,32,30,33,26,34},={27,28,32,30,33,26,34},

1

/ ) (

1 ) (

1 1

2 2

2 2 1

−

−

− =

−

= ∑ ∑ ∑

= =

=

n

n x

x n

x x

S

n

i

n

i

i i

n

i

i

=30 xB

=30 xA

Dağılış Ölçüleri

A Grubu B Grubu x_i x_i² X_i-30

400 -10

-2 0 -5 10

-8 15

0 784

900 625 1600

484 2025 6818 20

28 30 25 40 22 45 210

(X_i-30)² x_i x_i² X_i-30

729 -3

-2 2 0 3 -4

4 0 784

1024 900 1089

676 1156 6358 100

4 0 25 100

64 225

(X_i-30)²

518

27 28 32 30 33 26 34 210

9 4 4 0 9 16 16 58 Örnek: Kırk koyunun ağırlıkları ile ilgili frekans tablosu için aritmetik ortalamayı hesaplayınız.

Dağılış Ölçüleri

A Grubu için yukarıdaki 1. formülde bilinenler yerine yazılırsa varyans;

33 . 6 86

518 1

7 518 1

)

(

2 1

= =

= −

−

−

= ∑

=

n

x x

S

n

i

i A

33 . 6 86

6300 6818

1 7

7 / 210 6818

1

/ )

(

1 1

2 2

2

− =

− =

= −

−

−

= ∑ ∑

= =

n

n x

x s

n

i

n

i

i i

A

veya 2. formülde bilinenler yerine yazılırsa varyans

olarak hesaplanır.

Dağılış Ölçüleri

B Grubu için 1. formülde bilinenler yerine yazılırsa varyans;

67 . 6 9

58 1

7 58 1

)

(

2 1

= =

= −

−

−

= ∑

=

n

x x

S

n

i

i B

67 . 6 9

6300 6358

1 7

7 / 210 6358

1

/ )

(

1 1

2 2

2

− =

− =

= −

−

−

= ∑ ∑

= =

n

n x

x s

n

i

n

i

i i

B

veya 2. formülde bilinenler yerine yazılırsa varyans

olarak hesaplanır. (Bu değerleri yorumlayınız)

Dağılış Ölçüleri

Her iki grup için standart sapma değerleri ise

11 . 3 67 .

2 = 9 =

= _B

B S

S

olarak hesaplanırlar. (Bu değerleri yorumlayınız) 29

. 9 33 .

2 = 86 =

= _A

A S

S

Dağılış Ölçüleri

Sınıflandırılmış verilerde varyansın hesaplanması;

Sınıflandırılmış verilerde varyans;

formülü ile hesaplanır.

Örnek: 40 koyunun ağırlığı ile ilgili frekans tablosu için varyansı hesaplayınız.

∑ ∑ ∑

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

∑

−

= −

−

−

=

−

−

=

=

= =

=

=

=

1 / ) (

1 / ) (

1 )

(

1

1 1

2 1

2

1

2 2 1

f

f fx

fx f

f x

f x

f f

x x

f

S

j j k

j

k

j j j

j k

j

j j k

j j k

j

j j

Dağılış Ölçüleri

Sınıf Limitleri (Koy. Ağr.(kg))

f_j (Koy.Say)

Sınıf Değeri

(x_j) f_jx_j

40.5 40.5

178.0 388.0 577.5 395.5 302.5 129 137 2148 44.5

48.5 52.5 56.5 60.5 64.5

67 70 2 68.5 9384.50

-

1 1640.25

4 7921.00

18818.00 30318.75 22345.75 18301.25 8320.50

117050.00 8

11 7 5 2

40

f_jx_j²

39 43 47 51 55 59 63

Σ

42 46 50 54 58 62 66

Önce sınıf değerleri bulunur ve formül gereği frekanslarla çarpılır ve toplanırsa ve sınıf değerlerinin karelerinin frekanslarla çarpılırsa…

Dağılış Ölçüleri

Sınıflandırılmış verilerde varyans formülündeki tabloda hesaplanan unsurlar yerine yazılırsa varyans;

olarak, Standart sapması ise;

65 . 39 43

4 . 1702 39

6 . 115347 117050

1 40

40 / 2148 117050

1 / )

( 2

1

1 1

2 1

2

2 = − = =

−

= −

−

−

=

∑

∑ ∑

∑

=

= =

=

k

j j k

j

k

j j j

j k

j

j j

f

f x

f x

f S

kg S

S = ² = 43.65 = 6.61 olarak hesaplanır.

Dağılış Ölçüleri

Standart Hata

Ortalamanın standart hatası olarak da bilinir ve

045 . 40 1

61 . 6 40

65 .

2

43

=

=

=

= n S

S

formülü ile hesaplanır.

Standart hata, gözlem değerleri hangi ölçü birimi ile ölçülmüş ise o ölçü birimi ile ifade edilir.

Örnek: 40 koyunun ağırlığına ait standart hata değerini hesaplayınız.

n S n

S

= S

=

Dağılış Ölçüleri

Varyasyon Katsayısı (Değişim Katsayısı)

Standart sapma (veya varyans) bir değişim ölçüsü olarak iki gruba ait gözlemlere bakarak hangi grubun daha homojen olduğunun belirlenmesinde her zaman yeterli bir ölçü olmayabilir. Çünkü bazen yapılan ölçümlerin büyüklüğü standart sapmayı ortalamadan daha fazla etkileyebilir. Diğer bir ifadeyle

- gözlemlerin büyüklüğü standart sapmayı etkilediği biliniyor veya öyle düşünülüyorsa,

- gözlemler farklı ölçü birimi ile ifade edilmişlerse

standart sapma yeterli bir değişim ölçüsü olmayıp yanıltıcı sonuçlara neden olabilir.

İşte bu gibi durumlarda, yani gözlem değerlerinin büyüklüğünden ileri gelen farklılığı ortadan kaldırmak hem de farklı ölçü birimi ile ifade edilmiş gözlem değerlerini karşılaştırılabilir duruma getirmek için yeni bir değişim ölçüsü kullanılması gerekmektedir. Bu da

varyasyon katsayısı (değişim katsayısı) olup bu, standart sapmanın ortalamaya oranının yüzle çarpılmasıyla bulunur ve yüzde ile ifade olunur. Yani;

Dağılış Ölçüleri

Varyasyon katsayısı

formülü ile hesaplanır.

Varyasyon katsayısı ne kadar küçük olursa denemenin veya

çalışmanın sonucuna olan güvenilirlik o oranda artar. Yalnız biyolojik çalışmalarda bu değerin % 30 ‘un altında olması istenir.

Aynı konuda yapılan çalışmalardan hangisinin sonucuna daha çok güvenmemiz hususunda karar vermede yardımcı olan tek kriter

varyasyon katsayısıdır. Düşük varyasyon katsayılı çalışma, diğerlerine nispetle daha sağlıklı yürütülmüş demektir.

Son olarak düşük varyasyon katsayılı grup, grubu oluşturan birey veya birimler arasındaki varyasyonun az olduğunu yani homojen bir grup olduğunu ortaya koyar. Aksi halde ise heterojen bir gruptur.

100 x *

VK = S

Dağılış Ölçüleri

Örnek: Koyun ve sığırların ağırlıkları ile ilgili standart sapmalar sırasıyla 6.4 ve 58 kg ve ortalamalar ise sırasıyla 56 ve 571 kg olarak bulunmuştur. Bu duruma göre varyasyonun hangi tür için daha fazla olduğu söylenebilir.

Dağılış Ölçüleri

Koyunlar için varyasyon katsayısı %11.42, sığırlar için ise

%10.16 olarak hesaplanmıştır. Bu durumda, standart sapma değerlerine göre ağırlık bakımından koyunlar daha homojen

görünürken, Varyasyon katsayılarına göre ağırlık bakımından sığırlar daha homojendir, yani varyasyon (değişim) koyunlarda, sığırlara göre daha fazladır.

42 . 11

% 100

56 * 4 . 100 6

* = =

= x VK

S

16 . 10

% 100

571 * 100 58

S

= * = =

x

VK S

Dağılış Ölçüleri

Standart Değişken (Standart Puan)

Gözlem değerlerinin ortalamadan olan farklarının standart sapma cinsinden ifadesidir şeklinde tanımlanabilir. Standart değişken,

gözlemlerin ölçüldüğü ölçü biriminden bağımsız olup birimi yoktur.

Yalnız standart sapma cinsinden ifade olunup;

S x Z = x

−

veya

σ μ

= x

− Z

formülü ile hesaplanır.

Dağılış Ölçüleri Örnek .4.12. İstatistik dersi alan 364 öğrencinin sınavda aldıkları

notların ortalaması 70 puan ve standart sapması 10 puan olarak bulunmuştur. Bu sınavda A ve B öğrencileri sırasıyla 80 ve 50 puan almışlardır. Buna göre her iki öğrencinin standart puanlarını bulunuz.

10 1 70 80 − =

− =

= σ

A

μ

A

Z x

puan olarak hesaplanır. Diğer bir ifadeyle, A öğrencisi ortalamadan bir standart puan yüksek, fakat B öğrencisi ise iki standart puan düşük puan almıştır.

10 2 70

50 − = −

− =

= σ

B

μ

B

Z x