Matematik Kulübü Fasikül Serisi PROBLEMLER Tamamı Ayrıntılı Çözümlü Okula Yardımcı ve ÖSYM Sınavlarına Hazırlık Barış B. DEMİR

Matematik Kulübü Fasikül Serisi

PROBLEMLER

Tamamı Ayrıntılı Çözümlü

Okula Yardımcı ve ÖSYM Sınavlarına Hazırlık

Barış B. DEMİR

“Problemler” başlığı, sizlerin temel matematik başlığı altında en çok zorlandığınız konuların ba- şında gelmektedir. Bu zorluğu aşmak için “Problemler” başlığını tek bir kaynaktan çalışmadığınızı, farklı kaynaklara ve size yardımcı olabilecek öğretmenlerinize başvurduğunuzu biliyoruz.

Bunun bilincinde olarak, bu fasikülde, mevcut kaynaklardan farklı bir yaklaşım sergileyerek, Ge- orge Polya’nın 1945 yılında “How to Solve It” kitabında sunduğu ve dört temel ilkeye dayanan prob- lem çözümünün temel yaklaşımını, “Açıklamalı Çözümler” başlığı altında her tür problemde ola- bildiğince kullandık. Bu başlıktaki çözümleri detaylı yapmaktaki amacımız, hem bu temel yaklaşımı sunmak hem de okunduğunda, hemen hemen her öğrencinin anlayabildiği bir kaynak oluşturmaktır.

Ayrıca, ezber bilgi oluşmasını engellemek için, problemlerin sınıflandırılıp başlıklar halinde ve- rilmesinden özellikle kaçındık. Bunun yerine tek bir başlık altında ve sistematik bir biçimde, temel problem çözme yaklaşımının getirdiği akıl yürütmeyle her tür problemi çözmeye çalıştık.

“Açıklamalı Çözümler” başlığının ardından, toplam 20 testten oluşan “Testler” başlığını ve deva- mında bu 20 testin çözümünün verildiği “Çözümler” başlığını sunduk. Böylece, açıklamalı çözümler ve testler başlıklarında yer alan toplam 300 problemin tamamını çözümleriyle birlikte vermiş olduk.

Hem “Açıklamalı Çözümler” hem de “Testler” başlığında yer alan problemler yazılırken, ÖSYM’nin yapmış olduğu sınavlarda çıkan problem kurgularının ve içeriklerinin tamamı tarandı ve örnek alındı.

Bu nedenle, bu fasikülde yer alan problemlerin tamamını çözen bir öğrenci, ÖSYM’nin yapmış oldu- ğu sınavlarda çıkan problemlerin doğal bir taramasını yapmış olacaktır. Farklı ve özgün problemlerin

yanında, özellikle son testlere doğru, bazı zor problemler de ekledik. Bunu yapmaktaki amacımız ise, farklı düşünme ve çözüm yolları edindirmektir.

“Problemler” konusunda kendini yeterli ya da yetersiz gören her öğrencinin, “Açıklamalı Çözüm- ler” başlığı altında sunulan problemleri, öncelikle kendisinin çözmeye çalışmasını, daha sonra detaylı çözümü mutlaka okumasını tavsiye ediyoruz. Böylece, “Problemler” konusunda kendini yetersiz gö- ren öğrencilerimiz çözümü anlamış olurken, kendini yeterli gören öğrencilerimiz ise farklı bir çözüm yöntemi edinme şansı yakalayacaktır.

Bu fasikülün yazım aşamasında yardımlarını esirgemeyen başta sevgili eşim Yeliz DEMİR’e, değerli arkadaşlarım Abdullah Aydın ÜNLÜ, Barbaros GÜR, Barış YAYCI, Muhammet YAVUZ, Murat ÇELİKKAYA, Orhan ŞAHİN, Yaşar ŞENCAN ve Sezgin ÖNER’e çok teşekkür ediyorum.

Faydalı olması dileğiyle,

Barış Burçin DEMİR

İÇİNDEKİLER

Problemin Söylemini Cebirsel İfadelere Dönüştürme ... 7

Açıklamalı Çözümler ... 11

Test 1 ... 55

Test 2 ... 57

Test 3 ... 59

Test 4 ... 61

Test 5 ... 63

Test 6 ... 65

Test 7 ... 67

Test 8 ... 69

Test 9 ... 71

Test 10 ... 73

Test 11 ... 75

Test 12 ... 77

Test 13 ... 79

Test 14 ... 81

Test 15 ... 83

Test 16 ... 85

Test 17 ... 87

Test 18 ... 89

Test 19 ... 91

Test 20 ... 93

Problemde verilen ve istenilen bilgiler ayrıştırılır, analiz edilir ve çözüme gidilir. Bu kıs- mı problemi anlamlandırmak olarak düşünebiliriz. Problemi anlamlandırabilmek için de genellikle problemin söylemini, mevcut hayat tecrübelerimizle ilişkilendirip zihnimizde canlandırmamız gerekir.

Akıl yürütmeye dayanmayan, matematiği formüller ve kurallar bütünü, dolayısıyla ez- ber olarak gören kişiler, bu bakış açıları nedeniyle, problemi anlamlandıramaz ve prob- lemin çözümünde zorlanırlar.

Özetle, problem çözme beceresini edinmek ve bunu geliştirmek, kişiye en başta akıl yürütme beceresi kazandırır. Bu beceriye sahip bir kişi ise matematiği daha sorgulayıcı ve anlamlı bir şekilde öğrenir. Bu nedenle öğrencilere tavsiyemiz matematiğe problem çözerek başlamalarıdır. Çözümü matematik gerektiren problemin söylemi genellikle basit cebirsel ifadelere dönüştürülür.

Temel problem çözümüne geçmeden önce, aşağıdaki örneklerle bunu nasıl yaptığı- mızı açıklayağız. Ancak, unutulmamalıdır ki özünde problemin tamamını okumadan ve problemi analiz etmeden, onun bir cümlesine dayanan herhangi bir söylemini doğ- rudan doğruya cebirsel ifadeye dönüştürmek doğru değildir. Bu nedenle aşağıdaki örneklerde verilen söylemler bir problemin içinde geçtiğinde çok daha farklı cebirsel ifadeler kullanmamız gerekebilir. Temel problem çözümlerine geçtiğimiz zaman bu du- rumu daha iyi anlayacağız.

ÖRNEK-1

“Bir sinemada bir tam biletinin fiyatı bir öğrenci biletin fiyatından 8 TL fazladır.”

söylemini cebirsel ifadeye dönüştürünüz.

Çözüm:

Bir öğrenci biletinin fiyatını x TL ile gösterirsek, bir tam biletin fiyatı (x + 8) TL olur. Ya da bir tam biletin fiyatını x TL ile gösterirsek, bir öğrenci biletinin fiyatı (x - 8) TL olur.

Bu dönüşümlerde tek bir sembol kullandık.

Aynı söylemi iki sembol kullanarak da ifade edebiliriz. Öğrenci biletinin fiyatını x TL, tam biletin fiyatını ise y TL ile gösterirsek, y = x + 8 eşitliğini elde ederiz.

ÖRNEK-2

“Can’ın parasının Cenk’in parasına oranı 54 tir.” söylemini cebirsel ifadeye dönüştürünüz.

Çözüm:

Can’ın parasına 4x TL, Cenk’in parasına ise 5x TL diyebiliriz.

Ya da, Can’ın parasına x TL, Cenk’in parasına y TL dersek,

yx 5

= 4 eşitliğini yazabiliriz.

Böylece, 5x = 4y eşitliğine ulaşırız.

İlk cebirsel ifadede tek bir sembol kullanırken, ikinci de iki sembol kullandığımıza dikkat ediniz.

Test 2 Çözümler ... 97

Test 3 Çözümler ... 99

Test 4 Çözümler ... 101

Test 5 Çözümler ... 103

Test 6 Çözümler ... 105

Test 7 Çözümler ... 107

Test 8 Çözümler ... 109

Test 9 Çözümler ... 111

Test 10 Çözümler ... 113

Test 11 Çözümler ... 115

Test 12 Çözümler ... 117

Test 13 Çözümler ... 119

Test 14 Çözümler ... 121

Test 15 Çözümler ... 123

Test 16 Çözümler ... 125

Test 17 Çözümler ... 127

Test 18 Çözümler ... 129

Test 19 Çözümler ... 131

Test 20 Çözümler ... 133

Cevap Anahtarı ... 135

PROBLEMLER

Açıklamalı Çözümler

Temel Problem Çözme Yöntemi

Matematiksel problemlerin çözümünde bir çok yöntem kullanılabilmektedir. Ancak han- gi yöntem kullanılırsa kullanılsın, hepsinin temelinde problemi anlamlandırmak yatar.

Bunun için ise problemi dikkatlice okumalı, zihnimizde somutlaştırmalı ve kendi dilimize dökmeli, problemde verilenleri ve istenileni ayrıştırmalıyız. Sonraki adımda verilenlerden istenilene ulaşmamıza yardım edecek cebirsel dönüşümler yazarak çözüm üretebiliriz.

Örneğin,

“Çınar, Eda ve Ceren’in kendi aralarında yaptıkları satranç maçlarıyla ilgili olarak şun- lar bilinmektedir.

● En az maç yapan Çınar’dır ve toplam 15 maç yapmıştır.

● En çok maç yapan Eda’dır ve toplam 18 maç yapmıştır.

Buna göre, Çınar ile Ceren kendi aralarında kaç maç yapmıştır?”

problemini inceleyelim:

Problemi anlamlandırmanın en önemli aşaması, onun söylemini kendi dilimize dökmek do- layısıyla düşünce dünyamıza yansıtabilmektir. Örneğin, bu problemde maç yapan kişileri yakın arkadaşlarımız olarak hayal etmek, hatta birini kendimiz olarak düşünmek probleme daha somut yaklaşmamızı sağlar. Böylece, problemin söylemi kendi dilimize dönüşür.

Verilenleri okuduğumuz zaman, en az maçı Çınar’ın yaptığını (15 maç), en çok maçı ise Eda’nın yapmış olduğunu (18 maç) görüyoruz. Buna göre, Ceren 16 ya da 17 maç yapmış olabilir.

Soruda istenilen ise Çınar ile Ceren arasında yapılan maç sayısıdır.

Şimdi cebirsel ifadelerden faydalanalım.

● Çınar ile Ceren’in kendi aralarında yaptığı maç sayısı a olsun.

● Bu durumda, Çınar ile Eda’nın kendi aralarında yaptığı maç sayısı (15 - a) olur.

● Benzer biçimde, Eda ile Ceren’in kendi aralarında yaptığı maç sayısı ise 18 - (15 - a) = a + 3 olur.

Ceren’in yaptığı toplam maç sayısı 16 ya da 17 olacağından a + a + 3 = 16 ya da a + a + 3 = 17 olmalıdır.

Birinci durumda,

2a + 3 = 16 eşitliğinden a =

13 tam sayı değildir.2 İkinci durumda,

2a + 3 = 17 eşitliğinden a = 7 bulunur.

O halde, Çınar ile Ceren kendi aralarında 7 maç yapmıştır.

Dikkat edilirse, yapmış olduğumuz çözüm sadece Çınar ile Ceren arasında yapılan maç sayısını değil, Çınar ile Eda ve Eda ile Ceren arasında yapılan maç sayılarını da bulmamızı sağladı.

Çınar ile Eda kendi aralarında 15 - 7 = 8 maç yapmışken, Eda ile Ceren kendi arala- rında 7 + 3 = 10 maç yapmıştır.

Çözümü kontrol edersek; Eda’nın toplam yaptığı maç sayısı 10 + 8 = 18, Çınar’ın toplam yapmış olduğu maç sayısı 7 + 8 = 15 ve Ceren’in toplam yapmış olduğu maç sayısı 7 + 10 = 17 dir. Bu değerler verilenlerle tam uyumludur.

Özetle bir problemi çözerken izlememiz gereken adımlar:

1. Problemin söylemini, tecrübelerimizle ilişkilendirerek somutlaştırmalıyız.

2. Problemin verilenlerini ve problemde istenileni listelemeliyiz.

3. Gerekli olduğu kadarıyla cebirsel ifadeler kullanarak çözüm üretmeliyiz.

4. Çözümü kontrol etmeliyiz (bu adım her problemde yapılmak zorunda değildir).

Son olarak, unutulmamalıdır ki, bir problemin tek bir yoldan çözümü yoktur, farklı yön- temlerle farklı çözümler yapılabilir.

ÖRNEK-8

“İki bölümden oluşan bir parkurda sabit hızlarla hareket eden iki araçtan biri birinci bölümü dakikada 2 kilometre hızla 8 dakikada bitirmiş, diğeri tüm parkuru dakikada 1,5 kilometre hızla 12 dakikada bitirmiştir.”

söyleminden parkurun ikinci bölümünün kaç kilometre olduğunu bulunuz.

Çözüm:

Birinci araca göre parkurun birinci bölümünün 2 : 8 = 16 kilometre olduğu sonucuna arılır.

İkinci araca göre parkurun tamamının 12 : 1,5 = 18 kilometre olduğu sonucuna varılır.

O halde, parkurun ikinci bölümü 18 - 16 = 2 kilometredir.

ÖRNEK-9

“Bir meyve suyu fabrikasında vişne suları 1,5 litrelik şişelere doldurulmaktadır. 1 litre vişne suyunun maliyeti, 1 şişenin maliyetinden 0,7 TL fazladır.”

söyleminden bir şişe vişne suyunun maliyetini cebirsel ifadeye dönüştürünüz.

Çözüm:

Bir şişenin maliyetine x TL dersek, bir litre vişne suyunun maliyeti (x + 0,7) TL olur.

Ancak şişeler 1,5 litre vişne suyu almaktadır. Demek ki şişeye dolacak olan vişne su- yunun maliyeti

1,5 : (x + 0,7) TL dir.

O halde, bir şişe vişne suyunun maliyeti x + 1,5 : (x + 0,7) = (2,5x + 1,05) TL olarak yazılabilir.

ÖRNEK-10

“Mehmet’in kalemlerine Çınar’ın kalemlerinin yarısı kadar eklenirse, ikisinin toplam ka- lem sayısı Mehmet’in başlangıçtaki kalem sayısının 3 katı oluyor.”

söylemini cebirsel ifadeye dönüştürünüz.

Çözüm:

Mehmet’in ve Çınar’ın başlangıçtaki kalem sayılarına sırasıyla A ve B adet diyelim.

Mehmet’in kalemlerine Çınar’ın kalemlerinin yarısı, yani B

2 kadar eklersek, Mehmet’in A + B

2 adet kalemi olur.

İkisinin kalemleri toplamı ise A + B

2 + B = A + B

3 adet olur.2

Bu sayı Mehmet’in başlangıçtaki kalem sayısının 3 katına eşit olacağından

A + B

3 = 3A & 3B = 4A2 eşitliği elde edilir.

George Polya, 1945 yılında çıkardığı “How to Solve It”

adlı kitabında problem çöz- menin dört önemli ilkesinden bahsetmektedir.

Polya’ya göre problem çöz- menin temel dört ilkesi:

1. Problemi anlama aşaması:

Bu aşamada,

● Problemde verilen bilgile- ri anlıyor musunuz?

● Ne bulmanız isteniyor?

● Problemi kendi kendinize ifade edebilir misiniz?

● Çözüm için bir şablon oluşturabilir misiniz?

vb. soruların cevabı aranır.

2. Çözüm Planı Geliştirme Aşaması:

Bu aşamada,

● Tahmin yürütme

● Şablon belirleme

● Problemi resmetme

● Denklem çözme

● Formül kullanma

● Geriye doğru bakma

● Olası durumları eleme

● Simetri kullanma

● Basit düzeye indirgeme vb. yöntemler kullanılabilir. Ne kadar çok problem çözülürse, o kadar farklı plan tecrübesi edinilir.

3. Planı uygulama aşaması:

Bu aşamada, önceki aşama- da çizilen plana uygun çözüm yapılır.

4. Geriye dönüş aşaması:

Bu son aşamada ise bulunan sonuç kontrol edilir.

Hızı saatte 90 km olan bir araç A noktasından, hızı saatte 120 km olan diğer bir araç B noktasından birbirine doğru aynı anda hareket ediyorlar ve C gibi bir noktada karşı- laşıyorlar.

A C

90 120

B

A noktasından hareket eden araç, karşılaşma anından 4 saat sonra B noktasına vardığına göre, A noktası ile B noktası arasındaki mesafe kaç km’dir?

Çözüm:

Problemde verilenlere bakalım: A ve B noktasından hareket eden araçların saatteki hızları sırasıyla 90 ve 120 km’dir. Araçlar C noktasında karşılaştıktan sonra A aracı B noktasına 4 saatte varmıştır. İstenilen ise AB arası mesafedir.

Verilenlere dikkat edilirse, A aracı karşılaşma anından, yani C noktasındayken, B nok- tasına gitmesi 4 saat sürmüştür.

Bu bilgiye göre, |CB| = 90 : 4 = 360 km olacaktır.

B aracı aynı mesafeyi saatte 120 km hızla gitmiştir.

Demek ki, B aracının bu mesafeyi gitme süresi 120

360 =3 saatir.

Bu süre aynı zamanda bu iki aracın karşılaşma süresidir. Çünkü, A aracı da bu sürede C noktasına varmıştır.

Böylece, |AC| = 90 : 3 = 270 km bulunur.

O halde, |AB| = 270 + 360 = 630 km’dir.

PROBLEM-29

690 kilometre mesafedeki bir yolun bir kısmı alfalt, bir kısmı ise topraktır.

Bu yolu katedecek olan bir aracın asfaltaki ve topraktaki ortalama hızı sırasıyla saatte 90 ve 50 km’dir.

Araç yolun tamamını 9 saatte aldığına göre, yolun toprak kısmı kaç km’dir?

Çözüm:

Problemde verilenlere bakalım:

Aracın gittiği 690 km yolun bir kısmı asfalt bir kısmı toprak olarak veriliyor. Ayrıca, ara- cın bu yollarda ortalama hızı sırasıyla saatte 90 ve 50 km bilgisi veriliyor. Son olarak aracın yolun tamamını 9 saatte aldığı söyleniyor. İstenilen ise, yolun toprak kısmının kaç km olduğudur.

Öncelikle yolun asfalt ve toprak kısmını aracın kaç saatte aldığını cebirsel olarak ifade edelim. Toprak kısım sorulduğundan, yolun toprak kısmını aracın t saatte aldığını var- sayalım. Böylece, alfast kısmı 9 - t saatte alacaktır.

Aracın toprak yoldaki ortalama hızı saatte 50 km olduğuna göre, toprak kısmın uzun- luğu 50t km olur. Benzer biçimde, aracın asfalt yoldaki ortalama hızı saatte 90 km olduğundan, alfalt kısmın uzunluğu 90(9 - t) km’dir. Böylece,

50t + 90(9 - t) = 690 eşitliğini yazabiliriz.

Bu eşitlikten, t = 3 bulunur. Demek ki, toprak yolu araç 3 saatte almıştır.

O halde, toprak yolun uzunluğu 50 : 3 = 150 km’dir.

A

800 km

B

Şekilde A ve B noktaları arasındaki uzaklık 800 km’dir. A ve B noktalarında bulunan iki otomobil birbirine doğru aynı anda hareket ederlerse 4 saat sonra karşılaşıyorlar; aynı yönde aynı anda hareket ederlerse 20 saat sonra biri diğerine yetişiyor.

Buna göre, hızı fazla olan otomobilin saatteki hızı kaç km’dir?

Çözüm:

Problemde geçen araçlardan birini kendimizin ve diğerini bir arkadaşımızın kullandığı- nı düşünmek ya da bu araçları bir arkadaşımızla karşılıklı yolculuk ettiğimiz iki otobüs olarak düşünmek, problemi daha iyi anlamamızı sağlayacaktır.

Problemde verilenlere bakalım:

A ve B noktalarından biri diğerinden hızlı olan iki aracın aynı anda birbirine doğru ha- reket ettiklerinde 4 saat sonra karşılaşacakları ve aynı yönde hareket etmeleri halinde ise hızlı olanın yavaş olana 20 saat sonra yetişeceği bilgisi veriliyor. Ayrıca bu iki nokta arasındaki mesafenin 800 km olduğu bilgisi veriliyor.

İstenilen ise hızlı olan aracın saatteki hızının kaç km olduğudur.

Hızlı olan aracın A noktasından, yavaş olan aracın B noktasından hareket ettiğini var- sayalım.

Ayrıca, hızlı olan aracın saatteki hızına a km, yavaş olan aracın saatteki hızına b km diyelim.

Araçlar şekildeki gibi birbirine doğru aynı anda hareket ettiklerinde A ve B noktaları arasında C gibi bir noktada 4 saat sonra karşılaşacaklardır.

A C

4a 4b

B

A noktasından hareket eden aracın saatteki hızı a km olduğu için, 4 saatte 4a km yol alır, yani |AC| = 4a km olur.

B noktasından hareket eden aracın saatteki hızı b km olduğu için, 4 saatte 4b km yol alır, yani |BC| = 4b km olur.

Bu durumda,

4a + 4b = 800 & a + b = 200 bulunur.

Araçlar şekildeki gibi aynı yönde aynı anda hareket ettiklerinde ise A noktasından ha- reket eden hızlı araç, B noktasından hareket eden araca 20 saat sonra B noktasının sağında bir C noktasında yetişecektir.

A C

20a

20b B

A noktasından hareket eden araç 20 saatte 20a km yol alacağından, |AC| = 20a km olur.

B noktasından hareket eden araç 20 saatte 20b km yol alacağından, |BC| = 20b km olur. Bu durumda,

20a - 20b = 800 & a - b = 40

bulunur. Elde ettiğimiz bu iki denklemi ortak çözersek, a = 120 ve b = 80 olur.

O halde, hızlı hareket eden aracın saatteki hızı 120 km’dir.

Saatte ortalama V km hızla hareket eden bir aracın t sa- atte aldığı yol

V : t km olur.

Bu nedenle, hızı sabit olan bir araç için

Yol = Hız # Zaman eşitliği vardır.

PROBLEMLER

Açıklamalı Çözümler

PROBLEM-32

A 3v 2v

B

D E 80 C

Şekildeki dikdörtgen biçimindeki ABCD koşu parkurunun A noktasından aynı anda AB ve AD doğrultusunda saatteki hızları sırasıyla 3v ve 2v metre olan iki hareketli [DC]

üzerindeki E noktasında karşılaşıyorlar.

|EC| = 80 metre olduğuna göre, parkurun uzunluğu kaç metredir?

Çözüm:

Problemde verilenler koşu parkurunun dikdörtgen biçiminde oluşu ve bu parkurun A köşesinden şekilde gösterildiği yönlerde aynı anda hareket eden saatteki hızları 3v ve 2v olan iki hareketlidir. Ayrıca, bu hareketlilerin E noktasına karşılaştıkları ve |EC| = 80 metre olduğudur. İstenilen ise, parkurun uzunluğudur.

Bu problemimizin de temelinde hız ile alınan yolun doğru orantılı olması yatar.

Parkurun yarı uzunluğuna x metre diyelim. Böylece,

|AB| + |BC| = |AD| + |DC| = x metredir.

Saatteki hızı 3v ve 2v metre olan hareketlilerin aldıkları yolların uzunlukları sırasıyla x + 80 ve x - 80 metre olur. Bu durumda,

v v

x x 2 3

80

= 80 -

+ & 3x - 240 = 2x + 160

eşitliği yazılır. Bu eşitlikten x = 400 bulunur. O halde, parkurun uzunluğu 800 metredir.

PROBLEM-33

O A

V₁ V₂

B

Şekildeki O merkezli dairesel koşu parkurunun A ve B noktalarından saniyedeki hızları V₁ ve V₂ metre olan iki koşucu belirtilen yönlerde aynı anda hareket ettiklerinde ikinci karşılaşmaları A noktasında oluyor.

( )

m AOB\ =90c olduğuna göre, V V

2

1 oranı kaçtır?

Çözüm:

Şekil ve verilenler dikkatli incelendiğinde hareketlilerin ilk karşılaşmaları 270˚ lik AB yayının üzerinde bir noktada olacağı açık bir şekilde görülecektir.

İkinci karşılaşmaları A noktasında olduğuna göre, A noktasından hareket eden koşucu bir tam tur (4 çeyrek tur) dönmüş, B noktasından hareket eden koşucu ise 3 çeyrek tur dönmüş olmalıdır. Alınan yol ile hızlar doğru orantılı olacağından,

V V

3 4

2

1 = bulunur.

PROBLEM-30

Şekilde gösterildiği gibi, aralarında C şehri bulunan, A ve B şehirleri arasındaki mesafe 150 km’dir.

A

C 2v

v

B 150 km

Hızları saatte v ve 2v km olan iki araç A şehrinden aynı anda ve aynı yönde hareket ettikten sonra, hızlı olan araç B şehrine gidip hiç durmadan döndüğünde yavaş olan araçla C şehrinde karşılaşıyor.

Buna göre, A şehri ile C şehri arasındaki mesafe kaç km’dir?

Çözüm:

Problemde verilenlere bakalım: A ve B şehirleri arasındaki mesafe 150 km’dir. A şehrin- den saate 2v km hızla hareket eden araç B şehrine gidip hiç durmadan döndüğünde, hızı saatte v km olan diğer araçla C şehrinde karşılaşıyor.

Problem çözümü temel olarak doğru orantıya dayanacaktır. Bir aracın hızı ile aldığı yol doğru orantılıdır. Örneğin, bu problemde verilen araçlar saatteki hızlarıyla doğru orantılı olarak 2 saatte 4v ve 2v km yol alacaklardır.

Bu açıklamaya göre, saatte 2v km hızla hareket eden aracın aldığı yol, saatte v km hızla hareket eden aracın aldığı yolun 2 katı olur. Böylece,

|AB| + |BC| = 2|AC| (...1) eşitliğini yazabiliriz. Şekle göre,

|AB| + |BC| + |AC| = 300 km (...2)

olacağından, (1) numaralı eşitlikte elde ettiğimiz ifadeyi (2) numaralı eşitlikte yerine yazarsak,

2|AC| + |AC| = 300 & |AC| = 100 km bulunur.

PROBLEM-31

Hızları saatte 24 km ve 30 km olan iki bisikletli dairesel bir parkur etrafında aynı nokta- dan aynı anda ve aynı yönde harekete başlıyor.

Yavaş olan bisikletli 3. turu tamamladığında hızlı olan bisikletlinin 4.turu tamamlama- sına 8 km kalıyor.

Buna göre, parkurun uzunluğu kaç km’dir?

Çözüm:

Problemin verilenlerini ve istenileni incelemeyi okuyucuya bırakıyoruz.

Bir önceki soruda olduğu gibi problemin temeli hız ile alınan yolun doğru orantılı olma- sına dayanıyor. Bir diğer deyişle, bisikletlilerin hızların oranı, aldıkları yolların oranına eşit olmalıdır.

Parkurun uzunluğuna x km diyelim. Bu durumda, yavaş olan 3x km gittiğinde, hızlı olan 4x - 8 km gitmiştir.

Böylece,

x x 24 30

3

4 8

= - &

x x 4 5

3

4 8

= -

eşitliği yazılabilir. Gerekli işlem yapılırsa, 15x = 16x - 32 & x = 32 bulunur.

O halde, parkurun uzunluğu 32 km’dir.

A

6

12 18

B B

Su (kg) Vşne (kg)

Şekildeki grafikte A ve B marka vişne sularındaki su ve vişne oranları gösterilmektedir.

A marka vişne suyundan 24 kg ve B marka vişne suyundan 56 kg alınarak bir karışım elde ediliyor.

Buna göre, bu karışımdaki vişne oranı yüzde kaçtır?

Çözüm:

Problemde A ve B marka vişne sularındaki vişne ve su miktarları arasındaki ilişki grafik yardımıyla veriliyor.

Ayrıca, A marka ve B marka vişne sularından sırasıyla 24 ve 56 kg alınarak karıştırıldı- ğı bilgisi veriliyor. İstenilen ise, bu karışımdaki vişne miktarının yüzdesidir.

Öncelikle problemde verilen grafiği okumamız gerekiyor.

Grafiğe bakıldığında A marka vişne suyunun 12 kilogramı su iken, 6 kilogramı vişne olmaktadır. Diğer bir deyişle 6 + 12 = 18 kg A marka vişne suyunda 6 kg vişne bulun- maktadır.

Bu ifadeyi oran olarak yazarsak, A marka vişne suyunun

186 31

= ü

vişneden oluşuyor diyebiliriz.

Benzer biçimde B marka vişne suyunun 18 kilogramı su iken, 6 kilogramı vişne olmak- tadır. Diğer bir deyişle 6 + 18 = 24 kg B marka vişne suyunda 6 kg vişne bulunmaktadır.

Bu ifadeyi oran olarak yazarsak, B marka vişne suyunun

6 186 4 1

+ = ü

vişneden oluşmaktadır.

24 kg A marka vişne suyunda 24 :

31 = 8 kg vişne, 56 kg B marka vişne suyunda 56 :

41 = 14 kg vişne bulunur. Böylece, A ve B marka vişne suyundan elde edilen

24 + 56 = 80 kg karışımdaki vişne miktarı 8 + 14 = 22 kg olur.

O halde, karışımdaki vişne oranı 80 ,

22 =0 275

olacağından, karışımda %27,5 vişne bulunur.

Bir dondurmacı; sade dondurmanın kilogramını 8 TL, kakaolu dondurmanın kilogramı- nı ise 10 TL’den satmaktadır. Bu dondurmacı %60’ı sade, %25’i kakao ve geri kalanı vanilyalı dondurmadan oluşan 40 kilogramlık bir dondurma karışımı yapıyor.

Dondurmacı, kârını değiştirmeden bu karışımın kilogramını 10,3 TL’den sattığına göre, vanilyalı dondurmanın kilogramını kaç TL’den satmaktadır?

Çözüm:

Problemin verilenleri: Dondurmacı, sade ve kakaolu dondurmanın kilogramını sırasıyla 8 TL ve 10 TL’den satıyor. %60’ı sade, %25’i kakaolu ve %15’i vanilyalı dondurmadan oluşan 40 kilogram karışım yapıyor. Bu karışımın kilogramını, kâr miktarını değiştirme- den, 14 TL’den satıyor. İstenilen ise vanilyalı dondurmanın kilogramının fiyatıdır.

Öncelikle 40 kg karışımdaki sade, kakaolu ve vanilyalı dondurma miktarlarını bulalım:

sade dondurmanın miktarı 40 : 0,6 = 24 kg, kakaolu dondurmanın miktarı 40 : 0,25 = 10 kg, vanilyalı dondurmanın miktarı 40 : 0,15 = 6 kg’dır.

Vanilyalı dondurmanın kilogramının fiyatına A TL diyelim. Bu durumda, sade dondurmanın satış fiyatı 24 : 8 = 192 TL

kakaolu dondurmanın satış fiyatı 10 : 10 = 100 TL vanilyalı dondurmanın satış fiyatı 6 : A = 6A TL olur.

Karışım 40 kg ve kilogramı 14 TL’den satıldığına göre, toplam satış miktarı 40 : 10,3 = 412 TL’dir. Bu durumda,

192 + 100 + 6A = 412

eşitliğini yazabiliriz. Bu eşitlikten A = 20 bulunur.

PROBLEM-50

Bir kimyagerin kullandığı iki ölçüm aletinden birincisi gerçeğinden %4 fazla, ikincisi gerçeğinden %6 eksik ölçüm yapmaktadır.

Kimyager, 1 litre kimyasal karışımı iki farklı kaba koyduktan sonra, fazla olanı birinci ölçüm aletiyle, az olanı ikinci ölçüm aletiyle ölçüyor.

Bu ölçüm sonucunda kaplardaki karışımların toplam miktarı 1 litre ölçüldüğüne göre, az olan kaptaki karışımın gerçek miktarı kaç litredir?

Çözüm:

Az olan kaptaki karışımın gerçek miktarına A litre diyelim. Böylece, fazla olan kaptaki karışımın miktarı (1 - A) litre olacaktır.

Az olan kaptaki miktarın hatalı ölçüm değeri (1 - 0,06) : A = 0,94 : A litre,

fazla olan kaptaki miktarın hatalı ölçüm değeri (1 + 0,04) : (1 - A) = 1,04 : (1 - A) litredir.

Bu miktarların toplamı 1 litre olduğundan, 0,94 : A + 1,04 : (1 - A) = 1

eşitliği yazılır. Bu eşitlikten A = 0,4 litre bulunur.

PROBLEMLER

Açıklamalı Çözümler

PROBLEM-54

Aşağıdaki sütun grafiklerinde A, B, C ve D ürünlerin satış öncesi ve satış sonrası sayı- ca dağılımları verilmektedir.

A B C D A B C D

16

8 24

40

20

12

Yüzde (%) Yüzde (%)

Ürün Ürün

Satış Önces
Satış Sonrası

B ürününden 540 adet, A ve C ürünlerinden eşit sayıda satıldığına göre, toplam kaç adet ürün satılmıştır?

Çözüm:

Problemin verilenlerine bakalım:

Satış öncesi ve satış sonrası A, B, C ve D marka ürünlerin sayıca dağılımları grafikler- de gösterilmektedir. B ürününden 540 adet satılmış, A ve C ürünlerinden ise eşit sayıda satılmıştır. İstenilen ise satılan toplam ürün sayısıdır.

Satış öncesi grafiği incelendiğinde A, B ve C ürünlerinin yüzdelerinin sırasıyla %20,

%24 ve %16 olduğu görülür. Bu durumda D ürününün satış öncesi yüzdesi

%(100 - (20 + 24 + 16)) = %40 olur.

Satış sonrası grafiği incelendiğinde A, B ve C ürünlerinin yüzdelerinin sırasıyla %40,

%12 ve %8 olduğu görülür. Bu durumda D ürününün satış sonrası yüzdesi

%(100 - (40 + 12 + 8)) = %40 olur.

Satış öncesi toplam ürün sayısına 100a adet; satış sonrası toplam ürün sayısına ise 100b adet diyelim. Bu durumda,

A ürününden satış öncesi 20a adet; satış sonrası 40b adet, B ürününden satış öncesi 24a adet; satış sonrası 12b adet, C ürününden satış öncesi 16a adet; satış sonrası 8b adet, D ürününden satış öncesi 40a adet; satış sonrası 40b adet vardır.

B ürününden 400 adet satıldığına göre, 24a - 12b = 540 & 2a - b = 45

eşitliğini yazabiliriz. Buna göre, satılan C ürün adedi 16a - 8b = 8 : (2a - b) = 8 : 45 = 360 olur.

A ve C ürünlerinden eşit sayıda satıldığına göre, A ürününden de 360 adet satılmıştır.

Böylece, A, B ve C ürünlerinden toplamda

60a - 60b = 540 + 360 + 360 = 1260 adet satılmıştır.

Bu eşitliğin iki tarafı da 60’a bölünürse, a - b = 21 olur.

O halde, D ürününden

40a - 40b = 40 : (21) = 840 adet satılmıştır.

PROBLEM-52

O O

A B

Tuz

Tuz

Su Su

150c

Şekildeki O merkezli daire grafiklerinde A ve B denizindeki tuz-su oranı gösteril- mektedir.

A ve B denizinden bir miktar su alınarak aynı kapta karıştırılıyor.

Elde edilen karışımın %40’ı tuz olduğu- na göre, A denizinden alınan su mikta- rının B denizinden alınan su miktarına oranı kaçtır?

Çözüm:

Problemin verilenlerine bakalım: A ve B denizindeki tuz-su oranı grafiklerle gösteril- mektedir. Bu denizlerden bir miktar su alınarak karıştırıldığı ve elde edilen bu karışımın

%40’ının tuz olduğu bilgisi veriliyor. İstenilen ise, A denizinden alınan su miktarının B denizinden alınana oranıdır.

Verilen grafikler incelendiğinde A deniz suyunun 360

90 4

= 1 ünün; B deniz suyunun ise 150360

125

= sinin tuz olduğu görülür.

A denizinden 4a litre, B denizinden ise 12b litre su alınmış olsun.

Böylece, karışım (4a + 12b) litre olurken, karışımdaki tuz miktarı (a + 5b) litre olacaktır.

Karışımın %40’ı tuz olduğuna göre,

a b

a b

4 12

5

100 40 +

+ = &

a b

a b

4 12

5 5 2 +

+ =

eşitliğini yazabiliriz. Bu eşitlikten b = 3a eşitliğini elde ederiz.

Böylece, A denizinden alınan su 4a litreyken, B denizinden alınan su 12b = 12 : 3a = 36a litre olur.

O halde, istenilen oran a a 36

4 9

= 1 bulunur.

PROBLEM-53

D C

A B

60c 72c

Şekilde bir otomobil fabrikasında bir yılda üretilen A, B, C ve D model araçlara ait daire grafiği verilmektedir.

Üretilen B model araçların sayısı D model araçların sayısından 1000 adet fazla olduğuna göre, kaç adet A model araç üretil- miştir?

Çözüm:

Problemde, daire grafiği ile A, B, C ve D model araçların üretim miktarları gösterilmekte ve üretilen B model araç sayısının D model araç sayısından 1000 adet fazla olduğu verilmektedir. İstenilen ise, üretilen A model araç sayısıdır.

Daire grafiğinde üretilen A model araçlara ait merkez açının ölçüsü 360° - (90° + 72° + 60°) = 138° dir.

B model araçlara ait merkez açının ölçüsü ile D model araçlara ait merkez açının ölçü- sü arasındaki fark 72° - 60° = 12° olduğundan, 12°’lik ölçüye karşılık 1000 adet araç olduğunu söyleyebiliriz. Üretilen A model araç sayısına x dersek, doğru orantı gereği

x

1000 = 13812 & x = 11500 bulunur.

Bir havuzu birim zamanda %15 lik klorlu su akıtan bir musluk 10 saatte, birim zamanda

%20 lik klorlu su akıtan bir musluk ise 15 saatte doldurmaktadır.

Boş olan bu havuz musluklarının ikisi birlikte açılarak doldurulduğunda, havuz- daki suyun klor oranı yüzde kaç olur?

Çözüm:

Problemin verilenlerine bakalım:

Boş bir havuzu sırasıyla 10 ve 15 saatte dolduran iki musluktan birincisinden birim zamanda akan suyun %15 inin, ikincisinden akan suyun %20 sinin klor içerdiği bilgisi veriliyor.

İstenilen ise iki musluk birlikte açılıp havuz dolduğunda, havuzdaki klor yüzdesidir.

Muslukların havuzu doldurma süreleri ile havuza akıttıkları su miktarı ters orantılıdır.

Bir diğer deyişle, hızlı dolduran musluktan akan su miktarı yavaş dolduran musluktan akan su miktarından fazla olacaktır.

Bu nedenle muslukların havuza akıttıkları su miktarını 10 ve 15 ile ters orantılı olarak 3 ve 2 m³ alabiliriz. Ancak, sorumuz bir yüzde hesabı sorusu olduğundan 3 m³ yerine 60 m³ ve 2 m³ yerine 40 m³ alarak havuzun hacmini 100 m³ almakta fayda var.

60 m³ suyun %15 i klor olduğuna göre, klor miktarı 60 :

10015 = 9 m³, 40 m³ suyun %20 si klor olduğuna göre, klor miktarı 40 :

10020 = 8 m³ olur.

O halde, 100 m³ havuzda toplam klor miktarı 9 + 8 = 17 m³ olacağından, klor oranı

%17 bulunur.

PROBLEM-68

A model 5 makine birlikte çalıştırılırsa bir iş 12 günde biterken, B model 5 makine bir- likte çalıştırılırsa aynı iş 18 günde bitiyor.

Buna göre, A model 2 makine ve B model 2 makine birlikte çalıştırılırsa aynı iş kaç günde biter?

Çözüm:

Problemin verilenlerine bakalım: A model 5 makine ya da B model 5 makine birlikte çalıştırıldığında bir işin kaç günde biteceği bilgisi veriliyor.

İstenilen ise, A ve B model makinelerden ikişer adedinin birlikte çalıştırılması halinde aynı işin kaç günde biteceğidir.

Makinesi sayısı ile işin bitme süresi ters orantılıdır. Bir diğer deyişle, makine sayısı azalırsa işin bitme süresi artacaktır.

Bu nedenle, 5 adet A model makine birlikte çalıştırıldığında iş 12 günde bitiyorsa, 2 adet A model makine birlikte çalıştırıldığında iş

2

5 12$ = 30 günde biter.

Aynı şekilde 5 adet B model makine birlikte çalıştırıldığında iş 18 günde bitiyorsa, 2 adet B model makine birlikte çalıştırıldığında iş

2

5 18$ = 45 günde biter. Böylece, A ve B model ikişer makine birlikte çalıştırıldığında 1 günde işin

30 1

45 1

18 + = 1 i biter.

O halde, işin tamamı 18 günde bitecektir.

Birim zamanda akıttıkları su miktarı eşit olan 6 musluk aynı anda açılarak boş bir havuz doldurulmak isteniyor. Ancak, her bir saatin sonunda musluklardan biri bozuluyor.

Muslukların tamamı bozulduğu anda havuzun dolu kısmı boş kısmının üç katı olduğuna göre, bu musluklardan sadece bir tanesi tamir edilip açılırsa havuzun

boş kısmı kaç saatte dolar?

Çözüm:

Problemin verilenlerine bakalım: Boş bir havuz, birim zamanda eşit miktarda su akıtan 6 musluk ile aynı anda doldurulmaya başlanıyor, ancak musluklar birer saat arayla bo- zuluyor. Son musluk bozulduğu anda, havuzun dolu kısmı boş kısmının 3 katı olduğu bilgisi veriliyor. İstenilen ise, havuzun boş kısmının bu musluklardan biriyle kaç saatte doldurulacağıdır.

Her bir musluktan 1 saatte akan su miktarına 1 m³ diyelim. Böylece, ilk 1 saatte havuza dolan su miktarı 6 : 1 = 6 m³,

ikinci 1 saatte havuza dolan su miktarı 5 : 1 = 5 m³, üçüncü 1 saatte havuza dolan su miktarı 4 : 1 = 4 m³, dördüncü 1 saatte havuza dolan su miktarı 3 : 1 = 3 m³, beşinci 1 saatte havuza dolan su miktarı 2 : 1 = 2 m³ ve altıncı 1 saatte havuza dolan su miktarı 1 : 1 = 1 m³ olur.

Toplamda havuza dolan su miktarı 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 m³ olacaktır.

Havuzun dolan bu kısım boş kısmının 3 katı olduğuna göre, havuzun boş kısmının hacmi

21 = 7 m3 ³ bulunur.

O halde, bir musluk 1 saatte 1 m³ su akıttığına göre, 7 m³ su 7 saatte dolar.

PROBLEM-66

Birim zamanda bireysel olarak sabit iş yapan Ali ve Veli bir işi sırasıyla A ve A

3 günde bitirebilmektedir.

Ali bu işi 3 gün boyunca tek başına yaptıktan sonra bırakıyor. Ertesi gün işi bitirmek için Veli işe başlıyor.

İş toplamda 8 günde bittiğine göre, A kaçtır?

Çözüm:

Problemde, aynı işi Ali ve Veli’nin bitirme süreleri bilinmeyen olarak ifade ediliyor. Bu işi Ali’nin 3 gün süreyle yaptıktan sonra bıraktığı ve kalan işi Veli’nin tamamladığı veriliyor.

Toplamda işin bitme süresi ise 8 gün olarak verilmiş. İstenilen ise Ali’nin tek başına işi bitirme süresidir.

Ali bu işi A günde bitirdiğine göre, 1 günde işin

A1 sını yapar.

Bu nedenle, Ali 3 günde işin

A3 sını bitirir.

Veli bu işi A

3 günde bitirdiğine göre, 1 günde işin

A3 sını yapar. Ayrıca, Veli 8 - 3 = 5 gün çalışmıştır.

Bu nedenle, Veli 5 günde işin

A A

5 3: = 15 sını yapar.

Ali ve Veli’nin bu çalışmaları neticesinde iş bittiğine göre,

A3 + 15A =1

eşitliğini yazabiliriz. Bu eşitlikten A = 18 bulunur.

Bir iş yükünü bireysel olarak sabit bir hızla A ve B zamanda tamamlayan iki çalışan, birlik- te birim zamanda bu işin

A B

1 + 1

kadarını tamamlarlar.

Örneğin, birim zamanda sa- bit iş yapan A çalışanı bir işi 4 günde ve B çalışanı ise 6 günde bitiriyorsa, ikisi birlikte bir günde işin

4 1

6 1

12 + = 5 sini tamamlarlar.

Açıklamalı Çözümler

PROBLEM-74

Her biri bir ucundan yakıldığında 16 dakikada tamamen yanan 3 özdeş ip aşağıdaki sıraya uygun olarak yakılıyor.

● Birinci ip iki ucundan, ikinci ve üçüncü ip ise birer ucundan olacak biçimde üç ip aynı anda yakılıyor.

● Birinci ip tamamen yandığı anda ikinci ip diğer ucundan da yakılıyor.

● İkinci ip tamamen yandığı anda üçüncü ip diğer ucundan da yakılıyor.

Buna göre, iplerin tamamen yanması kaç dakika sürer?

Çözüm:

Çözüm:

Problemin verilenlerini inceleyelim:

Özdeş üç ipin herhangi bir ucundan yakıldığından 16 dakikada tamamen yandığı bilgisi veriliyor. Bu üç özdeş ipten birincisi iki ucundan, diğerleri ise birer ucundan aynı anda yakılıyor. Birinci ip tamamen yandığı anda ikinci ip yakılmamış diğer ucundan yakılıyor.

İkinci ip tamamen yandığı anda ise üçüncü ip yakılmayan diğer ucundan yakılıyor.

İstenilen ise, bu üç ipin tamamen yanma süreleridir.

İpler bir ucundan yakıldığında 16 dakikada yandığına göre, aynı anda iki ucundan ya- kılan bir ip bu süresinin yarısı, yani 8 dakikada tamamen yanacaktır. Demek ki birinci ipin tamamen yanması 8 dakika sürmüştür. Bu süre boyunca ikinci ve üçüncü ipler yanmaya devam etmektedir.

Bu anda ikinci ip yakılmamış diğer ucundan yakıldığında tamamen yanması için kalan 8 dakika yarıya inecek, yani ikinci ip bu andan itibaren 4 dakikada tamamen yanacaktır.

Böylece, ikinci ipin tamamen yanması 8 + 4 = 12 dakika sürmüş olur. Bu süre boyunca üçüncü ip yanmaya devam ettiğinden, tamamen yanması için geriye 4 dakika süre kalmıştır.

Bu anda üçüncü ip yakılmamış diğer ucundan yakıldığında bu süre yarıya inecek, yani bu andan itibaren 2 dakika sonra tamamen yanmış olacaktır.

O halde, üç ipin tamamen yanması 12 + 2 = 14 dakika sürecektir.

Son açıklamalar

Buraya kadar yapılan problem çözümlerinde okuyucuya zaman zaman farklı bakış açı- ları kazandırmaya çalıştık.

Özellikle sınıflandırma yapmaktan kaçınarak, problemleri sistematik bir biçimde sun- maya çalıştık. Okuyucunun ihtiyaç duyabileceği cebirsel notlar düştük.

Bu çalışmanın okuyucu çevresinden alabileceği en önemli eleştirinin yapılan çözüm- lerin uzunluğuna dair olabileceğinin farkındayız. Ancak, bizim amacımız olabildiğince yardımcı bir kişiye başvurmadan okuyucunun yapılan çözümleri anlamasıdır. Böyle bir amaç altında özellikle bir problemin çözümünün kısa olamayacağı bir gerçektir.

Okyucularımızın her türlü olumlu ya da olumsuz geridönüşünü beklediğimizi belirtmek isteriz. Böylece, kendimizi geliştirip daha iyi çalışmalarda bulunabiliriz.

Fasikülün bundan sonraki kısımları test sorularından oluşmaktadır. Bu soruların da ÇÖZÜMLERİ testlerin bitimindedir. Ancak bu çözümler buraya kadar yapılan çözümler kadar detaylı değildir.

Testlerde yer alan problemler ağırlıklı olarak ÖSYM’nin yapmış olduğu sınavlarda so- rulan problemlerden esinlenilerek yazılmıştır. Bu nedenle, bu testlerdeki problemleri bitiren okuyucular, ÖSYM’nin yapmış olduğu sınavlarda sorulan problemlerin doğal bir

taramasını yapmış olacaktır.

MATEMATİK KULÜBÜ süresi 15 saniye, kısa olanın aynı köprüyü geçme süresi ise 10 saniyedir.

Buna göre, bu köprünün uzunluğunun kısa olan trenin uzunluğuna oranı kaçtır?

A) 21 B) 1 C)

23 D) 2 E) 2 5

8. Üniversitede dönemlik verilen bir derste 2 vize ve 1 final olmak üzere toplam 3 sınav yapılmakta ve bir öğrencinin bu dersi geçmesi için dönem sonu puanının en az 50 olması gerekmektedir. Sınavla- rın dönem sonu geçme puanına etkisi aşağıdaki gibidir.

● Her bir vizede alınan notun %30’u dönem sonu puanına eklenir.

● Finalden alınan notun %40’ı dönem sonu pu- anına eklenir.

Buna göre, birinci vizeden 40 alan bir öğrenci- nin dersten geçmeyi garantileyebilmesi için fi- nal notu en az kaç olmalıdır?

A) 95 B) 85 C) 75 D) 40 E) 20

9. %10’u tuz olan A karışımı ile %24’ü tuz olan B ka- rışımı karıştırılarak %15’i tuz olan bir karışım elde ediliyor.

Buna göre, yeni karışımda bulunan A karışım miktarının B karışım miktarına oranı kaçtır?

A) 2 B)

59 C)

58 D)

7 E) 14

her birinde üç adet kalem bulunan paketler halinde satmaya başlıyor.

Bu satış yöntemi sonucunda kırtasiyecinin günlük kalem satış adedi %25 artmasına rağmen, kalem- lerden gelen günlük getirisi değişmiyor.

Buna göre, kırtasiyecinin bir kaleme uyguladığı indirim yüzde kaçtır?

A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 20

11. Aşağıdaki tabloda A, B ve C ülkelerinin 2017 yılı sonundaki nüfusu ve yıllık su tüketim miktarları gösterilmektedir.

Ülke Nüfus (milyon) Tüketilen Su (milyon m³)

A 20 1440

B 30 1680

C 12 1080

Buna göre, 2017 yılında kişi başına düşen su tü- ketim miktarı en az olan ülkenin bu üç ülke için- de toplam su tüketimindeki payı yüzde kaçtır?

A) 30 B) 32 C) 34 D) 38 E) 40

12. Bir bakkalda ölçüm yapmak için eşit kollu terazi ve ağırlıkları 2 kg, 3 kg ve 5 kg olan üç adet demir külçe kullanılmaktadır.

Örneğin, bir müşteri 11 kg pirinç istediğinde, bakkal önce terazinin sol kefesine bu üç külçeyi ve sağ kefesine dengede duracak miktarda pirinç koyarak 10 kg pirinci tartıyor. Daha sonra, terazinin sol ke- fesine 3 kg ağırlığındaki külçeyi, sağ kefesine ise 2 kg ağırlığındaki külçeyi ve dengede kalacak kadar pirinci koyarak 1 kg pirinç daha tartmış oluyor. Böy- lece iki tartışta 11 kg pirinç tartılmış oluyor.

Buna göre, bakkal aşağıdaki miktarlarda pirinç siparişlerinden hangisini en az üç tartışta tar- tabilir?

A) 9 kg B) 12 kg C) 14 kg

D) 19 kg E) 20 kg

Problemler

MATEMATİK KULÜBÜ

Test-5

7. Birim zamanda sabit iş yapan Levent ve Mete, bir işi sırasıyla 12 saat ve 8 saatte bitirebiliyorlar.

Bu işi birlikte bitirmeyi planlayan Levent ve Mete, 2 saat boyunca çalıştıktan sonra Mete rahatsızlana- rak işi bırakıyor ve kalan işi Levent bitiriyor.

Buna göre, Mete’nin rahatsızlanması nedeniy- le iş planlandığından kaç saat fazla sürede ta- mamlanmıştır?

A) 3,8 B) 4 C) 4,2 D) 4,4 E) 4,8

8.

O A

V1

V₂ B

Şekildeki O merkezli dairesel koşu parkurunun A ve B noktalarından saniyedeki hızları V₁ ve V₂ metre olan iki koşucu belirtilen yönlerde aynı anda hare- ket ettiklerinde ilk kez B noktasında karşılaşıyorlar.

( )

m AOB\ =90c olduğuna göre, V V

2

1 oranının ala- bileceği değerlerin toplamı kaçtır?

A) 21 B) 1 C)

23 D) 2 E) 2 5

9. Bir kuruyemişçi ceviz, fındık ve fıstığın kilogramını sırasıyla 30 TL, 20 TL ve 40 TL’den alıyor.

Daha sonra %30’u ceviz, %30’u fındık ve geri ka- lanı fıstık olan 50 kilogramlık bir cerez karışımı ya- pıyor.

Kuruyemişçi çerezin kilogramını 46,5 TL’den sattığına göre, yüzde kaç kârla satış yapmak- tadır?

A) 20 B) 25 C) 30 D) 40 E) 50

10. Bir yolda sabit hızla hareket eden ve saatteki hızı 80 km olan bir kamyon, sabit hızla hareket eden bir otomobilin 2 km geriden gelmekte olduğunu farke- diyor. Bu andan 4 dakika sonra otomobil kamyona yetişiyor.

Buna göre, otomobilin hızı saatte kaç km’dir?

A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140

11. Aşağıdaki sütun grafiğinde sadece A, B ve C mad- delerinden oluşan bir karışımda bu maddelerin bu- lunma yüzdeleri gösterilmektedir.

A B C

20 30

Mktar (%)

Madde Bu karışıma, karışımda bulunan B maddesi kadar, her bir maddeden ekleme yapılarak yeni bir karışım elde ediliyor.

Buna göre, elde edilen yeni karışım daire grafi- ğinde gösterildiğinde B maddesine karşılık ge- len merkez açının ölçüsü kaç derece olur?

A) 90 B) 108 C) 120 D) 126 E) 144

12. Pazarlama, satış ve insan kaynakları bölümlerin- den oluşan bir şirkette her bir bölümde eşit sayıda personel çalışmaktadır.

Satış bölümünde çalışan bir personelin maaşı pazarlama bölümünde çalışan bir personelin ma- aşından %20 fazla; insan kaynakları bölümünde çalışan bir personelin maaşı ise satış bölümünde çalışan bir personelin maaşından %50 fazladır.

Şirketin, her bir bölümden birer kişiye ödediği top- lam maaş, pazarlama bölümünde çalışan tüm per- sonele ödediği toplam maaşın dörtte birine eşittir.

Buna göre, şirketin bu üç bölümde çalışan top- lam kaç personeli vardır?

A) 30 B) 48 C) 60 D) 72 E) 75

MATEMATİK KULÜBÜ 1. Bir şirket, yazılım bölümünde görev alan her bir

personele 15 adet indirim çeki; pazarlama bölü- münde görev alan her bir personele ise 10 adet indirim çeki vermektedir. Hem yazılım hem de pa- zarlama bölümünde görev alan bir personele ise 25 adet indirim çeki verilmektedir.

Şirketin yazılım bölümünde görev alan 15, pazar- lama bölümünde görev alan 10 olmak üzere bu iki bölümde çalışan toplam 20 personeli bulunmakta- dır.

Bir indirim çekinin şirkete maliyeti 10 TL oldu- ğuna göre, bu iki bölümde çalışan 20 personele bir ayda verilen indirim çeklerinin şirkete mali- yeti kaç TL’dir?

A) 3250 B) 3500 C) 3750

D) 4000 E) 4250

2. A, B ve C kaplarında bulunan toplam 119 litre su aşağıdaki şekilde paylaştırılıyor.

● A kabındaki suyun yarısı B kabına

● B kabındaki suyun dörtte biri C kabına

● C kabındaki suyun beşte ikisi A kabına dökülmek üzere ayrılıyor ve aynı anda kaplara dö- külüyor.

Son durumda hiç bir kaptaki su miktarı değiş- mediğine göre, B kabında kaç litre su vardır?

A) 28 B) 35 C) 42 D) 49 E) 56

3. 20 okçunun yarıştığı bir yarışmada her okçu üç atış yapmıştır.

Okçuların her biri hedefi en az bir kez vurmuş ve hedefe isabet eden toplam ok sayısı 36’dır.

Hedefi en az iki kez vuran 10 yarışmacı olduğu- na göre, bu yarışmacılardan kaçı hedefi üç kez vurmuştur?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

4. Birim zamanda akıttıkları su miktarı sabit olan A ve B muslukları boş bir havuzu sırasıyla x ve x

3 sa- atte doldururken, bu havuzun dibindeki C musluğu dolu havuzu 2x saatte boşaltmaktadır.

Bu üç musluk aynı anda açıldıktan 4 saat sonra havuzun yarısı dolduğuna göre, x kaçtır?

A) 16 B) 20 C) 24 D) 28 E) 32

5. Yaşları birbirinden farklı üç kardeş olan Alim, Bora ve Ceyda’dan en küçüğü Alim ve en büyüğü Cey- da’dır.

Alim, Bora’nın bugünkü yaşına geldiğinde Cey- da’nın yaşı kardeşlerinin yaşları toplamına eşit ola- caktır.

Alim, Ceyda’nın bugünkü yaşına geldiğinde ise Ceyda’nın yaşı kardeşlerinin yaşları toplamından 5 eksik olacaktır.

Buna göre, bu üç kardeşin yaşları toplamı en fazla kaç olur?

A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22

6. Uzunluğu 60 metre olan bir havuzun A ve B parkur- larından sırasıyla dakikada 3v ve 5v metre hızlarla aynı anda şekildeki gibi durmaksızın yüzen iki yü- zücü ilk kez C hattında, ikinci kez D hattında kar- şılaşıyorlar.

C D

A B 5v

3v

60 m

Buna göre, C ve D hatları arasındaki uzaklık kaç metredir?

A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35

Problemler

MATEMATİK KULÜBÜ

Test-7

7. Hızları sabit olan iki araç aynı anda A şehrinden B şehrine doğru hareket ediyor.

Hızlı olan araç yolu yarıladığında yavaş olan araç yolun 60 km’sini gitmiş oluyor. Yavaş olan araç yo- lun üçte birini gittiğinde ise hızlı olan araç yolun 160 km’sini gitmiş oluyor.

Buna göre, A ve B şehirleri arasındaki uzaklık kaç km’dir?

A) 180 B) 200 C) 220 D) 240 E) 260

8. Aşağıdaki tabloda bir giyim mağazasında satılan üç farklı kalitedeki takım elbiselerin etiket fiyatları gösterilmektedir.

Kalite Etiket Fiyat (TL)

A 1200

B 900

C 700

Mağaza sahibi, satışlarını arttırmak için takım el- biselerin etiket fiyatına %40 indirim uygulamış ve aşağıdaki kampanyaları düzenlemiştir.

● 1. Kampanya:

Müşteri, aldığı üç takımın toplam ücreti yeri- ne fiyatı en yüksek olan takımın etiket fiyatını öder.

● 2. Kampanya:

Müşterinin aldığı her takım elbise için kasada indirimli fiyat üzerinden ek olarak %20 indirim uygulanır.

Galip, bu mağazadan 1. kampanya dahilinde birer tane A, B ve C kalitede takım elbise alırken, Meh- met 2. kampanya dahilinde birer adet A ve C kalite- de takım elbise almıştır.

Buna göre, Mehmet’in aldığı takımların bir tane- sinin Mehmet’e maliyeti, Galip’in aldığı takım- ların bir tanesinin Galip’e maliyetinden kaç TL fazladır?

A) 40 B) 48 C) 56 D) 64 E) 72

9. Bir çay fabrikası sahibi kilogramını 2 TL’den aldı- ğı yaş çayı kurutarak kuru çayın kilogramını 10 TL’den satmaktadır.

Çay fabrikası sahibi bu satıştan %80 kâr elde ettiğine göre, 1 kilogram yaş çay kuruduğunda ağırlığının yüzde kaçını kaybetmektedir?

A) 48 B) 56 C) 64 D) 72 E) 80

10. Şekildeki daire grafiğinde ağırlığı 240 gram olan bir karışımda bulunan A ve B maddelerinin dağılımı gösterilmektedir.

O B

A

Bu karışımdan bir miktar A maddesi alınıp yerine aynı miktarda B maddesi koyulduğunda, karışım- daki A ve B maddelerinin dağılımı aşağıdaki daire grafiğindeki gibi oluyor.

O B

A 150c

Buna göre, son durumda karışıma eklenen B maddesi kaç gramdır?

A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

11. Bir miktar para, şirket çalışanlarına, her biri 50 TL alacak şekilde dağıtılmak isteniyor. Ancak, son ça- lışana 45 TL kalacağı fark ediliyor.

Bunun üzerine, eşitliği sağlamak amacıyla her bir çalışana 45 TL veriliyor ve artan 95 TL şirket harca- maları için ayrılıyor.

Buna göre, başlangıçta dağıtılması düşünülen para kaç TL’dir?

A) 945 B) 995 C) 1045

D) 1095 E) 1145

MATEMATİK KULÜBÜ 1. Aşağıdaki tabloda, A ve B marka buzdolaplarının

aylık kilovat saat (kwh) cinsinden enerji tüketim de- ğerleri ile satış fiyatları gösterilmiştir.

1 kwh enerji tüketim bedeli 0,8 TL dir.

Marka Aylık Enerji

Tüketimi Fiyatı

A 30 kwh 1200 TL

B 25 kwh 1280 TL

Selim, düşük enerji tüketim değeri nedeniyle B marka buzdolabını; Pınar ise düşük fiyatı nedeniyle A marka buzdolabını almıştır.

Buna göre, kaç ay sonra Selim ve Pınar’ın ener- ji tüketim bedelleriyle birlikte buzdolaplarına yaptıkları masraflar eşit olur?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

2. Elinde 10 tane 50 TL’lik ve 10 tane 100 TL’lik bank- not bulunan Uygur, bu banknotların bir kısmını A bankasına, geri kalanını ise B bankasına yatırıyor.

Uygur’un A bankasına yatırdığı banknotların ortalaması 70 TL ve B bankasına yatırdığı bank- notların ortalaması 80 TL olduğuna göre, Uygur A bankasına kaç adet 50 TL’lik banknot yatır- mıştır?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

3. Bir kelime yarışmasında, iki yarışmacı yarışmakta ve yarışmacılar ekranda beliren harfleri kullanarak anlamlı bir kelime oluşturmaktadır. Yarışmanın ku- ralları aşağıda verilmiştir.

● Her kelime için ekranda 14 harf belirmekte ve yarışmacı istediği kadarını kullanabilmektedir.

● Oluşturulan kelimedeki her bir sesli harf 10 puan ve her bir sessiz harf 5 puandır.

● Yarışmacılara ek olarak kullanılan harf sayısı kadar puan verilmektedir.

İlk kelime için yarışmacılar eşit sayıda harf kullan- mış ve ikisinin aldıkları puanların toplamı 121’dir.

Buna göre, her bir yarışmacı kaç harfli kelime oluşturmuştur?

A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7

4. A, B ve C sertifika programlarına kayıt yaptıran kişi- lerle ilgili olarak aşağıdakiler bilinmektedir.

● A sertifika programına kayıt yaptıranların ta- mamı B sertifika programına da kayıt yaptır- mıştır.

● C sertifika programına kayıt yaptıranların hiç- biri A sertifika programına kayıt yaptırmamış- tır.

● Sadece bir sertifika programına kayıt yaptıran 20 kişi vardır.

Bu üç sertifika programına kayıt yaptıran top- lam 80 kişi olduğuna göre, iki sertifika progra- mına kayıt yaptıran kaç kişi vardır?

A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

5. Bir fotokopici çektiği her bir sayfa başına 2 kuruş ücret almaktadır.

Satış fiyatı 20 TL olan bir kitabı bu fotokopicide fo- tokopi çektiren Cengiz, fotokopiciden çıkmak üze- reyken denetime gelen polisler tarafından durdurul- muştur.

Denetim sonucundan, bu kitabın fotokopisi çekilen her bir sayfası için fotokopiciye 10 TL, Cengiz’e ise 2 TL idari para cezası kesilmiştir.

Fotokopiciye kesilen toplam idari para cezası kitabın fiyatının 100 katı olduğuna göre, bu ki- tabın fotokopisini çektirmek Cengiz’e kaç TL’ye mal olmuştur?

A) 202 B) 303 C) 404 D) 505 E) 606

6. Bir araç saat 11:00’de A kentinden B kentine doğ- ru saatte ortalama 80 km hızla hareket etmiştir. Bir diğer araç ise aynı gün saat 12:00’de B kentinden A kentine doğru saatte ortalama 100 km hızla ha- reket etmiştir.

A ve B kentleri arasındaki uzaklık 980 km oldu- ğuna göre, bu iki araç saat kaçta karşılaşır?

A) 16:30 B) 16:45 C) 17:00

D) 17:15 E) 17:30

PROBLEMLER

Problemler

MATEMATİK KULÜBÜ

1. Her birinde farklı tam sayı miktarlarda süt bulunan A, B, C, D ve E kaplarıyla ilgili olarak aşağıdakiler bilinmektedir.

● B kabındaki sütün bir kısmı E kabına ve C kabındaki sütün bir kısmı A kabına dökülürse beş kabın her birinde eşit miktarda süt bulunur.

● D kabındaki süt miktarı E kabındaki süt mikta- rından 2 litre fazladır.

● En az süt E kabında bulunmaktadır.

C kabında 9 litre süt bulunduğuna göre, kaplar- daki toplam süt miktarı kaç litredir?

A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50

2. Hacmi 300 m³ olan boş bir havuza 5 saat boyunca A musluğu su akıtırken, havuzu boşaltan B muslu- ğu 3. saaten itibaren yanlışlıkla açılıyor.

Aşağıdaki doğrusal grafikte havuzdaki su miktarı- nın zamana göre değişimi gösterilmektedir.

300 240

3

0 5 zaman

(saat) ktarı

(m )³

Buna göre, B musluğu dolu olan bu havuzu kaç saatte boşaltır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10

3. Şekilde, 5 hücresi boyalı olan ve hücrelerine 1’den 9’a kadar sayılar yazılan 3x3’lük bir tablo, yazılan sayılarından sadece 5 ile gösterilmektedir.

5

Boyalı hücrelerdeki sayıların toplamı, boyasız hüc- relerdeki sayıların toplamından küçüktür.

Buna göre, boyalı hücrelerdeki sayıların topla- mı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 15 B) 16 C) 19 D) 20 E) 22

4. Bir market sahibi, 2 kilogram çörekotundan 0,5 lit- re çörekotu yağı üreten bir makine kullanarak elde edeceği çörekotu yağının litresini 20 TL’den satma- yı planlıyor.

Market sahibi, toptancıdan kilogramı 2 TL olan 42 kg çörekotu satın alıyor. Ancak, toptancı 42 kg çö- rekotunu ölçerken gerçeğinden %5 fazla ölçen bir tartı kullanıyor.

Buna göre, market sahibi çörekotu yağının satı- şından planladığı geliri elde etmek için, çöreko- tu yağının litresini kaç TL’ye satmalıdır?

A) 21 B) 21,5 C) 22 D) 22,5 E) 23

5. Bir kimya laboratuvarında her biri ayrı kaplarda bu- lunan A, B ve C karışımlarında sırasıyla %8, %14 ve %36 oranında asit bulunmaktadır.

A, B ve C karışımlarının tamamı bir kapta karıştı- rılarak asit oranı %20 olan 125 litre karışım elde ediliyor.

Başlangıçta, A ve B karışımlarının miktarı birbi- rine eşit olduğuna göre, C karışımı kaç litredir?

A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50

6. A ve B kentlerinden aynı anda sabit hızlarla birbi- rine doğru yola çıkan iki araç A kentinden 600 km uzaklıkta ilk kez karşılaşıyorlar.

Hareketlerine devam eden araçlar B ve A kentleri- ne vardıktan sonra zaman kaybetmeden geri dö- nüyorlar ve B kentinden 300 km uzaklıkta ikinci kez karşılaşıyorlar.

Buna göre, A ve B kentleri arasındaki uzaklık kaç km’dir?

A) 900 B) 1100 C) 1300

D) 1500 E) 1800

Test-20

MATEMATİK KULÜBÜ 2A

A

B

B

Şekilde görüleceği üzere, uzun trenin köprüyü ta- mamen geçmesi için en arka kısmının alması ge- reken yol 2A + B birimdir. Kısa olan tren için ise bu değer A + B birimdir.

Trenlerin hızları eşit olduğundan, alınan yol ile za- man doğru orantılı olacaktır. Bu nedenle,

A BA B 2

10 15 +

+ =

eşitliğini yazabilir. Bu eşitlikten A = B bulunur.

O halde, istenilen oran 1’dir.

Doğru cevap B 8. Birinci vizeden 40 alan öğrencinin vize notunun

dönem sonu puanına katkısı 40 : 0,3 = 12 puan olacaktır.

En kötü ihtimalle öğrencinin 2.vizeden 0 aldığını varsayalım.

Bu durumda, dönem sonu puanının en az 50 olma- sı için finalden alacağı notun %40’ı, en az 50 - 12 = 38’e eşit olmalıdır. Finalden alması gere- ken en düşük nota A dersek,

A : 0,4 = 38

eşitliğini yazarız. Bu eşitlikten A = 95 bulunur.

O halde, bu öğrenci finalden en az 95 almalıdır.

Doğru cevap A 9. 1. yol:

A karışımındaki tuz yüzdesi elde edilen karışımda- ki tuz yüzdesinden 5 eksiktir. B karışımındaki tuz yüzdesi elde edilen karışımdaki tuz yüzdesinden 9 fazladır. Bu nedenle, yeni karışımda %15 tuz den- gesinin sağlanması için A karışımdan 9 birim, B ka- rışımından 5 birim almak yeterlidir. Böylece istenen oran

59 bulunur.

2. Yol:

A ve B karışımlarından alınan miktar sırasıyla X ve Y birim olsun. Böylece, A ve B karışımdan gelen tuz miktarı sırasıyla 0,1X ve 0,24Y birim olur. Elde edilen karışım X + Y birim olduğundan tuz miktarı 0,15(X + Y) birimdir.

0,1X + 0,24Y = 0,15(X + Y)

eşitliği yazılırsa, 9Y = 5X elde edilir. Bu eşitlikten istenen oran

59 bulunur.

Doğru cevap B

Her birinde 3 kalemin bulunduğu bir paketin fiyatı- na ise 3B TL diyelim. Böylece, paketteki bir kalemin fiyatı B TL olur.

Kalemlerin tek tek satıldığı günde, x adet kalem sa- tıldığını varsayarsak, paketli satışın yapıldığı gün- de, %25 artış nedeniyle, satılan kalem sayısı 1,25x adet olacaktır.

Kırtasiyecinin günlük geliri değişmediğine göre, A : x = B : 1,25x

eşitliği yazılır. Bu eşitlikten B = 0,8A bulunur.

O halde, bir kalemin fiyatı %20 azalmıştır. Yani, ya- pılan indirim %20’dir.

Doğru cevap E

11. Tabloya göre,

A ülkesinde kişi başına su tüketimi

1440 = 72 m20 ³, B ülkesinde kişi başına su tüketimi

1680 = 56 m30 ³, C ülkesinde kişi başına su tüketimi

1080 = 90 m12 ³ olur.

Kişi başına en az tüketim B ülkesindedir.

Bu üç ülkede toplam su tüketim miktarı, 1440 + 1680 + 1080 = 4200 milyon m³

olduğundan, B ülkesinin tüketim miktarının bu de- ğere oranı

1680 = 0,44200

olur. O halde, B ülkesinin tüketim payı %40’tır.

Doğru cevap E

12. 9 kg pirinç için önce aynı kefeye 5 ve 3 kg, sonra farklı kefelere 3 ve 2 kg külçe koyulabilir.

12 kg için önce aynı kefeye 5, 3 ve 2 kg, sonra tek bir kefeye 2 kg külçe koyulabilir.

14 kilogram için iki kez aynı kefeye 5 ve 2 kg külçe koyulabilir.

20 kilogram için iki kez aynı kefeye 5, 3 ve 2 kg külçe koyulabilir.

Ama 19 kg pirinç iki tartışta tartılamaz.

Önce, aynı kefeye 5, 3 ve 2 kg, sonra aynı kefeye 5 ve 3 kg ve en son farklı kefelere 3 ve 2 kg külçe ko- yularak 19 kg pirinç tartılabilir. (3 tartış içeren farklı seçimler de var.)

Doğru cevap D