Leontief input-output Modeli

(1)

Leontief input-output Modeli

Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi

¸

Subat, 2020

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Leontief input-output Modeli ¸Subat, 2020 1 / 26

(2)

Leontief Input-Output Modeli

Wassily Leontief

(1906-1999) Rus as¬ll¬Amerikal¬ekonomist Nobel Ekonomi Ödül (1973)

https://tr.wikipedia.org/wiki/Wassily_Leontief

(3)

Leontief Input-Output Modeli

Wassily Leontief

(1906-1999) Rus as¬ll¬Amerikal¬ekonomist

Nobel Ekonomi Ödül (1973)

https://tr.wikipedia.org/wiki/Wassily_Leontief

(4)

Leontief Input-Output Modeli

Wassily Leontief

(1906-1999) Rus as¬ll¬Amerikal¬ekonomist Nobel Ekonomi Ödül (1973)

https://tr.wikipedia.org/wiki/Wassily_Leontief

(5)

Leontief Input-Output Modeli

Wassily Leontief

(1906-1999) Rus as¬ll¬Amerikal¬ekonomist Nobel Ekonomi Ödül (1973)

https://tr.wikipedia.org/wiki/Wassily_Leontief

(6)

Leontief Input-Output Modeli

Ülke ekonomisinin farkl¬sektörlerini dikkate al¬yor

Her bir sektörde birim de¼ ger üretimin di¼ ger sektörlerden kulland¬¼ g¬ miktarlar¬esas alarak

· Iç tüketimi hesapl¬yor ve

· Iç tüketim ç¬kt¬ktan sonra d¬¸s talebi kar¸s¬layacak biçimde her bir sektörün üretmesi gereken miktar¬belirlemeyi amaçl¬yor,

(7)

Leontief Input-Output Modeli

Ülke ekonomisinin farkl¬sektörlerini dikkate al¬yor

Her bir sektörde birim de¼ ger üretimin di¼ ger sektörlerden kulland¬¼ g¬

miktarlar¬esas alarak

· Iç tüketimi hesapl¬yor ve

· Iç tüketim ç¬kt¬ktan sonra d¬¸s talebi kar¸s¬layacak biçimde her bir sektörün üretmesi gereken miktar¬belirlemeyi amaçl¬yor,

(8)

Leontief Input-Output Modeli

Ülke ekonomisinin farkl¬sektörlerini dikkate al¬yor

Her bir sektörde birim de¼ ger üretimin di¼ ger sektörlerden kulland¬¼ g¬

miktarlar¬esas alarak

· Iç tüketimi hesapl¬yor ve

· Iç tüketim ç¬kt¬ktan sonra d¬¸s talebi kar¸s¬layacak biçimde her bir sektörün üretmesi gereken miktar¬belirlemeyi amaçl¬yor,

(9)

Leontief Input-Output Modeli

Ülke ekonomisinin farkl¬sektörlerini dikkate al¬yor

Her bir sektörde birim de¼ ger üretimin di¼ ger sektörlerden kulland¬¼ g¬

miktarlar¬esas alarak

· Iç tüketimi hesapl¬yor ve

· Iç tüketim ç¬kt¬ktan sonra d¬¸s talebi kar¸s¬layacak biçimde her bir sektörün üretmesi gereken miktar¬belirlemeyi amaçl¬yor,

(10)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Sadece tar¬m ve sanayiden olu¸san iki sektörlü basit bir ekonomi gözönüne alal¬m.

Tar¬m sektöründeki 1 birim de¼ gerindeki üretimin tar¬m sektörünün kendisinden 0.2 birim

sanayi sektöründen ise 0.3 birimlik ürüne ihtiyaç duydu¼ gunu kabul edelim .

(11)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Sadece tar¬m ve sanayiden olu¸san iki sektörlü basit bir ekonomi gözönüne alal¬m.

Tar¬m sektöründeki 1 birim de¼ gerindeki üretimin

tar¬m sektörünün kendisinden 0.2 birim

sanayi sektöründen ise 0.3 birimlik ürüne ihtiyaç duydu¼ gunu kabul edelim .

(12)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Sadece tar¬m ve sanayiden olu¸san iki sektörlü basit bir ekonomi gözönüne alal¬m.

Tar¬m sektöründeki 1 birim de¼ gerindeki üretimin tar¬m sektörünün kendisinden 0.2 birim

sanayi sektöründen ise 0.3 birimlik ürüne ihtiyaç duydu¼ gunu kabul edelim .

(13)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Sadece tar¬m ve sanayiden olu¸san iki sektörlü basit bir ekonomi gözönüne alal¬m.

Tar¬m sektöründeki 1 birim de¼ gerindeki üretimin tar¬m sektörünün kendisinden 0.2 birim

sanayi sektöründen ise 0.3 birimlik ürüne ihtiyaç duydu¼ gunu kabul edelim .

(14)

sanayi sektöründeki 1 birim de¼ gerindeki üretimin ise

tar¬m sektöründen 0.3 ve

sanayi sektöründen ise 0.4 birimlik ürüne ihtiyaç duydu¼ gunu kabul edelim.

(15)

sanayi sektöründeki 1 birim de¼ gerindeki üretimin ise tar¬m sektöründen 0.3 ve

sanayi sektöründen ise 0.4 birimlik ürüne ihtiyaç duydu¼ gunu kabul edelim.

(16)

sanayi sektöründeki 1 birim de¼ gerindeki üretimin ise tar¬m sektöründen 0.3 ve

sanayi sektöründen ise 0.4 birimlik ürüne ihtiyaç duydu¼ gunu kabul edelim.

(17)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Bu verileri a¸sa¼ g¬daki Tabloda sunal¬m:

1 birim de¼ gerindeki tar¬msal(T) üretim(output) için T

Gerekli(input) Tar¬m ! ^T ^0.2 Gerekli(input) Sanayi S 0.3

(18)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Bu verileri a¸sa¼ g¬daki Tabloda sunal¬m:

1 birim de¼ gerindeki tar¬msal(T) üretim(output) için T

Gerekli(input) Tar¬m ! ^T ^0.2 Gerekli(input) Sanayi S 0.3

(19)

1 birim de¼ gerindeki sanayi(S) üretim için S

Gerekli Tar¬m ! ^T ^0.3 Gerekli Sanayi S 0.4

(20)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Bu iki tabloyu birle¸stirerek

1 birim de¼ gerindeki üretim için

T S

Gerekli Tar¬m T 0.2 0.3 Gerekli Sanayi S 0.3 0.4

(21)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Bu iki tabloyu birle¸stirerek

1 birim de¼ gerindeki üretim için

T S

Gerekli Tar¬m T 0.2 0.3 Gerekli Sanayi S 0.3 0.4

(22)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Tablodaki verileri içeren

A = ^{0.2 0.3} 0.3 0.4

matrisine tüketim-üretim matrisi ad¬verilmektedir.

(23)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Tablodaki verileri içeren

A = ^{0.2 0.3} 0.3 0.4

matrisine tüketim-üretim matrisi ad¬verilmektedir.

(24)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

¸

Simdi 46 birimlik tar¬m ve 12 birimlik sanayi d¬¸s ürün talebinin oldu¼ gunu kabul edelim.

Bu verileri içeren

D = ⁴⁶ 12 vektörüne d¬¸s talep vektörü ad¬verilmektedir.

(25)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

¸

Simdi 46 birimlik tar¬m ve 12 birimlik sanayi d¬¸s ürün talebinin oldu¼ gunu kabul edelim.

Bu verileri içeren

D = ⁴⁶ 12 vektörüne d¬¸s talep vektörü ad¬verilmektedir.

(26)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Problemimiz, iç tüketimi kar¸s¬lad¬ktan sonra d¬¸s talebi de kar¸s¬layacak olan tar¬m ve sanayi üretim miktarlar¬n¬belirlemektir.

Problemi matematiksel platforma ta¸s¬maya çal¬¸sal¬m: x ile üretilmesi gereken tar¬msal ürün miktar¬n¬ve y ile de sanayi ürün miktar¬n¬gösterelim.

Belirtilen miktardaki üretimlerin öncelikle tar¬m sektöründen ne kadar bir ürün talep etti¼ gini belirleyelim:

(27)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Problemimiz, iç tüketimi kar¸s¬lad¬ktan sonra d¬¸s talebi de kar¸s¬layacak olan tar¬m ve sanayi üretim miktarlar¬n¬belirlemektir.

Problemi matematiksel platforma ta¸s¬maya çal¬¸sal¬m:

x ile üretilmesi gereken tar¬msal ürün miktar¬n¬ve y ile de sanayi ürün miktar¬n¬gösterelim.

Belirtilen miktardaki üretimlerin öncelikle tar¬m sektöründen ne kadar bir ürün talep etti¼ gini belirleyelim:

(28)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Problemimiz, iç tüketimi kar¸s¬lad¬ktan sonra d¬¸s talebi de kar¸s¬layacak olan tar¬m ve sanayi üretim miktarlar¬n¬belirlemektir.

Problemi matematiksel platforma ta¸s¬maya çal¬¸sal¬m:

x ile üretilmesi gereken tar¬msal ürün miktar¬n¬ve

y ile de sanayi ürün miktar¬n¬gösterelim.

Belirtilen miktardaki üretimlerin öncelikle tar¬m sektöründen ne kadar bir ürün talep etti¼ gini belirleyelim:

(29)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Problemimiz, iç tüketimi kar¸s¬lad¬ktan sonra d¬¸s talebi de kar¸s¬layacak olan tar¬m ve sanayi üretim miktarlar¬n¬belirlemektir.

Problemi matematiksel platforma ta¸s¬maya çal¬¸sal¬m:

x ile üretilmesi gereken tar¬msal ürün miktar¬n¬ve y ile de sanayi ürün miktar¬n¬gösterelim.

Belirtilen miktardaki üretimlerin öncelikle tar¬m sektöründen ne kadar bir ürün talep etti¼ gini belirleyelim:

(30)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Problemimiz, iç tüketimi kar¸s¬lad¬ktan sonra d¬¸s talebi de kar¸s¬layacak olan tar¬m ve sanayi üretim miktarlar¬n¬belirlemektir.

Problemi matematiksel platforma ta¸s¬maya çal¬¸sal¬m:

x ile üretilmesi gereken tar¬msal ürün miktar¬n¬ve y ile de sanayi ürün miktar¬n¬gösterelim.

Belirtilen miktardaki üretimlerin öncelikle tar¬m sektöründen ne kadar bir ürün talep etti¼ gini belirleyelim:

(31)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

1 birim de¼ gerindeki tar¬msal üretim 0.2 birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duydu¼ guna göre,

x birimlik tar¬msal üretim 0.2x birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duyar. Benzer biçimde,

1 birim de¼ gerindeki sanayi üretimi 0.3 birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duydu¼ guna göre,

y birimlik sanayi üretimi 0.3y birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duyar.

(32)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

1 birim de¼ gerindeki tar¬msal üretim 0.2 birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duydu¼ guna göre,

x birimlik tar¬msal üretim 0.2x birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duyar.

Benzer biçimde,

1 birim de¼ gerindeki sanayi üretimi 0.3 birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duydu¼ guna göre,

y birimlik sanayi üretimi 0.3y birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duyar.

(33)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

1 birim de¼ gerindeki tar¬msal üretim 0.2 birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duydu¼ guna göre,

x birimlik tar¬msal üretim 0.2x birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duyar.

Benzer biçimde,

1 birim de¼ gerindeki sanayi üretimi 0.3 birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duydu¼ guna göre,

y birimlik sanayi üretimi 0.3y birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duyar.

(34)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

1 birim de¼ gerindeki tar¬msal üretim 0.2 birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duydu¼ guna göre,

x birimlik tar¬msal üretim 0.2x birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duyar.

Benzer biçimde,

1 birim de¼ gerindeki sanayi üretimi 0.3 birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duydu¼ guna göre,

y birimlik sanayi üretimi 0.3y birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duyar.

(35)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

1 birim de¼ gerindeki tar¬msal üretim 0.2 birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duydu¼ guna göre,

x birimlik tar¬msal üretim 0.2x birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duyar.

Benzer biçimde,

1 birim de¼ gerindeki sanayi üretimi 0.3 birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duydu¼ guna göre,

y birimlik sanayi üretimi 0.3y birimlik tar¬msal ürüne ihtiyaç duyar.

(36)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

O halde bu üretim için gerekli tar¬msal ürün miktar¬

0.2x + 0.3y (1)

kadard¬r.

Benzer biçimde söz konusu üretim için gerekli sanayi ürün miktar¬

0.3x + 0.4y (2)

kadard¬r.

(37)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

O halde bu üretim için gerekli tar¬msal ürün miktar¬

0.2x + 0.3y (1)

kadard¬r.

Benzer biçimde söz konusu üretim için gerekli sanayi ürün miktar¬

0.3x + 0.4y (2)

kadard¬r.

(38)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

X = ^x

y

üretim vektörü olmak üzere, toplam tar¬msal ve sanayi iç tüketimini vektörel formatta

0.2x + 0.3y

0.3x + 0.4y = ^{0.2 0.3} 0.3 0.4

x

y = AX

Üretilen miktardan iç tüketimi ç¬kard¬ktan sonra geriye kalan k¬s¬m d¬¸s talebe e¸sit olmal¬d¬r:

X AX = D

(39)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

X = ^x

y

üretim vektörü olmak üzere, toplam tar¬msal ve sanayi iç tüketimini vektörel formatta

0.2x + 0.3y

0.3x + 0.4y = ^{0.2 0.3} 0.3 0.4

x

y = AX

Üretilen miktardan iç tüketimi ç¬kard¬ktan sonra geriye kalan k¬s¬m d¬¸s talebe e¸sit olmal¬d¬r:

X AX = D

(40)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

X = ^x

y

üretim vektörü olmak üzere, toplam tar¬msal ve sanayi iç tüketimini vektörel formatta

0.2x + 0.3y

0.3x + 0.4y = ^{0.2 0.3} 0.3 0.4

x

y = AX

Üretilen miktardan iç tüketimi ç¬kard¬ktan sonra geriye kalan k¬s¬m d¬¸s talebe e¸sit olmal¬d¬r:

X AX = D

(41)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

X = ^x

y

üretim vektörü olmak üzere, toplam tar¬msal ve sanayi iç tüketimini vektörel formatta

0.2x + 0.3y

0.3x + 0.4y = ^{0.2 0.3} 0.3 0.4

x

y = AX

Üretilen miktardan iç tüketimi ç¬kard¬ktan sonra geriye kalan k¬s¬m d¬¸s talebe e¸sit olmal¬d¬r:

X AX = D

(42)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

veya

I = ^{1 0}

0 1 birim matrisi ile,

( I A ) X = D elde ederiz.

Örne¼ gimiz için

I A = ^{1 0}

0 1

0.2 0.3

0.3 0.4 = ^0.8 ^0.3

0.3 0.6

(43)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

veya

I = ^{1 0}

0 1 birim matrisi ile,

( I A ) X = D elde ederiz.

Örne¼ gimiz için

I A = ^{1 0}

0 1

0.2 0.3

0.3 0.4 = ^0.8 ^0.3

0.3 0.6

(44)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

veya

I = ^{1 0}

0 1 birim matrisi ile,

( I A ) X = D elde ederiz.

Örne¼ gimiz için

I A = ^{1 0}

0 1

0.2 0.3

0.3 0.4 = ^0.8 ^0.3

0.3 0.6

(45)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Çözülmesi gereken sistem

0.8 0.3

0.3 0.6

x

y = ⁴⁶

12 veya sistemin her iki yan¬n¬da 10 ile çarparak,

8 3

3 6

x

y = ⁴⁶⁰

120

(46)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Çözülmesi gereken sistem

0.8 0.3

0.3 0.6

x

y = ⁴⁶

12 veya sistemin her iki yan¬n¬da 10 ile çarparak,

8 3

3 6

x

y = ⁴⁶⁰

120

(47)

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Çözülmesi gereken sistem

0.8 0.3

0.3 0.6

x

y = ⁴⁶

12 veya sistemin her iki yan¬n¬da 10 ile çarparak,

8 3

3 6

x

y = ⁴⁶⁰

120

(48)

Leontief Input-Output Model(Gauss Eliminasyon)

AX = b ( A

_{n n}

, X

_{n 1}

, b

_{n 1}

) lineer denklem sistemi için Gauss eliminasyon yöntemini hat¬rlayal¬m:

Elemanter sat¬r operasyonlar¬ile bu sistem U bir üst üçgensel matris olmak üzere,

UX = c biçiminde bir lineer sistemine dönü¸stürülür.

(49)

Leontief Input-Output Model(Gauss Eliminasyon)

AX = b ( A

_{n n}

, X

_{n 1}

, b

_{n 1}

) lineer denklem sistemi için Gauss eliminasyon yöntemini hat¬rlayal¬m:

Elemanter sat¬r operasyonlar¬ile bu sistem

U bir üst üçgensel matris olmak üzere, UX = c biçiminde bir lineer sistemine dönü¸stürülür.

(50)

Leontief Input-Output Model(Gauss Eliminasyon)

AX = b ( A

_{n n}

, X

_{n 1}

, b

_{n 1}

) lineer denklem sistemi için Gauss eliminasyon yöntemini hat¬rlayal¬m:

Elemanter sat¬r operasyonlar¬ile bu sistem U bir üst üçgensel matris olmak üzere,

UX = c biçiminde bir lineer sistemine dönü¸stürülür.

(51)

Leontief Input-Output Model(Gauss Eliminasyon)

AX = b ( A

_{n n}

, X

_{n 1}

, b

_{n 1}

) lineer denklem sistemi için Gauss eliminasyon yöntemini hat¬rlayal¬m:

Elemanter sat¬r operasyonlar¬ile bu sistem U bir üst üçgensel matris olmak üzere,

UX = c biçiminde bir lineer sistemine dönü¸stürülür.

(52)

Leontief Input-Output Model(Gauss Eliminasyon)

Üç adet elemanter elemanter sat¬r i¸slemi ise a¸sa¼ g¬daki gibidir:

herhangi bir sat¬r s¬f¬rdan farkl¬bir sabitle çarp¬labilir. herhangi iki sat¬r yer de¼ gi¸stirebilir.

herhangi bir sat¬r s¬f¬rdan farkl¬bir sabitle çarp¬larak di¼ ger sat¬ra ilave edilebilir.

(53)

Leontief Input-Output Model(Gauss Eliminasyon)

Üç adet elemanter elemanter sat¬r i¸slemi ise a¸sa¼ g¬daki gibidir:

herhangi bir sat¬r s¬f¬rdan farkl¬bir sabitle çarp¬labilir.

herhangi iki sat¬r yer de¼ gi¸stirebilir.

herhangi bir sat¬r s¬f¬rdan farkl¬bir sabitle çarp¬larak di¼ ger sat¬ra ilave edilebilir.

(54)

Leontief Input-Output Model(Gauss Eliminasyon)

Üç adet elemanter elemanter sat¬r i¸slemi ise a¸sa¼ g¬daki gibidir:

herhangi bir sat¬r s¬f¬rdan farkl¬bir sabitle çarp¬labilir.

herhangi iki sat¬r yer de¼ gi¸stirebilir.

herhangi bir sat¬r s¬f¬rdan farkl¬bir sabitle çarp¬larak di¼ ger sat¬ra ilave edilebilir.

(55)

Leontief Input-Output Model(Gauss Eliminasyon)

Üç adet elemanter elemanter sat¬r i¸slemi ise a¸sa¼ g¬daki gibidir:

herhangi bir sat¬r s¬f¬rdan farkl¬bir sabitle çarp¬labilir.

herhangi iki sat¬r yer de¼ gi¸stirebilir.

herhangi bir sat¬r s¬f¬rdan farkl¬bir sabitle çarp¬larak di¼ ger sat¬ra ilave edilebilir.

(56)

Leontief Input-Output Model(Gauss Eliminasyon)

Buna göre ekli matris

8 3

3 6

j j

460 120 3/8 S

₁

+ S

₂

8 3

0 39/8 j j

460 585/2 O halde üst üçgensel sistem

8x 3y = 460

39/8y = 585/2 olarak elde edilir

Bu sistemi çözerek

x = 80, y = 60

(57)

Leontief Input-Output Model(Gauss Eliminasyon)

Buna göre ekli matris

8 3

3 6

j j

460 120 3/8 S

₁

+ S

₂

8 3

0 39/8 j j

460 585/2

O halde üst üçgensel sistem

8x 3y = 460

39/8y = 585/2 olarak elde edilir

Bu sistemi çözerek

x = 80, y = 60

(58)

Leontief Input-Output Model(Gauss Eliminasyon)

Buna göre ekli matris

8 3

3 6

j j

460 120 3/8 S

₁

+ S

₂

8 3

0 39/8 j j

460 585/2 O halde üst üçgensel sistem

8x 3y = 460

39/8y = 585/2 olarak elde edilir

Bu sistemi çözerek

x = 80, y = 60

(59)

Leontief Input-Output Model(Gauss Eliminasyon)

Buna göre ekli matris

8 3

3 6

j j

460 120 3/8 S

₁

+ S

₂

8 3

0 39/8 j j

460 585/2 O halde üst üçgensel sistem

8x 3y = 460

39/8y = 585/2 olarak elde edilir

Bu sistemi çözerek

x = 80, y = 60

(60)

Leontief Input-Output Model(Gauss Eliminasyon)

Bu de¼ gerler belirtilen d¬¸s talebi kar¸s¬layabilmek için s¬ras¬yla üretilmesi gereken tar¬m ve sanayi ürün miktarlar¬d¬r.

iç tüketim=toplam üretim-d¬¸s talep ba¼ g¬nt¬s¬ndan

AX = X D = ⁸⁰

60

46 12 = ³⁴

48 birim de¼ gerinde oldu¼ gunu elde ederiz.

Bu örnekte pozitif bile¸selere sahip bir D d¬¸s talep vektörü için yine pozitif bile¸senlere sahip tek bir X üretim vektörü belirlemi¸s

bulunmaktay¬z.

Bu özellik her zaman do¼ gru olmayabilir.

(61)

Leontief Input-Output Model(Gauss Eliminasyon)

Bu de¼ gerler belirtilen d¬¸s talebi kar¸s¬layabilmek için s¬ras¬yla üretilmesi gereken tar¬m ve sanayi ürün miktarlar¬d¬r.

iç tüketim=toplam üretim-d¬¸s talep ba¼ g¬nt¬s¬ndan

AX = X D = ⁸⁰

60

46 12 = ³⁴

48 birim de¼ gerinde oldu¼ gunu elde ederiz.

Bu örnekte pozitif bile¸selere sahip bir D d¬¸s talep vektörü için yine pozitif bile¸senlere sahip tek bir X üretim vektörü belirlemi¸s

bulunmaktay¬z.

Bu özellik her zaman do¼ gru olmayabilir.

(62)

Leontief Input-Output Model(Gauss Eliminasyon)

Bu de¼ gerler belirtilen d¬¸s talebi kar¸s¬layabilmek için s¬ras¬yla üretilmesi gereken tar¬m ve sanayi ürün miktarlar¬d¬r.

iç tüketim=toplam üretim-d¬¸s talep ba¼ g¬nt¬s¬ndan

AX = X D = ⁸⁰

60

46 12 = ³⁴

48 birim de¼ gerinde oldu¼ gunu elde ederiz.

Bu örnekte pozitif bile¸selere sahip bir D d¬¸s talep vektörü için yine pozitif bile¸senlere sahip tek bir X üretim vektörü belirlemi¸s

bulunmaktay¬z.

Bu özellik her zaman do¼ gru olmayabilir.

(63)

Leontief Input-Output Model(Gauss Eliminasyon)

Bu de¼ gerler belirtilen d¬¸s talebi kar¸s¬layabilmek için s¬ras¬yla üretilmesi gereken tar¬m ve sanayi ürün miktarlar¬d¬r.

iç tüketim=toplam üretim-d¬¸s talep ba¼ g¬nt¬s¬ndan

AX = X D = ⁸⁰

60

46 12 = ³⁴

48 birim de¼ gerinde oldu¼ gunu elde ederiz.

Bu örnekte pozitif bile¸selere sahip bir D d¬¸s talep vektörü için yine pozitif bile¸senlere sahip tek bir X üretim vektörü belirlemi¸s

bulunmaktay¬z.

Bu özellik her zaman do¼ gru olmayabilir.

(64)

Leontief Input-Output Model(Gauss Eliminasyon)

Bu de¼ gerler belirtilen d¬¸s talebi kar¸s¬layabilmek için s¬ras¬yla üretilmesi gereken tar¬m ve sanayi ürün miktarlar¬d¬r.

iç tüketim=toplam üretim-d¬¸s talep ba¼ g¬nt¬s¬ndan

AX = X D = ⁸⁰

60

46 12 = ³⁴

48 birim de¼ gerinde oldu¼ gunu elde ederiz.

Bu örnekte pozitif bile¸selere sahip bir D d¬¸s talep vektörü için yine pozitif bile¸senlere sahip tek bir X üretim vektörü belirlemi¸s

bulunmaktay¬z.

Bu özellik her zaman do¼ gru olmayabilir.

(65)

Çözümün varl¬k, teklik ve nonnegati‡i¼ gi

Teorem 1

Bile¸ senleri nonnegatif ( a, b, c, d 0 ) olan

A = ^a ^b

c d

matrisi için e¼ger a + c < 1 ve b + d < 1 ise bu taktirde herhangi D = ^d

¹

d

2

0 için

( I A ) X = D

sistemini çözümü mevcut ve tektir;ayr¬ca çözüm nonnegatif bile¸ senlere sahiptir, yani X 0 d¬r. Burada X 0 ile X vektörünün bütün bile¸ senlerinin nonnegatif oldu¼gunu ifade ediyoruz.

(66)

Çözümün varl¬k, teklik ve nonnegati‡i¼ gi(· Ispat)

I A = ¹ ^a ^b

c 1 d

için

det ( I A ) = ( 1 a )( 1 d ) bc dir.

(67)

Öte yandan

a + c < 1 b + d < 1 için

1 a > c

1 d > b ) ( ¹ ^a )( 1 d ) > bc =) ^det ( I A ) > 0 elde ederiz.

(68)

Buradan

X = ( I A )

¹

D = ¹ det ( I A )

1 d b

c 1 a

d

₁

d

2

0 elde ederiz.

Bu sonuç genelle¸stirilebilir(Proje!)

(69)

Buradan

X = ( I A )

¹

D = ¹ det ( I A )

1 d b

c 1 a

d

₁

d

2

0 elde ederiz.

Bu sonuç genelle¸stirilebilir(Proje!)

(70)

Teorem 2.1 in varsay¬mlar yeterli fakat gerekli de¼ gildir!

Teorem 2.1 in varsay¬mlar¬yeterli ancak gerekli de¼ gildir. Bu durum a¸sa¼ g¬daki örnekte incelenmektedir.

A = ^{0.3 0.8}

0.2 0.4 input-output matrisi ile D = ¹⁰

20 d¬¸s talebini kar¸s¬layan üretimi belirleyiniz.

A matrisi teorem 1 in ¸sartlar¬n¬sa¼ glamamaktad¬r. Çünkü ikinci sütun toplam¬birden büyüktür. Buna ra¼ gmen

B = I A = ^0.7 ^0.8

0.2 0.6 olmak üzere, BX = D sisteminin çözümü olarak

X = ^84.6154 61.5385 pozitif üretim vektörünü elde ederiz!

(71)

Kaynak

Tan, S., Applied Finite Mathematics, 1999, ABD.

Co¸skun, E., Endüstriyel ve Uygulamal¬Matemati¼ ge Giri¸s,URL:erhancoskun.com.tr

(72)

Kaynak

Tan, S., Applied Finite Mathematics, 1999, ABD.

Co¸skun, E., Endüstriyel ve Uygulamal¬Matemati¼ ge Giri¸s,URL:erhancoskun.com.tr

Leontief input-output Modeli

Leontief input-output Modeli

Erhan Co¸skun

¸

Subat, 2020

Leontief Input-Output Modeli

Wassily Leontief

(1906-1999) Rus as¬ll¬Amerikal¬ekonomist Nobel Ekonomi Ödül (1973)

https://tr.wikipedia.org/wiki/Wassily_Leontief

Leontief Input-Output Modeli

Wassily Leontief

(1906-1999) Rus as¬ll¬Amerikal¬ekonomist

Nobel Ekonomi Ödül (1973)

https://tr.wikipedia.org/wiki/Wassily_Leontief

Leontief Input-Output Modeli

Wassily Leontief

(1906-1999) Rus as¬ll¬Amerikal¬ekonomist Nobel Ekonomi Ödül (1973)

https://tr.wikipedia.org/wiki/Wassily_Leontief

Leontief Input-Output Modeli

Wassily Leontief

(1906-1999) Rus as¬ll¬Amerikal¬ekonomist Nobel Ekonomi Ödül (1973)

https://tr.wikipedia.org/wiki/Wassily_Leontief

Leontief Input-Output Modeli

Ülke ekonomisinin farkl¬sektörlerini dikkate al¬yor

Her bir sektörde birim de¼ ger üretimin di¼ ger sektörlerden kulland¬¼ g¬ miktarlar¬esas alarak

· Iç tüketimi hesapl¬yor ve

· Iç tüketim ç¬kt¬ktan sonra d¬¸s talebi kar¸s¬layacak biçimde her bir sektörün üretmesi gereken miktar¬belirlemeyi amaçl¬yor,

Leontief Input-Output Modeli

Ülke ekonomisinin farkl¬sektörlerini dikkate al¬yor

Her bir sektörde birim de¼ ger üretimin di¼ ger sektörlerden kulland¬¼ g¬

miktarlar¬esas alarak

· Iç tüketimi hesapl¬yor ve

· Iç tüketim ç¬kt¬ktan sonra d¬¸s talebi kar¸s¬layacak biçimde her bir sektörün üretmesi gereken miktar¬belirlemeyi amaçl¬yor,

Leontief Input-Output Modeli

Ülke ekonomisinin farkl¬sektörlerini dikkate al¬yor

Her bir sektörde birim de¼ ger üretimin di¼ ger sektörlerden kulland¬¼ g¬

miktarlar¬esas alarak

· Iç tüketimi hesapl¬yor ve

· Iç tüketim ç¬kt¬ktan sonra d¬¸s talebi kar¸s¬layacak biçimde her bir sektörün üretmesi gereken miktar¬belirlemeyi amaçl¬yor,

Leontief Input-Output Modeli

Ülke ekonomisinin farkl¬sektörlerini dikkate al¬yor

Her bir sektörde birim de¼ ger üretimin di¼ ger sektörlerden kulland¬¼ g¬

miktarlar¬esas alarak

· Iç tüketimi hesapl¬yor ve

· Iç tüketim ç¬kt¬ktan sonra d¬¸s talebi kar¸s¬layacak biçimde her bir sektörün üretmesi gereken miktar¬belirlemeyi amaçl¬yor,

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Sadece tar¬m ve sanayiden olu¸san iki sektörlü basit bir ekonomi gözönüne alal¬m.

Tar¬m sektöründeki 1 birim de¼ gerindeki üretimin tar¬m sektörünün kendisinden 0.2 birim

sanayi sektöründen ise 0.3 birimlik ürüne ihtiyaç duydu¼ gunu kabul edelim .

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Sadece tar¬m ve sanayiden olu¸san iki sektörlü basit bir ekonomi gözönüne alal¬m.

Tar¬m sektöründeki 1 birim de¼ gerindeki üretimin

tar¬m sektörünün kendisinden 0.2 birim

sanayi sektöründen ise 0.3 birimlik ürüne ihtiyaç duydu¼ gunu kabul edelim .

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Sadece tar¬m ve sanayiden olu¸san iki sektörlü basit bir ekonomi gözönüne alal¬m.

Tar¬m sektöründeki 1 birim de¼ gerindeki üretimin tar¬m sektörünün kendisinden 0.2 birim

sanayi sektöründen ise 0.3 birimlik ürüne ihtiyaç duydu¼ gunu kabul edelim .

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Sadece tar¬m ve sanayiden olu¸san iki sektörlü basit bir ekonomi gözönüne alal¬m.

Tar¬m sektöründeki 1 birim de¼ gerindeki üretimin tar¬m sektörünün kendisinden 0.2 birim

sanayi sektöründen ise 0.3 birimlik ürüne ihtiyaç duydu¼ gunu kabul edelim .

sanayi sektöründeki 1 birim de¼ gerindeki üretimin ise

tar¬m sektöründen 0.3 ve

sanayi sektöründen ise 0.4 birimlik ürüne ihtiyaç duydu¼ gunu kabul edelim.

sanayi sektöründeki 1 birim de¼ gerindeki üretimin ise tar¬m sektöründen 0.3 ve

sanayi sektöründen ise 0.4 birimlik ürüne ihtiyaç duydu¼ gunu kabul edelim.

sanayi sektöründeki 1 birim de¼ gerindeki üretimin ise tar¬m sektöründen 0.3 ve

sanayi sektöründen ise 0.4 birimlik ürüne ihtiyaç duydu¼ gunu kabul edelim.

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Bu verileri a¸sa¼ g¬daki Tabloda sunal¬m:

1 birim de¼ gerindeki tar¬msal(T) üretim(output) için T

Gerekli(input) Tar¬m ! T 0.2 Gerekli(input) Sanayi S 0.3

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Bu verileri a¸sa¼ g¬daki Tabloda sunal¬m:

1 birim de¼ gerindeki tar¬msal(T) üretim(output) için T

Gerekli(input) Tar¬m ! T 0.2 Gerekli(input) Sanayi S 0.3

1 birim de¼ gerindeki sanayi(S) üretim için S

Gerekli Tar¬m ! T 0.3 Gerekli Sanayi S 0.4

Leontief Input-Output Model örne¼ gi

Gerekli(input) Tar¬m ! ^T ^0.2 Gerekli(input) Sanayi S 0.3

Gerekli(input) Tar¬m ! ^T ^0.2 Gerekli(input) Sanayi S 0.3

Gerekli Tar¬m ! ^T ^0.3 Gerekli Sanayi S 0.4

A = ^{0.2 0.3} 0.3 0.4

A = ^{0.2 0.3} 0.3 0.4

D = ⁴⁶ 12 vektörüne d¬¸s talep vektörü ad¬verilmektedir.

D = ⁴⁶ 12 vektörüne d¬¸s talep vektörü ad¬verilmektedir.