Ölçme ve Hata Hesaplama

Ölçme ve Hata Hesaplama

Hazırlayan

Öğr.Gör. Dr. Mehmet Tarakçı

(Öğr. Gör. Dr. Selin Erzin, Araş.Gör. Dr. Ümit Doğan, Öğr.Gör. Dr. Özlem Bilgili, Arş.Gör. Dr. Ebru Kış Çam, Arş.Gör. Dr. Ebru Kış Çam, Öğr.Gör. Dr. Duygu Barut Celepci ve

Dr. Muhammed Deniz’in katkıları ile)

1. Hafta

Ölçme sürecini anlamak,

Ölçmede yapılan hataları anlamak ve sonuçları ifade edebilmek, Hataların kaynaklarını anlamak.

Amaçlar

Fiziksel bir büyüklüğü ölçmek, birim olarak seçilen aynı türden bir büyüklükle karşılaştırmaktır.

Ölçme, bir fiziksel niceliğin önceden belirlenmiş bir standarda göre niceliğinin (sayısal değerinin) belirlenmesi işine denir. Önceden belirlenmiş standarda ise birim adı verilir.

Dolaylı ölçme : Bir büyüklüğü, doğrudan ölçülebilen başka büyüklükler yardımıyla hesaplanarak yapılan ölçümlerdir.

Bir cismin hızının ölçülmesi (Yer ve konum ölçülerek, konum değişiminin zaman değişimine oranlanması), bir cismin yoğunluğunun ölçülmesi (cismin kütlesi ve

hacminin ölçülerek, kütlenin hacime oranlanması).

Direkt ölçme : Ölçü aletleriyle doğrudan yapılan ölçümlerdir.

Ölçme işlemini iki grupta inceleyebiliriz.

Bir kalemin uzunluğunun cetvel ile ölçülmesi, sıcaklığın termometre ile yapılması, zamanın saat ile ölçülmesi.

Ölçme Nedir?

Ölçme yaparken üzerinde durulması gereken iki önemli kavram doğruluk (accuracy) ve duyarlılıktır (precision).

Doğruluk, ölçülen fiziksel bir niceliğin, gerçek değere ne kadar yakın olduğunu gösterir.

Duyarlılık (hassasiyet), aynı büyüklüğün ölçülmesinden elde edilen iki değerin birbirine ne kadar yakın olduğunu gösterir.

Ölçmede Temel Kavramlar

Belirsizlik (Hatalar)

Albert Einstein genel görelilik kuramında, uzak bir yıldızdan gelen ışığın güneş yakınından geçerken, güneşin yerçekimi alanı tarafından 1.75 arc saniye gibi küçük bir açı ile sapacağını öngörmektedir.

Newton fiziğine dayalı bir hesaplamada, bu sapmanın 0.875 arc saniye olacağını öngörmektedir.

Belirsizlik nedir? ve Neden önemlidir?

Arthur Eddington (29 Mayıs 1919):

üç farklı teleskopla yapılan ölçümlerdeki sapma miktarlarını 0.86, 1.61ve 1.98arc saniye olarak ölçtü.

Eddington, belirsizliğe ilişkin analizine dayanarak Newton yaklaşımının, yaptığı ölçümlerle tutarsız olduğu sonucuna vardı. Genel görelilik teorisi ilk kez deneysel

testi geçti ve Albert Einstein şu anki şöhretine kavuştu.

“Hiçbir ölçüm hatasız değildir.” Burada hatadan kasıt, “yanlış” ya da “kusur” değil, “belirsizlik”

tir. Kullanılan ölçüm aletinin duyarlılığı ve ölçümde izlenilen deneysel metoda bağlı olarak yapılacak ölçümün sonucu, belirli bir aralık içerisinde olacaktır.

𝜃 = 1.61 ± 0.30 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑎𝑛𝑖𝑦𝑒 (1.31 ≤ 𝜃 ≤ 1.91

Hata Kaynakları

Sistematik Hatalar:

Kullanılan ölçüm aletlerinden, deneyde izlenilen metottan ve dış etkilerden kaynaklanır. Bu hatalar sonucu tek yönü etkiler. Sistematik hataları, deney yöntemini değiştirerek, daha hassas ölçü aletleri kullanarak azaltabiliriz.

Doğruluk, ölçülen değerin gerçek değerden farklılığını ortaya koyan sistematik hata ölçüsüdür.

cm ile bölmelenmiş bir uzunluk ölçme aletinin duyarlılık sınırı Δ = 0.5 cm dir.

mm ile bölmelenmiş bir uzunluk ölçme aletinin duyarlılık sınırı Δ = 0.05 cm dir.

Ölçü aleti ile yapılan direkt ölçmelerdeki sistematik hatanın maksimum değeri, ölçme aygıtının (ölçek biriminin) en yakın iki çizgisinin yarısı olarak alınabilir.

𝑳 = 𝟏𝟐.𝟕 ± 𝟎. 𝟓 𝒄𝒎

𝑳 = 𝟏𝟐. 𝟓𝟒 ± 𝟎. 𝟎𝟓 𝒄𝒎

Hata Kaynakları

İstatistiksel (Rastgele) Hatalar:

Örnek olarak, sıcaklık, elektriksel voltaj, gaz basıncı gibi ölçülen fiziksel niceliklerdeki dalgalanmalar istatistik hatalara sebep olur.

Hata Kaynakları

Ölçülen fiziksel büyüklüğün doğal davranışından kaynaklanan hatalardır. Bu hatalar sonucu çift yönlü etkiler. Ölçüm sayısını arttırarak istatistiksel hataları azaltabiliriz.

Hataların Gösterimi

Burada ppm part per million kısaltmasıdır.

𝑡 = (34.5 ± 0.7) × 10

𝑠 𝑡 = 34.5 × 10

𝑠 ± 2%

∆𝑥 = 10.3

cm

𝑚

= 0.51099906 ± 0.000000 15 MeV/c

𝑚

= 0.51099906 15 𝑀𝑒𝑉/𝑐

𝑚

= 9.1093897 10

𝑘𝑔 ± 0.3 𝑝𝑝𝑚

Anlamlı Rakamlar (Significant Figures)

Bir ölçüm sonucunu belirtmek üzere yazılan, doğru olduğu kesin olarak bilinen ve sonuncusu tahmine dayanan rakamlar anlamlı rakamlardır.

Örnek:

a- aşağıda verilen cm ölçekli bir cetvelle ölçülen kalemin boyu nedir?

b- Kaç anlamlı rakamla ifade edilmelidir?

3anlamlı rakam vardır. Kırmızı olan tahmin edilen sayıdır.

𝑳 = 𝟏𝟐.𝟓 ± 𝟎. 𝟓 𝒄𝒎

Milimetre bölmeli bir cetvelle bir kalemin uzunluğu 12.57cm olarak ölçülmüş olsun.

Sonucun 7 rakamı milimetrenin tahmin edilen bir kesridir ve ölçüyü yaparken 8 veya 6 da okunmuş olabilir. Ama bu rakam ölçülen uzunluk hakkında bilgi vermektedir. Bu ölçümün

anlamlı rakamlarının sayısı 4 tür

Virgülün yerinin anlamlı rakamlar için hiçbir önemi yoktur.

0.0565m 56.5 mm olarak ifade edilen anlamlı rakamların sayısı üç tür.

Örnek:

a- aşağıda verilen cm ölçekli bir cetvelle ölçülen kalemin boyu nedir?

b- Kaç anlamlı rakamla ifade edilmelidir?

4 anlamlı rakam vardır. Kırmızı olan 7 rakamı tahmin edilen sayıdır.

Anlamlı Rakamlar (Significant Figures)

𝑳 = 𝟏𝟐. 𝟓𝟕 ± 𝟎. 𝟎𝟓 𝒄𝒎

Anlamlı Rakamlar (Significant Figures)

Yani bir sayının sonunda sıfırlar yalnızca ondalık noktanın arkasında olursa önemlidir. Aksi takdirde, anlamlı olduklarını söylemek zordur. Örneğin 8200 ölçüm sonucunda, sıfırların anlamlı olup olmadığı açık değildir. 8200 de anlamlı basamakların sayısı en az iki, üç veya dört olabilir. Belirsizliği önlemek için, ondalık işaretin yeri belirtilmelidir veya bilimsel gösterim kullanılmalıdır.

Bir ölçme sonucu verilen sayı içindeki “0” haricindeki bütün rakamlar anlamlıdır.

𝟖. 𝟐𝟎𝟎 × 𝟏𝟎^𝟑 dört anlamlı sayı 𝟖. 𝟐𝟎 × 𝟏𝟎^𝟑 üç anlamlı sayı

𝟖. 𝟐 × 𝟏𝟎^𝟑 iki anlamlı sayı

Anlamlı Rakamlar ve Aritmetik İşlemler

Ölçülen nicelikleri toplarken veya çıkarırken cevabın duyarlılığı, toplam veya farktaki en az duyarlılığa sahip olan terimin duyarlılığı kadar olur. Bu duyarlılık

sınırına kadar olan bütün rakamlar anlamlıdır.

Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Örnek 1.1 : 1/10 cm yakınlıkla verilen 11.67 cm, 1/100 cm yakınlıkla verilen 0.25 mm ve cm yakınlıkla verilen 7.4 cm’yi toplayalım.

Çözüm

Toplama işlemindeki belirsizlik aralığı 1.11 olur. Bu örnekte üçüncü anlamlı

rakam bile sorgulanabilir.

11.67 ± 0.05 0.025 ± 0.005

7.4 ± 0.5

11.72 0.030 7.9

11.62 0.020 6.9 Ölçülen değerler En büyük En küçük

+ +

18.540 19.650

19.650 > L > 18.540

Verilen sayılar içinde şüpheli rakamı en büyük basamak olan sayı 7.4 cm dir. Bu nedenle işlem sonucu mm yakınlıkla verilmelidir. Yuvarlama işlemi yapılır.

Sonuç:

19.1 cm

Çarpma ve Bölme İşlemleri

Çarpma işlemi sonucunda en az duyarlıklı ölçülmüş çarpanın anlamlı rakamları sayısı kadarı (bazı hallerde bir fazlası) korunur.

Anlamlı Rakamlar ve Aritmetik İşlemler

Çözüm

Hacim = (𝟐𝟓. 𝟑𝟐 𝒄𝒎) 𝒙 (𝟑𝟎. 𝟓 𝒄𝒎) 𝒙 (𝟏𝟎. 𝟏𝟐𝟑 𝒄𝒎) = 𝟕𝟖𝟏𝟕. 𝟓𝟖𝟖 𝒄𝒎^𝟑 Çarpanlar içerisinde en küçük anlamlı rakama sahip olan çarpan 𝟑𝟎. 𝟓 𝒄𝒎 olandır.

Buradaki anlamlı rakam sayısı 3 tür. Bu nedenle hacim 3 (veya 4) anlamlı rakamla belirtilmelidir.

Hacim = 𝟕. 𝟖𝟐 × 𝟏𝟎^𝟑 𝒄𝒎^𝟑 = 𝟕. 𝟖𝟐 𝒅𝒎^𝟑

İşlem sonundaki kesin olan iki rakam vardır. (7... rakamları) bundan sonra gelen rakamlar belirsizdir. Ama 𝟕. 𝟖𝟐 × 𝟏𝟎^𝟑𝒄𝒎^𝟑 almakla, ortalama bir değer almış oluruz.

Sonuç

7965.368 > V > 7670.456 aralığındadır.

Anlamlı Rakamlar ve Aritmetik İşlemler

Problem 1.1

Basit sarkacın periyodu 𝑇 = 2𝜋 𝑙/𝑔 ifadesi ile verilir.

Sarkacın uzunluğu 𝑙 = 0.24 𝑚 ve yerçekimi ivmesi ise 𝑔 = 9.81 𝑚/𝑠² olarak ölçülmüştür.

Buna göre T değeri nedir ve kaç anlamlı rakamla ifade edilebilir?

Problem 1.2

Çözüm: 𝑑 = 4.80841472577010 𝑘𝑔/𝑐𝑚³ → 𝑑 = 𝟒. 𝟖 𝑘𝑔/𝑐𝑚³

Küp şeklinde bir alaşımın kütlesi m = 51.2 𝑘𝑔 ve bir ayrıtının uzunluğu 𝑙 = 2.2 𝑐𝑚 olarak ölçülmüştür. Buna göre cismin yoğunluğu nedir ve kaç anlamlı rakamla ifade edilebilir?

Çözüm: 𝑇 = 0.9827679515479650 𝑠 → 𝑇 = 𝟎. 𝟗𝟖 𝑠

Ödev :

1. 𝑘 = 0.0189 𝑦⁻¹ ve 𝑡 = 25 𝑦 → 𝑒^𝑘𝑡 = ⋯ ?

2. 𝑎 = 483 𝑏𝑟 , 𝑏 = 73.67 𝑏𝑟 ve 𝑐 = 15.67 𝑏𝑟 → ^𝑎𝑏

𝑐 = ⋯ ? 3. 𝑥 = 48.1 𝑚, 𝑦 = 77 𝑚 ve 𝑧 = 65.789 𝑚 → 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = ⋯ ? 4. 𝑚 = 25.6 g , 𝑛 = 21.1 g ve 𝑝 = 2.43 g → 𝑚 − 𝑛 − 𝑝 = ⋯ ?

Aşağıda verilen değerleri, verilen bağıntılarda yerine koyarak işlemleri yapınız. Her bir sonuç kaç anlamlı rakamla ifade edilmelidir.

Hata Kavramları

Mutlak hatanın tam olarak belirlenmesi çoğu kez mümkün değildir. Çünkü, ölçülen niceliğin gerçek değeri kesin olarak bilinmemektedir. Ölçü aleti kullanılarak yapılan direkt bir ölçmede yapılan mutlak hatanın en büyük değeri, ölçü aletinin duyarlılığı ile belirlenir.

Bağıl Hata : Mutlak hatasının gerçek değere oranıdır.

Örnek 1.3

Şekilde verilen ölçme işlemindeki mutlak hatayı, bağıl hatayı ve ölçme sonucunu ifade ediniz?

𝒙 = 𝒙 – 𝒙′

Bağıl hata = 𝒙 𝒙

Yapılan ölçümlerin aritmetik ortalamasıdır. Gerçek değeri a olan bir niceliğin n defa yapılan ölçümünde elde edilen sonuçları 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … 𝑥_𝑛 ise ortalama değer

Her bir ölçme sonucu ile ortalama değer arasındaki mutlak farkın aritmetik ortalaması ortalama sapma

Ortalama değer ve ortalama sapma bulunduktan sonra sonuç aşağıdaki gibi yazılabilir.

Ortalama Değer ve Ortalama Sapma

Ölçüm Sonuçları (İstatistik Analizler)

ҧ𝑥 = 𝑥₁ + 𝑥₂ + 𝑥₃, + ⋯ + 𝑥_𝑛 𝑛

∆𝑥 = 𝑥₁ − ҧ𝑥 + 𝑥₂ − ҧ𝑥 + 𝑥₃ − ҧ𝑥 + ⋯ + 𝑥_𝑛 − ҧ𝑥 𝑛

𝑥 = ҧ𝑥 ± ∆𝑥

Tekrarlanan ölçümler, gerçek değer hakkında daha iyi bir fikir edinmenizi sağlamakla kalmaz aynı zamanda ölçüm belirsizliğini karakterize etmenizi sağlar.

(Çoğu zaman laboratuvar ortamında 𝑁 küçüktür, genellikle 5 ila 10'dur.)

Ortalama (mean) değer ( ҧ𝑥)

Ölçülen değerlerin ortalamasıdır

(“en olası değer”). ҧ𝑥 = 1

𝑁෍

𝑖=1 𝑁

𝑥_𝑖

Aralık (range)(R) Ölçülen değerlerin dağılım aralığını gösterir. En yüksek

değer ile en düşük değerin farkıdır. 𝑅 = 𝑥_{𝑚𝑎𝑘.} − 𝑥_{𝑚𝑖𝑛.}

Belirsizlik ∆𝑥 (uncertainty)

Öçüm işlemindeki belirsizlik; ölçüm sonuçlarının en yüksek değeri ile en düşük değeri arasındaki farkın

yarısıdır.

∆𝑥 = 𝑅

2 = 𝑥_{𝑚𝑎𝑘.} − 𝑥_{𝑚𝑖𝑛.}

2 Ortalama

Belirsizlik

𝑥 gerçek değeri, ҧ𝑥 çevresindeki bir aralık içinde olacaktır.

Ölçüm sayısı 𝑁 arttıkça da bu aralık yavaş Τ1 𝑁 bir şekilde azalır. (Ortalama belirsizlik)

∆ ҧ𝑥 = ∆𝑥

𝑁 = 𝑅 2 𝑁 Ölçüm sonucu 𝑥 ölçüm sonucu, hem ortalama değeri hem de

ortalamadaki belirsizliği içerecek şekilde gösterilmelidir. 𝑥 = ҧ𝑥 ± ∆ ҧ𝑥

𝑵 küçük için;

Ölçüm Sonuçları (İstatistik Analizler)

Ölçüm Sonuçları (İstatistik Analizler)

Eğer rastgele hatalar ölçümü etkiliyorsa, ölçüm sayısı arttırılarak (𝑁 → ∞), ölçümlerin dağılımının normal dağıldığı matematiksel olarak gösterilebilir. Bu dağılım, 𝑥_𝑜𝑟𝑡 ortalama değerinde bir pik ve standart sapma 𝜎 ile

verilen genişliğe sahiptir.

Ortalama (mean) değer ( ҧ𝑥)

Ölçülen değerlerin dağılım aralığını gösterir. En

yüksek değer ile en düşük değerin farkıdır. ҧ𝑥 = 1

𝑁෍

𝑖=1 𝑁

𝑥_𝑖

Belirsizlik ∆𝑥 (uncertainty)

Öçüm işlemindeki belirsizlik;

dağılımın standart sapmasıdır. 𝜎 = 1

𝑁 − 1෍

𝑖=1 𝑁

𝑥_𝑖 − ҧ𝑥 ²

Ortalama Belirsizlik

𝑥 gerçek değeri, ҧ𝑥 çevresindeki bir aralık içinde olacaktır. Ölçüm sayısı 𝑁 arttıkça da bu aralık

yavaş Τ1 𝑁 bir şekilde azalır.

(Ortalamadaki belirsizlik)

∆ ҧ𝑥 = 𝜎 𝑁

Ölçüm sonucu

𝑥 ölçüm sonucu, hem ortalama değeri hem de ortalamadaki belirsizliği içerecek şekilde

gösterilmelidir.

𝑥 = ҧ𝑥 ± ∆ ҧ𝑥

𝑵 ≫ için ≈ 10 − 10² ;

Çözüm

Örnek 1.4

Basit bir sarkacın periyodu 1/10 s duyarlıklı bir kronometre ile 6 defa ölçülüyor ve aşağıdaki sonuçlar bulunuyor. Bu ölçme sonuçlarının ortalama değerini ve ortalamadaki hatayı (belirsizliği) bulunuz.

t₁ = 3.6 s t₂ = 3.8 s t₃ = 3.6 s t₄ = 3.7 s t₅ = 3.1 s t₆ = 3.3 s

𝑡 = ҧ𝑡 ± ∆𝑡 → Ortalama Sapma :

Ortalama Değer : ҧ𝑡 = 3.6 + 3.8 + 3.6 + 3.7 + 3.1 + 3.3

6 = 3.516667 s

∆𝑡 = 3.6 − 3.5 + 3.8 − 3.5 + 3.6 − 3.5 + 3.7 − 3.5 + 3.1 − 3.5 + 3.3 − 3.5 6

𝑡 = 3.5± 0.2 s

= 0.216667s

R = 3.8 − 3.1 = 0.7 𝑠

∆𝑡 = 𝑅/2 = 0.35 𝑠

∆ ҧ𝑡 = ∆𝑡

𝑁 = 0.35

6 = 0.142887 𝑠

Hata için basit olması açısından ortalama sapma kullanılabilir. Fakat ölçüm sayısının artmasıyla ortalamanın gerçek değere yaklaşmasını iyi bir şekilde ifade edememektedir. Bu nedenle aşağıdaki yöntemi kullanarak yapılan hesaplamanın ölçüm sonucunu iyi bir şekilde ifade ettiğini söyleyebiliriz. Veya N > 10 için belirsizlik için standart sapmayı almak uygun olacaktır.

𝑡 = 3.5 ± 0.1 s

∆ ҧ𝑡 = 𝜎

𝑁 = 0.26457

6 = 0.108012𝑠

𝜎 = 1

5෍

𝑖=1 6

𝑡_𝑖 − ҧ𝑡 ² = 0.26457

Örnek 1.5

Bir cismin kütlesi farklı iki öğrenci 5’er kez ölçülmüştür. İki öğrencinin yaptığı ölçümler aşağıdaki tabloda verilmektedir. Bu öğrencilerin ölçüm sonuçlarını gösteriniz ve sonuçları karşılaştırınız.

Ölçümler 1. Öğrenci (kg) 2. Öğrenci (kg)

𝑥₁ 72 81

𝑥₂ 77 80

𝑥₃ 65 82

𝑥₄ 85 81

𝑥₅ 88 79

Çözüm

2. öğrencinin yaptığı ölçümler diğer öğrencinin yaptığı ölçümlerden daha duyarlıklıdır. 0.67 < 5.14 dir. Bu nedenle 2. öğrencinin ölçüm sonuçları verilirken anlamlı rakam sayısı 1 arttırılmıştır.

Bu iki öğrencinin yaptığı ölçümler birbiriyle tutarlı, fakat 2.

öğrencinin muhtemelen kullandığı ölçü aleti daha hassastır.

1. Öğrenci : 2. öğrenci :

ҧ𝑥 = 72 + 77 + 65 + 85 + 88

5 = 77.4 kg ҧ𝑥 = 81 + 80 + 82 + 81 + 79

5 = 80.6 kg

𝑅 = 88 − 65 = 23 ∆𝑥 = 23

2 = 11.5 𝑅 = 82 − 79 = 3 ∆𝑥 = 3

2 = 1.5

∆ ҧ𝑥 = 1.5

5 = 0.67082 kg

𝑥 = 80.6 ± 0.7 kg

∆ ҧ𝑥 = 5.142956 kg

𝑥 = 77 ± 5 kg

𝜎 = 8.404761

∆ ҧ𝑥 = 8.4048

5 = 3.𝟕𝟓𝟖kg

𝑥 = 77 ± 4 kg

𝜎 = 1.0198

∆ ҧ𝑥 = 1.0198

5 = 0.4𝟓𝟔𝟎𝟕 kg

𝑥 = 80.6 ± 0.5 kg

Örnek 1.6

Bir cismin kütlesi farklı iki öğrenci 10’er kez ölçülmüştür. İki öğrencinin yaptığı ölçümler aşağıdaki tabloda verilmektedir. Bu öğrencilerin ölçüm sonuçlarını gösteriniz ve sonuçları karşılaştırınız.

Ölçümler 1. Öğrenci (kg) 2. Öğrenci (kg)

𝑥₁ 72 81

𝑥₂ 77 80

𝑥₃ 65 82

𝑥₄ 85 81

𝑥₅ 74 79

𝑥_𝟔 88 81

𝑥_𝟕 87 83

𝑥_𝟖 69 85

𝑥_𝟗 76 78

𝑥_𝟏𝟎 71 79

Çözüm

1. Öğrenci : 2. öğrenci :

ҧ𝑥 = 76.4 kg ҧ𝑥 = 80.9 kg

𝜎 = 2.0790

∆ ҧ𝑥 = 2.0790

10 = 0.6574 kg

𝑥 = 80.9 ± 0.7 kg 𝜎 = 7.8909

∆ ҧ𝑥 = 7.8909

10 = 2.4953 kg

𝑥 = 76 ± 2 kg

2. öğrencinin yaptığı ölçümler diğer öğrencinin yaptığı ölçümlerden daha duyarlıdır. 0.6574 < 2.4953 dir.

Bu nedenle 2. öğrencinin ölçüm sonuçları verilirken anlamlı rakam sayısı 1 arttırılması gerekmektedir.

NOT: Bu iki öğrencinin yaptığı ölçümler birbiriyle çok tutarlı değildir. Her iki deneyin sistematik hata, ölçüm hatası vb. kontrol edilmesi gerekmektedir. Deneylerin doğruluğunda şüphe yoksa, sonuçları etkileyen başka bir etkinin olduğu söylenebilir. Yapılan bir deney bu yeni etkiyi gözlemleyecek hassasiyette olabilir. Eğer ölçümler birbirinden veya teoriden 3 𝜎’dan fazla farklı ise test edilen teorinin

(i)

Mutlak hata İşlem

∆𝑦 = ∆𝑎² + ∆𝑏² 𝑦 = 𝑎 + 𝑏

𝑦 = 𝑎 − 𝑏

(ii) 𝑦 = 𝑎𝑏 ∆𝑦

ത

𝑦 = ∆𝑎

ത 𝑎

2

+ ∆𝑏 𝑏ത

2

(iii) 𝑦 = 𝜆𝑎^𝑛 ∆𝑦

ത

𝑦 = 𝑛 ∆𝑎 ത 𝑎 𝑦 = Τ𝑎 𝑏

(iv) 𝑦 = 𝜆 ln 𝜇𝑎 ∆𝑦 = 𝜆∆𝑎

ത 𝑎

Çok kullanılan bazı fonksiyonlara ilişkin hataların hesaplanması

𝑞 = 𝑓 𝑥, 𝑦, ⋯ _{∆𝑞 =} ^𝜕𝑓

𝜕𝑥

2

∆𝑥² + 𝜕𝑓

𝜕𝑦

2

∆𝑦² + ⋯

∗ 𝑏 : b değişkenin ortalamasıത

Hataların Hesaplanması (Yayılımı/Error Propagation)

Çözüm

Örnek 1.7

Pi sayısının değerini bulmak için yapılan bir ölçümde 1 cm yakınlıklı (cm ölçekli) mizure ile cevresi 45.2 cm ve çapı 1/10 cm yakınlıkla (mm ölçekli) cetvel ile 14.36 cm olarak ölçülmüştür. Pi sayısını hesaplayınız.

ത 𝜋 = Ç

𝑅 = 45.2

14.36 = 3.147632

𝜋 = ത𝜋 ± ∆𝜋 = 3.15 ± 0.04 Sonuç 3 veya 4 anlamlı rakamla ifade edilebilir.

𝜋_{𝑚𝑎𝑘.} = 45.2 + 0.5

14.36 − 0.05 = 3.193570929 𝜋_𝑚𝑖𝑛 = 45.2 − 0.5

14.36 + 0.05 = 3.102012491 ത

𝜋 = ^{𝜋𝑚𝑎𝑘.+𝜋𝑚𝑖𝑛}

2 =3.14779171

∆𝜋 = 𝜋_{𝑚𝑎𝑘.} − 𝜋_𝑚𝑖𝑛

2 = 0.045779

2.yol: pratik olarak kullanabilirsiniz. Fakat diğer yöntem daha iyi bir yaklaşımdır.

∆𝜋 ത

𝜋 = ∆Ç

തÇ

2

+ ∆𝑅 𝑅ധ

2

→ ∆π = 3.15 0.5 45.2

2

+ 0.05 14.36

2

= 0.0𝟑6503

Ödev :

1. Çapı 1/10 cm yakınlıkla 18.24 𝑐𝑚 olarak ölçülen bir kürenin hacmini hesaplayınız.

2. Kütlesi 𝑚 = 24.8 ± 0.2 𝑔, hacmi 𝑉 = 3.6 ± 0.4 𝑐𝑚³ olarak verilen bir cismin öz kütlesini hesaplayınız.

Kaynaklar

1. “An Introduction to Error Analysis”, J.R. Taylor, Second edition, University Science Books, 1997

2. “Fiziksel Ölçmeler ve Değerlendirilmesi”, İ., Eşme, Marmara Üniversitesi Yayınları, No:539, 1993.