Sinüzoidal Gerilim ile Harmonikli Akım

1

SİNÜZOİDAL GERİLİM İLE HARMONİKLİ AKIM İÇİN GÜÇ VE HARMONİK ANALİZİ

Ortalama Güç

Genel olarak gerilimi , akımı olan iki uçlu bir eleman üzerinde Anlık güç

Ortalama (aktif) güç

Eleman sadece direnç ( ) ise olur. Burada

Eğer gibi bir sabitse eğer gibi bir sabitse olur. Burada

Sinüzoidal Gerilim ile Harmonikli Akım

sin √2 sin

ile

√2 ∙ sin !

"#

$%

&' cos * sin +

"#

$%

biçimindeki gerilim ve akım için başlıca tanımlar şöyledir:

Görünür güç S V_rmsI_rms Aktif (ortalama) güç

43 42 1

2 1 rms 1 rms

1

cos

b

I V

P  (Ortalama güce katkısı olan sadece akımın temel bileşendir, gerilim sinüzoidal iken)(Bu tanım değil, hesap sonucudur.)

Güç faktörü

S

 P

GF (pf = power factor)

2 Reaktif güç Q S P

(Reaktif güç, tek frekanslı sistemlerde sin , ile hesaplanır ve karmaşık gücün sanal kısmıdır; ancak harmonikli akım varsa sin , diye bir şey yoktur, her harmonik için ayrı ayrıdır. Tek frekanslı çalışan RLC sistemlerinde reaktif güç, şebekeden ihtiyaç fazlası anlık enerji çekilip bobin ve kondansatörlerde depolanması, sonra tekrar şebekeye verilmesi nedeniyle hattı gereksiz yere meşgul ederek dağıtım şirketini rahatsız etmenin bir ölçüsüdür ve kompanzasyon yöntemleriyle sıfırlanabilir. Harmonikli durumda ise hiç enerji depo edilmese bile, yük saf direnç olsa bile reaktif güç vardır. Tek frekanslı durumu da kapsayan genel tanım, çekilen ortalama (aktif) güçten fazla görünür güce sebep olarak dağıtım şirketini rahatsız etmenin bir ölçüsüdür ve kompanzasyon yöntemleriyle sıfırlanamaz. Ancak harmonik eliminasyonuyla yok edilebilir.)

Ana harmonik reaktif gücü

43 42 1

2 1 rms 1 rms 1

1

sin

a

I V Q



 

Buruşma (distorsiyon) reaktif gücü D Q²Q₁²

Güç yer değiştirme faktörü (power displacement factor) _rms

1 1

1 2

cos

pdf I

b

 

 

Akımın ana harmonik oranı

rms rms 1

I g_i  I

Distorsiyon akımı

 

1^{rms 2} 2

rms I

I I_dis  

Akımın Toplam Harmonik Distorsiyonu _rms

1

100

%

THD I

I_dis

i  

Örnek

sin √2 -./sin biçimindeki kaynak (şebeke) gerilimi ile şekildeki gibi akım çeken tek fazlı bir AC kıyıcının şebeke üzerinde sebep olduğu güç ve harmonik analizini yapalım. _-./ 200 ^, 10Ω ve 4 60° için hesaplayalım.

3 Çözüm:

Aslında şebeke akımı önemlidir ama eşit olduğu için burada ’dir ve 27 periyotlu olup ilk periyot için tanımı şöyledir:

⎩⎪⎨

⎪⎧ sin 4 < < 7 ve 7 4 < < 27

0 diğer

Önce rms değerini bulalım:







   









 











 





















 



 

 

2

2 2 2

2

2 2 2

rms ˆ sin ( ) ( )

2 ) 1 ( ) ( sin ˆ 2

) 1 2 (

1

t y

t y

k t d t

R t V

d R t

t V d i I











 

 



 





















 

 



2

2 2

) 2 (

) 2 cos(

) 1 2 (

) 2 cos(

1 2

ˆ

t y t

t t d t

t d R

V















 

 

 

 





























 

2

2 2

) 2 2sin(

) 1 2 2sin(

1 4

ˆ

t t

y

t t

t R t

V











         



43 14243 1424 434

42 43 1

42 1

) 2 sin(

0 0

2 2

) 2 2 2sin(

) 1 4 2sin(

2 1 ) 2 2sin(

) 1 2 2sin(

1 4

ˆ

 





















R_y  V

 



 



  

 sin(2 )

2 1 2

ˆ

2 2 2

rms   

R_y

I V sin(2 )

2 ) 1

2 2sin(

1 2

ˆ rms

rms   

 



  ^{    }



y

y R

V R

I V

Değerleri yerine yazarsak:   



  )

3 sin(2 2 1 10 3

V 200

rms



 

I  17,94AI_rms

Temel bileşeni ise a₁cos(t)b₁sin(t) olarak düşünülürse Fourier serisi 1. harmonik katsayıları:







  













 





 







 





 



 

2

) 2 2sin(

) 1 2 2sin(

2 1

1 1 ˆ sin( )cos( ) ( )

) ( ) cos(

) sin(

1 ˆ ) ( ) 2 cos(

2

t

t t y

t y

k t t d t

R t V

d t R t

t V d t i

a 14 24 4 34 14 24 4 34

     

_^









    



















 14243 14243 14 24 4 34

) 2 1 cos(

1

2 cos2 cos(2 ) cos4 cos(2 2 )

4 ˆ )

2 cos(

) 2 4 cos(

ˆ















     

 

 _y  ^{t t} R_y

t V R t

V

  

1 cos(2 )



2 ) 2 cos(

2 1

ˆ rms

1 

 

  ^

 

 



y Ry

V R

a V

Değerleri yerine yazarsak:















  1 cos(2 3)

10 2

200

1 



a V 6,75Aa₁

4







    











 



 





 



 



 

2 ) 2 cos(

1 2

2 ) 2 cos(

1 2

2

1 1 ˆ sin ( ) ( )

) ( ) ( sin 1 ˆ

) ( ) 2 sin(

2

t y t

t y t

k t d t

R t V

d R t

t V d t i

b 14243 14243















 

 

 

 





























 

2

) 2 2sin(

) 1 2 2sin(

1 2

ˆ

t t

y

t t

t R t

V











         



43 14243 1424 434

42 43 1

42 1

) 2 sin(

0 0

) 2 2 2sin(

) 1 4 2sin(

2 1 ) 2 2sin(

) 1 2 2sin(

1 2

ˆ

 





















R_y  V



 



  





 



  

 sin(2 )

2 1 ) 2

2 2sin(

ˆ 1

rms

1   

 



 _y  R_y

V R

b V

Değerleri yerine yazarsak: 



 



  





  sin(2 3)

2 1 3 10

200 2

1   



b V 22,75A b₁

Temel bileşenin 2I₁^rmssin(t₁) ifadesini açarak a₁cos(t)b₁sin(t) biçimine getirirsek:

) sin(

) cos(

) sin(

) (cos 2

) cos(

) sin (

2I₁^rms  ₁ t  I₁^rms ₁ t a₁ t b₁ t

1 rms 1

1 2I sin

a  b ₁ 2I₁^rmscos₁

 

^{ }

 

^



 ₁² ₁^{rms 2 2} ₁ ² _{1 1}^{rms 2}

2

1 b 2I (sin cos ) 2 I

a  

2

2 1 2 rms 1 1

b

I a 

 

 



 ^  

1 1 1

1 tan

b

 a _{(a10 ise} 7 eklenir)

Değerleri yerine yazarsak:   

 A

2

75 , 22 ) 75 , 6

( ^{2 2}

rms

I1 16,78AI₁^rms !% tan^D%E_JJ,HI^F,HIK 16,5°

Dikkat: _% ≤ olmak zorundadır. Aksi bulunması halinde kesinlikle yanlışlık vardır.

Dikkat: Özellikle istenmiyorsa !_% bulunmadan da aşağıdaki hesaplamalar yapılabilir. Ancak !_% bulunacaksa hem sin !% hem cos !% şartını sağlayan açı seçilmelidir (yukarıdaki !% formülünün yanındaki açıklama bunu sağlamak içindir).

Görünür güç S V_rmsI_rms 200V17,94A 3588VAS Aktif güç

43 42 1

2 1 rms 1

1

cos

b rmsI V

P  200V22,75A 23218WP .

Güç faktörü

S

 P

GF ^NJ%O

NIOO 0,897GF

Reaktif güç Q S²P²  3588²3218²VA_r1586VA_r Q Ana harmonik reaktif gücü

43 42 1

2 1 rms 1 1

1

sin

a rmsI V Q



  200V6,75A 2955VA_r Q₁

Buruşma (distorsiyon) reaktif gücü D Q²Q₁²  1586²955²VA_r 1267VA_r Q

5

rms 1 1

1 2

cos

pdf I

b

 

  

 

78 , 16 2

75 ,

22 0,959pdf

Akımın ana harmonik oranı

rms rms 1

I

g_i  I   94 , 17

78 , 16

gi

 936 , 0

Distorsiyon akımı

 

1^{rms 2} 2

rms I

I

I_dis    17,94²16,78²A 6,33AI_dis

Akımın Toplam Harmonik Distorsiyonu _rms

1

100

%

THD I

I_dis

i     

78 , 16

33 , 100 6

% %37,7THD_i