1 ABC ()()()sABsAsB , =+ Toplama yoluyla saymaÇarpma yoluyla sayma TEMEL SAYMA KURALLARI

(1)

Sayma Yöntemleri

1

PERMÜTASYON DERS NOTLARI

Sebahattin Soylu

TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma

Çarpma yoluyla sayma

A ve B ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşim- lerinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayıları- nın toplamına eşittir. Bu sayma yöntemine toplama yoluyla sayma denir.

( ) ( ) ( )

s A B , = s A + s B

şeklindedir.

İkişer ikişer ayrık ve sonlu m elemanlı n tane küme- nin eleman sayısı m.n dir. Bu kümelerin eleman sa- yılarını bulmak için yaptığımız işleme çarpma yoluyla sayma denir.

1.Örnek

5.Örnek

6.Örnek

7.Örnek 2.Örnek

3.Örnek

4.Örnek

Bir torbada 6 kırmızı, 8 yeşil top vardır.

Torbadan kırmızı veya yeşil top kaç yolla alınabilir?

3 kız, 4 erkek arasından bir kız veya bir erkek kaç değişik yolla seçilebilir?

3 kız, 5 erkek arasından bir kız ve bir erkek kaç değişik yolla seçilebilir?

Birbirinden farklı 3 gömlek, 5 pantolon ve 2 kıravattan birer tanesi kaç değişik yolla seçilebilir?

C:7

C:15

C:30 C:14

4 kişi , 6 farklı koltuğa kaç değişik yolla oturabilir?

C:360

A şehrinden B şehrine 5 farklı yol, B şehrinden C şehrine 4 farklı yol vardır.

Buna göre A şehrinden C şehrine B ye uğramak şartıy- la kaç değişik yolla gidilebilir?

C:20

A şehrinden B şehrine 4 farklı yol, B şehrinden C şehrine 3 farklı yol vardır.

Buna göre;

a) A şehrinden C şehrine kaç farklı şekilde gidilir ve dönülür?

b) A şehrinden C şehrine gidip dönmek isteyen bir hareketli giderken kullandığı bir yolu dönerken kullanmamak şartıyla kaç farklı şekilde gidip dönebilir?

C:144

C:72

A B C

(2)

Sayma Yöntemleri

2

PERMÜTASYON DERS NOTLARI

8.Örnek

11.Örnek

12.Örnek

10.Örnek

11.Örnek

Şekilde A,B ve C şehirleri arasındaki yollar gösterilmiştir. Bir hareketli A’dan C’ye kaç değişik yolla gidebilir?

Şekilde A şehrinden C şehrine gidilebilecek farklı yollar gösterilmiştir. Gidilen yoldan dönülmemek şartı ile A’dan C’ye gidilip yeniden A’ya dönülebilir?

5 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç değişik şekilde sonuçlanabilir?

10 soruluk bir testte her sorunun 5 seçeneği vardır. Bu test için kaç cevap anahtarı hazırlanabilir?

C:32

C:5¹⁰ C:11

C:38

3 farklı mektup 6 posta kutusuna atılacaktır.

a) Kaç farklı yolla atılabilir?

5 katlı bir binanın her katı 4 farklı renkle ile boyanacaktır.

Art arda iki kat aynı renkte boyanmayacağına göre bu bina kaç değişik renkte boyanabilir?

6 katlı bir binanın zemin katından 3 kişi asansöre biniyor.

Asansör 6 kat çıkacaktır. Her katta en çok bir kişi inece- ğine göre 3 kişi kaç farklı şekilde asansörden inebilir?

b) Her mektup farklı posta kutusuna atılmak şartıyla kaç değişik yolla atılabilir?

C:6³

C:120

C:4.3⁴

C:120

A B C

İPUCU:

Saymanın temel prensibi ile ilgili problemlerin çözü- münde aşağıdaki adımlar izlenmelidir.

1.

Yapılacak işlerin tespit edilmesi

2.

Her bir işin kaç farklı yoldan gerçekleştirilebile- ceği

3.

Sonuca ulaşmak için hangi işlerin gerçekleşme- sinin gerektiği

(3)

Sayma Yöntemleri

3

PERMÜTASYON DERS NOTLARI

19.Örnek

20.Örnek

16.Örnek

17.Örnek

Ardışık iki sorunun cevabı aynı olmayan 5 seçenekli 20 so- rudan oluşan bir sınavın cevap anahtarı kaç değişik şekil- de hazırlanabilir?

A kentinden B kentine 3 farklı yol ve B kentinden C kentine 4 farklı yol vardır.

Buna göre A kentinden C kentine gidilen yoldan aynen dönememek şartıyla kaç farklı yoldan gidilip dönülür?

8 kişilik bir yarışta ilk üç derece kaç farklı şekilde elde edilir?

Bir okulun öğrencilerine, alfabemizdeki sesli harfler ve rakamlar kullanılarak ilk hanesi harf, son iki hanesi rakam olan üç haneli numaralar verilecektir.

Buna göre kaç öğrenciye numara verilebilir?

C:336

C:800

C:132 C:120

4 farklı oyuncak 5 çocuğa verilecektir.

Bu oyuncaklar çocuklara kaç değişik biçimde verile- bilir?

3 farklı oyuncak 6 çocuğa verilecektir.

Her çocuğa en fazla bir oyuncak vermek şartıyla bu oyuncaklar çocuklara kaç değişik şekilde verilebilir?

SOYLU kelimesindeki harfler yer değiştirilerek 5 harfli kelimeler yazılacaktır.

Kaç değişik kelime yazılır?

A ve B iki küme olmak üzere s(A)=3, s(B)=7 olduğuna göre A dan B ye kaç tane bire bir fonksiyon tanımlanabilir?

C:5⁴

C:120

C:210 C:5.2³⁸

(4)

Sayma Yöntemleri

4

PERMÜTASYON DERS NOTLARI

A={k,i,t,a,p,ç,ı} kümesinin elemanları kullanılarak anlamlı veya anlamsız, 4 harfli,

a) Kaç değişik kelime yazılabilir?

b) Harfleri birbirinden farklı kaç değişik kelime yazılabilir?

c) Her harf bir kez kullanılmak şartıyla sesli bir harfle başlayıp sesli harfle biten kaç kelime yazılır?

d) Her harf bir kez kullanılmak şartıyla sesli bir harfle başlayıp sessiz harfle biten kaç kelime yazılır?

e) İçerisinde k harfinin mutlaka bulunduğu kaç değişik kelime yazılır?

f) p ile başlayıp a ile bitmeyen kaç değişik kelime ya- zılabilir?

g) k ile başlayıp i ile biten harfleri tekrarsız kaç kelime yazılabilir?

A={0,1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları kullanılarak 3 basamaklı

a) Kaç değişik sayı yazılabilir?

b) Rakamları birbirinden farklı kaç değişik sayı yazılabilir?

c) Kaç değişik tek sayı yazılabilir?

d) Her rakam bir defa kullanılmak şartıyla kaç değişik çift sayı yazılabilir?

e) Rakamları tekrarsız 200 ile 500 arasında kaç sayı yazılabilir?

f) 250 den büyük rakamları tekrarsız kaç sayı yazılabilir?

g) 400 den büyük 5 ile bölünebilen rakamları tekrarsız kaç değişik sayı yazılabilir?

C:7⁴ C:294

C:180

C:126

C:105

C:90

C:130 C:840

C:120

C:240

C:1105

C:294

C:20 C:25

(5)

Sayma Yöntemleri

5

PERMÜTASYON DERS NOTLARI

A={1,3,5,7,9} kümesinin rakamlarını kullanarak yan yana iki rakamı birbirinden farklı olan dört basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir?

Üç basamaklı en çok iki basamağı aynı olan kaç doğal sayı yazılabilir?

A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanları kullanılarak 100’den büyük 400’den küçük üç basamaklı rakamları farklı kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir?

A={1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile iki basamağı aynı olan üç basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir?

A={0,1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları kullanılarak rakam- ları farklı 3000’den büyük 6000’den küçük 5 ile bölüne- bilen kaç tane doğal sayı yazılabilir?

A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarıyla yazılabilen üç ba- samaklı sayıların kaç tanesinde en az bir tane 2 rakamı bulunur?

Dört basamaklı en az iki basamağı aynı rakamdan oluşan kaç doğal sayı vardır?

Dört basamaklı doğal sayıların kaç tanesinin rakamları çarpımı 3 e tam bölünür?

C:100 C:80

C:4464 C:7704

C:320 C:891

C:32 C:90

(6)

6 PEKİŞTİRME TESTİ

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

Serdar 5 pantolon, 8 gömlek ve 3 ceket arasından kaç değişik şekilde bir pantolon, bir gömlek ve bir ceket seçerek giyinebilir?

A={3,4,5,6,7,8}

kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları farklı, üç basamaklı kaç çift doğal sayı yazılabilir?

3 farklı mektup 4 posta kutusuna kaç değişik şekilde atılabilir?

A={1,3,5,6,7,8}

kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı ve ra- kamları farklı kaç tane tek doğal sayı yazılabilir?

8 koşucunun katıldığı bir yarışmada ilk üç derece kaç farklı şekilde sonuçlanır?

A={1,2,3,4,5}

kümesinin elemanları ile üç basamaklı en az iki rakamı aynı olan kaç farklı doğal sayı yazılır?

7 kişilik bir izci grubuna bir lider ve bir yardımcı kaç değişik şekilde seçilebilir?

A={1,2,3,4,5,6}

kümesinin elemanları ile rakamları farklı 4000 den bü- yük dört basamaklı kaç çift doğal sayı yazılabilir?

A)120 B)90 C)80 D)40 E)16 A)60 B)55 C)52 D)42 E)36

A)30 B)50 C)60 D)70 E)80

A)50 B)55 C)60 D)65 E)70

A)36 B)48 C)52 D)72 E)84 A)48 B)54 C)81 D)96 E)108

A)218 B)336 C)392 D)428 E)512

A)12 B)20 C)21 D)32 E)42

1.A 2.B 3.B 4.E 5.A 6.E 7.D 8.E

(7)

7 PEKİŞTİRME TESTİ

9.

10.

11.

12.

A={1,2,3,4,5}

kümesinin elemanları kullanılarak 200 den büyük, 400 den küçük kaç farklı sayı yazılabilir?

A={0,1,2,3,4,5}

kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları farklı dört basamaklı 3000 den büyük kaç sayı yazılabilir?

A={0,1,2,3,4,5}

kümesinin elemanları ile rakamları farklı dört basa- maklı kaç tane çift doğal sayı yazılabilir?

Dört basamaklı rakamları farklı sayılardan kaç tanesi 9 ile başlar, 6 ile biter?

A)25 B)40 C)50 D)75 E)100

A)300 B)240 C)180 D)120 E)60

A)144 B)156 C)180 D)196 E)200

A)24 B)56 C)84 D)126 E)156

13.

14.

15.

16.

A={0,1,2,5,7}

kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları farklı, üç basamaklı 500 den büyük kaç çift doğal sayı yazılır?

A={0,1,2,5,7}

kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları tekrarsız, 200 den büyük üç basamaklı kaç sayı yazılır?

A={1,2,3,4,5,6}

kümesinin elemanları ile dört basamaklı rakamları farklı 4 ile bölünebilen kaç doğal sayı yazılabilir?

A={0,1,2,3,4,5}

kümesinin elemanlarından 5 in katı olmayan üç basa- maklı rakamları tekrarsız kaç doğal sayı yazılabilir?

A)4 B)6 C)8 D)10 E)12

A)6 B)12 C)15 D)24 E)36

A)32 B)48 C)56 D)96 E)120

A)36 B)48 C)54 D)64 E)96

9.C 10.C 11.B 12.B 13.E 14.E 15.D 16.D

(8)

Faktöriyel

8

PERMÜTASYON DERS NOTLARI

FAKTÖRİYEL

1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir.

n ! N

⁺olmak üzere, n!=1.2.3...(n-1).n dir.

Özel olarak

0!=1 ve 1!=1 olarak tanımlanmıştır.

Sorularda verilen faktöriyelli ifadeler aşağıdaki şekil- lerde yazılırsa sadeleştirmelerde kolaylık sağlar.

n!=n.(n-1)!

(2n)!=(2n).(2n-1)!

4.Örnek

5.Örnek

6.Örnek

2.Örnek

3.Örnek

! ! ! ! 9 8 10 9

+ +

işleminin sonucu kaçtır?

(2n 1) ! (2n 1) ! - 72

+ = olduğuna göre n kaçtır?

( !) !! 4

25 işleminin sonucu kaçtır?

C:25 C:4 C: 1099

( ) ! !

( ) !

n n

n 1

2 5

+ +

+ = olduğuna göre n kaçtır?

C:4

! ( ) !

( ) !

! n

n

n 1 n

1 27

+ + - = olduğuna göre, eşitliği sağlayan n değeri kaçtır?

C:13

C:23

C:10

( ) ! . !

( ) !

n n n

n 1

1 24

+ -

+ = olduğuna göre, eşitliği sağlayan n değeri kaçtır?

A=0!+1!+2!+3!+...+50!

olduğuna göre, A sayısının 12 ile bölümünden kalan kaçtır?

(9)

Faktöriyel

9

PERMÜTASYON DERS NOTLARI

12.Örnek

13.Örnek

14.Örnek

9.Örnek

10.Örnek

11.Örnek

( ) ! ( ) !

n n

2 1 2 2

2 1 2

- + - 56

+ -

= olduğuna göre , n kaçtır?

! .T

40 =3n olduğuna göre n doğal sayısının en büyük değeri kaçtır?

! .A

C:18

C:26

C:23 C:4

!

45

2

ⁿ ifadesinin değeri bir tek sayı ise, n doğal sayısı kaçtır?

!

50

2

ⁿ ifadesinin değeri bir çift doğal sayı ise, n doğal sayısının değeri en çok kaçtır?

C:41

C:46

C:15

C:18

!

65 sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

73!+74!-1 sayısının sondan kaç basamağı dokuzdur?

(10)

10 PEKİŞTİRME TESTİ

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

15! sayısı 14! sayısının kaç katıdır? x !

16 =6

olduğuna göre, 8!+7!+6! toplamının x türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

(a 2) !

a! 182

- =

olduğuna göre a kaçtır?

(a-4)!+(4-a)!

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A=1!+2!+3!+...+120!

olduğuna göre A sayısının birler basamağındaki rakam

kaçtır? ( ) ! !

! ( ) !

n n

1 1

+ -

+ +

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

17! sayısı, aşağıdakilerden hangisine tam olarak bölünemez?

12!+12=a olduğuna göre 11!+11 toplamının a türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A)5 B)7 C)10 D)15 E)17

A)x B)2x C)4x D)8x E)16x

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

A) n n

+1 B) n

n

2 -1 C) n+12 D)1+2n E) n 2-1

A) a

12 B) a 1212

+ C)a 6060 +

D)a 11110

+ E)a 12120 + A)11 B)12 C)13 D)14 E)15

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

A)275 B)243 C)187 D)98 E)76

1.A 2.D 3.C 4.E 5.C 6.C 7.D 8.E

(11)

11 PEKİŞTİRME TESTİ

9.

10.

11.

12.

A={1,2,3,4,5}

kümesinin elemanları kullanılarak 200 den büyük, 400 den küçük kaç farklı sayı yazılabilir?

A={0,1,2,3,4,5}

kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları farklı dört basamaklı 3000 den büyük kaç sayı yazılabilir?

A={0,1,2,3,4,5}

kümesinin elemanları ile rakamları farklı dört basa- maklı kaç tane çift doğal sayı yazılabilir?

Dört basamaklı rakamları farklı sayılardan kaç tanesi 9 ile başlar, 6 ile biter?

A)25 B)40 C)50 D)75 E)100

A)300 B)240 C)180 D)120 E)60

A)144 B)156 C)180 D)196 E)200

A)24 B)56 C)84 D)126 E)156

13.

14.

15.

16.

A={0,1,2,5,7}

kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları farklı, üç basamaklı 500 den büyük kaç çift doğal sayı yazılır?

A={0,1,2,5,7}

kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları tekrarsız, 200 den büyük üç basamaklı kaç sayı yazılır?

A={1,2,3,4,5,6}

kümesinin elemanları ile dört basamaklı rakamları farklı 4 ile bölünebilen kaç doğal sayı yazılabilir?

A={0,1,2,3,4,5}

kümesinin elemanlarından 5 in katı olmayan üç basa- maklı rakamları tekrarsız kaç doğal sayı yazılabilir?

A)4 B)6 C)8 D)10 E)12

A)6 B)12 C)15 D)24 E)36

A)32 B)48 C)56 D)96 E)120

A)36 B)48 C)54 D)64 E)96

9.C 10.C 11.B 12.B 13.E 14.E 15.D 16.D

(12)

Permütasyon

12

PERMÜTASYON DERS NOTLARI

PERMÜTASYON

n pozitif tamsayı, r doğal sayı ve r#n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r’lilerine o kümenin r’li permütasyonu denir.

n elemanlı bir kümenin r’li permütasyonları- nın kümesi P(n,r) ile gösterilir.

( , )

( ) !

! . ( ) . ( ) . ( )

P n r

n r

n n n 1 n 2 n r 1

= - = - - - +

Özel olarak; P(n,n)=n! biçimindedir.

4.Örnek

5.Örnek

6.Örnek

2.Örnek

3.Örnek

A={a,b,c} kümesinin elemanlarının farklı dizilişlerini yazınız.

7 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı permütasyonlarının sayısı kaçtır?

P(n,2)=56 olduğuna göre,P(n,3) kaçtır?

C:336 C:210

P(n,3)=7.P(n,2) olduğuna göre n kaçtır?

C:9

A={a,b,c,d,e} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde c eleman olarak bulunmaz?

C:24

C:60

C:720 A={t,m,o,d,e,r} kümesinin 3’lü permütasyonlarının kaç tanesinde o bulunur?

A={a,b,c,d,e,f,g} kümesinin 4 lü permütasyonlarının kaç tanesinde c veya d bulunur?

r tane

(13)

Permütasyon

13

PERMÜTASYON DERS NOTLARI

Birbirinden farklı 5 matematik, 3 fizik kitabı bir rafa,

fizik kitaplarının tamamının yanyana gelmemesi şartıy- la kaç değişik şekilde dizilir?

Tersten okunuşu kendisiyle aynı olan doğal sayılara palindrom sayı denir. Beş basamaklı kaç tane palindrom sayı vardır?

C:8!-6!.3!

C:900

Birbirinden farklı 6 kimya, 3 geometri kitabı bir rafa, geometri kitaplarının hiçbiri yanyana gelmeyecek şekilde kaç değişik şekilde sıralanır?

5 katlı bir binanın her bir katı farklı renklerdeki 4 farklı renk ile boyanacaktır. Üst üste iki katın aynı renge boyanma- ması şartıyla bu bina kaç değişik biçimde boyanabilir?

C:6!.7.6.5 C:324

C:20.6!

C:8!

C:ULOYS C:2!.4!.3!

3 kız, 5 erkek başta ve sonda erkek oturması şartıyla bir sıraya kaç değişik şekilde oturabilir?

Birbirinden farklı 3 matematik, 5 kimya kitabı bir rafa kaç değişik şekilde sıralanabilir?

SOYLU kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturu- lan beş harfli kelimelerden bir sözlük oluşturulursa baştan 50. kelime hangisi olur?

Birbirinden farklı 4 fizik, 3 kimya kitabı aynı türden kitap- lar bir arada olmak şartıyla bir rafa kaç değişik şekilde sıralanabilir?

(14)

Permütasyon

14

PERMÜTASYON DERS NOTLARI

{1,2,3,4} kümesinin elemanlarıyla yazılabilen, rakamları tekrarsız dört basamaklı sayıların toplamı kaçtır?

Anne, baba ve dört çocuktan oluşan aile yan yana fotoğraf çektirecektir.

Anne ve baba yan yana olmak şartıyla kaç değişik şe- kilde fotoğraf çektirebilirler?

C:66660 C:5!.2!

Ahmet ve Selami’nin de aralarında bulunduğu 6 kişi yan yana fotoğfar çektirecektir.

Ahmet ve Selami’nin arasında en az bir kişi olmak üze- re kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilirler?

Merve ve Selin’in aralarında bulunduğu 6 kişilik bir grup bir kuyrukta durmaktadır.

Merve’nin Selin’in önünde olduğu kaç farklı durum var- dır?

C:144 C:360

C:3125 C:40

C:240 C:144

{1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarıyla rakamları farklı dört ba- samaklı sayılar yazılıp, küçükten büyüğe sıralanıyor.

Buna göre, baştan 50. sayı kaçtır?

Serhat, Mesut ve Hakan’ın aralarında bulunduğu 5 kişilik bir grup bir kuyrukta durmaktadır.

Mesut’un Hakan ve Serhat’ın aralarında bulunduğu kaç durum vardır?

Bir öğrencinin gireceği 6 farklı sınavın 2 si matematik ve kimya sınavıdır.

Matematik ve kimya sınavlarının art arda gelmesi şar- tıyla bu öğrencinin sınavlarının sıralaması kaç farklı şe- kilde yapılabilir?

Aralarında Beyza ve Sueda’nın da bulunduğu 6 kişi yan yana sıralanacaktır.

Beyza ve Sueda’nın arasında iki kişinin bulunduğu kaç farklı sıralama vardır?