Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı Tasarım, Sismik Taban Yalıtımı ve PERFORM-3D ile Mühendislik Uygulamaları

Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı Tasarım, Sismik Taban Yalıtımı ve PERFORM-3D ile

Mühendislik Uygulamaları

Gebze Teknik Üniversitesi, 2016

Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş:

Çok Serbestlik Dereceli Sistemler

Dr. Barış Erkuş (İTÜ)

Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş

•Tek Serbestlik Dereceli Sistemler

•Analitik ve matematiksel modelleme

•Serbest titreşim

•Harmonik yük altındaki davranış

•Zaman tanım alanı analizi

•Deprem spektrumu

•Çok Serbestlik Dereceli Sistemler

•Analitik ve matematiksel modelleme

•Kütle, rijitlik ve sönüm matrisleri

•Modal analiz – mod şekilleri ve periyotları

•Mod birleştirme yöntemiyle dinamik analiz – tepki spektrumu analizi

•Mod birleştirme yöntemiyle dinamik analiz – modal zaman tanım alanı analizi

•Taslak TBDY Kapsamında Deprem Analizi ile İlgili Genel Kurallar

Çok Serbestlik Dereceli Sistemler: İçerik

•Temel Matematik Bilgileri

•Lineer Denklem Sistemleri (Ö)

•Matrisler ve Temel Matris Operasyonları (Ö)

•Özdeğer Problemi (Ö)

•Matrislerin Bölünmesi (Ö)

•Yapıların Matematiksel Modellemesi

•Sürekli Kütleli Sistemler

•Toplu Kütleli Sistemler

•Mekanik ve Yapısal Sistemler

•Serbestlik Dereceleri ve Sistem Matrisleri

•Yapı Serbestlik Dereceleri

•Toplu ve Sürekli Kütle Matrisleri (Ö)

•Rijitlik Matrisi (Ö)

•Statik Yoğunlaştırma, Rijit Diyafram Kabulü

•Özdeğerler, Özvektörler ve Özmatris (Ö)

•Rayleigh-Ritz Yöntemi

•Yüklemeye Bağlı Rayleigh-Ritz Yöntemi

•Sönüm matrisi

•İçsel Enerji Sönümleme

•Klasik Sönümleme Matrisi

•Sabit Sönümleme Matrisi (Ö)

•Rayleigh Sönümleme Matrisi (Ö)

•Klasik Olmayan Sönümleme (Ö)

•Modal Analiz: Modal Denklemler (Ö)

•Mod Birleştirme Yöntemi ile Dinamik Analiz

•Modal Zaman-Tanım Alanı Analizi (Ö)

•Tasarım Spektrumu Analizi (Ö)

•Doğrudan Zaman-Tanım Alanı Analizi

Temel Matematik Bilgileri: Lineer Denklem Sistemleri

•n adet denklem

•n adet bilinmeyen: x ₁ , x ₂ , …, x _n

•n × n adet katsayı: a ₁₁ , a ₁₂ , …, a _nn

•n adet sabit: b ₁ , b ₂ , …, b _n

•a _ij

•i: denklem sayısı (satır)

•j: bilinmeyen numarası x (sütun)

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1. Denklem 2. Denklem

j j n n

j j n n

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a

     

     

1 1 2 2

1 1 2 2

. Denklem

. Denklem

i i ij j in n i

n n nj j nn n n

x a x a x a x b i

a x a x a x a x b n

     

     

1 2 3

1 2 3

1 2 3

5 4 2 7 1. Denklem 2 6 4 3 2. Denklem 3 5 8 4 3. Denklem

x x x

x x x

x x x

  

  

   

•Çözüm Yöntemleri

•Gauss-Eleme Yöntemi

Örnek:

Temel Matematik Bilgileri: Lineer Denklem Sistemleri

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

1 2

i

n

b b

b

b

1 2

i

n

x x

x

x

Temel Matematik Bilgileri: Matrisler

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn n n

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a



 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

A

1 2

1 i

n n

b b

b

b _

   

   

    

   

   

  b

1 2

1 i

n n

x x

x

x _

   

   

    

   

   

  x

(1-Boyutlu ise “Vektör” de denir)

Temel Matematik Bilgileri: Matrislerin Gösterimi

•Herhangi bir n×m matrisin gösterimi

• A : koyu, düz (“italic” olmayan) ve BÜYÜK HARF

•[A] : köşeli parantez ile , düz (“italic” olmayan) ve BÜYÜK HARF

• : harf altında “tilde” işareti ile, düz (“italic” olmayan) ve BÜYÜK HARF

•Herhangi bir n×1 veya 1×m vektörünün gösterimi

• x : koyu, düz (“italic” olmayan) ve küçük harf

•{x} : süslü parantez ile düz (“italic” olmayan) ve küçük harf

• : harf altında “tilde” işareti ile, düz (“italic” olmayan) ve küçük harf

•Skalar gösterimi:

• x, y : eğik (“italic”) ve küçük harf

•Örnekler:

•a : skalar

•M : matris

•  : skalar

•  : vektör

• : vektör

•  : matris

•  : skalar

•  : matris A

x



Excel: Matrislerin Tanıtılması

11 12 1 1 1 1

21 22 2 2 2 2

1 2

j n

j n

i i ij in i i

a a a a x b

a a a a x b

a a a a x b



     

     

     

     

      

     

     

     

Ax b

Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı

11 1 12 2 1_{j j} 1_{n n} 1

1. Denklem

a x  a x   a x   a x  b

+

+

+

×

×

×

11 12 1 1 1 1

21 22 2 2 2 2

1 2

j n

j n

i i ij in i i

a a a a x b

a a a a x b

a a a a x b

a a a a x b



     

     

     

     

      

     

     

     

         

 

Ax b

Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı

21 1 22 2 2_{j j} 2_{n n} 2

2. Denklem

a x  a x   a x   a x  b

+

+

+

×

×

×

1

. denklem

n

i ij j

j

b a x i





 

b Ax

Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı

1 1 2 2

. Denklem

i i i ij j in n

b  a x  a x   a x   a x i

çarpimi, ilk satir

n m n k

m k

 



  

   

     

        

     

  



  

    

    

     

     

 

 



 

 

  AB

Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı

    

×

×

×

×

×

+

+

+

+

Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı

çarpimi, ikinci satir

n m  n k 



 

   

     

        

     

     

     

 

 

 

 

 

    

    

      

  AB

    

×

×

×

×

×

+

+

+

+

Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı

çarpimi, üçüncü satir

n m n k

m k

 



   

 

        

     

               

     

            

     

   

 

AB

Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı

çarpimi, birinci satir-ikinci sütun

n m  n k 



   

 

        

     

               

     

            

     

   

 

AB

Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı

çarpimi, ikinci satir-ikinci sütun

n m n k

m k

 



   

 

        

     

               

     

            

     

   

 

AB

Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı

n m m k n k

n m n k

  

 





   

 

        

     

               

     

            

     

   

 

A B C

Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı



AB BA

Excel

•Matrislerin Çarpımı

Temel Matematik Bilgileri: İç Çarpımının Matris Çarpım Olarak İfadesi

a

b

x ˆ y ˆ z ˆ

a  a i  a j  a k

x ˆ y ˆ z ˆ

b  b i  b j  b k

x x y z z z

a b  a b  a b  a b

x y z

a a a

   

  

    a

x y z

b b b

   

  

    b

T

T

x

x y z y

z

b

a b a a a b

b a b

   

 

     

   



a b

b a

Temel Matematik Bilgileri: Matris Skalar Çarpım

n m

n m n m

a

a a a a a

a a a a a a

a a a a a

a a



 

         

   

              

   

             

   

 A

A A

Temel Matematik Bilgileri: Matris Toplama ve Çıkarma

n m n m n m

n m n m n m

  

  

 

              

     

                      

     

                    

     

  

A B C

A B B A

+

Temel Matematik Bilgileri: Matris Devriği (Transpozu)

T

T

n m m n

n m

 





  

 

 

       

   

            

   

         

   

    

 

A C

Temel Matematik Bilgileri: Matris Devriği (Transpozu)

T

T

n m m n

n m

 







  

 

 

       

   

            

   

         

   

    

 

A C

Excel

•Toplama

•Skalar Çarpım

•Transpose

Temel Matematik Bilgileri: Matris Satır ve Sütunları

n m

n m





    

 

      

 

      

 

A

Satır

Sütun

Temel Matematik Bilgileri: Matris Satır Vektörleri Gösterimi

1 2 3 n m

n m





    

   

         

   

 

 

 

 

 

    

   

A

a a a

Satır Vektörü

Temel Matematik Bilgileri: Matris Sütun Vektörleri Gösterimi

1 2 3 4 5

| | | | |

| | | | |

n m

n m





    

   

         

   

        

   

A

a a a a a

Sütun Vektörü

Temel Matematik Bilgileri: Kare Matris

n n

n n





  

 

    

 

    

 

A

Temel Matematik Bilgileri: Matris Diyagonalı

n n

n n





  

 

    

 

    

 

A

Temel Matematik Bilgileri: Diyagonal Matris

0 0

0 0

0 0

n n

n n





  

  

 

  

 

A

Temel Matematik Bilgileri: Birim Matris

1 0 0 0 1 0 0 0 1

n n

n n





 

 

 

 

 

I

11 12 1 1 1 1

21 22 2 2 2 2

1 2

j n

j n

i i ij in i i

a a a a x b

a a a a x b

a a a a x b



     

     

     

     

      

     

     

     

Ax b

Temel Matematik Bilgileri: Diyagonal Matris - Kolaylıklar

Temel Matematik Bilgileri: Diyagonal Matris - Kolaylıklar

11 1 1

22 2 2

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

ii i i

a x b

a x b

a x b

a x b



     

     

     

     

      

     

     

     

     

     

Ax b ⁱ

i

i

x b

 a

Temel Matematik Bilgileri: Birim Matris - Kolaylıklar

1 1

2 2

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0 _{i i}

x b

x b

x b



   

 

   

 

   

 

   

 

    

 

   

 

   

 

   

 

Ix b

1

i

i i

x  b  b

  

Ix b x b

Temel Matematik Bilgileri: Simetrik Matris

T

T

n n n n

n n n n

 

 



     

   

          

   

         

   

A A

Temel Matematik Bilgileri: Simetrik Matris

T

T

n n n m m n

m m m n n m

  

  





B A A

C A A

B ve C matrisleri simetriktir.

Temel Matematik Bilgileri: Matris Tersi

1 1

1









 A

A A I A A I

   

1

1 1

1 1

1 1

her iki tarafı soldan ^ ile çarparsak

 

 















A

A Ax A b A A x A b Ix A b

x

b

A Ax

b

Temel Matematik Bilgileri: Matris Determinantı (Büyüklük)

A

Excel

•Matris Tersi

•Sistem Çözümü

•Diyagonal Matris ile Çözüm

•Determinant

•Transpose ile Simetrik Matris Oluşturma

Temel Matematik Bilgileri: Matrislerin Bölünmesi

11 12 1 1 1 1

21 22 2 2 2 2

1 2

j n

j n

i i ij in i i

a a a a x b

a a a a x b

a a a a x b



     

     

     

     

      

     

     

     

Ax b

a ₁₁

a ₁₂

a ₂₁

a ₂₂ x ₂

x ₁ b ₁

b ₂

Temel Matematik Bilgileri: Matrislerin Bölünmesi

11 11 1 1

21 21 n n  2 n  1 2 n  1



     

      

     

Ax b

a a x b

a a x b

 

 

21 1 22 2

22 2 21 1

1

2 22 21 1

11 1 12 2 1

1

11 1 12 22 21 1 1

1

11 12 22 21 1 1

1

11 12 22 21

1 1

2.Satır:

1.Satır:

ˆ ˆ









 

 

 

 

  

 

 



a x a x 0 a x a x

x a a x

a x a x b a x a a a x b

a a a a x b a a a a a

ax b

2

11 12 1 1

21 22 2 1 1

: 0

n n n n

Örnek

  



     

      

 

   

b

a a x b

a a x 0

Temel Matematik Bilgileri: Taban Vektörleri (Baz Vektörleri) – Genel

  a a _ a _

x y





v _ v _

Büyüklük Baz Vekt

: Büyüklük

ör :

: leri





v v

v v

 

 

 a

a _{ } v _

 a

a _{ } v _

a

a _ a _

 a

a _{ } v _

x y





v _ v _

 a

a _{ } v _

Temel Matematik Bilgileri: Taban Vektörleri – Birim Vektörler

  a a _ a _

x y





v _ v _

Büyüklük:

Baz Vek

1 Büyüklük

törleri

1 :

:

 

 

v v

v v

 

 

 a

a _{ } v _

 a

a _{ } v _

a

a _ a _

 a

a _{ } v _

x y





v _ v _

 a

a _{ } v _

   a    

Temel Matematik Bilgileri: Taban Vektörleri – Diklik

x y





v _ v _

x y





v _ v _



90

|v _ | = 1

Temel Matematik Bilgileri: Taban Vektörleri – Diklik

x y





v _ v _

x y





v _ v _



90

Vektörler dik değilse, birbirlerine bağlıdırlar. Vektörler dikse, birbirlerine bağlı değillerdir.

Temel Matematik Bilgileri: Taban Vektörleri – Diklik

1

2 1 1 2 2 3 3

3

1

2 1 1 2 2 3 3

3

T T T T

1 1 1 1 1 2 2 1 2 3

T T

1 1 1 1 , eğer baz vektörl

x | | |

x a a a

x | | |

x | | |

x a a a

x | | |

a a a

a

       

       

           

       

       

       

       

           

       

       

  



x v v v

x v v v

v x v v v v v v

v x v v eri dik ise

Excel

•Örnek Baz Vektörleri

•Normalizasyon

Genel Tartışma

1 2 3

1 T

T

, iki türlü çarpım karşımıza çıkmaktadır.

1. Tür: , 2 Tür: ,

| | |

| | |

.



 

 

  

 

 

V v v v

V V V V

V AV ^ V AV

Temel Matematik Bilgileri: Dik Olmayan Baz Vektörleri

1 2 3

1 T

2 1 2 3

3 1 1

2 1 2 3

, baz vektörlerinin olusturduğu matris

1 dik olmayan

0 0 0

| | |

| | |

| | | a b c

e b f

| | | g h i

| | |

| | |



 

 

  

 

 

     

     

       

     

     

   

   

   

 

 

 

 

 

  

    

   

V v v v

v

V V v v v v

v v

V V v v v v

v

1 0 0 0 1

 

  

 

 

 

I

Temel Matematik Bilgileri: Dik Baz Vektörleri

1 2 3

1 T

2 1 2 3

3 1 1

2 1 2 3

, dik baz vektörlerinin olusturduğu matris

0 0

0 0

0 0

1 0 0 0 1 0

| | |

| | |

| | | a

b

| | | c

| | |



 

 

  

 

 

     

     

       

     

     

    

    

     

   

 

 

 

 

 

V v v v

v

V V v v v v

v v

V V v v v v

  

 

 

I

Temel Matematik Bilgileri: Brim-Dik Baz Vektörleri

1 2 3

1 T

2 1 2 3

3 1 1

2 1 2 3

, -dik baz vektörlerinin olusturduğu matris

1 0 0 0 1 0 0 0 1 birim

1 0 0 0

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |



 

 

  

 

 

     

     

        

     

     

   

   

     

   



 

 

 

 

 

    

V v v v

v

V V v v v v I

v v

V V v v v v

v

1 0 0 0 1

 

  

 

 

 

I

Temel Matematik Bilgileri: Dik Olmayan Baz Vektörleri

1 2 3

T

, baz vektörleri icin:

Genel kare bir matrisi için,

S

dik olm

imetrik bir matrisi için,

n aya

| | |

| | |

a b c

e b f

g h i

a b c

e b f



 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

V v v v

A V AV

A V AV

Temel Matematik Bilgileri: Dik Baz Vektörleri

1 2 3

Verilen bir matrisi icin dik baz ,

vektörlerini öyle bir seçilebiliriz ki 0 0

Genel kare bir matrisi için, 0 0 0 0

Simetrik bir matrisi için,

| | |

| | |

a

b

c



 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

V v v v A

A V AV

A ^T

0 0

0 0

0 0 a

b

c



 

 

   

 

 

V AV V AV

Temel Matematik Bilgileri: Dik Baz Vektörleri – Özdeğer Problemi

1 2 3 , Verilen bir matrisi için:

0 0

Baz vektörlerinin 0 0 durumunu saglaması için 0 0

ile matrisleri arasında özel bir bağlantının sağlanması gereki Ö

r zd

.

| | |

| | |

a

b

c

 

 

  

 

 

 

 

  

 

 



V v v v A

V AV

V A



eger Problemi

Temel Matematik Bilgileri: Özdeğer Problemi – Normalleştirme

1 2 3

T

, bazen dik baz vektörlerinin büyüklüğü

1 0 0 Simetrik bir mat

normall

risi için, 0 1 0 olacak şekilde seçilir.

0 0 1

Bu seçim işlemine eştirme (birim yapma) denir

| | |

| | |

 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

V v v v

M V MV

Temel Matematik Bilgileri: Özdeğer Problemleri

1 1

2

: baz vektörleri, özvektö

: baz vektör

: genel veya simetrik bir matris + PD matrisinin

matrisinin

matrisini

: baz matrisi, özvek

k

tö

at

r

n

m rler

atrisi

sa

n n

n n

n n

| | |

| | |

  

 _





 

 

  

 

 

A

A

A

A Φ



1 0 0

0 0 : özdeger matrisi yilari, ö

m

zdegerle

atr

r

isinin

 

 

  A

Λ





Temel Matematik Bilgileri: Standart Özdeğer Problemi

1

1

1 2 2

1

-adet baz vektörleri ve katsayıl : genel bir ma

arı

0 0

,

tris +

0 0

0

P

0

n n D

n n

n

n n

n

n

| | |

| | |











    

   

   

      

   

   

Φ Φ AΦ Λ

A A



 



 







Temel Matematik Bilgileri: Standart Özdeğer Problemi

T T T

1 1 1 2 2 2

1 T

1 2

1

2 1

-adet baz vektörleri ve

: simetrik matris

katsayıları , , ... ,

0 0

,

+

0 0

0 d k

PD

0 i

n n

n n n

n

n n n n

n

| | |

| | |



 













    



  

   

   

      

   

   

A A A

Φ

A A

Φ AΦ Λ

    



 





 

Temel Matematik Bilgileri: Standart Özdeğer Problemi – Özet

1

1 2 2

1 1

: genel bir matris + PD

0 0

, 0 0

0 0

n

n

| | |

| | |

  

 

 

 

   

   

     

   

   

 

Φ Λ

Φ AΦ Λ A ΦΛΦ Φ

AΦ

A Λ A









Temel Matematik Bilgileri: Standart Özdeğer Problemi – Özet

1

1 2 2

T T

T

0 0

, 0 0

0 0

Ayrıca vektörler ise: , : diyag : simet. bir ma

.

genel

tris + PD

n

n

| | |

| | | 







 

   

   

     

   

   

 



Φ Λ

Φ AΦ Λ A ΦΛΦ

Φ Φ D D Φ

A A Φ Λ A

  







Temel Matematik Bilgileri: Genel Özdeğer Problemi

   

1 1

1 1

1 1

-adet dik baz vektörleri ve katsayıla

,

rı

Standard Özdeğer Proble i

: m

n n n n

n

 

 















   











A 

Φ Φ

A Β Β

Β Β

A

Β

Β Β A

Λ

A

A

A A

 



 

 

  

Temel Matematik Bilgileri: Genel Özdeğer Problemi

1 1

1

T T

, simetrik olmayabilir (genel matris) Ancak şu diklik koşulları sağlan

, : simetr

ır:

,

ve : diyagonal matri ik mat

sler ris

di is

r eler;

n n



    



 _A  _B

Β Φ Φ Β Λ

D D

A A

A Β

Β A Φ

A

Φ Φ Φ

D

A Β

D

 

Temel Matematik Bilgileri: Genel Özdeğer Problemi

1 1

T

T

matrisi olacak sekilde seçilebilir Bu duru

, : simetrik

mda

matris isele

olur

r;

n _  n _









I

Φ Φ

Φ Φ Φ

Φ Φ

A A

A

Λ

Λ

Β Β

Β

Β

A

 

Temel Matematik Bilgileri: Özvektörlerin Kullanımı

       

 

   

 

2 2

1 2

, ,

, : sabit matrisler

, 1 zamana bagli vektör

n

d t t t t

dt

n n x t

t x t n

x t

     



 

 

 

   

 

 

 

A x Bx 0 Ax Bx 0 Ax Bx 0

A B

x

Temel Matematik Bilgileri: Özvektörlerin Kullanımı

   

   

T T

T T

T T

: Özvektörler : Özdeğerler

,

t t



 



    

  

  

 

A Β Φ Λ

x Φq

Bx Ax 0 BΦq AΦq 0 Φ BΦq AΦq Φ 0

Φ BΦq Φ AΦq 0 Φ AΦ A Φ BΦ B

 

Özdeğer ve Özvektörlerin Bulunması

       

  ^{ }

 

2

n n n

2

n n

2 n 2

n n

,

0

0 değeri bulunabilir

t sin t t sin t

sin t

  

 



 

 

  

 



  

Mx Kx 0

x x

K M

KX M

K M

 





Excel

•Genel Matris için Özdeğer Problemi

•Simetrik Matris için Özdeğer Problemi