• Sonuç bulunamadı

TEK YÖNLÜ GRUPLANDIRILMIŞ VERİLER İÇİN VARYANSLARIN HOMOJENLİĞİNİN TESTİ

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "TEK YÖNLÜ GRUPLANDIRILMIŞ VERİLER İÇİN VARYANSLARIN HOMOJENLİĞİNİN TESTİ"

Copied!
8
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

T E K YÖNLÜ GRUPLANDIRILMIŞ VERİLER İÇİN VARYANSLARIN HOMOJENLİĞİNİN TESTİ

Dr. S. Ümit Oktay Fırat'

SUMMARY

Several formal tests are available for controlling whether or not k-populations have equal variances. The following four of these are dlscussed İn this paper: Bartlett, Hartley, Cochran and Levene tests.

The c o m p a r a ü v e results of this review are given according to some criteria.

ÖZET

Bu çalışmada, istatistik analize alınacak k- sayıda kütlede, var- yansların eşit olup olmadığının test edilmesini sağlayan Bartlett, Hartley, Cochran ve Levene testleri karşılaştırmalı olarak İncelenmek - tedir.

1. GİRİŞ

İstatistik analizler sırasında, iki veya daha çok sayıda kütlenin, varyans- larınm, birbirinden önemli derecede farklı olup olmadığının testi gerekli olmaktadır2. Özellikle varyans analizinden önce, önemli varsayımlardan biri olan varyansların homojenliğinin sağlanıp sağlanmadığının bilinmesi gerek­

mektedir. Ancak varyansların homojenliğinin testinden önce, verilerin nor- .mallik denetimi yapılmış olmalıdır3. Çünkü aşağıda sırasıyla incelendiği üzere

varyansların homojenliğinde kullanılan testlerin bazıları normal dağılıma uy­

gunluğun sağlanmaması durumuna çok duyarlılık göstermektedirler.

(1) Yrcl. Doç., Marmara Üniversitesi, AT Enstitüsü ve Fen-Edebiyat Fak. Öğr. Üyesi.

(2) Necdet Yurtsever, Deneysel istatistik Metadkır, Toprak ve Gübre Arş. Enst. Yayını, Ankara 1984, s. 220.

(3) S. Ümit Oktay, "Çok Örnekli İstatistik Tesfler, Matematik Esasları ve Bir Uygulama", Yayınlanmamış doktora tezi, İ.Ü. Sosyal Bilimler Ens. İşletme Fak., Muit 1989, s. 58.

(2)

142 İ. U. İşletme Fakültesi Dergisi C: 24 S: 1 /Nisan 1995 Varyanslann karşılaştırılmasını sağlayan testler varyans analizi başlan­

gıcında bir aşama olarak uygulanabilmeleri yanında, farklı amaçlar içinde kullanılabilmektir.

Bu çalışmada ele alınan varyans karşılaştırma yöntemlerinin uygulana­

bilmesi için, verilerin tek bir değişkene göre yani tek yönlü (one-way) grup- landırılmış olması ön koşuldur. Tek yönlü gruplandırılmış olması kaydıyla bu testler çeşitli analizlerin kapsamında kullanılabilmektedir.

II. VARYANSLARIN KARŞILAŞTIRILMASINDA KULLANILAN YÖNTEMLER

H. 1. Bartlett Testi:

İkiden çok sayıda kütlenin varyanslarınm eşitliğinin kontrolünde kulla­

nılan bir yöntemdir1 . Anakütle varyanslarınm eşit olmadığı, fakat az çok tesa­

düfi dağıldığı düşünülüyorsa, çoğunlukla Bartlett testi kullanılmaktadır. Ger­

çekte Bartlett bu testi, Neyman ve Pearson tarafından önerilen olasılık oranı (likelihood-ratio) testini değiştirerek kurmuştur5 . Bartlett yöntemiyle,

: En az iki varyans birbirinden farklıdır.

şeklinde kumlan hipotezler İ) k adet tesadüfi örnek, k adet anakütleden gelmektedir; ii) k adet anakütle normal dağılım göstermektedir varsayımları altında test edilmektedir6 . Bu koşullarda elde edilen B istatistik değeri, (k-1) serbestlik derecesi ile bir ki-kare (%2) dağılımı göstermektedir7 .

Ancak bazı istatistikçiler B istatistiğinin dağılımının, ancak herbir ser­

bestlik derecesi v. = n - 1 > 5 olması halinde %2 - dağılımına yaklaştığını ileri sürmektedir*1 . Aksi durumda İse Merrington ve Thompson tarafından hesaplanan tablolardan, M = B.C yüzdelerinin elde edilerek kullanılması önerilmektedir9. Bu tablonun kullanılmasıyla eğer B yeterince büyükse ( B>

Y veya M = C.B> Merrington ve Thompson tablo değeri) varyansların eşiüiği hipotezi reddedilmektedir.

(4) EdwardJ. Kane, Economtc Statistİcs & Econometrics, Harper& Row, Tokyo, 1969, p.373.

(5) R. LoweI! Wine, Statistİcs for Scieııtists and Engineers, Prenlİce-HalI of Indıa (Pnvate) Ltd., New Delhi, 1966, p.300.

(6) Wiiliam C. Guenther, Analysis of Variance, Sec. Ed., Prentice-Hall Inc., Eng!ewood Cİİffs, N.J., U.S.A., p. 20.

(7) B. Ostle and L.C. Maİone, Statistİcs In Research, Fourth Ed., Iowa State University Press, Ames, Iowa, 1988, s. 196.

(S) Wİne, a.g.e., s. 300.

(9) M. Merrington- CM. Thompson, "Tables for Testing the Homogeneity of a Set Estimated Variances", Bİometrika, Vol: 33, 1946, pp. 292-304.

(3)

İ.Ü. İşletme Fakültesi Dergisi O. 24 S: 1 /Nisan 1995 143

M < % , , . . . olduğunda O l olacağından C'yi hesaplamak gerek- memektedir1 0.

Bu test örnek büyüklüklerinin eşit olmaması durumunda da uygulana­

bilmektedir1 1 .S*. S2Z , , Sk 2 k-adet örnek kütlenin varyansları ve nl 5 n2, nf e örnek büyüklükleri olmak üzere

N = Z nf c

i=t

- - S ( n , - 1) S j2 S2=

. N - k alındığında test istatistik

B = M / C

şeklinde ( k-1) serbestlik derecesi ile hesaplanmaktadır. Burada

— k

M = 2.3026 [ ( N - k ) log S 2 ~ X ( n . - 1 ) log S ,2 ]

veya e tabanına dayalı logaritmalar kullanılarak

— k

M = ( N - k ) m S 2- I ( n . - l ) m S .2

i=l

şeklinde

1 k i l

C - 1 + [ £ 1 3 (k-1) h n . - l N - k

formülleri ile bulunabilmektedir.

Örnek büyüklüklerinin eşit olması ( n]= n2= . . . . = nk= n ) durumunda test istatistik

(10) Oktay, a.g.e., s. 60.

(11) G. W. Snettecor and W. G. Cochran, Stat istical Metbods, Seventh Ed., The ıowa State University Press, Iowa, 1980, p.252.

(4)

144 î. Ü. İşletme Fakültesi Dergisi O 24 S; 1 /Nisan 1995 M - C n - 1 ) [ k ( nS 2 - I I n Sf 2) ]

k+1

- IS

( Z

C =

ı +

ve S 2 :

3k6>l) k formülleri İle hesaplanmaktadır.

Eğer Sj- 1er birbirinden çok farklı ise hesaplanan B istatistiğinin değeri büyümektedir. Sj'ler yaklaşık olarak birbirinin aynı ise istatistiğin değeri küçülmektedir ve böylece Ho sadece büyük değerler için reddedilmektedir1 2. n. , örnek hacimlerinin yeterince büyük olması halinde, O l alınabileceği literatürde yer almaktadır1 3.

Box Transformasyonu: Daha Önce belirtildiği gibi anakütle varyans­

larınm eşit olması durumunda, Barlett test İstatistiğinin dağılımına, ki-kare yaklaşımı, serbestlik derecelerinden herhangi birinin dörtten küçük olması halinde kullanılamamaktadır. Ancak serbestlik derecelerinden bazıları küçük olduğundan veya ayrıca büyük serbestlik dereceleri içinde, Box tarafından geliştirilen B' modifiye Bartlett testi uygun olmaktadır1 , 1. F dağılımından ya­

rarlanılan Modİfiye Bartlett test istatistiği, f2BC

B' =

f, (A - BC)

burada,

f, - k

- 1 k+1 U'

(c-1) 2

f A = 2

2 - C + (2/f )

(12) Guenther a.g.e., s.21.

(13) Abdülkadir Kalıpsız, İstatistik Yöntemler, İ.Ü. Orman Pak. Yayını, İstanbul, 1981, s.280.

(14) J.Neter, W. Wasserınan, M.H. Kutner, Applied Linear Statistical Models, Tlıird Ed., Irwin, Homewood, Boston, 1990, p.6l7.

(5)

/ Ü. İsletme Fakültesi Dergisi C: 24 S: 1 /Nisan 1995 145

dir. Hipotezlerin testi için, I.tip hata riskinin a olduğu uygun bir karar kuralı,

eğer B1 < F ( 1 - a; f f p ise Ho kabul eğerB' > F ( 1 - et; f fp ise H l kabul

şeklindedir. Burada F (1-a; f^O, U ve f2 serbestlik derecelerindeki F dağılımının tablo değeridir. Genellikle f2,' nin değeri tamsayı olmadığı için, F tablosunun kullanılmasında enterpolasyon gerekmektedir.

Bartlett testinin normal dağılımdan uzaklaşma durumuna duyarlı olduğu uygulamalı çalışmalarda görülmektedir. Fırat'ın çalışmasında1 5 . örnek büyüklüklerinin farklı olması nedeniyle tercih edilen Bartlett testi orijinal değerlere uygulandığında, altı gruptan üçü için varyansların heterojen olduğu görülmektedir. Ancak logaritma ve karekök dönüşümleri ile verilerin, nor- malliği arttırılnca B istatistik değerlerinde küçülme olmakta ve logaritma dönüşümü karekök dönüşümünden daha başarılı bir şekilde varyansların ho­

mojenliğini sağlamaktadır, yani nonnormallik giderildiğinde testin sonuçları değişmektedir.

Bu nedenle normallikten uzaklaşma halinde varyansların eşitliğinin testi için, Bartlett testi yerine, nonpaıametrik testler önerilmektedir1 6.

II. Hartley Testi

Örnek hacimlerinin eşit olması durumunda kullanılabilen çok basit bir testtir1 7. Bartlett testinde olduğu gibi anakütlelerin normal dağılması varsa­

yımını gerektirmektedir1 8.

Karşılaştırılacak k-adet kütleden alınan aynı n- büyüklükteki örnek . kütlelerin Sj2 varyanslarınm hesaplanarak, bu varyanslaıdan en büyük değe­

re sahip olan İle en küçük değere sahip olanın karşılaştırılmasından ibarettir.

Bu karşılaştırma da Hartley'in test istatistiği

H = Max(Sf Z) / M i n ( s ,2)

(15) S.Ümit Oktay Pırat, "Varyans Analizi Uygulamalarında Karşılaşılan Sorunlar ve Çözümleri", Araştırma Sempozyumu '91 de sunulan tebliğ, 25-27 Kasım 1991, Ankara.

(16) Nonparametrik testler için hknz: R.E. Glaser, "Batlett's Test of Homogeneity of Varİances", In Encyclopedia of Statîstical Sciences, vol.l, ed. S.Kotz and N.L. Johnson, New York:

John Wiley & Sons, 1982, pp. 189-191.*

(17) R.C. Pfaffenberger and J.H. Patterson, Slattsttcal Methods For Business and Economics, Richard D. Invin, Inc., U S A , 1977, p.384.

(18) Neter ve diğ., a.g.e., S.619.

(6)

146 İ. Ü. İşletme Fakültesi Dergisi C: 24 S: 1 /Nisan 1995 şeklinde hesaplanmaktadır. H istatistiğinin dağılımı anakütle sayısına (k) ve örnek büyüklüğüne bağlıdır, k kütle sayısı ve n örnek büyüklüğüne göre a = 0.05 ve a = 0.01 güven seviyeleri için kritik değerleri veren özel tablolar bulunmaktadır1 9. Hesaplanan H değeri, tablo değerinden küçük veya eşitse varyansların eşit olduğu şeklindeki Ho hipotezi kabul edilmektedir. Testin uygulanması çok basit olmasına karşın, örnek büyüklüklerinin eşit olması koşulu bir kısıt oluşturmaktadır. Ancak örnek hacimleri eşit olmasa da, çok farklı değilse, Hartley testinin yaklaşık bir test olarak kullanlabileceği belirtilmektedir2 0. Bu durumda, tablolarda ortalama serbestlik derecesi kulla­

nılmaktadır. Bunun yanında, normal dağılıma uymama durumuna duyarlı o l ­ ması nedeniyle uygulama da dikkatli davranılması gerekmektedir.

n.3. Cochran Testi

Hartley testi gibi, örnek büyüklüklerinin eşit olması durumunda kullanıla­

bilmektedir2 1 . Varyans analizinde, varyansların homojenliğinin kabaca bir testini yapabilmek için yeterli bir testtir. Örnek kütlelerin varyanslarınm he­

saplanmasından sonra en yüksek varyansm testine dayanan bir yöntemdir.

Max ( Sj 2 ) nin diğer varyanslara kıyasla çok büyük olması halinde bu yöntemin Bartlett ve Hartley yöntemlerine tercih edilmesi görüşü hakimdir2 2 . k örnek kütle sayısı, n örneklerde eşit olan birim sayısı olmak üzere Cohran testinde kullanılan İstatistik,

max(Si2)

G = ( i=l, ... , k ]

I S ,2

şeklinde hesaplanmaktadır, k kütle sayısı ve n örnek büyüklüğüne göre a = 0.05 ve 0.01 güven düzeyleri için G a ; 1 1 I değerlerini veren Özel tablolar bulunmaktadır2 3 Hesaplanan değer, tablo değerinden büyükse Ho hipotezi red, aksi durumda kabul edilmektedir. Hartley testi gibi normal dağlıma u y ­ mama durumunda Cochran testinin de kullanılması sakıncalı bulunmaktadır.

n.4. Levene Testi

Bartlett, Hartley ve Cochran varyans homojenliği testleri, sıfır hipotezini ortalamalar yardımıyla denetlemektedir. Bu testler varyansların heterojen- tiğinden olduğu kadar, normallikten uzaklaşma halinden de etkilen­

mektedirler. İşte nonnormaîlik halinden daha az etkilenen ve grup - içi

(19) H tablosu için bknz: Pfaffenberger, a.g.e., S.718 veya Neter ve diğ., a.g.e., S.1154.

(20) Neter ve diğ., age., S. 620.

(21) Geoffrey Keppel, Destgn and Analysis: A Researcher's Hanbook, Prentice-Hali, Inc., Englewood Cliffs, 1973, P. 81.

(22) Wine, age., 302.

(23) Coclıran testi için G tablosu bknz: Guenther, age., S.184-185.

(7)

İ.Ü. İşletme Fakültesi Dergisi C: 24 S: 1 /Nisan 1995 147 varyanslar arasındaki farklara duyarlık gösteren bir test Levene tarafından önerilmiştir2,1 .

Levene testinde sınıf içi değişkenliğin ölçüsü olarak,

V = ( X rX L) 2 / ( n - l )

sapmaların ortalama karesi yerine, mutlak sapmaların ortalaması

X I X , - X , l / n

kullanılmaktadır. Bu şekilde karelerin alınmaması, testin, normal dağılımdan uzaklaşma (asimetri) dururrıuna olan duyarlığını azaltmaktadır2 5 .Böylece Levene testinin gerçekleştirilmesi, alışılmış varyans analizinin, Xjj gözlem de­

ğerleri yerine, onların, Z , « I X , - X , I

şeklinde dönüştürülmüş değerlerine uygulanmasından ibarettir. Mutlak sapma değerlerine uygulanan tek yönlü varyans analizi sonucunda red kararı alınırsa varyansların heterojen olduğu, aksi durumda homojen olduğu, karan veril­

mektedir.

Levene, Zij değerleriyle varyans analizinin grup-İçi varyansların farklarına duyarlı olduğunu ve normallikten sapmalardan etkilendiğini Monte Carlo yöntemiyle göstermiştir. Zaten Levene testinin en ilginç yanı, Monte Carlo deneylerine dayanarak, ampirik olarak geliştirilmiş olmasıdır2 6. Testin matematik açıdan savunması da ispatlanmış olduğundan varyans heterojenliği için çok uygun bir yöntemdir.

m . SONUÇ

Bu çalışmada, istatistik analizlerin çoğunda önemli olan varyansların homojenliği varsayımının denetimini sağlayan belli başlı testler incelenmiş ve karşılaştırmalı üstünlükleri ile tercih edilme koşulları belirlenmiştir.

1. Bartlett, Hartley ve Cochran testleri verilerin normallik varsayımını sağ­

lamaması haline duyarlık göstermektedir. Levene testi normallikten sapmalar­

dan etkilenmemektedir. Normal dağılım varsayımının fazlaca ihlal edildiği, asimetrisi yüksek verilerde Levene testinin tercih edilmesi görüşü hakimdir.

(24) Keppel, age., S. 81.

(25) Snetlecor and Cochran, age., S. 253.

(26) H, Levene, lu ConHibııtioııs to Probabüity and Statistİcs, Slanford Univ. Press, Stanford, Calif., 1960, p. 278.

(8)

148 İ. Ü. İşletme Fakültesi Dergisi O 24 S: 1 /Nisan 1995 2. Örnek büyüklüklerinin eşit olması durumunda uygulanabilen Cochran testi, en büyük varyans değerinin, diğerlerine kıyasla çok büyük olması halin­

de Bartlett ve Hartley'e tercih edilmelidir.

3. Bartlett testi, farklı örnek hacimleri durumunda kullanılabilmektedir.

Hartley testi ise örnek hacimlerinin eşit olmadığı, ancak farklarında büyük olmadığı durumda yaklaşık bir sonuç verebilmektedir.

KAYNAKLAR

1 - Fırat, S.Ü.O. "Varyans Analizi Uygulamalarında Karşılaşılan Sorunlar ve Çözümleri", Araştırma Sempozyumu'91 de sunulan tebliğ, 25-27 Kasım DİE, Ankara, 1991.

2- Glaser, R.E., "Bartlett's Test of Homogeneity of Variances", In Encylopedİa of Statistical Sciences, vol.l, ed. S, Kotz and N.L. Johnson, John Wiley & Sons, New York, 1982, pp. 188-191.

3 - Guenther, W . C , Analysis of Variance, Sec. Ed., Prentice-Hall Inc., Englewo6d Cliffs, NJ., USA., 1964.

4 - Kalıpsız, A., İstatistik Yöntemler, İ.Ü. Orman Fak. Yayını, İstanbul, 1981.

5 - Kane, E.J., Economic Statistİcs & Econometrics, Harper and Row, Tokyo, 19Ğ9.

6 - Keppel, G . , Design and Analysis: A Researcher's Handbook, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ., 1973.

7 - Levene, H., In Contributions to Probability and Statistİcs, Stanford Univ. Press., Stanford., 1960. '

8 - Merrington, M. Thomson, C.M., "Tables for Testing the Homogeneity a Set Estİmated Variances", Biometıika, Vol: 33, 1946, pp. 292-304.

9 - Neter, J., Wasserman, W., Kutner, M,H. Applied Linear Statistical Models, Third Ed., Irwin, Homt'wood, Boston, 1990.

10 - Oktay, S.Ü., "Çok Örnekti İstatistik Testler, Matematik Esasları ve Bir Uygulama ", Yayınlanmamış Doktora Tezi, İ.Ü. İşletme Fak., İstanbul, 1989¬

11 - Ostle, B. and Malone, L.C., Statistİcs In Research, Fotuth Ed., lowa State University Press, Ames, Iowa, 1988.

12 - Pfaffenberger, R.C. and Patterson, J.H., Statistical Methods For Business and Economics, Richards D. Irwin, Inc., USA., 1977.

13 - Snedecor, G.W. and Cochran, W.G., Statistical Methods, Seventh Ed., The Iowa State University Press, Iowa, 1980.

14 - Wine, R.L., Statistİcs for Scientists and Engineers, Prentice-Hall of Indîa (Private) Ltd., New Delhi, 1966.

15- Yurtsever, N., Deneysel İstatistik Metotlar, Toprak ve Gübre Arş. Enst. Yayını, Ankara, 1984.

Referanslar

Benzer Belgeler

Örneğin, 1200 ışık yılı (bir ışık yılı yaklaşık 10 trilyon km’dir) uzaklıktaki Orion Bulutsusu gökyüzünde Ay’dan biraz büyük görünür.. Ama gerçekte 25

İngiltere Başbakanı Tony Blair, gelecek ay yapılacak sanayileşmiş ülkeler grubu G-8 zirvesinde, Washington yönetimini iklim de ğişikliğine ilişkin bir anlaşmaya ikna

Zavallı kutup ayılarının iznini bile almadan bastığınız resimleriyle dizayn etti ğiniz kredi kartı reklamlarıyla Al Gore konferansı sponsorluğu yapabilirsiniz mesela..

Kuwet lice -durmadan- yıllarca çekildik- ce o ana halkadan, zincirin d iğer hal k aları da arkadan bir bir geliyordu. Temel zemberek, beyni gelişt i ren

Bir gün kazan doğuracak tenceremizi kaynatmaya başladık, tencerenin sıcaklığı pazara gelen “ bilinçli tüketicileri” tezgah ımıza davet etti; sohbete başladık,

Tasavvufi edebiyat bünyesinde, divan edebiyatı, aşık edebiyatı, halk edebiyatı ve hatta yeni edebiyat tarzını benimseyen sanatçıların yer alması, bu edebiyatın muayyen bir

Zaten -flu dok- torlar sigara içmese, flu ö¤retmenler sigara içmese, hele ana- babalar sigara içmese benim körpecik yavrular›m niye sigara iç- sinler ki.. Sigara içme

• Daha sonra gruplararası kareler ortalaması grupiçi kareler ortalamasına bölünerek F değeri elde edilir. • Son olarak da hesaplanan F değeri ilgili serbestlik derecesi