ÜN‹TE I

 ^{ÜN‹TE I}

PR‹ZMALAR

1. PR‹ZMAT‹K YÜZEY VE TANIMLAR 2. PR‹ZMA

a. Tan›m

b. Prizman›n Özelikleri 3. D‹K PR‹ZMA

a. Tan›m

b. Dik Prizman›n Özelikleri 4. E⁄‹K PR‹ZMA

a. Tan›m

b. E¤ik Prizman›n Özelikleri 5. DÜZGÜN PR‹ZMA

a. Tan›m

b. Düzgün Prizman›n Özelikleri 6. PARALELYÜZ

a. Tan›m

b. Paralelyüzün Özelikleric. Dik Paralelyüz 7. D‹KDÖRTGENLER PR‹ZMASI

a. Tan›m

b. Dikdörtgenler Prizmas›n›n Özelikleri 8. KÜP

a. Tan›m

b. Küpün Özelikleri 9. PR‹ZMANIN ALANI 10. PR‹ZMANIN HACM‹

a. Tan›m

b. Dikdörtgenler Prizmas›n›n Hacmi c. Dik Prizman›n Hacmi

ç. E¤ik Prizman›n Hacmi 11. EULER (ÖYLER) BA⁄INTISI 12. CAVAL‹ER‹ (KAVAL‹YE) ‹LKES‹

13. ÇEfi‹TL‹ ÖRNEKLER ÖZET

ALIfiTIRMALAR TEST I

* Kat› cisimlerin alan ve hacimlerine ait konular› daha iyi ö¤renebilmek için

‹lkö¤retim Matematik ders kitaplar›n› gözden geçiriniz.

* Konular› anlamadan bir baflka konuya geçmeyiniz.

* Örnek sorular› dikkatle okuyunuz. Kitaba bakmadan çözmeye çal›fl›n›z.

* Elinizdeki yard›mc› kitaplardan faydalan›n›z.

* Her bölümün sonunda verilen al›flt›rma ve de¤erlendirme sorular›n› çözünüz.

* Test sorular› ile kendinizi deneyiniz. Baflar›s›z iseniz baflar›s›z oldu¤unuz bölümleri tekrar gözden geçiriniz.

Bu üniteyi çal›flt›¤›n›zda;

* Prizmatik yüzey neye denir? Nas›l meydana gelir? Bunlara ait tan›mlar› ve aralar›ndaki iliflkiyi kavrayabilecek,

* Prizman›n tan›m›n› ve özeliklerini ö¤renebilecek,

* Dik prizma, e¤ik prizma, düzgün prizma, paralelyüz gibi özel prizmalar›n tan›m›n›

ve özeliklerini ayr› ayr› ö¤renebilecek,

* Dikdörtgenler prizmas›n›n tan›m›n›, özeliklerini, bunlara ait teoremleri ve uygula malar›n nas›l yap›ld›¤›n› kavrayabilecek,

* Küpün tan›m›n› ve özeliklerini ve bu özeliklerine ait uygulamalar› yapabilecek,

* Prizman›n alan›na ait teoremleri ve bu teoremlere ait uygulamalar›n nas›l yap›ld›¤›n› kavrayabilecek,

* Prizman›n hacmine ait tan›m›, dikdörtgenler prizmas›n›n dik prizman›n, e¤ik prizman›n hacmine ait teoremleri ve bu teoremlere ait uygulamalar›n nas›l yap›ld›¤›n›

kavrayabilecek,

* Bütün prizmalar aras›ndaki Euler ba¤›nt›s›n› bulabilecek,

* Dik prizma ve e¤ik prizma aras›ndaki Cavalieri ‹lkesini aç›klayabileceksiniz.

BU ÜN‹TEN‹N AMAÇLARI

☞

NASIL ÇALIfiMALIYIZ?

✍

ÜN‹TE I PR‹ZMALAR 1. PR‹ZMAT‹K YÜZEY VE TANIMLAR

(fiekil 1.1) deki gibi P ve Q düzlemleri birbirine paralel olup, d do¤rusu P d ü z l e m i n i K, Q düzlemini L noktas›nda kesmektedir.

P düzlemi içinde ABCDE düzlemsel fleklinin çevresi üzerindeki her noktadan, [KL] do¤ru parças›na paralel do¤rular çizildi¤inde, Q düzleminde A′ B′ C′ D′ E′ fl e k l i n i meydana getirir. Böylece oluflan flekle, prizmatik yüzey denir.

[KL] do¤ru parças›na, prizmatik yüzeyin ana do¤rusu denir.

ABCDE düzlemsel fleklinin köflelerinden, [KL] do¤ru parças›na çizilen parelel do¤rulara, yan ayr›tlar d e n i r. Ard›fl›k iki yan ayr›t aras›nda kalan düzlem parças›na, prizmatik yüzeyin yan yüzleri denir.Düzlemsel flekil kaç kenarl› ise, o kadar yan yüzü vard›r.

Bir prizmatik yüzeyin bir düzlemle kesilmesinden elde edilen çokgene, düzlemsel kesit veya sadece kesit denir. E¤er kesit düzlemi yan ayr›ta dik olursa, elde edilen kesite dik kesit denir.

Bir prizmatik yüzeyin parelel iki düzlemle kesilmesinden elde edilen iki çokgen birbirine eflittir. Prizmatik yüzeyin dik kesitleri de birbirine eflittir.

Bir prizmatik yüzeyin birbirine paralel düzlem kesitlerinden her birine, prizman›n tabanlar› denir.

Prizmalar tabanlar›n›n flekillerine göre adland›r›l›r. Üçgen prizma, kare prizma, dikdörtgenler prizmas› gibi.

fiekil 1.1

❂

❂

❂

❂

➠

2. PR‹ZMA a. Tan›m

Bir prizmatik yüzey ile bunun yan ayr›tlar›n› kesen paralel iki düzlem taraf›ndan s›n›rlanan cisme, prizma denir.

Birbirine eflit olan kesit çokgenlere, prizman›n tabanlar› ve ABCD çokgenine alt taban, A′B′C′D′ çokgenine üst taban denir (fiekil 1.2).

AA′, BB′, CC′, DD′ ye prizman›n yan ayr›tlar›, ABB′A′, BCC′B′, ... dörtgenlerine prizman›n yanal yüzleri denir.

Bütün yanal yüzlerin alanlar› toplam›na yanal alan, tabanlar›n alanlar› ile yanal alan›n toplam›na tüm alan denir.

Prizman›n iki taban› aras›ndaki HH′ uzunlu¤una prizman›n yüksekli¤i denir.

Bir prizmada ayn› yüz içindeki iki köfleyi birlefltiren [BA′] do¤ru parças›na, bu prizman›n yüz köflegeni denir.

Bir prizmada, ayn› yüz içinde bulunmayan iki köfleyi birlefltiren [BD′] do¤ru parças›na da, bu prizman›n cisim köflegeni denir.

b. Prizman›n Özelikleri

1. Bir prizman›n yanal yüzleri, birer paralelkenard›r.

2. Bir prizman›n yan ay›rtlar›, birbirine paralel ve eflittir.

3. Bir prizman›n dik kesitleri, birbirine eflittir.

fiekil 1.2

❂

❂

❂

❂

❂

❂

➠

3. D‹K PR‹ZMA a. Tan›m

Yan ayr›tlar› taban düzlemine dik olan prizmaya, dik prizma denir (fiekil 1.3).

b. Dik Prizman›n Özelikleri

1. Bir dik prizman›n yanal yüzleri dikdörtgendir.

2. Bir dik prizman›n yan ayr›tlar› yüksekli¤e eflittir.

3. Taban ve yükseklikleri eflit olan iki dik prizma birbirine eflittir.

4. E⁄‹K PR‹ZMA a. Tan›m

Yan ayr›tlar› taban düzlemine dik olmayan prizmalara, e¤ik prizma veya sadece prizma denir (fiekil 1. 4).

fiekil 1.3

fiekil 1. 4

❂

❂

➠

b. E¤ik Prizman›n Özelikleri

1. E¤ik prizman›n, yan yüzleri paralelkenard›r ve birbirine eflittir.

2. E¤ik prizman›n, alt ve üst tabanlar› birbirine eflittir.

3. E¤ik prizman›n, dik kesit alanlar› birbirine eflittir.

4. E¤ik prizmada dik kesit, tabanlara efl de¤ildir.

5. DÜZGÜN PR‹ZMA a. Tan›m

Tabanlar› düzgün çokgen olan dik prizmaya, düzgün prizma denir (fiekil 1.5).

fiekil 1.5

b. Düzgün Prizman›n Özelikleri

1. Düzgün prizman›n yanal yüzleri, birbirine eflit dikdörtgenlerdir.

2. Düzgün prizman›n tabanlar›, düzgün çokgendir.

3. Düzgün çokgenin yan ayr›tlar›, taban düzlemine diktir.

4. Düzgün prizman›n taban köfleleri bir çember üzerindedir. Bu çemberin merkezlerini birlefltiren do¤ruya, eksen denir.

❂

➠

➠

fiekil 1. 6

6. PARALELYÜZ a. Tan›m

Tabanlar› paralelkenar olan prizmaya, paralelyüz denir(fiekil 1. 6).

Bir paralelyüzün alt› yüzüde paralelkenard›r. Bu yüzlerden herhangi bir yüzü, taban olarak alabiliriz.

Bir paralelyüzde oniki ayr›t›, sekiz köflesi ve dört tane de cisim köflegeni vard›r.

b. Paralelyüzün Özelikleri

1. Bir paralelyüzün ayr›tlar›, dörder dörder eflit ve pareleldir.

2. Bir paralelyüzün karfl›l›kl› yüzleri, birbirine eflittir.

3. Bir paralelyüzün cisim köflegenleri, birbirini orta noktalar›nda keserler.

c. Dik Paralelyüz

Tabanlar› paralelkenar, yan ayr›tlar› tabana dik olan paralelyüze, dik paralelyüz denir(fiekil 1.7).

Dik paralelyüzün tabanlar› birer paralelkenar olup, karfl›l›kl› yanal yüzler, birbirine eflit dikdörtgendir.

❂

❂

➠

❂

❂

fiekil 1.7

fiekil 1.8

7. D‹KDÖRTGENLER PR‹ZMASI a. Tan›m

Tabanlar› dikdörtgen olan dik prizmaya, dikdörtgenler prizmas› denir (fiekil1.8).

Dikdörtgenler prizmas›nda, bir köflede kesiflen üç ayr›ta, bu dikdörtgenle prizas›n›n boyutlar› denir.

Bu üç boyut, uzunluk, genifllik ve yüksekliktir. (fiekil 1.8) de, |AB| = a (uzunluk)

|BC | = b (genifllik), |CC′| = c (yükseklik) ile gösterilmifltir.

➠

fiekil 1. 9

b. Dikdörtgenler Prizmas›n›n Özelikleri

1. Dikdörtgenler prizmas›n›n tüm yüzleri dikdörtgendir.

2. Dikdörtgenler prizmas›n›n 6 yüzü vard›r. Karfl›l›kl› yüzler birbirine efl ve paraleldir.

3. Dikdörtgenler prizmas›n›n, 12 ayr›t› vard›r. Karfl›l›kl› ayr›tlar›, birbirine paralel ve uzunluklar› eflittir.

4. Dikdörtgenler prizmas›n›n, 8 tane köflesi vard›r.

5. Dikdörtgenler prizmas›nda, bir köflesinde kesiflen üç ayr›t› birbirine diktir.

6. Dikdörtgenler prizmas›n›n cisim köflegenleri, uzunlukça birbirine eflittir.

Te o rem: Bir dikdörtgenler prizmas›nda, bir cisim köflegeninin uzunlu¤unun karesi, bir köfleden ç›kan üç ayr›t›n›n uzunluklar›n›n karelerinin toplam›na eflittir.

Ispat: (fiekil 1. 9) daki ABC dik üçgeninde, pisagor teoremine göre,

|AC|²= |AB|²+ |BC|²

|AC|²= a²+ b²dir.

A′AC dik üçgeninde pisagor teoremine göre,

|A′C|²= |AC|²+ |AA′|² olup,

|AC|²nin de¤eri yerine yaz›l›rsa,

|A′C|²= a²+ b²+ c² olarak bulunur.

➠

❂

ÖRNEK 1. 1

Ayr›tlar›n›n uzunluklar› 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan bir dikdörtgenler prizmas›n›n cisim köflegeninin uzunlu¤unun kaç santimetre oldu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen dikdörtgenler prizmas›n›n ayr›tlar›n›n uzunluklar› a= 3 cm, b= 4 cm ve c= 5 cm dir.

Ayr›t uzunluklar› a, b, c olan bir dikdörtgenler prizmas›n›n cisim köflegenin uzunlu¤u,

8. KÜP a. Tan›m

Tüm ayr›tlar› birbirine eflit olan dikdörtgenler prizmas›na küp denir (fiekil 1.10).

4. Küpün, bir cisim köflegeni geçti¤i köfledeki ayr›tlarla, eflit aç›lar yaparlar.

5. Bir küpün bir kenar›n›n uzunlu¤u a, cisim köflegeninin uzunlu¤u k ise, küpün bir b. Küpün Özelikleri

1. Küpün, alt› yüzü de kare olup birbirine eflittir.

2. Küpün, tüm ayr›tlar›n›n uzunluklar› birbirine eflittir.

3. Küpün, bir ayr›t›n›n uzunlu¤u a birim ise, her yüzündeki yüz köflegen uzunlu¤u, k = a²+b²c² oldu¤undan,

k = 3²+4²+5² = 9+16+25 = 50 = 5 2 cm olur

fiekil 1.10

a 2 birim ve cisim köflegen uzunlu¤u, a 3 birimdir.

kenar›n›n uzunlu¤unun, cisim köflegenin uzunlu¤u cinsinden de¤eri, a = k 3 dür.

‹spat: Yukar›daki (fiekil 1.11) de e¤ik prizma ile, (fiekil 1.12) de e¤ik prizman›n aç›n›m› görülmektedir. Bu prizman›n yan ayr›t›n›n uzunlu¤u |AA′|, dik kesiti MNKL çokgeni olsun. Dik kesitin kenarlar›, prizman›n her biri paralelkenar olan yan yüzlerinin yükseklikleridir. Bu dört paralelkenar›n alanlar› toplam›, e¤ik prizman›n yanal alan›na eflit olaca¤›ndan,

Yanal alan = |AA′| . (|MN| + |NK| + |KL| + |LM|) dir. Buna göre, Yanal alan = (Yan ayr›t uzunlu¤u) . (Dik kesit çevresi) olur.

ÖRNEK 1. 2

ÇÖZÜM

9. PR‹ZMANIN ALANI

Te o rem: E¤ik bir prizman›n yanal alan›, dik kesit çerçevesi ile yan ayr›t uzunlu¤unun çarp›m›na eflittir.

Bir küpün, cisim köflegenin uzunlu¤u 6 3 cm oldu¤una göre, bu küpün bir

Verilen küpün cisim köflegeninin uzunlu¤u k = 6 3 cm dir. Bir kenar›n›n uzunlu¤u

a ise, bu küpün bir kenar›n›n uzunlu¤u, cisim köflegenin uzunlu¤u cinsinden de¤eri kenar›n›n uzunlu¤u, kaç santimetre oldu¤unu bulal›m.

a= k 3

3 oldu¤undan, a= 6 3 . 3 3 = 18

3 = 6 cm olur.

fiekil 1.11

fiekil 1.12

❂

❂

Bu teoreme göre afla¤›daki ifadeleri söyleyebiliriz.

1. Bir dik prizman›n yanal alan›, taban çevresi ile yüksekli¤inin çarp›m›na eflittir.

Y = Ç . h d›r.

2. Herhangi bir prizman›n tüm alan›, yanal alan› ile taban alan›n›n iki kat›n›n toplam›na eflittir. S = Y + 2G d›r.

3. Dikdörtgenler prizmas›n›n bir köfleden ç›kan ayr›tlar›n›n uzunluklar› a, b, c ise tüm alan›, S = 2 (a . b + b . c + c . a) d›r.

4. Bir kenar›n›n uzunlu¤u a birim olan bir küpün tüm alan›, S = 6a²birimkaredir.

ÖRNEK 1.3

Taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 4 cm olan düzgün alt›gen dik prizman›n yüksekli¤i 8 cm dir. Bu prizman›n yanal alan›n›n, kaç santimetrekare oldu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen düzgün alt›gen dik prizman›n bir kenar›n›n uzunlu¤u a = 4 cm ve yüksekli¤i h = 8 cm dir. Yanal alan›n› bulmak için önce taban çevresini bulal›m.

Ç = 6 . a ifadesinden, Ç = 6 . 4 = 24 cm dir.

Bu prizman›n yanal alan›: Y = Ç . h oldu¤undan, Y = 24 . 8 = 192 cm²olur.

10 . PR‹ZMANIN HACM‹

a. Tan›m

Bir cismin uzayda kaplad›¤› yere, bu cismin hacmi denir.

Bir hacmi ölçmek demek, seçilen bir birim hacmin, verilen hacim içerisinde, kaç defa bulundu¤unu aramak demektir. Bulunacak say›ya, bu hacmin ölçümü denir.

Bir kenar›n uzunlu¤u birim olarak al›nan her küp, hacim birimi olabilir. Bunlar mm³, cm³, dm³, m³, dam³, hm³, km³hacim birimi olarak kullan›l›r.

Ölçümleri eflit olan iki hacim eflittir. Çünkü her ikisinde de, birim küplerden ayn›

miktarda var demektir.

Karfl›t olarak, eflit iki hacmin, ölçümleri de eflittir. Hacimleri eflit olan cisimlerin flekilleri baflka baflka olabilir. Böyle iki cisme, eflde¤erli veya denk cisimler denir.

b. Dikdörtgenler Prizmas›n›n Hacmi

Te o rem: Bir dikdörtgenler prizmas›n›n hacmi, bir köflesinden geçen üç ayr›t uzunlu¤unun çarp›m›na eflittir.

‹spat: Bir dikdörtgenler prizmas›n›n ayr›t uzunluklar›, a, b ve c birim olsun. Bu dikdörtgenler prizmas›n›n taban› a. b birim kareye ayr›l›r (fiekil 1.13).

Her kare üzerine bir birimküp oturtularak, a . b birimküplük bir tabaka elde edilir (fiekil 1.14).

fiekil 1.13

fiekil 1.14

Dikdörtgenler prizmas›n›n yüksekli¤i c birim oldu¤undan, bu prizmalarda bu tabakalardan c tane vard›r (fiekil 1.15).

O halde, dikdörtgenler prizmas›n›n hacmi, V = a . b . c birimküptür.

Bu teoreme göre afla¤›daki ifadeleri söyleyebiliriz.

1. Bir dikdörtgenler prizmas›n›n hacmi, taban alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›na eflittir.

Boyutlar› a, b ve c ile gösterilen bir dikdörtgenler prizmas›nda, a . b çarp›m›

dikdörtgenler prizmas›n›n taban alan›, c ise yüksekli¤i oldu¤undan, hacmi, V = G. h d › r.

2. Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u a birim olan bir küpün hacmi, V = a . a . a = a³ b i r i m k ü p t ü r.

ÖRNEK 1. 4

Boyutlar›, a = 6 cm, b = 8 cm ve c = 4 cm olan dikdörtgenler prizmas›n›n hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen dikdörtgenler prizmas›n›n boyutlar› a = 6 cm, b = 8 cm ve c = 4 cm dir.

Bir dikdörtgenler prizmas›n›n hacmi: V = a . b . c oldu¤undan, V = 6 . 8 . 4 = 192 cm³olur.

fiekil 1.15

ÖRNEK 1.5

Bir kenar›n›n uzunlu¤u 7 cm olan bir küpün hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen küpün bir kenar›n›n uzunlu¤u a = 7 cm dir.

Bir kenar›n›n uzunlu¤u a olan küpün hacmi, V = a³oldu¤undan, V = 7³= 7 . 7 . 7 = 343 cm³ olur.

c. Dik Prizman›n Hacmi

Bir dik prizman›n hacmi, taban alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›na eflittir.

Taban alan› G, yüksekli¤i h olan bir dik prizman›n hacmi, V = G . h d›r.

ÖRNEK 1. 6

Bir kare dik prizman›n yüksekli¤i 8 cm dir. Taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 12 cm oldu¤una göre, bu kare dik prizman›n hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen kare dik prizman›n yüksekli¤i h = 8 cm ve taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u a = 8 cm dir.

Bir dik prizman›n hacmi, taban alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›na eflit oldu¤undan, önce taban›n›n alan›n› bulal›m.

Taban alan›: G = a² oldu¤undan, G = 12²= 144 cm²dir.

Dik prizman›n hacmi: V = G . h oldu¤undan, V = 144 . 8 = 1152 cm³olur.

ç. E¤ik Prizman›n Hacmi

Bir e¤ik prizman›n hacmi, dik kesitinin alan› ile bir yan ayr›t uzunlu¤unun çarp›m›na eflittir.

Bir e¤ik prizmada, K dik kesit alan›n›, l ise yan ayr›t›n› gösterirse, V = K . l dir.

Teorem: Bir e¤ik prizman›n hacmi, taban alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›na eflittir.

Bir e¤ik prizman›n taban alan› G, yüksekli¤i h ise, hacmi V = G . h d›r.

‹spat: (fiekil 1.16) da, taban› ABC üçgeni olan bir e¤ik prizman›n dik kesiti DEF olsun.

Dik kesit düzlemi, ile taban düzlemi aras›ndaki aç›n›n ölçüsü,

DEF üçgeni, ABC üçgeninin dik kesit düzlemi üzerindeki dik izdüflümü oldu¤undan, K = G . cos α d › r.

E¤ik prizman›n hacmi, V= K.l oldu¤undan, buldu¤umuz de¤erleri yerine yazarsak,

ÖRNEK 1. 7

Taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 4 cm olan kare prizman›n yan ayr›t›n›n uzunlu¤u 6 cm ve bu ayr›t›n›n taban düzlemiyle yapt›¤› aç›n›n ölçüsü 60° oldu¤una göre, bu e¤ik kare prizman›n hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen e¤ik kare prizman›n bir kenar›n›n uzunlu¤u a = 4 cm, yanal ayr›t›n›n uzunlu¤u l = 6 cm ve yanal ayr›t›n›n taban düzlemi ile yapt›¤› aç›n›n ölçüsü a = 60° dir.

fiekil 1.16

s DKA = s CC´H = α d›r. (kenarlar› birbirine dik aç›lar oldu¤undan eflittir).

Δ Δ A ABC = G ve A DEF = K ile gösterirsek,

CHC′ dik üçgeninde, |CC′| = l ve |C′H| = h ise, cos α = h l dir.

Buradan, l = hcos α olur.

V = G . cos α . hcos α = G . h olur.

B′BH dik üçgeninde, h = l . sin 60° dir.

11. EULER (ÖYLER) BA⁄INTISI

Bütün prizmalar aras›na; Köfle say›s›+ yüzey say›s› - ayr›t say›s› = 2 ba¤›nt›s› vard›r.

Bu ba¤›nt›, matematikçi Euler (Öyler) taraf›ndan bulundu¤u için, kendi ad›yla an›l›r.

ÖRNEK 1. 8

Verilen üçgen prizma, dörtgen prizma ve alt›gen prizman›n, Euler ba¤›nt›s›n› sa¤lay›p, sa¤lamad›¤›n› gösterelim.

ÇÖZÜM

Üçgen prizmada; 6 köfle, 5 yüzey ve 9 ayr›t vard›r.

Dörtgen prizmada; 8 köfle, 6 yüzey ve 12 ayr›t vard›r.

Alt›gen prizmada; 12 köfle, 8 yüzey ve 18 ayr›t vard›r.

(fiekil 1.17) de, ABCD kare düzlemine B′H = h dikmesini çizelim.

fiekil 1.17

h = 6 . 3

2 = 3 3 dür.

G = a² ifadesinden, G = 4² = 16 cm² dir.

E¤ik prizman›n hacmi: V = G. h oldu¤undan, V = 16 . 3 3 = 48 3 cm³ olur.

l = 6 cm ve sin 60° = 3

2 oldu¤undan,

O halde, Euler (Öyler) ba¤›nt›s›n› sa¤l›yor.

12. CAVAL‹ER‹ (KAVAL‹YE) ‹LKES‹

Tabanlar›n›n alanlar› ve yükseklikleri eflit olan iki cismin, tabanlar›na paralel ve tabanlardan ayn› uzakl›ktaki kesitlerinin alanlar› eflit olursa, bu iki cismin hacimleri de eflit olur.

Bu bilgiye dayanarak e¤ik prizmalar›n hacimlerini, ayn› taban ve ayn› yükseklikteki dik prizmalar›n hacimleri ile karfl›laflt›rabiliriz.

O halde, taban alanlar› ve tabanlardan eflit uzakl›ktaki kesitlerin alanlar› eflit olan e¤ik veya dik prizmalar›n yükseklikleri eflit ise, hacimleri de eflit olur.

Dik prizman›n hacmi V = G . h oldu¤undan, ayn› hacimli e¤ik prizman›n hacmi de, V = G . h olur.

13. ÇEfi‹TL‹ ÖRNEKLER ÖRNEK 1.9

Bir dikdörtgenler prizman›n ayr›tlar›n›n uzunluklar› 2, 3, 4 say›lar› ile orant›l›d›r.

Tüm alan› 52 cm²oldu¤una göre, bu dikdörtgenler prizmas›n›n, hacminin kaç santimetreküp oldu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM

Dikdörtgenler prizmas›n›n ayr›tlar›n›n uzunluklar› a, b, c olsun. Orant› katsay›s› k ise , Prizmalardaki bu de¤erleri bir tabloda gösterelim

fieklin ‹smi Köfle Say›s› Yüzey Say›s› Ayr›t Say›s› Sonuç

Üçgen prizma 6 5 9 6+5-9=2

Dörtgen prizma 8 6 12 8+6-12=2

Alt›gen prizma 12 8 18 12+8-18=2

a 2 = b

3 = c

4 = k d›r. Buradan, a = 2k, b = 3k, c = 4k olur.

ÖRNEK 1.10

Taban›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 6 cm ve yüksekli¤i 8 cm olan kare dik prizman›n alan›n›n, kaç santimetrekare oldu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen kare prizman›n taban›n bir kenar›n›n uzunlu¤u a = 6 cm ve yüksekli¤i h = 8 cm dir.

Buna göre, kare prizman›n Taban alan›: G = a²= 6²= 36 cm²dir.

Taban çevresi : Ç = 4 . a = 4 . 6 = 24 cm dir.

Yan alan›: Y = Ç . h = 24 . 8 = 192 cm²dir.

Tüm alan›: S = Y + 2G = 192 + 72 = 264 cm²olur.

ÖRNEK 1. 11

ÇÖZÜM

Verilen düzgün alt›gen dik prizman›n, taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u a = 2 cm Taban›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 2 cm ve yüksekli¤i 10 3 cm olan düzgün alt›gen dik prizman›n, hacminin kaç santimetreküp oldu¤unu bulal›m.

ve yüksekli¤i h =10 3 cm dir.

Tüm alan› 52 cm² oldu¤undan,

S = 2 a . b + a . c + b . c ifadesinde de¤erleri yerine yazarsak,

52 = 2k . 3k + 2k . 4k + 3k . 4k 52 =2 6k² + 8k² + 12k²

52 =52 k² ise, k = 1 dir. Buradan, a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm dir.

Dikdörtgenler prizmas›n›n hacmi: V = a . b . c ifadesinden, V = 2 . 3 . 4 = 24 cm³ olur.

Düzgün alt›genin taban›, kenar uzunluklar› ayn› olan 6 tane eflkenar üçgenin toplam›ndan meydana gelir.

ÖRNEK 1.13

Taban kenarlar›n›n uzunluklar› 9 cm, 12 cm olan, bir dikdörtgen e¤ik prizman›n, 8 cm uzunlu¤undaki yan ayr›t›n›n, taban düzlemi ile 30° aç› yapmaktad›r. Bu prizman›n hacminin kaç santimetreküp oldu¤unu bulal›m.

ÖRNEK 1.12

Cisim köflegeninin uzunlu¤u 15 cm ve taban›n›n uzun kenar› 4cm, k›sa kenar› 3 cm olan, bir dikdörtgenler prizmas›n›n hacminin kaç santimetreküp oldu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen dikdörtgenler prizmas›n›n cisim köflegen uzunlu¤u k = 15 cm ve taban›n›n uzun kenar› a = 4 cm, k›sa kenar› b = 3 cm dir.

Dikdörtgenler prizmas›n›n hacmini bulmak için, önce yüksekli¤i olan c kenar›n›n Bir eflkenar üçgenin alan›: a² 3

4 = 4 3

4 = 3 cm² dir.

Düzgün alt›genin taban alan› : G = 6. 3 = 6 3 cm² dir.

Düzgün alt›genin hacmi : V = G.h = 6 3 . 10 3 = 180 cm³ olur.

uzunlu¤unu bulal›m. Cisim köflegenin uzunlu¤u, k = a² + b² + c² ve k2 = a2 + b2 + c2 oldu¤undan,

152 = 42 + 32 + c2 ⇒ 225 = 16 + 9 + c2 , c2 = 225 - 25 ; c2 = 200 ise, c = 10 2 cm dir.

Dikdörtgenler prizmas›n›n hacmi : V = a . b . c ifadesinden, V = 4 . 3 . 10 2 = 120 2 cm³ olur.

ÇÖZÜM

(fiekil 1.18) de, taban› dikdörtgen olan e¤ik prizman›n taban kenarlar›n›n uzunluklar›

a = 9 cm, b = 12 cm ve yan ayr›t›n›n uzunlu¤u, l = 8 cm dir.

Yan ayr›t› taban düzlemiyle 30° aç› yapt›¤›ndan,

Dikdörtgen e¤ik prizman›n;

Taban alan› : G = a . b = 9 . 12 = 108 cm²dir.

Hacmi : V = G . h = 108 . 4 = 432 cm³olur.

ÖRNEK 1.14

Boyutlar› a, b ve c olan bir dikdörtgenler prizmas›n›n, boyutlar› aras›nda

ÇÖZÜM

Verilen dikdörtgenler prizmas›n›n boyutlar› a, b ve c olsun. Bu boyutlar aras›nda

Dikdörtgenler prizmas›n›n hacmi, V = a . b . c dir.

Dikdörtgenler prizmas›n›n alan ve hacmi için buldu¤umuz de¤erleri (1) ba¤›nt›s›nda yerine yaz›l›rsa

B′BH dik üçgeninde, sin 30° = h l ; 1

2 = h

8 ise, h = 4 cm dir.

1a + 1

b + 1c = 12 ba¤›nt›s› oldu¤una göre, bu prizman›n alan›n›n, hacmine oran›n› bulal›m.

1a

bc

+ 1

acb + 1c

ab

= 12 ; b . c

a . b . c + a . c

a . b . c + a . b

a . b . c = 12 ; a . b + a . c + b . c

a . b . c = 12 dir. (I) 1a + 1

b + 1c = 12 ba¤›nt›s› veriliyor. Bu ba¤›nt›y› sadelefltirsek,

Dikdörtgenler prizmas›n›n alan›, S = 2 (a.b + a.c + b.c) dir.

Bunu, a . b + a . c + b . c = S

2 fleklinde yazabiliriz.

S 2

V = 12 oldu¤undan, S

V = 24 olur.

ÖRNEK 1. 15

Boyutlar› 12 cm, 9 cm ve 6 cm olan bir dikdörtgenler prizmas›n›n birbirineen uzak iki noktas›n› birlefltiren do¤ru parças›n›n u z u n l u ¤ u n u n kaç santimetre oldu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM

Boyutlar› a = 12 cm, b = 9 cm ve c = 6 cm olan dikdörtgenler prizmas›n›n birbirine en uzak iki noktas› birlefltirilirse, cisim köflegeni elde edilir.

Buna göre, cisim köflegenini bulmak için,

ÖRNEK 1. 16

Bir küpün hacminin say›ca alan›na eflit olmas› için bir ayr›t›n›n uzunlu¤unun kaç birim oldu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM

Bir küpün bir ayr›t›n›n uzunlu¤u a birim olsun.

Bir küpün hacmi : V = a³br³dür.

Bir küpün alan› : S = 6. a²br² dir.

V = S oldu¤undan, a³= 6a² ise, a = 6 birim olur.

ÖRNEK 1.17

Hacmi 162 cm³ olan bir dikdörtgenler prizmas›n›n ayr›tlar› 1, 2 ve 3 say›lar› ile orant›l› oldu¤una göre, bu prizman›n tüm alan›n›n kaç santimetrekare oldu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen dikdörtgenler prizmas›n›n ayr›tlar› a, 2a, 3a olsun.

Dikdörtgenler prizmas›n›n hacmi : V = a . 2a . 3a = 6a³dür.

6a³= 162 ; a³= 27 ise a = 3 tür.

Buna göre, dikdörtgenler prizmas›n›n ayr›tlar›n›n uzunluklar› 3 cm, 6 cm ve 9 cm dir.

Bu prizman›n tüm alan›: S = 2 (a.b + b.c + a.c) ifadesinden, S = 2 (3.6 + 6.9 + 3.9) = 2 (18 + 54 + 27) = 2 (99) = 198 cm² olur.

k = 12² + 9² + 6² = 144 + 81 + 36 = 261 = 3 29 cm olur.

k = a² + b² + c² ifadesinden,

ÖRNEK 1.18

Dik kesit alan› 12 cm²olan bir e¤ik prizman›n, yan ayr›t›n›n uzunlu¤u 8 cm oldu¤una göre, hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen e¤ik prizman›n kesit alan› K = 12 cm²ve yan ayr›t›n›n uzunlu¤u l = 8 cm dir.

E¤ik prizman›n hacmi : V = K . l ifadesinden, V = 12 . 8 = 96 cm³olur.



* Prizmatik yüzey: P ve Q düzlemleri birbirine paralel olsun. Herhangi bir d do¤rusu P düzlemini K, Q düzlemini L noktas›nda kessin. P düzlemi içinde herhangi bir düzlemsel fleklin çevresi üzerindeki her noktadan, [KL] do¤ru parças›na paralel do¤rular çizildi¤inde, oluflan flekle prizmatik yüzey denir.

* Prizma: Bir prizmatik yüzey ile, bunun yan ayr›tlar›n› kesen paralel iki düzlem taraf›ndan s›n›rlanan cisme, prizma denir. Prizman›n iki taban› aras›ndaki uzakl›¤a, prizman›n yüksekli¤i denir.

* Dik prizma: Yan ayr›tlar› taban düzlemine dik olan prizmaya, dik prizma denir.

* E¤ik prizma: Yan ayr›tlar› taban düzlemine dik olmayan prizmalara, e¤ik prizma denir. E¤ik prizman›n yan yüzleri paralelkenard›r.

* Düzgün prizma: Tabanlar› düzgün çokgen olan dik prizmaya, düzgün prizma denir.

Düzgün prizman›n taban köfleleri bir çember üzerindedir. Bu çemberin merkezlerini birlefltiren do¤ruya eksen denir.

* Paralelyüz: Tabanlar› paralekenar olan prizmaya, paralelyüz denir. Bir paralel yüzde oniki ayr›t›,sekiz köflesi ve dört tane de cisim köflegeni vard›r. Bir paralelyüzün cisim köflegenleri, birbirini orta noktalar›nda keserler.

* Dik paralelyüz: Tabanlar› paralelkenar, yan ayr›tlar› tabana dik olan paralelyüze, dik paralelyüz denir. Dik paralelyüzün tabanlar› birer paralelkenar olup, karfl›l›kl›

yan yüzler birbirine eflit dikdörtgendir.

* Dikdörtgenler prizmas›: Tabanlar› dikdörtgen olan dik prizmaya, dikdörtgenler prizmas› denir. Dikdörtgenler prizmas›nda bir köflede kesiflen üç ayr›ta, bu dikdör t g e n l e r prizmas›n›n boyutlar› denir.

* Bir prizmada, ayn› yüz içindeki iki köfleyi birlefltiren do¤ru parças›na, bu prizman›n yüz köflegeni denir.

* Bir prizmada, ayn› yüz içinde bulunmayan iki köfleyi birlefltiren do¤ru parças›na, bu prizman›n cisim köflegeni denir.

* Bir dikdörtgenler prizmas›nda bir cisim köflegeninin uzunlu¤unun karesi, bir köfleden ç›kan üç ayr›t›n›n uzunluklar›n›n karelerinin toplam›na eflittir. k²= a²+ b²+ c²d i r.

* Küp : Tüm ayr›tlar› birbirine eflit olan dikdörtgenler prizmas›na, küp denir. Bir küpün bir ayr›t›n›n uzunlu¤u a birim ise, her yüzünün yüz köflegen uzunlu¤u a birim, cisim köflegen uzunlu¤u ise, a birimdir.3

* E¤ik bir prizman›n yanal alan›, dik kesit çevresi ile yan ayr›t uzunlu¤unun çarp›m›na eflittir.

Yanal alan = (Dik kesit çevresi) . (yan ayr›t uzunlu¤u)

* Bir dik prizman›n yanal alan›, taban çevresi ile yüksekli¤inin çarp›m›na eflittir.

Y = Ç . h d›r.

* Herhangi bir prizman›n tüm alan›, yanal alan› ile taban alan›n›n iki kat›n›n toplam›na eflittir.

S = Y + 2 . G d›r.

* Dikdörtgenler prizmas›n›n bir köfleden ç›kan ayr›tlar›n›n uzunluklar› a, b ve c ise, tüm alan›

S = (a . b + b . c + c. a) d›r.

* Bir kenar›n›n uzunlu¤u a birim olan bir küpün tüm alan›, S = 6a²br² dir.

* Bir dikdörtgenler prizmas›n›n hacmi, bir köflesinden geçen üç ayr›t uzunlu¤unun çarp›m›na eflittir. V = a. b. c birimküptür.

* Bir dörtgenler prizmas›n›n hacmi, taban alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›na eflittir.

V = G. h d›r.

* Bir ayr›t› a birim olan bir küpün hacmi, V = a³birimküptür.

* Bir e¤ik prizman›n hacmi, dik kesitinin alan› ile bir yan ayr›t uzunlu¤unun çarp›m›na eflittir.

Hacim = (Dik kesitinin alan›) . (yan ayr›t uzunlu¤u)

* Bir dik prizman›n hacmi, taban alan› ile, yüksekli¤inin çarp›m›na eflittir. Taban alan› G, yükseklik h ise,

V = G . h d›r.

* Euler ba¤›nt›s›: Bütün prizmalar aras›nda,

Köfle say›s› + yüzey say›s› - ayr›t say›s› = 2 ba¤›nt›s› vard›r. Bu ba¤›nt›ya Euler ba¤›nt›s› denir.

* Cavalieri ‹lkesi: Tabanlar›n›n alanlar› ve yükseklikleri eflit olan iki cismin tabanlar›na paralel ve tabanlardan ayn› uzakl›ktaki kesitlerinin alanlar› eflit olursa, bu iki cismin hacimleri de eflit olur.

ALIfiTIRMALAR

1. Afla¤›da, ayr›tlar›n›n uzunluklar› verilen dikdörtgenler prizmas›n›n, alanlar›n› ve hacimlerini bulunuz.

a) a = 3 cm b = 15 cm c = 6 cm b) a = 2,6 cm

b = 3,8 cm c = 4, 4 cm c) a = 10 cm

b = 4 cm c = 20 cm

2 . Afla¤›da, bir ayr›t›n›n uzunlu¤u verilen küplerin, alanlar›n› ve hacimlerini bulunuz.

a) a = 7cm b)

c)

3 . Bir dik üçgen dik prizman›n tabanlar›n›n dik kenarlar› uzunluklar› 6 cm ve 8 cm dir.

Bu prizman›n yüksekli¤i 12 cm oldu¤una göre, tüm alan›n› bulunuz.

4. Eflkenar üçgen dik prizman›n bir taban kenar›n›n uzunlu¤u 8 cm ve yüksekli¤i 10 cm oldu¤una göre, prizman›n hacmini bulunuz.

5. Boyutlar› 5 cm, 6 cm ve olan dikdörtgenler prizmas›n›n cisim köflegeninin uzunlu¤unu bulunuz.

6. Taban› yamuk olan bir dik prizman›n yüksekli¤i 12 cm dir. Taban ayr›tlar›n›n uzun luklar›, 3 cm, 4 cm, 5 cm ve 6 cm oldu¤una göre, bu prizman›n yanal alan›n›

bulunuz.

7. Yanal alan› 96 cm² ve bir taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 6 cm olan kare dik prizman›n, hacmini bulunuz.

8. Bir yan ayr›t›n›n uzunlu¤u 8 cm olan paralelyüzün taban alan› 24 cm²dir. Bir yan ayr›t› ile taban düzlemi aras›ndaki aç›n›n ölçüsü 30° oldu¤una göre, bu parale lyüzün hacmini bulunuz.

a = 2 3 cm a = 2

3 cm

2 5 cm

9. Hacmi olan bir düzgün alt›gen dik prizman›n yüksekli¤i 9 cm dir. Bu prizman›n bir taban ayr›t›n›n uzunlu¤unu bulunuz.

10. E¤ik kare prizman›n 16 cm uzunlu¤undaki bir yan ayr›t› ile taban düzlemi aras›ndaki aç›s›n›n ölçüsü 30° d›r. Taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u 8 cm oldu¤una göre, bu e¤ik kare prizman›n hacmini bulunuz.

11. Ayr›tlar›n›n uzunluklar› 2, 3, 4 say›lar› ile orant›l› olan bir dikdörtgenler priz mas›n›n tüm alan› 208 cm²oldu¤una göre, bu dikdörtgenler prizmas›n›n hacmini bulunuz.

12. Taban› eflkenar üçgen olan bir dik prizman›n yüksekli¤i 18 cm ve yanal alan› 216 cm²dir. Bu dik prizman›n hacmini bulunuz.

13. Bir dik yamu¤un taban kenarlar›n›n uzunluklar›, 7 cm ve 4 cm ve dik kenar›n›n uzunlu¤u ise, 4 cm dir. Bu dik yamu¤u taban kabul eden ve yüksekli¤i 12 cm olan dik prizman›n tüm alan›n› bulunuz.

14. Bir kenar›n›n uzunlu¤u 10 cm olan küpün alan›, taban kenarlar›n›n uzunluklar› 20 cm ve 5 cm olan bir dikdörtgenler prizmas›n› alan›na eflittir. Buna göre, dikdört genler prizmas›n›n hacmini bulunuz.

15. Taban kenarlar›n›n uzunluklar› a cm ve b cm, yüksekli¤i c cm olan bir dikdört genler prizmas›nda, a, b ve c nin aritmetik ortalamas› 10 dur. Taban çevresi 40 cm oldu¤una göre, bu dikdörtgenler prizmas›n›n yanal alan›n› bulunuz.

864 3 cm³

✎

1 . Boyutlar› 4 cm, 6 cm ve 8 cm olan dikdörtgenler prizmas›n›n tüm alan›, kaç cm²d i r ? A) 104

B) 192 C) 208 D) 216

2. Bir kenar›n›n uzunlu¤u 5 cm olan bir küpün tüm alan›, kaç cm²dir?

A) 125 B) 150 C) 175 D) 200

3. Cisim köflegenin uzunlu¤u olan bir küpün hacmi, kaç cm³dür?

A) 64 B) 96 C) 128 D) 144

4. Yüz köflegenin uzunlu¤u olan bir küpün yanal alan›, kaç cm²dir?

A) 147 B) 196 C) 294 D) 392

5. Bir taban kenar›n›n uzunlu¤u 4 cm ve yüksekli¤i olan bir düzgün alt›gen prizman›n hacmi, kaç cm³dür?

A) 120 B) 240 C) 360 D) 480

6. Bir taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 4 cm ve yüksekli¤i 8 cm olan kare dik prizman›n tüm alan›, kaç cm²dir?

A) 128 B) 130 C) 156 D) 160

4 3 cm

7 2 cm

5 3 cm

7. Bir dikdörtgenler prizmas›n›n taban ayr›tlar›n›n uzunlu¤u, di¤erinin 2 kat›d›r.

Yüksekli¤i 12 cm olan bu prizman›n hacmi 96 cm³oldu¤una göre, taban›n›n k›sa kenar›n›n uzunlu¤ukaç cm dir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6

8. Taban alan› 32 cm² olan bir e¤ik prizman›n, bir yan ayr›t›n›n uzunlu¤u Bu prizman›n yan ayr›t›n›n taban düzlemi ile yapt›¤› aç›n›n ölçüsü 60° oldu¤una göre, bu prizman›n hacmi kaç cm³tür?

A) 256 B) 384 C) 432 D) 768

9. Dik taban ayr›tlar›n›n uzunluklar› 6 cm ve 8 cm olan bir üçgen dik prizman›n yük sekli¤i 10 cm dir. Bu prizman›n tüm alan›, kaç cm²dir?

A) 240 B) 288 C) 320 D) 336

10. Hacmi 48 cm³olan bir dikdörtgenler prizmas›n›n kenarlar›n›n uzunluklar› 1, 2 ve 3 say›lar› ile orant›l› oldu¤una göre, en uzun kenar›n›n uzunlu¤u, kaç cm dir?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8

11. Üç farkl› yan yüzünün alanlar› 3 cm², 6 cm² ve 8 cm² olan dikdörtgenler priz mas›n›n hacmi, kaç cm³tür?

A) 12 B) 24 C) 32 D) 48

8 3 cm dir.

12. Hacimleri eflit olan iki prizmadan birinin taban alan›, di¤erinin taban alan›n›n üç kat›d›r. Buna göre, yüksekliklerinin oran› kaçt›r?

13. Bir beflgen dik prizman›n taban kenarlar›n›n uzunluklar› 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm ve yüksekli¤i 12 cm dir. Bu dik prizman›n yanal alan›, kaç cm² dir?

A) 120 B) 180 C) 220 D) 240

14. (fiekil 1.19) daki küpte, [D′B] cisim köflegeni, [D′A] yüz köflegenidir. D′AB üçgeni için afla¤›daki ifadelerden hangisi do¤rudur?

A) ‹kiz kenar dik üçgendir.

B) Çeflit kenar dik üçgendir.

C) Dar aç›l› ikizkenar üçgendir.

D) Genifl aç›l› ikizkenar üçgendir.

fiekil 1.19

A) 1 9 B) 1

6 C) 1 3 D) 2 3

15. Bir kare dik prizman›n hacmi 200 cm³, yüksekli¤i 8 cm dir. Bu kare dik prizman›n taban›n› bir kenar›n›n uzunlu¤u, kaç cm dir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

16. (fiekil 1.20) deki üçgen dik prizman›n tüm ayr›tlar›n›n uzunluklar› birbirine eflittir. Bu üçgen dik prizman›n hacmi cm³ oldu¤una göre. bir ayr›t›n›n uzun lu¤u kaç cm dir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

17. Boyutlar› 26 cm, 18 cm ve 2 cm olan 6 kitap, üst üste konuldu¤unda, kaç cm³lük yer kaplar?

A) 4824 B) 5258 C) 5422 D) 5616

fiekil 1.20

18. Bir kenar›n›n uzunlu¤u 6 cm olan, küp fleklindeki kutunun içine 2 cm, 3 cm, 4 cm boyutlar›ndaki küçük kutulardan, kaç tane yerlefltirebiliriz?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 9

19. Ayr›tlar›n›n toplam uzunlu¤u 60 cm olan küp fleklindeki cismin hacmi, kaç cm³tür?

A) 27 B) 64 C) 125 D) 216

20. Dikdörtgenler prizmas› fleklindeki bir su deposunun uzunlu¤u 4 m, geniflli¤i 3m, yük sekli¤i 5 metredir. Depo tamamen su ile doludur. Bu depoya 36 m³daha fazla su alabilmesi için, yüksekli¤i kaç metre olmal›d›r?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12