Dişli İçeren Sistemlerde ve Elektromekanik Sistemlerde
Transfer Fonksiyonu
Giriş
• Bir önceki sunumuzda dönerek hareket eden sistemlerdeki transfer fonksiyonlarını görmüştük. Fakat bilinmektedirki dönerek hareket eden bir çok sistemde dişli sistemleri mevcuttur. Örneğin tork bir milden diğer mile dişliler aracılığı ile iletilir.
• Dişliler dönerek hareket eden sistemlerde mekanik avantaj sağlamaktadırlar. Örneğin 10 vitesli bir bisiklette, yukarı tırmanırken, düşük vitesin oluşturduğu torkdan, düz yolda giderken, yüksek vitesin sağladığı hızdan yararlanılabilmektedir.
• İki dişli arasındaki lineer ilişki aşağıdaki verilen şekilde gösterilmiştir.
• Burada giriş dişlisi r1 yarıçapında, N1 adet diş sayısına sahip ve 𝑇1(𝑡) torku sayesinde 𝜃1(𝑡) açısı kadar dönen dişlidir.
• Çıkış dişlisi ise r2 yarıçapında, N2 adet diş sayısına sahip ve 𝑇2(𝑡) torku sayesinde 𝜃2(𝑡) açısı kadar dönen dişlidir.
• Şimdi dişlilerin yarıçapları, diş sayıları, dönme açıları arasındaki ilişkileri elde edelim.
• İki dişli birlikte ortak çalışacaklarından dişilerin kendi çevrelerinde aldığı yollar birbirlerine eşit olmak zorundadır. Yani;
• Aynı zamanda dişilerin yarıçapları ile diş sayıları arasındaki ilişkide doğrusal olduğundan aşağıdaki eşitlikleri tanımlayabiliriz.
• Görüldüğü üzere dişli yarıçapları ile dişli sayıları arasında doğru
orantılı bir ilişki varken, açısal hareket ile dişli sayıları arasında ters orantılı bir ilişki bulunmaktadır.
• Şimdi de dişli sisteminde giriş torku ile çıkış torku arasındaki ilişkiyi elde edelim.
• İki dişlinin temas noktasında statik dengesinden aynı F kuvveti oluşacaktır. Dolayısıyla;
• İki dişinin çevresi boyunca aldığı yol eşit olmalıydı;
Bu bilgilerden yararlanarak, T1 ve T2 dişlisi arasında aşağıdaki ilişikiyi elde edebiliriz.
Daha önce elde ettiğimiz açısal yer değiştirmeler ile ilgili eşitlikten yararlanırsak, Tork, açısal yer değiştirme ve diş sayıları arasındaki ilişkiyi veren aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz.
F
r1 r2
F
𝐹 ∗ 𝑟1 = 𝑇1 𝐹 ∗ 𝑟2 = 𝑇2
𝑟1
𝑟2 = 𝑇1 𝑇2
Buradan görüldüğü üzere tork ve diş sayıları arasında doğru orantılı bir ilişki
bulunmaktadır.
Dişli sistemlerinde empedansların durumu
• Şimdi dişli sistemleri ile sürülen mekanik sistemlerde empedanslarda nasıl bir durum oluştuğunu analiz edelim.
• Aşağıda gösterilen mekanik sistemde T1 torku N1 ve N2 dişlileri ile iletilmektedir.
• Bu kısımda aşağıda görülen sistemi, denk, herhangi bir dişli bulunmayan, girişte veya çıkışta temsil edilebilen bir sistem haline nasıl dönüştürüleceğini göreceğiz.
Dişli sistemlerinde empedansların durumu
ilişkilerinden yararlanarak T1 torkunu kütlenin, damperin ve yay elemanının bağlı olduğu kısıma aktarabiliriz. Eğer bu işlemi yaparsak (b)’deki gibi bir durum elde etmiş oluruz. Böylelikle ilk durumda verilen dişli mekanik sistemini dişliler yokmuş gibi çıkışta temsil edebiliriz ve hareket denklemini de aşağıdaki gibi yazabiliriz:
Dişli sistemlerinde empedansların durumu
• Bu hareket denkleminde bulunan 𝜃2(𝑠) ifadesini de eşitliklerden yararlanarak 𝜃1(𝑠) cinsinden yazarasak;
• Ve eğer denklemi basitleştirirsek sistemin girişte temsil edildiği hareket denklemini elde etmiş oluruz.
Dişli sistemlerinde empedansların durumu
• Bu hareket denklemini incelersek anlaşılmaktadırki eğer empedanslar dişliler aracılığı ile karşıya iletilmek isteniyosa aşağıda verilen oranla çarpılarak iletilebilir.
𝐻𝑒𝑑𝑒𝑓 𝑚𝑖𝑙𝑑𝑒𝑘𝑖 𝑑𝑖ş𝑙𝑖 𝑠𝑎𝑦𝚤𝑠𝚤 𝐾𝑎𝑦𝑛𝑎𝑘 𝑚𝑖𝑙𝑑𝑒𝑘𝑖 𝑑𝑖ş𝑙𝑖 𝑠𝑎𝑦𝚤𝑠𝚤
2
Örneğin
• Aşağıda verilen mekanik sistemde transfer fonksiyonunu elde edelim.
• Problemde bizden transfer fonksiyonu istendiği için N1 dişlisinin bağlı olduğu mil üzerindeki empedans değerleri ve tork N2 dişlisinin bulunduğu mil üzerine aktarılmalıdır.
• Empedanslar aktarıldıktan sonra eş değer empedans değerleri toplama yapılarak elde edilir.
• Eşdeğer empedans değerleri aşağıdaki gibi olur:
• N1 dişlisi üzerindeki torkda N2 dişlisi üzerine aktarıldığında denk sistem aşağıdaki gibi temsil edilebilir hale gelir.
• Eğer burada da daha önce öğrendiğimiz yöntemler ile hareket denklemini yazarsak, hareket denklemi aşağıdaki gibi olur:
• Dolayısıyla transfer fonksiyonu:
• Birçok dönerek hareket eden mekanik sistemde büyük dişli çapları kullanarak tork aktarımı yapılmak yerine, bir çok dişli sistemi kullanılarak aktarım yapılır.
• Örneğin aşağıdaki dişli sisteminde N1 dişlisi üzerindeki 𝜃1 N6 dişlisinin bulunduğu mil üzerine aktarılmıştır.
• Her bir aktarım sağdaki verilen ilişkiye göre yapılmıştır.
• Bu aktarım tek tek hepsi için yapıldığında, en son denk dişli oranının, her bir dişli oranının çarpımı olduğu görülür.
Örneğin
• Aşağıdaki mekanik sistemde transfer fonksiyonunu elde edelim.
• Transfer fonksiyonu olarak istendiği için tüm empedans değerlerinin giriş mili üzerine aktarmamız gerekmektedir. Ayrıca burada bazı dişlilerin üzerinde de atalet ve sönümleme olduğuna dikkat edilmelidir.
• Eş değer empedans değerlerini yazacak olursak:
• Eşdeğer mekanik sistem aşağıdaki gibi çizilebilir:
• Eşdeğer mekanik sistemin hareket denklemini yazarsak;
• İstenen transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir:
Örnek
• Aşağıda verilen mekanik sistemde transfer fonksiyonunu elde ediniz.
Elektromekanik Sistemlerde Transfer Fonksiyonları
• Sunumuzun önceki sayfalarında dişli sistemleri içeren dönerek hareket eden saf mekanik sistemleri görmüştük. Şimdi ise hem elektriksel hemde mekaniksel değişkenlerin bulunduğu hibrit
sistemleri göreceğiz. Bu tür sistemlere elektomekanik sistemler adı verilir.
• Elektromekanik sistemlere örnek olarak; robot kontrolleri, güneş ve yıldız takip sistemleri gibi birçok system örnek gösterilebilir.
Elektromekanik Sistemlerde Transfer Fonksiyonları
• Bir motor belirli bir voltaj girişi sonucunda belirli bir hareket sağlayan elektromekanik bir sistemdir. Yani elektriksel bir giriş sonucunda mekaniksel bir çıkış elde edilmektedir. Biz burada elektromekanik sistemlere örnek olarak, dc armatür kontrollü servomotor’lar için transfer fonksiyonunu elde edeceğiz. Bahsedilen motor türünün şematik gösterimi aşağıdaki gibidir.
Elektromekanik Sistemlerde Transfer Fonksiyonları
• Önceki sayfada verilen elektromekanik sistemin çıkış hareketi ve giriş voltajı arasındaki ilişkisini veren transfer fonksiyonu belirli işlemlerden sonra aşağıdaki gibi elde edilir;
• Burada bizler için önemli olan bu transfer fonksiyonundaki mekanik ve elektriksel katsayıları elde etmektir.
Mekanik katsayılar: 𝐷𝑚, 𝐽𝑚
Elektriksel katsayılar: 𝐾𝑡/𝑅𝑎, 𝐾𝑏
Elektromekanik Sistemlerde Transfer Fonksiyonları
• Öncelikle mekaniksel katsayıları elde edelim.
• Sağdaki şekilde armatüründe 𝐽𝑎 ataleti ve 𝐷𝑎 sönümüne sahip bir motor, 𝐽𝐿 ataletinde ve 𝐷𝐿 sönümüne sahip yükü sürmektedir.
• Motorun ataleti ve sönümü 𝐽𝐿 ve 𝐷𝐿 empedanslarının motora aktarılmasıyla elde edilebilir:
(𝐷𝑚, 𝐽𝑚)
Elektromekanik Sistemlerde Transfer Fonksiyonları
• Transfer fonksiyonunun elektriksel katsayıları ise motora uygulanılacak olan bir dinanometre testi ile elde edilebilir. Dinanometre testinde bir motora uygulanılan sabit bir voltaj altında motordan elde edilen tork ve hız değerleri ölçülür. Bu deneyler yapıldığında sabit bir voltaj altında elde edilen tork ve açısal hız arasında sağ alltaki eşitlik ile ifade edilen ve grafik üzerinde gösterilen lineer bir ilişki olduğu görülür.
• Sağda gösterilen eğri açısal hız sıfıra ulaştığında y- eksenini kesecektir. Dolayısıyla durağan tork değeri aşağıdaki eşitlik ile ifade edilir.
• Tork sıfıra ulaştığında ise eğri x- eksenini kesecektir. Dolayısıyla yüksüz durumdaki açısal hız değeri aşağıdaki gibi olacaktır.
Elektromekanik Sistemlerde Transfer Fonksiyonları
• Yüksüz durumdaki açısal hız, ve durağan tork değerleri dinanometre testleri ile elde edilir ise aşağıda verilen bu iki eşitlikten 𝐾𝑡/𝑅𝑎 ve 𝐾𝑏 elektriksel katsayı değerleri elde edilebilir.
Örneğin
• Aşağıda verilen elektromekanik sistemde transfer
fonksiyonunu elde edelim. Motorun tork – hız ilişkisini veren eğri sağ altta verilmiştir.
• Öncelikle transfer fonksiyonundaki mekaniksel katsayıları elde edelim.
• Şimdi de eğriden yararlanarak elektriksel katsayıları elde edelim.
Eğriden; , ,
Elde ettiğimiz katsayıları sağ yukarıda verilen transfer fonksiyonunda yerlerine yazarsak aşağıdaki eşitliği elde ederiz;
Dişliler arasındaki açısal yer değiştirme ilişkisinden transfer fonksiyonu 𝜃𝐿 𝑠 /𝐸𝑎 𝑠 olarak düzenlenebilir.
𝜃𝑚 𝑠
𝜃𝐿 𝑠 = N2
𝑁1 = 1000
100 = 10 , 𝜃𝑚 𝑠 = 10 ∗ 𝜃𝐿 𝑠
Örnek
• Aşağıda verilen elektromekanik sistemde transfer fonksiyonunu elde ediniz. Motorun hız – tork ilişkisi
eşitliği ile verilmiştir.
