Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Prof. Dr. Hüseyin Sarı

Ankara Üniversitesi

Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü

FZM207

Temel Elektronik-I

Prof. Dr. Hüseyin Sarı

5. Bölüm

Kararlı Durum A. A. Devreleri-2

3

R

R L

C

+

-

Evreli Vektör Yöntemi

t e_C(t)

i(t)

t e(t) e(t)

i(t)

e_R(t) e_C(t)

t e(t)

e_C(t)

t e(t) e_R(t)

Sinyalin frekansı (w) her

noktada aynı, sadece büyüklük

ve faz açısı (q) değişiyor

4

Evreli Vektör Yöntemi

Evreli (faz) Vektör Yöntemi, devrelere uygulanan akım ve gerilim uyarımlarının tümü aynı frekanslı sinüssel olduğu zaman devre problemlerini çözmek için kullanılan pratik bir yöntemdir.

  I a jb

tan

b a



 

     q

2 2

( a jb ).( a jb ) a

I

b

  

 

2 c )

) (

(

os

i t  I w t  q

cos

a  I q

sin

b  I q

a b

q j

|I|

wt wt

p 2p 0

q

I 



I q

2 Im etk  I

2 c )

) (

(

os

i t  I w t  q

Bir vektör, karmaşık sayı ile ifade edilebilir.

A  Etkindeğe r  faz açıs ı

max 2

I = I_etk

5

Akım ve Gerilimin Evreli Vektör Gösterimi

wt

E

T/2 T

0 I

a b

2 c )

) (

(

os

i t  I w t  a e ( t )  2 E

c os ( w t  b )

I 



I a ^{E  E b}

Evreli Vektör yönteminde sinüssel akım ve gerilimleri göstermek için I ve E nicelikleri kullanılır; KOK değerlerine eşit büyüklükleri ve t=0 anında argümanın değerine eşit bir açı değeri vardır.

Evreli vektör gösterimi:

6

Evreli Vektör Yöntemi

wt

B A

0

 A  A r

M

q

2 c )

) (

(

os

b t  B w t  q

A r

A B r  M r

q

A r

A B r  M r

A a jb

a

 



0

 A  A r

 ⁰



B r  B   q

wt B_m

0

A_m

q

 ⁰



B r  B   q

A

Karmaşık düzlemde:

B, A ’nın gerisinde Zaman ekseninde:

2 cos(

) )

(

a t  A w t

a0 ^{Br MAr M A 0o B }





Evreli Vektör Yöntemi

wt

V I

2 c )

) (

(

os

i t  I w q t 

R

a0^o

wt

V I

L

wt

I

C

I

I

I

2 cos

( )

( t )

v t  V w   q a

1 1

w w

 I =

V - j I

j C C

j Lw V  I

( R >1 birim için çizilmiştir)

a90^o

a90^o

 R V I

1

 j C

V I

w

I   I q

^{V   V}  ^q

^{ a}



j Lw V  I

 R V I

I V r  M r

j

V q

R   V

I_R  I qo

q

j

q

V

q 90

   VL V ^o

q

L   I I o

j

q

q

L   I I o

90o

V

 

VC q 90^o a

90^o a 

8

Evreli Vektör Yöntemi-Hesaplamalar-1

 

A a jb

q tan^{  }   b a

 A 

A q

Evreli Vektör notasyonundan Karmaşık Sayı notasyonuna dönüştürme:

cos ( sin )

A j A a jb

   

A q q

2 2

( ).( )

 a jb a jb  a b

A

A  A  q

Karmaşık Sayı notasyonundan Evreli Vektör notasyonuna dönüştürme:

İşlemler:

Bölme:

q

  A A

q

  B B



 ^{ }

q q q

q

    

 A

B

A

A B

B

B B A

A



 

 

 



     

.B

A A _A B _B AB _{A B}

Çarpma:



 

 

 

 

 



               A B A _A B _B a a j b b j a b j a b c jd Toplama/Çıkarma:

2 2 1

tan ( / )^

 B  

A c d d c

cos

q



a A

sin

q



b A

a b

q j

|A|

wt

Bir vektör A, karmaşık sayı ile ifade edilebilir.

x y

9

Evreli Vektör Yöntemi-Örnek

3 4

 

A j

1 4

tan 53,1

q  ^{  }  3 

o

30

  5

A

Evreli Vektör notasyonundan Karmaşık Sayı notasyonuna dönüştürme:

cos(30 ) ( sin(30 )

5 5 ) 4,3 2,5

   

A

j

j

2 2

(3 4).(3 4) 3 4 5

   j   

A j

A   5 53 ,1

Karmaşık Sayı notasyonundan Evreli Vektör notasyonuna dönüştürme:

İşlemler:

Bölme:

30

  5

A

60

  2

B

   

30 / 30 60 2,5 30

6

5 5

0 2

2

       

 B

A ^o _{o o o}

o



 

 ^{ }





       

B

A. ^{o o o o o}

Çarpma:



 

 ^

^{ }

^{ }

^{ }

^

              

A B ^{o o} j j j j

Toplama/Çıkarma:

2 2 1

(5,3) (4, 2) tan (4, 2 / 5,3)^ 6,8 86

 B    

A ^o

cos(30 ) 4,3

 5 ^o  a

4,3 2,5

30^o j

|5|

x y

sin(30 ) 2,5

 5 ^o 

10 b

 j

|2,5|

A.B=|2,5|

10

Evreli Vektör ve Karmaşık Sayı Gösterimi

Bölme:

26

5

  A

63

5

  B



  

26 /

5 5 26 63 1 37

5 63

o

o o o

o

       

 A

B



 

 



       

A.B

Çarpma:

2 j

x y

2 j

  A

1 2 j

  B

(2 ).(1 2) (2 4 2)

. j j j j (2 4j j 2) 5j

AB           

Karmaşık sayıyla:

   ⁵ 

. 5j . 25 5

AB   j   tan^{1 5} 90

0 q ^{  }   o

Evreli vektörle

5 90^o .B  

A

   

   

2 . 1 2

2 2 4 2 4 3 4 3

4 / 5 3 / 5

1 2 1 2 . 1 2 5 5 5

j j

j j j j j

j j j

A

j

 

     

      

  

B

^{4 / 5} ^{2 3 / 5}^{2 1}

A    

B

1 3 / 5

tan 37

4 / 5 q  ^    o

1 37^o

   A

B

2 j

  A

1 1

2 ^{B 1 2 j}

Karmaşık sayıyla:

Evreli vektörle

11

Evreli Vektör Yöntemi

Direnç, indüktans ve sığa gibi üç devre öğesindeki akım ve gerilim arasındaki bağıntılar, dönüştürülmüş devreleri tanımlayan eşitliklere uyarlanır. İmpedans ve edmitans parametrelerini içeren bağıntılar:

Direnç: V  R . I

İndüktans: V  j L w I

Sığa: 1 1

w w

 I =

V - j I

j C C

Genel durum için: V  Z I

  A a jb

A   a jb

a b

q j

|A|

( )

    

jA j a jb b ja

İndüktans ve sığa gibi devre elemanlarında, akım ve gerilim arasında 90^o faz farkı vardır (bobinde gerilim, akımın önünde; sığa’da ise gerilim akımın gerisindedir).

-b jA a

j (-j) ile çarpmak vektörü 90^o (-90^o) döndürür.

(j A)  ( j a)(  jb)  b ja

-a -jA b

Karmaşık Sayı

Z: İmpedans

(Z’nin değerine bağlı olarak gerilim, akımın önünde veya arkasında olabilir)

12

Direnç

 .

V R I

I vektörü, R skaler bir sayı (pozitif) ile çarpıldığı için yeni V vektörü I ile aynı doğrultudadır, sadece büyüklüğü değişmiştir. Bunun anlamı direnç üzerinde akım ve gerilim aynı fazdadır, biri maksimum iken diğeri de maksimumdur.

I

R R 

R

 I =

V q

i(t), v(t)

t

i(t) R

e(t) ( ) 

sin( w q  )

i t I t

( )  ( ) 

sin( w q  ) e t R i t E t

Gerilim ve akım aynı evreli-Birinin maksimum olduğu yerde diğeri de maksimumdur. (R>1 için çizilmiştir)

j

V

q

R   V

I_R  I

q

q

( ) 2 sin( )

i t  I w q t 

13

İndüktans

w



V j L I

I vektörü, (jwL) gibi bir karmaşık sayı ile çarpıldığı için yeni V vektörü, I vektörünün 90^o önündedir, V vektörünün büyüklüğü ise wL kadar değişmiştir. Bunun anlamı, indüktans üzerinde akım ile gerilim arasında 90^o’lik faz farkı vardır, yani indüktanstan geçen akım, indüktans gerilimini 90^o geriden izler (biri maksimum iken diğeri minimumdur).

j L L 90o

 I = 

V

w w q

L

i(t), e(t)

t

( ) 

sin( w q  )

i t I t

( ) ( ) c

os(w q )  sin(w q 90 )

 

 i t _{m m} ^o

e t d E t

L t E t

d

Gerilim v(t), akımın i(t), 90^o önündedir.

i(t)

q

   VL V ^o

q

L   I I o

e(t)

q

L   I I o

q

14

Sığa

1 1

w w

 I =

V - j I

j C C

I vektörü, (1/jwC) gibi bir karmaşık sayı ile çarpıldığı için yeni V vektörü, I vektörünün 90^o gerisindedir, V vektörünün büyüklüğü ise 1/wC kadar değişmiştir.

Bunun anlamı Sığa üzerinden akan akım ile gerilim arasında 90^o’lik faz farkı vardır, yani akım gerilimin 90^o önündedir (biri maksimum iken diğeri minimumdur).

C

i(t), e(t)

t

( )  _m sin(

w q

i t I t

( ) 1 ( ) cos( ) sin( 90

w q w q )

 





e t t dt E t E t

C i

Gerilim e(t), akımın i(t) 90^o gerisinde.

i(t)

e(t)

j L

w w

q

 _C

C I =

V j

q

   VC V ^o

q

C   I I o

q

C   I I o

q

( ) 2 _etk sin( )

i t  I

w q

15

Genel Durum

 V Z I

I vektörü, Z gibi bir karmaşık sayı ile çarpıldığı için yeni V vektörü, I vektörünün q kadar önünde veya gerisindedir.

 V Z I

j

I_Z  I

q

q

V vektörünün ne kadarlık döneceğini Z vektörü belirler.

i(t), e(t)

t

Gerilim e(t), ile akım i(t) arasında q^o kadar faz farkı vardır.

i(t) RLC

e(t)

w q

i t I t

16

Örnek 5.2: Aşağıdaki devrede i(t) akımını bulunuz. Yalnız zorlanmış tepki istenmektedir. Evreli-vektör yöntemini kullanın ve devre gerilimlerini ve akımını gösteren bir evreli-vektör gösterimi çiziniz.

v

(t)

1/8 F 3 W

i(t)

v

(t)

e(t) = 10 2 cos(2 ) t

17

Çözüm 5.2:

V

8/j2=-j4 W 3 W

I

V

Direnç: V  3 I

53

2 ,1

 

I

Sığa: 1 1

1 4 2( ) 8 j C j

w j

 I = I = -

V I

Kirchhoff Gerilim Yasası (KGY): V

 V

  1 0 0

3 I  j 4 I    10 0

I (3  j 4 )   1 0 0

( )

10 0

3 4

o

j

  I  (3  j 4)  (3  j 4)   tan ( / )

b a

tan( / ) b a

tan ( 4 / 3)

53,1

     

2 2

(3  j 4)  (3  j 4).(3  j 4)  (3  4 )  5

cos(

( ) 2 2 2 t 53 ,1

)

i t  

(3  j 4)   5 53,1

0 53,1

5 10 53,1

2

o

   

I  

e(t) = 10 2 cos(2 ) t V   1 0 0

2 rad s / w 

10 0 

18

Evreli Vektör Akım-Gerilim Bağıntıları

Evreli-vektör gösterimi, üç gerilim ve bir akım evreli vektörünü göstermektedir. V

ve V

’nin toplamının kaynak gerilimi ve vektörünü oluşturduğuna dikkat ediniz. V

, I’nın 90

gerisinde bulunur; V

ise akım doğrultusundadır (aynı evrede).

8/j2=-j4 W 3 W

V

V

Direnç Sığa

  10 0

R C

V V ^o

 4

VC -j I ^{VR 3I}

2 53,1

 

I ^o

Akım ve Gerilim aynı fazda.

 4

V

- j I

2 53,1

 

I ^o

Akım, Gerilimin 90^o gerisindedir.

2 53,1

 

I ^o

 3 V

I

 3 V

I

 4

V

- j I

10 0 

2 53,1

 

I ^o

q=36,9^o

RC

q53,1^o

10 0 

I  2 53,1o

Akım, Gerilimin 53,1^o gerisindedir.

Evreli Vektör Akım-Gerilim Bağıntıları Evreli Vektör Gösterimi

R 

V RI

Direnç

R i(t), v(t)

i t

v

j

( ) _msin(w )

i t I t

( ) ( ) _msin(w )

e t Ri t E t Gerilim ve akım V_R  V 0^o

aynı evreli

 0

R

I I o

w

L 

V j I

İndüktans

j

L i(t), v(t)

t

( ) _msin(w )

i t I t

( ) d ( )  _mcos(w )

L d E

e i tt

t t

Gerilim, akımın 90^o önünde

i

 90 VL V ^o

 0

L

I I o

v

1 1

w ^ w

C  I = I

V j

j

Sığa

C i(t), v(t)

t

( ) _msin(w )

i t I t

(

( ) 1  )^dt ^mcos(w )

e i t E

t C t

Gerilim, akımın 90^o gerisinde

i

V o

 0

C

I I o

v

20

Örnek 5.3: Aşağıdaki devrede E=10∟0

V’luk bir gerilim oluşması için gerekli kaynak akımının değerini evreli vektör gösterimi kullanarak bulunuz.

Y_R=0,3

I

I

I

I

Y_C=j0,6 mho

Y_L=-j0,2 mho

E

21

Çözüm 5.3:

Direnç: I

 0,3 E = 3  0

Sığa:

 

R C L

I = I I I

6 6 tan(6 / 0)^o  6 90^o j

9 6 6

0, 6 0

j j

  

C

=

I E

Bobin: I

  j 0, 2 E = - j 2   2 90

cos(

( ) 5 2 t 5 3,1

)

i t  w 

1 1

tan (6 / 0)^ tan ( )^ 90

 ^o    ^{o o}

1 1

tan ( 2 / 0)^ tan ( )^ 90

  ^o     ^{o o} Y_R=0,3

I

I

I

I

Y_C=j0,6 mho

Y_L=-j0,2 mho

E

3 0^o

R   I

6 90^o

C   I

9 2 0^o

  

IL

E = 10 0

5

3 j4 53,1^o I =

Uygulanan akım ve gerilim arasında q=53,1^o lik fark var!

q

3  j 6 (- 2)  j   3 j 4   5 5 3,1

I =

Kirchhoff Akım Yasası (KAY):

0



E = 10