OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ

Bölüm 1

Kontrol Sistemlerine Giriş

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ

Prof. Dr. Muammer GÖKBULUT

Seçkin Yayıncılık 3. Baskı Ocak 2019

Sistem

u(t) y(t)

Sistem

girişi Sistem

çıkışı Bozucu giriş

b(t)

Elektrik motorunun,

Girişi ? Çıkışı ?

Bozucu girişi ? Kontrol amacı ?

Sistem nedir ? Sistem Örnekleri !

1.1 Kontrol Sistemi ve Sistem Kavramı

Şekil 1.3 Bir freze tezgahının görünüşü (cncmasters)

Devam: Sistem Örnekleri

q_i

q₀ h₁

Vana

h₂ q₁

Vana

Örnek sistemlerin, Girişi ?

Çıkışı ?

Bozucu girişi ? Kontrol amacı ?

Devam: Sistem Örnekleri

Sistem

u(t) y(t)

Sistem

girişi Sistem

çıkışı Bozucu giriş

Sıvı seviye ve akış sistemi b(t)

Ters sarkaç

Sistem Kontrolör

r(t) u(t) y(t)

Referans giriş

Sistem

girişi Sistem

çıkışı Bozucu giriş

b(t)

1.1.2 Otomatik Kontrol Sistemi

1.1.2.1 Açık Çevrim Kontrol Sistemi

0 t(s)

y(t) b(t) bozucu

giriş

1 r

Açık çevrim kontrol sistemlerinde bozucu girişin etkisi

Sistem ve Kontrolör olmak üzere en az iki eleman/birim gerekir.

NOT: Gerilimi ayarlayarak lambanın ışığını değiştiren ışık ayarlayıcılar (dimmer) bir açık çevrim kontrol sistemi midir?

Su tahliye

Su ısıtma Durulama /

Kurutma 220 v

AC

Zamanlayıcı

Su/deterjan Pompalama

Şekil 1.7 Bir bulaşık makinasının prensip kontrol şeması.

Örnek: Açık çevrim kontrolör, çamaşır-bulaşık makinalarında olduğu

gibi bazı sistemlerde bir zamanlayıcıdan/programlayıcıdan ibarettir.

Anahtarlama (DGM)

DC

Kıyıcı M

+ V -

w* Hız

kontrolörü ^{vc vm} w

Şekil 1.8 Bir doğru akım motorunun açık çevrim hız kontrolü.

M 3 220 v

AC

300 v DC AC-DC Dönüştürücü

DC-AC inverter İnverter

Anahtarlama Devresi (DGM)

w* _Hız

kontrolörü

vc

w v_m

Şekil 1.9 3 fazlı bir asenkron motorun açık çevrim hız kontrolü.

Kontrolör Referans

giriş

r(t)

Sistem girişi u’(t)

Sistem çıkışı

y(t) +

-

Sistem

Geri besleme birimi

Yükseltici- Dönüştürücü Kontrol

sinyali Hata

sinyali

e(t) u(t)

Bozucu giriş b(t)

1.1.2.2 Kapalı Çevrim Kontrol Sistemi

t(s) r(t()

b(t) bozucu giriş

1 y(t()

0

• Sistem

• Kontrolör

• Algılayıcı

• Yükseltici/Dönüştürücü

1.1.2.3 Kontrol Birimi: Kontrolörler

Geri beslemeli kontrol sistemleri için en basit örnekler, ısıtma-soğutma sistemlerinde kullanılan ve aç-kapa kontrolör olarak görev yapan termostatlı kontrol düzenekleridir.

(a) (b)

220 volt

Termostat Isıtıcı

u(t) e(t)

+Umax

-U_min

NOT: Ütüde termostat yerine karşılaştırıcı op-amp kullanılsa şema nasıl çizilebilir.

Şekil 1.11 Mikroişlemci esaslı bir PID kontrolör. (Honeywell)

Sürekli Kontrol: Daha hassas kontrol gerektiren endüstriyel sistemlerin kapalı çevrim kontrolü, aç-kapa kontrolörler yerine e(t) hata sinyalinin değerine bağlı olarak sürekli (değeri sürekli değişen) bir u(𝑡) kontrol sinyali hesaplayan kontrolörler ile

gerçekleştirilir.

PID (Oransal-Integral-Türev) Kontrolörler,

Op-amplar ile de gerçekleştirilebilir.

Kontrolör Referans

giriş

r(t)

Sistem girişi u’(t)

Sistem çıkışı

y(t) +

-

Sistem

Geri besleme birimi

Yükseltici- Dönüştürücü Kontrol

sinyali Hata

sinyali

e(t) u(t)

Bozucu giriş b(t)

1.1.2.4 Kapalı çevrim kontrol sistemlerinde Geri Besleme Birimi: Algılayıcılar

0C V_o (mV)

Şekil 1.12 a-) Termokuplenin çalışma esası b-) Bir sıcaklık-nem algılayıcı

Kontrolör Referans

giriş

r(t)

Sistem girişi u’(t)

Sistem çıkışı

y(t) +

-

Sistem

Geri besleme birimi

Yükseltici- Dönüştürücü Kontrol

sinyali Hata

sinyali

e(t) u(t)

Bozucu giriş b(t)

Sıcaklık Algılayıcılar

Basınç

girişi Diyafram

Kristal

Elektriksel çıkış

Şekil 1.13 a-) Piezoelektrik

algılayıcının esası b-) Bir basınç algılayıcı

Piezoelektrik Algılayıcılar

Ultrasonik ses üreteci ve alıcısı

Sıvı akışı

Ultrasınik ses dalgaları

Ultrasonik Algılayıcılar

Şekil 1.14 a-) Ultrasonik akış algılayıcının esası

b-) bir akış algılayıcı (endress-

hauser)

1.1.2.5 Kapalı çevrim kontrol sistemlerinde

Yükseltici-Dönüştürücü Birimi ya da aktüatörler

Anahtarlama M (DGM)

vc

v_m

+ V_dc

-

Şekil 1.19 Bir doğru akım motorunun gerilim ayarı için DC kıyıcı.

Kontrolör Referans

giriş

r(t)

Sistem girişi u’(t)

Sistem çıkışı

y(t) +

-

Sistem

Geri besleme birimi

Yükseltici- Dönüştürücü Kontrol

sinyali Hatasinyali

e(t) u(t)

Bozucu giriş b(t)

DC Gerilim Ayarı

Tetikleme Devresi

v_c Isıtıcı

220 v AC Transformatör

v_t

Direnç

Triyak Optik yalıtıcı

v₁

Şekil 1.23 Triyak kontrollü AC gerilimle bir elektrikli ısıtıcının sıcaklık kontrolü.

AC Gerilim Ayarı

Eğer kontrol edilecek sistemin girişi basınç, sıvı akışı, hareket vs.

gibi farklı türden bir fiziksel büyüklük ise zayıf güçlü elektriksel kontrol sinyali ile bu büyüklükleri ayarlayan bir dönüştürücü cihaz (aktüatör) ile sistem girişinin ayarlanması gereklidir.

Valflerin açma-kapama mekanizmaları:

 Elektrik enerjisi ile bir nüvenin

manyetik olarak çekilip-bırakılması,

 Elektrik motorları aracılığıyla,

 Elektrik enerjisi yardımıyla değeri

ayarlanabilen basıncın, nüveyi açma- kapama kuvveti, ile sağlanabilir.

Valfler: Selenoid ve oransal kontrol valfleri

Kontrolör Referans

giriş

r(t)

Sistem girişi u’(t)

Sistem çıkışı

y(t) +

-

Sistem

Geri besleme birimi

Yükseltici- Dönüştürücü Kontrol

sinyali Hata

sinyali

e(t) u(t)

Bozucu giriş b(t)

Doğrusal bir aktüatör (Gimson Robotics)

Doğrusal aktüatörler

Kontrolör

Güç yükseltici

M _TG

220 v AC

0-110 v 0-10 v u(t)

0-10 v w

Algılayıcı

Ra La

+ +

- -

10 v

r(t)

e(t)

DC Motor

Kontrolör Referans

giriş r(t)

Sistem girişi u’(t)

Sistem çıkışı

y(t) +

-

Sistem

Geri besleme birimi

Yükseltici- Dönüştürücü Kontrol

sinyali Hata

sinyali

e(t) u(t)

Bozucu giriş b(t)

1.1.3 Otomatik Kontrol Sistemi Örnekleri

Doğru Akım Motorlarının Hız Kontrolü:

Sıcaklık ve Nem Kontrolü:

220 v AC

Algılayıcı gerilimleri

AlgılayıcıNem Sıcaklık Algılayıcı

Sayısal kontrolör

Çıkış portları

Giriş portları

M

Elektrikli ısıtıcı

Nem motoru sürücüsü

Kontrol edilecek ortam

Güç yükselteci

tetikleme

Su girişi Kontrol

sinyalleri

Nem

Savunma düzeneği sürücüsü

Savunma düzeneği Kontrolör

+ -

Namlu ya da füze yönü Hedef

Otomatik yönlendirmeli ya da güdümlü savunma sistemleri.

Robot Kolları

1.2 Sistemlerin Karakteristikleri ve Sınıflandırılması 1.2.1 Temel Test Sinyalleri

t x(t)

0 A

t x(t)

0 A

1

t x(t)

0

Şekil 1.22 Rampa Şekil 1.21 Basamak

İmpulse’ ın örnekleme özelliği

න

−∞

∞

𝒇 𝒕 𝜹 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒇(𝟎 ) න

−∞

∞

𝜹 𝒕 𝒅𝒕 = 𝟏

Şekil 1.23 İmpuls

Sistemlerin Cevabını Bulma:

) t ( x e

) t (

y  ^{ 2 t}

dt ) t ( 2 dx )

t (

y 





t

0

dt ) t ( x 10 )

t ( y

a-) birim

cevabını bulunuz.

b-) birim basamak cevabını bulunuz.

c-) birim impuls cevabını bulunuz.

Örnek 1.1 Aşağıda verilen sistemlerin belirtilen girişler için cevaplarını bulunuz.

F{x(t)} y(t) x(t)

1.2.2 Sistemlerin Sınıflandırılması

 Dinamik ve Statik Sistemler

 Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Sistemler

 Zamanla Değişen ve Zamanla Değişmeyen Sistemler

) t ( tx 2 )

t (

y 

) t ( x ) wt (

Cos )

t (

y 





t 0

dt ) t ( x )

t ( y

1 )

t ( x 2 )

t (

y  

dt ) t ( 2 dx

) t (

y 

F{x(t)} y(t) x(t)

Kararlılık

y(t) y(t)

u(t)=1

t(s) t(s)

0 0

0

(a) (b)

Sınırlı giriş-sınırlı çıkış (SGSÇ) kararlılığı

Şekil 1.25 (a) Kararlı ve (b) kararsız sistemlerin birim basamak davranışları

Sistem

u(t) y(t)

Sistem

girişi Sistem

çıkışı Bozucu giriş

b(t)

Örnek 1.6 Aşağıda verilen sistemlerin kararlı olup olmadıklarını belirleyiniz.

) t ( x e

) t (

y  ^{ 2 t}

) t ( x )

t (

y 





t

0

dt ) t ( x 10 )

t ( y

) t ( dt x ) d

t (

y 

1.2.3 Doğrusal ve

Zamanla

Sabit katsayılı diferansiyel denklemler: Birinci dereceden

Örnek 1.7 a-) birim basamak ve b-) birim rampa cevabını bulunuz.

Başlangıç koşulları sıfır.

2 y ( t ) 10 x ( t )

dt ) t (

dy  

1 2 3

0 1 2 3 4 5

t(s) y(t)

(b)(a)

0 1 2 3

5 10 15 y(t)

t(s) (b)(c)

Sabit katsayılı diferansiyel denklemler: İkinci dereceden

) t ( x 4 )

t ( y dt 5

) t ( 2 dy dt

) t ( y d

2

2

  

Örnek 1.8 Aşağıda verilen ikinci dereceden doğrusal ve zamanla değişmeyen dinamik sistemin birim basamak cevabını bulunuz. Başlangıç koşulları sıfırdır.

t(s) y(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

İmpuls Giriş:

Örnek 1.9 Aşağıda verilen doğrusal ve zamanla değişmeyen dinamik sistemlerin birim impuls yani 𝑥 𝑡 = 𝛿(𝑡) için cevaplarını bulunuz. Başlangıç koşulları sıfırdır.

) t ( x 10 )

t ( y dt 2

) t (

dy   5 y ( t ) 4 x ( t )

dt ) t ( 2 dy dt

) t ( y d

2

2

  

0 1 2 3

2 4 6 8 10

t(s) h(t)

(a)(a)

0 2 4 6

-0.5 0 0.5 1

t(s) h(t)

(b)

1.3 Kontrol Kriterleri

Kontrolör Fc{e(t)}

r(t) + y(t)

-

Sistem F{u(t),b(t)}

e(t) u(t)

b(t)

Kapalı çevrim kararlılığı Yükselme süresi (tr),

Maksimum aşma (M), %M Yerleşme süresi (t_s)

Kalıcı durum hatası

Şekil 1.27 a-) Basamak cevabı üzerinden geçici ve sürekli durum kriterleri

b-) Rampa cevabı ve kalıcı durum hatası.

Bölüm 2: Kontrol Sistemlerinin Matematiksel Temelleri

Laplace Dönüşümü: Kısa hatırlatmalar

n m

) t ( u b dt ..

) t ( u b d

dt

) t ( u b d

) t ( y a dt ...

) t ( y a d

dt

) t ( y d

1 0 m

1 m 1

m m m m

1 0 n 1 n 1

n n

n



   

  





n a m

s a ...

s a

s

b s

b ...

s b

s b )

s ( U

) s ( ) Y

s ( G

0 1 1

1 n

n n m 1 1 0

1 m m

m

















 





 

Bölüm 2: Kontrol Sistemlerinin Matematiksel Temelleri

2.1 Transfer Fonksiyonu: ……..?

G(s)

U(s) Y(s)

G(s)

U(s) Y(s)

) t ( u dt 5

) t ( 4 du )

t ( y dt 3

) t ( 2 dy dt

) t ( y d

2

2

   

Örnek 2.1 Diferansiyel denklemi verilen ikinci dereceden sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz.

𝐺 𝑠 = 𝑌 𝑠

𝑈(𝑠) = s

(𝑠 + 2) 𝑠 + 3

Transfer fonksiyonu verilen sistemin diferansiyel denklemini bulunuz.

2.1.1 Transfer Fonksiyonu ve Sistem Karakteristikleri

) s ( U ) s ( G )

s (

Y 

G(s)

U(s) Y(s)

Örnek 2.2 Transfer fonksiyonu verilen birinci dereceden sistemin, a-) Birim impuls b-) Birim basamak cevabını bulunuz.

2 s

) 1 s (

G  

1. Sistemin cevabını belirleme

2. Sistemin kutupları, sıfırları ve karakteristik denklem ve Kararlılık: SGSÇ, Asimptotik ve Marjinal kararlılık

) p s

.(

)...

p s

)(

p s

(

) z s

( )...

z s

)(

z s

( ) K

s ( G

n 2

1

m 2

1











 

a-)

s ( s 1 ) ) 1

s (

G  

4 s

) s s (

G

 

) 5 s

2 s

)(

2 s

(

1 ) s

s (

G







 

Örnek 2.3.a Transfer fonksiyonu verilen sistemlerin kutup ve sıfırlarını s-düzleminde

göstererek kararlı olup olmadığını belirleyiniz.

4. Kalıcı durum kazancı _{K lim G ( s )}

0 dc



G(s)

U(s) Y(s)

Örnek : Transfer fonksiyonu verilen ikinci dereceden sistemin, a-) Kararlı olup olmadığını belirleyiniz.

b-) Birim basamak cevabını bularak grafiğini çiziniz.

c-) Kalıcı durum kazancını bulunuz.

s 2 s 5

) 2 s

( 5 . ) 2

s (

G





 

2.2 Blok Şemalar

R(s) E(s) Y(s)

X(s)

G(s)

H(s) +

-

T(s)

R(s) Y(s)

) s ( H ) s ( G 1

) s ( G )

s ( R

) s ( ) Y s (

T   

Kapalı çevrim (geri beslemeli) blok şema Seri ve paralel bağlı bloklar

4 s

) 1 s ( H 1 ,

s ) 6 s (

G  

 

Örnek 2.5 Şekilde verilen blok şemada, ileri besleme ve geri besleme yönündeki elemanların transfer fonksiyonları aşağıda verilmiştir.

a-) Sistemlerin bireysel olarak ya da açık çevrim kararlı olup olmadığını belirleyiniz.

b-) Kapalı çevrim sistemin kararlı olup olmadığını belirleyiniz.

c-) Kapalı çevrim sistemin kalıcı durum kazancını bulunuz.

d-) Kapalı çevrim sistemin birim basamak cevabını bularak grafiğini çiziniz.

R(s) E(s) Y(s)

X(s)

G(s)

H(s) +

-

2.2.1 Blok Şemaların Sadeleştirilmesi

1. Karmaşık bloğun çeşitli ara sinyal eşitlikleri yazılarak ve sonra da eşitliklerden ara sinyaller yok edilerek eşdeğer blok bulunabilir.

G2

R Y

G1 + -

G3

H2

H1

+ -

X

Örnek 2.6 Şekilde verilen blok şemanın, ara sinyal eşitliklerini yazıp sonra da yok ederek sadeleştiriniz ve eşdeğer transfer fonksiyonunu bulunuz.

2. Blok şemanın toplama noktasına gelen ya da ayrılma noktasından alınan sinyaller, blok eşitliğini bozmayacak şekilde bir bloğun ilerisine ya da gerisine taşınarak yukarıda açıklanan standart seri, paralel ve kapalı çevrim blok yapıları elde edilmek suretiyle sadeleştirme yapılabilir.

Devam:

G₂

R Y

G₁ X

+ +

G₂

R Y

G₁

X

+

+ 1/G₁

Toplama noktasına gelen bir sinyalin taşınması

G₂

R Y

G₁ -

+ G₂

R Y

G₁ -

+

G₂

Ayrılma noktasından alınan bir sinyalin taşınması

Örnek 2.7 Şekilde verilen blok şemayı sadeleştirerek eşdeğer tek bir blok haline

getiriniz.

I(s) 4s V(s)

2 + -

+ s -

+ 4 -

Örnek 2.8 Şekilde verilen blok şemayı sadeleştirerek sistemin transfer fonksiyonunu

bulunuz.

2.2.2 Bozucu Girişli Kontrol Sistemleri

G₂(s) R(s)

G₁(s) + +

H(s) +

-

Y(s) B(s)

T₁(s)

+ + T₂(s)

Y(s)

B(s)

R(s) Y₁(s)

Y₂(s)

G_p(s) R(s)

G_c(s) + +

H(s) +

-

Y(s) G_b(s) B(s)

+

Örnek 2.9 Şekilde verilen bozucu girişli kontrol sisteminde, G_p(s) in kontrol edilen sistem, G_c(s) in uygun tasarlanmış bir kontrolör ve H(s) in ise algılayıcı eleman olduğunu dikkate alalım. Şekilde verildiği gibi bir G_b(s) bağlanırsa bozucu girişin etkisi yok edilebilir mi?

Edilebilirse G_b(s) ne olmalıdır?

2.3 Sinyal Akış Şemaları

R(s) E(s) Y(s)

X(s)

G(s)

H(s)

+ -

o oo o

o o

R(s) E(s) G(s) Y(s)

-H(s)

1 Y(s) 1

Kapalı çevrim kontrol sisteminin blok şeması ve sinyal akış şeması.

Benzerlikler, farklılıklar ?

) ( ) (

) ( )

( ) ) (

( 1 G s H s

s G s

R s s Y

T   

Örnek 2.11 Verilen blok şemanın sinyal akış şeması karşılığını çiziniz. Sinyal

eşitliklerini yazarak şemaları sadeleştiniz ve eşdeğer transfer fonksiyonunu

bulunuz.

2.3.1 Sinyal Akış Şemalarının Sadeleştirilmesi:

R 1 Y

o oo ^G1 oo ^G2 oo ^G3 oo ^G4 o

-H₁ -H₂

G₅

-H₃ X

İleri besleme yolları ve yol kazançları ? Çevrimler ve çevrim kazanları ?

Birbirine dokunmayan çevrimler ?





 



1 k

k

T

s R

s s Y

T .

) (

) ) (

(

∆ =1-(bireysel çevrimlerin çevrim kazançlarının toplamı) + (Birbirine dokunmayan ikişerli çevrimlerin kazançlarının çarpımlarının toplamı)- (Birbirine dokunmayan üçerli çevrimlerin kazançlarının çarpımlarının toplamı)+ ....

∆_k = k. ileri besleme yolu sinyal akış şemasından çıkarıldıktan sonra geriye kalan sinyal akış şemasının ∆ değeridir.

Kazanç Formülü

Örnek 2.13 Şekil 2.14 de verilen sinyal akış şemasında, a-) Giriş ile Y çıkışı arasındaki,

b-) Giriş ile çıkış olarak alınan X ara düğümü arasındaki, c-) Ara düğüm X ile Y çıkışı arasındaki eşdeğer transfer fonksiyonunun bulunuz.

Örnek 2.14 Şekilde verilen sinyal akış şemasını kazanç formülü ile sadeleştirerek

sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz.

2.4 Durum Diyagramları

) t ( dt bu

) t (

dx 

Özel yapıdaki…! blok şema ya da sinyal akış şemalarıdır.

birinci dereceden doğrusal bir sistemin diferansiyel denklemi ya da durum denkleminin, 𝑑𝑦 𝑡

𝑑𝑡 + 𝑎𝑦 𝑡 = b𝑢 𝑡

Yüksek dereceden ve girişin türevlerini ihtiva etmeyen doğrusal bir sistemin diferansiyel denklemi ve durum diyagramı. _𝑑n𝑦 𝑡

𝑑𝑡ⁿ + 𝑎_𝑛−1 𝑑ⁿ⁻¹𝑦 𝑡

𝑑𝑡ⁿ⁻¹ + ⋯ + 𝑎₁ 𝑑𝑦 𝑡

𝑑𝑡 + 𝑎₀𝑦 𝑡 = 𝑏𝑢 𝑡

Yüksek dereceden ve girişin türevlerini ihtiva etmeyen doğrusal bir sistemin diferansiyel denklemi ve durum diyagramı (Laplace bölgesi sinyal akış biçiminde).

𝑑ⁿ𝑦 𝑡

𝑑𝑡ⁿ + 𝑎_𝑛−1 𝑑ⁿ⁻¹𝑦 𝑡

𝑑𝑡ⁿ⁻¹ + ⋯ + 𝑎₁ 𝑑𝑦 𝑡

𝑑𝑡 + 𝑎₀𝑦 𝑡 = 𝑏𝑢 𝑡

2.4.2 Durum Diyagramından Durum Denklemini Elde Etme

) t ( u 5 )

t ( y dt 4

) t ( 3 dy dt

) t ( y 2 d

dt ) t ( y d

2 2 3

3

   

Örnek 2.15 Diferansiyel denklemi verilen sistemin durum diyagramını çizerek durum

denklemlerini yazınız. Başlangıç koşulları sıfır alınmıştır.

2.4.3 Transfer Fonksiyonlarının Durum Diyagramı

Kanonik gerçekleme

Örnek 2.16 Verilen transfer fonksiyonunun kontrol edilebilir kanonik formda durum diyagramını çizerek durum denklemini çıkarınız.

1 s 3 s

2 s

4 s

s U

s s Y

G







 

 ( ) ) ) (

(

U Y

o 1 oo o

-c

o o

s^-1 b

a

U Y

o 1 oo o

-c s^-1

o a

U

Y

o 1 oo oo ^s o

-1 5

-2 -4

3

o o

s^-1

x₂ x₁

x2

x1

c s

as s

U s s Y

G   

) (

) ) (

(

Örnek 2.18 Aşağıda verilen a-) birinci dereceden ve b-) ikinci dereceden transfer fonksiyonlarının örnek 2.16’yı dikkate alarak doğrudan durum diyagramlarını çiziniz.

c s

b as

s U

s s Y

G 

 

 ( ) ) ) (

(

4 s

2 s

5 s

3 s

U s s Y

G





 

 ( ) ) ) (

(

Seri (kaskat) gerçekleme

Örnek 2.19 Basit çarpanlarına ayrılmış halde verilen transfer fonksiyonunun durum diyagramını çizerek durum denklemini çıkarınız.

) )(

)(

(

) (

) (

) ) (

( s 1 s 2 s 3

2 s

s s

U s s Y

G   

 



Paralel gerçekleme

Örnek 2.20 Basit kesirlerine ayrılmış halde verilen transfer fonksiyonunun durum diyagramını çizerek durum denklemini çıkarınız.

13 s

4 s

5 3

s s 2

G



 

 

)

(

2.4.4 Durum Denkleminden Transfer Fonksiyonunu Elde Etme

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

t Du t

Cx t

y

t Bu t

Ax t

x











s U

s s Y

G   (  )^1 

) (

) ) (

(

D B

A SI

C s

TM( ) (  )^1 

Örnek 2.22 Verilen durum denkleminden sistemin transfer matrisini bulunuz

 

 



 



 



 

 

 



 



 







 

 

 





) (

) ( )

( ) ( )

( ) (

t u

t u 2

0 0

1 t

x t x 3 2

0 1 t

x t x

2 1 2

1 2

1



       _



 



 

 

 



 

(t) u

(t) 2 u

(t) 1 x

(t) 1 x

0 y(t)

2 1 2

1

) ) (

( ) ( )

( )

( u t

2 0 t

x t x 3 2

4 1

t x

t x

2 1 2

1 



 



 



 







 









 



 









( )   7 u ( t )

(t) x

(t) 6 x

5 t

y

2

1

 



 



 

Örnek 2.23 Verilen durum denkleminin durum diyagramını çizerek transfer fonksiyonunu

bulunuz.

) ( ) ..

( )

) ( ( ) ...

( )

( b u t

dt

t u b d

dt t u b d

t y dt a

t y a d

dt t y d

1 0 m

1 m 1

m m m m

1 0 n 1 n 1

n n

n



   

 

0 1 1

1 n

n n m 1 1 0

1 m m

m

a s

a s

a s

b s

b s

b s

b s

U s s Y

G    







 

 _



 

...

...

) (

) ) (

(

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

t Du t

Cx t

y

t Bu t

Ax t

x











Bölüm 3 : Dinamik Sistemlerin Matematiksel Modellenmesi

3.1 Dinamik Sistemler ve Matematiksel Modelleri : Diferansiyel denklemler,

Transfer fonksiyonları ve Durum Denklemleri

Temel devre elemanının uç denklemleri : Zaman ve Laplace bölgesinde

3.2 Elektriksel Sistemler

Direnç:

Kondansatör:

Bobin:

i(t) R

+ v(t) -

i(t) C

+ v(t) -

i(t) L

+ v(t) -

3.2.1 Elektriksel Sistemlerin Modellenmesi İki önemli yasa:

Çevre Akımları Yöntemi: Yönleri arzu edildiği gibi seçilen çevre akımları cinsinden yazılmak üzere kapalı bir çevredeki gerilimlerin cebirsel toplamı sıfırdır.

Düğüm Gerilimleri Yöntemi: Seçilen bir ortak düğüme göre

belirlenen düğüm gerilimleri cinsinden yazılmak üzere bir düğüm

noktasındaki akımların cebirsel toplamı sıfırdır.

Örnek olarak, şekildeki devrenin diferansiyel denklemi ve Transfer Fonksiyonu.

R C

L

+ v₀(t)

- v(t)

R 1/sC

sL

+ V0(s)

-

V(s) I1(s) I2(s)

(b)

1-) Doğrudan denklemler yazılabilir.

2-) Blok-sinyal akış şeması çizilerek de TF çıkarılabilir.

Durum denklemi modeli.

o o

o

v(t) R C

L o o

o

v(t) R C

L

(a) (b)

Temel kesit

) ) (

( ) ( )

( )

( v t

L 01 t

i t v L 0

1 C

1 RC

1 t

i t v dt

d

L c L

c











 



 





















 



 





is(t) C L

R i(t)

Örnek: Diferansiyel denklemini, transfer fonksiyonunu ve durum denklemini elde ediniz.