FZM450 Elektro-Optik. 5.Hafta. Optik Sabitlerin Frekansa Bağlılığı

© 2008 HSarı 1

FZM450 Elektro-Optik

5.Hafta

Optik Sabitlerin Frekansa Bağlılığı

© 2008 HSarı 2

5. Hafta Ders İçeriği

• Değişken elektrik alanda dipol momenti

• Dielektrik Ortam

• Metal Ortam

© 2008 HSarı 3

Şimdiye kadar olan incelememizde dış elektrik alanı sabit olarak kabül ettik. Maddenin dielektrik sabiti ε, frekansa (ω) nasıl bağlıdır? ε nin frekansa bağlılığını klasik modeli kullanarak bulmaya çalışalım Klasik modelde (-) yüklü elektron, (+) yüklü çekirdeğe belli bir denge konumunada bağlıdır.

+e - e

E E≠0

( . )

( , ) =

E z t E e

=

o o

E E i (0, ) =

E t E e

z x

y k

EM dalganın + z-yönünde ilerlediğini düşünürsek, daha önce bulduğumuz dalga denkleminin çözümü

z=0 da

Elektrik alan uyguladığımızda atomdaki elektronların dağılımını değiştiririz ve elektronu denge konumu etrafında salınım yapmaya zorlarız.

+e - e

E=0

Dielektrik Sabitinin Frekansa Bağlılığı

E

+e - e

E(ω)

+e - e

E(ω) E≠0

μ(ω)

μ(ω)

© 2008 HSarı 4

(dx) =  dt x

γ γ

= − − +

 

e dıs

m x kx γ x F

Bu salınım sırasında hıza bağlı olarak bir kayıp olacaktır. Enerji kaybını

şeklinde yazabiliriz. Burada γ hızla orantılı kayıp katsayısıdır

+ + =

 

e e

x x k x F

m m

γ

Burada k, geri çağırıcı kuvvet sabiti, m_e elektronun kütlesi, x elektronun yerdeğiştirmesi

ve F_dış ise dışardan uygulanan kuvvettir (EM dalga durumunda elektriksel kuvvet yani F_dış=qE).

x(t)=(homojen kısmının çözümü)+(özel çözüm)

F

=-kx

Elektronun hareket denklemi

Yay kuvveti

Atoma bağlı elektronun hareketini denge noktası etrafında harmonik titreşim yapan yay gibi düşünebiliriz x=0

m_e, q

şeklinde yazılabilir.

Yukarıdaki denklem düzenlenirse

Bu dif. denklemin çözümü x F_y

© 2008 HSarı 5

+ + = 0

 

e e

x x k x

m m

γ

( ) =

h o

x t x e

Homojen kısmının (F_dış=0 durumunda) çözümü x_h(t):

çözümün

şeklinde olduğunu düşünebiliriz (burada Ω elektronun salınm frekansıdır) Bu frekans değerini bulmaya çalışalım

(−Ω +2 + Ω ) 0=

e e

k i

m m

γ ²

2 4 2

Ω = −± ± −

e e e

i k

m m m

γ γ

Ω = ±± ≡ _o

e

k

m

ω

2

( )

4 2

( ) =

i k t

m m m

h o

x t x e e

γ γ

Eğer γ=0 =>

Burada (γ/2m) ifadesi sönüm katsayısı olarak bilinir.

Çözümü yukardaki homojen denklemde yerine koyarsak

Homojen kısmın açık çözümü

Bu terime rezonans frekansı denir

© 2008 HSarı 6

= − E = − E

F

e e e

+ + = = − E

 

e e

x x k x F e e

m m

γ

( ) =

p o

x t x e

Çözümün

2

( ) ( ) 1

( )

= −

− − +

o i t p

e

e e

x t eE e

m i k

m m

γ

ω ω

Elektronun da EM dalganın ω frekansı ile salındığını düşünürsek

Özel kısmın çözümü

Homojen kısmının (F_dış≠0 durumunda) çözümü x_p(t):

© 2008 HSarı 7

o ≡

e

k ω m

2 2

( ) ( ) 1 ( )

( )

p

e o

e

x t e E t

m i

m

ω ω γ ω

=

− +

2 2

( ) ( ) ( )

( )

>> ≅

− _o +

e

e E t

x t T

m i

m ω ω γ ω t >> T=2π/ω durumunda

x(t), elektronun dış elektrik alandan dolayı (+) yüklü iyona göre göreli yerdeğiştirmesidir.

Bundan yola çıkarak dipol momentini tanımlamaya çalışırsak.

Dipol momenti tanımından, p=qd atomun dipol momenti μ_atom μ_atom=|e|x(t)

Polarizasyon vektörü P=(Toplam dipol momenti)/Hacim

2

2 2

( ) | | ( ) ( ) ( )

( )

o

e o

e

e N E t

t e x t N

m i

m

ε χ ^{= =} ω −ω + γ ω

E

2

2 2

( ) ( ) 1

( )

o o

e

e N

m i

m χ ω ⁼ ε ω −ω + γ ω

|P|= μ_atomN

Burada N birim hacim başına düşen atom sayısıdır. Polarizasyon vektörünü kısaltmasını yaparsak özel çözümü

x_p(t>>T) =>

x(t)=x_h(t)+x_p(t)

x_h(t>>T) => 0

P=ε_oχE=|e|x(t)N şeklinde yazabiliriz

© 2008 HSarı 8

2

2 2

( )

( )

=

− +

p

o

e

i m χ ω ω ωω γ ω

2

2 2

ˆ

( )

o p o

o

e

im ε ε^{= +} ω −ωε ω+ γ ω

2 2 2

2 2

2 2 2

2

( )

ˆ( )

( )

o p o

o e

o

e

im

m ε ω ω ω γ ω ε ω ε

ω ω γ ω

− −

= +

− +

2 2 2

2 2

2 2 2

2

( )

Re ( )ˆ

( )

o p o

o

o

me

ε ω ω ω ε ω ε

ω ω γ ω

= + −

− +

Burada kısaltması yapılırsa ( bu terimine “plazma frekansı” denir)

Elektriksel yerdeğiştirme vektörü D’nin tanımından

Herhangi bir kayıp kompleks ε ifadesine neden olmaktadır!

Frekansa bağlı elektriksel geçirgenlik

2

2 2

( ) ( ) 1

( )

o e

o

e

e N

m i

m χ ω ⁼ ε ω −ω + γ ω

Plazma frekansı cinsinden elektriksel alınganlık

Benzer şekilde maddenin elektriksel geçirgenliğinin (ε) frekansa bağlılığını bulalım

E ) (

E E

P E E

D =ε = ε_o + = ε_o +ε_oχ = ε_o 1+χ

[ ^{1 ( )} ]

=

+

ε ε χ ω

2

2 2

2 2 2

2

( )

Im ( )ˆ

( )

o p e

o

e

m

m ε ω γ ω

ε ω ω ω γ ω

=

− +

2 ≡ 2 p

o e

Ne

ω

ε

© 2008 HSarı 9

2 2 2

2 2

2 2 2

2

( )

ˆ( )

( )

o p o

o e

o

e

im

m ε ω ω ω γ ω ε ω ε

ω ω γ ω

− −

= +

− +

2 2 2

2

2 2

2 2 2

2

( )

Re ( ) 1ˆ

( )

p o

o

e

n

m ω ω ω

ω ω ω γ ω

= + −

− +

2 2

2 2

2 2 2

2

( )

Im ( )ˆ

( )

o p e

o

e

n m

m ε ω γ ω

ω ω ω γ ω

=

− +

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

( )

ˆ( )

( ) ( )

o p

o p o e

o

o o

e e

i m

m m

ε ω γ ω ε ω ω ω

ε ω ε

γ ω γ ω

ω ω ω ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= + −

⎢ − + ⎥ ⎢ − + ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2

2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

( )

ˆ ( ) ˆ 1

( ) ( )

p

p o e

o o

e e

n i m

m m

ω γ ω ω ω ω

ω ε

γ ω γ ω

ω ω ω ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= = + −

⎢ − + ⎥ ⎢ − + ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

© 2008 HSarı 10 ω

Re(n²)

1

ω İm(n²)

f_o/(γω_o/m_e)

ω_o

ω n

ω_o

Anormal dağınım

Normal dağınım

> 0

ω

dn < 0

ω

dn

n(ω) Beyaz ışık

Normal dağınımda

kırılma indisi frekans ile artar

Düşük frekanslarda n statik değerini verir

İletken durum (elektronların atoma bağlı olduğu durum) k=0, γ≠0 Dielektrik Durum (elektronların atoma bağlı olduğu durum) k ≠ 0, ω_o ≠ 0 γ≠0

Anormal dağınımda kırılma indisi frekans ile azalır

© 2008 HSarı 11 ω

Reκ 1

ω İmκ

ω_o

görünür bölge

çok küçük bir soğurma vardır

yüksek frekanslarda soğurma büyük olacağından cam saydam olmaz n(ω)

Beyaz ışık

ω_mavi ω

n

1

ω_kırmızı

Normal dağınım

n(ω) Beyaz ışık

ω_mavi ω n

1

ω_kırmızı

Anormal dağınım

Normal ve anormal bölgeler ne anlama gelmektedir?

Bu bilgilerden camın neden görünür bölgede saydam olduğunu açıklayabiliriz

Camın rezonans frekansı görünür bölgenin dışındadır. Dolayısı ile görünür bölgede soğrulma olmaz.

© 2008 HSarı 12

Tek bir rezonans frekans düşündük. Eğer farklı frekanslarda madde içinde soğurma olursa

ω Reκ

ω İmκ

ω_o1 ω_o2 ω_o3

Soğurma

∑

− ω ω

−

= ω κ

i

e oj

e oj

p

i m )

(

m ) i (

) ˆ(

2 2 2 2

2 2

2 2 2

1

© 2008 HSarı 13

o

n

ε

ω ω

ε

2 2 2

2 2 2

4 2

2 2

Re ( )ˆ = − = −

+ +

o p o p

o o

e e

m m

ε ω ω ε ω

ε ω ε ε

γ ω γ

ω ω

ˆ( )

ˆ ( ) = = ˆ

o

ε ω n κ ω ε

2

2 2

2

Re ˆ = = − 1

+

o

e

n f

m

κ ω γ

2

2 2

4 2 3

2 2

( ) ( )

ˆ = ( )= =

+ +

o o o

e e

e e

f f

m m

İm İm n

m m

γ γ

ε ω

κ ω γ ω ω γ ω

Frekansa bağlı kompleks kırılma indisi

Burada kısaltması yapıldı

olduğu hatırlanırsa Kompleks dielektrik sabiti (κ)

γ ω + ω

ε γ

= ω ε

2 2 3

e e o o

m f m )

ˆ( Im İletkenler için (bağlı elektronlar veya dipoller yerine serbest elektronlar) yay sabiti k=0 ω_ο=0 fakat γ≠0 olacağından

≡

o p

f ω

2 2

2 2 4

2

( )

ˆ( )

+

= −

+

o p

e o

e

i m

m

ε ω ω γ ω ε ω ε

ω γ ω

© 2008 HSarı 14

ˆ( )

ˆ ( ) = = ˆ

o

ε ω n κ ω ε

2

2 2

2

Re( ( )) 1

e

n f

m

ω ω γ

= +

+

2

3 2

2

( ) ( ( ))

o e

e

f m İm n

m

γ

ω ω γ ω

=

+

İletkenler için (bağlı elektronlar veya dipoller yerine serbest elektronlar) yay sabiti k=0 ω_ο=0 fakat γ≠0

≡

o p

f ω

2 2

2 2 4

2

( )

ˆ( )

o p o e

e

i m

m

ε ω ω γ ω ε ω ε

ω γ ω

−

= +

+

2 2

2 2

2

Re ( ) 1ˆ ^p

e

n

m

ω ω

ω γ

= +

+

2 2 2

2 2

2 2 2

2

( )

ˆ( )

( )

o p o

e o

o

e

im

m ε ω ω ω γ ω ε ω ε

ω ω γ ω

− −

= +

− +

ω_o=0

2 2

2

3 2

2

( ) Im ( )ˆ

p e

e

n m

m

ω γ

ω ω γ ω

= −

+

2 2 2

2 2 2 2

4 4

2 2

ˆ( )

o p

o p e

o

e e

i m

m m

ε ω γ ε ω ω

ε ω ε

γ ω γ ω

ω ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= + −

⎢ + ⎥ ⎢ + ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

© 2008 HSarı 15 ω

Reκ 1

ω_p

ω İmκ

≈1/ω³

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

+

−

=

2 2 2

1 )

ˆ( Re

e o o

m f

ω γ ε

ω ε

2 3 2

) ( )

ˆ (

e e o o

m f m

İm ω γ

ε γ ω

ε

+

=

2

2 2

2

Re ˆ = = −1

+

o

e

n f

m

κ ω γ

2

2 3

2

Im ( ) Imˆ = =

+

o e

e

f m n

m γ

κ ω ω γ ω

Elektriksel geçirgenliğin gerçek ve imajiner kısmı

Dielektrik sabitini κ’yı yazarsak

© 2008 HSarı 16

2 2 2

1 0

e p

o

m f ω + γ

−

=

o p

p

o

f

f ⇒ =

−

≈ 1

0 ω

ω

e o

p m

Ne

ω

ε

26 31

10

2 19 23

2

2 10

) 10 )(

10 (

) 10 )(

10

( ≅

≅

= ₋ ⁻₋

e o

p m

Ne ω ε

EM dalganın frekansının (ω) plazma frekansına (ω_p) eşit olduğu duruma bakalım

ω_p >> γ/m_e durumunda

N= Serbest elektron yoğunluğu (birim hacım başına)

Görünür bölge frekansı ω=10¹⁴-10¹⁵Hz, dolayısı ile plazma frekansı görünür bölgenin altındadır

Reκ<0

ω Reκ

1

ω_p

Reκ>0

κ’nın gerçek kısmının sıfır olduğu duruma bakalım

ω=ω_p

Tipik plazma frekansının değeri ne mertebededir?

1013 p ≅ ω

© 2008 HSarı 17

κ

≅ Re n

2

1 1 +

= − n R n

2 2

2

1 ) 1 1 1 (

) 1

)(

1 ( 1

1

α α α

α α

α

i i i

i i

R i

+

= − +

−

= − +

= −

Eğer atmosfere radyo frekansı plazma frekansına eşit bir elektromanyetik dalga gönderilirse ne olur?

n=iα tümüyle kompleks (Reκ < 0 )

Yansıtma katsayısını kırılma indisi cinsinden yazarsak Yansıtma katsayısına bakalım

(yansıtma katsayısı R’yi n cinsinden yazarsak)

R=1 yansıtma katsayısı 1, dalganın hepsi yansıyacak

A

B

Dünya üzerindeki A ve B noktaları arasındaki iletişim için kullanılacak EM dalganın frekansı ω_p’nin altında olmalıdır

C noktası için ise ω_p’nin üstünde olmalıdır C

1

2

*

= z

z

ω Reκ

1

ω_p

ω İmκ

© 2008 HSarı 18

Özet

2

2 2

( )

( )

=

− +

p

o

e

i m χ ω ω ωω γ ω

2

2 2

ˆ

( )

= −

− +

o p o

o

e

i m ε ε ω ωε ω γ ω

Dielektrik durumunda

İletken durumunda

[

]

= _o + ε ε χ ω

2 2 2

2 2

2 2 2

2

( )

ˆ( )

( )

− +

= −

− +

o p o

o e

o

e

i m

m ε ω ω ω γ ω ε ω ε

ω ω γ ω

ω Reκ

1

ω İmκ

ε_of_o/(γω_o/m_e)

ω_o

2 2

2 2 4

2

( )

ˆ( )

+

= −

+

o p

o e

e

i m

m

ε ω ω γ ω ε ω ε

ω γ ω

ω Reκ

1

ω_p

ω İmκ

≈1/ω³ E(z,t)

y

z x ^χ,ε(ω)