BÖLÜM 12 KİRİŞLERDEKİ KESİT ZORLARI KESME KUVVETİ VE EĞİLME MOMENTİ DİYAGRAMLARI

BÖLÜM 12

KİRİŞLERDEKİ KESİT ZORLARI

KESME KUVVETİ VE EĞİLME MOMENTİ DİYAGRAMLARI 12.1 Kirişlerde kesit zorları

Bir kirişin enine kesitindeki iç kuvvetlerin ve momentlerin kesit düzleminde ve kesite dik olmak üzere alınan bileşenlerine kesit zorları denir. Kirişlerin boyutlandırılmasında kesit zorlarının bilinmesi

hesapları kolaylaştırır. Kesit zorlarının bileşenleri etki şekline göre aşağıdaki gibi isimlendirilir.

Normal kuvvet : Kesite etki eden iç kuvvetin kesite dik bileşeni.

Kesme kuvveti : Kesite etki eden iç kuvvetin kesit düzlemindeki bileşeni.

Burulma momenti: Kesite etki eden momentin kesite dik bileşeni.

Eğilme momenti : Kesite etki eden momentin kesit düzlemindeki bileşeni.

12.2 Kesit zorları için kabul edilen pozitif yönler

Normal kuvvet ve burulma momenti kesitten dışarı doğru ise pozitif kabul edilir.

Kesme kuvveti kesit düzleminin ayırdığı parçalardan sağdakini aşağı doğru harekete zorluyorsa pozitif alınır.

Eğilme momenti kirişi aşağıya doğru bel verecek şekilde eğerse pozitif alınır.

V M

V M

Kesitteki iç kuvvetler ( pozitif kesme kuvveti V ve Pozitif Eğilme momenti M )

Pozitif kesme kuvvetinde dış kuvvetlerin etkisi

Pozitif eğilme momentinde dış kuvvetlerin etkisi

12.3Yayılı yük , kesme kuvveti ve eğilme momenti arasındaki bağıntılar

q

q(x)

B

A x C D E

xC dx xD

Şekilde yayılı yük etkisindeki basit mesnetli bir kiriş gösterilmektedir.

Bu kirişden alınan bir diferansiyel eleman üzerinde etkiyen kuvvetler ve bu elemanın dengesi düşünülerek aşağıdaki denklemler yazılabilir.

dx/2 q dx

V

M M+dM

C dx D V+dV

0 ( ) 0

y

F V V dV q dx dV = q dx dV = q

         dx 



Böylece kesme kuvvetinin kesit uzunluğu boyunca türevi o noktadaki

dV q dx 

E

C X

E C

X

V V  



Buradan E ve C noktaları arasındaki kesme kuvveti farkının bu noktalar arasında yayılı yük diyagramı altındaki alana eşit olduğu anlaşılır.

2

0 ( ) 0

2 1( )

2

D

M M dM M V dx q dx dx

dM V dx dx dM V dx

      

    



Bu son ifadeden eğilme momentinin kiriş uzunluğu boyunca türevinin kesme kuvvetine eşit olduğu anlaşılır.

^E

C X

E C

X

dM V dx M M 



Buradan E ve C noktaları arasındaki eğilme momenti farkının bu

noktalar arasında kesme kuvveti diyagramı altındaki alana eşit olduğu anlaşılır.

12.4Kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramları

Kiriş kesiti boyunca kesme kuvveti ve eğilme momenti

diyagramlarının çizilmesi bu büyüklüklerin izlenmesi ve buna göre kirişin ölçülendirilmesi mühendislik açısından önemlidir. Bu

diyagramların çiziminde en çok kullanılan yöntem kesit yöntemidir.

Kesit yönteminde kiriş uzunluğu boyunca bazı özel noktalarından ( tekil yük etki noktaları yayılı yük başlangıç ve bitiş noktaları)

bölgelere ayrılır.

Bu her bölge başlangıcı ve az evveli olmak üzere kesitler alınıp kesitin sol tarafının dengesi için yazılan denklemlerden kesme kuvveti ve eğilme momenti değerleri hesaplanır. Elde edilen

değerler yardımıyla kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramları çizilir.

Problem 12.4.1 Şekilde görülen kirişte , verilen yükleme durumu için , kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarını çiziniz.

20 kN 10 kN

B A D C

1,25 m 1,5 m 1 m

Çözüm:

20 kN 10 kN

B A D 1 2 3 4 C 5 6

1,25 m RB 1,5 m 1 m RD

Tüm kiriş için denge denklemleri:

0 10 20 0 30

y B D B D

F   R  R     R  R  kN



0 2,5 1, 25 10 1,5 20 0 7 23

B D D

B

M R R kN

R kN

        

 



1 kesitinin solundaki kiriş parçası için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri :

10 kN

2 kesitinin solundaki kiriş parçası için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri :

10 kN

3 kesitinin solundaki kiriş parçası için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri :

10 kN

1,25

V1

V M

M1

1 1

0 10 0 10

Fy        V V kN



1 0 1 0 10 0 1 0

M   M     M 



V2

M2



2 0 2 10 0 2 10

M   M  x   M   x



x

3 3

0 10 23 0

13

Fy V

V kN

     

 



3 3

3

0 10 1.25 0

12.5

M M

M kNm

    

  



B 23

R  kN V3

M3

4 kesitinin solundaki kiriş parçası için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri :

10 kN

1,25 m x

5 kesitinin solundaki kiriş parçası için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri :

20 kN 10 kN

B A

1,25 m 1,5 m

4 4

0 10 23 0 13

Fy     V  V  kN



4 0 4 10 23( 1, 25) 0 4 13 28.75

M   M  x x  M  x



B 23

R  kN

V4

M4

B 23

R  kN

V5

M5

5 5

0 10 23 20 0 7

Fy        V V   kN



5 0 5 10 2.75 23 1,5 0 5 7

M   M       M  kNm



6 kesitinin solundaki kiriş parçası için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri :

20 kN 10 kN

B A C

1,25 m 1,5 m x

6 6

0 10 23 20 0 7

Fy      V  V   kN



D noktasındaki yüzeyin solundaki kiriş parçası için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri :

20 kN 10 kN

B D A C 1,25 m 1,5 m 1 m

0 10 23 20 7 0 0

y D D

F       V  V 



B 23

R  kN

V6

M6

6 6

6

0 10 23( 1, 25) 20( 2,75) 0

7 26, 25

M M x x x

M x kNm

       

   



B 23

R  kN R_D  7kN V_D MD

0 10 3,75 23 2,5 20 1 0 0

D D D

M  M         M 



20 kN 10 kN

1 2 3 4 5 6 1,25 m 1,5 m 1 m

13 kN

x -7 kN -10 kN

7 kNm

x

-12,5 kNm

B 23

R  kN A

B

D C

D 7

R  kN

Problem 12.4.2 Şekilde görülen C de ankastre mesnetli kirişin , verilen yükleme durumu için , kesme kuvveti ve eğilme momenti

diyagramlarını çiziniz.

A

a B C L

Çözüm:

Tüm kiriş için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri : y

A x B C

a L

0 0

X Cx

F   R 



0 0

0 0

2 2

y Cy Cy

q a q a

F   R    R 



2

0 0 0

0

0

0 0

3 2 6 2

(3 ) (benzerlikten)

C C C

C

q a q a q a

M M L a M L

q a q a x a x

M L a q q

 

        

 

      



q0

MC Cx

R

Cy

R q0

0

2 q a

q

x / 3

a

kirişin A ile B arasındaki bir kesiti için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri:

0 0

0

0 0 0

0 2

0

( ) ( )

0 0

2 2

( ) (2 )

2 2 , 2

y D D

D D

q q x q q x

F V qx V

q a x

q q x q x x

a a q

V V x q x

a

 

        

  

     



0

2

2 2 2 0 0

0 0

( ) 2 1

0 0

2 3 2

(3 )

( ) (2 )

3 2 6 6

D D

D

q q x

M M x qx x

q xq x

q q x qx q q x a

M

     

  

       



3 2

q q

 

q0 q

0

2 q q

q

q qx

VD

MD

A

D

x / 2

x y

B noktasında x = a dır.

^{0 2} ₀ ⁰

2 2

B

q q

V a q a a

 a   

3 2 2

0 0 0

6 2 3

D

q q q

M a a a

 a   

kirişin B ile C arasındaki kesitlerinde serbest cisim diyagramı

0 0

0 0

2 2

y E E

q a q a

F    V  V  



2

0 0 0

0 ( ) 0

2 3 2 6

E E E

q a a q a q a

M   M  x   M   x



C noktasın da x = L dir.

2

0 0 0 (3 )

2 6 6

C

q a q a q a

M   L    L a

0

2 q a

/ 3 a

a A

B E

x y

q0

VE

MD

Tüm kiriş için kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramı :

0

2 q a

/ 3 a

x a

L

A B ^C x

q0

q

RCx

RCy

x

x MC

0 2

2 0

V q x q x

 a 

0 B C 2

V V  q a

3 2

0 0

6 2

q q

M x x

 a  ^{0 2}

B 3

M  q a

2

0 0

2 6

q a q a

M   x ₀

(3 )

C 6

M  q a La

Problem 12.4.3 Basit mesnetli AC kirişine B noktasından

şiddetinde bir kuvvet çifti uygulanmıştır. Bu kiriş için kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarını çiziniz.

A B C

a

L Çözüm:

Tüm cisim için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri:

A B C a L

0 0

y A C C A

F   R  R   R  R



0 0 ^B , ^B

C B A A C

M M

M M R L R R

L L

       



Kirişin A ile B arasındaki bir kesiti için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri:

A D

MB

MB

MB

RA

RC

RA

VD

MD

x

0 0

y A D

B

D A

F R V

V R M

L

   

  



0 0

D D A

B

D A D

M M R x

M R x M M x

L

   

   



Kirişin A ile C arasındaki bir kesiti için serbest cisim diyagramı ve denge denklemleri:

0 0

0 0

, (1 )

B

y A E E A E D

E E B A E A B

B

E B E B

F R V V R V V M

L

M M M R x M R x M

M x

M x M M M

L L

        

       

    





VE

ME

MB

A B E

x a

RA

AC kirişi için kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramları :

A B C

a L

MB

x

x

RA R_C

MB

L x MB

L

B

M a L

(1 )

B

M a

  L

(1 )

B

M x

  L