R31 Minkowski uzayında yüzey üzerine eğrilerin elastik olmayan hareketleri

3

\

1

MøNKOWSKø UZAYINDA YÜZEY ÜZERøNDE

EöRøLERøN ELASTøK OLMAYAN HAREKETLERø

YÜKSEK LøSANS TEZø

Önder Gökmen YILDIZ

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATøK

Tez Danıúmanı : Prof. Dr. Murat TOSUN

Haziran 2011

ii_



TEùEKKÜR

Bu çalıúmanın hazırlanmasında de÷erli zamanını ayıran, her aúamasını titizlikle de÷erlendirip, önerileriyle yol gösteren danıúman hocam Sayın Prof. Dr. Murat TOSUN’a minnet ve úükranlarımı sunarım.

Çalıúmam süresince bana vakit ayıran, özenle çalıúmalarımı takip eden, her zaman ve her konuda deste÷ini gördü÷üm Arú. Gör. Dr. Mahmut AKYøöøT’e teúekkürü bir borç bilirim.

Çalıúmam sırasında ellerinden gelen her türlü deste÷i ve sabrı gösteren aileme en derin duygularla teúekkür ederim.

iii

TEùEKKÜR... ii

øÇøNDEKøLER ... iii

SøMGELER VE KISALTMALAR LøSTESø... v

ùEKøLLER LøSTESø ... vi

ÖZET... vii

SUMMARY... viii

BÖLÜM 1. GøRøù………... 1

BÖLÜM 2. TEMEL KAVRAMLAR………... 2.1. E , 3-boyutlu Öklid Uzayında Temel Kavramlar………³ 3 2.2. E , 3-boyutlu Minkowski Uzayında Temel Kavramlar…………... ³ 9 BÖLÜM 3. ÖKLøD VE MøNKOWSKø UZAYINDA UZAY EöRøLERøNøN FRENET ÇATISINA GÖRE ELASTøK OLMAYAN EöRø HAREKETLERø... 19

3.1. E , Öklid Uzayında Uzay E÷rilerinin Elastik Olmayan ³ Hareketleri……… 19

3.2. E₁³, Minkowski Uzayında Uzay E÷rilerinin Elastik Olmayan Hareketleri……… 25

BÖLÜM 4. ÖKLøD UZAYINDA DARBOUX ÇATISINA GÖRE ELASTøK OLMAYAN EöRø HAREKETLERø ... 32

iv BÖLÜM 5.

MøNKOWSKø UZAYINDA YÖNLENDøRøLEBøLøR YÜZEYLER

ÜZERøNDEKø NON-NULL EöRøLERøN ELASTøK OLMAYAN

HAREKETLERø ……….……... 44

5.1. E₁³, 3-Boyutlu Minkowski Uzayında Yönlendirilebilir Timelike Yüzey Üzerindeki Non-Null E÷rilerin Elastik Olmayan Hareketleri….. 44 5.2. E₁³, 3-Boyutlu Minkowski Uzayında Yönlendirilebilir Spacelike Yüzey Üzerindeki Spacelike E÷rilerin Elastik Olmayan Hareketleri …. 56

BÖLÜM 6.

SONUÇLAR VE ÖNERøLER………..………. 67

KAYNAKLAR……….. 68

ÖZGEÇMøù………..….……… 70

v

3 : 3-boyutlu Öklid Uzayı

3

1 : 3-boyutlu Minkowski Uzayı : E ’de ve ³ E₁³’de norm

2

H0 : Hiperbolik birim çember ω : Darboux ani dönme vektörü

, : øç çarpım

2

S1 : Lorentziyen birim çember k

G : E÷rilik vektörü

∧ : Iúık konisi δij : Kroneker deltası

F t

∂

∂ : Elastik olmayan e÷ri hareketi fi : i. skalar fonksiyonu

κ : E÷rinin e÷rili÷i τ : E÷rinin burulması

Λ : Vektörel çarpım

kg : Yüzey üzerindeki e÷rinin geodezik e÷rili÷i kn : Yüzey üzerindeki e÷rinin normal e÷rili÷i τg : Yüzey üzerindeki e÷rinin geodezik burulması

vi

ùekil 2.1. Frenet ve Darboux çatılarının elemanları... 6 ùekil 2.2. Minkowski 3-uzayında vektörler…………... 11 ùekil 2.3. Minkowski 3-uzayında birim küreler... 12

vii

Anahtar Kelimeler: Öklid Uzayı, Minkowski Uzayı, Darboux Çatısı, Elastik Olmayan E÷ri Hareketi

Bu tez altı bölümden oluúmaktadır. Birinci bölüm giriú kısmına ayrılmıútır. økinci bölümde Öklid ve Minkowski uzayında temel kavramlar verilmiútir. Ayrıca, Öklid ve Minkowski uzaylarında yüzey üzerindeki e÷rilerin Darboux çatısı tanıtılmıú ve yine Darboux çatısının Frenet çatısı ile olan iliúkisi verilmiútir.

Üçüncü bölümde Öklid ve Minkowski uzayında varyasyonel e÷ri hareketi tanımı verilmiú olup, bu hareketin elastik olmama koúulu ve buna ba÷lı olarak e÷rilikler arasındaki iliúkilere ait karakterizasyonlar ifade edilmiútir.

Dördüncü bölümde E , 3-boyutlu Öklid uzayında yönlendirilebilir bir yüzey ³ üzerindeki bir e÷rinin Darboux çatısına göre e÷ri hareketi ve bu e÷ri hareketinin elastik olmama koúulları verilmiútir.

Beúinci bölüm bu çalıúmanın orijinal kısımını oluúturmaktadırlar. Bu bölümde Minkowski uzayında alınan bir yüzey üzerindeki e÷rinin Darboux çatısına göre varyasyonel hareketi tanımlanmıú ve yine bu hareketin elastik olmama koúulu karakterize edilmiútir. Ayrıca, yüzey üzerinde aldı÷ımız e÷rinin geodezik e÷ri, asimptotik çizgi ve e÷rilik çizgisi olma durumu incelenmiú ve buna dayalı sonuçlar verilmiútir.

Altıncı bölümde çalıúmanın özeti yapılmıú ve bundan sonra yapılacak araútırmalara yönelik öneride bulunulmuútur.

viii

SUMMARY

Key words: Euclidean Space, Minkowski Space, Darboux Frame, Inextensible Flows of Curves, Variational Motions of Curves

This thesis consists of six chapters. The first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, basic concepts in the Euclidean and Lorentzian space are introduced. Darboux frame is defined in Euclidean and Minkowski space, respectively and its relationships with Frenet Frame are given.

In the third chapter, inextensible flow of curve in Euclidean and Minkowski space is defined. The necessary and sufficient conditions for an inextensible flows of curves are expressed as a partial differential equation involving the curvature and torsion.

In the fourth chapter, inextensible flow of curve on oriented surface in Euclidean space is defined. The necessary and sufficient conditions for an inextensible flows of curves are expressed as a partial differential equation involving the geodesic curvature, the normal curvature and the geodesic torsion.

The fifth chapter is the original parts of this study. In this chapter, the general formulation for inextensible flow of curve on oriented surface is investigated in Minkowski space, respectively. The necessary and sufficient conditions for inextensible curve flow lying an oriented surface are expressed as a partial differential equation involving the geodesic curvature, the normal curvature and the geodesic torsion. Moreover, some special cases of inextensible curves on oriented surface are elaborated.

In the sixth chapter of this thesis, a brief summary of the study is given and suggestion have been made for future work.

Fizik, kimya ve biyolojideki lineer olmayan problemlerin ço÷u e÷ri ve yüzeylerin parametreleri yardımıyla açıklanabilir. Ayrıca e÷ri ve yüzeylerin de÷iúim (evolution) denklemleri bilgisayarda görüntü iúlemede önemli uygulama alanlarına sahiptir.

Diferensiyel geometri ve kısmi türevli diferensiyel denklemler farklı disiplinler olmasına karúın, E , Öklid uzayı veya ³ E₁³, Minkowski uzayındaki e÷ri ve yüzeylerin lokal özelliklerini çalıúırken bazı kısmi türevli diferensiyel denklemler ile karúılaúırız. Örne÷in, Liouville ve Sine-Gordon denklemleri sabit Gauss e÷rilikli yüzeyleri tanımlarlar. Gauss-Codazzi-Mainardi denklemleri E³, Öklid uzayı veya

3

E1 , Minkowski uzayına gömülmüú yüzeyleri tanımlarlar.

Son yıllarda diferensiyel geometrinin farklı bir yönü soliton teorisinde karúımıza çıkmıútır. E÷ri ailelerinin hareketleri için Frenet denklemleri, bu e÷rilerin e÷rilikleri olan κ ve τ fonksiyonlarının belirli kısmi türevli diferensiyel denklemleri ile verilir.

Bazı soliton denklemleri yanında, modified Korteweg’de Vries (mKdV), sine- Gordon ve non-lineer Schrodinger denklemleri de uzay e÷rilerinin hareketleri sonucu ortaya çıkan denklemlerdendir [1]. Non-lineer de÷iúim (evolution) denklemlerinin ço÷unlu÷u farklı geometrilerde e÷rilerin harekeleri ile iliúkilidir. Örne÷in Mullinsin non-lineer difüzyon modeli e÷rileri kısaltan hareket problemleri ile açıklanır [2].

Ayrıca Hasimoto [3], Schrödinger denklemlerinin E³, Öklid uzayındaki elastik olmayan e÷ri hareketlerinden elde edilebilece÷ini kanıtlamıútır. Elastik olmayan e÷ri hareketleri, hareket süreci boyunca yay uzunlu÷unun korundu÷u hareketlerdir.

Elastik olmayan e÷ri akımları, içinde gerilme enerjisi barındırmayan hareketleri do÷urur. Örne÷in, sabit uzunluklu bir sicimin salınma hareketi elastik olmayan bir e÷ri hareketini meydana getirir. Bu tür örnekler fiziksel uygulamalarda sıkça karúımıza çıkar. Esnek olmayan e÷ri hareketleri, bilgi iúlem görüntülenmesinde, bilgisayar animasyonlarında ve hatta yapısal mekanikte dahi karúımıza çıkmaktadır.

E÷rilerin e÷rilik vektör alanlarını, yani ivme vektörleri boyunca zamana göre de÷iúimlerini çalıúmak için Gage ve Hamilton [4,5]’te yeni metotlar bulmuúlar ve Grayson [6] ise ısı denklemini kullanarak kapalı düzlemsel e÷rilerin bir çembere dönüúümünü kanıtlamıútır. Ayrıca, Gage [7]’de alanı koruyan düzlemsel e÷ri de÷iúimini (evolution), Kwon [8,9]’de E , Öklid uzayındaki e÷rilerin elastik ³ olmayan hareketlerini, Tando÷an [10]’da E₁³, Minkowski uzayında e÷rilerin elastik olmayan hareketlerini incelemiútir.

Bu tez çalıúmasında 3-boyutlu Minkowski uzayında yönlendirilebilir yüzey üzerinde bir e÷rinin Darboux çatısına göre elastik olmayan e÷ri hareketleri ve bu hareketlerin varlı÷ı için gerekli ve yeter koúullar, geodezik e÷rilik, normal e÷rilik ve geodezik burulma fonksiyonlarını içeren kısmi türevli diferensiyel denklemler yardımıyla ifade edilmiúlerdir.

Bu bölümde, 3-boyutlu Öklid ve Minkowski uzaylarında temel kavram ve teoremlere yer verilecektir.

2.1. E , 3-boyutlu Öklid Uzayında Temel Kavramlar ³

Tanım 2.1.1. A boútan farklı bir cümle ve K cismi üstünde bir vektör uzayı V olsun. E÷er

f A A: × →V

fonksiyonu aúa÷ıdaki úartları sa÷lıyorsa A’yaV ile birleútirilmiú afin uzay denir [11].

i. ∀P Q R, , ∈A için f P Q( , )+ f Q R( , )= f P R( , )

ii. ∀ ∈P A ve ∀ ∈ için α V f P Q( , )=α olacak biçimde bir tek Q∈A noktası vardır.

Tanım 2.1.2. A bir reel Afin uzay ve A ile birleúen vektör uzayı da V olsun. V ’de

3 1

, :

( , ) , _{i i}

i

V V

x y x y x y

=

× →

→ =

¦



ile verilen Öklid iç çarpım ile birlikte, A Afin uzayına 3-boyutlu Öklid uzayı adı verilir ve E ile gösterilir [11]. ³

Tanım 2.1.3. E , 3-boyutlu Öklid uzayında X∈E için X vektörünün normu

, XG = X XG G

biçiminde tanımlanır [11].

Tanım 2.1.4. E , 3-boyutlu Öklid uzayında iki vektör ³ X

G ve Y

G olsun.

(

1, ,2 3

)

,

(

1, 2, 3

)

XG = x x x YG= y y y

olmak üzere

(

2 3 3 2, 3 1 1 3, 1 2 2 1

)

X YGΛ =G x y −x y x y −x y x y −x y

vektörüne X G ve Y

G

’nin vektörel çapımı denir. X YGΛG

, vektörü hem X

G hem de Y G vektörüne dik bir vektördür ve

sin X YGΛG = X YG G θ

dir [11].

Tanım 2.1.5. E , 3-boyutlu Öklid uzayı ve I³ ⊆ \ bir açık alt aralık olsun.

: 3

( )

I E

s s

α

α

→

→

fonksiyonu diferensiyellenebilir ise E ’de bir ³ ( , )I α koordinat komúuluklu e÷ri adını alır ve M ile gösterilir.

Tanım 2.1.6. E ’de ³ M e÷risi ( , )I α koordinat komúulu÷u ile verilmiú olsun. E÷er s I

∀ ∈ için, αG^′( )s =1

ise M e÷risi, ( , )I α ’ya göre birim hızlı e÷ri, s I∈ ’da yay parametresi olarak adlandırılır.

Tanım 2.1.7. E ’de her noktasındaki hız vektörü sıfırdan farklı olan e÷riye (yani ³ s I

∀ ∈ için α′( ) 0s ≠ ) regüler e÷ri denir.

Tanım 2.1.8. α:I→E³ birim hızlı e÷ri olsun. α birim hızlı e÷risinin, birim te÷et vektör alanı TG

, asal normal vektör alanı N

G ve binormal vektör alanı BG

olmak üzere

( ) , 1 ,

T α s N T B T N

′ κ ′

= = = Λ

G G G G G G

dir, Burada κ = TG′

e÷rinin α( )s noktasındaki e÷rili÷i, τ = BG′

da e÷rinin α( )s noktasındaki burulmasıdır. Böylece α birim hızlı e÷risinin Frenet çatısı olarak adlandırılan

{

^{T N BG G G, ,}

}

ortonormal vektör alan sisteminin türev formülleri

0 0

0

0 0

T T

N N

B B

κ

κ τ

τ

ª ′º ª ºª º

« ′ = −» « »« »

« » « »« »

« ′» «¬ − »¼« »

¬ ¼ ¬ ¼

G G

G G

G G

ile verilir [11].

Tanım 2.1.9. S E ’ün bir alt kümesi olsun. , ³ ∀ ∈P M için P nin E üzerinde bir V³ komúulu÷u ve E ’nin U açık cümlesinden V² S’ye bir F diffeomorfizmi varsa,

S cümlesi E ’de bir yüzey adını alır. ³

Tanım 2.1.10. E ’de yönlendirilebilir bir yüzey S ve S ’de yatan bir e÷ride ³ α olsun. α e÷risi S yüzeyi üzerinde oldu÷undan her bir noktasında Darboux çatısı olarak adlandırılan ikinci bir çatı mevcuttur ve bu çatı

{

^{T g nG G G, ,}

}

ile gösterilir.

Darboux çatısında, , T^G α e÷risinin birim te÷et vektörü, n SG,

yüzeyinin birim normal vektörü ve gG= Λn TG G

olacak úekilde bir birim vektördür. T

G birim te÷et vektörü hem Frenet çatısında hem de Darboux çatısında oldu÷undan N B gG, , G G

ve nG

vektörleri aynı düzlemdedir, (ùekil 2.1).

Böylece Darboux çatısı

{

^{T g nG G G, ,}

}

ve Frenet çatısı

{

^{T N BG G G, ,}

}

arasındaki iliúki aúa÷ıdaki gibidir.

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

T T

g N

n B

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ª º ª ºª º

« » « »« »

« »=« »« »

« » «¬ − »¼« »

« » « »

¬ ¼ ¬ ¼

JG JG

JG JJG

G JG (2.1.1)

Burada gG ve NG

vektörleri arasındaki açı ϕ’dir. (2.1.1) denkleminden

cos sin , sin cos

gG = ϕNG + ϕBG nG= − ϕNG + ϕBG

dir. Böylece son denklemlerden

cos sin

sin cos

g N

n B

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ª º ª ºª º

« »=« »« »

¬− ¼

« » « »

¬ ¼ ¬ ¼

JG JJG

G JG (2.1.2)

oldu÷u görülürdir. (2.1.2) eúitli÷indeki

ùekil 2.1. \²₁ Frenet ve Darboux çatılarının elemanları

cos sin

sin cos

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ª º

« »

¬− ¼ (2.1.3)

matrisi düzlemin dönme matrisi, olup ortogonal matristir. O halde Frenet çatısının elemanları olan N

G ve B

G vektörlerini elde etmek için, (2.1.2) eúitliklerinden N G ve B

G vektörlerinin bulunması gerekir. Gerekli iúlemler yapılırsa,

cos sin

sin cos

N g

B n

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ª º ª − ºª º

=

« » « »« »

¬ ¼

« » « »

¬ ¼ ¬ ¼

JJG JG

JG G (2.1.4)

olup

cos sin , sin cos

NG = ϕgG− ϕnG BG= ϕgG+ ϕnG

(2.1.5)

eúitlikleriyle ifade edilir. Böylece

{

^{T g nG G G, ,}

}

Darboux çatısı nin türev formülleri

0 0

0

g n

g g

n g

T k k T

g k g

k n n

τ τ

ª º ª º ª º

« » « » « »

« » = −« » « »

« » «− − » « »

« » ¬ ¼¬ ¼

¬ ¼

G G

G G

 G G

(2.1.6)

ile verilir. Öyleki burada k_g, k ve _n τ_g sırasıyla geodezik e÷rili÷i, normal e÷rili÷i ve geodezik torsiyon olarak adlandırlır.

O halde, α e÷risinin geodezik e÷rili÷i k , normal e÷rili÷i _g k ve geodezik torsiyonu _n τg ile

κ

ve τ arasında aúa÷ıdaki iliúki

cos , sin ,

g n g

k k d

ds

κ ϕ κ ϕ τ τ ϕ

= = = +

ile verilir [12]. Burada

, 2

,

g

g

d d

k n

ds ds

d d n

ds n ds

α α

τ α

= Λ

= Λ

G G

dir [12].

Yönlendirilebilir S yüzeyi üzerinde yatan α e÷risi için özel olarak;

i. k_g = ise 0 α bir geodezik e÷ri, ii. k_n =0 ise α bir asimptotik e÷ri, iii. τ_g = ise 0 α bir e÷rilik çizgisi,

dir [13].

Yüzey üzerinde her noktadaki her do÷rultudan bir geodezik geçer. Geodezik, bir baúlangıç noktası ve bu noktadaki te÷et ile tek olarak belirtilir. Bir yüzey üzerindeki bütün do÷rular geodeziklerdir. Bütün e÷risel geodezikler boyunca e÷rilerin asli normali, yüzey normali ile çakıúıktır. Asimptotik do÷rular boyunca oskülatör düzlemler ve te÷et düzlemler çakıúır, geodezikler boyunca bu düzlemler diktirler [14]. (2.1.6) eúitli÷indeki matris, üç bileúeni ile tek olarak belirlidir. Burada, matrisin

23, 31

a a ve a₁₂ bileúenleri göz önüne alınırsa, çatının Darboux ani dönme vektörü

gT k gn k ng

ω τG= JG+ JG+ G

(2.1.7)

biçiminde yazılabilir. Darboux çatısı, her anda, bu vektör etrafında ϕ açılık bir dönme yapar. Buna göre, Darboux türev formülleri, bu vektör yardımıyla

.

.

.

T T

g g

n n

ω ω ω

= ×

= ×

= × JG G JG JG G JG

G G G

(2.1.8)

biçiminde tek olarak ifade edilebilir.

E÷er, yüzey üzerindeki e÷ri birim hızlı de÷il ise bu durumda Darboux türev formülleri

.

.

.

g n

g g

n g

T k g k n

g k T n

n k T g

γ γ

γ γτ

γ γτ

= +

= − +

= − −

JG JG G

JG JG G

G JG JG

biçiminde verilir. Burada γ e÷rinin hızıdır.

2.2. E , 3-boyutlu Minkowski Uzayında Temel Kavramlar ₁³

Bu bölümde, E , 3-boyutlu Minkowski uzayında verilen temel kavramlara yer ₁³ verilmiútir.

Tanım 2.2.1.  standart reel vektör uzayı üzerinde ³

3 3

1 1 2 2 3 3

, :

( , )a b a b, a b a b a b

× →

→ = + −

  

Lorentz iç çarpımı ile birlikte  Afin uzayı, Minkowski 3-uzayı adını alır ve ³ E ile ₁³ gösterilir [15,16].

Tanım 2.2.2. E ’de herhangi bir vektör ₁³ aG=( , , )a a a_{1 2 3}

olsun. E÷er

i. a aG G, >0

veya aG=0 ise aG

’ya spacelike vektör, ii. a aG G, <0

ise aG

’ya timelike vektör, iii. a aG G, =0

ve aG≠0 ise aG

’ya lightlike (veya null) vektör

denir [17,18].

Tanım 2.2.3. E ’de herhangi bir vektör ₁³ aG=( , , )a a a_{1 2 3}

olsun. E÷er

i. a aG G, =1 ise aG

’ya birim hızlı spacelike vektör, ii. a aG G, = −1

ise aG

’ya birim hızlı timelike vektör

denir [17,18].

Tanım 2.2.4. E uzayında ₁³

{

^{a E13: a a, 0, a 0}

}

∧ = ∈ G G = G≠

ile verilen cümleye Iúık konisi adı verilir [17,18].

Aúa÷ıdaki úekilde görüldü÷ü gibi E uzayındaki timelike vektörler ₁³ ∧ ’nın içinde, lightlike (null) vektörler ∧ ’nın üzerinde ve spacelike vektörlerde ∧ ’nın dıúında bulunurlar.(ùekil 2.2)

Tanım 2.2.5. E ’de Lorentz ve Hiperbolik birim küreler sırasıyla ₁³

{ }

2 3

1 1 , 1

S = a∈E a aG G =

ve

{ }

2 3

0 1 , 1

H = a∈E a aG G = −

ile verilir.(ùekil 2.3)

Sekil 2.2. Minkowski 3-uzayında vektörler

Tanım 2.2.6. E ’de iki vektör ₁³ aG ve b

G olsun. aG =( , , ), a a a_{1 2 3} bG=( , , )b b b_{1 2 3}

olmak üzere,

3 2 2 3 1 3 3 1 1 2 2 1

( , , )

a bGΛ =G a b −a b a b −a b a b −a b

vektörüne aG ve b

G’nin vektörel çarpımı denir. Ayrıca

1 ise 0 ise

ij

i j i j δ = ®^{­ =}

¯ ≠ ve eG_i =( ,δ δ δ_{i1 i2}, _i3)

olmak üzere

1 2 3

1 2 3

1 2 3

det

e e e

a b a a a

b b b

ª − º

« »

Λ = − « »

« »

¬ ¼

G G G

G G

ùekil 2.3. Minkowski 3-uzayında birim küreler

ile verilir. Burada,

1 2 3, 2 3 1, 3 1 2

e eGΛ =G eG eGΛ = −eG eG eGΛ = −eG eG

dir [19].

Teorem 2.2.7. E uzayında üç vektör ₁³ aG=( , , ), a a a_{1 2 3} bG=( , , )b b b_{1 2 3} ve

1 2 3

( , , ) cG= c c c

olsun. Bu takdirde,

i. a b cGΛG,G = −det( , , )a b cG G G ii. (a bGΛ Λ = −G) cG a c bG G, G+ b c aG,G G iii. a b aGΛG,G =0

ve a b bGΛG G, =0

iv. ^{a b a bGΛG,GΛG = a aG G, b bG G, +}

(

^{a bG,G}

)

²

dir [20].

Tanım 2.2.8. aG∈E₁³

de bir timelike vektör ve eG₃ =(0,0,1)

olsun. E÷er

i. a eG G, ₃ <0 ise aG

’ya future-pointing timelike vektör, ii. a eG G, ₃ >0

ise aG

’ya past-pointing timelike vektör

denir [19].

Tanım 2.2.9.

1. Hiperbolik Açı: xG

ve y EG, ₁³

uzayında iki future pointing (past pointing) timelike vektör olsun. Bu takdirde

, cosh

x yG G = − x yG G ϕ

0

ϕ≥ reel sayısı vardır. Bu ϕ≥ reel sayısına 0 vektörleri arasındaki hiperbolik açı denir.

2. Merkez Açı: E uzayının bir timelike alt vektör uzayını geren iki spacelike ₁³ vektör xG

ve yG

olsun. Bu takdirde,

, cosh

x yG G = − x yG G ϕ

olacak úekilde bir tek ϕ≥ reel sayısı vardır. Bu 0 ϕ≥ reel sayısına, 0 xG ve yG

vektörleri arasındaki merkez açı denir.

3. Spacelike Açı: E₁³ uzayının bir spacelike alt vektör uzayını geren iki spacelike vektör xG

ve yG

olsun. Bu takdirde,

, cos

x yG G = x yG G ϕ

olacak úekilde bir tek ϕ≥ reel sayısı vardır. Bu 00 ≤ϕ≤2π reel sayısına, xG ve yG

vektörleri arasındaki spacelike açı denir.,

4. Lorentziyen Timelike Açı: E₁³ uzayında xG

bir spacelike vektör ve yG bir timelike vektör olsun. Bu takdirde,

, sinh

x yG G = x yG G ϕ

olacak úekilde bir tek ϕ≥ reel sayısı vardır. Bu 0 ϕ≥ reel sayısına, 0 xG ve yG

vektörleri arasındaki Lorentziyen timelike açı denir [17,18,21].

Tanım 2.2.10. I ⊆ \ olmak üzere

3

: 1

( )

I E

s s

α

α

→

→

diferensiyellenebilir fonksiyonuna E , 3-boyutlu Minkowski uzayında e÷ri adı ₁³ verilir. E÷er α′( )s hız vektör alanı için

i. α α′, ′ = ise 1 α ’ya birim hızlı spacelike e÷ri, ii. α α^′, ′ = − ise 1 α ’ya birim hızlı timelike e÷ri,

iii. α α′, ′ = ise 0 α’ya null (lightlike) e÷ri adı verilir [21].

Tanım 2.2.11. α: I →E₁³ birim hızlı non-null (spacelike veya timelike) e÷ri olsun.

α e÷risinin Frenet çatısı

{

^{T N BG G G, ,}

}

olmak üzere α bir spacelike e÷ri ise Frenet formülleri

0 0

0

0 0

T T

N N

B B

κ

εκ τ

τ

ª ′º ª ºª º

« » « »« »

′ = −

« » « »« »

« ′» «¬ »¼« »

¬ ¼ ¬ ¼

G G

G G

G G

úeklindedir. Burada T NG G, = T BG G, = N BG G, =0

, 1

T TG G =

, N NG G, = =ε 1 B , ,

B BG G = −ε

ve

κ

ve τ , e÷rinin, sırasıyla, e÷rilik ve burulmasıdır. Ayrıca, ε , α spacelike e÷risinin çeúidi belirler. E÷er ε =1 ise α spacelike e÷risi, N

G spacelike asli normalli ve B

G timelike binormallidir. E÷er ε = −1 ise α spacelike e÷risi, NG timelike asli normalli ve B

G spacelike binormalli bir e÷ridir [21].

Bununla birlikte, e÷er α bir timelike e÷ri ise Frenet Formülleri aúa÷ıdaki gibidir

0 0 0

0 0

T T

N N

B B

κ

κ τ

τ

ª ′º ª ºª º

« » « »« »

« ′ =» « »« »

« ′» «¬ − »¼« »

¬ ¼ ¬ ¼

G G

G G

Burada T TG G, = −1

, N NG G, = B BG G, =1

, T NG G, = T BG G, = N BG G, =0

dir. Ayrıca

κ

ve τ , α timelike e÷risinin sırasıyla e÷rili÷i ve burulmasıdır [21].

Tanım 2.2.12. S E ’de bir yüzey olsun. E÷er , ₁³ S yüzeyi üzerine indirgenmiú metrik bir Lorentz metri÷i ise yüzeyimiz timelike yüzey, e÷er indirgenmiú metrik pozitif tanımlı Riemann metri÷i ise yüzeyimiz spacelike yüzey olarak adlandırılır. Yani yüzeyin normal vektör alanı timelike (spacelike) ise yüzey spacelike (timelike) bir yüzeydir.

Tanım 2.2.13. S E , 3- boyutlu Minkowski uzayında yönlendirilebilir bir yüzey , ₁³ olmak üzere S’de yatan non-null bir e÷ri α olsun. α e÷risi aynı zamanda uzayda bir e÷ri oldu÷undan e÷rinin her bir noktasında

{

^{T N BG G G, ,}

}

Frenet çatısı vardır. Ayrıca α e÷risi S yüzeyi üzerinde yattı÷ından dolayı e÷rinin Darboux çatısı olarak adlandırılan bir di÷er çatı vardır ve bu çatı

{

^{T g nG G G, ,}

}

ile gösterilir.

{

^{T g nG G G, ,}

}

^Darboux

çatısında T G

, e÷rinin birim tanjant vektörü, n SG,

yüzeyinin birim normal vektörü ve gG

ise gG = Λn TG G

úeklinde birim vektördür. Burada TG

birim tanjant vektörü Darboux ve Frenet çatılarının ortak vektörü oldu÷undan dolayı N B gG G G, ,

ve nG

vektörleri aynı düzlemdedirler. E÷er S yönlendirilebilir yüzeyi bir timelike yüzey ise yüzey üzerindeki e÷ri spacelike veya timelike olabilir. Böylece S timelike yüzeyi üzerinde yatan α e÷risi bir timelike e÷ri ise Darboux ve Frenet çatıları arasındaki iliúki,

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

T T

g N

n B

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ª º ª ºª º

« » « »« »

« »=« »« »

« » «¬ − »¼« »

« » « »

¬ ¼ ¬ ¼

JG JG

JG JJG

G JG (2.2.1)

ve α bir spacelike e÷ri ise Darboux ve Frenet çatıları arasındaki iliúki

1 0 0

0 cosh sinh

0 sinh cosh

T T

g N

n B

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ª º ª ºª º

« » « »« »

« »=« »« »

« » «¬ »¼« »

« » « »

¬ ¼ ¬ ¼

JG JG

JG JJG

G JG (2.2.2)

ile verilir.

E÷er S yönlendirilebilir bir spacelike yüzey ise bu takdirde S üzerinde yatan α( )s e÷risi de bir spacelike e÷ridir. Böylece α( )s spacelike e÷risinin Frenet ve Darboux çatıları arasındaki iliúki

1 0 0

0 cosh sinh

0 sinh cosh

T T

g N

n B

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ª º ª ºª º

« » « »« »

« »=« »« »

« » «¬ »¼« »

« » « »

¬ ¼ ¬ ¼

JG JG

JG JJG

G JG (2.2.3)

dir. Burada , gϕ ^JG ve N

G vektörleri arasındaki açıdır.

S yönlendirilebilir bir timelike yüzey olmak üzere S üzerinde yatan non-null (spacelike veya timelike) e÷rinin Darboux çatısının türev formülleri

0

0 0

g n

g g

n g

T k k T

g k g

k n n

ε ε τ τ

ª º ª − ºª º

« » « » « »

« » = « » « »

« » « » « »

« » ¬ ¼¬ ¼

¬ ¼

G G

G G

G G (2.2.4)

ile verilir. Burada T TG G, = = ±ε 1, g gG G, = −ε, n nG G, =1

dir. Frenet çatısındaki κ τ, e÷rilikleri ve Darboux çatısındaki k_g, k ve _n τ_g e÷rilikleri arasında

cos , sin ,

g n g

k k d

ds

κ ϕ κ ϕ τ τ ϕ

= = = +

E÷er S bir spacelike yüzey ise S üzerinde yatan spacelike e÷rinin Darboux türev formülleri

0 0 0

g n

g g

n g

T k k T

g k g

k n n

τ τ

ª º ª º ª º

« » « » « »

« » = −« » « »

« » « » « »

« » ¬ ¼¬ ¼

¬ ¼

G G

G G

G G

(2.2.5)

dir. Öyleki T TG G, =1, g gG G, =1

ve n nG G, = −1

dir. (2.2.4) ve (2.2.5) denklemlerinde

g, n

k k ve τ_g sırasıyla geodezik e÷rilik, normal e÷rilik ve geodezik burulma olarak adlandırılır. Böylece , κ τ ve k_g, , k_n τ_g e÷rilikleri arasında

cosh , sinh ,

g n g

k k d

ds

κ ϕ κ ϕ τ τ ϕ

= = = +

ba÷ıntıları vardır.

Lemma 2.2.14. S yönlendirilebilir yüzeyi (timelike veya spacelike) üzerinde yatan α e÷risi verilsin

i. α( )s bir geodezik e÷ridir ⇔ k_g = , 0 ii. α( )s bir asimptotik çizgidir ⇔k_n = , 0 iii. α( )s bir e÷rilik çizgisidir ⇔τ_g = dir [13]. 0

OLMAYAN EöRø HAREKETø

Bu bölümde, E ve ³ E uzaylarında Frenet çatılı e÷rilerin elastik olmayan hareketleri ₁³ ile ilgili kavramlar ve teoremler verilmiútir.

3.1. E , Öklid Uzayında Uzay E÷rilerinin Elastik Olmayan Hareketleri ³

E , 3-boyutlu Öklid uzayında baúlangıç e÷risinin yay uzunlu÷u 3 l olmak üzere

[ ] [ )

( ) ( )

: 0, 0, 3

, ,

F l E

u t F u t

ω

× →

→ ^(3.1.1)

diferensiyellenebilir e÷rilerin 1-parametreli bir ailesini göz önüne alalım. Burada u e÷rilerin de÷iúken parametresi ve 0 u≤ ≤ ’dir. Böylece F ’nin yay uzunlu÷u l

0

( )

u F

S u du

u

= ∂

³

∂ ^(3.1.2)

úeklinde verilir. Öyleki

1 2

F F, F

u u u

∂ ∂ ∂

∂ = ∂ ∂ ’dir. Ayrıca, F

v u

= ∂

∂ olmak üzere s, u

∂

∂ cinsinden

1 s v u

∂ ∂

∂ = ∂ (3.1.3)

dir. O halde s yay uzunlu÷u parametresi için ds vdu= yazılabilir. Buradan hareketle, F ’nin akıúı (hareketi) aúa÷ıdaki gibi tanımlanabilir.

Tanım 3.1.1. E , 3-boyutlu Öklid uzayında F e÷risinin Frenet çatısı ³

{

^{T N BG G G, ,}

}

olmak üzere F e÷risinin akıúı (hareketi)

1 2 3

F f T f N f B t

∂ = + +

∂

G G G

(3.1.4)

úeklinde tanımlanır. Burada f₁, f₂ ve f₃ bileúenleri, skalar hız fonksiyonları adını alır.

F e÷risinin yay uzunlu÷u de÷iúimi (variation)

( )

0

,

u

S u t =

³

v du

úeklindedir. Ayrıca e÷rinin herhangi bir uzamaya veya kısalmaya sahip olmaması için

( ) [ ]

0

, 0 , 0,

u v

S u t du u l

t t

∂ ∂

= = ∀ ∈

∂

³

∂ ^(3.1.5)

olmalıdır.

Tanım 3.1.2. E , 3-boyutlu Öklid uzayında e÷ri ailesi ^{3 F u t}

( )

^, olsun. Bu takdirde

( )

^,

F u t ’nin F t

∂

∂ hareketi (akıúı) F 0 t u

∂ ∂ =

∂ ∂ koúulunu sa÷lıyorsa bu harekete (akıúa) elastik olmayan bir hareket (akıú) adı verilir.

Teorem 3.1.3. E , 3-boyutlu Öklid uzayında F e÷risinin Frenet çatısı ³

{

^{T N BG G G, ,}

}

olsun. Bu takdirde, F _{1 2 3} f T f N f B t

∂ = + +

∂

JG G G

e÷ri hareketi elastik de÷ildir gerek ve yeter úart

1 2

f f

s κ

∂ =

∂ (3.1.6)

dir [10].

øspat. F, F ² u u v

∂ ∂

∂ ∂ = eúitli÷inin t ’ye göre türevi alınıp, u

∂

∂ ve t

∂

∂ ’nin de÷iúmeli oldu÷u da göz önüne alınırsa

( )

( )

1 2 3

3

1 2

1 2 3

1 2

2 ,

2 ,

2 ,

2 ,

2

v F F

v t t u u

F F

u u t

F f T f N f B

u u

f

f f

v T T f v N N f vT vB B f v N

u u u

v f f v u

κ κ τ τ

κ

∂ ∂ ∂ ∂

∂ =∂ ∂ ∂

∂ ∂ §∂ ·

= ¨ ¸

∂ ∂ © ∂ ¹

∂ ∂

= + +

∂ ∂

∂

∂ ∂

= + + + − − + +

∂ ∂ ∂

§∂ ·

= ¨ − ¸

©∂ ¹

JG G G

JG

G G G G G

bulunur. Böylece,

1 2

f

v f v

t ^∂u κ

∂ = −

∂ ∂ (3.1.7)

elde edilir. Kabul edelimki F t

∂

∂ hareketi elastik olmasın. Bu takdirde (3.1.7) denkleminden ^{∀ ∈u}

[ ]

^{0,l için}

( )

0

1 2 0

,

0

u

S u t vdu

t t

f f v du

u κ

∂ ∂

∂ = ∂

§∂ ·

= ¨ − ¸ =

©∂ ¹

³

³

dır. Bu sonuç f¹ ₂ s f κ

∂ =

∂ olmasını gerektirir.

Tersine, teoremin yeter koúulunda ki benzer yol takip edilerek kolayca görülür.

ùimdi kabul edelimki F e÷risi yay parametreli bir e÷ri, yani v=1 olsun. Böylece u koordinatı e÷rinin s yay uzunlu÷una eúit olur.

Teorem 3.1.4. E de F e÷risinin Frenet çatısı ³

{

^{T N BJG, ,G G}

}

olsun. Bu takdirde

3 2

1 3 2

2

1 3

3

2 ,

f T f

f f N f B

t s s

f

N f f T B

t s

f

B f T N

t s

κ τ τ

κ τ λ

τ λ

∂

∂

∂ § · § ·

=¨ + + ¸ + −¨ + ¸

∂ © ∂ ¹ © ∂ ¹

∂ § ∂ ·

= −¨ + + ¸ +

∂ © ∂ ¹

∂

∂ § ·

=¨ − ¸ −

∂ © ∂ ¹

JG

G G

G

G G

G

G G

(3.1.8)

N, t B λ= ^∂

∂ G

G

dir [10].

øspat. E÷er (3.1.6) ve (2.1.1) denklemleri göz önüne alınırsa, t

∂

∂ ve B s

∂

∂ G

de÷iúmeli oldu÷undan

( )

( )

1 2 3

3

1 2

1 2

3 2

1 2

T F F

f T f N f B

t t s s t s

f f f

T f N N f T B B h N

s s s

f f

f h N f B

s s

κ κ τ τ

κ τ τ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂

∂ ∂

= + + + − − + +

∂ ∂ ∂

∂

∂ § ·

§ ·

=¨ + + ¸ + −¨ + ¸

∂ ∂

© ¹ © ¹

JG

JG G G

JG G G JG G G G

G G

(3.1.9)

yazabiliriz. ùimdi

{

^{T N BJG, ,G G}

}

Frenet çatısının

t

’ye göre kısmi türevi alınırsa

2 1

3 2

0 , , , ,

0 , , , ,

0 , , , ,

f

T N N

T N N T f h T

t t t s t

f

T B B

T B B T f T

t t t s t

N B B

N B B N N

t t t t

κ τ

τ λ

∂

∂ ∂ ∂ § · ∂

= = + =¨ + + ¸+

∂ ∂ ∂ © ∂ ¹ ∂

∂

∂ ∂ ∂ ∂

= = + = − + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

= = + = +

∂ ∂ ∂ ∂

JG G G

JG G G JG JG

JG G G

JG G G JG JG

G G G

G G G G G

(3.1.10)

elde edilir. O halde (3.1.9) ve (3.1.10) denklemlerinden

3 2

1 2

2 1

3 2

f f

T f h N f B

t s s

f

N f h T B

t s

f

B f T N

t s

κ τ τ

κ τ λ

τ λ

∂

∂

∂ § · § ·

=¨ + + ¸ + −¨ + ¸

∂ © ∂ ¹ © ∂ ¹

∂

∂ § ·

= −¨ + + ¸ +

∂ © ∂ ¹

∂

∂ § ·

=¨ − ¸ −

∂ © ∂ ¹

JG

G G

G

JG G G

JG G

bulunur.

Teorem 3.1.5. E³, 3-boyutlu Öklid uzayında F e÷risinin Frenet çatısı

{

^{T N BG, ,G G}

}

olmak üzere F _{1 2 3}

f T f N f B t

∂ = + +

∂

G G G

e÷ri hareketi (akıúı) elastik olmasın. Bu takdirde aúa÷ıdaki kısmi türevli diferensiyel denklemler vardır [10].

(

1

)

2²

(

3

)

2 ^{2 3}

f

f f f f

t s s s s

κ κ ^∂ τ τ τ ^∂

∂ ∂ ∂

= + + − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ^(3.1.11)

3 2

f f

t s s

τ λ

κ τ ^∂

∂ § · ∂

= ¨ − ¸−

∂ © ∂ ¹ ∂ (3.1.12)

( )

^{2 3}

2

1 3 2 2

f

f f f f

s s s

κλ = −τ¨^§ κ+^∂ + τ^·¸− ^∂ τ +^∂

∂ ∂ ∂

© ¹ ^(3.1.13)

øspat. T T

s t t s

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ =∂ ∂ JG JG

oldu÷undan

( ) ( ) ( )

( )

3 2

1 3 2

2

2 2

1 2 3 1 3

2

3 3

2 2 2

f f

T f f N f B

s t s s s

f f

f f N f f T B

s s s s

f f

f B f N

s s s

κ τ τ

κ τ κ τ κ τ

τ τ τ

­ ∂ ∂ ½

∂ ∂ ∂ § · § ·

= ®¨ + + ¸ + −¨ + ¸ ¾

∂ ∂ ∂ ¯© ∂ ¹ © ∂ ¹ ¿

§ ∂ ∂ ∂ · § ∂ ·

=¨ + + ¸ −¨ + + ¸ +

∂ ∂ ∂ © ∂ ¹

© ¹

§ ∂ ∂ · § ∂ ·

+ −¨ + ¸ + −¨ + ¸

∂ ∂ © ∂ ¹

© ¹

JG

G G

JG

G G

G G

bulunur. Ayrıca

( )

^{1 f2 3}

T N N f f T B

t s t t s

κ κ κ^­ κ ^∂ τ λ ^½

∂ ∂ ∂ ∂ § ·

= = + ®−¨ + + ¸ + ¾

∂ ∂ ∂ ∂ ¯ © ∂ ¹ ¿

JG

JG

G G G

oldu÷undan

(

1

)

² 2²

(

3

)

2 ^{2 3}

f f

f f f

t s s s s

κ κ ^∂ τ τ τ ^∂

∂ ∂ ∂

= + + − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ve

( )

^{2 3}

2

1 3 2 2

f f

f f f

s s s

κλ = −τ¨^§ κ+^∂ + τ^·¸− ^∂ τ +^∂

∂ ∂ ∂

© ¹

elde edilir. Benzer úekilde B B

s t t s

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ =∂ ∂

G G

eúitli÷i kullanılırsa

( )

( )

3 2

2

3 3

2 2 2

f

B f T N

s t s s

f f

f T f N

s s s

N T B

s

τ λ

τ τ κ

λ λ κ τ

­ ∂ ½

∂ ∂ ∂ § ·

= ®¨ − ¸ − ¾

∂ ∂ ∂ ¯© ∂ ¹ ¿

§ ∂ ∂ · § ∂ ·

=¨ − ¸ +¨ − ¸

∂ ∂ © ∂ ¹

© ¹

−∂ + +

∂ G

JG G

JG G

JG

G G

bulunur. Di÷er taraftan,

( )

^{1 f2 3}

B N N f f T B

t s t t s

τ τ τ^­ κ ^∂ τ λ ^½

∂ ∂ ∂ ∂ § ·

= = + ®−¨ + + ¸ + ¾

∂ ∂ ∂ ∂ ¯ © ∂ ¹ ¿

G

JG

G G G

oldu÷undan dolayı

3 2

f f

t s s

τ λ

κ τ ^∂

∂ § · ∂

= ¨ − ¸−

∂ © ∂ ¹ ∂

elde edilir.

3.2. E , Minkowski Uzayında Uzay E÷rilerinin Elastik Olmayan Hareketleri ₁³

3

E Minkowski uzayında baúlangıç e÷risinin yay uzunlu÷u 1 l olsun. Bu takdirde

[ ] [ )

( ) ( )

3

: 0, 0, 1

, ,

F l E

u t F u t

ω

× →

→ ^(3.2.1)

ile verilen diferensiyellenebilir e÷rilerin 1-parametreli bir ailesini göz önüne alalım.

u e÷rilerin de÷iúken parametreleri ve 0 u≤ ≤ olmak üzere F ’nin yay uzunlu÷u l

0

( ) F

S u du

u

= ∂

³

∂ ^(3.2.2)

ile verilir. Burada,

1 2

F F, F

u u u

∂ ∂ ∂

∂ = ∂ ∂ dir. Böylece, F

v u

= ∂

∂ olmak üzere

1 s v u

∂ ∂

∂ = ∂ (3.2.3)

olup ds=vdu oldu÷u görülmektedir. Böylece, F e÷risinin bir akıúı (hareketi)

1 2 3

F f T f N f B t

∂ = + +

∂

JG G G

(3.2.4)

ile verilir. Ayrıca yay uzunlu÷u de÷iúimi (variation)

( )

0

,

u

S u t =

³

v du

úeklindedir. Bununla birlikte e÷ride herhangi bir uzama veya kısalma olmaması durumu ^{∀ ∈u}

[ ]

^0,l olmak üzere

( )

0

, 0

u v

S u t du

t t

∂ ∂

= =

∂

³

∂ (3.2.5)

koúulunu sa÷laması ile verilir.

Tanım 3.2.1. E , 3-boyutlu Minkowski uzayında bir e÷ri ailesi ₁^{3 F u t}

( )

^{, olmak}

üzere, F t

∂

∂ hareketi (akıúı) için F 0 t u

∂ ∂ =

∂ ∂ koúulu sa÷lanıyorsa bu harekete (akıúa) elastik olmayan e÷ri hareketi (akıúı) denir [10].

Teorem 3.2.2. E , 3- boyutlu Minkowski uzayında F e÷risinin Frenet çatısı ₁³

{

^{T N BG G G, ,}

}

olsun. Bu takdirde F _{1 2 3} f T f N f B u

∂ = + +

∂

JG G G

e÷ri hareketi elastik de÷ildir gerek ve yeter úart

1 2

f f

s κ

∂ = −

∂ (3.2.6)

dir [10].

øspat. ² F, F

v u u

∂ ∂

= ∂ ∂ eúitli÷inin t ’ye göre türevini alıp ve u

∂

∂ ile t

∂

∂ ’nin de÷iúmeli oldu÷unu göz önünde bulundurursak

( )

( )

1 2 3

3

1 2

1 2 3

1 2

2 ,

2 ,

2 ,

2 ,

2

v F F

v t t u u

F F

u u t

F f T f N f B

u u

f

f f

v T T f v N N f vT vB B f v N

u u u

v f f v u

κ κ τ τ

κ

∂ ∂ ∂ ∂

∂ =∂ ∂ ∂

∂ ∂ §∂ ·

= ¨ ¸

∂ ∂ © ∂ ¹

∂ ∂

= + +

∂ ∂

∂

∂ ∂

= + + + − + +

∂ ∂ ∂

§∂ ·

= ¨ + ¸

©∂ ¹

JG G G

JG

G G G G G

elde edilir. Burada gerekli sadeleútirmeler yapılırsa

1 2

f

v f v

t ^∂u κ

∂ = +

∂ ∂ (3.2.7)

bulunur. Kabul edelim ki F t

∂

∂ hareketi elastik olmasın. Bu takdirde (3.2.7) denkleminden ^{∀ ∈u}

[ ]

^{0,l için}

( )

0

1 2 0

,

u

S u t vdu

t t

f f v du

u κ

∂ ∂

∂ = ∂

§∂ ·

= ¨ + ¸

∂

© ¹

³

³

dir. Bu sonuç f¹ ₂

s fκ

∂ = −

∂ olmasını gerektirir.

Tersine f¹ ₂

s fκ

∂ = −

∂ alınarak akıúın (hareketin) elastik olmadı÷ı kolayca gösterilebilir.

Kabul edelim ki F e÷risi yay parametreli e÷ri, yani v=1 olsun, Böylece u koordinatı e÷rinin s yay uzunlu÷una eúit olur.

Teorem 3.2.3. E de F e÷risinin Frenet çatısı ₁³

{

^{T N BJG, ,G G}

}

olsun. Bu takdirde

3 2

1 3 2

2

1 3

3

2 , ,

f f

T f f N f B

t s s

f

N f f T B

t s

f

B N

f T N B

t s t

κ τ τ

κ τ λ

τ λ λ

∂

∂

∂ § · § ·

=¨ + + ¸ + −¨ + ¸

∂ © ∂ ¹ © ∂ ¹

∂

∂ § ·

=¨ + + ¸ +

∂ © ∂ ¹

∂

∂ § · ∂

=¨ − ¸ − =

∂ © ∂ ¹ ∂

JG

G G

G

G G

G G

G G G

(3.2.8)

dir [10].

øspat. E÷er (3.2.6) denklemi göz önüne alınırsa, t

∂

∂ ve s

∂

∂ de÷iúmeli oldu÷undan

( )

( )

1 2 3

3

1 2

1 2

3 2

1 2

T F F

f T f N f B

t t s s t s

f f f

T f N N f T B B h N

s s s

f f

f h N f B

s s

κ κ τ τ

κ τ τ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂

∂ ∂

= + + + − + +

∂ ∂ ∂

∂

∂ § ·

§ ·

=¨ + + ¸ + −¨ + ¸

∂ ∂

© ¹ © ¹

JG

JG G G

JG G G JG G G G

G G

(3.2.9)

yazabiliriz. ùimdi

{

^{T N BG, ,G G}

}

Frenet çatısının t ’ye göre kısmi türevi alınırsa

2 1

3 2

0 , , , ,

0 , , , ,

0 , , , ,

f

T N N

T N N T f h T

t t t s t

f

T B B

T B B T f T

t t t s t

N B B

N B B N N

t t t t

κ τ

τ λ

∂

∂ ∂ ∂ § · ∂

= = + = −¨ + + ¸+

∂ ∂ ∂ © ∂ ¹ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = + = − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

= = + = +

∂ ∂ ∂ ∂

JG G G

JG G G JG JG

JG G G

JG G G JG JG

G G G

G G G G G

(3.2.10)

elde edilir. O halde (3.2.9) ve (3.2.10) denklemlerinden

3 2

1 2

2 1

3 2

f f

T f h N f B

t s s

N f

f h T B

t s

f

B f T N

t s

κ τ τ

κ τ λ

τ λ

∂

∂ § ∂ · § ·

=¨ + + ¸ + −¨ + ¸

∂ © ∂ ¹ © ∂ ¹

∂

∂ § ·

=¨ + + ¸ +

∂ © ∂ ¹

∂

∂ § ·

=¨ − ¸ −

∂ © ∂ ¹

JG

G G

G

JG G G

JG G

bulunur.

Teorem 3.2.4. E , 3-boyutlu Minkowski uzayında F e÷risinin Frenet çatısı ₁³

{

^{T N BG, ,G G}

}

olmak üzere F _{1 2 3} f T f N f B t

∂ = + +

∂

JG G G

e÷ri akıúı (hareketi) elastik olmasın.

Bu takdirde aúa÷ıdaki kısmi türevli diferensiyel denklemler vardır.

(

1

)

² 2²

(

3

)

³

f

f f f

t s s s s

κ κ ^∂ τ τ^∂

∂ ∂ ∂

= + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ^(3.2.11)

3 2

f f

t s s

τ λ

κ ^∂ τ

∂ § · ∂

= ¨ − ¸−

∂ © ∂ ¹ ∂ (3.2.12)

( )

^{2 3}

2

1 3 2 2

f

f f f f

s s s

κλ= −τ¨^§ κ+^∂ + τ^·¸− ^∂ τ +^∂

∂ ∂ ∂

© ¹ ^(3.2.13)

øspat. T T

s t t s

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ =∂ ∂ JG JG

oldu÷undan

( ) ( ) ( )

( )

3 2

1 3 2

2

2 2

1 2 3 1 3

2

3 3

2 2 2

f f

T f f N f B

s t s s s

f f

f f N f f T B

s s s s

f f

f B f N

s s s

κ τ τ

κ τ κ τ κ τ

τ τ τ

­ ∂ ∂ ½

∂ ∂ ∂ § · § ·

= ®¨ + + ¸ + −¨ + ¸ ¾

∂ ∂ ∂ ¯© ∂ ¹ © ∂ ¹ ¿

§ ∂ ∂ ∂ · § ∂ ·

=¨ + + ¸ +¨ + + ¸ −

∂ ∂ ∂ © ∂ ¹

© ¹

§ ∂ ∂ · § ∂ ·

+ −¨ + ¸ + −¨ + ¸

∂ ∂ © ∂ ¹

© ¹

JG

G G

JG

G G

G G

bulunur. Ayrıca

( )

^{1 f2 3}

T N N f f T B

t s t t s

κ κ ^­ κ ^∂ τ λ ^½

∂ ∂ ∂ ∂ § ·

= = +®¨ + + ¸ + ¾

∂ ∂ ∂ ∂ ¯© ∂ ¹ ¿

JG

JG

G G G

oldu÷undan dolayı

(

1

)

² 2²

(

3

)

³

f f

f f

t s s s s

κ κ ^∂ τ τ ^∂

∂ ∂ ∂

= + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )

^{2 3}

2

1 3 2 2

f f

f f f

s s s

κλ = −τ¨^§ κ+^∂ + τ^·¸− ^∂ τ +^∂

∂ ∂ ∂

© ¹

elde edilir. Benzer úekilde B B

s t t s

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ =∂ ∂

G G

eúitli÷i kullanılırsa