Ünite. Çarpanlara Ayırma

(1)

Kavramlar Bilinmeli ?

Ünite

Çarpanlara Ayırma

11

(2)

132

ORTAK ÇARPAN BULMA VE ORTAK PARANTEZE ALMA

A·B ± A·C = A·(B ± C)

“A” ortak çarpan olduğundan, A parantezine alınır. (Toplam veya fark durumundaki ifadeleri çarpım durumuna getirmek, sadeleştirmek ve değer bulmak için gereklidir.)

15ab + 5a + 12b + 4

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) a + b + 4 B) 5a + 3 C) 3b + 4 D) 5a + 4 E) 3b + 5

a + c = 12 b + c = 7

olduğuna göre, a·b + a·c + b·c + c² ifadesinin değeri kaçtır?

A) 19 B) 38 C) 49 D) 84 E) 144

a + b = 11 b + c = 6

olduğuna göre, a² + a·b – a·c – b·c ifadesinin değeri kaçtır?

A) 44 B) 46 C) 55 D) 64 E) 66

(3)

11. ÜNİTE: Çarpanlara Ayırma

a·b = 7

a²·b – a·b² – a + b = 42 olduğuna göre, a – b farkı kaçtır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

İKİ KARE FARKI

A² – B² = (A + B) . (A – B) Toplam fark

Karesi alınmış iki ifadenin farkını (A² – B²) yi çarpanlarına ayır- mak için, ifadelerin toplamı (A + B) ve farkı (A – B) çarpım şeklinde yazılır.

,

( , ) ( , ) 0 62 2 43 ²- 0 57 ²

işleminin sonucu kaçtır?

A) 0,62 B) 1 C) 1,86 D) 6 E) 9

a ve b aralarında asal doğal sayılar olmak üzere, (0,68)² – (0,32)² =

b

a olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

A) 136 B) 96 C) 68 D) 34 E) 17

a ve b birbirinden farklı birer reel sayı olmak üzere, ax + a² = bx + b²

denklemini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) –a B) b C) a + b D) b + 1 E) –a – b

(4)

134

x = 2 – y olduğuna göre,

(x y)

x y

2 2

2

2 2

+

- ifadesinin y türünden eşiti aşağı-

dakilerden hangisidir?

A) –2y B) 2·(1 – y) C) 2 – 4y D) 1 + 2y E) 2x + 4y

· 4000 2005 1995+25

A) 1000 B) 1005 C) 2000

D) 2005 E) 4000

Ardışık iki pozitif tek tam sayının kareleri farkı 56 olduğuna göre, bu sayıların aritmetik ortalaması kaçtır?

A) 7 B) 14 C) 28 D) 56 E) 112

TAM KARE

(A + B)² = A² + 2·A·B + B²

“İki ifadenin toplamının karesi”

Birinci ifade

kinci ifade

Birinci fade

kinci ifade

kinci ifade i

i i

2· ·

2 2 2

+ = + +

f p f p f pf p f p

(A – B)² = A² – 2·A·B + B²

“iki ifadenin farkının karesi”

(5)

a a

2 1

+ =4

olduğuna göre, 2a² + a 2

1

2 ifadesi aşağıdakilerdenhangisine eşittir?

A) 16 B) 12 C) 8 D) 6 E) 4

x bir gerçel sayı olmak üzere, x² – 5x + 3 = 0

olduğuna göre, x² + x

9

2 ifadesinin değeri kaçtır?

A) 25 B) 19 C) 17 D) 15 E) 13

a + b = –2 ve a·b = 4 -3

olduğuna göre, a² + b² toplamı kaçtır?

A) 2 B)

29 C) 5 D)

11 2 E) 6

x, y ve z birer pozitif tam sayı olmak üzere,

x y

z

=x

y² + y·z + 2·y·x = 64

olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16

(6)

136

16x² + 9y² = 24·x·y olduğuna göre,

x y 4

3 oranı kaçtır?

A) 9 B) 3 C) 1 D) 4 E) 16

Dikkat Edilmeli

Herhangi bir tam kare ifadenin en küçük değeri sıfırdır.

(...)²_En küçük= 0

(a – 4)² + (3b + 9)² = 0

olduğuna göre, 2a + b toplamı kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9

x gerçel sayı olmak üzere, x² + 10x + 28

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 2 B) 4 C) 10 D) 19 E) 28

(A + B)² – 4AB = (A – B)² (A – B)² + 4AB = (A + B)²

x = 750 ve y = 250 olduğuna göre,

( ) · ·

x y x y

4 4

2 2

+ -

- +

ifadesinin değeri kaçtır?

A) 49 B) 35 C) 25 D) 9 E) 4

(7)

x = 1, 248 y = 0,752

olduğuna göre, (x – y)² + 4xy ifadesinin değeri kaçtır?

A) 1 B) 3 C) 4 D) 9 E) 12

(8,75 – 1,25)² + 4·(8,75)·(1,25) işleminin sonucu kaçtır?

A) 36 B) 49 C) 64 D) 81 E) 100

İKİ KÜP FARKI VE TOPLAMI KURAL

KURAL

A³ – B³ = (A – B)·(A² + A·B + B²) “İki küp farkı”

KURAL

A³ + B³ = (A + B)·(A² – A·B + B²) “İki küp toplamı”

Sadeleştirme işlemleri için yukarıdaki kurallar kullanılabilir.

a

a a a

27 a

3 9 3

3 9

2

- +

+ -

ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2a + 6 B) 2a – 6 C) 2a

D) 6 E) –6

(8)

138

51 92· 41 51 41

2

3 3

+ -

A) 10 B) 41 C) 51 D) 91 E) 92

4⁶ – 1

sayısı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez?

A) 15 B) 21 C) 33 D) 35 E) 39

2009 2010

2009 1

2 3

+ -

A) 2010 B) 2009 C) 2008

D) 9 E) 1

x

²

+ Tx + Ç VE Ax

²

+ Bx + C

İFADELERİNİ ÇARPANLARINA AYIRMA KURALI

KURAL

(x + a)·(x + b) = x² + (a + b)·x + a·b = x² + Tx + Ç Toplam

a ile b toplamı † T a ile b çarpımı † Ç

Çarpım

(9)

(x – 3)·(x + a) = x² + 5x + b olduğuna göre, 3a + b toplamı kaçtır?

A) –3 B) 0 C) 5 D) 8 E) 24

(x + K)·(x + 2) = x² + 6x + L olduğuna göre, K + L toplamı kaçtır?

A) 4 B) 8 C) 12 D) 24 E) 32

KURAL

a²+ Tx + Ç = (x + a)·(x + b) a + b a·b

şeklinde çarpanlarına ayrılır.

x² – 6x – 7 = (x + a)·(x + b)

olduğuna göre, a·b + a + b ifadesinin değeri kaçtır?

A) –13 B) –7 C) –6 D) –1 E) 1

x⁴ – 5x² + 4

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisi de- ğildir?

A) x² – 4 B) x² – 1 C) x² – 3x + 2 D) x + 4 E) x – 2

(10)

140

(x² – 2x)² + 4·(x² – 2x) + 3

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) x + 1 B) x + 2 C) x² + 3x D) x² – 2x + 3 E) x² – 2x – 1

·

x x

x a x

3 4

6

2 2

+ -

ifadesi sadeleşebildiğine göre, a kaçtır?

A) 7 B) 5 C) 1 D) –1 E) –5

x x

x a x b

6

·

2 2

+ -

+ + kesrinin sadeleşmiş hâli x x

3 3

+- olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

KURAL

Ax² + BX + C = (mx + d)·(nx + e) m·x

n·x

d e

Çapraz çarpım yapıp toplandığımızda ortadaki terimi elde etmemiz gerekiyor.

x x

x ax b

2 5 3

2

2 2

- +

+ + kesrinin sadeleşmiş hâli x x

1 2

-- olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

A) –1 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5

(11)

SADELEŞTİRME

Verilen ifadelerin en sade şeklini bulmak için ifadelerin hepsi ayrı ayrı çarpanlara ayrılır. Çünkü sadeleştirme çarpım durumundayken yapılabilir. Buraya kadar öğrendiğimiz tüm çarpanlarına ayırma yön- temlerini kullanmamız gerekebilir.

( ) · ( )

· ( ) · ( )

x

x x

2

4 49 1

1 7 1

2

2 2

- +

- - -

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisi- dir?

A) x x

2 7

2 -

- B)

x x

2 7

1 -

+ C)

x x

2 7

1 + -

D) x

x

2 7

3 +

+ E) x

x

2 1

4 +7 -

( )

: x

x x

x x 4

6 8

16 2

2 2

- 2

- +

- -

A) x + 4 B)

x x

-4 C)

x x

4 2 - -

D) x – 4 E)

x x

4 4 - +

(12)

142

Dikkat Edilmeli

• Toplama veya çıkarma durumunda olan rasyonel ifadelerde, sadeleştirme yapılmadan önce payda eşitlenir. (Paydadaki çarpanların EKOK’u alınır.)

Aşağıdaki ifadelerin EKOK’unu bulalım.

• (x + 2) ve (x – 2) nin OKEK i (x + 2)·(x – 2) = x²– 4 tür.

• x²– 9 ve x² – 3x in EKOK’unu bulmadan önce ifadeleri çarpanlarına ayıralım.

x² – 9 = x² – 3² = (x – 3)·(x + 3) ifadesinde eksik çarpan “x”

tir.

x² – 3x = x(x – 3) ifadesinde eksik çarpan “x + 3” tür.

EKOK = x·(x – 3)·(x + 3)

•

x x

A

x x

B

4 3

2 2

- +

+ ifadesinin paydalarını eşitlemek için x² – 4x ve x² + 3x in EKOK’unu bulalım.

OKEK (x(x – 4), x(x + 3)) = x·(x – 4)·(x + 3) tür.

( )

x x A

x

x x x B 4 3

3 4

- +

+

+ -

şeklinde paydaları eşitlenir.

: a a b

b

a b b a

a a b

· ·

2 2

- -

-

f p^e + ^o

A) b

a- B) b

·

a b1 C)

b -1

D) –b E)

· a b b-a

b a b·

a

b a b

b a 2

2 2

- -

- +

A) ba B)

b

a+ C) b a

a-b

D) a

a+ b E)

b a-b

(13)

x : x

x x x x 1 2

2

3 2

+ 3

- +

f ^p

f

-

p

A) x B) x – 1 C) x + 1 D) x + 1 E) x–1

x

x x

A x

B 1

7 1

1 1

2- + =

+ + -

olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

İKİ KARE TOPLAMI KURALI

A² + B² = (A + B)² – 2·A·B A² + B² = (A – B)² + 2·A·B

·

a b

a b 4 1

8 1 - = -

=

olduğuna göre, a² + b² toplamı kaçtır?

A) 161 B)

81 C)

41 D)

165 E) 8 5

(14)

144

·

x y

x y 6 1

6 1 + = -

= -

olduğuna göre, x² + y² toplamı kaçtır?

A) 3613 B) 31 C)

3611 D)

185 E) 4 1

KURAL

(A + B + C)² = A² + B² + C² + 2·(A·B + A·C + B·C)

x, y ve z pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x² + y² + z² = 34

x·y + y·z + x·z = 15

olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?

A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5

a – b + c = 9 a² + b² + c² = 41

olduğuna göre, a·c – a·b – b·c ifadesinin değeri kaçtır?

A) 40 B) 32 C) 24 D) 20 E) 18

İKİ KÜP TOPLAMI VE FARKI

KURAL

A³ + B³ = (A + B)³ – 3·A·B (A + B) KURAL

A³ – B³ = (A – B)³ + 3·A·B (A – B)

(15)

a b a b

3

9

· 20 + =

=

olduğuna göre, a³ + b³ toplamı kaçtır?

A) 7 B) 43 C) 14 D) 61 E) 21

x – x^–1 = 4

olduğuna göre, x³ – x^–3 toplamı kaçtır?

A) 641 B)

321 C) 64 D) 72 E) 76

(x ± y)

ⁿ

ŞEKLİNDEKİ İFADELERİN AÇILIMI

KURAL

(A + B)³ = A³ + 3·A²·B + 3·A·B² + B³ (A – B)³ = A³ – 3·A²·B + 3·A·B² – B³ KURAL

(A + B)⁴ = A⁴ + 4·A³·B + 6A²·B² + 4·A·B³ + B⁴ (A – B)⁴ = A⁴ – 4·A³·B + 6A²·B² – 4·A·B³ + B⁴

a³ – 3a²b = –25 3ab² – b³ = 52

olduğuna göre, a – b farkı kaçtır?

A) –27 B) –3 C) 2 D) 3 E) 27

(16)

146

x = 7 – y

olduğuna göre, x³ + y³ + 3xy² + 3yx² ifadesinin değeri kaçtır?

A) 343 B) 243 C) 149 D) 49 E) 21

x

ⁿ

± y

ⁿ

ŞEKLİNDEKİ İFADELERİN AÇILIMI

KURAL

n pozitif bir tam sayı olmak üzere,

Aⁿ – Bⁿ = (A – B)·(A^n–1 + A^n–2·B + A^n–3. B² + … + B^n–1) KURAL

n pozitif bir tek tam sayı olmak üzere,

Aⁿ + Bⁿ = (A + B)·(A^n–1 – A^n–2·B + A^n–3·B²–… + B^n–1)

a 5

=8 olduğuna göre,

a a a a a

a

1 1

5 4 3 2

6

+ + + + +

-

ifadesinin değeri kaçtır?

A) 2564 B) 58 C) 85 D)

53 E) 5 1

7⁶ – 7⁵ + 7⁴ – 7³ + 7² – 6 = A

olduğuna göre, 7⁷ ifadesinin A türünden eşiti aşağıdakiler- den hangisidir?

A) 8A + 1 B) 8A C) 8A – 1

D) 7A + 1 E) 7A – 1