Uyarı: Bu ders notları formal yayınların tabi oldu˘ gu kanun, y¨ onetmelik, kural ve esaslar dı¸sındadır.

˙IST 304 ˙Istatistik Karar Kuramı ve Y¨ ontemleri Hafta II

Ders 1 : Fayda Fonksiyonunun Varlı˘ gı

Dersi anlatan: ˙Ihsan Karabulut Notları yazan: ˙Ihsan Karabulut

Not: LaTeX ders kalıbı UC Berkeley EECS B¨ ol¨ um¨ u’n¨ und¨ ur.

Uyarı: Bu ders notları formal yayınların tabi oldu˘ gu kanun, y¨ onetmelik, kural ve esaslar dı¸sındadır.

Ders dı¸sında herhangi bir ¸sekilde kopya edilmesi, ¸ co˘ galtılması, yayımlanması yalnızca bu notları hazırlayan ve yazanın iznini gerektirir.

Teorem. P ₀ ve P ₁ , P ₀ ≺ P 1 olan iki se¸ cenek ve P , P ₀ ≺ P ≺ P 1 olan bir se¸ cenek ise 0 < p < 1 olmak ¨ uzere P se¸ cene˘ gine denk olan yegane bir karma [P ₁ , P ] _p se¸ cene˘ gi(yegane bir p) vardır.

Herhangi iki u¸ c se¸ cenek biliyorsa aradaki b¨ ut¨ un se¸ cenekler bunların bir karması olarak yazılabilecektir.

Hatta bu iki se¸ cenek arasındaki b¨ ut¨ un se¸ cenekleri 0 ile 1 arasında sıralanabilir. Ku¸skusuz daha ter- cih edilebilir olan 1 de˘ gerine daha yakın de˘ gerli olacaktır.

A4 aksiyomunun kullanılması P 0 ≺ P ≺ P 1 durumunda P 0 ≺ [P 1 , P 0 ] _r ≺ P ≺ P 1 olan bir¸ cok [P 1 , P 0 ] _r karma se¸ ceneklerinin varlı˘ gının g¨ osterilmesine yetecektir. [P 1 , P 0 ] _r ≺ P olan t¨ um r olasılıklarının k¨ umesi sınırlı bir k¨ ume oldu˘ gu i¸ cin pek r sayılarının k¨ umesine pek ¸ cok ¨ ust sınır vardır dolayısıyla bir en k¨ u¸ c¨ uk ¨ ust sınır vardır bu p ile g¨ osterilsin. Bu en k¨ u¸ c¨ uk ¨ ust sınır aranılan p = (p, 1 − p) olasılık da˘ gılımını verecektir ki bununla aranılan P sade se¸ cene˘ gi ile aynı tercih edilebilirli˘ ge sahip karma se¸ cene˘ gi yazabilir: [P 1 , P 0 ] _p ∼ P . Bunun b¨ oyle oldu˘ gu olmayana ergi y¨ ontemi kullanılarak g¨ osterilecektir. [P ₁ , P ₀ ] _p ∼ P olmadı˘ gı; [P ₁ , P ₀ ] _p  P veya [P 1 , P ₀ ] _p ≺ P ola- bilece˘ gi g¨ osterilmeye ¸ calı¸sılacaktır, bunlar olamaz ise A1 aksiyomu gere˘ gince [P ₁ , P ₀ ] _p ∼ P oldu˘ gunu g¨ osterilmi¸s olacaktır.

P  [P 1 , P 0 ] _p oldu˘ gu varsayılsın. Bir ba¸ska g¨ osterimle [P 1 , P 0 ] _p ≺ P ≺ P 1 olsun. A4 aksiyomu kullanılırsa [P 1 , P 0 ] _p ile P arasında tercih edilebilir ve a¸sikar olmayan P 1 ile [P 1 , P 0 ] _p nin yer aldı˘ gı

1-1

1-2 Ders 1 : Fayda Fonksiyonunun Varlı˘ gı

h [P ₁ , P ₀ ] _p , P ₁ i

s

gibi bir karma se¸ cenek vardır:

[P ₁ , P ₀ ] _p ≺ h

[P ₁ , P ₀ ] _p , P ₁ i

s

≺ P.

Ote yandan ¨

h

[P 1 , P 0 ] _p , P 1

i

s ∼ [P 1 , P 0 ] _ps+1−s dir. Yukarıdaki ifade

[P 1 , P 0 ] _p ≺ [P 1 , P 0 ] _ps+1−s ≺ P

olarak yeniden yazılacaktır. s < 1 ve p < 1 oldu˘ gu da g¨ oz ¨ on¨ unde bulundurulursa

ps + 1 − s > p

oldu˘ gu g¨ or¨ ulebilir:

ps + 1 − s − p = (1 − s) − p(1 − s)

= (1 − s)(1 − p)

> 0

dır. Bu nedenle [P 1 , P 0 ] _p ≺ [P 1 , P 0 ] _ps+1−s ≺ P do˘ gru olamaz, aksiyomların ¨ ozetlenen (b) sonucu ile ¸ celi¸sir.

˙Ikinci olarak P ≺ [P 1 , P 0 ] _p oldu˘ gu varsayılsın (yani, P 0 ≺ P ≺ [P 1 , P 0 ] _p ≺ P 1 oldu˘ gu varsayılsın) A4 aksiyomu kullanılarak P ile [P ₁ , P ₀ ] _p arasında [P ₁ , P ₀ ] _p ve P ₀ ile olu¸sturulan bir h

[P ₁ , P ₀ ] _p , P ₀ i

t

karma se¸ cene˘ gi bulunabilecektir. A¸ cık olarak P ≺ h

[P ₁ , P ₀ ] _p , P ₀ i

t

≺ [P ₁ , P ₀ ] _p olan bir karma se¸ cenek bulunacaktır. h

[P ₁ , P ₀ ] _p , P ₀ i

t

= [P ₁ , P ₀ ] _pt oldu˘ gu ilk adımda g¨ osterildi˘ gi gibi g¨ or¨ ulebilir.

Bu nedenle bu varsayımla P ≺ [P 1 , P 0 ] _pt ≺ [P 1 , P 0 ] _p sonucuna ula¸sılır. pt < p oldu˘ gu p < 1, t < 1

Ders 1 : Fayda Fonksiyonunun Varlı˘ gı 1-3

oldu˘ gundan do˘ grudur, o halde pbir supremum de˘ gildir, pt de bir ¨ ust sınırdır ve p den k¨ u¸ c¨ uk bir ¨ ust sınırdır. p, P ∼ [P 1 , P 0 ] _p nin tanımlanabilece˘ gi tek olasılık da˘ gılımını belirler.

Bu sonu¸ c verilen iki se¸ cenek ile arasındaki b¨ ut¨ un ara se¸ ceneklerin [0, 1] aralı˘ gında tercihlerin bir g¨ ostergesi olarak kodlanabilece˘ gini ve bir fayda fonksiyonunu belirlerken nasıl bir yol izlenebilece˘ gini g¨ osteriyor. Verilen P 0 , P 1 se¸ ceneklerinden P 1 b¨ ut¨ un se¸ ceneklere tercih edilen P 0 ise hi¸ cbir se¸ cene˘ ge tercih edilmeyen olduklarında herhangi bir se¸ cenek P ∼ [P ₁ , P ₀ ] _p olmak ¨ uzere

U (P ) = U 

[P ₁ , P ₀ ] _p 

= p

U (P 0 ) = 0, U (P 1 ) = 1 tanımlanabilir.

Ornek.Yemekte ¨ ¨ u¸c de˘ gi¸sik et se¸cene˘ gi olsun. Bir bireyin bu se¸ ceneklere ili¸skin tercih yapısı (bu a¸samada sıralama demek yanlı¸s anla¸sılmayacaktır) balık ≺ tavuk ≺ dana eti’dir. Birey ge¸ cmi¸steki deneyimlerinden 1/4 olasılıkla dana eti ve 3/4 olası- lıkla balık se¸ cimini yaptı˘ gı karma(rasgele) se¸ cene˘ ginin sade se¸ cene˘ gi tavuk ile aynı tercih edilebilirli˘ ge sahip oldu˘ gunu bilmekte olsun. U (balık) = 0, U (dana eti) = 1 ise

U (tavuk) = U 

[dana eti, balık]



= 1

4

oldu˘ gu bulunacaktır.

˙IST 304 ˙Istatistik Karar Kuramı ve Y¨ ontemleri Hafta II

Ders 2 : Fayda Fonksiyonunun ¨ Ozellikleri ve Geni¸sletilmesi I

Dersi anlatan: ˙Ihsan Karabulut Notları yazan: ˙Ihsan Karabulut

Fayda Fonksiyonu ve ¨ Ozellikleri :

Herhangi bir se¸ cenek P ∼ [P ₁ , P ₀ ] _p i¸cin tanımlanmı¸s bir fayda fonksiyonu a¸sa˘ gıdaki ¨ ozellikleri sa˘ glar:

Ozellik A: P  Q ise U (P ) > U (Q) dır. ¨

Ozellik B: U ([P, Q] ¨ _r ) = rU (P ) + (1 − r)U (Q) dır.

Ozellik A ¸s¨ ¨ oyle elde edilebilir: P, Q se¸ cenekleri (aynı tercih edilebilirli˘ gi e¸sitlik olarak g¨ osterece˘ giz) P = [P ₁ , P ₀ ] _p ve Q = [P ₁ , P ₀ ] _q olsun. P  Q oldu˘ gundan p > q olacaktır. Di˘ ger taraftan U (P ) = p ve U (Q) = q olacaklarından U (P ) > U (Q) olacaktır.

Ozellik B yi elde etmek i¸ ¨ cin P, Q se¸ cenekleriyle olu¸sturulan karma:

[P, Q] _r ∼ h

[P ₁ , P ₀ ] _p , [P ₁ , P ₀ ] _q i

r ∼ [P 1 , P ₀ ] _pr+q(1−r) dır. B¨ oyle bir se¸ cene˘ gin fayda fonksiyonu de˘ geri

U ([P, Q] _r ) = pr + q(1 − r)

= rU (P ) + (1 − r)U (Q)

olarak bulunmu¸s olur.

Ozellik B’nin bir de˘ ¨ gerlendirmesi beklenen de˘ ger anlamında yapılabilir, ancak bu de˘ ger bir karma se¸ cene˘ gin fayda fonksiyonu de˘ geridir. Bir karma (rasgelele¸stirilmi¸s) se¸ cene˘ gin faydası U (P ) ve U (Q) gibi iki de˘ geri sırasıyla r ve (1 − r) olasılıklarla alan bir rasgele de˘ gi¸skenin beklenen de˘ gridir;

2-1

2-2 Ders 2 : Fayda Fonksiyonunun ¨ Ozellikleri ve Geni¸sletilmesi I

U ([P, Q] _r ) fayda de˘ geri, [P, Q] _r se¸ cene˘ ginin beklenen de˘ geridir.

P 1 ve P 0 arasındaki her bir se¸ cene˘ gin faydası yegane olarak belirlenmi¸s olmakla beraber faydanın herhangi bir lineer fonksiyonu (do˘ grusal fonksiyonu) da A ve B ¨ ozelliklerine sahip olacaklardır.

Bu fonksiyon da fayda fonksiyonunun sahip oldu˘ gu aynı i¸sleve sahip olacaktır. ¨ orne˘ gin P 1 ve P 0

arasındaki her bir P se¸ cene˘ ginin faydası V (P ) fayda fonksiyonu a > 0 ve b sabitler olmak ¨ uzere

V (P ) = aU (P ) + b

Bu tanımlama bir orijin kaydırma ve ¨ ol¸ cekleme i¸ cermektedir. V (P 0 ) = b, V (P 1 ) = a + b. A ve B

¨

ozelliklerinin sa˘ glandı˘ gını g¨ ostermek kolaydır.

Ornek( ¨ ¨ Onceki ¨ ornekten devam). Birey tavuk, balık ve dana eti se¸ ceneklerinin faydalarının V (tavuk) = 2, V (dana eti) = 5, V (balık) = 1 oldu˘ gunu ifade etmi¸stir. Birey i¸ cin hangi olasılık da˘ gılımı ile bir dana eti ve balık karma se¸ cene˘ gi olu¸sturulursa bu karma se¸ cenek ile tavuk se¸ cene˘ ginin faydaları aynı olur?

Bir fayda fonksiyonunun sahip oldu˘ gu ¨ ozelliklerden ikincisi kullanılırsa

V 

[ dana eti,balık] _p 

= pV ( dana eti) + (1 − p) V (balık) = 2

olması gerekti˘ gi g¨ or¨ ulecektir. Yani,

V 

[dana eti, balık] _p 

= 5p + (1 − p) = 4p + 1 = 2

e¸sitli˘ gi ancak p = 1/4 oldu˘ gunda p = (1/4, 3/4) olasılık da˘ gılımlı karma olu¸sturulursa aynı fayda sa˘ glanır.

Bu problemin ¸ c¨ oz¨ umlemesinde yer alan V 

[dana eti,balık] _p 

= 4p + 1 e¸sitli˘ ginde pnin yerini

U ([ dana eti, balık] _p ) = p alabilece˘ gi g¨ ozlemlenirse herhangi bir P se¸ cene˘ gi i¸ cin V (P ) = 4U (P ) + 1

olup U fayda fonksiyonunun bir do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u oldu˘ gu g¨ or¨ ul¨ ur.

Ders 2 : Fayda Fonksiyonunun ¨ Ozellikleri ve Geni¸sletilmesi I 2-3

S ¸imdi de verilen P 0 ve P 1 ve bunların aralarında yer alanlar dı¸sındaki se¸ cenekler i¸ cin fayda fonksiyon de˘ gerlerini belirleme konusu ¨ uzerinde durulacaktır. Fayda fonksiyonunun P 0 ve P 1 se¸ ceneklerinden ba˘ gımsız olarak da belirlenebilece˘ gini g¨ or¨ ulecektir.

P 0

0 1

P 1 Q

x S

¸ek˙ıl 2.1: Q se¸ cene˘ gi P ₁ ’ e tercih edilebilir oldu˘ gunda fayda de˘ geri.

Diyelim ki Q, P 1 e tercih edilen bir se¸cenektir, P 0 ≺ P 1 ≺ Q ve ¨ ozellik A’nın sa˘ glanaca˘ gı ¸sekilde fayda fonksiyonu de˘ geri x’e sahip oldu˘ gunu varsayılsın. ¸simdi Q i¸ cin fayda fonksiyonu tanımlamasını

¨

ozellik B nin de sa˘ glanaca˘ gı ¸sekilde yapmak i¸ cin bilindi˘ gi gibi P 0 ile Q nun bir karması bulunabilir ki bu P 1 se¸ cene˘ gine denktir:P 1 ∼ [Q, P 0 ] _y . ¨ Ozellik B

U (P ₁ ) = 1 = yU (Q) + (1 − y)U (P ₀ ) = yx

olmasını gerektirecektir.

B¨ oylece U (Q) = x = 1/y olaca˘ gı bulunur. Benzer olarak P 0 se¸ cene˘ gi bir R se¸ cene˘ gine tercih edilebilir olsun:

R

x 0

P 0 P 1

1

S ¸ek˙ıl 2.2: R se¸ cene˘ gi P 0 ’ a tercih edilemez oldu˘ gunda fayda de˘ geri.

U (R) = x olarak tanımlayalım. P 0 ∼ [P 1 , R] _z olacak bir z = (z, 1 − z) olasılık da˘ gılımı bulun- abilece˘ ginden ve ¨ ozellik B nin sa˘ glanmasının gere˘ gi olarak

U (P ₀ ) = 0 = zU (P ₁ ) + (1 − z)U (R)

= z + (1 − z)x

2-4 Ders 2 : Fayda Fonksiyonunun ¨ Ozellikleri ve Geni¸sletilmesi I

olacak ve x = −z/(1 − z) bulunacaktır. Burada hem U (Q) hem de U (R) gibi, se¸ ceneklerin faydalarının sonlu oldukları varsayılacaktır. Bu geni¸ sletilmi¸ s fayda fonksiyonunun A ve B

¨

ozelliklerini sa˘ gladı˘ gı g¨ or¨ ulebilir.

Bunu g¨ ostermek i¸cin kullanılacak herhangi iki se¸ cenek P, Q olsun. Ayrıca P 0 P 1 , P , Q se¸ cenekleri i¸ cinde di˘ ger ¨ u¸ c tanesine tercih edileni P ₁ ^∗ , di˘ ger ¨ u¸ c tanesinin tercih edildi˘ gi se¸ cenek P ₀ ^∗ olsun. U fayda fonksiyonu verilen P ₀ , P ₁ anlamında tanımlanmı¸s olsa da P ₀ ^∗ , P ₁ ^∗ dan ba¸slayarak tanımlanabilirdi. B¨ oyle olsaydı ku¸skusuz ki tanımlanan fayda fonksiyonu U ^∗ P _o ^∗ , P ₁ ^∗ ve bunların arasında yer alacak b¨ ut¨ un se¸ cenekler i¸ cin A, B ¨ ozelliklerini sa˘ glayacaktı. Bunlar arasında yer ala- cak bir ara se¸ cenek R  P 1 olan herhangi bir R se¸ cene˘ gi olsun. O halde yeni tanımladı˘ gımız U ^∗ geni¸sletilmi¸s fayda fonksiyonu kullanılarak ve P 1 = [R, P 0 ] _r = [R, P 0 ] _{1/U (R)} olacaktır. Bu biraz

¨

onceki de˘ gerlendirmelerde yapılan g¨ ozlemlerin sonucudur . C ¸ ¨ unk¨ u, orda benzer durumda

x = U (R) = 1/y bulunmu¸stu. Burada y = r = 1/U (R) olarak bulunmu¸s olmalıdır. P 1 se¸ cene˘ gine ili¸skin geni¸sletilmi¸s fayda fonksiyonu de˘ geri

U ^∗ (P 1 ) = 1

U (R) U ^∗ (R) +

 1 − 1

U (R)

 U ^∗ (P 0 )

elde edilir. U ^∗ (R) de˘ gerini e¸sitlikten ¸ cekilirse:

U ^∗ (R) = [U ^∗ (P 1 ) − U ^∗ (P 0 )] U (R) + U ^∗ (P 0 )

olur. E˘ ger R se¸ cene˘ gi yine P _o ^∗ , P ₁ ^∗ arasında yer alan P 0 se¸ cene˘ gine tercih edilen bir se¸ cenek ise yukarıdaki g¨ ozlemler kullanılarak

P ₀ = [P ₁ , R] _t = [P ₁ , R]

olacaktır. P 0 se¸ cene˘ ginin geni¸sletilmi¸s fayda fonksiyonu de˘ geri

Ders 2 : Fayda Fonksiyonunun ¨ Ozellikleri ve Geni¸sletilmesi I 2-5

U ^∗ (P 0 ) = U (R)

U (R) − 1 U ^∗ (P 1 ) + (−1)

U (R) − 1 U ^∗ (R) olarak yazılabilecek ve bu e¸sitlikten

U ^∗ (R) = [U ^∗ (P 1 ) − U ^∗ (P 0 )] U (R) + U ^∗ (P 0 )

olarak ¸ cekilmi¸s olacaktır. Her iki halde de, R  P ₁ , R ≺ P ₀ olduklarında U ^∗ (R)’nin aynı oldu˘ gu g¨ or¨ ulecektir. Bu durumda U (R), U ^∗ (P ₀ ), U ^∗ (P ₁ ) birer sabit olduklarından

U (R) = αU ^∗ (R) + β

yazılacaktır. U ^∗ , A ve B ¨ ozelliklerini sa˘ glar. Dahası R = [P 1 , P 0 ] _r tanımlanmı¸sken P 0 ≺R≺P 1 ise

U ^∗ (R) = rU ^∗ (P ₁ ) + (1 − r)U ^∗ (P ₀ )

= r [U ^∗ (P 1 ) − U ^∗ (P 0 )] + U ^∗ (P 0 )

= U (R) [U ^∗ (P 1 ) − U ^∗ (P 0 )] + U ^∗ (P 0 )

U ^∗ (R) ve U (R) arasında yine aynı do˘ grusal ba˘ gıntı vardır. Durum bu olunca P _o ^∗ , P ₁ ^∗ arasında yer alan herhangi iki se¸ cenek P, Q i¸ cin

U ([P, Q] _x ) = αU ^∗ ([P, Q] _x ) + β

= α [xU ^∗ (P ) + (1 − x)U ^∗ (Q)] + βx + β(1 − x)

= xU (P ) + (1 − x)U (Q)

2-6 Ders 2 : Fayda Fonksiyonunun ¨ Ozellikleri ve Geni¸sletilmesi I

bulunur ki bu U nun geni¸sletilmesi halinde ¨ ozellik B nin yine sa˘ glandı˘ gını g¨ osterir. E˘ ger P ≺ Q varsayılırsa

U (P ) = αU ^∗ (P ) + β < αU ^∗ (Q) + β = U (Q)

oldu˘ gunun g¨ ozlenmesi de ¨ ozellik A nın sa˘ glanaca˘ gını g¨ osterir.

Kaynaklar

[1] H. Chernoff and L. E. Moses (1986), Dover Publications, New York.

[2] B. W. Lindgren (1971), Elements of Decision Theory, Macmillan Company, New

York.