Cansu ÖZYURT ANKARA 2021

ANKARA ÜN·IVERS·ITES·I FEN B·IL·IMLER·I ENST·ITÜSÜ

YÜKSEK L·ISANS TEZ·I

S·INGÜLER E ¼GR·ILER VE ÖZELL·IKLER·I

Cansu ÖZYURT

MATEMAT·IK ANAB·IL·IM DALI

ANKARA 2021

Her hakk¬ sakl¬d¬r

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

S·INGÜLER E ¼GR·ILER VE ÖZELL·IKLER·I

Cansu ÖZYURT

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬

Dan¬¸sman: Prof. Dr. F. Nejat EKMEKC·I Bu tez be¸s bölümden olu¸smaktad¬r.

·Ilk bölüm giri¸s k¬sm¬na ayr¬lm¬¸st¬r.

·Ikinci bölümde, tezde kullan¬lan baz¬kavramlar, tan¬mlar ve teoremler verilmi¸stir.

Üçüncü bölümde, üç boyutlu Öklidyen uzay¬nda framed e¼griler ve framed helisler tan¬m- lanm¬¸s, framed helis olma ¸sart¬ incelenmi¸stir. Daha sonra, düzlemsel Legendre e¼griler yard¬m¬yla frontallardan framed helislerin elde edilebilece¼gi gösterilmi¸stir. Ayr¬ca framed e¼grilerin Bertrand e¼grileri tan¬mlanm¬¸s ve Bertrand e¼gri olma ¸sart¬ incelenmi¸stir. Küre- sel Legendre e¼griler yard¬m¬yla frontallardan Bertrand e¼grilerin elde edilebilece¼gi göste- rilmi¸stir.

Dördüncü bölümde, üç boyutlu Minkowski uzay¬nda timelike ve spacelike framed e¼griler tan¬mlanm¬¸s ve bu e¼grilerin Bertrand e¼gri olma ¸sartlar¬incelenmi¸stir. Ayr¬ca Hiperbolik 2-uzay¬nda ve de Sitter 2-uzay¬nda spacelike Legendrian e¼grilerden Bertrand e¼grileri elde etme yöntemleri verilmi¸sir.

Be¸sinci bölüm, üç boyutlu Öklidyen uzay¬nda ve üç boyutlu Minkowski uzay¬nda framed e¼griler için elde edilen sonuçlar¬içermektedir.

Ocak 2021 , 72 sayfa

Anahtar Kelimeler: Legendre e¼griler, küresel Legendre e¼griler, framed e¼griler, framed helisler, Bertrand e¼griler, spacelike framed e¼griler, timelike framed e¼griler, spacelike Legendrian e¼griler

ABSTRACT

Master Thesis

SINGULAR CURVES AND THEIR PROPERTIES

Cansu ÖZYURT

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. F. Nejat EKMEKC·I This thesis comprises of …ve chapters.

The …rst chapter is devoted to the introduction.

In the second chapter certain notions, de…nitions and theorems can be seen, which are used in the thesis

In the third chapter, framed curves and framed helices are de…ned in three dimensional Euclidean space, and the condition of framed helix is analyzed. Later in this chapter, it is shown that framed helices can be constructed from frontals with the help of planar Legendre curves. Additionally, Bertrand curves of framed curves are de…ned while at the same time the condition of Bertrand curve is examined accordingly. It is shown that Bertrand curves can be constructed from frontals with the help of spherical Legendre curves.

In the fourth chapter, timelike and spacelike framed curves are de…ned in three dimensional Minkowski space, and the conditions for these curves to be Bertrand curves are examined, as well. Moreover, the methods of constructing Bertrand curves from spacelike Legendrian curves in Hyperbolic 2-space and de Sitter 2-space are given.

The last chapter comprises of the results obtained for framed curves in three dimensional Euclidean space and three dimensional Minkowski space.

January 2021 , 72 pages

Key Words: Legendre curves, spherical Legendre curves, framed curves, framed helices, Bertrand curves, spacelike framed curves, timelike framed curves, spacelike Legendrian curves

TE¸SEKKÜR

Bu tez çal¬¸smas¬ boyunca; tez konusunun belirlenmesi ve yürütülmesinde bilimsel bilgi, birikim ve tecrübelerini benimle payla¸san, bu süreçte kar¸s¬la¸st¬¼g¬m her zorlukta beni destekleyen de¼gerli dan¬¸sman hocam Say¬n Prof. Dr. F. Nejat EKMEKC·I’ye (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik bölümü); çal¬¸smalar¬m boyunca tüm sorular¬m¬içtenlikle yan¬tlayarak bana yol gösteren de¼gerli hocalar¬m Say¬n Prof. Dr.

Yusuf Yayl¬(Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik bölümü) ve Say¬n Prof.

Dr. ·Ismail Gök’e (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik bölümü); ö¼grenim hayat¬m boyunca ald¬¼g¬m her karar¬desteleyen sevgili aileme gönülden te¸sekkür e- derim.

Cansu ÖZYURT Ankara, Ocak 2021

IÇ·· INDEK·ILER

TEZ ONAY SAYFASI

ET·IK . . . i

ÖZET . . . ii

ABSTRACT. . . iii

TE¸SEKKÜR. . . iv

S·IMGELER D·IZ·IN·I . . . vi

1. G·IR·I¸S . . . 1

2. TEMEL KAVRAMLAR . . . 3

2.1 Öklid Uzay¬nda Temel Kavramlar . . . 3

2.2 Front E¼griler . . . 7

2.3 Minkowski Uzay¬nda Temel Kavramlar . . . 10

3. ÜÇ BOYUTLU ÖKL·IDYEN UZAYINDA FRAMED E ¼GR·ILER . . . 12

3.1 Üç Boyutlu Öklidyen Uzay¬nda Düzlemsel Legendre E¼griler ve Framed Helisler . . . 15

3.2 Üç Boyutlu Öklidyen Uzay¬nda Framed E¼grilerin Bertrand E¼gri- leri . . . 21

3.3 Üç Boyutlu Öklidyen Uzay¬nda Küresel Legendre E¼griler ve Bertrand E¼grileri. . . 26

4. ÜÇ BOYUTLU M·INKOWSK·I UZAYINDA FRAMED E ¼GR·ILER . . . 30

4.1 Üç Boyutlu Minkowski Uzay¬nda Spacelike ve Timelike Framed E¼griler . . . 30

4.2 Üç Boyutlu Minkowski Uzay¬nda Spacelike ve Timelike Framed E¼grilerin Bertrand E¼grileri . . . 32

4.3 Hiperbolik 2-uzay¬nda Spacelike Frontallar ve Bertrand E¼grileri 56 4.4 de Sitter 2-uzay¬nda Spacelike Frontallar ve Bertrant E¼grileri . . 63

5. TARTI¸SMA VE SONUÇ . . . 70

KAYNAKLAR. . . 71

ÖZGEÇM·I¸S . . . 72

S·IMGELER D·IZ·IN·I

Rⁿ Öklidyen uzay¬

h; i Öklidyen uzay¬nda iç çarp¬m k:k Öklidyen uzay¬nda norm

R³ uzay¬nda vektörel çarp¬m E¼grilik

Burulma

R³1 Üç boyutlu Minkowski uzay¬

h; iL Lorentz iç çarp¬m

k:kL Minkowski uzay¬nda norm

L R³1 uzay¬nda vektörel çarp¬m S₁² de Sitter 2-uzay¬

H²( 1) Hiperbolik 2-uzay¬

S² S²

1 H²( 1) S₁²

2 S₁² H²( 1)

5 S₁² S₁²

1.

Üç boyutlu Öklidyen uzay¬nda bir regüler e¼grinin geometrisi çal¬¸s¬l¬rken e¼grinin sabit nicelikleri olan e¼grili¼gi ve burulmas¬her noktada tan¬ml¬d¬r. Tan¬mlanan bu nicelik- ler sayesinde e¼grinin Frenet-Serret formülleri elde edilebilir, böylelikle e¼grinin özel- likleri incelenebilir. Fakat singüler noktaya sahip olan e¼grilerin birim te¼get vektörleri bu singüler noktada sürekli olmad¬¼g¬ndan e¼grinin sabit nicelikleri tan¬ml¬ de¼gildir.

Ayr¬ca bu nedenden dolay¬birim h¬zl¬olamazlar; yani yay uzunlu¼gu parametresine sahip de¼gillerdir. Key… [ parametreli bir : I ! R² e¼grisi için e¼ger

h^: ([) ; v ([)i = 0

ko¸sunu sa¼glayacak biçimde bir v : I ! S¹ dönü¸sümü varsa ( ; v) : I ! R² S¹ ikilisine T1R² = R² S¹ birim tanjant demeti üzerinde bir Legendre e¼gri; e¼grisine ise frontal denir. Legendre e¼gri üzerinde bir immersiyon kurulursa ikili Legendre immersiyon; e¼grisi ise front ad¬n¬ al¬r. Front e¼griler için en tipik örnek regüler düzlem e¼grileridir. Fakat frontlar üzerinde singüler nokta olabilir. e¼grisi singüler noktaya sahip olsa dahi v her zaman tan¬ml¬d¬r. Bu durumda frontun Frenet for- müllerini yazabilmek için gerekli olan hareketli çat¬v dönü¸sümü yard¬m¬ile yap¬l¬r.

Legendre e¼grinin e¼grili¼gi (l; ) ¸seklinde bir ikilidir. (Fukunaga ve Takahashi 2013) Legendre e¼griler için varl¬k teklik teoremlerini Legendre e¼grinin e¼grili¼gi olan (l; ) ikilisi yard¬m¬ ile ispatlam¬¸slard¬r. Yine bu e¼grilik ile Legendre immersiyonun yay uzunlu¼gu parametresini tan¬mlam¬¸slard¬r. Bütün bu ko¸sullar ile birlikte Legendre e¼gri T1S² = S² S² birim tanjant küresi üzerinde de tan¬ml¬d¬r. Birim tanjant küre üzerinde tan¬ml¬ Legendre e¼grilerin varl¬k teklik teoremleri (Takahashi 2015) taraf¬ndan ispatlanm¬¸st¬r.

Öklidyen uzay¬nda framed e¼griler ise hem regüler e¼grilerin, hem de Legendre e¼grilerin bir genellemesidir. (Honda ve Takahashi 2016) Öklidyen uzay¬nda framed e¼grileri tan¬mlam¬¸s, üç boyutlu Öklidyen uzay¬nda framed e¼grilerin Frenet-Serret tipi for- müllerini vermi¸s ve framed e¼grilerin hangi ko¸sullar alt¬nda düzlemsel Legendre e¼gri olaca¼g¬na dair bulgular elde etmi¸slerdir. (Chen ve Takahashi 2016) birim tanjant

küre üzerinde yap¬lan çal¬¸smalardan yola ç¬karak, küre üzerinde tan¬ml¬frontallar¬

Hiperbolik 2-uzay¬nda ve de Sitter 2-uzay¬nda tan¬mlayarak timelike ve spacelike Legendrian e¼grilerin e¼griliklerini ve Frenet-Serret tipi çat¬lar¬n¬ tan¬mlam¬¸s ve bu frontallar¬n paralellerini ve evolütlerini çal¬¸sm¬¸slard¬r.

Di¼ger taraftan e¼griler teorisinde önemli bir yeri olan ve özel e¼griler olarak bili- nen silindirik helisler ve Bertrand e¼grileri, (Izumiya ve Takeuchi 2002) taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸s ve iki ayr¬ teorem elde edilmi¸stir. Bunlardan ilki, düzlemsel e¼grilerden silindirik helislerin elde edilebilece¼gi ve bütün silindirik helislerin ayn¬ yöntem ile üretilebilece¼gi; ikincisi ise küresel e¼grilerden Bertrand e¼grilerin elde edilebilece¼gi ve bütün Bertrand e¼grilerin ayn¬yöntem ile üretilebilece¼gidir.

Bu tez çal¬¸smas¬nda ilk olarak üç boyutlu Öklidyen uzay¬nda framed helis kavram¬

tan¬mlanm¬¸s ve framed helis olma ¸sart¬ verilmi¸stir. Düzlemsel Legendre e¼griler yard¬m¬yla frontallardan framed helisleri elde etme yöntemi verilmi¸stir. Devam¬nda ise, önce framed e¼grilerin Bertrand e¼grileri tan¬mlanm¬¸s ve Bertrand e¼gri olma ¸sart¬

verilmi¸stir. Küresel Legendre e¼griler yard¬m¬yla frontallardan Bertrand e¼grileri elde etme yöntemi verilmi¸stir.

Son bölümde ise ilk önce üç boyutlu Minkowski uzay¬nda spacelike ve timelike framed e¼griler ve e¼grilikleri tan¬mlanm¬¸s, Frenet-Serret tipi formülleri verilmi¸stir. Ard¬n- dan bu e¼grilerin Bertrand e¼gri olma ¸sartlar¬ incelenmi¸stir. Hiperbolik 2-uzay¬nda spacelike frontallardan Bertrand e¼grileri elde etme yöntemleri verilmi¸s ve ilk teo- remde Bertrand e¼grinin, Bertrand çifti spacelike olan spacelike framed e¼gri oldu¼gu görülmü¸s; ikinci teoremde ise Bertrand e¼grinin, Bertrand çifti spacelike olan timelike framed e¼gri oldu¼gu görülmü¸stür. Daha sonra de Sitter 2-uzay¬nda spacelike frontal- lardan Bertrand e¼grileri elde etme yöntemleri verilmi¸s ve ilk teoremde Bertrand e¼grinin, Bertrand çifti timelike olan timelike framed e¼gri oldu¼gu görülmü¸s; ikinci teoremde ise Bertrand e¼grinin, Bertrand çifti timelike olan spacelike framed e¼gri oldu¼gu görü¸smü¸stür.

2.

Bu bölümde tez boyunca kullan¬lan temel kavramlar ve teoremler verilmi¸stir.

2.1 Öklid Uzay¬nda Temel Kavramlar

Tan¬m 2.1 Rⁿn-boyutlu Öklidyen uzay¬gerçel say¬lar¬n tüm s¬ral¬n-lilerinin küme- sidir ve a¸sa¼g¬daki gibi tan¬ml¬d¬r (Gray vd. 2006):

Rⁿ= (p1; p2; :::; pn)j j = 1; 2; :::; n için pj gerçel say¬

Tan¬m 2.2 Rⁿ de 8s = (s¹; s₂; :::; s_n) ve r = (r1; r₂; :::; r_n)2 Rⁿ için

hs; ri = Xn

j=1

s_jr_j

biçiminde tan¬ml¬fonksiyona iç çarp¬m fonksiyonu denir (Gray vd. 2006):

Tan¬m 2.3 Rⁿ de 8p = (p¹; p₂; :::; p_n) için kpk =p

hp; pi

biçiminde tan¬ml¬fonksiyona p vektörünün normu denir (Gray vd. 2006):

Tan¬m 2.4 R³, 3 boyutlu Öklidyen uzay¬nun standart baz¬ fi; j; kg olmak üzere 8v = (v¹; v₂; v₃)ve w = (w1; w₂; w₃)2 R³ vektörlerinin vektörel çarp¬m¬a¸sa¼g¬daki gibi tan¬ml¬d¬r (Millman ve Parker 1977).

v w =

i j k

v1 v2 v3

w₁ w₂ w₃

= (v2w3 v3w2)i + (v3w1 v1w3)j + (v1w2 v2w1)k

Tan¬m 2.5 I, R de bir aç¬k aral¬k ve 8[ 2 I için i fonksiyonlar¬n¬n türevlenebilir olmas¬ko¸sulu ile

([) = ( ₁([); ₂([) ; ::; _n([))

biçiminde tan¬ml¬ : I ! Rⁿ dönü¸sümüne Rⁿ de bir parametrik e¼gri denir (Bruce ve Giblin 1984).

Tan¬m 2.6 Bir parametrik e¼grisi C¹ s¬n¬f¬ndan bir fonksiyon ise e¼griye düzgün e¼gri denir. Bu da n¬n her bile¸seninin herhangi say¬da türevlenebilir olmas¬ de- mektir (Izmestiev 2016).

Tan¬m 2.7 : I ! Rⁿ, Rⁿ uzay¬nda bir e¼gri olmak üzere

:([) = d

d[ = d ₁ d[ ;d ₂

d[ ; :::;d _n d[

dönü¸sümüne n¬n [ noktas¬ndaki h¬z vektörü denir (Izmestiev 2016).

Tan¬m 2.8 Bir parametrik e¼grisi için ^:([) 6= 0 ise ([) ye regüler nokta; aksi halde ([) ye singüler nokta denir. Bir e¼grinin regüler olmas¬ üzerindeki tüm noktalar¬n regüler olmas¬ile mümkündür (Izmestiev 2016).

Tan¬m 2.9 : I R ! Rⁿ, Rⁿ uzay¬nda bir e¼gri olsun. k^:([)k sabitine n¬n [ noktas¬ndaki h¬z¬ denir. E¼ger k^:([)k = 1 ise ya birim h¬z¬ e¼gri, [ ye ise n¬n yay parametresidenir (Do Carmo 1976).

Tan¬m 2.10 : I ! R³ birim h¬zl¬bir e¼gri ve s yay parametresi olmak üzere t(s) = ⁰(s)

vektörüne n¬n (s) noktas¬ndaki birim te¼get vektörü denir (Do Carmo 1976).

Tan¬m 2.11 : I ! R³ birim h¬zl¬bir e¼gri ve s yay parametresi olmak üzere (s) = ⁰⁰(s)

say¬s¬na n¬n (s)noktas¬ndaki e¼grili¼gi denir (Do Carmo 1976).

Tan¬m 2.12 : I ! R³ birim h¬zl¬bir e¼gri ve s yay parametresi olmak üzere n (s) =

00(s) (s)

vektörüne n¬n (s)noktas¬ndaki birim normal vektörü denir (Do Carmo 1976).

Tan¬m 2.13 : I ! R³ birim h¬zl¬bir e¼gri ve s yay parametresi olmak üzere b (s) = t (s) n (s)

vektörüne n¬n (s) noktas¬ndaki binormal vektörü denir (Do Carmo 1976).

Tan¬m 2.14 R³ de s yay parametreli bir : I ! R e¼grisi için üç ortogonal ft (s) ; n (s) ; b (s)g birim vektörü vard¬r. Bu ortogonal yap¬ya n¬n (s) noktas¬n- daki Frenet çat¬s¬denir (Do Carmo 1976).

Tan¬m 2.15 : I ! R³ birim h¬zl¬bir e¼gri ve s yay parametresi olmak üzere (s) = hb⁰(s) ; n (s)i

say¬s¬na n¬n (s)noktas¬ndaki burulmas¬denir (Millman ve Parker 1977).

Tan¬m 2.16 : I ! R³ birim h¬zl¬bir e¼gri ve s yay parametresi olsun. Birim te¼get vektör, birim normal vektör ve binormal vektör, s¬ras¬yla,

t (s) = ⁰(s); n (s) =

00(s)

k ⁰⁰(s)k; b (s) = t (s) n (s) olmak üzere Frenet-Serret formülleri a¸sa¼g¬daki gibi tan¬ml¬d¬r:

0 BB B@

t⁰(s) n⁰(s) b⁰(s)

1 CC CA=

0 BB B@

0 (s) 0

(s) 0 (s)

0 (s) 0

1 CC CA

0 BB B@

t (s) n (s) b (s)

1 CC CA

Burada (s) = ⁰⁰(s) ve (s) = ^det

0(s); ⁰⁰(s); ⁰⁰⁰(s)

2(s) dir (Honda ve Takahashi 2019).

Tan¬m 2.17 : I ! R³ key… [ parametresine sahip bir regüler e¼gri olsun. Birim te¼get vektör, birim normal vektör ve binormal vektör, s¬ras¬yla,

t ([) =

: ([)

k^: ([)k; n ([) = b ([) t ([) ; b ([) =

: ([) ^::([) k^: ([) ^::([)k olmak üzere Frenet-Serret formülleri a¸sa¼g¬daki gibi tan¬ml¬d¬r:

0 BB B@

t ([):

n ([): :

b ([) 1 CC CA=

0 BB B@

0 k^: ([)k ([) 0

k^:([)k ([) 0 k^: ([)k ([)

0 k^:([)k ([) 0

1 CC CA

0 BB B@

t ([) n ([) b ([)

1 CC CA

Burada ([) = k

:([) ^::([)k

k^:([)k³ ve ([) = ^det(^{:([);::([);:::([)})

k^{:([) ::([)}k² dir (Honda ve Takahashi 2019).

Tan¬m 2.18 : I ! R³ bir regüler e¼gri olsun. E¼ger e¼grisinin her noktas¬ndaki t te¼get vektörü, sabit bir a vektörü ile sabit bir aç¬s¬na sahip ise e¼grisine helis denir (O’Neill 2006).

Teorem 2.1 : I ! R³key… [ parametresine sahip bir regüler e¼gri olsun. e¼grinin helis olabilmesi için gerek ve yeter ¸sart

([)

([); > 0

e¸sitli¼ginin bir sabit fonksiyon olmas¬d¬r (O’Neill 2006).

Tan¬m 2.19 : I ! R³ ve : I ! R³ ayn¬aral¬kta tan¬ml¬farkl¬iki regüler e¼gri olsun. E¼ger

([) = ([) + ([) n ([) ve

n ([) = n([)

olacak biçimde : I ! R düzgün fonksiyonu varsa ve e¼grilerine Bertrand çifti denir. Ayr¬ca ve e¼grileri Bertrand çifti olacak biçimde bir : I ! R³ e¼grisi varsa : I ! R³ e¼grisine Bertrand e¼gridenir (Honda ve Takahashi 2019).

Uyar¬2.1 Bir önceki tan¬mda yerine seçilirse n ([) = n([) olur (Honda ve Takahashi 2019).

Tan¬m 2.20 : I ! R² düzgün bir e¼gri olsun. E¼ger [0 n¬n bir singüler noktas¬ve

::([₀)ve^:::([₀)lineer ba¼g¬ms¬z ise e¼grisi bir s¬radan cusp noktas¬na sahiptir denir.

Di¼ger taraftan; e¼ger ^:([₀) = ^::([₀) = (0; 0)¸sart¬sa¼glan¬yor ve^:::([₀)ve ⁽⁴⁾([₀)lineer ba¼g¬ms¬z ise (3; 4)-singülerli¼ge sahiptir denir (Izumiya vd. 2015).

2.2 Front E¼griler

Tan¬m 2.21 : I ! R² bir e¼gri ve , T1R² = R² S¹ birim tanjant demet üzerinde bir kanonik kontakt yap¬olmak üzere; e¼ger ( ; v) : I ! R² S¹ ikilisi

( ([) ; v ([)) = 0

ko¸sulunu sa¼gl¬yorsa ( ; v) : I ! R² S¹ dönü¸sümüne Legendre e¼gridenir. Burada ( ([) ; v ([)) = 0 ko¸sulu

h^: ([) ; v ([)i = 0 ile e¸sde¼gerdir (Fukunaga ve Takahashi 2013).

Tan¬m 2.22 E¼ger ( ; v) : I ! R² S¹ Legendre e¼gri olacak biçimde bir v : I ! S¹ düzgün dönü¸sümü varsa e¼grisine frontal denir. Ayr¬ca

(^: ([) ;v ([))^: 6= (0; 0)

ko¸sulu sa¼glan¬yorsa e¼grisine front; ( ; v) : I ! R² S¹ ikilisine ise Legendre immersiyon denir (Fukunaga ve Takahashi 2013).

Örnek 2.1 : I ! R² bir regüler düzlem e¼grisi olsun. v : I ! S¹ olmak üzere;

v ([) = n ([) olarak al¬n¬rsa

h^:([) ; v ([)i = 0, (^:([) ;v ([))^: 6= (0; 0)

ko¸sullar¬ayn¬anda sa¼glanaca¼g¬ndan e¼grisi bir fronttur (Fukunaga ve Takahashi 2014).

Örnek 2.2 : R ! R², ([) = ([³; [⁴) e¼grisi verilsin. e¼grisi [ = 0 da (3; 4)- singülerli¼ge sahiptir. E¼ger v ([) = 1=p

16[²+ 9 ( 4[; 3) olarak al¬n¬rsa

: ([) = 3[²; 4[³

h^: ([) ; v ([)i = 3[²; 4[³ ; 4[

p16[² + 9; 3 p16[²+ 9

= 0 bulunur. e¼grisi frontald¬r. Ayr¬ca

v ([) =: 4 (16[²+ 9) + 64[²

(16[²+ 9)³⁼² ; 48[

(16[²+ 9)³⁼²

!

olmak üzere

: (0) = (0; 0) vev (0)^: 6= (0; 0)

oldu¼gundan e¼grisi bir fronttur (Fukunaga ve Takahashi 2014).

Sonuç 2.1 ( ; v) Legendre immersiyon olmak üzere; e¼ger front e¼grisi [ = [0

civar¬nda singüler ise

lim

[![⁰k ([)k = 1

dir. Bu durumda front e¼grisinin Frenet çat¬s¬tan¬ml¬de¼gildir. Fakat v dönü¸sümü her zaman tan¬ml¬d¬r. Buradan hareketle, v dönü¸sümü kullan¬larak frontlar¬n Frenet formülü elde edilir (Fukunaga ve Takahashi 2014).

Tan¬m 2.23 ([) = J (v ([))ile tan¬mlans¬n. R²de front e¼grisinin hareketli çat¬s¬

fv ([) ; ([)g olmak üzere; Frenet formülleri a¸sa¼g¬daki gibi tan¬ml¬d¬r:

0

@ v ([):

: ([) 1 A =

0

@ 0 l ([)

l ([) 0 1 A

0

@ v ([) ([)

1 A

Burada l ([) = hv ([) ;^: ([)i dir. E¼ger ([) ; ([) düzgün fonksiyonlar¬için

:([) = ([) v ([) + ([) ([)

ise h^: ([) ; v ([)i = 0 ko¸sulu ile ([) = 0 olur ve

:([) = ([) ([)

e¸sitli¼gi gerçeklenir. ( ; v) bir immersiyon oldu¼gunda (l ([) ; ([))6= (0; 0) gerçeklenir.

( ; v) bir Legendre e¼gri iken (l; ) ikilisine Legendre e¼grinin e¼grili¼gi denir. ( ; v) bir Legendre immersiyon iken (l; ) ikilisine Legendre immersiyonun e¼grili¼gi denir (Fukunaga ve Takahashi 2014).

Örnek 2.3 : R ! R², ([) = ([³; [⁴) e¼grisinin v ([) = 1=p

16[²+ 9 ( 4[; 3) dönü¸sümü ile bir front oldu¼gu gösterilmi¸sti.

([) = J (v ([)) = 1=p

16[²+ 9 ( 3; 4[) dir. l ([) = hv ([) ;^: ([)i e¸sitli¼ginden

l ([) =

* 4 (16[²+ 9) + 64[²

(16[²+ 9)³⁼² ; 48[

(16[²+ 9)³⁼²

!

; 3

p16[²+ 9; 4[

p16[²+ 9 +

= 12 (16[²+ 9) 192[²

(16[²+ 9)² + 192[² (16[²+ 9)²

= 12

6[²+ 9

bulunur. ^: ([) = ([) ([) e¸sitli¼ginden

3[²; 4[³ = ([) 1=p

16[²+ 9 ( 3; 4[) dir. Buradan

([) = 3[²; 4[³ ; 3

p16[²+ 9; 4[

p16[² + 9

= [²p

16[²+ 9 dir (Fukunaga ve Takahashi 2014).

2.3 Minkowski Uzay¬nda Temel Kavramlar

Tan¬m 2.24 R³ uzay¬nda verilen 8r = (r¹; r₂; r₃)ve s = (s1; s₂; s₃)2 R³ vektörleri için

hr; siL= r₁s₁+ r₂s₂+ r₃s₃

Lorentz iç çarp¬m¬ile tan¬ml¬R³1vektör uzay¬na indeksi 1 olan üç boyutlu Minkowski uzay denir (Chen ve Takahashi 2016).

Tan¬m 2.25 Üç boyutlu Minkowski uzay¬nda 8u = (u¹; u₂; u₃)2 R³1 için 1. E¼ger hu; uiL> 0 ya da u = 0 ise u ya bir spacelike vektör,

2. E¼ger hu; uiL< 0 ise u ya bir timelike vektör,

3. E¼ger hu; uiL= 0ve u 6= 0 ise u ya bir lightlike vektör denir (Chen ve Takahashi 2016).

Tan¬m 2.26 Üç boyutlu Minkowski uzay¬nda 8u = (u¹; u₂; u₃)2 R³1 için kukL=

q

jhu; uiLj

biçiminde tan¬mlanan fonksiyona u vektörünün normu denir. kuk = 1 ise u vektörü birim vektördür denir (Chen ve Takahashi 2016).

Tan¬m 2.27 Üç boyutlu Minkowski uzay¬nda 8r = (r¹; r₂; r₃) ve s = (s1; s₂; s₃) 2 R³1 için Lorentzyen vektörel çarp¬m a¸sa¼g¬daki gibi tan¬ml¬d¬r:

r _Ls =

i j k

r₁ r₂ r₃ s₁ s₂ s₃

= ( r₂s₃+ r₃s₂; r₁s₃+ r₃s₁; r₂s₁+ r₁s₂)

E¼ger e¼grinin te¼get vektörü spacelike ise e¼gri spacelike; timelike ise e¼gri timelike;

lightlike ise e¼gri lightlike e¼gri olarak adland¬r¬l¬r (Chen ve Takahashi 2016).

Tan¬m 2.28 8z 2 R³1 için

hz; s ^LriL = det (z; s; r)

gerçeklenir. Buradan; s L r çarp¬m¬ s ve r ye yar¬ ortogonaldir denir. E¼ger s timelike vektör r spacelike vektör ve s Lr = w ise

w _Ls = r; r _Lw = s E¼ger s spacelike vektör r timelike vektör ve s Lr = w ise

w _Ls = r; r _Lw = s E¼ger s ve r spacelike vektörler ve s Lr = w ise

w _Ls = r; r _Lw = s dir (Chen ve Takahashi 2016).

Tan¬m 2.29 Hiperbolik 2-uzay¬

H²( 1) = x2 R³1 j hx; xiL = 1 ve de Sitter 2-uzay¬

S₁² = x2 R³1 j hx; xiL = 1 biçiminde tan¬ml¬d¬r (Chen ve Takahashi 2016).

3.

Bu bölümde üç boyutlu Öklidyen uzayda framed e¼griler tan¬mlanacak ve Frenet- Serret tipi çat¬s¬verilecektir. Ayr¬ca düzlemsel Legendre e¼grilerden framed helisleri;

küresel Legendre e¼grilerden ise Bertrand e¼grileri elde etme yöntemleri verilecektir.

Tan¬m 3.1 : I ! R³ bir düzgün e¼gri olsun. E¼ger 8[ 2 I için h^: ([) ; v₁([)i = 0

ve

h^: ([) ; v₂([)i = 0

ko¸sulu sa¼glan¬yorsa ( ; v1; v₂) ! R³ bir framed e¼gridir denir. ( ; v1; v₂) bir framed e¼gri olacak biçimde (v1; v₂) ! varsa e¼grisine framed tipi e¼gri denir.

Burada

=f(v; w) j hv; wi = 0g S² S²

dir. ([) = v₁([) v₂([) olarak ifade edilsin. O halde fv¹([) ; v₂([) ; ([)g R³ de framed tipi ([) e¼grisi boyunca bir hareketli çat¬d¬r ve Frenet tipi formülleri a¸sa¼g¬daki gibi tan¬ml¬d¬r:

0 BB B@

v:₁([) v:₂([)

: ([) 1 CC CA=

0 BB B@

0 p ([) r ([) p ([) 0 s ([) r ([) s ([) 0

1 CC CA

0 BB B@

v₁([) v₂([) ([)

1 CC

CA; ^: ([) = ([) ([)

Burada p ([) = hv^:₁([) ; v₂([)i ; r([) = hv^:₁([) ; ([)i ; s([) = hv^:₂([) ; ([)i ve ([) = h^: ([) ; ([)i dir. (p; r; s; ) dörtlüsüne ise ( ; v¹; v₂) framed e¼grisinin e¼grili¼gi denir (Honda ve Takahashi 2019).

Tan¬m 3.2 ( ; v₁; v₂) ! R³ framed e¼grisi (p; r; s; ) e¼grili¼gi ile verilsin. v1([) ve v2([) vektörlerinin gerdi¼gi düzlem ([) e¼grisinin normal düzlemi olacak biçimde, regüler e¼grilerin Bishop çat¬s¬na benzer bir çat¬framed e¼griler için de olu¸sturulabilir.

(v₁([) ; v₂([))2 ve bir düzgün fonksiyon olmak üzere

0

@ v₁([) v₂([)

1 A =

0

@ cos ([) sin ([) sin ([) cos ([)

1 A

0

@ v₁([) v₂([)

1 A

biçiminde tan¬mlans¬n. O halde ( ; v1; v2 ! R³ bir framed e¼gri ve ([) = ([) dir. Buradan

:

v₁([) = p ([)

:

([) sin ([) v₁([) + p ([)

:

([) cos ([) v₂([) + (r ([) cos ([) s ([) sin ([)) ([)

:

v₂([) = p ([)

:

([) cos ([) v₁([) + p ([)

:

([) sin ([) v₂([) + (r ([) sin ([) + s ([) cos ([)) ([)

dir. E¼ger

:

([) = p ([) olacak biçimde bir : I ! R düzgün fonksiyonu al¬rsak, n

v1([) ; v2([) ; ([) o

çat¬s¬, framed tipi ([) e¼grisi boyunca bir adapasyon çat¬s¬

olarak adland¬r¬l¬r ve Frenet-Serret tipi formülleri a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlan¬r.

0 BB BB

@

:

v₁([)

:

v₂([)

:

([) 1 CC CC A=

0 BB B@

0 0 r ([)

0 0 s ([)

r ([) s ([) 0 1 CC CA

0 BB B@

v₁([) v₂([) ([)

1 CC CA

Burada r ([) ve s ([) ¸su ¸sekilde tan¬ml¬d¬r:

0

@ r ([) s ([)

1 A =

0

@ cos ([) sin ([) sin ([) cos ([)

1 A

0

@ r ([) s ([)

1 A

(Honda ve Takahashi 2019).

A¸sa¼g¬daki ko¸sullar alt¬nda bir framed tipi e¼gri boyunca özel bir çat¬tan¬mlanabilir.

Tan¬m 3.3 ( ; v₁; v₂)! R³ , r²([) + s²([)6= 0 ko¸sulu ile bir framed e¼gri olsun.

O halde (n1([) ; n2([)) 2 ¸su ¸sekilde tan¬mlanabilir:

n1([) = r ([) v₁([) + s ([) v₂([)

pr²([) + s²([) ; n2([) = s ([) v₁([) + r ([) v₂([) pr²([) + s²([)

Burada ( ; n1; n₂)! R³ bir framed immersiyondur. Yani;

(^:([) ;n^:₁([) ;n^:₂([)) 6= (0; 0; 0)

(p ([) ; r ([) ; s ([) ; ([))6= (0; 0; 0; 0)

([) = n₁([) n₂([) olmak üzere fn¹([) ; n₂([) ; ([)g çat¬s¬ ([) boyunca Frenet tipi bir hareketli çat¬d¬r ve Frenet-Serret tipi formülleri a¸sa¼g¬daki gibi tan¬ml¬d¬r:

0 BB B@

n:₁([) n:₂([)

: ([) 1 CC CA=

0 BB B@

0 N ([) M ([)

N ([) 0 0

M ([) 0 0

1 CC CA

0 BB B@

n₁([) n₂([) ([)

1 CC

CA; ^: ([) = ([) ([)

Burada N ([) = ^r([)

s([): r([)s([)+p([)^: (^r2([)+s2([))

r²([)+s²([) ve M ([) = p

r²([) + s²([) dir. Bu nedenle ( ; n1; n₂) framed immersiyonun e¼grili¼gi (N; M; 0; ) biçiminde verilir (Honda ve Takahashi 2019).

Önerme 3.1 ( ; v₁; v₂)! R³ bir framed e¼gri olsun. Framed e¼grilik (p; r; s; ) ve ([) ; ([) aras¬ndaki ili¸ski a¸sa¼g¬daki gibidir (Honda ve Takahashi 2016).

j ([)j ([) = p

r²([) + s²([)

([) r²([) + s²([) ([) = r ([)s ([)^: r ([) s ([) + r^{: 2}([) + s²([) p ([)

Ispat.· ^: ([) = ([) ([) oldu¼gu biliniyor. Türev al¬n¬rsa

::([) =

:

([) ([) + ([) ^: ([)

=

:

([) ([) + ([) ( r ([) v₁([) s ([) v₂([))

bulunur. Tekrar türev al¬n¬rsa

:::([) =

::

([) ([) r²([) ([) s²([) ([) 2

:

([) r ([) + ([)r ([)^: ([) s ([) p ([) v₁([) 2

:

([) s ([) + ([)s ([) + ([) r ([) p ([) v^: ₂([)

elde edilir. Buradan

k^: ([)k = j ([)j k^: ([) ^::([)k = ²([)p

r²([) + s²([)

det (^: ([); ([) ;^{:: :::}([)) = ³([) r ([)s ([)^: r ([) s ([) + r^{: 2}([) + s²([) p ([) e¸sitlikleri elde edilir. ([) ve ([) tan¬m¬ndan

([) = k^: ([) ^::([)k k^:([)k³ =

pr²([) + s²([) j ([)j

([) = det (^:([); ([) ;^{:: :::}([))

k^: ([) ^::([)k² = r ([)s ([)^: r ([) s ([) + (r^{: 2}([) + s²([)) p ([) ([) (r²([) + s²([))

dir.

3.1 Üç Boyutlu Öklidyen Uzay¬nda Düzlemsel Legendre E¼griler ve Framed Helisler

( ; v₁; v₂)! R³ e¼grili¼gi (p; r; s; ) olan bir framed e¼gri olsun. a 2 S² ve c 2 R olmak üzere

P (a; c) =n

x2 R³ jD x; aE

= co düzlemi tan¬mlans¬n.

Tan¬m 3.4 E¼ger 8[ 2 I için D

([) ; a E

= c; h^: ([) ; v ([)i = 0 ve D

v ([) ; a E

= 0

ko¸sullar¬sa¼glan¬yorsa ( ; v) : I ! R³ S² dönü¸sümü P (a; c) düzleminde bir Legen- dre e¼gridir denir (Honda ve Takahashi 2016).

1. E¼ger ( ; v) : I ! R³ S² dönü¸sümü P (a; c) düzleminde bir Legendre e¼gri ise p ([) = r ([) = 0; 8[ 2 I

ko¸sulu ile ( ; a; v) : I ! R³ bir framed e¼gridir. Tersine e¼ger p ([) = r ([) = 0; 8[ 2 I

ko¸sulu ile ( ; v1; v₂) : I ! R³ bir framed e¼gri ise ( ; v2) : I ! R³ S² dönü¸sümü P (a; c) düzleminde bir Legendre e¼gri olacak biçimde a 2 S² sabit vektörü ve c 2 R vard¬r.

2. E¼ger ( ; v) : I ! R³ S² dönü¸sümü P (a; c) düzleminde bir Legendre e¼gri ise p ([) = s ([) = 0; 8[ 2 I

ko¸sulu ile ( ; a; v) : I ! R³ bir framed e¼gridir. Tersine e¼ger p ([) = s ([) = 0; 8[ 2 I

ko¸sulu ile ( ; v1; v₂) : I ! R³ bir framed e¼gri ise ( ; v1) : I ! R³ S² dönü¸sümü P (a; c) düzleminde bir Legendre e¼gri olacak biçimde a 2 S² sabit vektörü ve c 2 R vard¬r (Honda ve Takahashi 2016).

Ispat.· (1) Bir önceki tan¬mdan D

([) ; aE

= c

oldu¼gunu biliyoruz. E¸sitli¼gin her iki taraf¬n¬n türevi al¬n¬rsa D_:

([) ; aE

+ ([) ;

:

a = 0

bulunur.

:

a = 0 oldu¼gundan

D_: ([) ; a

E

= 0 dir. Yine tan¬mdan

h^: ([) ; v ([)i = 0

oldu¼gu biliniyor. Bu iki ko¸sulla ( ; a; v) : I ! R³ bir framed e¼gridir. (a; v ([)) 2 ve Frenet-Serret formülü ile

:

a ([) = p ([) v₂([) + r ([) ([)

dir. a bir sabit oldu¼gundan

p ([) = r ([) = 0; 8[ 2 I

e¸sitli¼gi gerçeklenir. Tersine ( ; v1; v₂) : I ! R³ bir framed e¼gri ve p ([) = r ([) = 0 olsun. a = v1([)2 S² olarak seçilirse 8[ 2 I için

D_:

([) ; aE

= ( ([) ([) ; v₁([))

= 0 gerçeklenece¼ginden

D

([) ; aE

= c

olacak biçimde bir c 2 R vard¬r. Buradan ( ; v²) : I ! R³ S² dönü¸sümü P (a; c) düzleminde bir Legendre e¼gridir.

(2) ·Ispat (1) in ispat¬ile benzer ¸sekilde yap¬l¬r.

Tan¬m 3.5 ( ; n₁; n₂) ! R³ bir framed immersiyon ve > 0 olsun. E¼ger a 2 S² birim vektörü için

D

([) ; aE

= c

olacak biçimde bir c 2 R varsa bir framed helistir denir.

Önerme 3.2 ( ; n₁; n₂)! R³ bir framed immersiyon ve > 0olsun. A¸sa¼g¬daki önermeler denktir.

1. bir framed helistir, 2. _{M ([)}^{N ([)} oran¬sabittir.

Ispat.· Kabul edelim ki bir framed helis olsun.

a = a ([) n₁([) + b ([) n₂([) + c ([) ([)

olacak biçimde a ([) ; b ([) ve c ([) düzgün fonksiyonlar¬alal¬m. Varsay¬mdan D

a; ([)E

= c ([) = c

bulunur. Dahas¬, e¸sitli¼gin her iki taraf¬n¬n türevi al¬n¬rsa

0 = a ([) n^: ₁([) + a ([)n^:₁([) +

:

b ([) n₂([) + b ([)n^:₂([) + c^: ([)

= a ([) n^: ₁([) + a ([) (N ([) n₂([) + M ([) ([)) +

:

b ([) n₂([) +b ([) ( N ([) n₁([)) + c ( M ([) n₁([))

= a ([)^: b ([) N ([) cM ([) n₁([) + a ([) N ([) +

:

b ([) n₂([) + (a ([) M ([)) ([)

dir. Buradan

a ([) = 0 bulunur. b ([) = 0^: olaca¼g¬ndan

b ([) = c₁; c₁ sabit

e¸sitli¼gi elde edilir. De¼gerler e¸sitlikte yerine yaz¬l¬rsa

c₁N ([) cM ([) = 0 olur. Dolay¬s¬yla

N ([)

M ([) = c c₁

bir sabittir. Tersine, kabul edelim ki _{M ([)}^{N ([)} oran¬sabit olsun. E¼ger

a = N ([)

M ([) ([) + n₂([) biçiminde tan¬mlan¬rsa

D

([) ; aE

= N ([) M ([) gerçeklenir. Buradan D

([) ; aE

bir sabittir. Dolay¬s¬yla bir framed helistir.

Teorem 3.1 ( ; v₂) : I ! R³ S² dönü¸sümü P (a; c) düzleminde, e¼grili¼gi (p; r; s; ) olan bir Legendre e¼gri olsun. bir sabit say¬, c ve a ise

a = v₁([) 2 S²; D_:

([) ; aE

= 0

olacak biçimde birer sabit vektörler olmak üzere ([) = ([) + cot

Z

k^:([)k d[ a + c v₁([) = v₁([) sin ([) cos

v₂([) = v₂([)

e¸sitlikleri ile verilen ( ; v1;v₂) : I ! R³ dönü¸sümü, e¼grili¼gi (p; r; s; ) olan bir framed e¼gridir. Burada

p ([) = s ([) cos r ([) = 0

s ([) = s ([) sin ([) = ([)

sin

e¸sitlikleri gerçeklenir. Dahas¬( ; v1;v2) : I ! R³ bir framed helistir.

Ispat.· Kabulden 8[ 2 I için

v₁([) = v₂([) = 1

ve D

v₁([) ; v₂([)E

= 0 oldu¼gu aç¬kt¬r.

([) = v₁([) v₂([)

= (v₁([) sin ([) cos ) v₂([)

= ([) sin + v₁([) cos

= ([) sin + a cos bulunur. ([) e¸sitli¼ginin türevi al¬n¬rsa

:

([) = ^: ([) + cot ([) a ([) ([) = ([) ([) + cot ([) a ([) ([) = ([)

sin ( ([) sin + cos a) ([) ([) = ([)

sin ([)

e¸sitli¼gi gerçeklenir. Buradan

([) = ([) sin dir. Ayr¬ca

:

([) = ([) sin ([) oldu¼gundan

:

([) ; v₁([) = 0 ve

:

([) ; v₂([) = 0

e¸sitlikleri gerçeklenir. Buradan ( ; v1;v₂) : I ! R³ bir framed e¼gridir. Dahas¬

:

v₁([) = v^:₁([) sin ^: ([) cos

=

:

a sin ^: ([) cos

= ( s ([) v₂([)) cos

= s ([) v₂([) cos ve

:

v₂([) = v^:₂([)

= s ([) ([) oldu¼gundan

p ([) =

:

v1([) ; v2([) = s ([) cos r ([) =

:

v1([) ; ([) = 0 s ([) =

:

v₂([) ; ([) = s ([) sin e¸sitlikleri gerçeklenir. Buradan

N ([) = s ([) cos s²([) sin² s²([) sin²

= s ([) cos ve

M ([) = q

s²([) sin²

= js ([)j sin

e¸sitlikleri ile

N ([) M ([)

= s ([) cos js ([)j sin

= cot = sabit bulunur. Buradan ( ; v1;v₂) : I ! R³ bir framed helistir.

Teorem 3.2 ( ; v₁) : I ! R³ S² dönü¸sümü P (a; c) düzleminde, e¼grili¼gi (p; r; s; ) olan bir Legendre e¼gri olsun. bir sabit say¬, c ve a ise

a = v₂([) 2 S²; D_:

([) ; aE

= 0 olacak biçimde birer sabit vektörler olmak üzere

([) = ([) + cot Z

k^:([)k d[ a + c v₁([) = v₂([) sin ([) cos

v₂([) = v₁([)

e¸sitlikleri ile verilen ( ; v1;v₂) : I ! R³ dönü¸sümü, e¼grili¼gi (p; r; s; ) olan bir framed e¼gridir. Burada

p ([) = r ([) cos r ([) = 0

s ([) = r ([) sin

([) = ([)

sin

e¸sitlikleri gerçeklenir. Dahas¬( ; v1;v₂) : I ! R³ bir framed helistir.

Ispat.· Teoremin ispat¬bir önceki teoremin ispat¬ile benzer ¸sekilde yap¬l¬r.

3.2 Üç Boyutlu Öklidyen Uzay¬nda Framed E¼grilerin Bertrand E¼grileri

( ; v₁; v₂) ve ( ; v1; v₂) : I ! R³ dönü¸sümleri, e¼grilikleri s¬ras¬yla (p; r; s; ) ve (p; r; s; )olan framed e¼griler olsunlar. ve birbirinden farkl¬e¼griler kabul edelim.

Tan¬m 3.6 ( ; v₁; v₂) ve ( ; v1; v₂) : I ! R³ birbirinden farkl¬iki framed e¼gri olsunlar. E¼ger 8[ 2 I için

([) = ([) + ([) v₁([) ve

v₁([) = v₁([)

olacak biçimde bir : I ! R düzgün fonksiyonu varsa ( ; v¹; v₂) ve ( ; v1; v₂) e¼grilerine Bertrand çifti denir. Ayr¬ca ( ; v1; v2) ve ( ; v1; v2) e¼grileri Bertrand çifti olacak biçimde bir ( ; v1; v₂) : I ! R³ framed e¼grisi varsa ( ; v1; v₂) : I ! R³ e¼grisine bir Bertrand e¼gri denir (Honda ve Takahashi 2019).

Lemma 3.1 Bir önceki tan¬mdan, e¼ger ( ; v1; v₂) ve ( ; v1; v₂) : I ! R³ Bertrand çifti ise s¬f¬rdan farkl¬bir sabittir (Honda ve Takahashi 2019).

Ispat.·

([) = ([) + ([) v₁([) e¸sitli¼ginin her iki taraf¬n¬n türevi al¬n¬rsa

:

([) = ^: ([) +

:

([) v₁([) + ([)v^:₁([) ([) ([) = ([) ([) +

:

([) v₁([) + ([) (p ([) v₂([) + r ([) ([)) ([) ([) = ( ([) + ([) r ([)) ([) + ([) p ([) v₂([) +

:

([) v₁([) gerçeklenir. v1([) = v₁([) oldu¼gundan

:

([) = 0; 8[ 2 I dir. Buradan

([) = sabit dir. E¼ger ([) = 0 ise

([) = ([) ; 8[ 2 I

olur. Bu da varsay¬m¬m¬z ile çeli¸sir. Buradan s¬f¬rdan farkl¬bir sabittir.

Teorem 3.3 ( ; v₁; v₂) : I ! R³ dönü¸sümü, e¼grili¼gi (p; r; s; ) olan bir framed e¼gri olsun. O halde ( ; v1; v2)bir Bertrand e¼gridir ancak ve ancak

p ([) cos ([) ( ([) + r ([)) sin ([) = 0; 8[ 2 I

olacak biçimde 6= 0 sabiti ve : I ! R düzgün fonksiyonu vard¬r (Honda ve Takahashi 2019).

Ispat.· Kabul edelim ki ( ; v1; v₂)bir Bertrand e¼gri olsun.O halde

([) = ([) + v₁([) (3.1)

ve

v₁([) = v₁([)

olacak biçimde 6= 0 sabiti ve ( ; v¹; v₂) : I ! R³ framed e¼grisi vard¬r. 3.1 e¸sitli¼ginin türevinden

([) ([) = ( ([) + r ([)) ([) + p ([) v₂([) (3.2) dir. v1([) = v₁([) oldu¼gundan

0

@ v₂([) ([)

1 A =

0

@ cos ([) sin ([) sin ([) cos ([)

1 A

0

@ v₂([) ([)

1

A (3.3)

olacak biçimde : I ! R düzgün fonksiyonu vard¬r. 3.2 denkleminde ([) yerine yaz¬l¬rsa

([) (sin ([) v2([) + cos ([) ([)) = ( ([) + r ([)) ([) + p ([) v2([) dir. Buradan

([) sin ([) = p ([) ve

([) cos ([) = ([) + r ([) e¸sitlikleri gerçeklenir. Buradan

p ([) cos ([) ( ([) + r ([)) sin ([) = 0; 8[ 2 I

elde edilir. Tersine, kabul edelim ki

p ([) cos ([) ( ([) + r ([)) sin ([) = 0; 8[ 2 I

olsun.

([) = ([) + v₁([) ; v₁([) = v₁([) ; v₂([) = cos ([) v₂([) sin ([) ([)

e¸sitlikleri ile bir ( ; v1; v₂) : I ! R³ dönü¸sümü tan¬mlanabilir. Burada

:

([) ; v1([) = 0

ve

:

([) ; v₂([) = 0

ko¸sullar¬n¬n sa¼gland¬¼g¬ görülür. O halde ( ; v1; v₂) bir framed e¼gridir. Buradan ( ; v₁; v₂)ve ( ; v1; v₂)bir Bertrand çiftidir.

Önerme 3.3 Kabul edelim ki ( ; v1; v₂) ve ( ; v1; v₂) e¼grileri

([) = ([) + v₁([)

ve

p ([) cos ([) ( ([) + r ([)) sin ([) = 0

ko¸sullar¬n¬sa¼glayan bir Bertrand çifti olsunlar. O halde ( ; v1; v₂)e¼grisinin e¼grili¼gi

p ([) = p ([) cos ([) r ([) sin ([) r ([) = p ([) sin ([) + r ([) cos ([) s ([) = s ([)

:

([)

([) = p ([) sin ([) + ( ([) + r ([)) cos ([)

dir (Honda ve Takahashi 2019).

Ispat.· 3.3 den v2([) = cos ([) v₂([) sin ([) ([) e¸sitli¼ginin her iki taraf¬n¬n türevi al¬n¬rsa

:

v₂([) = sin ([)

:

([) v₂([) + cos ([)v^:₂([) (3.4) cos ([)

:

([) ([) sin ([) ^: ([) p ([) v₁([) + s ([) ([) = sin ([)

:

([) v₂([)

+ cos ([) ( p ([) v₁([) + s ([) ([)) cos ([)

:

([) ([)

sin ([) ( r ([) v₁([) s ([) v₂([))

olur. ·Ifade düzenlenirse

p ([) v₁([) + s ([) ([) = ( p ([) cos ([) + r ([) sin ([)) v₁([) +

:

([) + s ([) sin ([) v₂([) +

:

([) + s ([) cos ([) ([)

elde edilir. v1([) = v₁([) oldu¼gundan

p ([) = p ([) cos ([) r ([) sin ([)

bulunur. Yine 3.3 den ([) = sin ([) v₂([) + cos ([) ([) e¸sitli¼gi 3.4 de yerine yaz¬l¬rsa

s ([) =

:

([) + s ([) e¸sitli¼gi gerçeklenir. Dahas¬ ([) ifadesinin türevi al¬n¬rsa

:

([) = cos ([)

:

([) v₂([) + sin ([)v^:₂([) sin ([)

:

([) ([) + cos ([) ^: ([) r ([) v₁([) s ([) v₂([) = cos ([)

:

([) v₂([)

+ sin ([) ( p ([) v₁([) + s ([) ([)) sin ([)

:

([) ([)

+ cos ([) ( r ([) v₁([) s ([) v₂([))

olur. ·Ifade düzenlenirse

r ([) v₁([) s ([) v₂([) = ( p ([) sin ([) r ([) cos ([)) v₁([) +

:

([) s ([) cos ([) v₂([) +

:

([) + s ([) sin ([) ([) elde edilir. v1([) = v₁([) oldu¼gundan

r ([) = p ([) sin ([) + r ([) cos ([) bulunur. Son olarak

([) sin ([) = p ([) ve

([) cos ([) = ([) + r ([) ifadelerinden

([) sin² ([) = p ([) sin ([) ve

([) cos² ([) = ( ([) + r ([)) cos ([) yaz¬labilir. Buradan

([) = p ([) sin ([) + ( ([) + r ([)) cos ([) e¸sitli¼gi gerçeklenir.

3.3 Üç Boyutlu Öklidyen Uzay¬nda Küresel Legendre E¼griler ve Bertrand E¼grileri

Tan¬m 3.7 : I ! S², S²de bir e¼gri olsun. , T1S² = S² S²birim küresel tanjant demet üzerinde bir kanonik kontakt yap¬olmak üzere; e¼ger ( ; v) : I ! S² S² ikilisi

( ([) ; v ([)) = 0

ko¸sulunu sa¼gl¬yorsa ( ; v) : I ! S² S² dönü¸sümüne küresel Legendre e¼gri;

e¼grisine ise frontal denir. denir. Burada ( ([) ; v ([)) = 0 ko¸sulu h^: ([) ; v ([)i = 0 ile e¸sde¼gerdir (Honda ve Takahashi 2019).

Tan¬m 3.8 ([) = ([) v ([)olarak ifade edilsin. O halde ([) 2 S² için h ([) ; ([)i = 0; 8[ 2 I

ve

hv ([) ; ([)i = 0; 8[ 2 I

gerçeklenir. f ([) ; v ([) ; ([)g frontal ([) e¼grisi boyunca bir hareketli çat¬d¬r ve Frenet-Serret tipi formülleri a¸sa¼g¬daki gibi tan¬ml¬d¬r:

0 BB B@

: ([) v ([): : ([)

1 CC CA=

0 BB B@

0 0 r ([)

0 0 s ([)

r ([) s ([) 0 1 CC CA

0 BB B@

([) v ([) ([)

1 CC CA

Burada r ([) = h^: ([) ; ([)i ve s ([) = hv ([) ;^: ([)i dir. (r; s) ikilisine ( ; v) : I ! S² S² küresel Legendre e¼grinin e¼grili¼gi denir (Honda ve Takahashi 2019).

Teorem 3.4 ( ; v) : I ! S² S² dönü¸sümü, e¼grili¼gi (r; s) olan bir küresel Legendre e¼gri olsun. ve ise sin 6= 0 e¸sitli¼gi ile s¬f¬rdan farkl¬sabitler ve c 2 R³ bir sabit vektör olmak üzere

([) = Z

r ([) ([) d[ + cot Z

r ([) v ([) d[ + c v₁([) = ([) = ([) v ([)

v2([) = cos ([) sin v ([)

ile verilen ( ; v1; v₂) : I ! R³ dönü¸sümü, e¼grili¼gi (p; r; s; ) olan bir framed e¼gridir. Burada

p ([) = cos r ([) + sin s ([) r ([) = sin r ([) cos s ([) s ([) = 0

([) = r ([) sin

e¸sitlikleri gerçeklenir. Dahas¬( ; v1; v₂) : I ! R³ bir Bertrand e¼gridir

(Honda ve Takahashi 2019).

Ispat.· Kabulden, 8[ 2 I için

v₁([) = v₂([) = 1

ve D

v₁([) ; v₂([)E

= 0 oldu¼gu aç¬kt¬r.

([) = v₁([) v₂([)

= ([) (cos ([) sin v ([))

= sin ([) + cos v ([) dir. ([) ifadesinin türevi al¬n¬rsa

:

([) = r ([) ([) + cot r ([) v ([)

= r ([) ( ([) + cot v ([))

= r ([)

sin ( ([) sin + cos v ([))

= r ([) sin ([) bulunur. Buradan

:

([) ; v1([) = 0

ve :

([) ; v₂([) = 0

e¸sitlikleri gerçeklenir. O halde ( ; v1; v₂)bir framed e¼gridir. Ayr¬ca

:

v₁([) = ^: ([)

= r ([) ([) s ([) v ([) ve

:

v₂([) = cos ^: ([) sin v ([)^:

= cos (r ([) ([)) sin (s ([) ([))

= (cos r ([) sin s ([)) ([)

e¸sitlikleri ile p ([) =

:

v₁([) ; v₂([)

= h( r ([) ([) s ([) v ([)) ; (cos ([) sin v ([))i

= cos r ([) + sin s ([)

r ([) =

:

v₁([) ; ([)

= h( r ([) ([) s ([) v ([)) ; (sin ([) + cos v ([))i

= sin r ([) cos s ([)

s ([) =

:

v₂([) ; ([)

= h(cos r ([) sin s ([)) ([) ; sin ([) + cos v ([)i

= 0

([) =

:

([) ; ([)

= r ([)

sin ([) ; ([)

= r ([) sin

elde edilir. E¼ger ([) = al¬n¬rsa

p ([) cos (t) ([) + r ([) sin ([)

= ( cos r ([) + sin s ([)) cos + r ([)

sin + ( sin r ([) cos s ([)) sin

= cos² r ([) + sin cos s ([) + r ([) sin² r ([) cos sin s ([)

= r ([) cos² + sin² + r ([)

= 0

e¸sitli¼gi elde edilir. O halde ( ; v1; v₂) bir Bertrand e¼gridir.

4.

Bu bölümde üç boyutlu Minkowski uzay¬nda spacelike ve timelike framed e¼griler tan¬mlacak, Frenet-Serret tipi çat¬lar¬ verilecek ve bu e¼grilerin Bertrand e¼grileri tan¬mlanacakt¬r. Ayr¬ca Hiperbolik 2-uzay¬nda ve de Sitter 2-uzay¬nda frontallar tan¬mlanacak ve bu frontallardan üç boyutlu Minkowski uzay¬nda Bertrand e¼grileri elde etme yöntemleri verilecektir.

4.1 Üç Boyutlu Minkowski Uzay¬nda Spacelike ve Timelike Framed E¼griler

Tan¬m 4.1 : I ! R³1; R³1 de düzgün bir spacelike e¼gri olsun. E¼ger 8[ 2 I için h^: ([) ; v_d([)iL= 0

ve

h^: ([) ; v_h([)iL= 0

ko¸sulu sa¼glan¬yorsa ( ; vd; v_h) : I ! R³1 2 dönü¸sümüne bir spacelike framed e¼gri denir. E¼ger ( ; vd; vh) : I ! R³1 2 bir spacelike framed e¼gri olacak biçimde bir (v_d; v_h) : I ! ² varsa e¼grisine bir spacelike framed tipi e¼gri denir. Burada

2 =f(u; w) j hu; wiL= 0g S₁² H²( 1)

dir. ([) = v_d([) _Lv_h([) 2 S1² olmak üzere fv^d([) ; v_h([) ; ([)g R³1 de spacelike framed tipi ([) e¼grisi boyunca bir hareketli çat¬d¬r ve Frenet-Serret tipi formülleri a¸sa¼g¬daki gibi tan¬ml¬d¬r:

0 BB B@

v:_d([) v:_h([)

: ([) 1 CC CA=

0 BB B@

0 p ([) r ([) p ([) 0 s ([) r ([) s ([) 0

1 CC CA

0 BB B@

v_d([) v_h([) ([)

1 CC

CA; ^: ([) = ([) ([)

Burada p ([) = hv^:_d([) ; v_h([)iL; r ([) = hv^:_d([) ; ([)iL; s ([) = hv^:_h([) ; ([)iL ve ([) =h^:([) ; ([)iLdir. (p; r; s; ) dörtlüsüne ise ( ; vd; v_h)spacelike framed e¼grisinin e¼grili¼gi denir.

Tan¬m 4.2 : I ! R³1; R³1 de düzgün bir spacelike e¼gri olsun. E¼ger 8[ 2 I için h^: ([) ; v_h([)iL= 0

ve

h^: ([) ; v_d([)iL= 0

ko¸sulu sa¼glan¬yorsa ( ; vh; v_d) : I ! R³1 1 dönü¸sümüne bir spacelike framed e¼gri denir. E¼ger ( ; vh; vd) : I ! R³1 1 bir spacelike framed e¼gri olacak biçimde bir (v_h; v_d) : I ! ¹ varsa e¼grisine bir spacelike framed tipi e¼gri denir. Burada

1 =f(u; w) j hu; wiL= 0g H²( 1) S₁²

dir. ([) = vh([) Lvd([) 2 S1² olmak üzere fv^h([) ; vd([) ; ([)g R³1 de spacelike framed tipi ([) e¼grisi boyunca bir hareketli çat¬d¬r ve Frenet-Serret tipi formülleri a¸sa¼g¬daki gibi tan¬ml¬d¬r:

0 BB B@

v:h([) v:_d([)

: ([) 1 CC CA=

0 BB B@

0 p ([) r ([) p ([) 0 s ([) r ([) s ([) 0

1 CC CA

0 BB B@

vh([) v_d([) ([)

1 CC

CA; ^: ([) = ([) ([)

Burada p ([) = hv^:h([) ; vd([)iL; r ([) = hv^:h([) ; ([)iL; s ([) = hv^:d([) ; ([)iL ve ([) =h^:([) ; ([)iLdir. (p; r; s; ) dörtlüsüne ise ( ; vh; v_d)spacelike framed e¼grisinin e¼grili¼gi denir.

Tan¬m 4.3 : I ! R³1; R³1 de düzgün bir timelike e¼gri olsun. E¼ger 8[ 2 I için

: ([) ; v^d₁([) _L = 0

ve

: ([) ; v^d₂([) _L = 0

ko¸sulu sa¼glan¬yorsa ; v^d₁; v^d₂ : I ! R³1 5 dönü¸sümüne bir timelike framed e¼gri denir. E¼ger ; v^d₁; v₂^d : I ! R³1 5 bir timelike framed e¼gri olacak biçimde bir

v₁^d; v^d₂ : I ! ⁵ varsa e¼grisine bir timelike framed tipi e¼gri denir. Burada

5 =f(u; w) j hu; wiL= 0g S₁² S₁²