ZİRAAT FAKÜLTESİ
Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü
Makine Dinamiği
Temel Kavramlar
Hafta 2
Temel Kavramlar
Temel Kavramlar
Newtonun Hareket Kanunları 1. Kanun (Statik Denge Kanunu)
Bir maddesel nokta kendisine etki eden hiç bir dengelenmemiş kuvvet yok ise; hareketsiz kalır veya düz bir çizgi üzerinde sabit hızla hareketine
devam eder.
2. Kanun (Dinamik Denge Kanunu)
Maddesel noktanın ivmesi ona etki eden bileşke kuvveti ile orantılı ve bileşke kuvvetinin yönündedir.
(𝐹 = 𝑚 . 𝑎)
Temel Kavramlar
3. Kanun (Etki Tepki Kanunu)
Birbiriyle etkileşen cisimler arasındaki kuvvet birbirine eşit, aynı doğru üzerinde ve zıt yöndedir.
4. Kanun (Çekim Kuvveti Kanunu)
Cisimler arasındaki çekim kuvvetini aşağıdaki formül ile ifade eder.
𝐹 = 𝐺 𝑚1 𝑚2 𝑟2
F: Cisimler arasındaki çekim kuvveti (N) G: Evrensel çekim sabiti, G = 6.673 10−11 m3/(kgs2)
m1, m2: Cisimlerin kütlesi (kg) r: cisimler arasındaki mesafedir (m).
Temel Kavramlar
Koordinat Sistemleri
Bir cismin her hangi bir t anındaki pozisyonu (konumu) 3 farklı koordinat sistemi ile anlatılabilir.
Doğrusal Hareket
Cismin Konumu
Bir cisim, seçilen bir başlangıç noktasına olan uzaklığına o cismin konumu denir. yer değiştirme ise; bir cismin konumundaki değişmeye
yer değiştirme denir ve ⧍s ile gösterilir.
Yer değiştirme cismin son konumu ile ilk konumu arasındaki farktır.
Doğrusal Hareket
Cismin Hızı
Δt zaman aralığında maddesel noktanın ortalama hızı onun yer
değiştirmesinin, zaman aralığına bölünmesi ile bulunur. Δt giderek sıfıra yaklaşırsa cismin ortalama hızı cismin anlık hızına yaklaşır. Bu durum
aşağıdaki şekilde ifade edilir.
𝑉𝑜𝑟𝑡 = ∆𝑠
∆𝑡
Bu durumda hız,
Yer değiştirmenin zamana göre türevi olmuş olur.
𝑉 = 𝑑𝑠
𝑑𝑡 = 𝑠̇
Doğrusal Hareket
Cismin İvmesi
Δt zaman aralığında cismin ortalama ivmesi onun hızındaki değişmenin zaman aralığına bölünmesi ile bulunur. Δt giderek sıfıra yaklaşırsa cismin
ortalama ivmesi cismin anlık ivmesine yaklaşır.
𝑎𝑜𝑟𝑡 = ∆𝑣
∆𝑡
Bu durumda ivme,
Hızın zamana göre türevi olmuş olur.
𝑎 = 𝑑𝑣
𝑑𝑡 = 𝑣,̇
𝑎 = 𝑑
𝑑𝑡 (𝑑𝑠
𝑑𝑡) = 𝑑2𝑠
𝑑𝑡2 = 𝑠̈
Doğrusal Hareket
Yukarıdaki hız ve ivme ifadelerinden dt zamanını yok ederek konum ve hız ve ivme arasındaki diferansiyel bağıntıları buluruz.
𝑑𝑡 = 𝑑𝑣
𝑎 𝑑𝑡 = 𝑑𝑠
𝑣 𝑣. 𝑑𝑣 = 𝑎. 𝑑𝑠 𝑉 = 𝑑𝑠
𝑑𝑡 𝑎 = 𝑑𝑣
𝑑𝑡 𝑣. 𝑑𝑣 = 𝑎. 𝑑𝑠
İvme (a); hız (v), konum (s) ve zaman (t) arasında bağıntısı aşağıdaki şekillerde verilmiş olabilir:
1. İvme sabit (a = sabit) verilir
2. İvme zamanın fonksiyonu olarak a = f(t) verilir 3. İvme hızın fonksiyonu olarak a = f(v) verilir
4. İvme konumun fonksiyonu a = f(s) verilir.
Doğrusal Hareket
Sabit ivme durumunda hareket formülleri a. Hız-konum bağıntısının bulunması (a=sbt)
𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑠 − 𝑠0)
b. Hız-zaman bağıntısının bulunması (a=sbt) 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
c. Konum-zaman bağıntısının bulunması (a=sbt) 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 + 1
2 𝑎𝑡2
Doğrusal Hareket
İvme Sabit Değilken hareket Formülleri
(İvme zamanın, Hızın yada Konumun Fonksiyonuyken)
a. İvme zamanın fonksiyonu ise; a=f(t)
Hız-Zaman Bağıntısı 𝑣 = 𝑣0 + ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
𝑡0=0
Konum-Zaman Bağıntısı
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 + ∫ (∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑡
𝑡 𝑡0=0
) 𝑑𝑡
𝑡 𝑡0=0
Doğrusal Hareket
b. İvme hızın fonksiyonu ise; a=f(v)
Zaman-Hız Bağıntısı;
𝑡 = ∫ 1 𝑓(𝑣)
𝑣 𝑣0
𝑑𝑣
Konum-Hız Bağıntısı;
𝑠 = 𝑠0 + ∫ 𝑣 𝑓(𝑣)
𝑣 𝑣0
𝑑𝑣
Doğrusal Hareket
c. İvme yer değiştirmenin fonksiyonu ise; a=f(s)
Hız-Konum Bağıntısı 𝑣2 = 𝑣02 + 2 ∫ 𝑓(𝑠)𝑑𝑠
𝑠
𝑠0
Zaman-Konum Bağıntısı
𝑡 = ∫ 1
√𝑣0 2 + 2 ∫ 𝑓(𝑠)𝑑𝑠𝑠𝑠
0
𝑑𝑠
𝑠 𝑠0
Doğrusal Hareket
Örnek 1
Düzgün bir doğru boyunca hareket eden noktasal cismin konumu s=2t3 – 24t +6 formülü ile veriliyor (s: metre, t: saniye).
a. Noktasal cismin hızının 0 dan 72 m/s hıza çıkana kadar geçen süreyi hesaplayın.
b. Noktasal cismin hızının 30 m/s hıza çıktığında ivmesini bulunuz.
c. t=1s den t=4s ye kadar cismin net yer değiştirmesini bulunuz.
Doğrusal Hareket
Örnek 1 (Çözüm) 𝑆 = 2𝑡3 − 24𝑡 + 6 𝑣 = 𝑑𝑠
𝑑𝑡 → 𝑣 = 6𝑡2 − 24 𝑎 = 𝑑𝑣
𝑑𝑡 → 𝑎 = 12𝑡
a. 0 dan 72 m/s hıza çıkana kadar geçen süre 𝑣 = 6𝑡2 − 24 → 72 = 6𝑡2 − 24 → 𝑡 = 4 𝑠𝑛
Doğrusal Hareket
Örnek 1 (Çözüm)
b. hızının 30 m/s hıza çıktığında ivmesi 𝑣 = 6𝑡2 − 24 → 30 = 6𝑡2 − 24 → 𝑡 = 3 𝑠𝑛
𝑎 = 12𝑡 → 𝑎 = (12). (3) = 36 𝑚 𝑠⁄ 2
c. t=1s den t=4s ye kadar cismin net yer değiştirmesi 𝑆 = 2𝑡3 − 24𝑡 + 6
𝑡 = 1 → 𝑠 = (2). (13) − (24). (1) + 6 = −16 𝑚 𝑡 = 4 → 𝑠 = (2). (43) − (24). (4) + 6 = +38 𝑚
∆𝑠 = 𝑠2 − 𝑠1 = 38 − (−16) = 54 𝑚
Doğrusal Hareket
Örnek 2
Bir araç v = 2,7t2 + 0,6t m/s hızla düz bir çizgi üzerinde hareket etmektedir. Araç t=0’da s=0 konumunda ise t=3 sn’de
a. Konumu, b. İvmesi nedir?
Doğrusal Hareket
Örnek 2 (Çözüm) a. Konumunu bulalım;
𝑣 = 𝑑𝑠
𝑑𝑡 → 𝑑𝑠 = 𝑣 𝑑𝑡 → ∫ 𝑑𝑠 = ∫ 𝑣 𝑑𝑡
𝑡 𝑡0=0 𝑠
𝑠0=0
𝑠 − 𝑠0 = ∫ (2,7 𝑡2 + 0,6 𝑡)𝑑𝑡
𝑡 𝑡0=0
𝑠 = 2,7 𝑡2
3 + 0,6 𝑡2
2 + 𝐶 → 𝑠 = 0,9. 𝑡3 + 0,3. 𝑡2 + 𝐶 𝑠 = 0,9. 𝑡3 + 0,3. 𝑡2
𝑡 = 3 𝑠𝑛 𝑖ç𝑖𝑛 𝑠 = 0,9. 33 + 0,3. 32 = 27 𝑚 𝑜𝑙𝑢𝑟.
Doğrusal Hareket
Örnek 2 (Çözüm) b. İvmeyi bulalım;
𝑎 = 𝑑𝑣
𝑑𝑡 → 𝑎 = 𝑑
𝑑𝑡 (2,7𝑡2 + 0,6𝑡) 𝑎 = 5,4𝑡 + 0,6
𝑡 = 3 𝑖ç𝑖𝑛 𝑎 = (5,4). (3) + 0,6 = 16,8 𝑚 𝑠⁄ 2
