1
MİMARİ YAPILARDA FRAKTAL GEOMETRİ
HAZIRLAYANLAR Melisa Beşe Oğuzcan Bahar Danışman Öğretmen
Şebnem Çelik
MEV ÖZEL AVNİ AKYOL LİSESİ, 2008
2
ÖZE T
M atematiksel bakımdan incelenmeye değer olan fraktal yapıların özelliklerinin neler olduğu incelenmiş, doğada var olan fraktal yapılara ve günümüz endüstrisinde bu yapıların kullanım alanlarına örnekler verilmiş, faydaları üzerinde durulmuştur.
Yine geçmişten günümüze pek çok mimari yapının fraktal özelliği taşıdığı tespit edilmiş bu konuyla ilgili örneklere yer verilmiştir.
Okulumuz MEV Özel Avni Akyol Lisesinin sınırlı bir alanı incelenerek,
binanın fraktal yapı özelliklerini taşıdığı bulunmuş, boyutu hesaplanmıştır.
3
İÇ İNDE K İL E R
1.GİRİŞ………... 3
2. FR AK T AL L AR H AK K I NDA B İ L Dİ K L E R İ M İ Z………... 4
3. FRAKTALLAR NERELERDE KARŞIMIZA ÇIKIYOR?... 6
4. MİMARİ YAPILARDA FRAKTALLAR………. 10
5. OKULUMUZ MİMARİSİNİN İNCELENMESİ………. 12
6.SONUÇ……… 15
7.KAYNAKÇA……….. 16
8.TEŞEKKÜRLER……… 17
4
PROJENİN ADI: MİMARİ YAPILARDAKİ FRAKTAL GEOMETRİ PROJENİN AMACI: Okulumuz MEV Özel Avni Akyol Lisesi binasının fraktal bir yapı olup olmadığını inceleme ve fraktal yapıların diğer bilim dallarına katkısını açıklama.
G İ RİŞ
Geometri derslerimizde 0, 1, 2, 3 boyutlu nokta, doğru, dörtgenler, prizmalar gibi geometrik şekilleri ve özelliklerini inceledik ve incelemeye devam ediyoruz. Aklımıza
“herhangi bir mimari yapıyı örneğin okulumuzu bir geometrik şekille ifade etmeye çalışsak bu şekil ne olurdu ve kaç boyutlu olurdu?” sorusu geldi. Bu sorunun yanıtını araştırmaya başladığımızda gördük ki bu konu özellikle doğadaki varlığı ile dikkatleri üzerine çeken Fraktal Geometriyi ilgilendiriyordu.
Araştırmamız sırasında gördük ki her şey, 1975’te Polonya asıllı matematikçi Benoit Mandelbrot’ un (RESİM-1) kafasında oluşan ve basit gibi görünen bir soru ile başlamış: İngiltere’nin kıyı uzunluğu ne kadardır? Yanıtı bulmak için yapılabilecek ilk şey, ölçeği belli bir harita bulduktan sonra, buradan kıyı şeridinin uzunluğunu, sözgelimi bir iple ölçmek ve sonucu haritanın ölçeğiyle çarparak, kıyı uzunluğunu hesaplamak olabilir. Peki, kıyı şeridinin uzunluğu ‘gerçekte’ ne kadardır? Kıyı şeridinin uçaktan çekilmiş bir dizi fotoğrafı ile daha doğru bir ölçüm yapabilirsiniz; şüphesiz bu değer, harita üzerinde hesaplanandan biraz daha büyük çıkacaktır.
RESİM-1
Biraz daha ileri gidip, tüm kıyıyı adım adım ölçtüğünüzü düşünelim; bu durumda ne kadar lık bir uzunluk hesaplayabilirsiniz? Peki ya tüm uzunluğu milimetrik bir cetvelle ölçebildiğinizi düşünün; hatta moleküler boyutlara kadar uzanan hassas bir uzunluk ölçümü yapabildiğinizi...
Sonuçta, ölçümlerinizi hassaslaştırdıkça, kıyı uzunluğunun sonsuza gittiğini fark edeceksiniz.
Sonlu bir kara parçasının sınırları, aslında sonsuz uzunluktadır!
Öklid geometrisine göre (derslerde okutulan geometri) böyle bir sonuç tabii ki olamaz.
Doğadaki biçimler gerçekten de geleneksel geometrinin bize öğrettiğinden çok farklıdır.
Geleneksel (Euklid’çi) geometri daha ziyade idealize edilmiş soyutlamalardan oluşurken, tabiattaki biçimler çok daha karmaşıktırlar. Bu yüzden Beneoit B. Mandelbrot tarafından fraktal kavramı ortaya atılmış ve yalnızca matematik değil fiziksel kimya, fizyoloji ve akışkanlar mekaniği gibi değişik alanlar üzerinde önemli etkiler yaratan yeni bir geometri sisteminin doğmasına yol açmıştır.
Bizim aklımıza gelen “herhangi bir mimari yapıyı örneğin okulumuzu bir geometrik şekille ifade etmeye çalışsak bu şekil ne olurdu ve kaç boyutlu olurdu?” sorusuna önce bazı tanımlar vererek yanıt aramaya başlayalım.
5 FR AK T AL L AR H AK K I NDA B İ L Dİ K L E R İ M İ Z
Mandelbrot' un bir sonraki sorusu ise şu olmuştur: "Bir iplik yumağının boyutu nedir?"
Uzaktan bakıldığında yumak bir noktadan ibarettir, yani boyutu sıfırdır. Daha yakından yapılan gözlemlerde yumak yüzeyinde düzensizlikler bulunan bir küre gibidir. Boyut sayısı üçe çıkmıştır. Daha yakından bakıldığında yumağı oluşturan tek boyutlu iplik ayrık olarak gözlemlenebilir. Tek boyutlu ipliğe büyüteçle bakıldığında iplik üç boyutlu sütunlar gibi görülür. Mikroskop altında sütunlar tek boyutlu liflere, lifler ise sonunda boyutsuz noktalara dönüşmektedir. O halde, yumağın gerçek boyutu nedir? Mandelbrot, bir birim cinsinden ölçülemez olan cisimlerin bir pütürlülük derecesine sahip olduğunu ve bu pütürlülük derecesini ölçmenin bir yolunu bulmuştur. Mandelbrot' a göre göre ölçek değiştiğinde düzensizlik derecesi sabit kalmaktaydı. 1975 yılında Mandelbrot pütürlülük derecesinin ismini de koymuş oldu: Fraktal boyut. Pütürlülük özelliği gösteren cisimler de
“parçalanmış” ya da “kırılmış” anlamına gelen Latince "fractus" sözcüğünden türetilmiş Fraktal adını aldı.
Fraktalların bazı özelliklerine bakacak olursak:
1 - Tüm fraktalar kendine benzer yada en azından tümüyle kendine benzer olmakla birlikte, çoğu bu özelliği taşır. Herhangi bir iterasyon(tekrar) dizgesi ile oluşturulan bir fraktal biçim, aynı matematiksel formül çekirdeğinin defalarca üst üste tekrarlanması ile ortaya çıktığından, ana kümenin şekli, küme kenarlarının mikroskobik detaylarında dahi benzer görünüm ve biçimlerde tekrarlanır.(RESİM – 2). Tabiatta da bu durumla sık sık karşılaşırız: Örneğin ağaçların birçok tipinde, dal ve köklerdeki saçaklanma biçimleriyle; dalların yan dallara ayrılma biçimlerinin, yaprakların çıkış noktalarının ve yapraklar üzerindeki damarların dallanış biçimlerinin hep birbirine benzer bir kalıp izlediğine belki de daha önce dikkat etmişsinizdir. Fraktallarda kendine benzerliğe bir örnek olarak Sierpinski Üçgenini düşünürsek; kenarlarının arasındaki oranları 1/2,1/4,1/8,.. şeklindedir. Yani dizi
olmak üzere, 1 2
n
n∈ +
oran bulunmaktadır. (RESİM – 3)
Mandelbrot Kümesi 4 kat büyütülmüş hali 30 kat büyütülmüş hali RESİM – 2
6 RESİM – 3
2 - Fraktal cisimler, düzensiz biçimli olduklarından ötürü Eukleidesçi şekilleri ötelenme bakışına sahip değildirler. (Ötelenme bakışımına sahip bir cismi kendi çevresinde döndürüldüğünde görünümü aynı kalır.)
3 - Euklid geometrisi, okullarda okuduğumuz, üniversite sınavlarında karşımıza çıkan sıfır, bir, iki ve üç boyutlu geometrik şekillerle ilgilenir. Mandelbrot’un fraktalları ise, kesirli boyutlara sahip olmaları açısından, geleneksel geometriden kökten farklı bir yapı sergiler.
Matematiğe çok girmeden bunu şöyle örneklendirebiliriz: Elinizde bir sayfa kağıt olduğunu ve bunun iki boyutlu olduğunu düşünün (aslında kağıt, kalınlığı da olan üç boyutlu bir nesnedir ama, şimdilik kalınlıksız iki boyutlu bir yüzey düşünüyoruz). Kağıdı elinizde o kadar çok buruşturup sıkıştırıyorsunuz ki, artık son derece karmaşık hale gelmiş bu iki boyutlu yüzeyi ‘iki boyutlu’ olarak nitelemek gittikçe imkansızlaşıyor. Üç boyutlu olduğunu da iddia edemiyorsunuz, zira elinizdeki ne kadar buruşmuş olursa olsun, iki boyutlu bir yüzeydir aslında. Dolayısıyla, buruşma miktarı arttıkça, 2.05, 2.28, 2.4 gibi kesirli boyutlara sahip bir yüzey şekli elde etmeye başlarsınız. İşte fraktallardaki kesirli boyut kavramı da buna benzer bir karmaşıklığın neticesinde ortaya çıkar. Böylelikle fraktal boyut, Eukleidesçi olmayan belirli bir biçimin karmaşıklığını ve şekil nüanslarını açığa çıkarır. Örneğin Koch eğrisinin boyutu 1.26’dır. (RESİM – 4 )
RESİM – 4
7 Euklid geometrisindeki boyutlarla fraktal boyutların karşılaştırılması RESİM – 5 te görülmektedir.
RESİM – 5
4 - Mandelbrot Kümesi aslında, ‘karmaşık sayıları’ da içeren ve kendi sonucunu her tekrarda
‘giriş verisi’ olarak kullanan bir iterasyon, yani tekrar tekrar hesaplama işlemidir.
(FORMÜL – 1). Bu hesaplama sonucu elde edilen kapalı noktalar kümesi, alanı sonlu, fakat kenar uzunluğu sonsuz bir küme olarak tüm fraktalların atasıdır.
nn+1 2
: z z () f
zfzzc
→→→
→=+↑−−−−←−−−−−−↓
2
f(z)=z +cn
FORMÜL – 1 FRAKTALLAR NERELERDE KARŞIMIZA ÇIKIYOR?
Fraktal yapılar matematiksel bakımdan incelenmeye değer olduğu gibi pratik yaşamda da pek çok dertlere deva olmuşlardır. Bir doğrudan başlayıp, üçe bölüp ortadaki üçte biri kaldırıp, sonra kalan her üçte bire aynı işlemi uygulamayı tekrar ederek ortaya çıkan noktacıklardan ibaret olan Cantor tozunu (RESİM-6) Mandelbrot, kablolardaki veri transferinde ortaya çıkan hatanın dağılımı ile ilişkilendirmişti. Aynı işlemin üç boyutlu hali olan Menger süngeri (RESİM-7) bir küpün merkezindeki küpün kesilip çıkartılması ve kalan dokuzda bir boyuttaki diğer sekiz küpe de aynı işlemin uygulanmasından oluşmaktadır.
Sonsuz yüzey ve sıfır hacme sahip bu yapı Eiffel Kulesi ile inşaat teknolojisine girmiş ve bu alandaki belki de en kullanışlı çözüm olmuştur.
RESİM-6 RESİM-7
8 Bu kadar kullanışlı olan fraktalların başka nerelerde karşımıza çıktığına insan vücudundan başlayabiliriz.
Vücudumuzda kan damarlarının giderek daha küçük çatlaklara ayrılırcasına şekillenmesi, beynimizin anatomik yapısı (RESİM-8), akciğerlerimiz (RESİM-9) fraktallara örnektir. Akciğerdeki girinti çıkıntıların, damarların dallanıp budaklanmasının sonucu olarak küçük hacimlerde büyük uzunluklar ve alanlar oluşur. Bunlar canlı için avantajdır; büyük akciğer yüzey alanı, daha çok oksijen alabilmek demektir; ayni şekilde damarların uzunluğu da kan dolaşımının verimliliğini sağlar.
RESİM-6 RESİM – 7
Doğada var olan fraktal yapılara nerelerde rastladığımız resimlerle birlikte TABLO – 1 de verilmiştir.
Yandaki resimde görüldüğü gibi bakterilerin büyümesi fraktal bir yapı sergilemektedir.
Sahil kıyıları ilk fark edilen fraktal yapılardandır. Koch eğrisi bir sahil için ideal bir model oluşturmaktadır.
Depremlerin oluşturduğu düzlemsel yayılma hareketleri (sismik hareketler) fraktal özellikleri taşımaktadır.
9 Dağlar tektonik hareketler sonucunda oluşmuş olmalarına
rağmen yapıları fraktallarla tanımlanabilmektedir.
Akarsular ve kollarının oluşturduğu şekil doğadaki fraktallara iyi birer örnektir.
Eğrelti otu gibi bitkilerin yapraklarının dizilimi, yapraklardaki damarlar, karnabahar gibi sebzelerin
yüzeyleri yine birer fraktal yapıdır.
Eğrelti otu
Yaprak damarları
Karnabahar
Bir şimşeğin izlediği yol ve bulutlarda doğadaki fraktal yapılardır.
TABLO – 1
10 Teknolojinin gelişmesiyle beraber endüstri alanında da fraktal formlar kullanılmaya başlanmıştır. Bu kullanım alanları TABLO – 2 de özetlenmeye çalışılmıştır.
Fraktal antenler, anten literatüründe birkaç yıllık geçmişi olan ve çoklu bant özellikleri nedeniyle de birçok iletişim sisteminde yaygın uygulama alanı
bulamaya aday antenler olarak gözükmektedir.
Elde edilen sonuçlar fraktal antenlerin çok bantlı anten gerektiren iletişim teknolojilerinde kullanılmaya çok uygun anten yapıları olduğunu
göstermiştir.
Fraktal fiber optiklerin dalga boylarının sapmalarını en aza indirdikleri gözlenmiştir.
Fraktal karıştırıcılar(kimya mühendisliğinde) akciğerlerin yapısında olduğu gibidirler, bu sayede
iki sıvı eksiksiz olarak ve en az düzensizlikle karıştırılabilir.
Fraktal internet: Yapılan araştırmalar internetteki trafiğin kendine benzeme özelliği olduğunu
göstermiştir.
Resim Sıkıştırmanın; arkasında bir resmi alıp onu sistemsel fonksiyonların iterasyonu ile sunma bulunmaktadır. Bu şekilde Microsoft Encarta Cd
sine binlerce resim sıkıştırılmıştır. Bu bilgi depolama başarısını mümkün kılan fraktal resim
sıkıştırma matematiğiydi. Ayrıca film endüstrisinde birçok dekor ve sahne kurmadan masrafları düşürmek için arka plandaki sahneler fraktal geometri kullanılarak oluşturulabilmektedir.
Örneğin Star Trek serisinde bu teknoloji kullanılmıştır.
TABLO – 2
11 Günümüzde bilgisayarlar tekrarlama işleminin iki boyutlu grafiğini çizmek için programlanarak fraktalların resimleri üretilebilmektedir. Başlangıçta, sadece birkaç tekrarlama yapıldığında, resim rastgele noktalardan oluşuyormuş gibi görünebilir. Fakat en sonunda--bu binlerce ya da milyonlarca tekrarlama kadar sürebilir--açıkça belirli bir şekil ortaya çıkar. Farklı fonksiyonlar farklı resimler oluşturacaktır. (RESİM – 8)
RESİM – 8 MİMARİ YAPILARDA FRAKTALLAR
Mimari yapılara bakıldığında Euklid geometrisinin izlerini görmek hiçte şaşırtıcı değildir. Öncelikle binalarda kullanılan tuğlalar, tahtalar, direkler vs. Euklid şekilleridirler.
Ancak farklı kültürlere ve tarihi yapılara bakıldığında doğanın geometrisi olan farktallara da rastlanmaktadır. Tarihten günümüze Afrika’daki mimariden(RESİM-9(a)), Avrupa’daki katedrallere(RESİM-9(b)), Hindistan’daki tapınaklara(RESİM-9(c)) kadar fraktal yapıların izlerini görmek mümkündür.
(a) (b) (c) RESİM – 9
12 Fransa’ daki Eiffel Kulesi de yapısında fraktal geometriyi barındırır. Çapraz bağlardan oluşan çapraz bağlar yapısında dikkat çeker. RESİM-10 a ve b de bu özellik daha net görülebilmektedir.
(a) (b) RESİM – 10
Günümüz mimarlık ürünlerinin oluşturulmasında da farklı tasarım yaklaşımları kullanılmaktadır. Kavramsal anlamda çok farklı olgulardan başlayarak sıra dışı formların üretildiği mimari örneklere sıkça rastlanmaktadır. Yeni tasarım örneklerinin bu yöndeki gelişimi farklı geometrik kurgulardaki formların, dijital tasarım ortamlarında betimlenerek üç boyutlu modellerinin üretilmesi ile desteklenmektedir. Bu çalışmada belli bir mimari dile ait biçim sözlüğünde bulunan elemanların fraktal kurgusunda var olan ilkeleri kullanarak bilgisayar ortamında mimari tasarımda ve mimari biçimlerin üretilmesinde yol gösterici olabilecek bir yaklaşımının geliştirilmesi amaçlanmıştır. Bu yaklaşım, mevcut bir mimari dokunun fraktal boyutuna ve özelliklerine dayanarak yeni formların üretilmesinde yaratıcılığı destekleyici üretken bir tasarım yaklaşımıdır. (RESİM – 11)
Galinski school/Berlin RESİM – 11
13 Bizde bu öğrendiklerimizden yola çıkarak okulumuz mimari yapısının bir fraktal yapı oluşturup oluşturmadığını merak ettik. Gerekli ölçüm aletlerimizi (metre, ip),teknolojik materyallerimizi (kamera, fotoğraf makinası) alarak bu konuda araştırma yaptık.
OKULUMUZ MİMARİSİNİN İNCELENMESİ
Öncelikle okulumuzun ön cephesinden sınırlı bir alan belirledik.(RESİM-12)
RESİM – 12
Bilinen ve genel olarak bir eğrinin uzunluğunu ölçmede kullanılan metot, eğrinin gittikçe küçülen doğru parçaları ile yaklaşık uzunluğunun bulunması metodudur. Metoda eğri üzerinde iki nokta seçilip, bu noktaları birleştiren doğru parçaları ile başlanır. Bu noktalar arasındaki eğrinin uzunluğu, noktaları bileştiren doğru parçasının uzunluğundan küçük veya ona eşittir. Seçilen orijinal noktalar arasında, eğri üzerinde olan diğer noktaları da seçip, onları daha küçük olan doğru parçalarıyla birleştirelim. Bu işleme devam edildiğinde doğru parçalarının birleşimlerinin uzunluğu eğrinin uzunluğuna yaklaşacaktır. Böylece, doğru parçaları küçülerek işleme devam edildiğinde, eğriyi doğru parçalarının birleşiminden ayırt etmenin zorlaşacağı görülmektedir. Biz de aynı metodu kullanarak seçtiğimiz alanın ölçümünü yapmaya başladık. Belirlediğimiz bölgeyi önce iple(RESİM-13) ölçebileceğimiz en küçük kıvrımlar dahil olmak üzere ölçüp daha sonra materyalimizi değiştirerek metreyle ölçüm yaptık.(RESİM-14)
RESİM – 13
14 RESİM -14
Her bir ölçümde giderek azalan ölçü değerleri kullandık. Yaptığımız ölçüm miktarları, adım sayıları ve ölçüm sonuçları tabloda belirtilmiştir. (TABLO - 3)
Ölçü Miktarı Adım Sayısı Ölçüm Sonucu
1 metrelik 58 5783cm.
50 santimetrelik 121 6050cm.
25 santimetrelik 268 6700cm.
15 santimetrelik 495 7425cm.
10 santimetrelik 820 8200cm.
İple ölçüm 1 9200cm.
TABLO -3
Burada aldığımız verilerin sonuçlarını bir grafik ile gösterirsek adım sayıları arttıkça sürekli artan uzunluk ölçülerinin bulunduğunu rahatlıkla görebiliriz.(GRAFİK – 1)
GRAFİK – 1
15 Böylelikle Mandelbrot’ un sahil şeridinde yaptığı ölçümlerde de gördüğü gibi sınırlı bir alan içinde belirlenen bir eğrinin uzunluğunun sonsuz olduğunu gördük. Peki okulumuzun fraktal boyutunu hesaplayabilir miydik? Bunun içinde kutu sayma metodunu kullandık.
TANIM: Bir eğrinin fraktal boyutunun kolaylıkla ölçme metodu kutu sayma metodudur. Bu metodu uygularken eğri küçük karelerin bir kafesi ile örülür ve sonra eğrinin geçtiği kareler sayılır. Bu metot kareler gittikçe küçültülerek tekrarlanır. Ardışık olarak eğriyi iki defa örtmede kullanılan karelerin sayıları p ve q ise
log
pq
log2
değeri fraktal eğrinin fraktal boyutudur.
Okulumuzun bu metotla boyutunu bulalım:
Önce aşağıdaki gibi her kenarını 8 eşit parçaya bölecek şekilde bir kafes oluşturalım, daha sonra da iki katı kadar yani 16 eşit parçaya bölelim. Okul binamızı içeren kareleri maviye boyayıp sayalım.
61 kare 226 kare
FRAKTAL BOYUT =
log 22661 0,568776 1,889 log20,30103
==
Sonuç olarak; okul binamızın boyutunun 1,889 olduğunu ve Öklid geometrisinde bildiğimiz boyutlardan farklı bir boyuta sahip olduğunu görüyoruz.
16
S ONUÇ
Fraktallar birçok yönüyle günlük hayatta görüntü sıkıştırmadan finansa bir çok alanda kullanılmaktadırlar. Doğadaki birçok kendini tekrar eden nesnenin modellenmesi için birçok matematiksel formül kullanılır. Bizler ise yeni yeni fraktal geometrinin nimetlerinden faydalanmaya başlamış bulunuyoruz. Bu projede fraktal geometrinin özelliklerinden bahsedilerek, faydaları ve diğer bilim dallarına katkıları anlatılmaya çalışılmıştır.
Daha sonra okulumuz MEV Özel Avni Akyol Lisesinin sınırlı bir alanı belirlenerek bu alanda ölçümler yapılmış ve binanın fraktal bir yapı sergilediği gösterilmiştir.
Yapılan çalışmalar ve araştırmalar sonucu fraktal geometri
kullanılarak şehirlerin yerleşiminin, farklı binaların inşasının mümkün
olduğu sonucuna varılmıştır. Böylelikle mimaride ve şehir
planlamasında çok daha düzenli, kullanışlı yapılar, caddeler ve
yerleşim planları oluşturulabilir. Böylece iç içe girmiş apartmanlar,
trafiğin oluşturduğu kaos vb. düzene kavuşabilir.
17
KAYNAKÇA
1. http://www.matematikce.net/mfraktallar.html,14.12.2007 2. http://matlab.s5.com/fraktal.htm, 14.12.2007
3. http://hologramblog.blogspot.com/2007/06/fraktal-geometri.html, 29.11.2007
4. www.bilimfeneri.gen.tr, 29.11.2007
5. http://gunce.iku.edu.tr/GunceC4S4/173.pdf, 15.12.2007 6. http://kluge.in-chemnitz.de/documents/fractal/,19.12.2007 7. http://en.wikipedia.org, 19.12.2007
8. http://www.iemar.tuwien.ac.at/fractal_architecture, 15.02.2008
9. http://classes.yale.edu:80/fractals/Panorama/Architecture,16.02.2008 10. http://www.ursi.org.tr/2002-1.Ulusal%20Kongre/ursicd1/B05.pdf,
16.02.2008
11. Hacısalihoğlu,H.Hilmi, Fraktal Geometri 1, A.Ü.Fen Fak.Matematik Bölümü,Ankara-2005
12. Benoît Mandelbrot, 1967, How Long Is the Coast of Britain?
Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Science, New
Series, Vol. 156, No. 3775. (May 5, 1967), pp. 636-638.
18
