ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
HİLBERT UZAYLARINDA ZAYIF SÜZGEÇ YAKINSAKLIK
Mahmut Can BOZYİĞİT
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA 2020
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
H·ILBERT UZAYLARINDA ZAYIF SÜZGEÇ YAKINSAKLIK
Mahmut Can BOZY·I ¼G·IT
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬
Dan¬¸sman: Prof. Dr. Cihan ORHAN
Bu tez 4 bölümden olu¸smaktad¬r.
Ilk bölüm giri¸· s k¬sm¬na ayr¬lm¬¸st¬r.
Ikinci bölümde, fonksiyonel analiz ve topolojideki baz¬kavramlar hat¬rlat¬larak son-· raki bölümlerde kullan¬lacak olan teoremlere yer verilmi¸stir. Daha sonra kompleks Hilbert uzay¬nda ¸serit ve a¼g¬rl¬kl¬zay¬f yak¬nsakl¬k tan¬mlar¬ve baz¬ teoremler veril- mi¸stir.
Üçüncü bölümde, istatistiksel yak¬nsakl¬k, I -yak¬nsakl¬k ve I -yak¬nsakl¬k tan¬mlar¬
verilerek I ve I -yak¬nsakl¬k kavramlar¬ aras¬ndaki ili¸ski incelenmi¸stir. Ayr¬ca I- limit noktalar¬ve I-de¼gme noktalar¬na ili¸skin baz¬teoremler hat¬rlat¬lm¬¸st¬r.
Dördüncü bölümde, süzgeç, süzgeç yak¬nsakl¬k, F-dura¼gan ve F-geçerlilik kavram- lar¬tan¬mlanm¬¸st¬r. Ayr¬ca bu kavramlar¬n karakterizasyonlar¬verilmi¸stir. Son ola- rak bir Hilbert uzay¬nda verilen bir F süzgecine göre bir dizi zay¬f limite sahip ise dizinin elemanlar¬n¬n norma göre hangi h¬zla sonsuz gitti¼gi incelenmi¸s ve sonra Erdös-Ulam süzgeçleri, analitik P -süzgeçler ve F -süzgeçler için benzer problem çal¬¸s¬lm¬¸st¬r.
Temmuz 2020 , 45 sayfa
Anahtar Kelimeler: Süzgeç Yak¬nsakl¬k, Hilbert Uzay¬, Zay¬f Topoloji, ¸Serit, ·Ideal Yak¬nsakl¬k, ·Istatistiksel Yak¬nsakl¬k, F-geçerlilik ve Erdös-Ulam Süzgeçleri
ABSTRACT
Master Thesis
Weak Filter Convergence in Hilbert Space
Mahmut Can BOZY·I ¼G·IT
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. Cihan ORHAN
This thesis consists of four chapters.
The …rst chapter is devoted to the introduction.
In chapter two, some concepts in functional analysis and topology have been recalled and then some theorems that will be used in next chapters have been given. Later on, the concepts of a plank in a complex Hilbert space and weighted weak convergence has been considered and some theorems have been recalled.
In chapter three, the concepts of statistical convergence, I-convergence and I - convergence has been considered . Also, the relationship between I-convergence and I -convergence have been examined. Later on, some theorems related to the concepts of I-limit points and I-cluster points have been given.
In chapter four, the concepts of …lter, …lter convergence, F-stationary and F- admissible have been considered. Also, the characterizations of these concepts have been given. Finally, in a Hilbert space we have examined the following question: if a sequence has a weak limit with respect to a given …lter F, how quick can the norms of the elements in the sequence tend to in…nity? The problem has been considered especially for Erdös-Ulam …lters, analytical P -…lters and F -…lters.
July 2020 , 45 pages
Key Words: Filter Convergence, Hilbert Space, Weak topology, Plank, Ideal Conver- gence, Statistical Convergence, F-stationary, F-admissible and Erdös-Ulam Filters
TE¸SEKKÜR
Bu çal¬¸sma konusunu bana veren ve çal¬¸smalar¬m esnas¬nda de¼gerli bilgilerini esirge- meyen dan¬¸sman hocam, Say¬n Prof. Dr. Cihan ORHAN (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dal¬)’a te¸sekkür ederim. Seminerlerde ve tez döneminde ken- disinden edindi¼gim tecrübe tüm kariyerime ¬¸s¬k tutacakt¬r.
Yüksek lisans e¼gitimim boyunca yard¬mlar¬n¬ve tecrübelerini esirgemeyen hocalar¬m, Say¬n Prof. Dr. ¸Seyhmus YARDIMCI’ya, Say¬n Doç. Dr. Mehmet ÜNVER’e, tez konum ile ilgili de¼gerli bilgilerini payla¸san hocam, Say¬n Doç. Dr. Sevda SA ¼GIRO ¼GLU PEKER’e, haftal¬k seminerlerde beni dinleyen k¬ymetli arkada¸slar¬ma ve her zaman yan¬mda olan, desteklerini esirgemeyen sevgili aileme en içten duygu- lar¬mla te¸sekkür ederim.
Bu tez "TÜB·ITAK 2210-A Genel Yurt ·Içi Yüksek Lisans Burs Program¬" taraf¬ndan desteklenmi¸stir. TÜB·ITAK’a en içten te¸sekkürlerimi sunar¬m.
Mahmut Can BOZY·I ¼G·IT Ankara, Temmuz 2020
İÇİNDEKİLER
TEZ ONAY SAYFASI
ETİK ... i
ÖZET ... ii
ABSTRACT... iii
TEŞEKKÜR ... iv
SİMGELER DİZİNİ ... vi
1. GİRİŞ ... 1
2. TEMEL KAVRAMLAR ... 2
2.1 Fonksiyonel Analizdeki Temel Kavramlar ... 2
2.2 Zayıf Topoloji ve Topolojik Vektör Uzayları ... 4
2.3 Kompleks Hilbert Uzaylarında Şeritler... 6
2.4 Ağırlıklı Zayıf Yakınsaklık ... 7
3. İDEAL YAKINSAKLIK ... 11
3.1 İstatistiksel Yakınsaklık ... 11
3.2 I ve I* Yakınsaklık ... 12
3.3 I-Yakınsaklığı Koruyan Fonksiyonlar ... 17
3.4 I-Limit Noktası ve I-Değme Noktası ... 18
4. SÜZGEÇ YAKINSAKLIK ... 21
4.1 Zayıf Yoğun Sınırsız Diziler ... 21
4.2 Zayıf Süzgeç Yakınsaklık ve F-Geçerlilik ... 24
4.3 İstatistiksel Süzgeç Yakınsaklık ... 29
4.4 Toplanabilir Süzgeçler ve Erdös-Ulam Süzgeçler ... 34
5. SONUÇ ... 42
KAYNAKLAR ... 43
ÖZGEÇMİŞ ... 45
S·IMGELER D·IZ·IN·I
R Reel say¬lar kümesi N Do¼gal say¬lar kümesi K Reel veya kompleks cisim
s¬f¬r vektörü X0 X ’in sürekli duali
I Ideal·
F Süzgeç
F F-dura¼gan kümeler s¬n¬f¬
I( x) I-limit noktalar¬kümesi I( x) I-de¼gme noktalar¬kümesi ADM (F) F-geçerli dizilerin kümesi
#(A) A kümesinin eleman say¬s¬
Bw B kümesinin zay¬f topolojiye göre kapan¬¸s¬
I<w I kümesinin sonlu elemanl¬altkümelerinin s¬n¬f¬
2X Kuvvet kümesi
1.
G·IR·I¸SSüzgeç kavram¬ ilk olarak 1914 y¬l¬nda Root’un bir makalesinde yer alm¬¸s, fakat genel bir süzgeç tan¬m¬1937’de Cartan taraf¬ndan verilmi¸stir. Bourbaki 1940 y¬l¬nda çal¬¸smalar¬nda süzgeçleri kullanm¬¸s ve ayn¬ sene Tukey a¼glarla süzgeçlerin de¼gi¸sik
¸sekillerini incelemi¸stir. 1955’de Bartle a¼glar ile süzgeçler aras¬ndaki ili¸skiden bah- setmi¸stir. Kowalsky 1961’de topolojinin geli¸smesi için süzgeçler üzerinde çal¬¸smalar yapm¬¸st¬r.
Topolojinin önemli kavramlar¬ndan biri olan süzgeç, bo¸s olmayan bir kümenin alt- kümelerinde olu¸san ve i)? =2 F; ii) her H; K 2 F iken H \ K 2 F; iii) her H 2 F için H K iken K 2 F özelliklerini gerçekleyen bir F s¬n¬f¬d¬r. Ayr¬ca süzgecin elemanlar¬n¬n tümleyenlerinden olu¸san s¬n¬fa da bir ideal denir. Bundan dolay¬ideal ve süzgeç kavramlar¬n¬birlikte incelemek faydal¬olacakt¬r. Tezimiz boyunca bu iki kavram aras¬ndaki ba¼glant¬dan yararlanarak süzgeç yak¬nsakl¬kla ilgili tan¬mlar verilecek ve daha sonra karakterizasyonlar¬incelenecektir.
Sonsuz boyutlu bir H Hilbert uzay¬nda zay¬f topolojiye göre süzgeç yak¬nsak (F- yak¬nsak) dizilerin baz¬özellikleri zay¬f yak¬nsak dizilerin özelliklerinden farkl¬ola- bilmektedir. Örne¼gin zay¬f yak¬nsak bir dizi s¬n¬rl¬olmas¬na ra¼gmen zay¬f istatistiksel yak¬nsak dizinin normlar dizisi s¬n¬rs¬z olabilmektedir.Böylece verilen bir F süzgecine göre zay¬f yak¬nsak bir dizinin elemanlar¬n¬n normlar dizisinin hangi h¬zla sonsuza
¬raksad¬¼g¬sorulabilir. ¸Süphesiz böyle bir sorunun cevab¬F süzgecine ba¼gl¬d¬r.
Bu yüksek lisans tezinde Kadets vd. (2010) taraf¬ndan verilen bir F süzgecine ili¸skin F-dura¼ganl¬k ve F-geçerlilik kavramlar¬ ve karakterizasyonlar¬ verilecektir.
Daha sonra bu karakterizasyonlardan faydalanarak bir Hilbert uzay¬nda norma göre artan zay¬f istatistiksel yak¬nsak her (xn)dizisi için sup
n2N
kxpnnk <1 oldu¼gu verilecek ve özellikle Erdös-Ulam süzgeçler, analitik P -süzgeçler ve F -süzgeçler için de benzer problem incelenecektir.
2.
TEMEL KAVRAMLARBu bölümde tezimizde kullanaca¼g¬m¬z fonksiyonel analiz ve topolojiye ili¸skin baz¬
temel kavramlar verilecektir.
2.1 Fonksiyonel Analizdeki Temel Kavramlar
Bu k¬s¬mda fonksiyonel analiz ile ilgili olarak çal¬¸smam¬zda faydalanaca¼g¬m¬z baz¬
kavramlar¬hat¬rlataca¼g¬z.
Tan¬m 2.1.1 Y bir vektör uzay¬ve K reel veya kompleks cisim olsun. Y üzerinde bir iç çarp¬m a¸sa¼g¬daki özellikleri sa¼glayan bir h; i : Y Y ! K fonksiyonudur. Her m; n; l2 Y ve her ; 2 K için
(a) hm; mi > 0
(b) hm; mi = 0 , m =
(c)h m + n; li = hm; li + hn; li (d) hm; ni = hn; mi:
Bu durumda (Y; h; i) ikilisine de bir iç çarp¬m uzay¬denir. Y üzerinde tan¬mlanan bir iç çarp¬m, Y üzerinde
kmk =p
hm; mi ile verilen bir norm ve
d(m; n) =km nk =p
hm n; m ni ile verilen bir metrik tan¬mlar (Kreyszig 1978).
Tan¬m 2.1.2 Bir iç çarp¬m uzay¬, iç çarp¬mdan elde edilen metri¼ge göre tam ise bu uzaya bir Hilbert uzay¬denir (Kreyszig 1978).
Tan¬m 2.1.3W bir iç çarp¬m uzay¬ve (en), W de bir dizi olmak üzere her m; n 2 N için
hem; eni = 8<
:
1 ; m = n 0 ; m6= n
oluyor ise (en) dizisine ortonormal dizi denir (Kreyszig 1978).
Teorem 2.1.1(Bessel E¸sitsizli¼gi) W bir iç çarp¬m uzay¬ ve (en) ortonormal bir dizi olmak üzere her w 2 W için
X1 k=1
jhw; enij2 kwk2 gerçeklenir (Kreyszig 1978).
Tan¬m 2.1.4 W ve Z ayn¬ cisim üzerinde iki vektör uzay¬ ve T : W ! Z bir fonksiyon olsun. E¼ger her w; z 2 W ve her ; 2 K için
T ( w + z) = Tw+ Tz
ko¸sulu gerçekleniyor ise T fonksiyonuna lineer operatör denir (Aliprantis 1998).
Tan¬m 2.1.5 W ve Z normlu uzaylar ve T : W ! Z bir lineer operatör olsun.
E¼ger her w 2 W için
kTwk P kwk
ko¸sulu gerçeklenecek ¸sekilde bir P > 0 say¬s¬var ise T ye s¬n¬rl¬operatör denir. En küçük P say¬s¬na da T operatörünün normu denir ve kT k sembolü ile belirtilir.
Ayr¬ca T operatörünün normu
kT k = sup
w6=
kT (w)k kwk ile bulunur (Aliprantis 1998).
Tan¬m 2.1.6 W bir vektör uzay¬ olsun. f : W ! R(veya C) operatörüne bir fonksiyonel denir (Kreyszig 1978).
Tan¬m 2.1.7 W normlu uzay olsun. W üzerinde tan¬ml¬tüm s¬n¬rl¬linner fonksi- yonellerin kümesine W uzay¬n¬n sürekli duali denir ve W0 ile gösterilir (Kreyszig 1978).
Teorem 2.1.2(Riesz Gösterim)Bir W Hilbert uzay¬üzerinde tan¬ml¬s¬n¬rl¬lineer gfonksiyoneli iç çarp¬m cinsinden gösterilebilir. Yani z, g fonksiyoneline ba¼gl¬olarak g ’nin
g(x) =hx; zi
e¸sitli¼gi ile tek türlü gösterimi mevcuttur. Ayr¬ca kzk = kgk gerçeklenir (Kreyszig 1978).
2.2 Zay¬f Topoloji ve Topolojik Vektör Uzaylar¬
Bu k¬s¬mda zay¬f topoloji ve topolojik vektör uzaylar¬tan¬mlar¬verilecektir.
Tan¬m 2.2.1 (Ba¸slang¬ç Topolojisi) X 6= ? bir küme , (Y; ) bir topolojik uzay ve B = ff jf : X ! (Y; )g bir fonksiyon ailesi olsun. Bu durumda X üzerinde B ailesinin elemanlar¬n¬ sürekli k¬lan bir en kaba topoloji mevcuttur. Bu topolojiye X üzerinde B ailesi taraf¬ndan üretilen ba¸slang¬ç topoloji denir ve B ile ifade edilir (Willard 2004).
Tan¬m 2.2.2 (Zay¬f Topoloji) (W;k:k) bir normlu uzay¬olmak üzere W üzerinde W0 sürekli duali taraf¬ndan üretilen ba¸slang¬ç topolojisine zay{f topoloji denir ve
w ile gösterilir. f 2 W0 için Sf =ff 1(U ) : U 2 Ug olmak üzere
S = [
f 2W0Sf = (Si)i2I
ailesi bir alt taband¬r. Bu alt tabandan 6= ? bir indis kümesi olmak üzere CS =fC : 8 2 için 9I 2 I<w 3 C = \
i2I
Sig taban¬elde edilir. CS taban¬ndan da J 6= ? bir indis kümesi olmak üzere
w =fGj :8j 2 J için 9 j 3 Gj = [
2 j
C g
zay¬f topoji elde edilir (Munkres 1975).
Zay¬f topolojinin elemanlar¬na zay¬f aç¬k küme denir. S alt taban¬n¬n elemanlar¬n¬n sonlu kesi¸simlerini alarak zay¬f topoloji için bir taban elde ederiz. Bu durumda her zay¬f aç¬k küme bu tabandaki kümelerin bir birle¸simi olur.
Teorem 2.2.1(W;k:k) normlu uzay ve y 2 W olsun. n 2 N olmak üzere f1; :::; fn 2 W0 ve " > 0 için
N (y; f1; :::; fn; ") =fx 2 W : 8k 2 f1; :::; ng için jfk(x) fk(y)j < "g
kümesi tan¬mlans¬n. O halde kümelerin
B = fN(y; f1; :::; fn; ") j y 2 W , f1; :::; fn 2 W0(n2 N) , " > 0g ailesi zay¬f topoloji için bir taband¬r (Soykan 2016).
Tan¬m 2.2.3 (W;k:k) bir normlu uzay olmak üzere " > 0 ve sonlu say¬da olan ff1; :::; fng W0 fonksiyoneller kümesi verildi¼ginde w0 2 W noktas¬n¬n ff1; :::; fn; "g- kom¸sulu¼gu ya da zay¬f kom¸sulu¼gu
N (w0; f1; :::; fn; ") =fx 2 W : 8k 2 f1; :::; ng için jfk(x) fk(w0)j < "g kümesi olarak tan¬mlan¬r (Soykan 2016).
Tan¬m 2.2.4 (De¼gme Noktas¬) (Z; ) bir topolojik uzay, (zn), Z ’de bir dizi ve z 2 Z olsun. z ’in her U kom¸sulu¼gu için zn2 U olacak biçimde bir n 2 N var ise z eleman¬na (zn) dizisinin bir de¼gme noktas¬denir (Kadets 2004).
Tan¬m 2.2.5 (Zay¬f De¼gme Noktas¬) (W;k:k) bir normlu uzay, (wn), W ’de bir dizi ve w 2 W olsun. w ’in her zay¬f U kom¸sulu¼gu için wn2 U olacak ¸sekilde en az bir n 2 N var ise w eleman¬na (wn)dizisinin bir zay¬f de¼gme noktas¬denir (Kadets 2004).
Tan¬m 2.2.6 (Topolojik Vektör Uzaylar¬)Z , K cismi üzerinde bir vektör uzay ve , Z üzerinde bir topoloji olmak üzere
g(w; z) := w + z ve h( ; w) := w
olarak tan¬mlanan g : Z Z ! Z ve h : K Z ! Z dönü¸sümleri sürekli ise Z uzay¬na bir topolojik vektör uzay¬denir (Rahimov 2006).
Önerme 2.2.1 W bir topolojik vektör uzay¬, w 2 W ve U W olsun. O halde U kümesinin, ’¬n bir kom¸sulu¼gu olmas¬için gerek ve yeter ¸sart w + U , w ’in bir kom¸sulu¼gu olmas¬d¬r (Rahimov 2006).
2.3 Kompleks Hilbert Uzaylar¬nda ¸Seritler
Bu k¬s¬mda ¸seritler tan¬t¬lacak ve sonras¬nda kompleks Hilbert uzay¬ndaki ¸seritler için önemli bir teorem verilecektir.
Tan¬m 2.3.1 (¸Serit) H bir Hilbert uzay¬olsun. kek= 1 olmak üzere
P =n
h2 H : jhh h0; eij w 2
o
kümesine H uzay¬nda w geni¸slikli bir ¸serit denir (Kadets 2004).
T.Bang ’in (1951) teoremine göre e¼ger wn geni¸slikli ¸seritlerin bir Pndizisinin terim- lerinin birle¸simi w yar¬çapl¬bir yuvar¬kaps¬yor ise P1
n=1
wn > w gerçeklenir. T.Bang
’in teoremi hem reel ve hem de kompleks uzayda do¼grudur, ancak kompleks uzay- larda teorem önemli ölçüde geli¸stirilmi¸stir. Kompleks uzaylardaki durum ile ilgili a¸sa¼g¬daki teorem K.Ball (2001) taraf¬ndan ispatland¬.
Teorem 2.3.1 H bir kompleks Hilbert uzay¬ ve her n 2 N için kenk = 1 olmak üzere
Pn =n
h 2 H : jhh; enij wn 2
o
de H ’da wn geni¸slikli ¸seritler olsun. E¼gern=11[ Pn kümesi orjin merkezli w yar¬çapl¬
bir yuvar¬kaps¬yor ise P1
n=1
w2n> w2 gerçeklenir (Ball 2001).
2.4 A¼g¬rl¬kl¬Zay¬f Yak¬nsakl¬k
Bu k¬s¬mda a¼g¬rl¬kl¬zay¬f yak¬nsakl¬k hat¬rlat¬lacak ve daha sonra 4. Bölümde kul- lan¬lacak olan önemli bir teorem verilecektir.
Tan¬m 2.4.1P = (pn;j)negatif olmayan sonsuz bir matris olsun. P = (pn;j)matrisi (1) 8n 2 N için P1
j=1
pn;j = 1 (2)8j 2 N için lim
n!1pn;j = 0
ko¸sullar¬n¬sa¼glas¬n. Reel terimli bir (an)dizisi için
n!1lim X1
j=1
pn;jaj = 0
ise (an)dizisi 0 ’a P -yak¬nsakt¬r denir ve P -lim an = 0ile ifade edilir. (Kadets 2004).
Tan¬m 2.4.2 Yak¬nsak bir diziyi, limitini koruyarak yak¬nsak diziye dönü¸stüren matrislere regüler matris denir (Boos 2000).
A¸sa¼g¬daki teorem regüler matrisleri karakterize eder.
Teorem 2.4.1 (Silverman-Toeplitz Teoremi) Bir A = (an;j) matrisi regülerdir ancak ve ancak
(1) kAk = sup
n
P1
j=1jan;jj < 1 (2) Her j 2 N için aj = lim
n!1an;j = 0 (3) lim
n!1
P1 j=1
an;j = 1
ifadeleri gerçeklenir (Boos 2000).
P-yak¬nsakl¬¼g¬n iyi bilinen baz¬özellikleri a¸sa¼g¬daki önermede verilmi¸stir.
Önerme 2.4.1 P = (pn;j)matrisi yukar¬daki (1) ve (2) ko¸sullar¬n¬sa¼glayan negatif olmayan bir matris ve (an)reel terimli bir dizi olsun. Bu durumda a¸sa¼g¬daki ifadeler gerçeklenir.
a)E¼ger lim an = 0 ise P -lim an = 0
b) E¼ger P -lim an = 0 ve P -lim bn= 0 ise P -lim(an+ bn) = 0
c) E¼ger her n 2 N için an 0 ve P -lim an = 0 ise 0, (an) dizisinin bir de¼gme noktas¬d¬r (Kadets 2004).
Ispat.· a) kP k = sup
n
P1
j=1jpn;jj = 1 , her j 2 N için pj = lim
n!1pn;j = 0 ve
n!1lim P1 j=1
pn;j = 1 oldu¼gundan Silverman-Toeplitz teoreminden istenilen elde edilir.
b) lim
n!1
P1 j=1
pn;j(aj + bj) = lim
n!1
P1 j=1
pn;jaj + lim
n!1
P1 j=1
pn;jbj = 0
c) Her n 2 N için an > 0 ve P-lim an = 0 olsun. Kabul edelim ki "0", (an)dizisinin bir de¼gme noktas¬ olmas¬n. Bu durumda bir > 0 bulunur öyleki her n 2 N için an 2 B(0; ) gerçeklenir. Yani her n 2 N için a= n > olur. tn = P1
j=1
pn;jaj olmak üzere her n 2 N için;
jtnj = X1
j=1
pn;jaj = X1 j=1
pn;jaj
X1 j=1
pn;j = X1
j=1
pn;j =
elde edilir. Bu ise P -lim an = 0 durumu ile çeli¸sir. Dolay¬s¬yla 0 ’¬n (an) dizisinin bir de¼gme noktas¬oldu¼gu gerçeklenir.
Tan¬m 2.4.3 (Z;k:k) Banach uzay¬ ve (zn), Z ’de bir dizi olsun. 1 p < 1 olmak üzere her f 2 Z0 için jf(zn)jp dizisi 0 ’a P -yak¬nsak ise (zn) dizisi 0 ’a zay¬f (P; p)-yak¬nsakt¬r denir ve w(P; p)-lim zn = 0 ile gösterilir (Kadets 2004).
K¬saca w(P; p)-lim zn= 0 gerçeklenmesi için gerek ve yeter ko¸sul 8f 2 Z0 için
n!1lim X1 m=1
pn;mjf(zm)jp = 0
sa¼glanmas¬d¬r.
Teorem 2.4.2(Z;k:k) Banach uzay¬ve (zn), Z uzay¬nda bir dizi olsun. Bu durumda 1 p < 1 olmak üzere w(P; p)-lim zn = 0 ise , (zn) dizisinin bir zay¬f de¼gme noktas¬d¬r (Kadets 2004).
Ispat.· Key… bir " > 0 ve sonlu say¬da olan ff1; :::; fmg Z0 fonksiyoneller kümesi için
Pm
k=1jfk(zn)jp < " olacak ¸sekilde bir n 2 N var oldu¼gunu göstermeliyiz. Zay¬f (P; p)-yak¬nsakl¬k tan¬m¬ve Önerme 2.4.1’in (b) ifadesinden her k 2 f1; :::; mg için
P- lim
n!1jfk(zn)jp = 0
olup
P- lim
n!1
Xm k=1
jfk(zn)jp = 0
elde edilir. tn :=
Pm
k=1jfk(zn)jpbiçiminde tan¬mlans¬n Önerme 2.4.1’in (c) ifadesinden
"0", (tn) dizisinin bir de¼gme noktas¬olur. Böylece her " > 0 için bir n 2 N bulunur öyleki tn 2 B(0; ") olur. Yani
Pm
k=1jfk(zn)jp < " olacak ¸sekilde bir n 2 N bulunur. O halde ispat tamamlanm¬¸s olur.
¸
Simdi bu k¬s¬m¬n önemli teoremi verilebilir:
Teorem 2.4.3H bir Hilbert uzay¬ve (an)pozitif terimli bir dizi olsun. Bu durumda a¸sa¼g¬daki ifadeler denktir:,
a) P1
n=1
an2 =1 ;
b) H Hilbert uzay¬nda her n 2 N için kxnk = an gerçeklenecek ¸sekilde bir (xn) ve w(P; 2)-lim xn = 0 olacak ¸sekilde bir P = (pn;m)matrisi vard¬r;
c) H Hilbert uzay¬nda her n 2 N için kxnk = an gerçeklenecek ¸sekilde bir zay¬f de¼gme noktas¬ olan bir (xn)dizisi vard¬r (Kadets 2004).
Ispat. (a)· )(b) P1
n=1
an2 =1 olsun ve (en), H ’da ortonormal bir dizi olmak üzere xn= anen dizisini ele alal¬m. P = (pn;m)matrisi m n için
pn;m = am2 Pn j=1
aj2
ve m > n için pn;m = 0 olarak tan¬mlans¬n. Bu durumda Riesz gösterim teoremi ve Bessel e¸sitsizli¼ginden her f 2 H0 için
P1 m=1
pn;mjf(xm)j2 = P1
m=1
pn;mjhxm; fij2
=
Pn m=1
am2
Pn j=1
aj2 jamhem; fij2
=
Pn
m=1jhem;f ij2 Pn j=1
aj2
kf k Pn j=1
aj2 ! 0 (n ! 1)
elde edilir. O halde (xn) , ’a zay¬f (P; 2)-yak¬nsakt¬r.
(b))(c) Teorem 2.4.2’den elde edilir.
(c))(a) H Hilbert uzay¬nda her n 2 N için kxnk = an olacak biçimde zay¬f de¼gme noktas¬ olan bir (xn)dizi mevcut olsun. Kabul edelim ki P1
n=1
an2 = R2 <1 olsun.
H ’¬n bir kompleks Hilbert uzay¬oldu¼gunu varsayal¬m. H uzay¬nda Pn=fh 2 H : jhh; xnij 1
2g = fh 2 H : jhh; xn=kxnkij kxnk 1
2 g
¸seritleri tan¬mlans¬n. Bu durumda Pn ¸seritlerinin geni¸sli¼gi an1 olur. Teorem 2.3.1 ve P1
n=1
an2 = R2 < 1 ifadesinden Pn ¸seritlerinin birle¸simi H uzay¬n¬n tamam¬n¬
kapsamaz (Pn¸seritlerinin birle¸simi R+" yar¬çapl¬bir yuvar¬bile kapsamaz). Bundan dolay¬her n 2 N için
jhh; xnij > 1 2
e¸sitsizlikleri bir h 2 H için sa¼glan¬r. Buldu¼gumuz bu h 2 H ile ~f (x) = hx; hi fonksiyonelini tan¬mlayal¬m. ~f fonksiyoneli lineer ve dahas¬her x 2 H için ~f (x) = jhx; hij khk kxk oldu¼gundan ~f s¬n¬rl¬d¬r. Dolay¬s¬yla ~f 2 H0 olur. Bu durumda
N ( ; ~f ;1
2) =fy 2 H : f (x) <~ 1
2g = fy 2 H : jhx; hij < 1 2g
kümesi ’¬n bir zay¬f kom¸sulu¼gudur. Ancak tüm n 2 N için xn2 N( ; f;= 12 )olup bu ise ’¬n (xn) dizisinin zay¬f de¼gme noktas¬olmas¬ile çeli¸sir. O halde P1
n=1
a 2 = 1 elde edilir.
Teorem 2.4.4 X sonsuz boyutlu bir Banach uzay¬ve (an)n2N , P1
n=1
an2 =1 ko¸su- lunu sa¼glayan pozitif terimli bir dizi olmak üzere her n 2 N için kxnk = an olacak
¸sekilde bir zay¬f de¼gme noktas¬ olan bir (xn) dizisi vard¬r (Kadets 2004).
3.
IDEAL YAKINSAKLIK·Bu bölümde N do¼gal say¬lar kümesinin alt kümelerinin bir s¬n¬f¬ olan I ideali ile metrik uzaylarda dizilerin I- yak¬nsakl¬¼g¬verilecektir. Böylece I ideali yard¬m¬ile yak¬nsakl¬¼g¬n bir geni¸sletmesi elde edilir.
3.1 Istatistiksel Yak¬nsakl¬k·
I-yak¬nsakl¬k kavram¬istatistiksel yak¬nsakl¬k kavram¬n¬n bir geni¸sletmesi oldu¼gun- dan bu bölümde istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬n tan¬m¬hat¬rlat¬lacakt¬r.
Tan¬m 3.1.1 (Asimptotik Yo¼gunluk) B N ve her n2 N için
dn(B) = 1 n
Xn k=1
B(k) olsun. d(B) = lim inf
n!1 dn(B)ve d(B) = lim sup
n!1
dn(B)say¬lar¬na s¬ras¬yla B kümesinin alt ve üst asimptotik yo¼gunlu¼gu denir. Ayr¬ca d(B) = d(B) = d(B) gerçekleniyor ise d(B) say¬s¬na B kümesinin asimptotik yo¼gunlu¼gu denir (Salat ve Tijdeman 1983).
Tan¬m 3.1.2(Logaritmik Yo¼gunluk)B N ve sn = Pn k=1
1
k olmak üzere her n 2 N için
n(B) = 1 sn
Xn k=1
B(k) k olarak tan¬mlans¬n. (B) = lim inf
n!1 n(B)ve (B) = lim sup
n!1
n(B)say¬lar¬na s¬ras¬yla B kümesinin alt ve üst logaritmik yo¼gunlu¼gu denir. E¼ger (B) = (B) = (B) ise
(B) say¬s¬na B kümesinin logaritmik yo¼gunlu¼gu denir (Salat ve Tijdeman 1983) Uyar¬3.1.1 Her B N için d(B) (B) (B) d(B) oldu¼gundan asimptotik yo¼gunluk var ise logaritmik yo¼gunlukta mevcut olup ve d(B) = (B) gerçeklenir.
Tan¬m 3.1.3(·Istatistiksel Yak¬nsakl¬k)(zn)reel terimli bir dizi olsun. Her > 0 için d(fn 2 N : jzn j > g) = 0 gerçeklenecek ¸sekilde bir 2 R say¬s¬var ise (zn) dizisi say¬s¬na istatistiksel yak¬nsakt¬r denir (Fast 1951).
3.2 I ve I Yak¬nsakl¬k
Bu bölümde ideal ve ideal yak¬nsakl¬¼ga ili¸skin bilgiler verilecektir.
Tan¬m 3.2.1 (·Ideal) X 6= ? bir küme olsun. I 2X s¬n¬f¬için i) Her U; V 2 I için U [ V 2 I
ii)Her U 2 I için V U iken V 2 I
ko¸sullar¬ gerçekleniyor ise I s¬n¬f¬na X üzerinde bir ideal denir. E¼ger I 6= ? ve X =2 I ise I s¬n¬f¬na a¸sikar olmayan ideal denir(Kostyrko vd. 2000).
Tan¬m 3.2.2 (Uygun ·Ideal)I, X üzerinde a¸sikar olmayan bir ideal olsun. Ayr¬ca her x 2 X için fxg 2 I ¸sart¬n¬sa¼gl¬yor ise I s¬n¬f¬na uygun ideal denir.
Tan¬m 3.2.3 (Süzgeç) X 6= ? bir küme olsun. F 2X s¬n¬f¬için i) ? =2 F
ii) Her K; L F için K \ L 2 F ii) Her K 2 F için K L iken L 2 F
ko¸sullar¬ gerçekleniyor ise F s¬n¬f¬na X üzerinde bir süzgeç denir (Kostyrko vd.
2000).
I ideali X ’de a¸sikar olmayan bir idealdir ancak ve ancak
FI =fXnA : A 2 Ig ailesi X üzerinde bir süzgeçtir (Kostyrko vd. 2000).
Tan¬m 3.2.4 (I-Yak¬nsakl¬k) I, N üzerinde a¸sikar olmayan bir ideal, (Z; ) bir metrik uzay ve (zn), Z ’de bir dizi olsun. Her " > 0 için
A(") =fn 2 N : (zn; ) "g 2 I
gerçeklenecek ¸sekilde bir 2 Z mevcut ise (zn)dizisi noktas¬na I-yak¬nsakt¬r denir ve I- lim
n!1zn = ile ifade edilir (Kostyrko vd. 2000).
Örnek 3.2.1 N do¼gal say¬lar kümesinin sonlu tüm alt kümelerinin s¬n¬f¬F in olsun.
F in a¸sikar olmayan uygun bir idealdir. Ayr¬ca F in-yak¬nsakl¬k, X üzerindeki metri¼gine göre bilinen yak¬nsakl¬¼ga denktir (Kostyrko vd. 2000).
Örnek 3.2.2 Id = fA N : d(A) = 0g s¬n¬f¬ tan¬mlans¬n. Bu durumda Id a¸sikar olmayan uygun idealdir ve Id-yak¬nsakl¬k, istatistiksel yak¬nsakl¬¼ga denktir (Kostyrko vd. 2000).
Örnek 3.2.3 I = fA N : (A) = 0g s¬n¬f¬tan¬mlans¬n.Bu durumda I a¸sikar olmayan uygun idealdir ve I -yak¬nsakl¬k logaritmik, istatistiksel yak¬nsakl¬k olarak ifade edilir (Kostyrko vd. 2000).
Örnek 3.2.4 Her j N sonsuz çoklukta elemana sahip ve iki¸serli ayr¬k kümeler olmak üzere N = S1
j=1
j do¼gal say¬lar kümesinin bir parçalanmas¬ olsun. Bu du- rumda
I = fA : A \ j 6= ? j = 1; ::; kg s¬n¬f¬a¸sikar olmayan bir uygun idealdir (Kostyrko vd. 2000).
Uyar¬3.2.1I, X üzerinde bir uygun ideal ise X üzerindeki metri¼ge göre yak¬nsakl¬k I-yak¬nsakl¬¼g¬gerektirir.
¸Simdi I-yak¬nsakl¬k taraf¬ndan sa¼glanan yak¬nsakl¬k aksiyomlar¬n¬inceleyece¼giz.
(a) Her sabit f ; ; :::; ; :::g dizisi noktas¬na yak¬nsar.
(b) Yak¬nsak her dizinin limiti tektir.
(c) Yak¬nsak bir dizinin her alt dizisi de ayn¬de¼gere yak¬nsar.
(d) (xn) dizisinin her alt dizisi, noktas¬na yak¬nsak ise (xn) dizisi de noktas¬na yak¬nsar (Kostyrko vd. 2000).
Önerme 3.2.1 X en az iki elemana sahip bir küme ve I 2X uygun ideal olsun.
i) I-yak¬nsakl¬k (a); (b); (d) özelliklerini gerçekler.
ii) E¼ger I ideali sonsuz çoklukta elemana sahip bir küme içeriyor ise I-yak¬nsakl¬k (c) özelli¼gini gerçeklemez (Kostyrko vd. 2000).
Ispat. i)· (a) özelli¼gi ideal yak¬nsakl¬k ifadesinden gerçeklenir. (b) özelli¼ginin ispat¬
için varsayal¬m ki (xn); X ’de bir dizi olmak üzere ; 2 X ve 6= için I-
n!1lim xn= ve I- lim
n!1xn= olsun.
I-yak¬nsakl¬k ifadesinden her " > 0 için
A1(") =fn 2 N : (xn; ) "g 2 I
ve
A2(") =fn 2 N : (xn; ) "g 2 I
oldu¼gundan NnA1("); NnA2(") 2 FI gerçeklenir. Süzgeç tan¬m¬ndan NnA1(")\ NnA2(")6= ? bulunur.Yani
NnA1(") =fn 2 N : (xn; ) < "g 2 FI
ve
NnA2(") =fn 2 N : (xn; ) < "g 2 FI
kümelerinin en az bir eleman¬ortakt¬r. 6= oldu¼gundan " say¬s¬0 < " < 12 ( ; ) olacak ¸sekilde seçilirse
( ; ) (xn; ) + (xn; )
< " + "
= 2"
< ( ; )
bulunur. Bu durum ise çeli¸skidir. Dolay¬s¬yla I-yak¬nsak dizinin limiti tektir.
Varsayal¬m ki (d) özelli¼gi gerçeklenmesin.Bu durumda
A( 0) = fn 2 N : (xn; )> 0g =2 I
gerçeklenecek ¸sekilde bir 0 > 0say¬s¬mevcuttur. I uygun ideal oldu¼gundan A( 0) kümesi sonsuz elemanl¬ bir kümedir. A( 0) = fn1 < n2 < ::: < nk < :::g olmak üzere her k 2 N için yk = xnk dizisi tan¬mlas¬n. Bu durumda y = (yk) dizisi ye I-yak¬nsak bir alt dizisi olmayan x = (xn)dizisinin bir alt dizisi olaca¼g¬ndan çeli¸siki elde edilir. O halde (d) özelli¼gi gerçeklenir.
ii) A2 I sonsuz çoklukta elemana sahip bir küme olsun. Bu durumda
A =fn1 < n2 < ::: < nk< :::g
biçiminde yaz¬bilir. Ayr¬ca I a¸sikar olmayan bir ideal oldu¼gundan B = NnA kümesi de sonsuz çoklukta eleman içeren bir kümedir ve
B = NnA = fm1 < m2 < ::: < mk < :::g
biçiminde yazabiliriz. x = (xn) dizisi, 1 6= 2 olmak üzere her k 2 N için xnk = 1 ve xmk = 2 olarak tan¬mlanan iki alt diziye sahip bir dizi olsun. O halde I- yak¬nsakl¬k tan¬m¬ndan I-lim xn = 2 elde edilir. Ancak x = (xn) dizisinin bir alt dizisi olan (xnk) sabit dizi oldu¼gundan I-lim xnk = 1 gerçeklenir. O halde (c) özelli¼gi gerçeklenmez.
Uyar¬3.2.2 I ideali sonsuz çoklukta elemana sahip herhangi bir küme içermeyen bir uygun ideal ise I-yak¬nsak ile bilinen yak¬nsakl¬k çak¬¸s¬r. Ayr¬ca (c) özelli¼gi gerçeklenir (Kostyrko vd. 2000).
Reel terimli bir (zn) dizisi ’ye istatistiksel yak¬nsakt¬r ancak ve ancak d(M ) = 1 ve lim
k!1zmk = gerçeklenecek ¸sekilde bir M = fm1 < m2 < ::: < mk < :::g N kümesi mevcuttur. Bu istatistiksel yak¬nsakl¬k teorisinin iyi bilinen bir sonucudur.
Bu sonuç I-yak¬nsakl¬kla ba¼glant¬l¬ I -yak¬nsakl¬k olarak adland¬r¬lacak a¸sa¼g¬daki yak¬nsakl¬k kavram¬n¬akla getirir.
Tan¬m 3.2.5 (I -Yak¬nsakl¬k) (Z; ) bir metrik uzay, z = (zn), Z ’de bir dizi ve I, N üzerinde a¸sikar olmayan bir ideal olsun. lim
k!1 (zmk; ) = 0 olacak ¸sekilde bir M = fm1 < m2 < ::: < mk < :::g 2 FI kümesi var ise z = (zn) dizisi noktas¬na I -yak¬nsakt¬r denir ve I - lim
n!1zn = ile ifade edilir (Kostyrko vd. 2000).
Önerme 3.2.2 (Z; ) bir metrik uzay , z = (zn) , Z ’de bir dizi ve I, N üzerinde uygun bir ideal olsun. E¼ger I - lim
n!1zn = ise I- lim
n!1zn = gerçeklenir (Kostyrko vd. 2000).
Ispat.· I - lim
n!1zn= olsun. Bu durumda lim
k!1 (zmk; ) = 0olacak ¸sekilde bir M = NnH = fm1 < m2 < ::: < mk < :::g 2 FI
kümesi vard¬r. lim
k!1 (zmk; ) = 0 olmas¬ndan dolay¬ her " > 0 için bir k0 2 N mevcuttur öyleki tüm k > k0 için (zmk; ) < " gerçeklenir. O halde
A(") =fn 2 N : (zn; ) "g H[ fm1 < m2 < ::: < mk0g
olup H 2 I ve fm1 < m2 < ::: < mk0g 2 I oldu¼gundan ideal tan¬m¬ndan A(") 2 I elde edilir. Bu ise I- lim
n!1zn = gerçeklenmesi anlam¬na gelir.
I ve I -yak¬nsakl¬k aras¬ndaki kar¸s¬t gerektirme esas olarak (Z; ) metrik uzay¬na ba¼gl¬d¬r.
Teorem 3.2.1 (X; )bir metrik uzay ve I, N ’de uygun bir ideal olsun.
(i) E¼ger X, bir y¬¼g¬lma noktas¬na sahip de¼gil ise I-yak¬nsakl¬k ve I -yak¬nsakl¬k birbirine denktir.
(ii) E¼ger X ’in bir y¬¼g¬lma noktas¬ ise o zaman I- lim
n!1yn = olmas¬na ra¼gmen I - lim
n!1yn mevcut olmayacak ¸sekilde bir I uygun ideali ve X ’de bir fyng dizisi vard¬r (Kostyrko vd. 2000).
Ispat. (i)· Önerme 3.2.2’den denlikli¼gin bir taraf¬elde edilir. Bu durumda 2 X olmak üzere I- lim
n!1xn = iken I - lim
n!1xn = oldu¼gunu göstermek yeterlidir. X bir y¬¼g¬lma noktas¬na sahip olmad¬¼g¬ndan B( ; ) = fx 2 X : (x; ) < g = f g gerçeklenecek ¸sekilde bir > 0 bulunur. Ayr¬ca I- lim
n!1xn = oldu¼gundan > 0 için fn 2 N : (xn; ) g 2 I gerçeklenir. Dolay¬s¬yla
fn 2 N : (xn; ) < g = fn 2 N : xn = g 2 FI
elde edilir. O halde lim
k!1 (xmk; ) = 0gerçeklenecek ¸sekilde sonsuz çoklukta elemana sahip bir M = fn 2 N : xn= g = fm1 < m2 < ::: < mk< :::g 2 FI kümesi mevcut oldu¼gundan I - lim
n!1xn = gerçeklenir.
(ii) , X ’in bir y¬¼g¬lma noktas¬oldu¼gundan = lim
n!1xnve f (xn; )g dizisi azalarak 0’a yak¬nsayacak biçimde X ’de bir (xn) mevcuttur. Tüm n 2 N için n= (xn; ) olarak al¬ns¬n. I ideali olarak Örnek 3.2.4 ’deki I idealini alal¬m.
E¼ger n 2 j 2 I ise yn = xj olacak ¸sekilde (yn)n2N dizisi tan¬mlans¬n. Key… bir
> 0 için < olacak ¸sekilde 2 N seçelim. Bu durumda A( ) = fn : (yn; ) g 1 [ ::: [ oldu¼gundan A( ) 2 I gerçeklendir. Böylece I - lim
n!1yn = bulunur.
Varsayal¬m ki I - lim
n!1yn= olsun. Bu durumda H 2 I olmak üzere lim
k!1 (ymk; ) = 0 olacak ¸sekilde bir M = NnH = fm1 < m2 < ::: < mk < :::g 2 FI vard¬r. I
idealinin tan¬m¬ndan H 1[ ::: [ l olacak biçimde bir l 2 N mevcuttur. Ancak
l+1 M = NnH olmas¬ndan dolay¬ sonsuz çoklukta k ’lar için (her j sonsuz elemanl¬ bir küme) (ymk; ) = l+1 > 0 olup bu ise ymk ! (k ! 1) olmas¬ile çeli¸sir. Ayr¬ca y 6= olmak üzere I - lim
n!1yn= y varsay¬m¬da çeli¸skiye sebep olur.
3.3 I-Yak¬nsakl¬¼g¬Koruyan Fonksiyonlar
Bu k¬s¬mda I-yak¬nsakl¬¼g¬koruyan fonksiyonlara ili¸skin bir önerme verilecektir.
Tan¬m 3.3.1 (Y; ) bir metrik uzay , g : Y ! Y bir fonksiyon ve I, N üzerinde uygun bir ideal olsun. E¼ger Y uzay¬ndaki her (xn) dizisi için I- lim
n!1xn= ( 2 Y ) iken I- lim
n!1g(xn) = g( ) gerçekleniyor ise g fonksiyonuna Y uzay¬nda I-yak¬nsakl¬¼g¬
koruyor denir (Kostyrko vd. 2000).
Önerme 3.3.1 (Y; ) bir metrik uzay , g : Y ! Y bir fonksiyon ve I, N üzerinde uygun bir ideal olsun. g fonksiyonunun Y uzay¬nda I-yak¬nsakl¬¼g¬ korumas¬ için gerek ve yeter ko¸sul g fonksiyonunun Y üzerinde sürekli olmas¬d¬r (Kostyrko vd.
2000).
Ispat.· g fonksiyonu I-yak¬nsakl¬¼g¬ koruyor olsun. Varsayal¬m ki g fonksiyonu bir 2 Y noktas¬nda sürekli olmas¬n. Bu durumda bir > 0 vard¬r öyleki her > 0 için (x; ) < ko¸sulunu sa¼glayan baz¬x ’ler (x 6= ) için (g(x); g( )) gerçeklenir.
= 1n al¬rsak
n = 1için (x; ) < 1 iken (g(x); g( )) olacak biçimde bir x = s1 2 Y , n = 2 için (x; ) < 12 iken (g(x); g( )) olacak biçimde bir x = s2 2 Y ,
: : :
n2 N için (x; ) < 1n iken (g(x); g( )) olacak biçimde bir x = sn 2 Y bulunur. Böylece lim
n!1sn = ve her n 2 N için (g(sn); g( )) gerçeklenecek
¸sekilde Y ’de (sn)dizisi bulunur. O halde
fn 2 N : (g(sn); g( )) g = N =2 I
olup I- lim
n!1g(sn) 6= elde edilir. Bu ise g fonksiyonun I-yak¬nsakl¬¼g¬korumas¬ile çeli¸sir.
Di¼ger taraf¬göstermek için g sürekli ve I- lim
n!1xn= olsun. Bu durumda her > 0 için x 2 B( ; ) iken g(x) 2 B(g( ); ) olacak ¸sekilde > 0 vard¬r. Böylece
C( ) =fn 2 N : (xn; ) < g fn 2 N : (g(xn); g( )) < g = D( ) elde edilir. I- lim
n!1xn = oldu¼gundan fn 2 N : (xn; ) g 2 I olup C( ) = fn 2 N : (xn; ) < g 2 FI bulunur. Ayr¬ca C( ) D( )ve FI süzgeç olmas¬ndan dolay¬D( ) 2 FI gerçeklenir. O halde her > 0 için
fn 2 N : (g(xn); g( )) g 2 I olup I- lim
n!1g(xn) = g( ) elde edilir.
3.4 I-Limit Noktas¬ve I-De¼gme Noktas¬
Bu k¬s¬mda I-limit noktas¬ve I-de¼gme noktas¬kavramlar¬n¬inceleyece¼giz.
Tan¬m 3.4.1 (xn), R reel say¬larda bir dizi ve 2 R olsun.
(a) E¼ger d (M ) > 0 ve lim
k!1xmk = olacak ¸sekilde bir M = fm1 < m2 < :::g N kümesi var ise ’ye (xn) dizisinin bir istatistiksel limit noktas¬denir.
(b) E¼ger her " > 0 için d (fn 2 N : jxn j < "g) > 0 ise ’ye (xn) dizisinin bir istatistiksel de¼gme noktas¬denir (Kostyrko vd. 2000).
¸Simdi bu kavramlar¬I-yak¬nsakl¬¼ga a¸sa¼g¬daki tan¬mla geni¸sletebiliriz.
Tan¬m 3.4.2 (X; ) bir metrik uzay, I, N üzerinde bir ideal, x = (xn), X ’de bir dizi ve 2 X olsun.
(a) E¼ger M =2 I ve lim
k!1xmk = olacak biçimde bir M = fm1 < m2 < :::g N kümesi var ise ’ye (xn) dizisinin bir I-limit noktas¬denir.
(b) E¼ger her " > 0 için fn 2 N : (xn; ) < "g =2 I ise ’ye (xn) dizisinin bir I-de¼gme noktas¬denir (Kostyrko vd. 2000).
x = (xn)dizisinin bütün I-limit noktalar¬ve I-de¼gme noktalar¬n¬n kümesi s¬ras¬yla I( x)ve I( x)ile gösterilecektir.
Önerme 3.4.1 (X; )bir metrik uzay ve I , N üzerinde bir uygun ideal olsun. Bu durumda X ’deki her x = (xn) dizisi için I( x) I( x) gerçeklenir (Kostyrko vd.
2000).
Ispat.· 2 I( x)alal¬m. I-limit noktas¬tan¬m¬ndan M =2 I ve lim
k!1xmk = olacak biçimde bir M = fm1 < m2 < :::g N kümesi vard¬r. lim
k!1xmk = olmas¬ndan dolay¬ > 0 olmak üzere her k > k0 için (xmk; ) < gerçeklenecek ¸sekilde bir k0 2 N mevcuttur. Böylece
Mnfm1; :::; mk0g fn 2 N : (xmk; ) < g
olmas¬ndan dolay¬fn 2 N : (xmk; ) < g =2 I elde edilir. (Aksi durumda M =2 I olmas¬ile çeli¸sir.) Bu ise 2 I( x) olmas¬anlam¬na gelir.
Teorem 3.4.1 I, N üzerinde bir uygun ideal olsun.
(i) X uzay¬ndaki her x = (xn) dizisi için I( x)kümesi X ’de kapal¬d¬r.
(ii)(X; )ayr¬labilir bir metrik uzay olmak üzere her n 2 N için Mn N ve Mn 2 I= olacak ¸sekilde iki¸serli ayr¬k kümelerin bir (Mn)n2N dizisi var ise her kapal¬F X kümesi için F = I( x) gerçeklenecek ¸sekilde X ’de bir x = (xn)dizisi mevcuttur.
Ispat. (i)· y 2 I( x) eleman¬n¬alal¬m. De¼gme noktas¬tan¬m¬ndan her " > 0 için
0 2 I( x)\ B(y; ") olacak ¸sekilde 0 2 X mevcuttur. 0 2 B(y; ") olmas¬ndan dolay¬B( 0; ) B(y; ") olacak biçimde bir > 0 seçebiliriz. Böylece
fn 2 N : (xn; 0) < g fn 2 N : (xn; y) < "g
elde edilir. Ayr¬ca 0 2 I( x) olmas¬ndan dolay¬I-limit noktas¬tan¬m¬ndan fn 2 N : (xn; 0) < g =2 I olup ideal tan¬m¬ndan da fn 2 N : (xn; y) < "g =2 I bulunur.
O halde y 2 I( x) elde edilir.
(ii)A =fa1; a2; :::g F say¬labilir ve F ’de yo¼gun bir küme olsun. Her n 2 Miiken xn= ai olacak ¸sekilde bir dizi x = (xn)tan¬mlayal¬m. ·Ilk önce I( x) F oldu¼gunu göstermek için 2 I( x) alal¬m. I-de¼gme noktas¬ tan¬m¬ndan her " > 0 için fn 2 N : (xn; ) < "g =2 I elde edilir. ·Ideal tan¬m¬ndan fn 2 N : (xn; ) < "g 6= ? olup böylece her " > 0 için (xn0; ) < " gerçeklenecek ¸sekilde en az bir n0 2 N vard¬r. x = (xn) dizisinin tan¬m¬ndan xn0 2 A ve ayr¬ca A F oldu¼gundan 2 F
gerçeklenir. ·Ikinci olarak z 2 F ve key… bir " > 0 alal¬m. A , F ’de yo¼gun ve F ’in kapal¬olmas¬ndan A = F = F e¸sitli¼ginin gerçeklendi¼gini biliyoruz. Böylece de¼gme noktas¬tan¬m¬gere¼gi (ai0; z) < " olacak biçimde bir i0 2 N bulunur. Her n 2 Mi0
için xn = ai0 olmas¬ndan dolay¬Mi0 fn 2 N : (xn; z) < "g elde edilir. O halde ideal tan¬m¬ndan fn 2 N : (xn; z) < "g =2 I olup z 2 I( x)bulunur.
4.
SÜZGEÇ YAKINSAKLIKBu bölümde ilk önce normda sonsuza ¬raksak zay¬f yo¼gun diziler üzerine Aron vd.
(2009) nin buldu¼gu sonucun bir geli¸stirilmesi verilecektir. Daha sonra bir Hilbert uzay¬nda norma göre artan zay¬f istatistiksel yak¬nsak her (xn)dizisi için sup
n2N kxpnk
n <
1 oldu¼gu ispatlanacak ve özellikle Erdös-Ulam süzgeçler, analitik P -süzgeçler ve F -süzgeçler içinde benzer problem incelenecektir.
4.1 Zay¬f Yo¼gun S¬n¬rs¬z Diziler
Bu k¬s¬mda "her ayr¬labilir X Banach uzay¬nda norma göre sonsuza ¬raksayan zay¬f yo¼gun bir dizi vard¬r" sonucunun bir geli¸stirilmesi verilecektir.
Tan¬m 4.1.1 (X;k:k) sonsuz boyutlu bir Banach uzay¬, I N sonsuz çoklukta elemana sahip bir altküme ve (an)n2I pozitif reel terimli bir dizi olsun. E¼ger bir zay¬f de¼gme noktas¬ olan ve her n 2 I için kxnk = an olacak ¸sekilde X uzay¬nda bir (xn)n2I dizisi var ise (an)n2I dizisine X-kabul edilebilirdir denir (Kadets vd.
2010).
Teorem 2.4.3’de X bir Hilbert uzay¬ise a = (an)n2N dizisinin X-kabul edilebilirli¼gi P
n2N
an2 = 1 olmas¬na denk oldu¼gu verilmi¸stir. Sonsuz boyutlu Banach uzaylar¬
içinde benzer ifade Teorem 2.4.4 ’de verilmi¸stir.
Aron vd. (2009) her ayr¬labilir sonsuz boyutlu X Banach uzay¬nda norma göre sonsuza ¬raksak zay¬f yo¼gun bir dizinin mevcut oldu¼gunu ispatlad¬. Bu k¬sm¬n amac¬Aron, Garcia ve Maestre’nin sonucundaki zay¬f yo¼gun (xn)dizisinin normlar dizisinin sonsuza ¬raksak key… bir X-kabul edilebilir bir dizi olabilece¼gini göstermek- tir.
¸
Simdi sonradan kullan¬lacak olan a¸sa¼g¬daki üç özelli¼gi verece¼giz.
a = (an)n2I dizisinin X-kabul edilebilir olmas¬sonlu say¬da terimine ba¼gl¬de¼gildir.
E¼ger (an)n2I dizisi X-kabul edilebilir ve pozitif terimli (bn)n2I dizisi s¬n¬rl¬ ise (anbn)n2I dizisi X-kabul edilebilirdir.
E¼ger (an)n2I dizisi X-kabul edilebilir ve I kümesinin I1 ve I2 sonsuz elemanl¬
ayr¬k iki altkümesine parçalan¬¸s¬var ise ya (an)n2I1 ya da (an)n2I2 (veya her iki dizi) X-kabul edilebilirdir (Kadets vd. 2010).
Lemma 4.1.1 kxk kek olmak üzere her x; e 2 X için kx + tek = kek gerçek- lenecek ¸sekilde bir t 2 (0; 2) mevcuttur (Kadets vd. 2010).
Ispat.·
f : [0; 2] ! R
t ! f(t) = kx + tek
¸seklinde bir fonksiyon tan¬mlans¬n. u 2 [0; 2] olmak üzere her " > 0 için ju tj <
ko¸sulunu sa¼glayan her t için jf(u) f (t)j < " gerçeklenecek ¸sekilde bir > 0 oldu¼gunu gösterelim.
jf(u) f (t)j = jkx + uek kx + tekj kx + ue x tek
= k(u t)ek
= ju tj kek
oldu¼gundan kek = 0 ise durum aç¬kt¬r. ¸Simdi kek 6= 0 ise = kek" > 0 seçilirse f fonksiyonun [0; 2] üzerinde sürekli oldu¼gu gösterilmi¸s olur. f (0) = kxk kek ve f (2) =kx + 2ek k2ek kxk > kek oldu¼gundan Ara De¼ger Teoreminden f (t) = kek olacak ¸sekilde bir t 2 (0; 2) vard¬r. Bu durumda kx + tek = kek gerçeklenecek ¸sekilde bir t 2 (0; 2) mevcuttur.
Lemma 4.1.2 (X;k:k) sonsuz boyutlu bir Banach uzay¬ve I N sonsuz çoklukta elemana sahip bir altküme olsun. E¼ger a = (an)n2I dizisi X-kabul edilebilir ve sonsuza ¬raksak ise her x 2 X için bir zay¬f de¼gme noktas¬x olan ve her n 2 I için kynk = an gerçeklenecek ¸sekilde X uzay¬nda bir (yn)n2I dizisi vard¬r (Kadets vd.
2010).
Ispat.· a = (an)n2I dizi X-kabul edilebilir oldu¼gundan bir zay¬f de¼gme noktas¬
olan ve her n 2 I için kxnk = an gerçeklenecek ¸sekilde X uzay¬nda bir (xn)n2I dizisi vard¬r. Ayr¬ca an ! 1 olmas¬ndan dolay¬her n > m için an > kxk olacak biçimde bir m 2 N vard¬r. Lemma 4.1.1’den de her n > m için kx + tnxnk = an
olacak biçimde tn 2 (0; 2) vard¬r. Tüm n m (n 2 I) için yn = xn ve her n > m (n 2 I) için yn = x + tnxn olarak bir y = (yn)n2I dizisi tan¬mlayal¬m. (an) dizisi X-kabul edilebilir ve (tn)pozitif terimli s¬n¬rl¬bir dizi oldu¼gundan (tnan) , X-kabul edilebilirdir. , (tnxn) dizisinin bir zay¬f de¼gme noktas¬oldu¼gundan Önerme 2.2.1’
den x, (yn) dizisinin bir zay¬f de¼gme noktas¬d¬r. Bu durumda (yn)n2I arad¬¼g¬m¬z dizidir.
Lemma 4.1.3E¼ger (an)n2Idizisi X-kabul edilebilir ve sonsuza ¬raksak ise I kümesinin hem (an)n2I1 hem de (an)n2I2 dizileri X-kabul edilebilir olacak ¸sekilde I1 ve I2 sonsuz çoklukta elemana sahip ayr¬k iki altkümesine parçalan¬¸s¬vard¬r (Kadets vd. 2010).
Ispat.· lim an = 1 olmas¬nedeniyle ai1 ai2 ::: olacak ¸sekilde I = fi1; i2; :::g kümesinin elemanlar¬n¬s¬ralayabiliriz. ¸Simdi I kümesinin arad¬¼g¬m¬z parçalan¬¸s¬n¬n I1 = fi1; i3; :::g ve I2 = fi2; i4; :::g kümeleri oldu¼gunu gösterece¼giz. (an)n2I dizisi X-kabul edilebilir oldu¼gundan (an)n2I1 ve (an)n2I2 dizilerinden en az biri X-kabul edilebilirdir. E¼ger (an)n2I2 dizisi X-kabul edilebilir ise daha küçük terimleri içeren (an)n2I1 de X-kabul edilebilirdir. E¼ger (an)n2I1 , X-kabul edilebilir ise (an : n = i3; i5; :::)dizisi de X-kabul edilebilirdir ve böylece daha küçük terimleri içeren (an)n2I2 dizisinin X-kabul edilebilirli¼gi elde edilir.
Lemma 4.1.4 E¼ger (an)n2I dizisi X-kabul edilebilir ve sonsuza ¬raksak ise her k 2 N için (an)n2Ik , X-kabul edilebilir olacak biçimde I = S
k2N
Ik kümesinin iki¸serli ayr¬k sonsuz çoklukta elemana sahip altkümelerine bir parçalan¬¸s¬ vard¬r (Kadets vd. 2010).
Ispat.· Lemma 4.1.3’den hem (an)n2I1 hem de (an)n2J1 dizileri X-kabul edilebilir olacak ¸sekilde I = I1 [ J1 kümesinin sonsuz çoklukta elemana sahip ayr¬k iki alt- kümesine parçalan¬¸s¬ vard¬r. Tekrar ayn¬ lemmay¬ kullan¬rsak (an)n2I2 ve (an)n2J2 dizileri X-kabul edilebilir olacak ¸sekilde J1 = I2 [ J2 kümesinin parçalan¬¸s¬n¬ elde ederiz. Benzer ¸sekilde her bir ad¬mda Jk kümesini parçalayarak her k 2 N için (an)n2Ik dizileri X-kabul edilebilir olacak ¸sekilde herbiri sonsuz çoklukta elemana sahip iki¸serli ayr¬k (Ik) dizisi elde edilir. E¼ger I = S
k2N
Ik gerçeklenmiyor ise I
’n¬n geriye kalan tüm elemalar¬n¬I1 kümesine ekleyerek I kümesinin bir parçalan¬¸s¬
bulunur. Bu durumda ispat tamamlan¬r.
Teorem 4.1.1 (X;k:k) ayr¬labilir sonsuz boyutlu bir Banach uzay¬, a = (an)n2N , X-kabul edilebilir bir dizi ve an ! 1 olsun. Bu durumda tüm n 2 N için kynk = an gerçeklenecek ¸sekilde zay¬f yo¼gun bir (yn)n2N dizisi vard¬r (Kadets vd. 2010).
Ispat.· Lemma 4.1.4’den a = (an)n2N dizisi her biri X-kabul edilebilir olan (an)n2Ik (8k 2 N) dizilerine parçalanabilir. X uzay¬ayr¬labilir oldu¼gundan yo¼gun bir (xk)k2N dizisi seçelim. Lemma 4.1.2’ den her bir (an)n2Ik uygulan¬rsa zay¬f de¼gme noktas¬
xk olan ve her n 2 Ik için kynk = an gerçeklenecek ¸sekilde bir (yn)n2Ik dizisi elde edilir. Böylece N = S
k2N
Ik oldu¼gundan (yn) dizisi tan¬mlanabilir. A := fxk : k 2 Ng ve B := fyn : n2 Ng olmak üzere A = X ve A Bw oldu¼gunu biliyoruz. O halde (yn)n2N dizisi zay¬f yo¼gundur.
4.2 Zay¬f Süzgeç Yak¬nsakl¬k ve F-Geçerlilik
Bu kesimde süzgeç yak¬nsakl¬k kavram¬ verilecek ve sonras¬nda süzgeç ile ideale ili¸skin kavramlar tan¬t¬lacakt¬r.
Tan¬m 4.2.1 (Süzgeç) N do¼gal say¬lar kümesi üzerinde bir F süzgeci a¸sa¼g¬daki aksiyomlar¬sa¼glayan N ’nin altkümelerinin bo¸s olmayan bir s¬n¬f¬d¬r:
i) ? =2 F
ii) 8K; L 2 F için K \ L 2 F
iii) 8K 2 F için K L iken L 2 F gerçeklenmesidir
N üzerinde bir F süzgeci verildi¼ginde süzgecin elemanlar¬n¬n tümleyenlerinden N üzerinde IF =fNnA : A 2 Fg idealini elde ederiz. Kar¸s¬t olarak verilen bir a¸sikar olmayan I idealine kar¸s¬l¬k FI = fNnA : A 2 Ig süzgeci bulunur. IF idealinin elemanlar¬F-önemsiz olarak ifade edilir (Kadets vd. 2010).
Tan¬m 4.2.2 (Süzgeç Yak¬nsakl¬k) (Z; ) bir topolojik uzay, F, Z üzerinde bir süzgeç, (zn), Z ’de bir dizi ve z 2 Z olsun. z ’in her U kom¸sulu¼gu için
fn 2 N : zn 2 Ug 2 F
ise (zn) dizisi z eleman¬na F-yak¬nsak (süzgeç yak¬nsak) olarak adland¬r¬l¬r ve F- lim zn = z veya zn ! z (F) ile ifade edilir (Kadets vd. 2010).
K¬saca F-lim zn = z gerçeklenmesi için gerek ve yeter ko¸sul 8U 2 U(z) için fn 2 N : zn 2 Ug 2 F gerçeklenmesidir.
Tan¬m 4.2.3 (Zay¬f Süzgeç Yak¬nsakl¬k) (Z;k:k) normlu uzay, F,Z üzerinde bir süzgeç, (zn), Z ’de bir dizi ve z 2 Z olsun. z ’in her zay¬f U kom¸sulu¼gu için fn 2 N : zn 2 Ug 2 F ise (zn) dizisi z eleman¬na zay¬f F-yak¬nsakt¬r (zay¬f süzgeç yak¬nsakl¬k) denir ve F-lim zn = z(w) veya zn ! z (F(w)) ile gösterilir (Kadets vd. 2010).
Uyar¬4.2.1 Özel olarak ideali sonlu elemanl¬kümeleri içeren Fr Fréchet süzgeci yani
Fr =fS : NnS sonlu elemanl¬g
al¬n¬rsa bu durumda Fr-yak¬nsakl¬k ile bilinen yak¬nsakl¬k denktir.
Tan¬m 4.2.4 G 2N bir s¬n¬f olmak üzere G ’nin elemanlar¬n¬n tüm sonlu arake- sitleri bo¸s küme de¼gil ise G ’nin elemanlar¬n¬içeren bir süzgeç vard¬r.
G ’nin üretti¼gi süzgeç taban¬
H = f\ G
G2G0 :G0 G sonlu elemanl¬g kümesidir. H taban¬n¬n üretti¼gi süzgeç
FGH =fA : B A 3 9B 2 Hg
ile verilir. Bu süzgeç G ’nin tüm elemanlar¬n¬içeren en küçük süzgeç olup bu süzgece G taraf¬ndan üretilen süzgeç denir(Kadets vd. 2010).
Tan¬m 4.2.5 E¼ger N üzerideki bir F süzgeci Fr Fréchet süzgecini içeriyorsa bu süzgece serbest süzgeç denir (Kadets vd. 2010).
Buradaki tüm süzgeçlerin serbest süzgeç oldu¼gu kabul edilecektir. Böylece her yak¬n- sak dizi ayn¬zamanda F-yak¬nsak olur.
Tan¬m 4.2.6 A N ve F, N üzerinde bir süzgeç olsun. E¼ger 8F 2 F için A \ F 6= ?
ise A kümesine F-duragan denir.Tüm F-duragan kümelerin s¬n¬f¬F ile gösterile- cektir (Kadets vd. 2010).
Uyar¬ 4.2.2 A 2 F gerçeklenmesi için gerek ve yeter ko¸sul A =2 IF gerçeklen- mesidir. Gerçekten de A 2 F olsun. Kabul edelim ki A 2 IF gerçeklensin. Bu durumda NnA 2 F olup bu ise A ’n¬n F-duragan olmas¬ile çeli¸sir.
Kar¸s¬t olarak A =2 IF olsun. Kabul edelim ki A =2 F gerçeklensin. Bu ise en az bir F 2 F için A \ F = ? olmas¬demektir.O halde A NnF 2 IF olup bu ise A =2 IF
olmas¬ile çeli¸sir.
Tan¬m 4.2.7F, N üzerinde bir süzgeç olsun. J 2 F olmak üzere fA \ J : A 2 Fg s¬n¬f¬na J üzerinde F süzgecinin izi denir (ayr¬ca bu s¬n¬f J üzerinde bir süzgeçtir).
J üzerindeki F ’nin izi taraf¬ndan üretilen N üzerindeki süzgeç F(J) ile gösterilir.
Böylece F F(J) olur (Kadets vd. 2010).
Uyar¬4.2.3 N do¼gal say¬lar kümesinin herhangi bir altkümesi ya F süzgecinin bir eleman¬veya IF idealinin eleman¬ya da küme ve tümleyeni F-duragan kümelerdir.
A¸sa¼g¬daki teorem F-yak¬nsakl¬k için bir karakterizasyon verir:
Teorem 4.2.1 (X; ) bir topolojik uzay, F, N üzerinde bir süzgeç, (xn), X ’de bir dizi ve x 2 X olsun. Bu durumda a¸sa¼g¬daki ko¸sullar denktir:
i) F-lim xn = x ;
ii) Her J 2 F için F(J)-lim xn= x ;
iii) Her J 2 F için x, (xn)n2J dizisinin bir de¼gme noktas¬d¬r (Cascales Salinas vd.
2007).
Ispat (i· )ii) F-lim xn = x olsun.Yani her U 2 U(x) için fn 2 N : xn 2 Ug 2 F ve ayr¬ca her J 2 F için F F(J) oldu¼gundan F(J)-lim xn = x gerçeklenir.
(ii)iii) Key… bir J 2 F için F(J)-lim xn = x olsun.Yani her U 2 U(x) için fn 2 N : xn2 Ug 2 F(J) ve ayr¬ca F(J) süzgeç oldu¼gundan fn 2 N : xn2 Ug 6= ?
olup en az bir n0 2 J için xn0 2 U elde edilir.O halde x, (xn)n2J dizinin bir de¼gme noktas¬d¬r.
(iii)i) F-lim xn 6= x olsun.Yani bir U 2 U(x) bulunur öyleki her A 2 F için bir j 2 A bulunur ve xj 2 U olur.O halde J = fj 2 N : x= j 2 Ug olmak üzere her A 2 F= için A \ J 6= ? olup J 2 F ve x, (xn)n2J dizisinin bir de¼gme noktas¬de¼gildir.
Tan¬m 4.2.8 (F-Geçerlilik) F, N üzerinde bir süzgeç ve (an) pozitif reel terimli bir dizi olsun. E¼ger H Hilbert uzay¬n¬n zay¬f topolojisinde F-lim zn = 0 ve tüm n 2 N için kznk = an gerçeklenecek ¸sekilde H ’da (zn) dizisi varsa (an) dizisine F-geçerli denir (Kadets vd. 2010).
F-geçerlili¼gi karakterize etmek için Teorem 2.4.3’ ün a¸sa¼g¬da ispats¬z olarak vere- ce¼gimiz benzerine ihtiyaç duyaca¼g¬z.
Teorem 4.2.2 H bir Hilbert uzay, (an) R+ ve (en), H ’nin ortonormal taban¬
olsun.Bu durumda a¸sa¼g¬daki ifadeler denktir:
i)Bir zay¬f de¼gme noktas¬ olan ve tüm n 2 N için kxnk = an gerçeklenecek ¸sekilde H ’da bir (xn) dizisi mevcuttur;
ii)(anen) dizisinin bir zay¬f de¼gme noktas¬ d¬r;
iii)P1
n=1
an2 =1 (Kadets 2004).
¸Simdi bu bölümün as¬l sonucu olan F-geçerlili¼gin karakterizasyonu verilebilir:
Teorem 4.2.3 H bir Hilbert uzay¬, F, N üzerinde bir süzgeç, (an) R+ ve (en), H ’nin ortonormal taban¬olsun.A¸sa¼g¬daki ifadeler denktir:
1) (an)dizisi F-geçerli ;
2) H ’nin zay¬f topolojisinde F-lim anen= 0 ; 3) Her J 2 F için P
n2J
an2 =1 ; 4) Her J N için, e¼ger P
n2J
an2 <1 ise J 2 IF gerçeklenir (Kadets vd. 2010).
Ispat (1· )3) H Hilbert uzay¬n¬n zay¬f topolojisinde F-lim xn = 0 ve tüm n 2 N için kxnk = an gerçeklenecek ¸sekilde H ’da (xn) dizisi var olsun.Teorem 4.2.1’den
