Ayk¬r¬(Singüler) Sturm-Liouville Sistemleri:

Ayk¬r¬(Singüler) Sturm-Liouville Sistemleri:

E¼ ger bir Sturm-Liouville sisteminde a¸ sa¼ g¬daki durumlardan herhangi biri varsa, o sisteme ayk¬r¬

Sturm-Liouville sistemi denir.

1) Tan¬m aral¬¼ g¬yar¬sonsuz ya da sonsuzdur.

2) p(x) ya da s(x) fonksiyonlar¬verilen aral¬kta s¬f¬r yerlerine (köklere) sahiptir.

3) Aral¬k sonludur fakat katsay¬lardan en az biri aral¬¼ g¬n uçlar¬ndan birinde veya her ikisinde sonsuz olur.

Örnek 1.

d dx x dy

dx +

x y = 0 ; 0 < x < 1 y(1) = 0

x ! 0 ⁺ için y sonlu

ayk¬r¬Sturm-Liouville sistemini göz önüne alal¬m. Bu sistem için p(x) = x ve s(x) = 1

x olmak üzere lim

x!0

s(x) = lim

x!0

1

x = 1 oldu¼ gundan verilen sistem bir ayk¬r¬Sturm-Liouville sistemidir.

> 0 için karakteristik denklemin kökleri r 1;2 = i p

olup verilen denklemin genel çözümü

y(x) = c 1 cos p

ln x + c 2 sin p ln x

¸ seklinde bulunur. Verilen ¸ sartlar uyguland¬¼ g¬nda c 2 6= 0 olmas¬durumunda özde¼ gerler varolup, bu özde¼ gerlere kar¸ s¬l¬k gelen özfonksiyonlar ise (x) = sin p

ln x ¸ seklinde bulunur.

Örnek 2.

d dx

dy

dx + y = 0 y(0) = 0

x ! 1 için y ve y ⁰ sonlu

ayk¬r¬Sturm-Liouville sistemine ait bütün özde¼ ger ve özfonksiyonlar¬bulunuz.

Çözüm: Bu sistem için tan¬m aral¬¼ g¬[0; 1) oldu¼ gundan yar¬sonsuzdur. Dolay¬s¬yla verilen sistem bir ayk¬r¬Sturm-Liouville sistemidir. Verilen ifadenin karakteristik denklemi r ² + = 0 dan r 1;2 = p

d¬r.

i) > 0 olsun. Bu durumda denklemin kökleri r 1;2 = i p

olup verilen denklemin genel

1

çözümü

y(x) = c ₁ cos p

x + c ₂ sin p x dir. y(0) = 0 ise c 1 = 0 d¬r. Böylece

y(x) = c ₂ sin p

x ve y ⁰ (x) = c ₂ p

cos p x

olmak üzere

x!1 lim jy(x)j < 1 ise lim

x!1 c ₂ sin p

x < 1 olmal¬d¬r. Bu durum her c 2 için sa¼ glan¬r.

x!1 lim jy ⁰ (x) j < 1 ise lim

x!1 c ₂ p

cos p

x < 1

olmal¬d¬r. Bu durum da her c 2 için sa¼ glan¬r. Dolay¬s¬yla c 2 6= 0 için > 0 özde¼ gerler varolup, bu özde¼ gerlere kar¸ s¬l¬k gelen özfonksiyonlar ise (x) = sin p

x ¸ seklinde bulunur.

ii) = 0 olsun. Bu durumda denklemin kökleri r 1;2 = 0 olup verilen denklemin genel çözümü

y(x) = c ₁ + c ₂ x

dir. y(0) = 0 ise c 1 = 0 d¬r. Böylece

y(x) = c ₂ x ve y ⁰ (x) = c ₂

olmak üzere

x!1 lim jy(x)j < 1 ise lim

x!1 jc ² x j < 1 olmal¬d¬r. Bu durum sadece c 2 = 0 için sa¼ glan¬r.

x!1 lim jy ⁰ (x) j < 1 ise lim

x!1 jc ² j < 1

olmal¬d¬r. Bu durum da her c 2 için sa¼ glan¬r. Dolay¬s¬yla c 2 = 0 d¬r. A¸ sikar çözüm elde edildi¼ ginden = 0 için özde¼ ger ve özfonksiyon yoktur.

iii) < 0 olsun. Bu durumda yine benzer i¸ slemler yap¬l¬rsa < 0 için özde¼ ger ve özfonksiyon

2

olmad¬¼ g¬görülür.

Sal¬n¬ml¬Çözümler:

L [y] = d

dx p(x) dy

dx + q(x)y = 0 denklemi ve

a ₁ y(a) + a ₂ y ⁰ (a) = 0 b ₁ y(b) + b ₂ y ⁰ (b) = 0

s¬n¬r ko¸ sullar¬ile verilen homogen bir s¬n¬r de¼ ger probleminin herhangi bir y(x) çözümü [a; b]

aral¬¼ g¬nda en az iki s¬f¬r yerine sahip ise y(x) e sistemin [a; b] de bir sal¬n¬ml¬çözümü denir.

3