1 Top Dengeleyen Mekanizma Bileşenleri
“Acrome Top Dengeleyen Mekanizma”nın temel parçaları aşağıda gösterilmektedir.
Şekil 1.1: Bileşenler: 1. Güç Dağıtım Kutusu 2. NI myRIO 3. RC Servomotorlar 4. Çelik Top 5. Rezistif Dokunmatik Ekran ve Kontrolörü
1.1 RC Servomotorlar 1.1.1 Genel Bakış
RC servomotorlar dönel hareketi elektrik sinyaline dönüştüren elektromanyetik cihazlardır. RC servomotorlar kullanıcılara kontrol ve robotik uygulamaları için basit ve kullanışlı çözümler sunar.
Şekil 1.2: RC Servomotor
RC servomotorlar mekaniksel olarak birçok parçadan oluşur:
Kontrolör: Devre kontrol sinyalinin okunmasından ve motorun bu sinyallere göre kontrol edilmesinden sorumludur (PWM (Pulse Width Modulation - Darbe Genişlik Modülasyonu) sinyali – PWM sinyali hakkında daha detaylı bilgi için Bölüm 2’ye bakınız). Kontrolör devresine bakılarak servomotorun dijital veya analog olduğu belirlenebilir. Analog servolar 50 Hz frekansa kadar sinyali işleyebilmektedir. Dijital servolar ise PWM sinyalini 330 Hz frekansa kadar işleyebilir. Bu fark, motorlara daha fazla tork sağlar. Ek olarak; dijital servoların yönü ve ölü bandı değiştirilebilir. Genellikle; dijital servolar analog servolara göre maliyet ve güç tüketimi açısından daha avantajlıdır.
Potansiyometre: Ana milin pozisyon geribildirimi potansiyometre tarafından sağlanmaktadır.
Potansiyometre tahrik miline bağlıdır ve milin rotasyon hareketi potansiyometrede farklı direnç okunmasına neden olur. Kontrolör ise bu direnç değerlerini okuyarak tahrik milinin açısını verir.
Motor: Servoların motorları, kontrol devrelerinde bulunan H-köprüleri tarafından kontrol edilen yaygın olarak kullanılan yüksek hızlı DC motorlardır.
Dişli Kutusu: Dişli seti, tahrik mili ile motor arasında bulunur. Motorun devrini düzenler ve motorun daha düşük hareket hızında ve daha yüksek torkta dönmesini sağlar.
Tahrik Mili: Tahrik mili tüm sistemin çıkışıdır. İstenilen açı değerine dönen komponenttir.
Konnektör: Konnektörler genellikle “+”, “-“ ve “sinyal” olmak üzere 3 pine sahiptir. Bu sinyaller kontrolöre iletilir. Konnektörler, üreticiye bağlı olarak farklı renk kodlarına sahip olabilir.
Şekil 1.3: RC Servo Bileşenleri 1.1.2 Çalışma Prensibi
Servonun kapalı çevrim kontrol sistemi sürekli giriş sinyali gerektirir. Servonun çalışması birkaç temel adımla açıklanabilir:
1. Kontrolör, PWM giriş sinyalini çözer ve açıya karşılık düşen bir gerilime dönüştürür.
2. Kontrolör, potansiyometrenin voltaj değerlerini okur ve mil pozisyonunu belirler.
3. Kontrolör, giriş ve potansiyometre gerilimi arasındaki farktan hatayı hesaplar.
4. Kontrolör hatayı H-köprü çıktısına dönüştürür.
Şekil 1.4: RC Servo Kapalı Çevrim Blok Diyagramı
1.2 Rezistif Dokunmatik Ekran ve Kontrolörü
Pozisyon geri beslemesi 17 inç 4 bağlantılı dokunmatik ekran ile sağlanır. Dokunmatik ekran, temel olarak dirençler tarafından üretilen bir voltaj gradyenine sahip iki tabakadan oluşur. Bu tabakalar birbirinden hava boşluğu ile ayrılır. İki tabakaya basıldığında, her bir tabakaya bölünen gerilim, bu gerilimleri ekran koordinatlarına çeviren dokunmatik ekran kontrolörü tarafından okunur.
Top Dengeleyen Mekanizma üzerinde bulunan dokunmatik ekran, dijital kontrolörü ile 100 Hz'ye kadar konum verisi okuyabilir ve bu sayede çok daha düzgün bir konum geri beslemesi elde edilir.
1.3 NI myRIO
myRIO, kullanıcıların robotik ve mekatronik sistemleri tasarlamasına ve kontrol etmesine olanak tanıyan taşınabilir gömülü bir sistemdir.
Şekil 1.5: NI myRIO
myRIO'nun analog girişler (AI), analog çıkışlar (AO), dijital girişler ve çıkışlar (DIO), ses ve güç çıkışları, ivmeölçer ve LED'ler olmak üzere birçok portu ve sensörü bulunmaktadır. Ayrıca myRIO, ana bilgisayar ve kablosuz 802.11.bgn olarak kullanılabilen USB bağlantı noktasına da sahiptir.
myRIO, FPGA (Field Programmable Gate Array -Alanda Programlanabilir Kapı Dizileri) modülü ile diğer mikrokontrolörlerden farklıdır. FPGA modülü sayesinde 25 nanosaniye döngü süresi ile çok hızlı I/O işlemlerini mümkün kılar. FPGA modülü, 667 MHz 2 çekirdekli bir uygulama işlemcisi üzerinde çalışan LabVIEW Real-time OS ile birlikte çalışır.
Şekil 1.6: myRIO Portları ve Donanımları
1.4 ACROME Güç Dağıtım Kutusu
İki adet RC servo motor ve myRIO bağlantıları Şekil 1.7'de gösterilen ACROME Güç Dağıtım Kutusu’na yerleştirilmiştir. Ayrıca RGB led ve anahtar modu regülatörlerine sahiptir.
Şekil 1.7: ACROME Güç Dağıtım Kutusu
1.5 Top Dengeleyen Mekanizma Mekanik Aksam
Masa düzlemi döner eklemler ile iki eksende (x,y) serbestçe hareket eder. Servomotorlar bu iki düzleme bağlıdır ve hareketi çubuk uç yatakları vasıtasıyla verir.
4 Sistem Modelleme
Top Dengeleme Sistemi’nin fiziksel modeli Şekil 4.1'de gösterilmektedir. Model, Top Dengelemeyen Mekanizma’nın kinematik sistemini açıklamaktadır. Fiziksel modele göre, sistemin eyleyicileri (x motoru ve y motoru), sistemin tabanına sıkıca tutturulmuştur. Motorlar, masaya iki serbestlik dereceli hareketi sağlayan hareketli mafsallar ile bağlıdır. Masa, ayrıca sabit mafsallar üzerinden sistemin tabanına bağlanmıştır. Fiziksel model, sistemin matematiksel modeli için gerekli olan bağlantı parametrelerini de gösterir. Bu parametreler aşağıda da açıklanmıştır:
Şekil 4.1: Top Dengeleyen Mekanizma’nın Fiziksel Modeli
Tablo 4.1:Top Dengeleyen Mekanizma Parametreleri
Semboller Tanım Değer Birim
𝑳𝒙 Masanın x ekseni uzunluğu 0.134 [m]
𝑳𝒚 Masanın y ekseni uzunluğu 0.168 [m]
𝒓𝑴 Motor Kol Uzunluğu 0.0245 [m]
𝒓𝒃 Topun Yarıçapı 0.02 [m]
𝒎𝒃 Topun Ağırlığı 0.26 [kg]
𝑱𝒃 Topun Eylemsizlik Momenti 0.0000416 [kg*m2]
𝒈 Yerçekimi ivmesi 9.81 [m/s2]
𝜶 Masanın X ekseni Açısı (Değişken) [derece]
𝜷 Masanın Y ekseni Açısı (Değişken) [derece]
𝒙 X Ekseni Motor Açısı (Değişken) [derece]
𝒚 Y Ekseni Motor Açısı (Değişken) [derece]
Sistem modelini elde etmeden önce aşağıdaki varsayımların dikkate alınması gerekir:
Sistemin modeli, top-masa temasının herhangi bir koşulda kaybolmadığını varsayar. Bir başka önemli varsayım, topun kaymadan masanın üzerinde yuvarlanacağıdır. Modeli basitleştirmek için ayrıca tüm sürtünme kuvvetleri ve oluşan torklar ihmal edilir.
Şekil 4.2:Serbest Cisim Diyagramı
4.1 Lineer Olmayan Hareket Denklemi
Modellemenin ilk adımı hareket denklemininin elde edilmesidir. Hareket denklemi, topun iki eksendeki (x, y) hareketi ile masanın iki açısı (α, β) arasındaki ilişkiyi tanımlar. Bir sonraki bölümde, hareket denklemi iki farklı yöntemle elde edilecektir.
4.1.1 Lagrangian Method
Lagrangian Yöntemi, hareket denklemini sistemin kinetik ve potansiyel enerjisinden yararlanarak türetir. Lagrangian Yöntemi, genelde birden fazla serbestlik derecesine sahip olan karmaşık sistemler için kullanışlı bir yöntemdir. Lagrange Denklemi:
𝜕
𝜕𝑡(𝜕𝐿
𝜕𝑥̇) −𝜕𝐿
𝜕𝑥= 0 (4.1)
L (Lagrangian), sistemin kinetik ve potansiyel enerjisi arasındaki farktır.
𝐿 = 𝐸𝑘𝑖𝑛− 𝐸𝑝𝑜𝑡 (4.2)
Dolayısıyla, hareket denklemini türetmek için sistemin kinetik ve potansiyel enerjisi elde edilmelidir. Yuvarlanan bir topun toplam kinetik enerjisi (kaymadan) şu şekilde tanımlanabilir:
𝐸𝑘𝑖𝑛= 𝐸𝑘𝑖𝑛,𝑇+ 𝐸𝑘𝑖𝑛,𝑅=1
2𝑚𝑏𝑣𝑏2+1
2𝐽𝑏𝜔𝑏2 (4.3)
𝐸𝑘𝑖𝑛,𝑇 sistemin ötelenme kinetik enerjisi ve 𝐸𝑘𝑖𝑛,𝑅 dönel kinetik enerjisidir.
𝐸𝑘𝑖𝑛,𝑇=1
2𝑚𝑏𝑣𝑏2=1
2𝑚𝑏(𝑥̇𝑏2+ 𝑦̇𝑏2) (4.4) 𝐸𝑘𝑖𝑛,𝑅=1
2𝐽𝑏𝜔𝑏2=1 2𝐽𝑏𝑣𝑏2
𝑟𝑏2=1
2𝐽𝑏(𝑥̇𝑏2+ 𝑦̇𝑏2)
𝑟𝑏2 (4.4)
Böylece,
𝐸𝑘𝑖𝑛=1
2𝑚𝑏(𝑥̇𝑏2+ 𝑦̇𝑏2) +1
2𝐽𝑏(𝑥̇𝑏2+ 𝑦̇𝑏2) 𝑟𝑏2 =1
2(𝑚𝑏+𝐽𝑏
𝑟𝑏2) (𝑥̇𝑏2+ 𝑦̇𝑏2) (4.6) Verilen masa açıları için topun potansiyel enerjisi şu şekilde tanımlanabilir:
𝐸𝑝𝑜𝑡= 𝑚𝑏𝑔ℎ𝑏= −𝑚𝑏𝑔𝑥𝑏sin(𝛼) − 𝑚𝑏𝑔𝑦𝑏sin(𝛽) (4.7) Buradan, Lagrangian şu şekilde hesaplanır:
𝐿 = 𝐸𝑘𝑖𝑛− 𝐸𝑝𝑜𝑡=1
2(𝑚𝑏+𝐽𝑏
𝑟𝑏2) (𝑥̇𝑏2+ 𝑦̇𝑏2) + 𝑚𝑏𝑔𝑥𝑏sin(𝛼) + 𝑚𝑏𝑔𝑦𝑏sin(𝛽) (4.8) Denklem 4.1'in x’e göre kısmi türevi şöyledir:
𝜕
𝜕𝑡(𝜕𝐿
𝜕𝑥̇) = 𝜕
𝜕𝑡((𝑚𝑏+𝐽𝑏
𝑟𝑏2) 𝑥̇𝑏) = (𝑚𝑏+𝐽𝑏
𝑟𝑏2) 𝑥̈𝑏 (4.9)
𝜕𝐿
𝜕𝑥= 𝑚𝑏𝑔 sin(𝛼)
(4.10)
Böylece x yönü için hareketin diferansiyel denklemi şöyle elde edilir:
(𝑚𝑏+𝐽𝑏
𝑟𝑏2) 𝑥̈𝑏− 𝑚𝑏𝑔 sin(𝛼) = 0 (4.11)
Denklem 𝑥̈𝑏 için çözülürse, x ekseni için hareket denklemi elde edilir:
𝑥̈𝑏= 𝑚𝑏𝑔𝑟𝑏2
𝑚𝑏𝑟𝑏2+ 𝐽𝑏sin(𝛼) (4.12)
Aynı yöntem y ekseni için uygulanırsa, bu eksen için de hareket denklemi elde edilir:
𝑦̈𝑏= 𝑚𝑏𝑔𝑟𝑏2
𝑚𝑏𝑟𝑏2+ 𝐽𝑏sin(𝛽) (4.13)
4.1.2 Newton Hareket Denklemi
Newton'un Hareket Kanunu'nu uygulamak için sistem iki hareket moduna (x ve y yönündeki hareket) ayrıştırılmalıdır. Newton'un Hareket Kanunu'na göre, sistemin x- doğrultusundaki hareketi göz önünde bulundurulursa, top üzerinde etki eden kuvvetlerin toplamı:
∑ 𝐹 = 𝑚𝑏𝑑2𝑥𝑏 𝑑𝑡2
(4.14) Sistemde sürtünme ve viskoz sürtünme bulunmadığı varsayımı ile, topa etki eden kuvvetler şu şekilde tanımlanabilir:
∑ 𝐹 = 𝐹𝑥,𝑡− 𝐹𝑥,𝑟 (4.15)
Şekil 4.3: Serbest Cisim Diyagramı
𝐹𝑥,𝑡 yerçekimi nedeniyle topa etki eden kuvvettir:
𝐹𝑥,𝑡= 𝑚𝑔 sin(𝛼) (4.16)
𝐹𝑥,𝑟 topun dönüşü nedeniyle topa etki eden kuvvettir. Topun dönüşünden dolayı oluşan tork:
𝑇 = 𝐹𝑥,𝑟𝑟𝑏=𝐽𝑏
𝑟𝑏𝑥̈𝑏 𝐹𝑥,𝑟=𝐽𝑏
𝑟𝑏2𝑥̈𝑏 (4.17)
Böylece,
𝑚𝑏𝑥̈𝑏= 𝑚𝑏𝑔 sin(𝛼) −𝐽𝑏
𝑟𝑏2𝑥̈𝑏
(4.18)
Denklem 𝑥̈𝑏 için çözülürse, x ekseni için hareket denklemi elde edilir:
𝑥̈𝑏= 𝑚𝑏𝑔𝑟𝑏2
𝑚𝑏𝑟𝑏2+ 𝐽𝑏sin(𝛼) (4.19)
Aynı yöntem y ekseni için uygulanırsa, bu eksenin de hareket denklemi elde edilir:
𝑦̈𝑏= 𝑚𝑏𝑔𝑟𝑏2 𝑚𝑏𝑟𝑏2+ 𝐽𝑏
sin(𝛽) (4.20)
Denklem (4.1) ve (4.18) 'den görülebileceği gibi, aynı varsayımlar altında her iki yöntem için elde edilen hareket denklemleri aynıdır.
4.2 Top Dengeleyen Mekanizma’nın Modellenmesi
Modellemenin amacı, bir sistemin giriş ve çıkışları arasındaki fiziksel ilişkiyi elde etmektir.
Bu sistemde, çıkışlar topun x ve y yönündeki koordinatlarıdır(𝑥𝑏, 𝑦𝑏) ve girişler ise Şekil 4.4'te görülebileceği üzere iki eksendeki motor açılarıdır (𝜗𝑥, 𝜗𝑦).
Şekil 4.4: Motor açıları ve Masa Açıları Arasındaki İlişki Şekil 4.4 ayrıca şunları göstermektedir:
sin(𝜗𝑥)𝑟𝑀= sin(𝛼)𝐿𝑥= ℎ (4.21)
Böylece x eksenindeki masa ile motor açısı arasındaki aşağıdaki ilişki elde edilebilir:
sin(𝛼) =𝑟𝑀
𝐿𝑥sin(𝜗𝑥) (4.22)
Y ekseni için:
sin(𝛽) =𝑟𝑀
𝐿𝑦sin(𝜗𝑦) (4.23)
Denklem 4.19 ve 4.20'de bulunan sin(𝛼) ve sin(𝛽) terimleri yerine Denklem 4.22 ve Denklem 4.23 yazılarak sistemin giriş ve çıkışları arasındaki ilişkiyi tanımlayan diferansiyel denklemler elde edilir:
𝑥̈𝑏= 𝑚𝑏𝑔𝑟𝑏2𝑟𝑀
(𝑚𝑏𝑟𝑏2+ 𝐽𝑏)𝐿𝑥sin(𝜗𝑥) (4.24) 𝑦̈𝑏= 𝑚𝑏𝑔𝑟𝑏2𝑟𝑀
(𝑚𝑏𝑟𝑏2+ 𝐽𝑏)𝐿𝑦sin(𝜗𝑦) (4.25)
4.2.1 Çalışma Noktası Etrafında Lineerleştirme
Sistemin transfer fonksiyonunu elde etmek için, diferansiyel denklemler çalışma noktası (x = 0, y = 0) etrafında lineerleştirilmelidir. Küçük açılar için aşağıdaki ifade yazılabilir:
sin(𝜗𝑥) ≈ 𝜗𝑥, sin(𝜗𝑦) ≈ 𝜗𝑦 (4.26)
Böylece Denklem 4.24 ve 4.25 aşağıdaki şekilde yeniden yazılabilir:
𝑥̈𝑏= 𝑚𝑏𝑔𝑟𝑏2𝑟𝑀
(𝑚𝑏𝑟𝑏2+ 𝐽𝑏)𝐿𝑥𝜗𝑥= 𝐾𝐵𝐵𝑇,𝑋𝜗𝑥 (4.27) 𝑦̈𝑏= 𝑚𝑏𝑔𝑟𝑏2𝑟𝑀
(𝑚𝑏𝑟𝑏2+ 𝐽𝑏)𝐿𝑦𝜗𝑦= 𝐾𝐵𝐵𝑇,𝑌𝜗𝑦 (4.28) Tablo 4.1'de listelenen değerler Denklem 4.27 ve 4.28’de yerine yazılırsa 𝐾𝐵𝐵𝑇,𝑋 ve 𝐾𝐵𝐵𝑇,𝑌 sırasıyla 1 ve 1.255 olarak hesaplanabilir.
4.2.2 Sistemin Transfer Fonksiyonunun Elde Edilmesi
Denklem 4.27 ve 4.28'de görüldüğü gibi, iki eksendeki hareket ayrı ayrı incelenebilir.
Sistemin x eksenindeki diferansiyel denklemi:
𝑥̈𝑏= 𝐾𝐵𝐵𝑇,𝑋𝜗𝑥 (4.29)
Denklem 4.29’un Laplace dönüşümü alınırsa aşağıdaki ifade elde edilir:
𝑠2𝑋𝑏(𝑠) = 𝐾𝐵𝐵𝑇,𝑋𝜗𝑥(𝑠) (4.30)
𝐺𝐵𝐵𝑇,𝑋(𝑠) =𝑋𝑏(𝑠)
𝜗𝑥(𝑠)=𝐾𝐵𝐵𝑇,𝑋 𝑠2 = 1
𝑠2 (4.31)
Y eksenindeki transfer fonksiyonu Denklem 4.28'e aynı adımlar uygulanarak elde edilir:
𝐺𝐵𝐵𝑇,𝑌(𝑠) =𝑋𝑏(𝑠)
𝜗𝑦(𝑠)=𝐾𝐵𝐵𝑇,𝑌
𝑠2 =1.255
𝑠2 (4.32)
4.3 Eyleyicinin Modellenmesi
Top Dengeleyen Mekanizma’nın eyleyicisi servomotorlardır. Bir servomotor için birinci dereceden transfer fonksiyonu aşağıdaki gibidir:
𝐺𝑀(𝑠) = 𝜗(𝑠) 𝑉𝑚(𝑠)= 𝐾𝑀
𝜏𝑠 + 1 (4.33)
𝐾𝑀 sistemin kazancı ve 𝜏 ise zaman sabitidir. Top Dengeleyen Mekanizma için 𝐾𝑀=100 ve 𝜏=0.01 olarak hesaplanmıştır. Bu değerler yerine konulursa servo motor için transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir.
𝐺𝑀(𝑠) = 100 0.01𝑠 + 1
(4.34)
4.4 Top Dengeleyen Mekanizma’nın Kaskad Yapısı
Top dengeleyen Mekanizma’nın Şekil 4.5'te gösterilen iç ve dış döngü içeren kaskad bir yapıya sahiptir.
Şekil 4.5: Top Dengeleyen Mekanizma’nın Blok Diyagramı
İç döngü, birim geri beslemeli kapalı çevrim sistemidir ve servomotorun konum kontrolü bu döngüde yapılır. Top Dengeleyen Mekanizma’nın servomotoru, dokunmatik ekranın altına yerleştirilen kontrolörü sayesinde konumunu kontrol eder. İç döngüde motor çok kısa bir sürede sürekli hale ulaşır. Bu nedenle, iç döngü birinci mertebeden transfer fonksiyonu olarak elde edilebilir. İç döngünün indirgenmesi sonucu elde edilen yeni blok diyagram aşağıdaki gibidir:
Şekil 4.6: İndirgenmiş Blok Diyagram
Sistem ve eyleyici için transfer fonksiyonları bir önceki bölümde elde edilmişti. Bu transfer fonksiyonları yukarıdaki blok diyagramda x ve y eksenleri için yerine yazılırsa aşağıdaki blok diyagramlar elde edilir:
Şekil 4.7: X Ekseni için Blok Diyagram
Şekil 4.8: Y Ekseni için Blok Diyagram
Dış döngü için yapılacak kontrolör tasarımı Bölüm 6'da ayrıntılı olarak açıklanacaktır.
5 Performans Kriterleri
Basamak giriş uygulanan ikinci dereceden sistemler için performans ölçütleri tanımlanır.
Farklı performans ölçütleri, sistemlerin dinamikleri göz önüne alınarak belirlenir. Performans ölçütlerine bağlı olarak sönüm oranı (𝜉) ve doğal frekans (𝜔n) Bölüm 5.1'deki formüllerle hesaplanabilir. Ayrıca, eğer sönüm oranı ve doğal frekans biliniyorsa, performans ölçütleri de hesaplanabilir. Bu bölümde, tüm parametreler açıklanacaktır.
5.1 Yüzde Aşım, Yerleşme Zamanı, Tepe Zamanı ve Sürekli Hal Hatası
5.1.1 Sönüm Oranı (𝜉)
Bir sisteme basamak giriş uygulandığında, sistem sönüm oranına bağlı olarak bir aşım yapar. Sönüm oranı ve sistem cevabı ilişkisi Tablo 5.1’de görülebilir. Yüzde aşım değeri kullanılarak (percentage overshoot - PO) sönüm oranı hesaplanabilir. Sönüm oranı ve yüzde aşım arasındaki matematiksel denklem aşağıdadır:
𝜉 = −ln (𝑃𝑂/100)
√𝜋2+ (ln (𝑃𝑂/100))2 5.1.2 Doğal Frekans (𝜔n)
Sönüm oranı sıfırkensistemin salınım frekansı doğal frekansı verir. Doğal frekans, yerleşme zamanı ve tepe zamanı kullanılarak hesaplanabilir.
5.1.3 Yüzde Aşım
Kararlı bir sistem için aşım, sistemin maksimum çıkış değeri ile sürekli hal değeri arasındaki farktır. Yüzde aşım ise aşımın sürekli haldeki değere bölünmesi ve 100 ile çarpılması ile elde edilir. Yüzde aşım basamak giriş yanıtından ve sönüm oranı formülünden olmak üzere iki şekilde hesaplanabilir.
𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒 𝑂𝑣𝑒𝑟𝑠ℎ𝑜𝑜𝑡 = 100 ∗𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑂𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 𝑉𝑎𝑙𝑢𝑒 − 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑂𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 𝑉𝑎𝑙𝑢𝑒 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑂𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 𝑉𝑎𝑙𝑢𝑒
= 100 ∗ 𝑒
−𝜉𝜋
√1−𝜉2
Tablo 5.1: Sönüm Oranı, Sistem Davranışı ve Sistem Cevabı
Sönüm Oranı (𝜉) Sistem Davranışı Basamak Giriş ve Sistem Cevabı
𝜉 <0 Kararsız
𝜉 =0 Sönümsüz
0< 𝜉<1 Az Sönümlü
𝜉=1 Kritik Sönümlü
1< 𝜉 Aşırı Sönümlü
5.1.4 Tepe Zamanı (tp)
Tepe zamanı, basamak girişinin uygulanmasından sistemin maksimum değerine ulaşana kadar geçen zaman olarak tanımlanır. Aşırı sönümlü sistemler için tepe zamanı tanımlanmamıştır. Tepe zamanı, sönümleme oranı ve doğal frekans biliniyorsa aşağıdaki formül kullanılarak da hesaplanabilir.
𝑡𝑝= 𝜋
𝜔𝑛∗ √1 − 𝜉2 5.1.5 Yerleşme Zamanı (ts)
Yerleşme zamanı, girişin uygulandığı andan sistem cevabının son değerinin (sürekli haldeki değeri) % 98 veya % 95'ine ulaştığı an arasındaki zaman farkı olarak tanımlanır. Sistem cevabının %98’ine ulaşması kontrolde %2’lik band olarak tanımlanır. Benzer şekilde %95’ine ulaşması ise %5’lik band olarak tanımlanır. Bu deney föyünde yer alan bundan sonraki hesaplamalar için % 2 lik band kullanılacaktır. Yerleşme zamanı, tepe zamanında olduğu gibi sönüm oranı ve doğal frekans biliniyorsa aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
𝑡𝑠= 4 𝜉 ∗ 𝜔𝑛 5.1.6 Sürekli Hal Hatası
Sürekli hal hatası, referans giriş ile son cevap değeri arasındaki farktır. Çoğu zaman, sistem cevabı referans girişine oturmaz ve sürekli hal hatası olarak tanımlanan istenmeyen bir durum oluşur. Sistem sürekli hal hatasına sahipse, sisteme integratör içeren bir kontrolör yapısı uygulanarak sürekli hal hatası giderilebilir.
Şekil 5.1: Aşım, Yerleşme Zamanı, Tepe Zamanı ve Sürekli Hal Hatası İkinci dereceden sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonu aşağıda verilmiştir:
𝐾𝜔𝑛2 𝑠2+ 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 Aşım
Sürekli Hal Hatası
Tepe
Zamanı Yerleşme
Zamanı
Sistem cevabının sürekli haldeki değeri, s değerinin limitte sıfıra götürülmesi ile elde edilir.
Yukarıdaki transfer fonksiyonuna göre, birim basamak giriş için sistem cevabının sürekli haldeki değeri "K" dır.
6.7 PID Kontrolör
Lineer olmayan uygulamalarda bile çalışma noktaları etrafında yapılan lineerleştirmeler ile PID kontrolör kullanılmaktadır. Non-lineer kontrolör tasarımları karmaşık ve sistmeme uygulanlamaları zordur bu nedenle sistem nonlineer olsa bile PID kontrolör tercih edilir.
Kontrolör, sisteme iki sıfır ve bir kutup ekler. Temel olarak, kontrolör kapalı çevrim kutuplarını istenilen şekilde konumlandırır. Bununla birlikte, PI kontrolör gibi, PID kontrolör genellikle konum kontrolü için doğru bir sonuç vermez. Kapalı çevrim sistem, Top Dengeleyen Mekanizma’nın integratör içermesinde dolayı çok küçük bir kazanç aralığında kararlı olabilir.
PID kontrolör için blok diyagramlar aşağıda gösterilmiştir:
Şekil 6.19: PID Kontrolör ile Kapalı Çevrim Sistemi
Şekil 6.20:Akademik PID Kontrolör ile Kapalı Çevrim Sistemin X Eksenindeki Blok Diyagramı
Şekil 6.21:Akademik PID Kontrolör ile Kapalı Çevrim Sistemin Y Eksenindeki Blok Diyagramı Paralel PID kontrolörün parametreleri birbirinden bağımsız olarak arttırılırsa, Tablo 6.1 performans kriterlerinin değişimini göstermektedir.
Tablo 6.1: PID Parametrelerinin Değişimine Karşılık Performans Kriterleri Değişimi PID Parametreleri Tepe Zamanı Aşım Yerleşme Zamanı Sürekli Hal Hatası
𝐾𝑝 Azalır Artar Az değişim Azalır
𝐾𝑖 Azalır Artar Artar Yok eder
𝐾𝑑 Az değişim Azalır Azalır Etki etmez
6.7.1 PID Kontrolör ile Örnek Tasarım
Y-ekseninde, sürekli hal hatası olmaksızın % 5'lik aşım ve 3 saniye yerleşme zamanını sağlayan bir PID kontrolör tasarlanacaktır. Kontrolörün integratör terimi sayesinde, zaten sürekli hal hatası oluşmayacaktır. İlk olarak, kapalı çevrim transfer fonksiyonu ve karakteristik polinomu Şekil 6.21'den elde edilmiştir:
𝑇(𝑠) =𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)= 𝐹(𝑠) ∗ 𝐺𝑀(𝑠) ∗ 𝐺𝐵𝐵𝑇,𝑦(𝑠) 1 + 𝐹(𝑠) ∗ 𝐺𝑀(𝑠) ∗ 𝐺𝐵𝐵𝑇,𝑦(𝑠)
= 125𝐾𝑐(𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠2+ 𝑇𝑖𝑠 + 1)
0.01𝑇𝑖𝑠4+ 𝑇𝑖𝑠3+ 125𝐾𝑐(𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠2+ 𝑇𝑖𝑠 + 1) 𝑃𝑐(𝑠) = 0.01𝑇𝑖𝑠4+ 𝑇𝑖𝑠3+ 125𝐾𝑐𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠2+ 125𝐾𝑐𝑇𝑖𝑠 + 125𝐾𝑐
İkinci olarak, 𝜉 ve 𝜔n istenen performnas kriterlerinden hesaplanmıştır:
𝜉 = −ln (𝑃𝑂)
√𝜋2+ (ln (𝑃𝑂)2= −ln (0.05)
√𝜋2+ (ln (0.05)2= 0.69
𝜔𝑛= 4
𝜉 ∗ 𝑡𝑠= 4
0.7797 ∗ 3= 1.932
Residü polinomu (𝑎𝑠2+ 𝑏𝑠 + 𝑐) olarak seçilmiş ve bunun soucunda istenen karakteristik polinom elde edilmiştir:
𝑃𝐷(𝑠) = (𝑎𝑠2+ 𝑏𝑠 + 𝑐)(𝑠2+ 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2) = (𝑎𝑠2+ 𝑏𝑠 + 𝑐)(𝑠2+ 8𝑠 + 26.3185) Son olarak, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝐾𝑐, 𝑇𝑖 ve 𝑇𝑑 parametreleri tasarlanan ve istenen karakteristik polinomların katsayıları eşitlenerek aşağıdaki gibi elde edilmiştir:
𝑎 = 0.00866 𝑏 = 0.8433 𝑐 = 5.5463 𝐾𝑐= 0.1656 𝑇𝑖= 0.8664 𝑇𝑑= 0.4364 Bu kontrolör parametreleri ile birim basamak giriş için sistemin simülasyon cevabı Şekil 6.22’de gösterilmiştir.
Şekil 6.22: Y Ekseni için Birim Basamak Giriş ve Simülasyon Cevabı
Aşım %25.15 ve yerleşme zamanı 1.14 saniyedir. Kapalı çevrim sistem beklenen aşım değerini sağlayamamıştır. PID kontrolör tasarımı daha önceden de bahsedildiği üzere Top
Dengeleyen Mekanizma gibi itegratör içeren sistemler için tercih edilmemektedir. PV ve PD kontrolör ile kıyaslandığında aşım ve yerleşme zamanı daha yüksek değerlere sahiptir.
Şekil 6.23: Y Ekseni için PV Kontrolör ile Gerçek Sistem, Simülasyon ve Basamak Giriş Grafikleri 6.7.2 Uygulama:
1. Açık çevrim sistemin derecesini bulunuz.
2. PID kontrolör ile kapalı çevrim transfer fonksiyonunu bulunuz.
3. Sistemin karakteristik polinomunu elde ediniz.
4. Verilen performans kriterleri için sönüm oranını ve doğal frekansı hesaplayın. (Aşım ≤
%10 ve Yerleşme Zamanı ≤ 5 s).
5. İstenen karakteristik polinomu bir önceki adımda elde edilen kriterler ile elde edin.
Uygun bir residü polinomu seçin.
6. Adım 3 ve Adım 5'de elde ettiğiniz polinomların katsayılarını eşitleyin ve kontrolör parametrelerini bulun.
Blok diagramı Şekil 6.20'de gösterilen X eksenindeki PID kontrolör tasarımı için aşağıdaki soruları cevaplayın. Bu uygulama için "6.7 BBT PID Controller Design.vi" programını kullanınız.
7. Sistemin kontrolörden sonraki derecesi nedir? Değişti mi?
8. Tasarlanan PID kontrolör ile kapalı çevrim sistemin basamak cevabını çizdirin. Kapalı çevrim sistem kararlı mıdır?
9. Sürekli hal hatası kaçtır?
10. Tasarladığınız kontrolörü "6.7 BBT PID Controller Design.vi" programını kullanarak simülasyon ve gerçek sisteme uygulayın. Simülasyonun ve gerçek sistemin basamak yanıtlarını karşılaştırın. Sonuçlar tutarlı mıdır?
