Sezgisel bulanık normlu uzaylarda tanımlanan bazı yakınsaklık çeşitleri

SEZGİSEL BULANIK NORMLU UZAYLARDA TANIMLANAN BAZI YAKINSAKLIK ÇEŞİTLERİ

DOKTORA TEZİ

Esra KAMBER

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK

Enstitü Bilim Dalı : FONKSİYONLAR TEORİSİ VE FONKSİYONEL ANALİZ

Tez Danışmanı : Doç. Dr. Selma ALTUNDAĞ

Ocak 2017

i

TEŞEKKÜR

Doktora eğitimim boyunca değerli bilgi ve deneyimlerinden yararlandığım, her konuda bilgi ve desteğini almaktan çekinmediğim, teşvik eden, aynı titizlikte beni yönlendiren değerli danışman hocam sayın Doç. Dr. Selma ALTUNDAĞ’a teşekkür ederim.

Beni ve kardeşlerimi bugünlere getirme adına hiçbir fedakârlıktan kaçınmayan anneme ve babama teşekkür ederim.

Annemin ve babamın yetiştirilmesinde ve büyütülmesinde en büyük payı olan anneanneme ve Hüseyin dedeme, babaanneme ve rahmetli Nuri dedeme çok teşekkür ederim.

Doktora eğitimim boyunca hep yanımda olan Hamide anneme ve Ömer babama teşekkür ederim.

Eşim Mehmet Rıfat Kamber’e hayat yolunda yaşadığım tüm zorluklarda beni yalnız bırakmadığı ve bana destek olduğu için teşekkür ederim.

Ayrıca, bu çalışmanın maddi açıdan desteklenmesine olanak sağlayan TÜBİTAK’a teşekkür ederim.

ii

İÇİNDEKİLER

TEŞEKKÜR...………... i

İÇİNDEKİLER…..………... ii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ…..……… iv

ÖZET.……….……. v

SUMMARY………. vi

BÖLÜM 1. GİRİŞ…...……… 1

BÖLÜM 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER...……… 4

2.1. Normlu Lineer Uzaylar……….………... 4

2.2. İstatistiksel Yakınsak Dizi Uzayları………. 6

2.3. Sezgisel Bulanık Normlu Lineer Uzaylar... 22

2.4. Sezgisel Bulanık n-Normlu Lineer Uzaylar………. 28

BÖLÜM 3. SEZGİSEL BULANIK NORMLU LİNEER UZAYLARDA BAZI YAKINSAKLIK ÇEŞİTLERİ ……… 33

3.1. Sezgisel Bulanık Normlu Lineer Uzaylarda Ağırlıklı İstatistiksel Yakınsaklık ………..………. 33 3.2. Sezgisel Bulanık Normlu Lineer Uzaylarda Genelleştirilmiş Ağırlıklı

İstatistiksel Yakınsaklık ………

3.3. Sezgisel Bulanık Normlu Lineer Uzaylarda Ağırlıklı Lacunary

İstatistiksel Yakınsaklık ………..…

45

54

iii

SEZGİSEL BULANIK n-NORMLU LİNEER UZAYLARDA

LACUNARY İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK…...………. 71

4.1. Sezgisel Bulanık n-Normlu Lineer Uzaylarda Lacunary ∆- İstatistiksel Yakınsaklık ………...………...………. 71

BÖLÜM 5.

SONUÇLAR VE ÖNERİLER ………... 87

KAYNAKLAR ………... 89

ÖZGEÇMİŞ ………... 95

∆-

iv

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ

: Doğal sayılar kümesi : Reel sayılar kümesi : Lacunary dizisi

: Boş küme

( )

^K

δ

^{: K} kümesinin doğal yoğunluğu

( )

N K

δ

^{: K} kümesinin ağırlıklı yoğunluğu ( )_{N ,θ}

( )

^K

δ

( )_{N ,λ}

( )

^K

δ

: K

kümesinin ağırlıklı lacunary yoğunluğu : K

kümesinin ağırlıklı

λ

-^yoğunluğu

∗

F

: t-norm : t-conorm

: Reel veya kompleks sayılar cismi

(

^{X , .}

)

: Normlu lineer uzay

(

^{X , , , ,}

^{µ υ}

^∗

)

lim x

( )

^{N , p -lim x=L}

: Sezgisel bulanık normlu lineer uzay : →∞ k

k

lim x

:

( )

xk dizisi L noktasına

( )

^{N , p -}toplanabilirdir.

ℕ

ℝ

( )

^kr

θ

=

∅

v

ÖZET

Anahtar kelimeler: Bulanık küme, sezgisel bulanık küme, sezgisel bulanık normlu lineer uzay, ağırlıklı istatistiksel yakınsaklık, mutlak toplanabilirlik, lacunary dizisi.

“Sezgisel bulanık normlu uzaylarda tanımlanan bazı yakınsaklık çeşitleri” isimli bu tez çalışması beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, normlu lineer uzaylarda tanımlanan bazı yakınsaklık çeşitleri hakkında kısa bir özet verildi. İkinci bölümde, diğer bölümlerde kullanılacak olan temel tanım ve teoremlere değinildi.

Üçüncü bölümde, ilk olarak, sezgisel bulanık normlu lineer uzaylarda

( )

^{N , p -}

toplanabilirlik ve ağırlıklı istatistiksel yakınsaklık kavramları verildi ve bu kavramlar arasındaki bağıntılar incelendi. Ardından, sezgisel bulanık normlu lineer uzaylarda

(

^{N , pλ}

)

^-toplanabilme ve genelleştirilmiş ağırlıklı istatistiksel yakınsaklık kavramları tanımlandı ve bu kavramlarla ilgili bazı teoremler ispat edildi. Son olarak, sezgisel bulanık normlu lineer uzaylarda

(

^{N , p ,r}

^θ )

^-toplanabilirlik ve ağırlıklı lacunary istatistiksel yakınsaklık kavramları tanımlandı ve bu kavramların bazı özellikleri incelendi.

Dördüncü bölümde ise fark dizisi ve lacunary istatistiksel yakınsaklık kavramları birleştirilerek sezgisel bulanık n-normlu lineer uzaylarda lacunary ∆-istatistiksel yakınsak dizi ve lacunary ∆-istatistiksel Cauchy dizi tanımları verildi ve bu kavramlarla ilgili bazı teoremler ispat edildi.

Son bölümde ise bazı genel sonuçlar ve araştırma problemleri verildi.

vi

SOME CONVERGENCE TYPES DEFINED IN INTUITIONISTIC FUZZY NORMED SPACES

SUMMARY

Keywords: Fuzzy set, intuitionistic fuzzy set, intuitionistic fuzzy normed linear space, weighted statistical convergence, strong summability, lacunary sequence.

This thesis which is entitled “Some convergence types defined in intuitionistic fuzzy normed spaces”consists of five sections. In the first section, a short abstract is given about some convergence types defined in normed linear spaces. In the second section, some basic definitions and theorems which will be used in the later sections are given.

In the third section, firstly, definitions of

( )

^{N , p -}summability and weighted statistical convergence in intuitionistic fuzzy normed linear spaces are given and some relations between these concepts are investigated. After, concepts of

(

^{N , pλ}

)

^-

summability and generalized weighted statistical convergence in intuitionistic fuzzy normed linear spaces are introduced and some theorems related to these concepts are proved. Lastly, the concepts of

(

^{N , p ,r}

^θ )

^-summability and weighted lacunary statistical convergence in intuitionistic fuzzy normed linear spaces are introduced and some properties of these concepts are investigated.

In the fourth section, by combining the concepts of difference sequence and lacunary statistical convergence, definitions of lacunary ∆-statistical convergence sequence and lacunary ∆-statistical Cauchy sequence are given in intuitionistic fuzzy n-normed linear spaces and some theorems related to these concepts are given.

In the last section, some general conclusions and some investigation problems were given.

BÖLÜM 1. GİRİŞ

Aristo mantığında gelişen matematikte olaylar evet-hayır, beyaz-siyah, artı-eksi, 0-1 gibi ikili mantık ilkesine dayandırılarak çözüme kavuşturulmuştur. Buna rağmen günlük hayatta karşımıza çıkan havanın sıcak olması, kekin pişip pişmemesi, bir bireyin boyunun uzunluğu gibi durumlar kesinlik arzetmediği için Aristo mantığı bir süre sonra pek çok problemin çözümünde yetersiz kalmıştır.

1965 yılında Zadeh [1] tarafından yayınlanan makalede belirsizlik kavramından ilk defa söz edilmiş ve bu belirsizlik kavramının doğrultusunda bulanık mantığın temeli olan bulanık küme teorisi tanımlanmıştır. Aristo mantığına göre bir eleman bir kümeye ait olma veya ait olmama durumuna göre tanımlanırken, bulanık mantığa göre verilen bulanık küme tanımında “bir eleman bir kümeye belli bir dereceye kadar ait olabilir” görüşü hâkimdir. Bulanık küme tanımında yapılan bu derecelendirme değer kümesi

[ ]

^{0 1,} olan üyelik fonksiyonu ile verilmektedir.

Zadeh tarafından tanımlanan bulanık mantık Batı’da büyük bir tepkiyle karşılanmıştır. Doğu’da ise ilkin buhar makinesinde, çimento fabrikasının sıcaklık kontrolünde bulanık mantık kullanılmaya başlanmıştır. Günümüzde ise, cep telefonu, klima, asansör, fotokopi makinesi, elektrik süpürgesi gibi pek çok aletin yapımında bulanık mantıktan faydalanılmaktadır. Bulanık mantık ayrıca nonlineer dinamik sistemler [2], popülâsyon dinamiği [3], kuantum fiziği [4] gibi mühendisliğin farklı alanlarına uygulanmış; ayrıca metrik ve topolojik uzaylar [5-7], fonksiyonlar teorisi [8,9] ve yaklaşım teorisi [10] gibi matematiğin pek çok alanına da ışık tutmuştur.

Atanassov [11], 1986 yılında sezgisel bulanık küme tanımını vererek bulanık küme kavramını genelleştirmiş ve böylece sezgisel bulanık mantığın temellerini atmıştır.

Karar verme problemlerinde [12] ve e^∞-teorisinde [13] sezgisel bulanık küme tanımından faydalanılmıştır. Park [14], Saadati ve Park [15] ve Vijayabalaji ve arkadaşları [16] tarafından sezgisel bulanık küme tanımı, norm ve conorm işlemcileri de kullanılarak, sırasıyla, sezgisel bulanık metrik uzay, sezgisel bulanık normlu lineer uzay ve sezgisel bulanık n-normlu lineer uzay tanımlarının verilmesiyle sezgisel bulanık mantık teorisi, fonksiyonel analizde önemli bir uygulama alanı haline gelmiştir.

Fonksiyonel analizde önemli yeri olan bir diğer alan, istatistiksel yakınsaklık teorisi olup, 1951 yılında Stenhaus [17] ve Fast [18] tarafından ortaya atılmıştır. İstatistiksel yakınsaklık kavramı Fourier analizi, ergodik teorisi ve sayılar teorisine uygulanmıştır. İstatistiksel yakınsaklığın toplanabilme teorisiyle olan ilişkisi Schoenberg [19], Šalát [20], Connor [21,22], Fridy [23], Fridy ve Miller [24], Fridy ve Orhan [25] ve Mursaleen [27] tarafından araştırılmıştır. Ayrıca son yıllarda Mursaleen ve ark. [26], Belen ve Mohiuddine [28], Bilgin [29], Karakaya ve Chisti [31] ve Başarır ve Konca [32] tarafından çeşitli istatistiksel yakınsaklık metodları tanımlanmış ve bu metodların bazı toplanabilme metodlarıyla olan ilişkileri araştırılmıştır. Bununla beraber Başarır [30], Karakuş [33], Mursaleen [34], Hazarika [35] ve Altundağ [36] tarafından istatistiksel yakınsaklık çeşitli şekillerde çalışılmıştır.

Karakuş ve ark. [37] ve Sen ve Debnath [38] tarafından, sırasıyla, istatistiksel yakınsaklığın sezgisel bulanık normlu lineer uzaylarda ve sezgisel bulanık n-normlu lineer uzaylarda tanımlanmasının ardından Savaş ve Gürdal [39,55], Savaş [40,41], Debnath [42] ve Hazarika ve ark. [43] tarafından sezgisel bulanık normlu lineer uzaylarda çeşitli istatistiksel yakınsaklık metodları ve toplanabilme metodları tanımlanmıştır. Dahası, Mursaleen ve Mohiuddine [44,46], Sen ve Debnath [45], Thillaigovindan ve ark. [47], Karakaya ve ark. [48-50], Altundağ ve Kamber [51], Alghamdi ve ark. [52], Mohiuddine ve Lohani [53] ve Kumar ve Mursaleen [54]

tarafından istatistiksel yakınsaklık çeşitli şekillerde sezgisel bulanık mantık teorisine uygulanmıştır.

Bu çalışmada, sezgisel bulanık normlu lineer uzaylarda ağırlıklı istatistiksel yakınsaklık, ağırlıklı lacunary istatistiksel yakınsaklık ve genelleştirilmiş ağırlıklı istatistiksel yakınsaklık kavramları verilmiş ve bu kavramların, sırasıyla, sezgisel bulanık normlu lineer uzaylarda

( )

^{N , p -}toplanabilme,

(

^{N , p ,r}

^θ )

^-toplanabilme ve

(

^{N , pλ}

)

^-toplanabilme metodlarıyla ilişkileri incelenmiştir. Ayrıca fark dizisi kullanılarak sezgisel bulanık n-normlu lineer uzaylarda -∆ yakınsaklık, lacunary -∆ istatistiksel yakınsaklık kavramları ile ∆-Cauchy ve lacunary ∆-istatistiksel Cauchy dizileri kavramları verilerek, verilen bu tanımlar arasındaki ilişkileri inceleyen teoremler ifade ve ispat edilmiştir.

BÖLÜM 2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER

2.1. Normlu Lineer Uzaylar

Tanım 2.1.1. X boş olmayan bir küme ve F , reel veya kompleks sayılar cismi olsun.

( )

: X X X

x, y x y

+ × →

→ +

( )

: F X X

x, y x.y

⋅ × →

→

ikili işlem olmak üzere x, y, z∀ ∈X ve ∀α β, ∈F^için,

1. x+ = +y y x,

2. x+ + = + +(y z) (x y) z,

3. ∀ ∈x X için x+ = +θ θ x olacak şekilde bir θ∈X vardır.

4. ∀ ∈x X için ^{x+ − =}

( )

^x

^θ

olacak şekilde bir

( )

^{− ∈x X vardır.}

5. 1.x=x,

6.

^α

^{. x}

(

^+y

)

⁼

^α

^.x+

^α

^.y,

7.

( ^{α β}

⁺

)

^.x=

^α

^.x+

^β

^.x,

8.

(

^{α β.}

)

^{.x=α β.}

( )

^.x

özelliklerini sağlıyorsa X kümesine F cismi üzerinde lineer (vektör) uzay denir [56].

Tanım 2.1.2. X, F cismi üzerinde bir lineer uzay ve R de X ’in bir alt kümesi olsun. x y, ∈R _ve

α β

, ∈F olmak üzere

α

x+

β

y∈R ise R’ye X ’in lineer alt uzayı denir [56].

Tanım 2.1.3. X, F cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. . : X →ℝ fonksiyonu, x, y X

∀ ∈ ve ∀ ∈α F için,

1. x ≥0,

2. x ≥ ⇔ =0 x 0, 3. αx = α x , 4. x+y ≤ x + y

özelliklerini sağlıyorsa . fonksiyonuna X üzerinde bir norm ve

(

^{X , .}

)

ikilisine de normlu lineer uzay veya normlu uzay denir [56].

Tanım 2.1.4.

(

^{X , .}

)

bir normlu lineer uzay ve x=

( )

xn de X uzayında bir dizi olsun. Eğer ∀ >ε 0 için n≥n₀ olduğunda x_n− <L

ε

olacak şekilde bir

( )

0 0

n =n

ε

∈ℕ sayısı varsa x=

( )

xn ^dizisi L∈X noktasına yakınsıyor denir.

( )

ⁿ

x= x

dizisi L∈X noktasına yakınsaksa _n

n

lim x L

→∞ = veya x_n →L

şeklinde yazılır [56].

Tanım 2.1.5.

(

^{X , .}

)

bir normlu lineer uzay ve x=

( )

xn ^de X uzayında bir dizi olsun. Eğer ∀ >ε 0 için n,m≥n⁰ olduğunda x_n−x_m <

ε

olacak şekilde bir

( )

0 0

n =n

ε

∈ℕ

sayısı varsa x=

( )

xn

dizisine bir Cauchy dizisi denir [56].

Tanım 2.1.6.

(

^{X , .}

)

normlu lineer uzayında her Cauchy dizisi yakınsaksa bu normlu lineer uzaya tam normlu lineer uzay veya Banach uzayı denir [56].

Örnek 2.1.7. ^x=

( )

^xn şeklindeki reel veya kompleks terimli bütün dizilerden oluşan uzay w ile gösterilsin. ^x=

( )

^{xn , y=}

( )

^{yn ∈w ve}

^α

bir sabit sayı olmak üzere

x^{+ =}y

(

xn⁺yn

)

α

x=

( ) α

xn

şeklinde tanımlanan işlemler altında w bir lineer uzaydır. İyi bilinen c , c, l_{0 ∞} dizi uzayları sırasıyla, sıfıra yakınsayan diziler uzayı, yakınsak diziler uzayı ve sınırlı diziler uzayı wdizi uzayının alt uzayıdır ve _k

k

x _∞ sup x

= ∈ ℕ

normuyla birer Banach uzayıdırlar [56].

2.2. İstatistiksel Yakınsak Dizi Uzayları

İlk olarak toplanabilme teorisine temel teşkil eden bazı tanımlar ve dönüşümler verilecektir. Daha sonra, önceden tanımlanmış olan bazı istatistiksel yakınsaklık metodları ve toplanabilme metodları verilecek; bu metodlar arasındaki ilişkileri inceleyen bazı teoremlere kısaca değinilecektir.

Tanım 2.2.1. F reel veya kompleks sayılar cismi olsun. n,k=0 1 2, , ,.... ^için ank∈F olmak üzere bir A=

( )

ank sonsuz matrisi verilsin. Bu takdirde

( )

xn

dizisinden

( )

tn dizisine bir dönüşüm

0

n nk k

k

t a x

∞

=

=

∑

(2.1)

olarak tanımlansın.

( )

^{tn dizisine}

( )

^{xn dizisinin A} dönüşüm dizisi ve ’ya diziden diziye bir dönüşüm denir. Bu dönüşümün mevcut olması için (2.1) ile verilen toplamın ∀ ∈n ℕ için yakınsak olması gerekir [56].

A

Tanım 2.2.2. n,k

∈ℕ

olmak üzere ^A=

( )

^ank

matrisi verilsin. Eğer A matrisiyle oluşturulan dönüşüm yakınsak her diziyi yakınsak bir diziye dönüştürüyor ve aynı zamanda limiti koruyorsa A matrisine regülerdir denir [58].

Toplanabilme teorisinde önemli bir yer teşkil eden Silverman-Toeplitz teoremi bir matrisin regüler olabilmesi için gerek ve yeter şartları verir.

Teorem 2.2.3. n,k

∈ℕ

olmak üzere A=

( )

ank

matrisinin regüler olabilmesi için gerek ve yeter şartlar

1. ∀ ∈n ℕ

için

0 nk k

a M

∞

=

∑

≤ olacak şekilde n doğal sayısından bağımsız bir M pozitif reel sayısının bulunmasıdır.

2.

0 nk 1

n k

lim a ,

∞

→∞ =

∑

= 3. ∀ ∈k ℕ

için _nk 0

nlim a

→∞ =

olmasıdır [58].

Tanım 2.2.4.

( )

xn dizisinin A=

( )

ank matrisi yardımıyla oluşturulan dönüşüm dizisi (2.1) şeklinde tanımlansın. Eğer _n

nlim t L

→∞ =

ise

( )

xn dizisine L noktasına A -toplanabilirdir denir [58].

Tanım 2.2.5.

( )

xn dizisinin A=

( )

ank matrisi yardımıyla oluşturulan dönüşüm dizisi (2.1) şeklinde tanımlansın. Eğer ₁

1

n n

n

t t

∞

= −

− < ∞

∑

ise

( )

^xn dizisine mutlak -

A toplanabilirdir (veya A-toplanabilirdir) denir [59].

Tanım 2.2.6.

( )

^xn dizisinin matris elemanları

( )

¹¹

0



≤

=



+



>



nk

, k n

a n

, k n

ile verilen A=

( )

ank matrisi yardımıyla elde edilen

( ) σ

n dönüşüm dizisi

0

1 1

n

n k

k

n ₌ x

= +

∑

σ

(2.2)

olarak tanımlansın. Bu şekilde tanımlanan ortalamaya Cesáro ortalaması veya kısaca

( )

^C,1 ortalaması denir. Eğer _n

nlim L

→∞σ = ise

( )

^{xn dizisi L} noktasına

( )

^{C ,1 -}

toplanabilirdir denir [58].

Tanım 2.2.7.

( ) σ

n ,

(2.2) ile tanımlanmak üzere, eğer

1 0

∞

σ σ

= −

− < ∞

∑

n n n

ise

( )

^xn

dizisi L noktasına mutlak

( )

^{C ,1 -}toplanabilirdir (veya C ,1 - toplanabilirdir) denir ve tez boyunca limx ile _k

k

lim x

→∞ gösterilmek üzere, bu durum 1 -

C , lim x

=

L ile gösterilmektedir. C ,1 -toplanabilir dizilerin uzayı ise C,1 ile gösterilmektedir [60].

Tanım 2.2.8. ℕ doğal sayılar kümesini göstersin. K⊆ℕ ve ^{Kn =}

{

^{k ≤n k: ∈K}

}

kümesi verilsin. , K kümesinin eleman sayısını göstersin. Eğer limit mevcutsa _n

( )

^K _n^{lim1 Kn}

δ n

= →∞ ile tanımlı değere K kümesinin doğal yoğunluğu denir [63].

K kümesi sonlu elemanlı bir küme ise ^δ

( )

^{K =0} olduğu açıktır. ^δ

( )

^{K =0 ise K}

kümesine sıfır yoğunluklu küme denir. Doğal sayıların her bir sonlu alt kümesi sıfır yoğunlukludur. Ayrıca ^δ

( )

^{ℕ =1} olduğu kolaylıkla gösterilebilir. Bir A kümesi

yoğunluğuna sahip ise ^δ

(

^{ℕ / A}

)

^{= −1 δ}

( )

^{A dır.}

Yoğunluğu sıfır olan küme tanımından yola çıkarak istatistiksel yakınsaklık tanımı aşağıdaki şekilde verilebilir.

Tanım 2.2.9. ^x=

( )

^xk bir kompleks sayı dizisi olsun. Eğer her

ε

>0 ^için

{ }

(

^{k∈ℕ: xk − ≥L}

)

⁼⁰

δ ε

yani,

{ }

1 : _j 0

n

lim j n x L

n ε

→∞ ≤ − ≥ =

ise x=

( )

xk dizisine L noktasına istatistiksel yakınsaktır denir ve S -lim x=L veya

( )

xk →L S ile gösterilecektir. İstatistiksel yakınsak dizilerin uzayı S ile gösterilir [17,18].

Tanımdan da anlaşıldığı gibi, eğer x dizisi L noktasına istatistiksel yakınsak ise, L noktasının herhangi bir

ε

komşuluğunda dizinin sonsuz çoklukta terimi bulunurken bu komşuluğun dışında, dizinin indis kümesinin yoğunluğu sıfır olmak üzere, dizinin sonsuz çoklukta terimi bulunabilir. Bu ise istatistiksel yakınsaklığın adi

Kn

( )

^A

δ

yakınsaklıktan daha genel olduğunu göstermektedir; fakat bu önermenin karşıtı her zaman doğru değildir. Bununla ilgili olarak aşağıdaki örnek verilebilir.

Örnek 2.2.10. m

∈

ℕ olmak üzere x

= ( )

xk dizisi

2 2

1, 0,



=

=





≠

k

k m

x k m

şeklinde tanımlansın. Bu dizi adi anlamda yakınsak değildir. Fakat her

ε >

0 için

{ } ^{{ }}

0≤ k ≤n: x_k ≥ε ≤ k ≤n x: _k ≠0 ≤ n

olduğundan

{ } { }

1 1

0 : _k : _k 0

n n n

lim k n x lim k n x lim n

n ε n n

→∞ →∞ →∞

≤ ≤ ≥ ≤ ≤ ≠ ≤

bulunur. Böylece S -lim x=0 elde edilir [23].

Teorem 2.2.11. x=

( )

xk ^ve y=

( )

yk istatistiksel yakınsak diziler ve

α β

, _skaler değerler olmak üzere

1. ^{S- lim}

(

^αx+βy

)

^{=α. S- lim x}

( )

^{+β. S- lim y}

( )

^,

2. ^{S- lim xy}

( )

⁼

(

^{S- lim x}

)(

^{S- lim y}

)

^,

3. k∈ℕ

ve

( )

Txk = xk₊1 olmak üzere ^{S- lim x=S- lim Tx}

( )

dir [62].

Teorem 2.2.12. Bir reel sayı dizisinin istatistiksel limiti varsa tektir [62].

Tanım 2.2.13.

^θ

⁼

( )

^kr pozitif tamsayıların bir dizisi olmak üzere

1. k₀ =0,

2. 0<k_r <k_r+1, (2.3) 3. r → ∞ için h_r = −k_r k_r−1→ ∞

şartlarını sağlasın. Bu durumda θ dizisine bir lacunary dizisi denir. θ ile belirlenen aralıklar I_r =

(

k_r−1,k_r

]

ile

1 r r

k

k ₋ oranı q_r ile gösterilmektedir. K⊆ℕ olsun. Limit mevcutsa

( )

¹

{

r ^:

}

r r

K lim k I k K

θ h

δ = →∞ ∈ ∈

sayısına K kümesinin lacunary yoğunluğu denir [25].

Tanım 2.2.14. θ =

( )

kr bir lacunary dizisi olsun. Eğer her

ε

>0 ^için

{ }

(

^{k : xk L}

)

⁰

δ

θ ∈ℕ − ≥

ε

=

yani,

{ }

1 _r : _k 0

r r

lim k I x L

h

ε

→∞ ∈ − ≥ =

ise x=

( )

xk dizisi L noktasına lacunary istatistiksel yakınsaktır (veya S_θ- yakınsaktır) denir ve S -lim x_θ = L veya xk →L S

( )

_θ ile, lacunary istatistiksel yakınsak dizilerin uzayı S_θ ile gösterilmektedir [25].

Tanım 2.2.15. θ

bir lacunary dizisi olsun. Eğer

1 0

r

r k r k I

lim x L

→∞h ∈

∑

− =

oluyorsa x=

( )

xk ^dizisi L noktasına mutlak lacunary yakınsaktır denir ve w -lim x_θ =L veya ^{xk →L w}

( )

^θ ile, mutlak lacunary yakınsak dizilerin uzayı w_θ ile gösterilmektedir [25].

Teorem 2.2.16.

θ

bir lacunary dizisi ve l_∞ sınırlı diziler uzayı olsun. O halde aşağıdaki şartlar sağlanır.

1. w_θ -lim x= L ise S_θ-lim x= L ,

2. x l∈ _∞ ve S_θ-lim x= L ise w_θ -lim x=L, 3. S_θ∩ =l_∞ w_θ ∩l_∞

dir [25].

Teorem 2.2.17.

θ

bir lacunary dizisi olsun. S lim x- = L ^{iken S}_θ^{-lim x} = ^L olması için gerek ve yeter şart _r 1

r

liminf q

→∞ > olmasıdır [25].

Teorem 2.2.18.

θ

bir lacunary dizisi olsun. S_θ-lim x = L iken S lim x- = L olması için gerek ve yeter şart _r

r

lim sup q

→∞ < ∞ olmasıdır [25].

Teorem 2.2.19.

θ

bir lacunary dizisi olsun. S=S_θ olması için gerek ve yeter şart

1 _{r r}

r r

liminf q lim sup q

→∞ →∞

< ≤ < ∞ olmasıdır [25].

Teorem 2.2.19.

S ⁼ ( ) s

nk toplam matrisi,

^{∆ =}

^{( )1}

( ) ^δ

^nk

^{, ∆ =} ( ) d

nk fark operatörleri ve herhangi sabit bir

m ∈ ℕ

için

^{∆ =}

^{( )m}

( ) ^δ

^{nk( )m}

^{, m.}

dereceden fark matrisi

∀ n,k ∈ ℕ

için, sırasıyla

1 0 0

≤ ≤

=  

 >

nk

, k n

s , k n

( )

^{1 , 1}

0 , 0 1 ya da

 −



− − ≤ ≤

= ≤ < − >

n k

nk

n k n

k n k n

δ

ve

( )

^{1 , 1}

0 , 0 ya da 1

 −



− ≤ ≤ +

= ≤ < > +

n k

nk

n k n d

k n k n

şeklinde tanımlıdır [71]. Fark dizi uzayları, Kızmaz [64] tarafından

X = l ,c

_∞ ^ve

c

0 olmak üzere

^X

( )

^{∆ =}

{

^{X =}

( )

^{xk ∈w:}

(

^{xk −xk+1}

)

^∈X

}

şeklinde tanımlanmıştır. Fark dizisi ve istatistiksel yakınsaklık tanımı birleştirilerek

∆-istatistiksel yakınsaklık tanımı aşağıdaki şekilde verilmiştir.

Tanım 2.2.20. Her

ε

>0 ^için

{ }

1 : _j 0

nlim j n x L

n ε

→∞ ≤ ∆ − ≥ =

ise ^x=

( )

^{xk dizisine L} noktasına ∆-istatistiksel yakınsaktır denir ve S - lim x_∆ = L veya xk →L S

( )

_∆ ile, ∆-istatistiksel yakınsak dizilerin uzayı S_∆ ile gösterilmektedir [30].

Tanım 2.2.21. θ

bir lacunary dizisi olsun. Eğer her

ε

>0 ^için

{ }

1 _r: _j 0

r r

lim j I x L

h ε

→∞ ∈ ∆ − ≥ =

ise x=

( )

xk dizisine L noktasına lacunary ∆-istatistiksel yakınsaktır denir ve lacunary ∆-istatistiksel yakınsak dizilerin kümesi ^Sθ

( )

∆ ile gösterilmektedir [65].

Tanım 2.2.22. p=

( )

pk pozitif sayıların bir dizisi olmak üzere

1. p₀ >0, (2.4) 2. n → ∞ için

0 n

n k

k

P p

=

=

∑

→ ∞

şartlarını sağlasın.

( )

p ,n

(2.4) şartlarını sağlayacak şekilde pozitif sayıların bir dizisi olmak üzere

( )

^xn dizisinden

( )

^{un dizisine}

0

1 ⁿ

n k k

n k

u p x

P ₌

=

∑

(2.5)

ile verilen dönüşüme Riesz ortalaması veya Riesz dönüşümü (veya kısaca

( )

^{N , p}

ortalaması ya da

( )

^{N , p} dönüşümü) denir [58].

(2.5) ile tanımlanan matrisin dönüşüm elemanları

( )

0

 ≤

=

 >



k nk n

p , k n a P

, k n

şeklinde ifade edilmektedir [58].

Tanım 2.2.24.

( )

^{pn ve}

( )

^un dizileri, sırasıyla, (2.4) ve (2.5) ile tanımlansın. Eğer

n n

lim u L

→∞ = ise

( )

^{xn dizisi L} noktasına

( )

^{N , p -}toplanabilirdir denir ve

( )

^{N , p -lim x}

⁼

^L ile gösterilmektedir [61].

Tanım 2.2.25.

( )

^{p ,n} (2.4) şartlarını sağlayacak şekilde pozitif sayıların bir dizisi olsun. Eğer

1 1

n n

n

u u

∞

= −

− < ∞

∑

ise

( )

xn dizisi L noktasına mutlak

( )

^{N , p -}toplanabilirdir (veya N , p- toplanabilirdir) denir ve N , p lim x-

=

L ile gösterilir. N , p ile N , p- toplanabilir dizi uzayları gösterilmektedir [62].

Tanım 2.2.26. x =

( )

xk dizisi ve 0< < ∞q olacak şekilde bir q sayısı verilsin. Eğer

0

1 0

n q

k k

n n k

lim p x L

→∞P =

− =

∑

ise x=

( )

xk dizisi L noktasına mutlak

( )

N , p q^-toplanabilirdir (veya - N , pq

toplanabilirdir) denir [26].

Tanım 2.2.27. ^x=

( )

^xk bir kompleks sayı dizisi olsun. K⊆ℕ olmak üzere

Pn

K = { ^{k ≤ P}

ⁿ

^{: k ∈ K} }

kümesi verilsin.

Pn

K ,

Pn

K kümesinin eleman sayısını göstersin. Eğer limit mevcutsa

( )

¹ P_n

N n

n

K lim K

δ P

= →∞

ile tanımlı değere K kümesinin ağırlıklı yoğunluğu denir. Eğer her

ε

>0 ^için

{ }

(

^{: k k}

)

⁰

N k p x L

δ

∈ℕ − ≥

ε

=

yani,

{ }

1 _n: _{k k} 0

n n

lim k P p x L

P ε

→∞ ≤ − ≥ =

ise dizisi L noktasına ağırlıklı istatistiksel yakınsaktır (veya ^S_N^- yakınsaktır) denir ve S - lim x_N =L veya ^{xk →L S}

( )

^N ile gösterilmektedir [26].

Teorem 2.2.28. ∀ ∈n ℕ için Pⁿ 1

n ≥ olsun. O halde aşağıdaki şartlar sağlanır.

1. Her istatistiksel yakınsak dizi ağırlıklı istatistiksel yakınsaktır; ancak tersi doğru değildir.

2. Pⁿ n

 

 

  dizisi sınırlı ise o zaman istatistiksel yakınsaklık ağırlıklı istatistiksel yakınsaklığa denktir [26].

( )

^k

x= x

Aşağıdaki teoremde bir x=

( )

xk dizisinin S_N-yakınsaklığı ve

( )

^{N , p -}

toplanabilirliği arasındaki ilişki verilmektedir.

Teorem 2.2.29. ∀ ∈k ℕ için p x_{k k} − ≤L M olsun. Eğer S_N-lim x=L ise

( )

^{N , p -lim x=L} dir [26].

Tanım 2.2.30. ∀ ∈n ℕ için ^λ=

( )

^λn pozitif sayıların bir dizisi olmak üzere

1. λ_n+1 ≤λ_n+1,λ₁ =1,

2. 0<λ_n <λ_n+1, (2.7) 3. n→ ∞ için λ_n → ∞

şartlarını sağlasın^. In = − +

[

n

λ

n ^1,

λ

n

]

olmak üzere genelleştirilmiş de la Valée- Poussin ortalaması

1

n

n k

n k I

s x

λ

∈

=

∑

ile tanımlansın. Eğer _n

nlim s L

→∞ = ise x=

( )

xk dizisi L noktasına

(

^{V ,λ}

)

^-

toplanabilirdir denir. Eğer ∀ ∈n ℕ için λn =n olarak alınırsa

(

^{V ,λ}

)

^-toplanabilirlik kavramı Tanım 2.2.6. ile verilen

( )

^{C ,1 -}toplanabilirlik kavramına indirgenir [27].

Tanım 2.2.31.

λ

=

( ) λ

n

dizisi (2.7) şartlarını sağlamak üzere

1 0

n

n k n k I

lim x L

λ

→∞ ∈

∑

− =

oluyorsa ^x=

( )

^{xk dizisi L} noktasına mutlak

(

^{V ,λ}

)

^-toplanabilirdir (veya V ,λ- toplanabilirdir) denir ve V ,

λ

-lim x= L veya x_k →L V ,

λ

ile, bu özelliği sağlayan dizilerin kümesi V ,λ ile gösterilmektedir [27].

Tanım 2.2.32. ^x=

( )

^xk bir kompleks sayı dizisi ve

^λ

⁼

( ) ^λ

ⁿ (2.7) şartlarını sağlayan bir dizi olsun. In = − +

[

n

λ

n ^1,

λ

n

]

olmak üzere eğer limit mevcutsa

( )

¹

{

n^:

}

n n

K lim k I k K

δλ

λ

= →∞ ∈ ∈

ile tanımlı değere K kümesinin

λ

-yoğunluğu denir. Eğer her

ε

>0 ^için

{ }

(

^{k : xk L}

)

⁰

δ

λ ∈ℕ − ≥

ε

=

yani,

{ }

1 _n : _k 0

n n

lim k I x L ε

λ

→∞ ∈ − ≥ =

ise dizisi L noktasına λ^-istatistiksel yakınsaktır (veya S_λ-yakınsaktır) denir ve S - lim x_λ =L veya xk →L S

( )

_λ

ile gösterilmektedir [27].

Λ, (2.7) şartlarını sağlayan dizilerin kümesi olmak üzere aşağıdaki teoremde -

S_λ yakınsaklık ile V ,λ-toplanabilirlik kavramları arasındaki ilişki verilmektedir.

( )

^k

x= x

Teorem 2.2.33. l_∞ sınırlı diziler uzayı ve λ∈Λ olsun. O halde aşağıdaki şartlar sağlanır.

1. x_k →L V ,

λ

ise xk →L S

( )

_λ ^,

2. x l∈ _∞ ve xk →L S

( )

_λ ise x_k →L V ,

λ

, 3. S_λ∩ =l_∞ V,

λ

∩l_∞

dir [27].

Tanım 2.2.34. p=

( )

pn ,

(2.4) şartlarını sağlayan pozitif sayıların bir dizisi ve

( )

^{n ,}

λ

=

λ

(2.7) şartlarını sağlayan pozitif sayıların bir dizisi olmak üzere n→ ∞ iken

∈

=

∑

→ ∞

n n

k k I

P_λ p

ve

1

n n

n k k

k I

P_λ p x

γ

∈

=

∑

olacak şekilde

( )

^{Pλn ve}

^{( ) γ}

ⁿ dizileri tanımlansın. In = − +

[

n

λ

n ^1,

λ

n

]

olmak üzere lim _n

n_→∞γ =L ise x=

( )

xk dizisi L noktasına

(

^{N , p -λ}

)

toplanabilirdir denir ve bu durum ^{xk →L N , p}

(

^λ

)

ile gösterilmektedir. Eğer

1 0

→∞ ∈

∑

− =

n n

k k

n k I

lim p x L

P_λ

ise ^x=

( )

^{xk dizisi L} noktasına mutlak

(

^{N , p -λ}

)

toplanabilirdir (veya N , pλ - toplanabilirdir) denir. Bu durum x_k →L N , pλ veya N , p lim xλ - = L ile, bu özelliği sağlayan dizilerin uzayı N , pλ ile gösterilmektedir [28].

Tanım 2.2.35. x=

( )

xk

bir kompleks sayı dizisi olsun. K ⊆ℕ olmak üzere

Pn

K _λ

= {

^k

^≤

^Pλn:k

^∈

^K

}

kümesi verilsin.

Pn

K _λ ,

Pn

K _λ kümesinin eleman sayısını göstersin. Eğer limit mevcutsa

( )

¹ _n

n

N K nlim KP

P ^λ

λ λ

δ

= →∞

ile tanımlı değere K kümesinin ağırlıklı

λ

-yoğunluğu denir. Eğer her

ε

>0 ^için

{ }

(

^{: k k}

)

⁰

N k p x L

δ

λ ∈ℕ − ≥

ε

=

yani,

{ }

1 : 0

n n

k k

n

lim k P p x L

P_λ ^λ

ε

→∞ ≤ − ≥ =

ise x=

( )

xk dizisi L noktasına ağırlıklı λ-istatistiksel yakınsaktır (veya S_Nλ- yakınsaktır) denir ve S_N - lim x L

λ = veya ^xk →^{L S}

( )

^Nλ ile, ağırlıklı λ- istatistiksel yakınsak dizilerin uzayı S_N

λ ile gösterilmektedir [28].

Tanım 2.2.36.

^θ

⁼

( )

^kr bir lacunary dizisi,^p=

( )

^pk pozitif sayıların (2.4) şartlarını sağlayan bir dizi ve I_r =(k_r−1,k_r] olmak üzere, θ^' =

( )

Pkr dizisi

1. P₀ =0, 2.

( 0, ]

r ,

r

k k

k k

P p

∈

=

∑

₁

( 0, 1]

r ,

r

k k

k k

P p

−

∈ −

=

∑

^,

r

r k

k I

H p

∈

=

∑

3. 0 1,

r r

k k

P P

< < + (2.8) 4. r → ∞ için

1

r r

r k k

H =P −P ₋ → ∞

şartlarını sağlasın. Bu durumda ^{θ' =}

( )

^Pkr dizisine bir lacunary dizisi denir.

θ

^{' ile} belirlenen aralıklar '

(

1,

r r

r k k

I = P ₋ P  ile

1 r

r k

k

P

P ₋ oranı Q ile gösterilmektedir._r ∀ ∈k ℕ için p_k =1 alındığında

, , 1, , '

r r

r k k r r

H P P Q I

− değerleri, sırasıyla, h k_r, _r,k_r−1,q I_r, _r değerlerine indirgenir [32].

Tanım 2.2.37.

θ

=

( )

kr bir lacunary dizisi olsun. Eğer her

ε

>0 ^için

( )

1 0

r

k k

r r k I

lim p x L

→∞H ∈

∑

− =

ise x=

( )

xk dizisi L noktasına

(

^{N , p ,r θ}

)

^-toplanabilirdir denir ve

(

^{N , p ,r θ}

)

^{-lim x=L} ile gösterilmektedir. Eğer

1 0

r

k k

r r k I

lim p x L

→∞H ∈

∑

− =

ise ^x=

( )

^{xk dizisi L} noktasına mutlak

(

^{N , p ,r θ}

)

^- toplanabilirdir (veya N , p ,_r θ - toplanabilirdir) denir ve N , p ,_r θ -lim x=L ile gösterilmektedir [32].

Tanım 2.2.38. K ⊆ℕ kümesinin ağırlıklı lacunary yoğunluğu, eğer limit mevcutsa

( )^{N ,}

( )

_r ¹

{

^{r' :}

}

r

K lim k I k K

θ H

δ = _→∞ ∈ ∈

ile verilsin. Eğer her

ε >

0 _için

( ) {

^{: k k}

}

K ε = k∈ℕ p x − ≥L ε

kümesi “0” ağırlıklı lacunary yoğunluğuna sahip ise, yani

{ }

1 _r^': _{k k} 0

r r

lim k I p x L

H ε

→∞ ∈ − ≥ =

ise x=

( )

xk dizisi L noktasına ağırlıklı lacunary istatistiksel yakınsaktır denir ve ( )-

S N ,_θ lim x= L ile gösterilmektedir [32].

2.3. Sezgisel Bulanık Normlu Lineer Uzaylar

Tanım 2.3.1. X ≠ ∅ herhangi bir küme ve A⊆ X olmak üzere

µ

A^:X →

[ ]

^0,1

fonksiyonu ile karakterize edilen ^A=

{ (

^x,µA

( )

^x

)

^|x∈X

}

^{kümesine X} üzerinde bir bulanık küme denir.

µ

_A fonksiyonuna A kümesinin üyelik fonksiyonu, her x∈X için

µ

A

( )

x ∈

[ ]

^0,1 değerine de x∈X ’in üyelik derecesi denir [1].

Tanım 2.3.2. X ≠ ∅ herhangi bir küme ve A⊆ X olmak üzere

µ

_A:X →^0,1^ ve

υ

_A:X →^0,1^ üyelik fonksiyonları, sırasıyla, x∈X ’in üye olma ve üye olmama derecesini göstersin. Eğer her x∈X için ⁰≤ µA

( )

x +υA

( )

x ≤¹ eşitsizliği sağlanıyorsa ^A=

{ (

^x,µA

( ) ( )

^{x ,υA x}

)

^|x∈X

}

ile verilen kümeye X üzerinde sezgisel bulanık küme denir [11].

Tanım 2.3.3. ^{*: 0,1}

[ ] [ ] [ ]

^{× 0,1 → 0,1} şeklinde tanımlanan ikili işleme aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa sürekli t-norm denir.

1. ^∗ işlemi kapalı ve değişmelidir, 2. ∗ işlemi süreklidir,

3. Her ^a∈

[ ]

^{0 1, için a∗ =1 a,}

4. Her ^a,b,c,d∈

[ ]

^{0 1, için a≤c} ve ^{b ≤ d} iken a b∗ ≤ ∗c d dir. ^a,b∈

[ ]

^{0 1,} olmak üzere a b

∗ =

a.b

ve ^{a b∗ =min a,b}

{ }

^t-norma örnek olarak verilebilir [66].

Tanım 2.3.4. ^{: 0,1}

[ ] [ ] [ ]

^{× 0,1 → 0,1} şeklinde tanımlanan ikili işleme aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa sürekli t-conorm denir.

1. işlemi kapalı ve değişmelidir, 2. işlemi süreklidir,

3. Her ^a∈

[ ]

^{0 1, için a 0=a,}

4. Her ^a,b,c,d∈

[ ]

^{0 1, için a≤cve b ≤ d} iken a b≤c d

dir [66]. ^a,b∈

[ ]

^{0 1,} olmak üzere ^{a b=min a b,}

{

^{+ 1}

}

^{ve a b∗ =maks a,b}

{ }

^t-

conorma örnek olarak verilebilir [66].

Tanım 2.3.5. Eğer X , Fcismi üzerinde bir lineer uzay, _∗ işlemi sürekli t-norm, işlemi sürekli t-conorm, her x, y∈X ve s ,t >0 için

µ

,υ kümeleri ^X×

( )

^0,∞

üzerinde aşağıdaki şartları sağlayan bulanık kümeler ise

(

^{X, , , ,}

^{µ υ}

^∗

)

sıralı beşlisine sezgisel bulanık normlu lineer uzay denir.