Viskoelastik anizotrop dairesel silindirlerin üç boyutlu stabilite problemleri

Tam metin

(1)T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. VİSKOELASTİK ANİZOTROP DAİRESEL SİLİNDİRLERİN ÜÇ BOYUTLU STABİLİTE PROBLEMLERİ. ŞERİFE KARAKAYA. DOKTORA TEZİ FBE MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK PROGRAMI. DANIŞMAN PROF. DR. SURKAY D. AKBAROV. İSTANBUL, 2011.

(2) ÖNSÖZ. Bu çalışmada, viskoelastik anizotrop malzemeden hazırlanmış dairesel silindirlerin stabilitesinin incelenmesi; elde edilen sonuçlar kullanılarak yaklaşıklık teorisinin, yaklaşıklık mertebesinin belirlenmesi; kiriş malzemesi parametrelerinin, kritik zaman değerlerine etkisininin incelenmesi; araştırmalarda karşılaşılan integro diferansiyel denklemler takımının çözüm yönteminin geliştirilmesi amaçlanmıştır. Bu konuda şimdiye kadar yapılan ve litaratürde karşılaşılan araştırmalar, zamandan bağımsız malzemelerden üretilen yapı elemanları için yapılmıştır. İlk olarak bu tez kapsamında viskoelastik malzemeden hazırlanmış kirişler için araştırma yapılmıştır. Bu durum ise, kısmi türevli integro diferansiyel denklemler takımı için bazı yeni sınır değer problemlerinin incelenmesini gerekli kılmıştır. Çalışma konusunu öneren ve çalışmalarım esnasında katkılarını sakınmayan, Sayın Prof. Dr. Surkay D. AKBAROV’a teşekkür ederim. Sevgili aileme ve arkadaşlarıma, benim için yaptıklarından dolayı ayrıca minnettarım. Ağustos, 2011 Şerife KARAKAYA.

(3) İÇİNDEKİLER Sayfa ŞEKİL LİSTESİ.................................................................................................................... VII ÇİZELGE LİSTESİ ................................................................................................................ IX ÖZET................................................................................................................................ XII ABSTRACT ...................................................................................................................... XIV BÖLÜM 1 GİRİŞ .................................................................................................................................. 1 1.1 1.2 1.3. Literatür Özeti ............................................................................................. 1 Tezin Amacı ................................................................................................. 4 Bulgular ....................................................................................................... 4. BÖLÜM 2 VİSKOELASTİK KOMPOZİT MALZEMEDEN YAPILMIŞ DAİRESEL KATI SİLİNDİRİN STABİLİTE KAYBININ ÜÇ BOYUTLU ANALİZİ ....................................................................................... 5 2.1 Problemin Formülasyonu............................................................................ 5 2.2 Çözüm Yöntemi........................................................................................... 9 2.3 Üç Boyutlu Silindirik Kirişin Stabilite Kaybının Yaklaşık Denklemleri........ 22 2.3.1 Bernoulli Kiriş Teorisi ......................................................................... 22 2.3.2 Üçüncü Mertebe Geliştirilmiş Kiriş Teorisi ........................................ 25 2.4 Sayısal Sonuçlar ve Yorumlanması............................................................ 27 BÖLÜM 3 VİSKOELASTİK KOMPOZİT MALZEMEDEN YAPILMIŞ İÇİ BOŞ DAİRESEL SİLİNDİRİN GLOBAL STABİLİTE KAYBININ ÜÇ BOYUTLU ANALİZİ ...................................................... 39 3.1 Problemin Formülasyonu.......................................................................... 39 3.2 Çözüm Yöntemi......................................................................................... 41 3.3 Üç Boyutlu Silindirik Kirişin Stabilite Kaybının Yaklaşık Denklemleri........ 54 3.3.1 Bernoulli Kiriş Teorisi ......................................................................... 54 3.3.2 Üçüncü Mertebe Geliştirilmiş Kiriş Teorisi ........................................ 57 iv.

(4) 3.4. Sayısal Sonuçlar ve Yorumlanması............................................................ 59. BÖLÜM 4 VİSKOELASTİK KOMPOZİT MALZEMEDEN YAPILMIŞ İÇİ BOŞ DAİRESEL SİLİNDİRİN YEREL STABİLİTE KAYBININ ÜÇ BOYUTLU ANALİZİ .................................................................... 74 4.1 Problemin Formülasyonu.......................................................................... 74 4.2 Çözüm Yöntemi......................................................................................... 77 4.3 Üç Boyutlu Silindirik Kirişin Stabilite Kaybının Yaklaşık Denklemleri........ 86 4.3.1 Kirchoff-Love Kabuk Teorisi ............................................................... 86 4.3.2 Üçüncü Mertebe Geliştirilmiş Kabuk Teorisi ..................................... 90 4.4 Sayısal Sonuçlar ve Yorumlanması............................................................ 92 BÖLÜM 5 SONUÇ VE ÖNERİLER .................................................................................................. 1089 KAYNAKLAR................................................................................................................... 112 ÖZGEÇMİŞ..................................................................................................................... 115. v.

(5) ŞEKİL LİSTESİ Sayfa Şekil 2. 1 Şekil 2. 2. Ele alınan silindirin geometrisi ....................................................................... 6 ω = 0.5 , π R / ℓ = 0.1 ve E (2) E0(1) = 5 olması durumunda, β reolojik parametrelerinin değişik değerleri için, p ′ basınç kuvvetinin boyutsuz yoğunluğu ve t3′D.cr , t Rf′ .cr . arasındaki bağıntıların grafiği............................. 34. Şekil 2. 3. Şekil 2.2’de verilen grafiklerin, kesişme noktasından sonra ortaya çıkan bölümleri...................................................................................................... 34 β = −0.3 , π R / ℓ = 0.1 ve E (2) E0(1) = 5 olması durumunda, ω reolojik parametresinin değişik değerleri için oluşturulan, p ′ basınç kuvvetinin boyutsuz yoğunluğu ve t3′D.cr , t Rf′ .cr . arasındaki bağıntıların grafiği ............. 35. Şekil 2. 4. Şekil 3. 1 Şekil 3. 2. Ele alınan içi boş silindirin geometrisi.......................................................... 39 h R+ = 0.3 (a) ve h R+ = 0.5 (b) olması durumunda, β reolojik parametrelerinin değişik değerleri için, p ′ basınç kuvvetinin boyutsuz ′ .cr . arasındaki bağıntıların grafiği............................ 69 yoğunluğu ve t3′ D.cr . , t Rf. Şekil 3. 3. Şekil 3.2’de verilen grafiklerin, kesişme noktasından sonra ortaya çıkan bölümleri ..................................................................................................... 70 h R+ = 0.3 (a) ve h R+ = 0.5 (b) olması durumunda, ω reolojik parametresinin değişik değerleri için oluşturulan, p ′ basınç kuvvetinin ′ .cr . arasındaki bağıntıların grafiği............ 71 boyutsuz yoğunluğu ve t3′ D.cr . , t Rf. Şekil 3. 4. Şekil 4. 1 Şekil 4. 2. Şekil 4. 3 Şekil 4. 4 Şekil 4. 5. Şekil 4. 6. Ele alınan içi boş silindirin geometrisi.......................................................... 74 h R = 0.1 (a) ve h R = 0.2 (b) olduğu durumlarda, λ parametresinin çeşitli ′ .cr . değerleri için p ′ basınç kuvvetinin boyutsuz yoğunluğu ve t3′ D.cr . , t Rf arasındaki bağımlılıkların grafiği ................................................................ 100 h R = 0.1 (a) ve h R = 0.2 (b) olduğu durumlarda, p ′ basınç kuvveti ile t3′ D.cr . arasındaki bağımlılıklara, β reolojik parametresinin etkisi............. 102. h R = 0.1 (a) ve h R = 0.2 (b) olduğu durumlardaki kesişme noktasından sonra, Şekil 2’de ortaya çıkan grafiklerin bölümleri .................................. 103 E ( 2) / E0(1) = 10 (a) olduğu durumda p ′ basınç kuvveti ile t3′ D.cr . arasındaki bağımlılıklara, β reolojik parametresinin etkisi; (b) kesişme noktasıdan sonra ortaya çıkan bölümler ...................................................................... 104 ω reolojik parametresinin değişik değerleri için bulunan p ′ basınç vi.

(6) kuvvetinin boyutsuz yoğunluğu ile t3′ D.cr . arasındaki bağımlılıkların grafiği ......................................................................................................... 105. vii.

(7) ÇİZELGE LİSTESİ Sayfa Çizelge 2. 1. E (2) E0(1) ve ρ ’nun çeşitli değerleri için elde edilen, p3′D.c.0. , pR′ .c.0. ve pE′ .c.0. değerleri ........................................................................................ 30. Çizelge 2. 2. ω = 0.5 olması durumunda, E (2) E0(1) ve ρ ’nun çeşitli değerleri için elde edilen, p3′D.c.∞. , pR′ .c.∞. ve pE′ .c.∞. değerleri ..................................... 30. Çizelge 2. 3. ω = 1.0 olması durumunda, E (2) E0(1) ve ρ ’nun çeşitli değerleri için elde edilen, p3′D.c.∞. , pR′ .c.∞. ve pE′ .c.∞. değerleri ..................................... 31. Çizelge 2. 4. ω = 2.0 olması durumunda, E (2) E0(1) ve ρ ’nun çeşitli değerleri için elde edilen, p3′D.c.∞. , pR′ .c.∞. ve pE′ .c.∞. değerleri ..................................... 31. Çizelge 2. 5. ρ = 0.1 , ω = 0.5 ve E (2) E0(1) = 5 olması durumunda, p ′ ve β ’nın çeşitli değerleri için elde edilen, t3′D.cr . (üst sınır) ve t Rf′ .cr . (alt sınır). Çizelge 2. 6. değerleri .................................................................................................. 32 ρ = 0.2 , ω = 0.5 ve E (2) E0(1) = 5 olması durumunda, p ′ ve β ’nın çeşitli değerleri için elde edilen, t3′D.cr . (üst sınır) ve t Rf′ .cr . (alt sınır). Çizelge 2. 7. değerleri .................................................................................................. 33 ρ = 0.3 , ω = 0.5 ve E (2) E0(1) = 5 olması durumunda, p ′ ve β ’nın çeşitli değerleri için elde edilen, t3′D.cr . (üst sınır) ve t Rf′ .cr . (alt sınır). Çizelge 2. 8. değerleri .................................................................................................. 33 ρ = 0.1 , ω = 0.5 ve E (2) E0(1) = 10 olması durumunda, p ′ ve β ’nın çeşitli değerleri için elde edilen, t3′D.cr . (üst sınır) ve t Rf′ .cr . (alt sınır). Çizelge 2. 9. değerleri .................................................................................................. 36 ρ = 0.1 , ω = 0.5 ve E (2) E0(1) = 5 olması durumunda, p ′ ve β ’nın ′ .cr . (üst sınır) ve t3′D.cr . (alt sınır) çeşitli değerleri için elde edilen, tcdm. Çizelge 3. 1. değerleri .................................................................................................. 37 h R+ = 0.3 olması durumunda, E ( 2) E0(1) ve ρ ’nun değişik değerleri için elde edilen p3′D.c.0 , pR′ .c.0 ve pE′ .c .0 değerleri ...................................... 61. Çizelge 3. 2. h R+ = 0.5 olması durumunda, E ( 2) E0(1) ve ρ ’nun değişik değerleri için elde edilen p3′D.c.0 , pR′ .c.0 ve pE′ .c .0 değerleri ...................................... 61. Çizelge 3. 3. h R+ = 0.8 olması durumunda, E ( 2) E0(1) ve ρ ’nun değişik değerleri viii.

(8) için elde edilen p3′D.c.0 , pR′ .c.0 ve pE′ .c .0 değerleri ...................................... 62 Çizelge 3. 4. h R+ = 0.3 olması durumunda, E ( 2) E0(1) ve ρ ’nun değişik değerleri için elde edilen p3′D.c.∞ , pR′ .c.∞ ve pE′ .c.∞ değerleri................................... 62. Çizelge 3. 5. h R + = 0.5 olması durumunda, E ( 2) E0(1) ve ρ ’nun değişik değerleri için elde edilen p3′D.c.∞ , pR′ .c.∞ ve pE′ .c.∞ değerleri .................................. 63. Çizelge 3. 6. h R + = 0.8 olması durumunda, E ( 2) E0(1) ve ρ ’nun değişik değerleri için elde edilen p3′D.c.∞ , pR′ .c.∞ ve pE′ .c.∞ değerleri................................... 63. Çizelge 3. 7. Çizelge 3. 8. (. 2  2 2 π  P3′D.c.0  = p3′ D.c.0π   ( R + ) − ( R − )  ℓ  kuvvet olmak üzere, E (2) E0(1) = 5 , h. )  boyutsuz toplam kritik bir R + = 0.5 olması durumunda. elde edilen P3′D.c.0 × 102 değerleri ............................................................ 64 E (2) E0(1) = 5 ve h R + = 0.5 olması durumunda, p3′D.c.∞ , pR′ .c.∞ ve pE′ .c.∞ değerleri üzerine, ω reolojik parametresinin etkisi .................... 65. Çizelge 3. 9. E (2) E0(1) = 5 , ρ = 0.2 ve ω = 0.5 iken, h R + = 0.3 olması durumunda, β reolojik parametresinin değişik değerleri için elde edilen t3′D.cr . (üst. sayı) ve t Rf′ .cr . (payda) değerleri ............................................................... 66 Çizelge 3. 10. E (2) E0(1) = 5 , ρ = 0.2 ve ω = 0.5 iken, h R + = 0.5 olması durumunda, β reolojik parametresinin değişik değerleri için elde edilen t3′D.cr . (üst. sayı) ve t Rf′ .cr . (payda) değerleri ............................................................... 66 Çizelge 3. 11. E (2) E0(1) = 5 , ρ = 0.2 ve ω = 0.5 iken, h R + = 0.8 olması durumunda, β reolojik parametresinin değişik değerleri için elde edilen t3′D.cr . (üst. sayı) ve t Rf′ .cr . (payda) değerleri ............................................................... 67 Çizelge 3. 12. E (2) E0(1) = 5 , h R + = 0.5 ve ω = 0.5 iken, ρ = 0.1 olması durumunda, β reolojik parametresinin değişik değerleri için elde edilen t3′D.cr . (üst. sayı) ve t Rf′ .cr . (payda) değerleri ............................................................... 67 Çizelge 3. 13. E (2) E0(1) = 5 , h R + = 0.5 ve ω = 0.5 iken, ρ = 0.3 olması durumunda, β reolojik parametresinin değişik değerleri için elde edilen t3′D.cr . (üst. sayı) ve t Rf′ .cr . (payda) değerleri ............................................................... 68 Çizelge 3. 14. Çizelge 4. 1. E (2) E0(1) = 5 , h R + = 0.5 ve ω = 0.5 iken, ρ = 0.1 olması durumunda, β reolojik parametresinin değişik değerleri için elde edilen t3′D.cr . (üst ′ .cr . (payda) değerleri .............................................................. 73 sayı) ve tcdm E ( 2) E0(1) ve h R ’nin çeşitli değerleri için elde edilen p3′D.c.0 , pR′ .c .0 ve pE′ .c.0 ’ın değerleri ..................................................................................... 94. Çizelge 4. 2. ω = 0.5 olması durumunda, E ( 2) E0(1) ve h R ’nin çeşitli değerleri için elde edilen p3′D.c.∞ , pR′ .c.∞ ve pE′ .c.∞ değerleri ......................................... 95. Çizelge 4. 3. ω = 1.0 olması durumunda, E ( 2) E0(1) ve h R ’nin çeşitli değerleri için ix.

(9) elde edilen p3′D.c.∞ , pR′ .c.∞ ve pE′ .c.∞ değerleri ......................................... 96 Çizelge 4. 4 Çizelge 4. 5. ω = 2.0 olması durumunda, E ( 2) E0(1) ve h R ’nin çeşitli değerleri için elde edilen p3′D.c.∞ , pR′ .c.∞ ve pE′ .c.∞ değerleri ........................................... 97 β = −0.3 ve ω = 1.0 iken, h R = 0.1 olduğu durumda, λ parametresinin çeşitli değerleri için elde edilen t3′D.cr . (pay) ve t Rf′ .cr . (payda). Çizelge 4. 6. değerleri .................................................................................................. 99 β = −0.3 ve ω = 1.0 iken, h R = 0.2 olduğu durumlarda, λ parametresinin çeşitli değerleri için elde edilen t3′D.cr . (pay) ve t Rf′ .cr . (payda). Çizelge 4. 7. değerleri ................................................................................................ 105 λ = 4.0 , β = −0.3 , E (2) E0(1) = 5 , h R = 0.2 ve ω = 1.0 olduğu durumlarda p ′ ’nün çeşitli değerleri için elde edilen t3′D.cr . (pay) ve t Rf′ .cr . (payda) değer leri .................................................................................. 106. x.

(10) ÖZET. VİSKOELASTİK ANİZOTROP DAİRESEL SİLİNDİRLERİN ÜÇ BOYUTLU STABİLİTE PROBLEMLERİ Şerife KARAKAYA Matematik Anabilim Dalı Doktora Tezi Tez Danışmanı: Prof. Dr. Surkay D. AKBAROV Üç Boyutlu yaklaşım, viskoelastik kompozit malzemeden yapılmış hem dairesel katı silindirin stabilite kaybının incelenmesinde hem içi boş dairesel silindirin global stabilite kaybının araştırılmasında hem de içi boş dairesel silindirin simetrik yerel stabilite kaybının araştırılmasında kullanılmıştır. Bu yaklaşım, birinci durumda, anizotrop cisimler için viskoelastisite teorisinin, üç boyutlu geometrik olarak doğrusal olmayan, alan denklemleri çerçevesinde, silindire ait başlangıçtaki sonsuz küçük sapmalarının gelişiminin araştırılmasına; ikinci durumda, anizotrop cisimler için viskoelastisite teorisinin, üç boyutlu geometrik olarak doğrusal olmayan, alan denklemleri çerçevesinde, silindire ait başlangıçtaki sonsuz küçük global sapmanın gelişiminin araştırılmasına; son durumda ise, anizotrop cisimler için viskoelastisite teorisinin, üç boyutlu geometrik olarak doğrusal olmayan, alan denklemleri kapsamı içinde içi boş dairesel silindirlerin önceki dönel simetrik sonsuz küçük yerel sapmalarının gelişimlerinin incelenmesine dayandırılmaktadır. Kritik kuvvet ve kritik zaman için sayısal sonuçlar sunulmuş ve tartışılmıştır. Üç boyutlu yaklaşım kullanılarak elde edilen sonuçların önemini göstermek için, bu sonuçlar, çeşitli yaklaşık kiriş teorilerileri uygulanarak elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Üç boyutlu yaklaşım ile bulunan sonuçların doğruluğunu ölçmek ve kıyaslamak için, aynı problem çeşitli yaklaşık kabuk teorileri kullanarak da çözülmüştür. Silindirik malzemenin viskoelastik özellikleri, kesirli üstel operatörle tanımlanmıştır. Sayısal sonuçlar ve bunların tartışılması, silindirin tek yönlü lifli kompozit malzemeden yapıldığı durumlar için verilmiştir. Özellikle, dış basınç kuvvetinin değeri, t = ∞ da elde edilen kritik basınç kuvvetine yakınsa, üç boyut xi.

(11) yaklaşımı kullanılarak elde edilen kritik zamanlar ile üçüncü mertebeden geliştirilmiş kiriş teorileri kullanılarak elde edilen kritik zamanlar arasındaki farkın daha da ihmal edilemez olduğu ispatlanmıştır. Yine, dış basınç kuvvetinin değeri, t = ∞ da elde edilen kritik basınç kuvvetine yakınsa, üç boyut yaklaşımı kullanılarak elde edilen kritik zamanlar ile üçüncü mertebeden geliştirilmiş kabuk teorileri kullanılarak elde edilen kritik zamanlar arasındaki farkın daha da ihmal edilemez olduğu ispatlanmıştır. Anahtar Kelimeler: Kritik kuvvet, kritik zaman, başlangıç sapma kriteri, stabilite kaybı, viskoelastik kompozit malzeme, viskoelastik kompozit silindir, viskoelastik kompozit içi boş silindir, dairesel içi boş silindir, silindirik kabuk. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ xii.

(12) ABSTRACT. THREE-DIMENSIONAL STABILITY LOSS PROBLEMS FOR CIRCULAR ANISOTROPIC VISCOELASTIC CYLINDERS Şerife KARAKAYA Department of Mathematic Ph.D. Thesis Advisor: Prof. Dr. Surkay D. AKBAROV The 3D approach was employed for investigations of the stability loss of the solid circular cylinder made from viscoelastic composite material, for investigations of the global stability loss of the hollow circular cylinder made from viscoelastic composite materials and for investigations of the symmetric local stability loss of the circular hollow cylinder made from the viscoelastic composite materials. This approach is based on investigations of the evolution of the initial infinitesimal imperfections of the cylinder within the scope of 3D geometrically nonlinear field equations of the theory of viscoelasticity for anisotropic bodies. This approach is based on the investigations of the evolution of the initial infinitesimal global imperfection of the cylinder within the scope of 3D geometrically nonlinear field equations of the theory of the viscoelasticity for anisotropic bodies. This approach is based on investigations of the development of the initial rotationally symmetric infinitesimal local imperfections of the circular hollow cylinder within the scope of 3D geometrically nonlinear field equations of the theory of viscoelasticity for anisotropic bodies. The numerical results of the critical forces and critical time are presented and discussed. To illustrate the importance of the results obtained using the 3D approach, these results are compared with the corresponding ones obtained by employing various approximate beam theories. For comparison and estimation of the accuracy of the results given by the 3D approach, the same problem is also solved by using various approximate shell theories. The viscoelasticity xiii.

(13) properties of the cylinder’s material are described by the fractional-exponential operator. The numerical results and their discussion are presented for the case where the cylinder is made of a uni-directional fibrous viscoelastic composite material. In particular, it is established that the difference between the critical times obtained by employing 3D and third order refined beam theories and by employing 3D and third order refined shell theories becomes more non-negligible if the values of the external compressive force are close to the critical compressive force which is obtained at t = ∞ (t denotes a time). Key words: Critical force, critical time, initial imperfection criterion, stability loss, viscoelastic composite material, viscoelastic composite cylinder, viscoelastic composite hollow cylinder, circular hollow cylinder, cylindrical shell. YILDIZ TECHNICAL UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE xiv.

(14) BÖLÜM 1 GİRİŞ 1.1. Literatür Özeti. Birçok durumda kompozit malzemeden üretilmiş yapı elemanlarının stabilite kaybı problemlerinin incelenmesi, Green vd. (1952), Biot (1965), Guz vd. (1999) tarafından önerilen, deforme olabilen katı cisim mekaniğinin kesin nonlineer denklemlerinden lineerleştirme işlemi kullanılarak elde edilen denklemlerden ve bağıntılardan meydana gelen Lineerize Edilmiş Üç Boyutlu Stabilite Teorisi’nin (LEÜBST) uygulanmasını gerekli kılar. Bazı araştırmacılar, LEÜBST yerine “Genel Stabilite Teorisi” notasyonunu kullanmışlardır (Green vd. (1952), Biezeno ve Hencky (1929), Southwell (1913) gibi). Tarihsel açıdan LEÜBST denklemleri ilk olarak Southwell (1913) tarafından, fiziksel koşul kullanılarak ve öngerilme durumu homojen varsayılarak elde edilmiştir. Daha sonra LEÜBST denklemleri, Biezeno ve Hencky (1929) tarafından fiziksel şartların kullanımıyla, homojen olmayan ön-kritik gerilme durumu için elde edilmiştir. Lineerleştirme işlemi kullanılarak, elastisite teorisinin nonlineer denklemlerinden ve bağıntılarından LEÜBST’nin denklemlerinin ve bağıntılarının çıkarılışı, Biot (1965) ve Guz (1999) tarafından verilmiştir. LEÜBST’nin gelişmesine asıl katkılar ve onun, kompozit malzemeden üretilen yapı elemanlarına uygulanışı, 20. yüzyılın ikinci yarısında olmuştur. İlgili araştırmaların ayrıntılı bir şekilde incelenmesi, Babich vd. (2001), Babich ve Guz (2002) makalelerinde verilmektedir. Bu, sözü edilen araştırmadan ve daha birçok çalışmadan anlaşılacağı üzere LEÜBST’nin, 21. yüzyıl başlamadan önce, başta zamandan bağımsız malzemeden üretilen yapı elemanlarının stabilite kaybı problemleri olmak üzere, uygulamalar 1.

(15) yapılmıştır. Genelde statik yük altında, mekanik özellikleri zamana bağlı malzemeden üretilen yapı elemanlarının stabilite kaybı problemlerinin incelenmesinde, Euler yaklaşımının uygun olmadığı bilinir. Bu sebeple, bu tür problemlerin incelenmesi için Guz (1999) tarafından, “Dinamik İnceleme Metodu” önerilmiştir. Bu yöntemin uygulanışında, aranan değerlerin exp(iΩt ) çarpanı ile verildiği ve göz önüne alınan probleme ait kritik parametrelerin de unutulmamalıdır. çerçevesinde. Im Ω = 0. koşulu altında belirlendiği. Bununla beraber, dinamik inceleme yönteminin LEÜBST. uygulanışında,. zamana. bağımlı. malzemeler. için. LEÜBST’nin. denklemlerinin katsayılarının da t ’ye (zamana) bağlı olması ve bu nedenle bir çok durumda LEÜBST çerçevesinde aranan değerlerin, exp(iΩt ) çarpanlı gösterilmesinin imkansızlığı gibi başka zorluklar ortaya çıkar. Bu, konuyla ilgilenen araştırmacılarca da bilindiğinden, bu güne kadar LEÜBST çerçevesinde, zamana bağlı durumdaki stabilite kaybı problemleri hakkında, dinamik inceleme yönteminin kullanıldığı bir araştırma ortaya konmamıştır. Daha sonra Guz (1999), bu tür problemleri incelediği monografisinde, Gerard ve Gilbert (1958) tarafından önerilen, “Kritik Deformasyon Yöntemi”ni önermiştir. Buna göre elastik stabilite probleminin sonuçları kullanılarak, göz önüne alınan viskoelastik cisim için, kritik zaman belirlenir. Kritik deformasyon yöntemi çok yakınsar ve ön-kritik gerilme durumunun homojen olması halinde de uygulanabilirdir. Zamana. bağlı. malzemeden. üretilen. yapı. elemanlarının. stabilite. kaybının. araştırılmasında sık sık kullanılan ve çok güvenilen bir yaklaşım, sabit dış kuvvetler altında, yapı elemanlarının başlangıçtaki çok küçük sapmalarının, zamanın akışı ile büyümesine dayandırılan ve Hoff (1954) tarafından önerilen yaklaşımdır. LEÜBST çerçevesinde, başlangıçtaki çok küçük sapmaların büyümesine dayandırılan yaklaşım, ancak 20. yüzyıl sonlarında ortaya atılmıştır. Böyle bir yaklaşım, ilk olarak, dış basınç kuvveti etkisinde tek yönlü lifli kompozitlerin stabilite kaybının (burkulma) araştırılması için Akbarov vd. (1997, 1999) tarafından önerilmiştir. Bu çalışmalarda, burkulma parametrelerinin (kritik kuvvet ve kritik zaman değerleri) belirlenmesinde, liflere veya katmanlara çok küçük başlangıç sapmaları verilmesi halinde, bu sapmaların dış basınç kuvveti etkisinde büyüyerek sonsuza gitmesi durumu, burkulma kriteri olarak. 2.

(16) alınmıştır. Akbarov vd. (1997, 1999) tarafından yayınlanan bu makalede elde edilen sonuçlar, Akbarov ve Guz (2000) tarafından sunulan monografide detaylandırılmıştır. Akbarov ve Kosker (2001, 2004) tarafından yayınlanan makalelerde, yukarıda sözü edilen yaklaşım, viskoelastik matris içerisindeki bir lif eğilmesinin (burkulmasının) incelenmesinde kullanılmıştır. İki eksenli basınç etkisi altındaki çok katlı tabaka ile örtülü viskoelastik yarı uzayın üç boyutlu yüzeysel stabilitesine ait çalışma, Akbarov ve Tekercioglu (2007) tarafından yapılmıştır. Aynı zamanda, Akbarov ve Mamedov (2009, 2011) tarafından yayınlanan makalelerde, dış bükey silindirik yüzeye yakın bir lifin üç boyutlu stabilite kaybı incelenmiştir. Lifi içeren silindirin malzemesi, viskoelastik olarak alınmıştır. Lineer. viskoelastik malzemeden yapılmış yapı. elemanlarının. stabilite kaybı. problemlerine ait yukarıda bahsedilen üç boyutlu yaklaşımın diğer uygulamaları, Akbarov (1998), Akbarov ve Yahnioglu (2001) makalelerinin konusudur. Bu makalelerde, basit şekilde güçlendirilmiş ve sıkıştırılmış (Akbarov ve Yahnioglu (2001)) viskoelastik kompozit şeritin stabilite kaybı çalışıldığını belirtmek gerekir. Yukarıda bahsedilen son iki makalede, (Akbarov vd. (2001)) tarafından gerçekleştirilmiş araştırmalar, dikdörtgen kalın plağın üç boyutlu burkulma problemi için geliştirilmiştir. Dikdörtgen plağın karşılıklı iki kenarı basit mesnetli, fakat diğer iki kenarının ankastre mesnetli olduğu kabul edilmiştir. Bir viskoelastik kompozit dairesel plak için dönel simetrik stabilite kaybı problemi, Kutuk, Akbarov ve Yahnioglu (2003) tarafından sunulan makalesinde incelenmiştir. Bütün kenarları ankastre mesnetli dörtgen plağa ait burkulma problemi, Selim ve Akbarov (2003) tarafından araştırılmıştır. Viskoelastik kompozit malzemeden yapılmış halka şeklinde dairesel bir disk ve dönen kalın bir diskin stabilite kaybı analizi, Yahnioglu ve Akbarov (2002) tarafından gerçekleştirilmiştir. Ayrıca, Kutuk (2009) tarafından iki eksenli basınç kuvveti altında, basit mesnetli viskoelastik dörtgen plağın burkulmasının detaylı analizi verilmiştir.. 3.

(17) 1.2. Tezin Amacı. Yukarıda anlatılanlardan anlaşılacağı üzere, viskoelastik kompozit plakların üç boyutlu stabilite kaybına ait literatürdeki mevcut tüm çalışmalar, yukarıda belirtilmiştir. Neticede, yapı elemanlarının birçoğunda kullanılan viskoelastik silindirlere ait üç boyutlu stabilite kaybı problemleri ile ilgili literatürde herhangi bir araştırma mevcut değildir. Sunulan bu tez kapsamında, bu alandaki ilk girişim üstlenilmiş ve Akbarov (1998) tarafından önerilen yaklaşımla, viskoelastik kompozit malzemeden yapılmış dairesel katı silindirin üç boyutlu stabilite kaybının incelenmesi için, viskoelastik kompozit malzemeden üretilmiş içi boş dairesel silindirlerin üç boyutlu global stabilite kaybının incelenmesi için ve son olarak da eksenel basınç altında viskoelastik kompozit malzemeden üretilmiş içi boş dairesel silindirlerin üç boyutlu simetrik yerel stabilite kaybının incelenmesi için belirtilen yaklaşım geliştirilmiştir. Yaklaşık kiriş teorileri kullanılarak aynı problemler, ayrıca çözülmüş ve elde edilen sonuçlar, üç boyutlu yaklaşım çerçevesinde tezde verilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. 1.3. Bulgular. Yapı elemanlarıyla ilgili ve LEÜBST kapsamında şu ana kadar gerçekleştirilmiş bütün araştırmaların kısa bir özeti yukarda verilmiştir. Yukarıda bahsedilen makalelerde, Kirchoff-Love ve Kromm (1955) hipotezine dayandırılan, yaklaşık plaka teorileriyle elde edilen sonuçların da verildiğine dikkat edilmelidir. Uygun sonuçların karşılaştırılması, elastik stabilite kaybı problemleri için, üç boyutlu yaklaşım kapsamında bulunan sonuçlar ile Kromm (1955) tarafından verilen üçüncü mertebe geliştirilmiş plak teorisini kullanarak elde edilen sonuçlar arasındaki farkın yüzde 5-6’dan daha fazla olmadığını göstermiştir. Bununla birlikte, üç boyutlu yaklaşım kapsamında bulunan kritik zamanla, yukarıda bahsedilen geliştirilmiş plak teorisini kullanarak elde edilen kritik zaman arasındaki fark, daha fazla olabilmektedir. Sonuç olarak, zamana bağlı malzemeden yapılmış yapı elemanlarının stabilite kaybı problemlerinin araştırılmasında, üç boyutlu yaklaşımın uygulanmasının gerekliliği, elastik kompozit malzemeden yapılmış olanların incelemesinde üç boyutlu yaklaşımın uygulanmasının gerekliliğinden çok daha fazladır.. 4.

(18) BÖLÜM 2 VİSKOELASTİK KOMPOZİT MALZEMEDEN YAPILMIŞ DAİRESEL KATI SİLİNDİRİN STABİLİTE KAYBININ ÜÇ BOYUTLU ANALİZİ 2.1. Problemin Formülasyonu. Doğal durumda bir başlangıç sapması (eğintisi) olan bir silindiri dikkate alalım ve Orθ z cinsinden Lagrange koordinatları ve Ox1 x2 x3 Kartezyen koordinat sistemi ile bu silindirin noktalarının konumunu belirleyelim (Şekil 2.1).. Dikkat çekilen başlangıç. eğintisi, silindirin orta çizgisinin aşağıdaki denklemi ile verilir: π  x3 = t 3 ; x1 = A sin  t3  ; x 2 = 0  ℓ . (2.1). Burada t 3 bir parametre ve t3 ∈ (0, ℓ ) ’dir. A , başlangıç eğintisinin genliğidir. Silindirlerin en kesitlerinin, silindirin orta çizgisinin teğet vektörüne dik olan düzlem üzerinde olduğu ve bu kesitlerin sabit R yarıçaplı bir daire olduğu kabul edilmektedir. Ayrıca, Akbarov (1998) ve Akbarov ve Yahnioğlu (2001) makalelerindeki gibi A << l şartı kabul edilir ve bu küçük parametre aşağıdaki gibi tanımlanır: ε=. A , 0 ≤ ε << 1 . ℓ. (2.2). Silindir malzemesinin viskoelastik transversal izotrop olduğu ve Ox3 ( Oz ) ekseni ile çakışan simetri eksenine sahip olduğu kabul edilmektedir. Yukarıdaki kabullerde, Oz ekseni doğrultusunda silindirin uçlarına etki eden, yoğunluğu p olan, düzgün yayılı, 5.

(19) normal basınç kuvvetleri etkisinde silindirin başlangıçta sahip olduğu çok küçük eğintisinin gelişimi araştırılmıştır.. Şekil 2.1 Ele alınan silindirin geometrisi Bu araştırma, aşağıda verilen alan denklemleri yardımıyla yapılır: ∂trr ∂trθ ∂trz 1 ∂t ∂t 2 ∂t + + + (trr − tθθ ) = 0 , θr + θθ + tθr + θ z = 0 , ∂r r∂θ ∂z r ∂r r∂θ r ∂z ∂t zr ∂t zθ 1 ∂t + + t zr + zz = 0 , ∂r r∂θ r ∂z. (2.31).  ∂u   ∂u u  ∂u trr = σ rr 1 + r  + σrθ  r − θ  + σrz r ,   r∂θ r  ∂r  ∂z trθ = σ rr.  ∂u ∂uθ u  ∂u + σ rθ 1 + θ + r  + σrz θ ,  r∂θ r  ∂r ∂z. trz = σrr.  ∂u   ∂u   ∂u ∂u z ∂u u  ∂u + σ rθ z + σrz 1 + z  , tθr = σθr 1 + r  + σθθ  r − θ  + σθ z r ,       r∂θ r  ∂r r∂θ ∂z  ∂r  ∂z. tθθ = σθr.  ∂u  ∂u  ∂uθ u  ∂u ∂u ∂u + σθθ 1 + θ + r  + σθ z θ , tθ z = σθr z + σθθ z + σθ z 1 + z  ,    r∂θ r  ∂r ∂z ∂r r∂θ ∂z .  ∂u   ∂u u  ∂u t zr = σ zr 1 + r  + σ zθ  r − θ  + σ zz r ,    r ∂θ r  ∂r  ∂z t zθ = σ zr.  ∂u ∂uθ u  ∂u + σ zθ 1 + θ + r  + σ zz θ ,   r∂θ r  ∂r ∂z. 6.

(20) t zz = σ zr.  ∂u  ∂u z ∂u + σ zθ z + σ zz 1 + z  ,  ∂r r∂θ ∂z . (2.32). 2 2 2 ∂ur 1  ∂ur   ∂uθ   ∂u z   εrr = +   +  +  , ∂r 2  ∂r   ∂r   ∂r  . 1  ∂u ∂u u  1  ∂u  ∂u u  ∂u  ∂u u  ∂u ∂u z  εrθ =  θ + r − θ  +  r  r − θ  + θ  θ + r  + z , 2  ∂r r∂θ r  2  ∂r  r∂θ r  ∂r  r∂θ r  ∂r r∂θ  ∂u  1  ∂u ∂ur ∂uθ ∂uθ ∂u z ∂u z  1  ∂u εrz =  r + z  +  r + +  2  ∂z ∂r  2  ∂r ∂z ∂r ∂z ∂r ∂z  2 2 2 ∂uθ ur 1  ∂ur uθ   ∂uθ ur  1  ∂u z   εθθ = + +  −  + +  + 2  , r∂θ r 2  r∂θ r   r∂θ r  r  ∂θ  . 1  ∂u ∂u  1  ∂u  ∂u u  ∂u  ∂u u  1 ∂u z ∂u z  εθ z =  z + θ  +  r  r − θ  + θ  θ + r  + , 2  r∂θ ∂z  2  ∂z  r∂θ r  ∂z  r∂θ r  r ∂θ ∂z  εzz =. 2 2 2 ∂u z 1  ∂ur   ∂uθ   ∂u z   +  + +      ∂z 2  ∂z   ∂z   ∂z  . (2.33). Burada, (2.31) denklemleri trr , tθθ , t zz , trθ , tθr , t zθ , tθ z , t zr ve trz simetrik olmayan Kirchoff gerilme tensörü bileşenleri cinsinden denge denklemleridir; (2.32) denklemleri simetrik olmayan Kirchoff gerilme tensörünün bileşenleri ile silindirik koordinatlarda verilen gerilme tensörünün bileşenleri arasındaki ilişkiyi gösterir. Green şekil değiştirme tensörü ve yerdeğiştirme vektörünün bileşenleri arasındaki nonlineer ilişki ise (2.33) ile gösterilmiştir. Silindirik koordinat takımı cinsinden silindirik malzemenin bünye denklemleri aşağıdaki gibidir: σrr = A11∗ εrr + A12∗ εθθ + A13∗ εzz ; σθθ = A12∗ εrr + A11∗ εθθ + A13∗ εzz ; ∗ σ zz = A13∗ εrr + A13∗ εθθ + A33∗ εzz ; σ rθ = ( A11∗ − A22 ) εrθ ;. σrz = 2G ∗ εrz ; σθ z = 2G ∗εθ z ,. Burada Aij∗ ve G ∗ aşağıdaki operatörlerdir: 7. (2.4).

(21) t A  Aij∗   Aij 0   ij1 ( t − τ )  φ t = φ t +  ∗ ( )   ( ) ∫ φ (τ ) dτ G τ G t − ( )    1  0  G  0 . (2.5). Burada Aij 0 ve G 0 , elastik sabitlerin anlık değerleridir ve Aij1 (t ) ve G1 (t ) silindirik malzemenin kalıtımsal özelliklerini belirleyen, verilen fonksiyonlardır. Silindirin S yanal yüzeyinde aşağıda verilen koşulların sağladığı kabul edilmektedir:. trr S nr + trθ S nθ + trz S nz = 0 , tθr S nr + tθθ S nθ + tθ z S nz = 0 , (2.6). t zr S nr + t zθ S nθ + t zz S nz = 0 Doğal durumda silindirin üst ve alt yüzeylerine ait birim normal vektörleri n0 =. nl =. −k − επi. 1 + ε 2π 2 k − επi 1+ ε 2π 2. (alt uç düzlem için). (üst uç düzlem için). (2.7). dir. Silindirin Üst (alt) yüzeyleri Sℓ ( S0 ) ile gösterilir ve bu yüzeylerdeki kuvvetler ile ilgili koşullar aşağıdaki şekilde yazılabilir: t zr. S0. n01 + t zθ. Burada. S0. n0 j. n02 + t zz. (nℓj ) ,. S0. n03 = p , t zr. Sℓ. nℓ1 + t zθ. Sℓ. nℓ 2 + t zz. Sℓ. nℓ 3 = − p. (2.8). (2.7)’de tanımlanmış birim normal vektörün bileşenleridir. Yer. değiştirmeler için sınır koşulları aşağıda tartışılacaktır. (2.3), (2.4), (2.6), (2.7) ve (2.8)’de bilinen notasyonlar kullanılmıştır. Böylece, ele alınan problemin formülasyonu bitirilmiştir. Buna göre ele alınan problem, p basınç kuvvetinin sabit bir değeri için zaman ilerlerken (silindir malzemesinin. viskoelastik olduğu durum için) veya p basınç kuvveti ile (silindir malzemesinin elastik olduğu durum için), lifin sonsuz küçük başlangıç sapmasının gelişiminin, (2.3), (2.4) ve (2.5) alan denklemleri ve (2.6) ve (2.8) sınır koşulları çerçevesinde incelenmesine dönüştürülür. 8.

(22) 2.2. Çözüm Yöntemi. Şimdi yukarıdaki bölümde formüle edilmiş problemin çözüm metodunu ele alalım. Çözüm yöntemi aşağıda kısaca özetlenmiştir. Sınır formu pertürbastyon teknikği kullanılarak, (2.3) ve (2.5) lineer olmayan integro diferansiyel denklemleri için ele alınan sınır değer problemi, lineer integro diferansiyel denklem sistemine karşı gelen sınır değer problemleri serisine indirgenir. Daha sonra belirtilen her bir seri sınır değer problemine, Laplace dönüşümü ve konvolusyon teoremi uygulanarak Laplace uzayındaki uygun sınır değer problemi serisine indirgenir. Dönüşüm parametresinin belirli her değeri için lineer problemler, değişkenlerine ayırma yöntemi yardımıyla çözülmüş ve sonuçta Schapery (1966) sayısal ters dönüşüm metodu uygulanarak aranan değerler belirlenmiştir. Dikkat edilmelidir ki, silindir malzemesinin elastik olması durumunda, (2.5) operatörleri mekanik sabitlerle yer değiştirir. Bundan dolayı integro diferansiyel denklemler yerine, diferansiyel denklemler elde edilir ve bu denklemlere karşı gelen problemler, Laplace dönüşümü uygulamaksızın yukarıdaki işlemlerin tekrarlanması ile incelenecektir. Yukarıda özetlenen çözüm ve problemin formülasyonuna göre, ilk olarak silindirin S yanal yüzeyinin denklemi elde edilir. Silindirin kesit koşullarına göre bu yüzeyin koordinatlarının aşağıdaki denklemleri sağlamaktadır:. ε f '(t3 ) ( x10 − ε f ( t3 ) ) + x30 − t3 = 0 , x202 + ( x30 − t3 ) + ( x10 − ε f ( t3 ) ) = R 2 . 2. 2. Burada,. f ( t3 ) = ℓ sin (π t3 ℓ ) ,. (2.9). f ' ( t3 ) = π cos (π t3 ℓ ) ; x10 , x20 , x30 , S yüzeyinin. koordinatlarıdır. Dikkat edilmelidir ki, (2.9)’daki ilk denklem, t3 parametresinin sabit değerine karşı gelen noktadaki silindirin orta çizgisine teğet vektöre dik düzlemin denklemidir, fakat (2.9)’daki ikinci denklem bahsedilen düzlemde ortaya çıkan silindirin kesiti olan dairenin denklemidir. x10 = r cos θ. ve x20 = r sin θ. bağıntılarını kullanarak, Orθ z. sisteminde S yüzeyinin aşağıdaki denklemleri elde edilir: r = r (θ , t3 , ε ) = ε f (t3 ) cos θ ±. ±. 1 + ε 2 ( f '(t3 ) ). 2. 1 + ε 2 ( f '(t3 ) ) cos 2 θ 2. 9. +. silindirik koordinat.

(23) (. ). (. ). 2 2  R ± 2 − ε 2 f (t ) 2 1 + ε 2 f '(t ) 2 2 1 + ε f '( t ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2  + ε 2 ( f (t3 ) ) cos 2 θ  2 2 2 2 1 + ε ( f '(t3 ) ) cos θ  1 + ε 2 ( f '(t3 ) ) cos 2 θ . (. z ± = t3 − ε f '(t3 ) ( r ± (θ , t3 , ε ) − ε f (t3 )) , f '(t3 ) =. 1. ). df (t3 ) dt3. 2  2   (2.10). (2.2) kabulünü ve ( ε f ' ( t3 ) ) << 1 şartını kullanarak ve bazı matematiksel işlemler 2. sonucunda aşağıdaki denklemler elde edilir: r = R + ε f (t3 ) cos θ + O (ε 2 ) , z = t3 − ε Rf '(t3 ) cos θ + O ( ε 2 ) , 2   f (t3 )  2 ± nr = 1 − ε  R f ''(t3 ) − ±  + O(ε 3 )  ,   R    . (.  f (t )  nθ =  ε ±3 sin θ + O ( ε 2 )  , nz = −ε f '(t3 ) cos θ + O ( ε 2 )  R . ). (2.11). Burada nr , nθ , nz , S yüzeyine ait birim normal vektörün fiziksel bileşenleridir. Silindirin sınırlarına meyilli alt ve üst uçları üzerine bulunan düzlemin denklemi aşağıdaki gibi yazabiliriz: x3 = −επ x1 (alt uç için). x3 = επ x1 + ℓ (üst uç için).. (2.12). (2.7) denklemine göre bu sınırlara normal vektörlerin bileşenlerinin ifadesini aşağıdaki şekilde verebiliriz:  1   1  n01 = nℓ1 = −επ 1− (επ )2 + O ((επ ) 4 ) , n03 = −1− (επ )2 + O ((επ ) 4 ) ,  2  2    1  nℓ 3 = 1− (επ )2 + O ((επ ) 4 )  2 . (2.13). Sınır pertürbasyonu tekniği işlemlerine göre, Akbarov (1998) ve Akbarov ve Yahnioglu (2001) ve diğer çalışmalarda olduğu gibi, pertürbasyon metodu formunda sınırları çalışarak, ele alınan problemi çözmeye çalışıyoruz. Bu maksatla bilinmeyenler, ε cinsinden, (2.14) seri formunda sunulmuştur. 10.

(24) ∞. {σ (ij ) ; ε (ij ) ; u(i ) } = ∑ ε q {σ ((ijq)) ; ε ((ijq)) ; u((iq)) } , (ij) = rr; rθ; rz; θ z; θθ; zz , (i) = r; θ; z .. (2.14). q =0. (2.14), (2.3)’de yerine yazılarak her bir yaklaşım için seri denklemler takımı elde edilir. (2.11) kullanılarak, {r0 = R0 ; z0 = t3 } noktasının görüntüsü cinsinden seri şeklinde her yaklaşımın (2.14) değerlerini genişletebiliriz. (2.6)’daki sınır şartlarında bulunan son ifadeler yerine yazılarak ve (2.11)’de verilen nr , nθ ve nz ifadeleri kullanılarak, (2.14) denklemindeki her bir yaklaşım için {r = R; z = t3 } noktasında sağlanan sınır şartları elde edilir. (2.6) şartının, {r0 = R0 ; z0 = t3 } noktasında sağlanan aynısıyla değiştirildiği koşul ve (2.3) denkleminin geçerli olduğu sıfırıncı yaklaşım için kanıttır. Gerilme tansörünün bileşenlerinin lineer olmayan parçalarının, lineer olan parçalarına göre çok küçük ve ihmal edilebilir olduklarını kabul ediyoruz. Bu kabule göre, sıfırıncı yaklaşım için aşağıdaki denklem sistemi elde edilir: ∂σrr(0) ∂σr(0) ∂σ (0) 1 ∂σθ(0) ∂σ (0) 2 ∂σθ(0)z θ r + + rz + (σrr(0) − σθθ(0) ) = 0 , + θθ + σθ(0) + = 0, r ∂r r ∂θ ∂z r ∂r r ∂θ r ∂z ∂σrz(0) ∂σθ(0)z 1 ∂σ (0) + + σ zr(0) + zz = 0 , ∂r r ∂θ r ∂z (0) rr. 1  ∂uθ(0) ∂ur(0) uθ(0)  (0) 1  ∂ur(0) ∂u z(0)  ∂ur(0) (0)  , εrz =  , = , εrθ =  + − + ∂r 2  ∂r r∂θ r  2  ∂z ∂r . (0) θθ. ∂uθ(0) ur(0) (0) 1  ∂u z(0) ∂uθ(0)  (0) ∂u z(0)  , εzz = = + , εθ z =  + r∂θ r 2  r∂θ ∂z  ∂z. ε. ε. (2.15). ve sınır şartları (0) σ rr(0) r = R = 0 , σ r(0) θ r = R = 0 , σ rz r = R = 0. (2.16). Ayrıca, (2.7), (2.8) ve (2.13)’den sıfırıncı yaklaşım için alt v üst yüzeylerdeki sınır şartları aşağıdaki gibi elde edilir:. σ zz(0) (r ,θ , 0) = σ zz(0) (r ,θ , ℓ) = − p ,. (2.17) 11.

(25) (2.17) sınır şartına göre elde edilen matematiksel işlemin aşağıdaki gibi verildiğine dikkat ediniz. Sonraki yaklaşımlar için aşağıdaki denklem sistemi elde edilir: ∂σrr( q ) ∂σr(θq ) ∂σrz( q ) 1 ( q ) ∂ 2ur( q ) + + + (σrr − σθθ( q ) ) + σ zz(0) = ∂r r ∂θ ∂z r ∂z 2 ∂S rr( q−1) ∂S r(θq−1) ∂S rz( q−1) 1 ( q−1) − − − − ( S rr − Sθθ( q−1) ) , ∂r r ∂θ ∂z r ∂σθ( rq ) ∂σθθ( q ) 2 ( q ) ∂σθ( qz ) ∂ 2uθ( q ) ∂Sθ(rq−1) ∂Sθθ( q−1) 2 ( q−1) ∂Sθ(zq−1) + + σθ r + + σ zz(0) = − − − Sθ r − , ∂r r∂θ r ∂z ∂z 2 ∂r r ∂θ r ∂z ∂σrz( q ) ∂σθ( qz ) 1 ( q ) ∂σ zz( q ) ∂ 2u z( q ) ∂S rz( q−1) ∂Sθ( zq−1) 1 ( q−1) ∂S zz( q−1) + + σ zr + + σ zz(0) = − − − S zr − , ∂r r∂θ r ∂z ∂z 2 ∂r r ∂θ r ∂z q−1   ∂u ( q−k ) uθ( q−k )   ∂ u ( q− k ) ∂u ( q−k )   + σrz( k ) r S rr( q−1) = ∑ σrr( k ) r + σr(θk )  r − ,   r∂θ   ∂ r r ∂ z  k =1   . S. ( q−1) rθ. ( q −k )   ( q−k ) ur( q−k )   ( k ) ∂uθ( q−k )  ( k )  ∂uθ ( k ) ∂uθ  = ∑ σrr + σ rθ  + + σ , rz  ∂r r  ∂z   r∂θ k =1  . S. ( q−1) rz. ( q− k ) ( q −k )   ( k ) ∂uz( q−k ) ( k ) ∂u z ( k ) ∂u z  , = ∑ σrr + σrθ + σrz  ∂r r ∂θ ∂z  k =1 . S. ( q−1) θr. ( q −k )   ( q−k ) uθ( q−k )   ( k ) ∂ur( q−k )  ( k )  ∂ur ( k ) ∂u r  + σθ z = ∑ σθr + σθθ  − ,  ∂r ∂z  r   r∂θ k =1  . q−1. q−1. q−1. q−1   ∂u ( q−k ) ur( q−k )   ∂ u ( q −k ) ∂u ( q−k )   + σθ( kz ) θ  , Sθθ( q−1) = ∑ σθ( rk ) θ + σθθ( k )  θ +  ∂r r  ∂z   r∂θ k =1   q−1   ∂ u ( q− k ) ∂ u ( q− k ) ∂u ( q−k )  Sθ(zq−1) = ∑ σθ( rk ) z + σθθ( k ) z + σθ( kz ) z  ,  ∂r r ∂θ ∂z  k =1  q−1   ∂ u ( q− k ) ∂ u ( q− k ) ∂u ( q−k )  S zz( q−1) = ∑ σrz( k ) z + σ z(θk ) z + σ zz( k ) z  ,  ∂r r ∂θ ∂z  k =1  q−1   ∂u ( q−k ) uθ( q−k )   ∂ u ( q− k ) ∂u ( q−k )   + σ zz( k ) z  S zr( q−1) = ∑ σ zr( k ) r + σ z(θk )  r −  ∂r ∂z  r   r∂θ k =1  . 12.

(26) q−1   ∂u ( q−k ) ur( q−k )   ∂ u ( q −k ) ∂u ( q−k )   + σ zz( k ) θ  , S z(θq−1) = ∑ σ zr( k ) θ + σ z(θk )  θ +  ∂r r  ∂z   r∂θ k =1  . εrr( q ) =. ∂urq 1 q−1  ∂ur( k ) ∂ur( q−k )   ∂uθ( k ) ∂uθ( q−k )   ∂u z( k ) ∂u z( q−k )   +   +   , + ∑        ∂r 2 k =1  ∂ r ∂ r ∂ r ∂ r ∂ r ∂ r        . 1  ∂u ( q ) ∂u ( q ) u ( q )  εr(θq ) =  θ + r − θ  + 2  ∂r r∂θ r   ∂uθ( k )  ∂uθ( q−k ) ur( q−k )  ∂u z( k ) ∂u z( q−k )   ∂ur( k )  ∂ur( q−k ) 1 q−1  ( q −k )    +  + − u +   , ∑ θ       2 k =1  ∂ r ∂ θ ∂ r r ∂ θ r ∂ r ∂ θ      . 1  ∂u ( q ) ∂u ( q )  1 q−1  ∂u ( k ) ∂ur( q−k ) ∂uθ( k ) ∂uθ( q−k ) ∂u z( k ) ∂uz( q−k )  εrz( q ) =  r + z  + ∑  r + + , 2  ∂z ∂r  2 k =1  ∂r ∂z ∂r ∂z ∂r ∂z  εθθ( q ) =. q−1   ( q−k )   1  ∂ur( k ) ∂uθ( q ) ur( q ) 1 ( k )  ∂ur − u − uθ( q−k )  + + + ∑   θ  2   ∂θ r∂θ r 2 k =1     r  ∂θ. ( q−k )   ( q−k )  1  ∂u z( k )   1  ∂uθ( k ) ( k )  ∂uθ ( q−k )   ∂u z      , + + + u u    r  r 2 2    ∂θ  ∂θ  r  ∂θ   r  ∂θ  .  1  ∂u ( q ) ∂u ( q )  1 q−1  1 ∂ur( k )  ∂ur( q−k ) εθ( qz ) =  z + θ  + ∑  − uθ( q−k )  +  ∂z  2 k =1  r ∂z  ∂θ 2  r∂θ   1 ∂u z( k ) ∂u z( q−k )  1 ∂uθ( k )  ∂uθ( q−k ) ( q−k )  + u  , r  + r ∂z  ∂θ ∂z   r ∂θ. ε. (q) zz. ∂u z( q ) 1 q−1  ∂ur( k ) ∂ur( q−k )   ∂uθ( k ) ∂uθ( q−k )   ∂u z( k ) ∂u z( q−k )  + +  . = + ∑   ∂z 2 k =1  ∂z   ∂z ∂z   ∂z ∂z   ∂z. (2.18). (2.18) denklemindeki altı çizili terimler birinci yaklaşım için sıfıra eşittir. Karşı gelen, Lineerize Edilmiş Üç Boyutlu Stabilite Teorisi (LEÜBST) (Guz (1999)) denklemleri ile çakışan altı çizili terimler olmadan, (2.18) denklemi doğrudan sağlama ile gösterilebilir. Lineerlikten dolayı, (2.4) bünye denklemleri her bir yaklaşım için ayrı ayrı sağlanır, yani σrr( q ) = A11∗ εrr( q ) + A12∗ εθθ( q ) + A13∗ εzz( q ) ; σθθ( q ) = A12∗ εrr( q ) + A11∗ εθθ( q ) + A13∗ εzz( q ) ;. 13.

(27) ∗ σ zz( q ) = A13∗ εrr( q ) + A13∗ εθθ( q ) + A33∗ εzz( q ) ; σr(θq ) = ( A11∗ − A22 ) εr(θq ) ;. σrz( q ) = 2G ∗ εrz( q ) ; σθ( qz ) = 2G ∗ εθ( qz ) .. (2.19). Şimdi birinci yaklaşım için, silindirin yanal yüzeyi üzerinde verilen sınır şartları, gerilme tensörünün fiziksel bileşenleri cinsinden. σ. (1) ( ir ). + f1. ∂σ ((0) ir ) ∂r. + ϕ1. ∂σ ((0) ir ) ∂z. (0) + γ θ σ ((0) i )θ + γ zσ ( i ) z = 0. (2.20). ile verilir. Burada (i ) = r , θ , z dir. (2.20)’de (i ) ’yi, r , θ ve z ile değiştirerek ele alınan yaklaşımdaki temas koşullarının açık formu elde edilir. Ayrıca (2.20)’de aşağıdaki notasyon kullanılmıştır:. γ z = − f '(t3 ) cos(θ ) , f1 = f (t3 ) cos(θ ) , ϕ1 = − Rf '(t3 ) cos(θ ) , γθ =. df ( t3 ) d 2 f ( t3 ) f (t3 ) sin(θ ) , f '(t3 ) = , f ''(t3 ) = . R dt3 dt3 2. (2.21). (2.8) sınır şartları, Ox1 x2 x3 kartezyen koordinat sistemi için yeniden yazılırsa,   ∂u j  ∂u   n0 j = p; σ3n δnj + j  nℓj = − p σ3n δnj +  ∂xn  S ∂xn  S  0. (2.22). ℓ. olur. Burada δnj , Kronecker sembolüdür. (2.22)’de kullanılan diğer notasyonlar bilinen notasyonlardır. (2.12) ve (2.13) denklemlerine göre, (2.22) koşullarından aşağıdaki ifadeler yazılabilir:   ∂u j  ∂u ( x , x , −επ x1 , t )   n0 j = σ3n ( x1 , x2 , −επ x1 , t ) δn1 + 1 1 2 σ3n δnj +   n01 +  ∂xn  S ∂xn   0.  ∂u ( x , x , −επ x1 , t )   n03 = − p σ3n ( x1 , x2 , −επ x1 , t ) δn3 + 3 1 2  ∂xn    ∂u j  ∂u ( x , x , ℓ + επ x1 , t )   nℓj = σ3n ( x1 , x2 , ℓ + επ x1 , t ) δn1 + 1 1 2  nℓ1 + σ3n δnj + ∂xn  S ∂xn    ℓ. 14.

(28)  ∂u ( x , x , ℓ + επ x1 , t )  σ3n ( x1 , x2 , ℓ + επ x1 , t ) δn3 + 3 1 2  nℓ 3 = p . ∂xn  . (2.23). Aşağıdaki açılımları kullanarak:. σ in ( x1 , x2 , −επ x1 , t ) =. ∞. ∑ε σ q. q=0. . ε  σ in(1) ( x1 , x2 , 0, t ) + ( −π x1 ) . (q) in. ( x1 , x2 , −επ x1 , t ) = σ in(0) ( x1 , x2 , 0, t ) +. (. ). ∂σ in(0) ( x1 , x2 , 0, t )  2  + O ( επ ) ; ∂x3 . ∂um ( x1 , x2 , −επ x1 , t ) ∞ q ∂um( q ) ( x1 , x2 , −επ x1 , t ) ∂um(0) ( x1 , x2 , 0, t ) = ∑ε = + ∂x j ∂x j ∂x j q=0  ∂um(1) ( x1 , x2 , 0, t ) ∂ 2um(0) ( x1 , x2 , 0, t )  2 + ( −π x1 )  + O ( επ ) ;  ∂x j ∂x3∂x j  . (. ε. σ in ( x1 , x2 , ℓ + επ x1 , t ) = . ∞. ∑ε σ q. q=0. ε  σ in(1) ( x1 , x2 , ℓ, t ) + (π x1 ) . (q) in. ). ( x1 , x2 , ℓ + επ x1 , t ) = σ in(0) ( x1 , x2 , ℓ, t ) +. (. ). ∂σ in(0) ( x1 , x2 , ℓ, t )  2  + O ( επ ) ; ∂x3 . ∂um ( x1 , x2 , ℓ + επ x1 , t ) ∞ q ∂um( q ) ( x1 , x2 , ℓ + επ x1 , t ) ∂um(0) ( x1 , x2 , ℓ, t ) = ∑ε = + ∂x j ∂x j ∂x j q=0  ∂um(1) ( x1 , x2 , ℓ, t ) ∂ 2um(0) ( x1 , x2 , ℓ, t )  2 ε + (π x1 )  + O ( επ )  ∂x j ∂x3∂x j  . (. ). (2.22)’deki sınır koşulları için aşağıdaki ifadeler elde edilir: (0) (1) 2 (0) (0)   −σ (0) δ 3 + ∂u3  + ε −πσ (0) δ1 + ∂u1  − σ (0)  ∂u3 − π x ∂ u3  −  k   3k  k 3k  3k  1   ∂xk  ∂xk  ∂xk ∂x3∂xk       . (0)  (0)    σ (1) − π x ∂σ3k δ k + ∂u3  + O (ε 2 ) =p 1  3  3k  ∂xk  ∂xk  ( x1 , x2 ,0) (0) (1) 2 (0) (0)   σ (0) δ 3 + ∂u3  + ε πσ (0) δ1 + ∂u1  + σ (0)  ∂u3 + π x ∂ u3  +    3k  k 3k  1  3k  k  ∂xk  ∂xk  ∂x3∂xk    ∂xk  . 15. (2.24).

(29) (0)  (0)    σ (1) + π x ∂σ3 k δ k + ∂u3  + O (ε 2 ) = −p . 1 3  3k  ∂xk  ∂xk  ( x , x , ℓ ) 1. (2.25). 2. Benzer tarzda, silindirin sınırlarındaki u(i ) yerdeğiştirme vektörünün fiziksel bileşenleri için aşağıdaki ifadeleri yazabiliriz:  (1) ∂u((0) ( x , x , 0, t )  2 u((0) ( x , x , 0, t ) + ε u ( x , x , 0, t ) + − π x ( 1 ) i) 1 2  (i ) 1 2  + O ( επ ) = 0 , i) 1 2 ∂x3  . (. ).  (1) ( x , x , ℓ, t )  ∂u((0) 2 u ( x1 , x2 , ℓ, t ) + ε  u(i ) ( x1 , x2 , ℓ, t ) + (π x1 ) i ) 1 2  + O ( επ ) = 0 ,  ∂x3  . (. (0) (i ). ). (2.26). (i ) = r , θ , z. (i ) = r ; θ için (2.26) ifadesinde ε q ’nun katsayılarının ayrı ayrı sıfıra eşit olduğu kabul. edilir. Sonuçta, bu kabule göre ur ve uθ yerdeğiştirmeleri için birinci ve sonraki yaklaşımlara ait sınır koşulları elde edilir.. (δk3 + ∂u3(0). ∂xk ) ≈ δk3 ,. (δk1 + ∂u1(0). ∂xk ) ≈ δk1 kabulü ve (2.23) ve (2.26) açılımları. dikkate alınarak, (2.22) koşulundan sıfırıncı ve birinci yaklaşımlar için gerilmeler için aşağıdaki sınır şartları elde edilir: Sıfırıncı yaklaşım için: (0) σ33 ( x1 , x2 ,0) = σ33(0) ( x1 , x2 , ℓ )− p ,. (2.27). Birinci yaklaşım için:.  ∂u3(1) ( x1 , x2 , 0, t ) ∂ 2u3(0) ( x1 , x2 ,0, t )  (0)   + πσ31 ( x1 , x2 ,0, t ) + σ3(0) ( x , x , 0, t ) − π x k 1 2 1  ∂xk ∂x3∂xk  (0)   σ (1) ( x , x , 0, t ) − π x ∂σ33 ( x1 , x2 , 0, t )  = 0 , 1   33 1 2 ∂x3 .  ∂u3(1) ( x1 , x2 , ℓ, t ) ∂ 2u3(0) ( x1 , x2 , ℓ, t )    + πσ ( x1 , x2 , ℓ, t ) + σ ( x1 , x2 , ℓ, t )  + π x1 ∂x ∂x ∂x   (0) 31. (0) 3k. k. 16. 3. k.

(30) (0)   σ (1) ( x , x , ℓ, t ) + π x ∂σ33 ( x1 , x2 , ℓ, t )  = 0 33 1 2 1   ∂x3 . (2.28). olur. Böylece, Orθ z silindirik koordinat sisteminde, (2.27) koşulu yeniden yazılarak, (2.17) koşulu elde edilir. (2.15), (2.16) ve (2.17)’ye göre, sıfırıncı yaklaşıma ait değerler aşağıdaki gibi elde edilir: σ zz(0) = − p , σ((0) ij ) = 0,. for (ij ) ≠ zz .. (2.29). (2.29)’dan sıfırıncı yaklaşımda, yer değiştirme vektörünün bileşenleri aşağıdaki gibi sunulabileceği açığa çıkar: ur(0) = a (t )r + a0 , uθ(0) = b0 , u z(0) = c(t ) z + c0 .. (2.30). Burada a0 , b0 ve c0 sabitler, a (t ) ve c(t ) fonksiyonlar, t de zamandır. a (t ) ve c(t ) fonksiyonları, (2.19) ve (2.29) denklemlerinden kolayca belirlenebilir. Şimdi de, birinci yaklaşıma ait değerlerin belirlenmesi işini ele alalım. (2.29) ifadesini dikkate alarak, bu yaklaşım için (2.18) denkleminden aşağıdaki alan denkleri elde edilir: ∂ 2u z(1) ∂σ rr(1) 1 ∂σ r(1) ∂σ (1) 1 θ + + rz + (σ rr(1) − σ θθ(1) ) + σ zz(0) =0, ∂r r ∂θ ∂z r ∂z 2 ∂σ r(1) ∂ 2uθ(1) 1 ∂σ θθ(1) ∂σ θ(1)z 2 (1) θ + + + σ rθ + σ zz(0) =0, ∂r r ∂θ ∂z r ∂z 2 2 (1) ∂σ rz(1) 1 ∂σ θ(1)z ∂σ zz(1) 1 (1) (0) ∂ u z + + + σ rz + σ zz = 0. ∂r r ∂θ ∂z r ∂z 2. ε rr(1) =. ∂u (1) u (1) 1  ∂ur(1) ∂uθ(1) uθ(1)  ∂ur(1) ∂u (1) , ε θθ(1) = θ + r , ε zz(1) = z , ε r(1) = + −  , θ ∂r r ∂θ r ∂z 2  r ∂θ ∂r r . 1  ∂uθ(1) ∂uz(1)  (1) 1  ∂u z(1) ∂ur(1)  + +  , ε zr =  . 2  ∂z r ∂θ  2  ∂r ∂z . εθ(1)z = . (2.31). Silindirin yan yüzeyi üzerindeki aşağıdaki koşullar, (2.20) ve (2.29)’dan elde edilir:. σ rr(1) ( R,θ , t3 , t ) = 0 , σ r(1)θ ( R,θ , t3 , t ) = 0 , σ rz(1) ( R,θ , t3 , t ) = 2πσ zz(0) cos (α z ) cos θ .. 17. (2.32).

(31) (2.26) ve (2.28) denklemlerine göre, birinci yaklaşım için sınır şartı aşağıdaki gibi yazılabilir:. σ zz(1) (r ,θ , 0, t ) + σ zz(0). ∂u z(1) (r , θ , 0, t ) = 0 , ur(1) (r , θ , 0, t ) = 0 , uθ(1) (r , θ , 0, t ) = 0 , ∂z. σ ( r , θ , ℓ, t ) + σ. ∂u z(1) (r , θ , ℓ, t ) = 0 , ur(1) (r , θ , ℓ, t ) = 0 , uθ(1) (r , θ , ℓ, t ) = 0 . ∂z. (1) zz. (0) zz. (2.33). Böylece, (2.31), (2.19) ve (2.5) denklemleri ve (2.32) ve (2.33) sınır koşulları, birinci yaklaşıma ait değerlerin belirlenebilmesi için, problemin formülasyonu tamamlanır. Bu problemin çözümü için Laplace dönüşümü ∞. ψ = ∫ ψ ( t ) e− st dt. (2.34). 0. uygulanır. Birinci yaklaşıma ait bütün bağıntı ve denklemlerde, s parametresi, s > 0 olacak şekildedir. (2.31) denklemine dönüşüm yapıldıktan sonra, (2.19) bünye denklemleri, aşağıdaki denklemlere dönüştürülürken, (2.32) ( σ zz(0) ile σ zz(0) s ’ın yerleri değiştirilmelidir) ve (2.33) sınır koşulları, aranan büyüklüklere karşı gelen Laplace dönüşümleri için geçerlidir: σrr(1) = A11∗ εrr(1) + A12∗ εθθ(1) + A13∗ εzz(1) ; σθθ(1) = A12∗ εrr(1) + A11∗ εθθ(1) + A13∗ εzz(1) ;. σ zz(1) = A13∗ εrr(1) + A13∗ εθθ(1) + A33∗ εzz(1) ; σr(1)θ = ( A11∗ − A22∗ ) εr(1) θ ; σrz(1) = 2G ∗εrz(1) ; σθ(1)z = 2G ∗εθ(1) z .. (2.35). Burada.  Aij∗   Aij 0   Aij1 ( s )  φ s = φ s + ( ) ( )  ∗    φ ( s ) G G s   ( ) G 0    1   . (2.36). dir. Yukarıda dikkat çekildiği gibi, (2.31) - (2.36) denklemleri, LEÜBST’nin ilgili denklemleri ile çakışmaktadır. Bundan dolayı, Guz (1999) tarafından verilen monografiye göre elde edilen denklem sistemini çözmek için, silindirik koordinat sisteminde verilen aşağıdaki gösterimler kullanılabilir: 18.

(32) ur(1) =. 1 ∂ ∂2 ∂ 1 ∂2 ψ− χ , uθ(1) = − ψ − χ, r ∂θ ∂r ∂z ∂r r ∂θ ∂z. −1  ∂2  ∂2 1 ∂ 1 ∂2 u z(1) = ( A13* + G* )  A11* ∆1 + ( G* + σ zz(0) ) 2  χ , ∆1 = 2 + + . ∂z  ∂r r ∂r r 2 ∂θ 2 . (2.37). (2.37)’de ψ ve χ fonksiyonları, aşağıdaki denklemlerden belirlenir: 2  2 ∂  ∆ + ξ  1 1 2 ψ = 0 , ∂z  . 2 2  2 ∂  2 ∂  ∆ + ξ ∆ + ξ  1 2 2  1 3 2  χ = 0 . ∂z  ∂z  . (2.38). Burada 1. ξ12 =. *. 2G , ξ 2,32 * A − A12 * 11.  A33* + σ zz(0) )( G* + σ zz(0) )  2 ( 2   , =c± c −   A11* G *  . 2 A11* G*c = A11* ( A33* + σ zz(0) ) + G* ( G * + σ zz(0) ) − ( A13* + G* ). 2. (2.39). dir. (2.32) ve (2.33) koşullarının sağ taraflarındaki ifadeleri alarak, (2.38) denkleminin çözümü, aşağıdaki gibi bulunur:. ψ = B1I1 (ξ1α r ) sin(α z ) sin θ , χ = [ B2 I1 (ξ 2α r ) + B3 I1 (ξ3α r )] cos(α z ) cos θ .. (2.40). Burada I1 ( x) , sadece sanal argüman için birinci mertebeden Bessel fonksiyonu ve B1 , B2 ve B3 bilinmeyen sabitlerdir. Bu çözümler, (2.37) ve (2.35) bağıntılarında yerlerine yazılarak, aranan değerlerin Laplace dönüşümü için, aşağıdaki ifadeleri elde edilir:  1  ur(1) =  B1 I1 (ξ1α r ) + B2ξ 2α 2 I1' (ξ 2α r ) + B3ξ3α 2 I1' (ξ3α r )  sin(α z ) cos θ ,  r . α α   uθ(1) =  − B1ξ1α I1' (ξ1α r ) − B2 I1 (ξ 2α r ) − B3 I1 (ξ3α r )  sin(α z ) sin θ , r r   u z(1) =  B2 D2α 2 I1 (ξ 2α r ) + B3 D3α 2 I1 (ξ3α r )  cos(α z ) cos θ ,. 19.

(33) D2 =. A11* ξ32 − G* − σ zz(0) A11* ξ 22 − G* − σ zz(0) , D = 3 A13* + G* A13* + G * .  . σ rr(1) =  B1  − ( A11* − A12* ) . 1 ξα  I (ξ α r ) + ( A11* − A12* ) 1 I1' (ξ1α r )  + 2 1 1 r r .  * 3 2 ''   ξ 2α 2 ' *  −α B2  A11α ξ 2 I1 (ξ 2α r ) + A12  2 I1 (ξ 2α r ) + I1 (ξ 2α r )  − A13* D2α 3 I1 (ξ 2α r )  + r  r        −α  ξ α2 B3  A11* α 3ξ32 I1'' (ξ3α r ) + A12*  2 I1 (ξ3α r ) + 3 I1' (ξ3α r )  − A13* D3α 3 I1 (ξ3α r )   sin (α z ) cos θ r  r    . . 1 * 1 ξα   A11 − A12* )  −ξ12α 2 I1'' (ξ1α r ) − 2 I1 (ξ1α r ) + 1 I1' (ξ1α r )   + ( r r   2. σ r(1)θ =  B1  .  α  ξ α2 B2 ( A11* − A12* )  2 I1 (ξ 2α r ) − 2 I1' (ξ 2α r )   + r r    α    ξ α2 B3 ( A11* − A12* )  2 I1 (ξ3α r ) − 3 I1' (ξ3α r )    sin(α z ) sin θ ; r r      . σ rz(1) =  B1G *. α r. I1 (ξ1α r ) + B2G*α 3ξ 2 I1' (ξ 2α r ) (1 + D2 ) +. B3G *α 3ξ3 I1' (ξ3α r ) (1 + D3 )} cos(α z ) cos θ ;. . . . α. . 2. σ zz(1) =  B2  A13*  ξ 22α 3 I1'' (ξ 2α r ) − . . r. I1 (ξ 2α r ) +. α 2ξ 2 r.   I1' (ξ 2α r )  − A33* D2α 3 I1 (ξ 2α r )  +  .      α 2ξ3 ' α B3  A13*  ξ32α 3 I1'' (ξ3α r ) − 2 I1 (ξ3α r ) + I1 (ξ3α r )  − A33* D3α 3 I1 (ξ3α r )   sin (α z ) cos θ . (2.41) r r     . Burada I '( x) = dI ( x) dx , I ''( x) = d 2 I ( x) dx 2. notasyonu kullanılmıştır. Üzerinde. düşünülen problemde, (2.41) çözümü, (2.33) sınır şartını otomatik olarak sağlar. B1 , B2 ve B3 bilinmeyenlerini sırasıyla α 2 B1 ( = C1 ) , α 3 B2 ( = C2 ) ve α 3 B3 ( = C3 ) ile yerdeğiştirerek, bu bilinmeyenlerin belirlenmesi için, (2.32) sınır şartından aşağıdaki cebirsel denklem elde edilir: 20.