Polar code construction for non-binary source alphabets

(1)

˙IK˙IL˙IK OLMAYAN KAYNAK ALFABELER˙I ˙IC¸˙IN KUTUPSAL KOD

˙INS¸ASI

POLAR CODE CONSTRUCTION FOR NON-BINARY SOURCE

ALPHABETS

Semih C

¸ aycı, Orhan Arıkan, Erdal Arıkan

Elektrik Elektronik Mühendisli˘gi Bölümü

Bilkent ¨

Universitesi, Ankara

{semih,oarikan,arikan}@ee.bilkent.edu.tr

¨

OZETC

¸ E

Bu çalıs¸mada ikilik kutupsal kodların ins¸ası için Tal ve Vardy’nin önerdi˘gi yaklas¸ıklama yöntemleri ikilik olmayan kay-nak alfabelerine genis¸letilmis¸tir. Ayrıca, daha az hesapsal özkaynak kullanımıyla isabetli bir biçimde kutupsal kod ins¸asını olanaklı hale getiren yeni bir yaklas¸ıklama yöntemi önerilmis¸tir.

¨

Onerilen yöntemlerin verimlili˘gi ve isabeti çözümsel ve sayısal olarak desteklenmis¸tir.

ABSTRACT

In this paper, approximation methods for binary polar code construction proposed by Tal and Vardy are extended to non-binary source alphabets. Additionally, a new approximation method that enables accurate polar code construction with less usage of computational resources is proposed. Efficiency and accuracy of proposed methods are supported analytically and numerically.

1. G˙IR˙IS¸

Kutupsal kodlar ilk olarak [1]’de kanal kodlama için önerilmis¸ ve ispatlanabilir olarak kanal kapasitesine eris¸ebilen, aynı zamanda düs¸ük karmas¸ıklıklı kodlama ve kod çözümü yöntemlerine sahip ilk kodlar olarak önemli bir kuramsal ilerleme sa˘glamıs¸tır. [2]’de kaynak kodlama kav-ramları kullanılarak kutuplas¸tırma ikilik belleksiz kaynaklar için genis¸letilmis¸ ve kutupsal kaynak kodların Shannon’ın yitimsiz kaynak kodlama teoremindeki sınıra eris¸ti˘gi ortaya konulmus¸tur. [3]’te kutuplas¸tırma ikilik olmayan sonlu alfa-belere genis¸letilmis¸ ve asal sayıda elemana sahip alfabelerde ikilik alfabedeki kod ins¸asına benzer bir s¸ekilde kutuplas¸tırma sa˘glanabilece˘gi gösterilmis¸tir. Bu bildirideki yaklas¸ıklama yöntemleri genel olmakla birlikte ilk bölümde ele alınan ins¸a yöntemi [3] temel alınarak anlatılmıs¸tır. Kutupsal kod-ların olus¸turulması için [1]’de Monte-Carlo simulasyonları kullanılmıs¸, [4]’te ise yo˘gunluk evrimi yönteminin kullanılması önerilmis¸tir. [5]’te kutupsal kodların verimli ins¸ası için [4]’te

Bu c¸alıs¸ma T ¨UB˙ITAK tarafından 110E243 numaralı proje

kap-samında desteklenmektedir.

978-1-4673-0056-8/12/$26.00 c 2012 IEEE

verilen yöntem alt ve üst sınırlarla desteklenecek biçimde gelis¸tirilmis¸tir. Bu bildiride is¸lenen yöntemlerin çıkıs¸ noktasını bu çalıs¸ma olus¸turur.

2. KUTUPSAL KAYNAK KOD ˙INS¸ASI

Kutupsal kaynak kod ins¸asında, verilen bir kaynak da˘gılımı için kutuplas¸tırma dönüs¸ümü uygulandıktan sonra kos¸ullu ent-ropilerin hesaplanması ve kod kelimesini olus¸turacak olan yüksek kos¸ullu entropi indislerinin bulunması gereklidir.

X1ve X2,{0, 1, ..., q − 1} üzerinde tanımlı ba˘gımsız ras-sal de˘gis¸kenler olsun; q’nun aras-sal oldu˘gunu varsayalım. ”⊕” modülo-q toplam is¸areti olmak üzere kutuplas¸tırma is¸lemini sa˘glayan temel dönüs¸üm S¸ekil 1’deki gibidir [3]:

S¸ekil 1: Temel dönüs¸üm.

Xi rassal de˘gis¸kenlerinin olasılık k¨utle fonksiyonları, PXi(k), s¸u s¸ekildedir: PXi(k) =    p(k)_i , k∈ {1, ..., q − 1} 1 − q−1_P l=1 p(l)_i , k= 0 (1)

Xi rassal de˘gis¸keninin olasılık da˘gılımı p_i = [p(1)_i , ..., p(q−1)_i ]T vektörü ile temsil edilir ve bu de˘gis¸ken Xi= Q(p_i) olarak gösterilir.

S¸ekil 1’deki bire bir dönüs¸üm sonucunda girdi de˘gis¸kenlerinin ortak entropileri H(X1, X2) korunur. Kos¸ullu entropiler için zincir kuralının uygulanmasıyla sıradaki es¸itlikler elde edilir:

H(X1, X2) = H(U1, U2) = H(U1) + H(U2|U1) (2) (2) numaralı es¸itli˘gin sa˘g tarafındaki entropilerin hesaplan-masında kullanılacak ve is¸lemleri s¸u s¸ekilde tanımlanır:

U1 =Q(p₁) Q(p₂) (3)

(2)

U2|U1= Q(p₁) Q(p₂) = q−1 X m=0 αmQ(p(1)m, . . . , p(q−1)m ) (4) αm= P (U1= m) p(l)m = P (U2= l|U1= m)

(4)’teki es¸itlikte U2|U1, αm olasılıkla p_m parametresine sa-hip olan bir rassal de˘gis¸keni temsil eder ve biles¸ik rassal de˘gis¸ken olarak adlandırılır. Bir biles¸ik rassal de˘gis¸kenin dere-cesi M , αk >0 ve p_kvektörü her k de˘geri için di˘gerlerinden farklı olmak üzere(αk, p_k) çiftlerinin sayısı olarak tanımlanır. H(p) = −(1 − q−1_P l=1 p(l)) log (1 − q−1_P l=1 p(l)) − q−1_P l=1 p(l)log p(l) olmak üzere derecesi M olan bir U biles¸ik rassal de˘gis¸keninin entropisi H(U) =M −1P

m=0

αmH(p_m) olarak hesaplanır.

S¸ekil 1’deki kutuplas¸tırma is¸lemine M >1 ve k ∈ {1, 2} olmak ¨uzere Xk =

M −1_P i=0

αiQ(p_i) ba˘gımsız özdes¸ da˘gılımlı biles¸ik rassal de˘gis¸kenler girdi olarak verildi˘gi zaman çıktı de˘gis¸kenleri s¸öyledir: U1= M −1_X i=0 M −1_X j=0 αiαjQ(p_i) Q(p_j) (5) U2|U1= M −1_X i=0 M −1_X j=0 αiαjQ(p_i) Q(p_j) (6) {0, 1, ..., q − 1} üzerinde tanımlı bir X rassal de˘gis¸kenine (5) ve (6)’da tanımlanan ve is¸lemlerinin S¸ekil 2’deki gibi uy-gulanmasıyla kutuplas¸tırma olgusu gerçekles¸ir.

X U 1 U N|U1 N−1 . . . ... ... ... ...

*

S¸ekil 2: Kutuplas¸ma s¨ureci ic¸inde entropinin as¸amalı olarak ev-rimi.

(5) ve (6)’daki es¸itliklere göre derecesi M olan bir biles¸ik de˘gis¸kene ve is¸lemleri uygulanırsa derecesi sırasıyla en fazlaM (M +1)₂ ve M2q olan de˘gis¸kenler elde edilir. Dolayısıyla derece ve bellek kullanımı blok boyutuyla üstel olarak artar. Bu durum kutuplas¸tırmanın gözlendi˘gi büyük boyutlu bloklarda kutupsal kod ins¸asını imkansız hale getirir.

3. YAKLAS¸IKLAMA Y ¨

ONTEMLER˙I

Bu bölümde, verilen bir biles¸ik rassal de˘gis¸kenin daha düs¸ük dereceli de˘gis¸kenlere mümkün oldu˘gu kadar az bozul-mayla yaklas¸ıklanması için yöntemler tanıtılacaktır. Alfabe bo-yutu q olan durumda,(q − 1) boyutlu bir uzayda yaklas¸ıklama yapan bu yöntemler ardıs¸ık olarak her bir koordinat üzerinde bir boyutlu olarak yapılan yaklas¸ıklama yöntemlerinden farklıdır [6].

X = M −1P k=0

αkQ(p_k) yaklas¸ıklanmak istenen M -dereceli biles¸ik rassal de˘gis¸ken olsun. Birles¸tirilmesi durumunda b¨uy¨uk

farklılas¸maya neden olmayacak alt-de˘gis¸ken çiftlerinin as¸amalı olarak tekles¸tirilmesiyle X de˘gis¸keninden daha düs¸ük dereceli yaklas¸ık de˘gis¸kenler elde edilir.

M := {0, . . . , M − 1} olmak üzere π : M → M bir permütasyon olsun. Seçilen bir i∈ M için (i, π(i)) indisli alt-de˘gis¸kenlerin tekles¸tirilmesiyle derecesi M−1 olan s¸u de˘gis¸ken elde edilir: b Xi= M −1_X k=0 k /∈{i,π(i)} αkQ(p_k) + [αi+ απ(i)]Q(p_i,π(i)) (7)

Yaklas¸ıklamanın temel bas¸arı ölçütü, yüksek entropi küme-sinin belirlenmesinde kullanılan kos¸ullu entropiler üzerinde ya-rattı˘gı de˘gis¸imdir. Bu çalıs¸mada daha basit ama temel ölçütle ilintili hata ölçütü olarak, verilen rassal de˘gis¸kenle yaklas¸ık ras-sal de˘gis¸ken arasındaki entropi farkı olan e= |H( bX) − H(X)| de˘geri kullanılacaktır.

Birles¸tirilebilir alt-de˘gis¸ken çiftlerini belirleyen π permütasyonu bulunurken p çiftlerinin ℓ2-normda birbirlerine yakın olmaları ve birles¸tirme is¸lemiyle yaklas¸ıklama hatası ei’nin mümkün oldu˘gu kadar küçük olmasına dikkat edilir. ∇H(p) = [∂H(p)

∂p(1) . . .

∂H(p)

∂p(q−1)] entropi fonksiyonunun gradyan

vektörü ve i ∈ M olmak üzere, verilen bir ρ0 de˘geri için tekles¸tirmede kullanılacak π(i) s¸u s¸ekilde bulunur:

π(i) = argmin

j∈M\{i}

||p

i−pj||2≤ρ0

|∇H(p_i).(p_i− p_j)| (8)

S¸ekil 3’te üçlük da˘gılımda bu iki kos¸ulu tasvir eden bir ge-ometrik anlatım bulunmaktadır. i indisli alt-kayna˘gın çifti π(i) indisi Rq−1uzayında ρ0 yarıçaplı küre içindeki p_j vektörleri arasında (8)’de verilen eniyiles¸tirme probleminin çözümüyle bulunur.

S¸ekil 3: Birles¸tirilecek alt-de˘gis¸ken çiftlerinin entropi gradyan vektörüne izdüs¸ümlerinin küçük olması önemlidir.

3.1. K ¨utle Tas¸ıma Algoritması

Bu bölümde, Tal ve Vardy’nin [5]’te ikilik alfabeler için önerdi˘gi, [7]’de kütle tas¸ıma olarak adlandırılan yöntem ikilik olmayan alfabelere genis¸letilecektir.

X = M −1P k=0

αkQ(p_k), M > 1 dereceli, yaklas¸ıklanması düs¸ünülen biles¸ik rassal de˘gis¸ken olsun. Bütün indislerde (8)’de verilen is¸lemin uygulanmasıyla π bulunsun. Herhangi bir(i, π(i)) çiftinin tekles¸tirilmesiyle olus¸an yaklas¸ık de˘gis¸ken

(3)

b

Xi (7)’deki gibi olsun. Bu yöntemde p_i,π(i) vektörü p_i ile p

π(i) vektörlerinden birine es¸itlenerek derece bir azaltılır. Bu is¸lem iyiles¸tirme ve kötüles¸tirme olarak adlandırılan iki s¸ekilde yapılabilir. ˙Iyiles¸tirme p i,π(i)= ( p i , H(pi) > H(pπ(i)) p_π(i) , H(p_i) ≤ H(p_π(i)) (9) Köt üles¸tirme p i,π(i)= ( p i , H(pi) < H(pπ(i)) p π(i) , H(pi) ≥ H(pπ(i)) (10)

M adet(i, π(i)) alt-de˘gis¸ken çiftinin bir tanesi seçilerek yöntem uygulanır ve derece azaltılır. Bu alt-de˘gis¸ken çifti yaklas¸ıklama hatasını en küçük tutacak s¸ekilde seçilmelidir. Yaklas¸ıklama hatası ei = |H( bXi) − H(X)| olarak tanımlıdır. Tekles¸tirilecek indis çifti(i∗_{, π(i}∗_{)), i}∗_{= argmin}

i∈M

{ei} olarak bulunur. Kütle tas¸ıma yöntemi Alg. 1’de özetlenmis¸tir.

Algorithm 1 K¨utle tas¸ıma algoritması

1: Bütün (i, π(i)) çiftleri için tas¸ıma sonrası olus¸acak bXi de˘gis¸kenini (7)’deki gibi hesapla.

2: En küçük yaklas¸ıklama hatası veren bXide˘gis¸kenini döndür.

Yaklas¸ıklama derecesi tespitinde iki açgözlü algoritma kul-lanılabilir: Alg. 2’de gösterilen s¸ekilde, bellek ve is¸lem hızı göz önünde bulundurularak belli bir dereceye inene kadar tekles¸tirme uygulanabilir. Alternatif olarak Alg. 3’te gösterilen s¸ekilde yaklas¸ıklama hatası belli bir seviyenin üzerine çıkıncaya kadar is¸leme devam edilebilir.

Algorithm 2 K¨utle tas¸ıma - Derece sınırlama

Girdi: M -dereceli de˘gis¸ken X, derece ¨ust sınırı M0, tas¸ıma y¨ontemi y 1: if derece( bX) > M0then 2: Xb← kutle tasima(X, y) 3: while derece( bX) > M0do 4: X˜←kutle tasima( bX, y) 5: Xb← ˜X 6: end while 7: else 8: Xb← X 9: end if 10: return bX

3.2. K ¨utle Birles¸tirme Algoritması

Kütle tas¸ımada, verilen (i, π(i)) çifti için αi ve απ(i) kütleleri tek bir p da˘gılımında toplanır. Bu yöntemle yapılan yaklas¸ıklamalarla bulunan entropi de˘gerleri de iyiles¸tirme ya da kötüles¸tirme yapılmasına göre gerçek entropi için üst ya da alt sınır olur. Bir alt-de˘gis¸kendeki kütleyi di˘gerinin üze-rine tas¸ımak yeüze-rine dıs¸bükey do˘grusal kombinasyon ile yeni bir alt-de˘gis¸ken yaratmak daha az hataya sebep olacaktır. Kütle

Algorithm 3 K¨utle tas¸ıma - Hata Sınırlama

Girdi: M -dereceli de˘gis¸ken X, hata sınırı t, tas¸ıma y¨ontemi y

1: if derece(X) = 1 then 2: return X 3: end if 4: Xb← kutle tasima(X, y) 5: e← |H( bX)−H(X)|_H(X) 6: if e > t then 7: return X 8: end if 9: while derece( bX) > 1 do 10: X˜←kutle tasima( bX, y) 11: e← |H( ˜X)−H( bX)| H( bX) 12: if e > t then 13: return bX 14: else 15: Xb← ˜X 16: end if 17: end while

birles¸tirme yaklas¸ımı ikilik alfabeler için [7]’de, bu bildiride önerilenden farklı bir biçimde is¸lenmis¸tir.

X = M −1P k=0

αkQ(p_k) yaklas¸ıklanmak istenen biles¸ik de˘gis¸ken olsun.(i, π(i)) çiftleri (8)’de verilen yöntemle bulun-sun. i∈ M ve γ ∈ [0, 1] için kütle birles¸tirmeyle elde edilecek yaklas¸ık s¸u s¸ekildedir:

b Xi(γ) = M −1_X k=0 k /∈{i,π(i)} αkQ(p_k) (11) + [αi+ απ(i)]Q(γp_i+ (1 − γ)p_π(i)) ∀i ∈ M, fi(γ) = H( bXi(γ)) − H(X) ve entropi hata fonksiyonu ei(γ) = |fi(γ)| tanımlansın. Kısıtlı alan sebebiyle ispatlarına bu bildiride yer verilmeyen as¸a˘gıdaki ¨onermeler her zaman do˘grudur:

1. fi(γ), [0,1] aralı˘gında γ’nın s¨urekli bir fonksiyonudur. 2. fi(0) 6= 0 ⇐⇒ sign(fi(0)) 6= sign(fi(1))

fi(0) = 0 ⇐⇒ fi(1) = 0 3. d2fi(γ)

dγ2 <0, ∀γ ∈ [0, 1] (fi, γ’nın ic¸b¨ukey bir fonksi-yonudur.)

1 ve 2 numaralı ¨onermeler ∃γ∗ _{∋ f}

i(γ∗) = ei(γ∗) = 0 oldu˘gunu gösterir, dolayısıyla yaklas¸ıklama hatası yapmadan kütle birles¸tirme ve derece düs¸ürme her zaman mümkündür. 2 ve 3 numaralı önermeler, entropi farkı yaratmadan yaklas¸ıklama sa˘glayan γ∗de˘gerinin yalnızca bir tane oldu˘gunu gösterir. Do-layısıyla ei(γ) = 0 s¸artını sa˘glayacak γ de˘geri, [0, 1] aralı˘gında yalnızca bir tane kökü oldu˘gu bilinen fi(γ) = 0 logaritmik denkleminin çözümüyle hesaplanır. Hızlı yakınsama sa˘glayan ikiye bölme yöntemi kullanılarak bu problem çözülebilir. Veri-len bir biles¸ik rassal de˘gis¸ken için(i, π(i)) çiftinin kütle tas¸ıma algoritmasında iyiles¸tirilmesi ve kötüles¸tirilmesi ile elde edi-len hatalar sırasıyla eui ve edi olsun. Kütle birles¸tirme, bütün

(4)

indisler üzerinde ei= min{eui, edi} de˘gerini minimize eden in-dis çifti üzerinde gerçekles¸tirilir. Kütle birles¸tirme yöntemi Alg. 4’te özetlenmis¸tir.

Algorithm 4 K¨utle birles¸tirme algoritması

1: Bütün(i, π(i)) çiftleri için iyiles¸tirme ve kötüles¸tirme son-rası olus¸acak hataları hesapla.

2: En küçük hatayı veren(i, π(i)) çifti için hatayı sıfırlayacak γ parametresini bul.

3: Bulunan γ de˘gerini kullanarak bXi(γ) de˘gis¸kenini (11)’deki gibi hesapla ve d¨ond¨ur.

¨

Onerilen kütle birles¸tirme tekni˘gi, kütle tas¸ımada oldu˘gu gibi Alg. 2 ve Alg. 3 içerisinde kullanılabilir. Bu bildiride Alg. 2 içerisinde kütle birles¸tirme kullanımıyla elde edilen sonuçlar irdelenecektir.

4. SONUC

¸ LAR

S¸ekil 4’te N = 64 boyutlu bloklarda q = 2 ve p = [0.11] için Alg. 2 ile elde edilen entropilerin yaklas¸ıklamasız (hatasız) entropilerle uzaklıkları gösterilmis¸tir. M0 = 10 sınırlı kütle birles¸tirme, M0 = 40 sınırlı kütle tas¸ımadan her indiste daha az yaklas¸ıklama hatası vermektedir.

0 10 20 30 40 50 60 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 i |H (c Ui |U i− 1 0 ) − H ( Ui |U i− 1 0 )|

N=64, q=2, p = [0.11], Derece sinirlama−Yaklasiklama Hatalari Kutle birlestirme, M

0=10 Kutle tasima, M0 = 10 Kutle tasima, M0 = 20 Kutle tasima, M0 = 40

S¸ekil 4: N = 64 boyutlu bloklarda, q = 2 ve p = [0.11] kay-naklar için Alg. 2’de çes¸itli yöntemlerin kullanılmasıyla olus¸an yaklas¸ıklama hataları. 0 10 20 30 40 50 60 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 i |H (c Ui |U i− 1 0 ) − H ( Ui |U i− 1 0 )|

N=64, q=2, p = [0.11], Hata sinirlama − Yaklasiklama Hatalari

t = 10−1 t = 10−2 t = 10−3 t = 10−4

S¸ekil 5: N = 64 boyutlu bloklarda, q = 2 ve p = [0.11] kay-naklar için Alg. 3’te çes¸itli yöntemlerin kullanılmasıyla olus¸an yaklas¸ıklama hataları.

S¸ekil 5’te Alg. 3 kullanılarak elde edilen yaklas¸ıklama ha-taları g¨osterilmis¸tir.

˙Iyiles¸tirme ile elde edilen kos¸ullu entropi, yaklas¸ıklanan kos¸ullu entropi için üst sınır, kötüles¸tirme ile bulunan de˘ger de alt sınır olmaktadır [5]. S¸ekil 6’da kütle tas¸ıma yöntemiyle bulu-nan alt ve üst sınırların derece sınırı arttırımıyla sıkılas¸tırılması gösterilmektedir. Kütle birles¸tirmeyle bulunan kos¸ullu entropi-ler sıkılas¸an sınırların içinde kalmaktadır.

S¸ekil 7’de, S¸ekil 6’da kullanılan yaklas¸ım üçlük kaynak al-fabeleri için tekrarlanmıs¸tır.

0 50 100 150 200 250 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

s(i) [Siralama indeksi]

H(U i |U 0 i−1 )

N = 256, q = 2, p = [0.11] icin kosullu entropiler

birlestirme, M₀ = 10 k: kotulestirme, M₀ = 10 k, M 0 = 20 k, M 0 = 30 i: iyilestirme, M₀ = 10 i, M₀ = 20 i, M 0 = 30

S¸ekil 6: N = 256 boyutlu bloklarda, q = 2 ve p = [0.11] kaynaklar ic¸in farklı y¨ontemlerle bulunan kos¸ullu entropiler.

0 10 20 30 40 50 60 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

s(i) [Siralama indeksi]

H(U i |U 0 i−1 )

N = 64, q = 3, p = [0.05 0.05] icin kosullu entropiler

birlestirme, M 0 = 10 k: kotulestirme, M 0 = 10 k, M 0 = 20 k, M₀ = 30 i: iyilestirme, M₀ = 10 i, M₀ = 20 i, M₀ = 30

S¸ekil 7: N= 64 boyutlu bloklarda, q = 3 ve p = [0.05, 0.05] kaynaklar ic¸in farklı y¨ontemlerle bulunan kos¸ullu entropiler.

5. KAYNAKC

¸ A

[1] Arıkan, E.; , ”Channel Polarization: A Method for Const-ructing Capacity-Achieving Codes for Symmetric Binary-Input Memoryless Channels,” IEEE Transactions on In-formation Theory, vol.55, no.7, pp.3051-3073, July 2009. [2] Arıkan, E.; , ”Source polarization,” 2010 IEEE Interna-tional Symposium on Information Theory Proceedings (ISIT), pp.899-903, 13-18 June 2010.

[3] S¸as¸o˘glu, E.; Telatar, E.; Arıkan, E.; , ”Polarization for ar-bitrary discrete memoryless channels,” IEEE Information Theory Workshop, 2009. ITW 2009. pp.144-148, 11-16 Oct. 2009.

[4] Mori, R.; Tanaka, T.; , ”Performance of polar codes with the construction using density evolution,” IEEE Commu-nications Letters, vol.13, no.7, pp.519-521, July 2009. [5] Tal, I.; Vardy, A.; , ”How to Construct Polar Codes,” May

2011. [Online]. Available: http://arxiv.org/pdf/1105.6164. [6] Tal, I.; Sharov, A.; Vardy, A.; ,”Constructing Polar Codes for Non-Binary Alphabets and MACs”, 2012 IEEE Inter-national Symposium on Information Theory Proceedings (ISIT) (To appear)

[7] Pedarsani, R.; Hassani, S.H.; Tal, I.; Telatar, E.; , ”On the construction of polar codes,” 2011 IEEE International Symposium on Information Theory Proceedings (ISIT), pp.11-15, July 31 2011-Aug. 5 2011.