T.C.
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATRİSLERİN HADAMARD ÇARPIMLARININ NORMLARI VE SPEKTRAL YARIÇAPLARI
İÇİN SINIRLAR Zeki BİLGİÇ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI
ÖZET Yüksek Lisans Tezi
MATRİSLERİN HADAMARD ÇARPIMLARININ NORMLARI VE SPEKTRAL YARIÇAPLARI
İÇİN SINIRLAR ZEKİ BİLGİÇ
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Danışman: Prof. Dr. DURMUŞ BOZKURT
2007, 54 sayfa
Jüri: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI
Bu çalışmada “Two Applications of a Bound on the Hadamard Product with a Cauchy Matrix [1]”, “Some Bounds for the Spectral Radius of the Hadamard Product of Matrices [2]” ve “Eigenvalues of Hadamard Powers of Large Symmetric Pascal Matrices [3]” adlı makaleler dört bölüm olarak derlenmiştir.
Birinci bölümde çalışmada kullanılan temel tanım ve teoremler verilmiştir.
İkinci bölümde bir Cauchy matrisi ile Hadamard çarpımın üzerindeki bir sınırın iki uygulaması incelenmiştir.
Üçüncü bölümde negatif olmayan iki matrisin Hadamard çarpımının spektral yarıçapı için bazı sınırlar incelenmiştir. Bazı sonuçlar M-matrislerini içermektedir.
Son bölümde n. mertebeden bir pozitif reel simetrik Pascal matrisinin Hadamard kuvvetinin öz değerleri incelenmiştir.
Anahtar Kelimeler: Hadamard çarpım, Spektral yarıçap, pozitif tanımlı matris, pozitif yarı tanımlı matris, singüler değerler.
ABSTRACT Ms Thesis
NORMS OF HADAMARD PRODUCT OF MATRİCES AND BOUNDS FOR SPECTRAL RADİUS
ZEKİ BİLGİÇ SELÇUK UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLİED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATİICS
Supervisor: Prof. Dr. DURMUŞ BOZKURT 2007, 54 pages
Jury: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI
This study consist of four sections and investigated three articles titled “Two Applications of a Bound on the Hadamard Product with a Cauchy Matrix [1]”, “Some Bounds for the Spectral Radius of the Hadamard Product of Matrices [2]” ve “Eigenvalues of Hadamard Powers of Large Symmetric Pascal Matrices [3]”.
In the first section, we gave basic definitions and theorems.
In the section two, it is investigated two applications of a bound on the Hadamard product with Cauchy matrix.
In the section three, it is investigated some bounds for the spectral radius of Hadamard product of nonnegative two matrices. Some results involves M-matrices.
In the last section, it is investigated eigenvalues of Hadamard powers of a positive real symmetric pascal matrix order n.
Keywords: Hadamard product, spectral radius, positive definite matrix, positive semidefinite matrix, singular values.
ÖNSÖZ
Bu çalışma bir derleme olup Selçuk Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim üyesi Prof. Dr. Durmuş BOZKURT yönetiminde yapılarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsüne Yüksek Lisans tezi olarak sunulmuştur.
Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde genel tanımlar, vektör normları ve matris normları ile ilgili tanım ve bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde bir Cauchy matrisi içeren Hadamard çarpımlarının normları için sınırlar elde edilmiştir. Üçüncü bölümde iki negatif olmayan matrisin Hadamard çarpımının spektral yarıçapı için bazı sınırlar
verilmiştir. Dördüncü bölümde Sn, ( , )i j bileşenli elemanı 2 1 i j j + − − olan n. mertebeden pozitif reel simetrik pascal matrisi ve x, pozitif reel sayı olmak üzere Sn matrisinin ( )x
n S
Hadamard kuvvetinin öz değerleri göz önüne alınmaktadır. Özellikle de k pozitif tamsayısı
için ( )k n
S ’nın perron kökünün ve izinin yaklaşık olarak 4 2 2 1 4 1 k k k n n − −
− ’ya eşit olduğu gösterilmiştir.
Tez çalışmalarım süresince yakın ilgi ve yardımlarını esirgemeyen değeli hocam Prof. Dr. Durmuş BOZKURT’a teşekkür ve saygılarımı sunarım.
Zeki BİLGİÇ Konya 2007
SEMBOLLER ( )A λ : A matrisinin öz değeri ( )A τ : A matrisinin en küçük öz değeri ( )
s A : A matrisinin spektrumu ( A matrisinin öz değerlerinin kümesi) ( )A
ρ : A matrisinin spektral yarıçapı veya perron kökü( A matrisinin en büyük öz değeri) ( )A
σ : A matrisinin singüler değerleri( *
AA matrisinin öz değerlerinin karekökleri) ( )
iz A : A matrisinin izi
1
A : A matrisinin sütun normu A
∞: A matrisinin satır normu
e
A : A matrisinin Euclidean(veya Frobenius veya Schur) normu
2
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ……… ……….1
1.1 Genel Tanımlar………. ………..1
1.2. Vektör Normları……….... ……….8
1.3 Matris Normları……….. …...12
2. BİR CAUCHY MATRİSİ İÇEREN HADAMARD ÇARPIMI ÜZERİNE BİR SINIRIN İKİ UYGULAMASI………..………...………..……….. ……...23
2.1. AX −BX =S in Çözümleri İçin Bir Sınır………... ………23
2.2. Üniter Çarpan İçin Bir Genel Permütasyon Sınırı……….. ……….24
2.3. Pozitif Yarı Tanımlı Çarpanın Permütasyonu………. ………31
3. MATRİSLERİN HADAMARD ÇARPIMLARININ SPEKTRAL YARIÇAPI İÇİN BAZI SONUÇLAR……….………...………….……… .……..32
3.1. Bazı Sınırlar ve Köşegen Dominantlık………... …...…..32
3.2. 1 B− , M- Matrisi Olduğu Zaman Keskin Bir Üst Sınır………. ….………...36
4. MERTEBESİ BÜYÜK SİMETRİK PASCAL MATRİSLRİNİN HADAMARD KUVVETLERİNİN ÖZ DEĞERLERİ………..….……… …43
4.1. Perron Kökü İçin Bir Alt Sınır……… ...……43
4.2. İz ve Pozitif Tamsayı Hadamard Kuvvetler………. ...…47
4.3. Konjektürler ve Bir İlgili Matris………. ………..…...50
1. GİRİŞ
1.1. Genel Tanımlar
Bu çalışmada amacımız singüler olmayan kompleks bir matrisin kutupsal ayrışımında üniter çarpan için bir genel pertürbasyon sınır bulmaktır. Elde etmek istediğimiz esas sonuç Cauchy tipi Hadamard çarpan operatörü üzerindeki bir sınırdan bulunur. Belirli Slyvester denklemleri için çözüm operatör normları üzerine bir sınır araştırıldığında benzer bir durumla karşılaşılır.
Tanım 1.1.1.(Singüler Değer) ( )ij m n
A= a × ve *
A , A ’nın eşlenik transpozesi olmak üzere AA* veya A A* matrisinin öz değerlerinin kareköklerine A ’nın singüler değerleri denir ve
{
*}
( )A i : ,i AA ' nın öz değerleri σ = λ λ (1.1) olarak gösterilir. Örnek 1.1.1. 1 2 1 2 A= − matrisinin singüler değerlerini bulalım:
* 1 2 1 1 5 3 1 2 2 2 3 5 AA = − = − olup, buradan * 5 3 0 3 5 I AA λ λ λ − − − = = − − 2 10 16 0 λ − λ+ = 1 8 λ = ve λ2 = elde edilir ki 2
{
}
( )A 2 2, 2Örnek 1.1.2. 1 2 1 i A i i = +
matrisinin singüler değerlerini bulalım:
* 1 2 1 5 2 1 2 1 2 3 i i i A A i i i i i − − = = − − + + olup, buradan * 5 2 0 2 3 i I A A i λ λ λ − − + − = = − − − 2 8 10 0 λ − λ+ = 1 8 24 6.44 2 4 λ = + ≅ ve 2 8 24 1.55 2 4
λ = − ≅ elde edilir ki singüler değer tanımı
gereğince A matrisinin singüler değerleri σ1≅2,53 ve σ2≅1, 24 bulunur. , ( )
m n
M ; m n× tipindeki kompleks matrislerin kümesini ve Mn( ) ≡Mn n, ( ) de n n× tipindeki kompleks matrislerin kümesini göstersin. Herhangi A∈Mm n, ( ) matrisinin
sıralı singüler değerlerini σmax( )A ≡σ1( ) ...A ≥ ≥σmin{ , }m n ( )A ≡σmin( ) 0A ≥ şeklinde gösterelim. A B, ∈Mm n, ( ) matrisleri için; eğer A VBW= olacak şekilde, V∈Mm( ) ve
( )
n
W∈M üniter matrisleri varsa A ve B matrislerine üniter olarak denktir denir.
, ( )
m n
M üzerindeki herhangi ⋅ normu; her A∈Mm n, ( ) , V∈Mm( ) ve W∈Mn( )
üniter matrisleri için VAW = A şartını sağlarsa adı geçen ⋅ normu üniter olarak değişmezdir. Denk olarak, bu şekildeki bir norm, simetriktir. Buradan anlaşılmaktadır ki, her zaman XAY ≤σ1( )X Aσ1( )Y sınırı sağlanır [16].
Örnek 1.1.3. 1 2 1 2 1 5 V = − , 1 3 1 3 1 10 W = − ve 1 1 1 1 1 2 A= − matrisleri *
VV = , I WW* = ve I AA*= olduğu için birer üniter matristir. I
1 2 1 1 1 3 0 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 0 5 2 10 VAW = − = − − −
olup, VAW e ve Ae normları hesaplandığında VAW e = Ae olduğundan e normu üniter olarak değişmezdir.
Benzer şekilde, 1 2 1 2 X = − , 1 2 2 1 A= − ve 1 3 1 3 Y = − matrisleri için 308 e XAY = , 10 e A = , σ1( ) 2 2X = , σ1( ) 3 2Y = değerleri için 1 1 308= XAY e≤σ ( )X Aeσ ( ) 12 10Y = sınırı sağlanır. Tanım 1.1.2.(Hadamard Çarpım)
,
( )ij m n( )
A= a ∈M ve B=( )bij ∈Mm n, ( ) matrislerinin Hadamard çarpımı ,
( ij ij) m n( )
A B = a b ∈M şeklinde verilir. Tanım 1.1.3.(Cauchy Matrisi)
, i j α β ∈ ve αi+βj ≠ olmak üzere 0 1 i j α β +
şeklinde tanımlanan matrise Cauchy matrisi denir
Teorem 1.1.1.
1 1
{ } ,{ }m n
i i i i
α = β = , reel kısımları pozitif olan kompleks sayılar dizisi ve ⋅ , Mm n, ( )
üzerinde verilen norm olsun. Eğer, m n≠ ise ⋅ normunun üniter olarak değişmez olduğunu farz edelim. Eğer, m n= ise ⋅ normunun ya üniter olarak değişmez olduğunu
ya da n
üzerindeki bir mutlak norm tarafından indüklenmiş norm olduğunu farz edelim. Bu takdirde; X∈Mm n, ( ) olmak üzere
1 1 min Re min Re i j i j X X α β α β ≤ + + (1.2) eşitsizliği geçerlidir [1]. İspat. 1 ( ) ( t,..., mt)
D t =diag e−α e−α ve E t( )=diag e( −β1t,...,e−βnt) olsun. Böylece;
0 0 0 1 1 0 min Re min Re 0 (min Re min Re ) 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) 1 min Re min Re j i j i i j t ij t ij i j i j t t t i j x X e x e dt D t X E t dt D t X E t dt D t X E t dt e X e dt e X dt X β α β α α β α β α β σ σ α β ∞ − − ∞ ∞ ∞ ∞ − − ∞ − + = = + + = ≤ ≤ = = = +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
(1.3)elde edilir ki, bu da istenendir. Örnek 1.1.4. 1 1 α = , α2= , 2 β1= , 2 β2= olmak üzere 1 1 1 3 2 1 1 4 3 C =
matrisi Cauchy matrisi ve
1 2 1 2 X = − matrisi için 1 1 3 1 2 4 3 C X = − , 233 12 e C X = ve X e = 10 olup
233 1 1 10 12 min Re min Re e 2 i j e i j X X α β α β = ≤ = + + eşitsizliği sağlanmaktadır.
Üniter olarak değişmez olan normlar simetrik olduğundan (1.3) eşitsizliği bu normlar için ele alınır. Eğer m n= ve norm; n üzerinde bir mutlak norm tarafından indüklenmiş
ise bu takdirde yine (1.3) eşitsizliği ele alınır. Çünkü; bu şekildeki bütün normlar alt çarpanlanabilirdir ve köşegen matrisler üzerinde diag( , ,..., )γ γ1 2 γn = maxγi eşitliğini
sağlar [15].
Tanım 1.1.4.(Spektral Yarıçap) ( )
n
A∈M olmak üzere A ’nın mutlak değerce en büyük öz değerine A ’nın spektral yarıçapı denir ve ρ( )A ile gösterilir. Eğer A B, ∈Mm n, ( ) matrisleri negatif olmayan
matrisler ise bu takdirde ( )ρ A , A ’nın spektral yarıçapını göstermek üzere (A B) ( ) ( )A B
ρ ≤ρ ρ (1.4)
eşitsizliği vardır. Bu durumda ( )ρ A , A nın Perron köküne eşittir. Bu eşitsizlik olağanüstü bir eşitsizliktir ve bazı simetrileri üzerinde barındırır. Örneğin; eğer A ve B matrislerinin genel matris çarpımları komütatif ise eşitsizlik değişmeden kalır.
( )
n
B∈M negatif olmayan matrisinin Perron kökünün monotonluğundan dolayı
1,...,
max ii ( )
i= nb ≤ρ B (1.5)
eşitsizliği geçerlidir [15]. B negatif olmayan köşegen matris olduğu zaman alt sınır açık bir şekilde elde edilir. Burada ,A B≥ olduğunda (0 ρ A B ) için
1,..., ( ) ( ) max ii i n A B A b ρ ρ = ≤ (1.6)
Örnek 1.1.5. 5 3 3 5 A= , 10 8 8 10 B= , 50 24 24 50 A B= matrisleri için ( ) 8A
ρ = , ( ) 18ρ B = ve (ρ A B ) 74= matrislerin spektral yarıçapı olmak üzere
A ve B matrisleri için (1.4), (1.5) ve (1.6) eşitsizlikleri sağlanır. Bununla birlikte aşağıdaki örnekte görüleceği gibi,
0 1 1 0 A= , 1 2 2 1 B= , 0 2 2 0 A B=
olup, ρ( ) 1, ( ) 3, (A = ρ B = ρ A B ) 2= ve maxi=1,2bii = den böylece (1.6) eşitsizliği 1 sağlanmaz. Bu örnek, direkt toplama In−2 eklenerek (n≥3) olmak üzere n n× matrislere genişletilebilir.
Tanım 1.1.5.(Pascal Matrisi)
, 1, 2,..., i j= n için 2 1 ij i j s j + − = −
, olmak üzere Sn =( )sij şeklinde tanımlanan reel simetrik matrise Pascal matrisi denir.
n
U involutory matris(Un =Un−1 şeklindeki matrisler) olmak üzere, S ; n T
n n n
S =U U şeklinde bir ayrışıma sahip olduğundan, S ’in öz değerlerinin bir takım ilginç özelliklere n sahip olduğunu göstermek kolaydır. Örneğin; Sn, n farklı öz değere sahiptir ve
1 2 1 2 1 1 1 { , ,..., } { , ,..., }n n λ λ λ
λ λ λ = dir. Pozitif Sn matrisinin en büyük öz değeri (yani Perron
kökü), araştırıldı. Sn’in Perron kökünün, n artarken oldukça hızlı bir şekilde arttığı görülmüştür. Bu hızlı artış ile bu öz değerler için tanımlanabilir bir formül bulmak mümkün
değildir. Bu durumu açığa kavuşturan daha fazla veri elde etmek için Sn matrisi
1 2 2 1 n n − − −
ile çarpılırsa, yani 1 2 2 1 n n n R S n − − = −
düzenli simetrik pascal matrisinin ( )ρ Rn Perron kökünü göz önüne alalım. R ’in hem n ρ( )Rn perron kökü ve hem de ( )iz Rn izi yakınsaktır. Tablo 1’deki verilerden 4 lim ( ) lim ( ) 3 n n n→∞ρ R =n→∞iz R =
olduğu görülmektedir. ( )iz Rn için bu ifadeyi ispatlamak zor değildir. Ancak (ρ Rn) için bir ispatın yapılması daha zordur. Maalesef MATLAB da hesaplamalar, 1
n
D R D− matrisinin satır toplamları için kullanışlı bir alt sınır veren bir köşegen D matrisi verdi. Böylece
4 lim ( ) lim ( )
3
n n
n→∞ρ R =n→∞iz R = olduğunu görmüş oluruz. Bu n nin büyük değerleri için Sn
matrisinin bir öz değerinin diğer n− tane öz değerinin toplamından daha büyük olduğunu 1 veya bir başka değişle Sn’in bir dominant öz değere sahip olduğunu gösterir.
Tablo 1.Rn’in Perron kökü ve izi
n ρ(Rn) iz R( n) 20 1.3296 1.3457 40 1.3315 1.3392 60 1.3321 1.3372 80 1.3324 1.3362 100 1.3326 1.3356 120 1.3327 1.3352 140 1.3328 1.3349
Örnek 1.1.6.
2
1 1 1 2 S =
pascal matrisi için 1
3 5 2 λ = + ve 2 3 5 2 λ = − 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 R = S = olup 2 3 ( ) 2 iz R = olarak bulunur. 3 1 1 1 1 2 3 1 3 6 S =
pascal matrisi için λ1= −4 15, λ2= ve 1 λ3= +4 15
3 3 1 1 1 1 1 1 2 3 6 6 1 3 6 R S = = olup ( )3 3 2 iz R = olarak bulunur.
Tanım 1.1.6.(Hadamard Kuvvet)
x bir reel sayı ve A=( )aij , n mertebeden negatif olmayan bir matris olsun. A ’nın her . bir elemanlarının x kuvvetinin alınması ile elde edilen . ( )x ( x)
ij
A = a , n mertebeli matrisi . A ’nın Hadamard kuvveti denir.
1.2. Vektör Normları Tanım 1.2.1.(İç Çarpım)
V , F (reel veya kompleks sayılar) cismi üzerinde tanımlı bir vektör uzayı olsun.
(.,.) :VxV →F (1.7) dönüşümü i) x V∀ ∈ için ( , ) 0x x ≥ ve ( , )x x = ⇔0 x=0, ii) ∀x y, ∈ için ( , )V x y =( , ),y x iii) ∀x y, ∈ ve V α∈F için (αx y, )=α( , )x y , iv) ∀x y z, , ∈ için ( ,V x y+z) ( , ) ( , )= x y + x z
aksiyomlarını sağlıyorsa, bu dönüşüme V üzerinde bir iç çarpım denir ve ,x y∈V için ( , )x y şeklinde gösterilir. Üzerinde iç çarpım tanımlı vektör uzayına iç çarpım uzayı denir. Eğer V vektör uzayı reel sayılar cismi üzerinde tanımlı ise bu uzaya Euclidean Uzay , kompleks sayılar cismi üzerinde tanımlı ise üniter uzay denir.
Tanım 1.2.2.(Vektör Normu)
V , F (reel veya kompleks sayılar) cismi üzerinde tanımlı bir vektör uzayı olsun. Eğer,
:V +
⋅ → (1.8)
dönüşümü;
i) x V∀ ∈ için x ≥ ve 0 x = ⇔0 x= (pozitif özelliği), 0 ii) x V∀ ∈ ve α∈Fiçin αx = α x (homojenlik özelliği) iii) ∀x y, ∈ için xV +y ≤ x + y (üçgen eşitsizliği)
aksiyomlarını sağlıyorsa, x V∈ olmak üzere negatif olmayan x sayısına x vektörünün normu denir. Diğer bir ifade ile x sayısının pozitif bir sayıya dönüştürülmesi işlemine norm denir.
İç çarpım ile vektör normu arasında sıkı bir ilişki vardır. Genel anlamda ,x y∈Mn( ) olmak üzere bu iki vektörün iç çarpımı
1 1 2 2
( , )x y =x y +x y +...+x yn n dir. Burada x= y alınırsa
2 2 1 1 2 2 1 ( , ) ... n n n i i x x x x x x x x x x = = + + + =
∑
= elde edilir.Teorem 1.2.1.
V bir iç çarpım uzayı olmak üzere,
1/ 2
: ( , )
f x→ x = x x
dönüşümü V üzerinde bir norm tanımlar.
1 2
( , ,..., )n
x= x x x ∈V olmak üzere bazı vektör normları;
1 1 n i i x x = =
∑
, toplam normu, 1/ 2 2 2 1 n i i x x = =
∑
, Euclidean (Frobenius) normu,1 max i i n x ∞ x ≤ ≤ = , maksimum norm şeklinde verilir.
Bu normlardan ilk ikisi p − (veya Hölder) normu olarak bilinen ve
1/ 1 , 1 p n p i p i x x p = = ≤ < ∞
∑
ile tanımlı normun özel durumlarıdır. Üçüncüsü ise, p = ∞ durumuna karşılık gelir. Herhangi bir x V∈ vektörünün toplam, maksimum ve Frobenius normları arasında
2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 , 1 , , 1 , , , x x x n x x x n x x n x x x x n x x n x x x n x ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ bağıntıları mevcuttur [5].
Örnek 1.2.1. (3, 4,12) x= vektörü için 1 3 4 12 19 x = + + = 2 2 2 3 4 12 13 e x = + + = 1 12 x ∞ = 3 4 12 p p p p p x = + +
olup x vektörü için yukarıdaki normlar arası bağıntılar sağlanmaktadır. Tanım 1.2.3.(Hölder Eşitsizliği)
1 1
1
p+q = olmak üzere
( , )x y ≤ x p y q (1.9)
ile tanımlanan eşitsizliğe Hölder Eşitsizliği denir. Bu eşitsizlik p=q= için 2 Cauchy Schwarz eşitsizliği olarak bilinir.
Teorem 1.2.2.
V bir iç çarpım uzayı ve ,x y V∈ olsun. Bu durumda, i) ( , )x y ≤ x2 y2, Cauchy Schwarz Eşitsizliği
ii) ( , )x y 2≤ x2 y 2, Üçgen Eşitsizliği eşitsizlikleri geçerlidir [5] .
İspat.
i) ,x y∈V vektörleri için iç çarpım ve Euclidean normu tanımlarından,
2 2 2 2 2 2 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x x x y y x y y x x y x y y α α α α α α α αα ≤ + = + + + = + + + +
yazılır. Eğer x veya y sıfır vektörü ise iddia açık olarak doğrudur. ( , ) 0x y ≠ ise bu eşitsizlikte 2 2 ( , ) x x y α= − seçersek, 4 2 2 2 2 2 2 0 ( , ) x y x x y ⋅ ≤ − + olup 2 2 4 2 2 ( , ) 2 2 x x y ≤ x ⋅ y veya 2 2 ( , )x y ≤ x ⋅ y elde edilir.
ii) ,x y V∈ vektörleri için,
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) 2 Re( , ) 2 x y x x y y x y x x y y x x y y x y + = + + + = + + ≤ + + ≤ +bu eşitliğin her iki yanının karekökü alınırsa ispat tamamlanır. 1.3. Matris Normları
Tanım 1.3.1.(Matris Normu) ( )
n
M F elemanları, F cisminden alınan n n× matrislerin kümesi ve , n( ), A B∈M F α∈F olmak üzere, N1) A ≥ ve 0 A = ⇔0 A= 0 N2) αA = α ⋅ A , (α∈F) N3) A B+ ≤ A + B N4) A B⋅ ≤ A ⋅ B
aksiyomlarını sağlayan :Mn( )F +
⋅ → (1.10)
dönüşümüne matris normu denir. Bir A matrisinin normu genel anlamda A ile gösterilir ve A daima pozitif bir sayıdır.
Eğer bu aksiyomlardan N1, N2 ve N3 sağlanıyorsa bu norma genelleştirilmiş matris normu denir. O halde her matris normu, genelleştirilmiş matris normudur diyebiliriz. Aynı zamanda matris normları, vektör normlarının genelleştirilmişleridir.
Şimdi yukarıdaki norm aksiyomlarını sağlayan bazı matris normlarını şu şekilde verebiliriz. , ( ) m n A∈M olmak üzere; 1 1 1 max m ij j n i A a ≤ ≤ = =
∑
, sütun normu, 1 1 max n ij i m j A a ∞ ≤ ≤ = =∑
, satır normu,(
)
(
)
2 1 1 * * 2 1 ( ) : m n ij e i j r i i A a iz A A iz AA A r rank σ = = = = = = =∑∑
∑
, Euclidean(veya Frobenius veya Schur) normu,
*
max max 2 ( ) ( )
A = λ A A =σ A , spektral norm(veya 2. norm)
Burada *
max(A A)
λ , *
A A (veyaAA ) nın maksimum öz değeri ve * σmax( )A da A matrisinin maksimum singüler değeridir.
Örnek 1.3.1. 3 2 2 3 A= matrisi için * 3 2 3 2 13 12 2 3 2 3 12 13 AA = = olup * 1(AA) 25 λ = λ2(AA*) 1= , σmax( )A = 25 5= 1 2 3 5 A = + = 3 2 5 A ∞ = + = 2 2 2 2 3 2 3 2 26 e A = + + + = max 2 ( ) 25 5 A = σ A = = elde edilir.
Şimdi de A matrisinin p normu, pq karma(veya Hölder) normu ile op operatör normlarının tanımlarını verelim.
Tanım 1.3.2. ( Normu) p ( )ij m n A= a × matrisinin p normu, 1/ 1 1 , (1 ) p m n p ij p i j A a p = = = ≤ < ∞
∑∑
(1.11)şeklinde tanımlanır. Şayet p = ∞ ise
, lim p max ij , n i j A A a ∞ = →∞ = (1.11.a) dir. Örneğin 3 2 2 3 A=
matrisi ve p= için 3 3 normu
3 3 3 3
3 3
3 3 2 3 2 70
A = + + + =
Tanım 1.3.3. (pq Normu)
( )ij m n
A= a × matrisinin pq karma normu,
1/ / 1 1 , (1 , ) q q p n m p ij pq j i A a p q = = = ≤ < ∞
∑ ∑
(1.12)şeklinde tanımlanır. Eğer p q= alınırsa pq normu, normuna dönüşür. p
Örneğin 3 5
4 12 A=
matrisi p= ve 2 q= için 3 23 normu
2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 3 3 23 (3 4 ) (5 12 ) 2322 A = + + + = elde edilir. Tanım 1.3.4. (op Normu) ( )ij m n
A= a × matrisi ve x=( , ,..., )x x1 2 xn vektörü için operatör normu, op (1≤ p< ∞ )
olmak üzere;
{
}
max : 1 op p p A = Ax x = (1.18) şeklinde tanımlanır. Teorem 1.3.1.Genelleştirilmiş bir matris normu daima matrisin elemanlarına bağlıdır. Yani ε > 0 olmak üzere her ,i j için aij−bij <δ iken
A − B < ε
olacak şekilde
ε
’a bağlı δ > vardır [5]. 0 İspat.A ve B n n× matrisler olsun. E , ij eij = ve diğer bütün elemanları sıfır olan 1 T
ij i j
. ( ij ij) ij i j A B− =
∑
a −b E olur. , max ij i jm= E alınırsa N1 aksiyomundan m> olacaktır. 0
N2 ve N3 aksiyomlarından
. .
ij ij ij ij ij
i j i j
A B− ≤
∑
a −b ⋅ E ≤m∑
a −b elde edilir. Herhangi bir ε > için 0 2 mnε δ =
alalım. Eğer A ve B matrislerini ,i j=1, 2,...,n için
ij ij
a −b <δ
olacak şekilde seçersek
2
A B− ≤mn
δ
=ε
elde ederiz. aij−bij <δ ve A B− ≥ A − B olduğundan
A − B < ε olur ki bu da istenendir. Örnek 1.3.2. 1 4 2 2 A= ve 4 2 4 0 B= −
matrisleri için aij−bij <δ olacağı için δ =5.1 seçilirse
2 5.1 1 4 20.4
mn
ε =δ = × × = ve A B− e = 37≤20.4 Teorem 1.3.2.
( )A
ρ , A matrisinin spektral yarıçapını göstermek üzere ve A herhangi bir matris normu olmak üzere ( )
ρ
A ≤ A eşitsizliği vardır [5].İspat.
i
x λi öz değerine karşılık gelen öz vektör olmak üzere her i için
i i
x
λ
≤ Ai i
i A
λ
≤ maxλ
i ≤ A ( )A Aρ
≤ olur. Örnek 1.3.3. 5 3 3 5 A= matrisi için λ1= 8 λ2= ( ) 82 ρ A = A e = 68 olup
8 ( ) 68 e A A ρ = ≤ = eşitsizliği sağlanır. Teorem 1.3.3.
Eğer bir A matrisinin öz değerleri λi(i=1, 2,..., )n ve singüler değerleri
1 2 ... n σ ≥σ ≥ ≥σ ise bu takdirde 1 n i
σ
≤λ
≤σ
(1.19) dir [5]. Örnek 1.3.3. 1 1 1 1 2 3 1 3 6 A = matrisi için λ1= , 1
λ
2 = +4 15,λ
2 = −4 15,ve1( ) 4A 15
σ
= − ,σ
2( ) 4A = + 15, σ3( ) 1A = olup 1 31=
σ
≤λ
i ≤σ
= +4 15 eşitsizliği sağlanır.Tanım 1.3.5.(Matris Normu İle Vektör Normunun Uygunluğu) Herhangi bir A matrisi ile x vektörü için,
Ax ≤ A ⋅ x (1.20)
Ax =
λ
x =λ
x ≤ A ⋅ x eşitsizliğindenA
λ
≤elde edilir. Yani A matrisinin A normu üst değerler için bir üst sınır teşkil eder. Diğer bir ifade ile A matrisinin öz değerleri, A yarıçaplı bir çemberin içinde veya üzerinde bulunur. Esasen bu tanım matris normu aksiyomlarından N4’ün bir sonucudur. Şöyle ki, AB ≤ A ⋅ B eşitsizliğinde B matrisini ilk sütunu x vektörü, diğer sütunları sıfır vektörü olarak alırsak x = A olacağından
Ax = AB ≤ A ⋅ B = A ⋅ x elde edilir. Örnek 1.3.4. 1 2 2 1 A= − matrisi ve 2 3 x= vektörü için 10 e A = , x = 13 8 1 Ax= − , Axe = 65, olup
65= Axe ≤ Ae x = 130 eşitsizliği sağlandığından x normu A ile uygundur. e Tanım 1.3.6.(Sınır Normu)
Belirli bir vektör normu için, bu vektör normuna uygun matris normları arasında en küçük olanına matrisin sınır normu veya en küçük üst sınırı denir ve küs ( )A ile gösterilir.
Bir A matrisinin x vektör normuna ait sınır normu denilince Ax ≤c x eşitsizliğini sağlayan bir c sayısı anlaşılır ki, bu c sayısı bütün vektörler için ( ) min
x
eküs A = c Olarak tanımlanır ve (1.20) eşitsizliğinden
0 sup x Ax A x ≠ =
yazılır. Eğer x≠ olmak üzere 0 z x x = ve 1 sup z A Az = = elde edilir. Teorem 1.3.4. Eğer 1 sup z A Az =
= olacak şekilde bir z vektörü varsa bu durumda A bir matris
normudur [5]. İspat.
Sırasıyla matris normu aksiyomlarını göstermemiz yeterli olacaktır.
N1) Eğer A≠ ise 0 z =1 olmak üzere Az≠ olacak şekilde bir z vektörü daima vardır. O 0 halde 0< Az ≤ A ⋅ z ’den 0< A olur. Eğer A = ise 0 z = olan her z için daima 1
0
Az = olur. Biz z vektörünü birim vektör alırsak Az matrisi, A matrisinin sütunlarına karşılık gelir. A = olduğundan A matrisinin sütunları sıfırdır. Dolayısıyla A matrisi, 0 sıfırdır.
N2) c bir skiler olmak üzere,
1 1 max max z z cA cAz c Az c A = = = = = dır.
0 0 0 0 0 ( ) A B A B z Az Bz A z B z A B + = + ≤ + ≤ + = +
N4) z , 0 ABz0 = AB ve z0 = olacak şekilde tanımlansın. Buradan, 1 0 0 0 AB ABz A Bz A B z A B = ≤ ≤ =
olur ve böylece ispat tamamlanmış olur. Tanım 1.3.7.(Matris Normlarının Denkliği)
A m n× tipinde bir matris ve p q, ∈
{
1, 2, ,E ∞ olsun.}
A ve p A herhangi iki norm, q1( , )
c p q ve c p q pozitif sabitler olmak üzere 2( , ) 1 p q 2 p
c A ≤ A ≤c A (1.21)
eşitsizliği varsa bu iki matris normu denktir denir.
Bu tanımla birlikte matris normları arasındaki bağıntıları şu şekilde verebiliriz. Bir ( )ij m n
A= a × matrisi için rank A( )= ve r ⋅ 1, ⋅ ∞, ⋅ e, ⋅ 2 sembolleri sırası ile A matrisinin sütun, satır, Frobenius(Euclidean) ve spektral normlarını göstermek üzere aşağıdaki normlar geçerlidir. Bizim burada çalışmamız için esas teşkil eden ⋅ 2 (spektral normunu veren aralıkları vermemiz yeterli olacaktır.
1) 1 A1 A2 n A1
m ≤ ≤
2) 1 A A 2 m A
n ∞≤ ≤ ∞
3) 1 1 2 min( , ) Ae Ae A Ae m n ≤ r ≤ ≤ (1.22) vardır. (1.22) eşitsizliği; 4) 2 * 1 1 1 1 1 ( ) m n ij e i j A a iz A A r r r = = =
∑∑
= 2 2 max 1 max 2 1 r i i r r r A σ σ σ = = ≤ = =∑
ve 5) 2 2 1 r i e i A σ A = ≤∑
= olduğundan 6) 1 2 e e A A A r ≤ ≤ (1.23)kolayca görülebilir. Ayrıca yine ⋅ 2 normu için
7) 1 2 1 4 1 A A A A A mn ∞ ≤ ≤ ∞ bağıntısı geçerlidir. Örnek 1.3.5. 2 4 4 1 2 4 1 2 2 A = − matrisi için A1=10, A∞ =10, Ae ≅8.124 2 7.8476 A ≅ , ( ) 2
r=rank A = ve m= = değerleri için, n 3
1) 10 7.8476 10 3
3 ≤ ≤ ,
3) 1 8.124 1 8.124 7.8476 8.124 3 ≤ 2 ≤ ≤ 4) 1 8.124 7.8476 2 ≤ 5) 7.8476 8.124≤ 6) 1 8.124 7.8476 8.124 2 ≤ ≤ 7) 1 10 7.8476 10 3 ≤ ≤
2. BİR CAUCHY MATRİSİ İÇEREN HADAMARD ÇARPIMI ÜZERİNE BİR SINIRIN İKİ UYGULAMASI
2.1. AX BX− =S in Çözümleri İçin Bir Sınır
Eğer A∈Mm( ) , B∈Mn( ) matrisleri ayrık spektruma sahipseler, bu takdirde her
, ( )
m n
S∈M için TA B, ( )X =AX−XB=S denklemi bir tek X∈Mm n, ( ) çözümüne
sahiptir. Bir çok yazar A ve B üzerine konulan çeşitli şartlar altında 1 , :
A B
T− S→X çözüm operatörünün normu üzerine sınırlar elde etmişlerdir [9],[10] ve [11].
Teorem 2.1.1. ( )
m
A∈M , B∈Mn( ) matrisleri; sırası ile spektrumları { } ,{ }1 1
m n
i i i i
α = β = olan iki
normal matris olsun. Bu takdirde; Mm n, ( ) üzerindeki her üniter olarak değişmez ⋅ normu için 1 X
η
− AX BX ≤ − eşitsizliği geçerlidir [1]. İspat. i A→e A cIθ + ve iB→e Bθ +cI şeklindeki normalliği koruyan eş zamanlı dönüşümler olsun. θ∈ ve c ∈ için sınırlar koruduğundan dolayı genelliği bozmaksızın,
her ,i j için Re 2 i η α ≥ ve Re 2 j η
β ≤ − olsun. V , W üniter ve A=diag( ,...,α1 αm),
1
( ,..., n) diag β β =
B olmak üzere A V= AV* ve B=W WB * olsun. Bu takdirde
{
}
{
}
{
}
* * * * * * * * ( ) ( ) Y Y i ij ij j i j AX BX V V X XW W V V XW V XW W V Y Y W V y y W V Y W α β α β − = − = − = − = − = − A B A B A B(
)
(
)
* * 1 ( ) 1min Re min Re( ) 1 min Re max Re 1 1 min Re max Re i j i j i j i j i j i j i j X V XW Y Y Y V Y W AX XB AX XB α β α β α β α β α β α β α β η = = = − + − ≤ − + − = − − = − ≤ − − elde edilir.
2.2. Üniter Çarpan İçin Bir Genel Pertürbasyon Sınırı
, n( )
V W∈M matrisleri üniter ve Σ =diag( ( ),...,σ1 A σn( ))A olmak üzere her
( )
n
A∈M matrisi A V W= Σ * şeklinde bir singüler değer ayrışımına sahiptir. ( ) *
U A =VW matrisi üniter ve *
A =W WΣ matrisi pozitif tanımlı olmak üzere; * *
( )( )
A= VW W WΣ yazılırsa A U A A= ( ) şeklinde bir kutupsal ayrışım vardır.
* * * * * * ( )( ) ( ) ( ) A =W VΣ = WV V VΣ =U A V VΣ olduğundan, * A ’ın her zaman * ( ) U A üniter çarpan olan bir kutup ayrışımına sahip olduğunu söylemek mümkündür. Eğer ,Y Z∈Mn( ) üniter matrisler ise,
* ( ( ) *)( *)
YAZ = YU A Z Z A Z
bize; verilen bir kutupsal ayrışımına sahip bir matrisin herhangi üniter denginin bir kutupsal ayrışımını verir.
( )
n
A∈M ’in kutupsal ayrışımında pozitif tanımlı çarpan, A =(AA* 1/ 2) olarak her zaman tek bir şekilde belirlenir. Ancak A ’nın singüler olması durumunda üniter çarpan için bir çok seçim vardır. Eğer A , singüler olmayan bir matris ise bu takdirde A ’da singüler
Lemma 2.2.1.
, 0
i i
α β > , olmak üzere A B, ∈M2n( ) Hermityen matrislerinin sırası ile { }n1 i i α = ± ve 1 { }n i i β =
± spektrumlarına sahip olduğunu farz edelim. Bu takdirde, her Y∈M2n( ) ve her
üniter olarak değişmez ⋅ normu için
2 ( ) ( ) min i min j U A Y YU B AY Y B α β − ≤ − + eşitsizliği geçerlidir [1]. İspat. , 0 i i
α β > olmak üzere; A B, ∈M2n( ) matrisleri hermityen, singüler olmayan ve sırasıyla
{
}
n1 i i α = ± ve{
}
1 n j i β =± spektrumlara sahip matrisler olsun. In, n n× birim matrisi,
2
, n( )
V W∈M matrisleri üniter, A=diag( ,...,α1 αn,−α1,...,−αn) ve
1 1
( ,..., n, ,..., n)
B=diag β β −β −β olmak üzere *
A VAV= ve *
B=WBW yazılsın. ( ) ( ) n ( n)
U A =U B =I ⊕ −I ≡I olduğundan, U A( ) = IV V* ve U B( ) =W WI * elde ederiz. Herhangi Y∈M2n( ) için, 11 12 * 21 22 X X X V YW X X ≡ = , Xij∈Mn( ) , ve
{
(
) (
)
}
{
}
* * * * 11 12 * 21 22 ( ) i j i j i j i j AY Y B V V YW V YW W V X X W o X o X V W o X o X α β α β α β α β − = − = − − + = + − − − A B A Bolsun. 12 21 0 0 Z Z Z ∧ =
blok Z matrisinden elde edilen pinching matrisini göstersin. Herhangi üniter olarak değişmeyen ⋅ azalan norm için;
(
)
(
)
1 1 1 ( ) 2 2 2 Z Z Z Z Z Z Z ∧ = I I ≤ + I I = + = * * * * 12 21 12 21 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 2 2 0 0 2 ( ) 0 i j i j i j i j U A Y YU B V V VXW VXW W W X X X X oX o X α β α β α β α β − = − = − = − + + = + − + I I I I 12 21 0 ( ) 2 min min ( ) 0 i j i j i j o X o X α β α β α β + ≤ + − + (2.1) 11 12 21 22 ( ) ( ) 2 min min ( ) ( ) i j i j i j i j i j o X o X o X o X α β α β α β α β α β − + ≤ + − + − − (2.2) 2 min i min j AY Y Bα
β
= − + eşitsizliği elde edilir.Lemma 2.2.1’de verilen hermityen matrisler için problem üniter olarak değişmez normlar ve singüler değerler içinde doğal olarak ortaya çıkar.
, n( )
A B∈M spektrumları sırası ile { ( )} 1
n i A i σ = ± ve { ( )} 1 n i B i σ = ± olan matrisler olmak üzere,
* 0 0 A A A ≡ ve * 0 0 B B B ≡ ,
formundaki 2n×2n tipindeki A ve B hermityen matrislerini göz önüne alalım[15]. Bu formdaki blok matrisler; singüler değer ayrışımına en yakın yaklaşımlardan birinde Jordan tarafından kullanılır. Bu şekildeki matrislerin kutupsal ayrışımı,
* 0 ( ) ( ) ( ) 0 U A U A U A = ve * 0 0 A A A =
olmak üzere A U A A= ( ) şeklinde kolaylıkla hesap edilir.
( ) n X∈M için, 0 0 X Y X = ise, * * * * 0 0 0 0 0 0 AX XB AY Y B A X XB AX XB I A X XB I − − = − − = − (2.3) ve * * * * 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) 0 U A X XU B U A Y YU B U A X XU B U A X XU B I U A X XU B I − − = − − = − (2.4)
olur. Sonuç olarak,
{
}
* * * *
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
U A X−XU B = −U A U A X−XU B U B ,
olduğu görülür ki, böylece U A X( ) −XU B( ) ve * *
( ) ( )
U A X−XU B ’ın singüler değerleri aynıdır. Bununla birlikte; AX−XB ve * *
A X−XB ’nin aynı singüler değerlere sahip olması gerekmez.
Teorem 2.2.1.
, n( )
A B∈M matrisleri singüler olmayan matrisler olsun. Bu takdirde her ( )
n
X∈M ve de her üniter olarak değişmez ⋅ normu için
* * min min 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U A X XU B U A X XU B AX XB A X XB A B σ σ − ⊕ − ≤ − ⊕ − + (2.5) eşitsizliği geçerlidir [1]. İspat.
Lemma 2.2.1’deki (2.3) ve (2.4)ifadeleri kullanılırsa ispat kolayca yapılır. Eşitsizlik hem A hem de B üniter iken eşitlik olacağından (2.5)’deki sınır keskindir.
max 2 ( )
X =σ X spektral norm ve,
(
n ( )p)
1/pi i
p
X ≡
∑
=σ X , p≥ 1 Schetten p normları için (2.5) eşitsizliğinin her iki tarafı, açık olarak singüler değerlerin fonksiyonlarıdır.Sonuç 2.2.1.
, n( )
A B∈M matrisleri, singüler olmayan matrisler olsun. Bu takdirde her ( ) n X∈M ve herhangi p≥ için; 1
{
* *}
2 2 2 min min 2 ( ) ( ) max , ( ) ( ) U A X XU B AX XB A X XB A B σ σ − ≤ − − + (2.6) ve(
)
1 1 1/ * * min min 2 ( ) ( ) max ( ) ( ) p p p p p p p U A X XU B AX XB A X XB A B σ σ − − ≤ − + − + (2.7) eşitsizlikleri geçerlidir. Eğer * *A X −XB ve AX−XB üniter olarak denk iseler bu takdirde (2.5),(2.6) ve (2.7) basitleştirilebilir [1].
Sonuç 2.2.2.
, n( )
A B∈M verilsin. A ve B ’nin singüler olmadığını ve * *
A X−XB ile AX−XB’nin üniter olarak denk olduklarını farz edelim. Bu takdirde her X∈Mn( ) ve de her üniter olarak değişmez ⋅ normu için
min min 2 ( ) ( ) ( ) ( ) U A X XU B AX XB A B σ σ − ≤ − + (2.8)
dir. Özellikle de (2.8) eşitsizliği X hermityen veya ters hermityen ise hem A hem de B ile ele alınır [1].
İspat.
k tane en büyük singüler değerin toplamı olan Ky Fan k -normu için (2.5)’yi göz önüne alalım. Eğer k =2m ise, bu takdirde (2.5) m=1,...,n için
2 1 1 2 * * 1 min min 1 min min 1 ( ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ( ) ( ))) 2 1 (( ) ( )) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) n m i i i i m i i m i i U A X XU B U A X XU B U A X XU B AX XB A X XB A B AX XB A B σ σ σ σ σ σ σ σ = = = = − = − ⊕ − ≤ − ⊕ − + = − +
∑
∑
∑
∑
olur. Her üniter olarak değişmez ⋅ normu için Ky Fan dominantlık teoremi
min min 2 ( ) ( ) ( ) ( ) U A X XU B AX XB A B σ σ − ≤ − +
şekline gelir. Son iddia, belirtilen şartlar altında
(
)
** *
A X−XB = ± AX−XB eşitliğinin gösterilmesiyle sonuçlanır.
sınırını elde edilir ki, R.C.Li bu sınırı Teorem 2.1.1’de matrisleri hertmityen alarak bulmuştur. U A( )−U B( ) üzerine diğer sınırlar bilinmektedir.
Bununla birlikte bu sınırların çoğu; ya asimptotiktir ya da sadece kısıtlamalar altında doğrudur.
(2.5)’in son bir özel durumu,Schatten p -normları için dikkate değerdir. ⋅ 2 Frobenius normu; eş zamanlı olarak Schatten 2-normudur. Herhangi ,A B∈Mn( ) için
2 * 2 * * * * * * * * ( ) ( ) ( ) ( ), AX XB iz AX XB AX XB iz X A AX XBB X iz A XBX AXB X − = − − = + − + (2.10)
elde ederiz. Burada (2.10)’daki ikinci terim, A yerine *
A ve B yerine B konulursa * değişmezdir ve ilk terim; eğer A ve B normal ise aynı değişmezliğe sahiptir. Böylece A ve B normal matrisleri için, AX−XB ve * *
A X−XB ’nin Frobenius normları aynıdır. Herhangi p∈(1, )∞ ve A ve B normal matrisleri için * p
p
A X −XB ≤c ≤ AX−XB olduğu [6]’daki Teorem 2.7’den görülür ki, burada c yalnızca p ye bağlı olan genel bir p sabittir. Biz henüz cp = alınabileceğini gösterdik. Sonuç 2.2.1’deki sınırlar, aşağıdaki 1 sonuca götürür.
Sonuç 2.2.3.
, , n( )
A B X∈M için A ve B singüler olmayan ve normal matrisler olsunlar. Bu takdirde , 2 2 min min 2 ( ) ( ) ( ) ( ) U A X XU B AX XB A B σ σ − ≤ − + , ve her p∈(1, )∞ için, 1 1 1 2 min min 2 (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p p c U A X XU B AX XB A B σ σ − + − ≤ − + ,
2.3. Pozitif Yarı Tanımlı Çarpanın Pertürbasyonu
A− B ’yi sınırlandırma probleminin önceki bölümde çalışılan probleme doğal bir yakınlığı vardır. Sonuçlar bazı ilginç yeni sınırlar verdi. Bir ileriki hesaplamanın
* * * * * * 1 1 ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) A B U A U B A B U A U B A B U A A B U A U B B U B A B U A U B A − = + − + − + = − + − = − + −
olduğu görülür. Burada ,A B∈Mn( ) matrisleri singüler olmayan matrislerdir. Her üniter olarak değişmeyen norm, simetrik olduğundan
max max max 1 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B A B U A U B A B A B B U A U B A B A U A U B σ σ σ − + + − − ≤ − + − − + − (2.11)
elde ederiz. (2.9)’deki sınır ve süreklilik daha sonra en son sonucumuzu verir. Teorem 2.3.1.
, n( )
A B∈M matrislerinden en az biri singüler olmayan matris olacak şekilde verilsin. Bu takdirde; M n( ) üzerindeki her üniter olarak değişmez ⋅ normu için ;
{
max max max}
min min min ( ), 2 ( ), 2 ( ) 1 ( ) ( ) A B A B A B A B A B σ σ σ σ σ + − ≤ + − + (2.12) eşitsizliği geçerlidir. A X−X B , AX −XB ve * *
A X−XB ’i içeren ilgili eşitsizlikler;
max * * max ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AX XB B U A X XU B A X X B A X XB A U A X XU B σ σ − + − − ≤ − + −
3. MATRİSLERİN HADAMARD ÇARPIMLARININ SPEKTRAL YARIÇAPI İÇİN BAZI SONUÇLAR
3.1. Bazı Sınırlar ve Köşegen Dominantlık Tanım 3.1.1.(Satır Dominant ve Sütun Dominant)
( ),ij ( )ij n( )
A= a B= b ∈M olsun. Her i=1,...,n ve j i≠ için
( )
ii ij ii ji
a ≥ a a ≥ a
oluyorsa A matrisine köşegen olarak kendisinin satır elemanlarına veya sütun elemanlarına göre dominanttır denir.
Eşitsizliği ters çevirerek, matrisin köşegen olarak, kendisinin satır elemanlarına veya sütun elemanlarına alt dominantlığını tanımlarız. Kesin olarak köşegen dominantlık benzer şekilde [16]’de tanımlanır.
Teorem 3.1.1.
0, 0
A≥ B≥ negatif olmayan matrisler olsunlar. Eğer DBD−1 matrisi kendisinin satır veya sütun elemanlarına köşegen dominant olacak şekilde bir pozitif köşegen D matrisi varsa bu takdirde ( )B izB ρ ≤ (3.1) ve 1,..., ( ) ( ) max ii i n A B A b ρ ρ = ≤ (3.2)
eşitsizliği sağlanır. Bundan başka eğer 1
DBD− matrisi, kendisinin sütun veya satır elemanlarına köşegen alt dominant olacak şekilde bir pozitif köşegen D matrisi varsa bu takdirde ( )B izB ρ ≥ ve 1,..., ( ) max ii ( ) i n A b A B ρ ρ = ≤ ’dır [2].
İspat.
Bilinmelidir ki; 1 1
( ) ( )
A DBD− =D A B D − dir ve böylece ρ(A B)=ρ(A (DBD−1)
dir. Dahası; B nin ve 1
DBD− in köşegen elemanları aynıdır. Böylece B ’nin kendisinin satır ve sütun elemanlarına köşegen dominant olduğunu varsayabiliriz. Farz edelim ki; B , kendisinin sütun elemanlarına köşegen dominant olsun, Bu takdirde,
11 1,..., ( ,..., nn) max ii i n A B A diag b b A b = ≤ ≤ (3.3)
dir. [15]’de Perron kökünün monotonluğundan (3.2)’yi veren
11 1,..., ( ) ( ( ,..., nn)) ( ) max ii i n A B A diag b b A b ρ ρ ρ = ≤ ≤ (3.4) eşitsizliği yazılır.
(3.1)’i elde etmek için J bütün elemanları 1 olan n nn × matris olmak üzere (3.4)’te
n
A=J yazmak yeterlidir. Bu takdirde
11 (A B) (J diag bn ( ,...,bnn)) izB ρ ≤ρ = dir. Örnek 3.1.1. 1 2 3 1 A= , 2 1 1 3 B= ve 1 0 0 2 D=
köşegen matrisi için,
1 1 4 1 4 6 2 DBD− = , 2 2 3 3 A B= olup ( ) 5 5 2 B ρ = + , izB= , (5 ρ A B ) 5= , değerleri için 5 5 ( ) 5 2 ρ B izB + = ≤ = ve 1,..., 5 ( ) ( ) max ii ( 6 1) 3 i n A B A b ρ ρ = = ≤ = + ⋅ , eşitsizlikleri sağlanır. Uyarılar.
-Her negatif olmayan B matrisi için;
1,...,
max ii ( )
i= nb ≤ρ B eşitsizliği doğru olmasına rağmen
eğer teoremdeki varsayım kaldırılırsa (3.1) deki ρ( )B ≤izB eşitsizliği sağlanmayabilir.
Örneğin, 0 1 1 0 B=
indirgenemeyen matrisi için bu eşitsizlik sağlanmaz.
-Eğer A≥0,B≥ matrislerinin her ikisi de kendi sütun veya satır elemanlarına köşegen 0 dominant ise bu durumda,
1,..., 1,..., ( ) max iimax ii i n i n A B a b ρ = = ≤
eşitsizliği sağlanmaz. Örneğin,
2 1 2 1 , 1 1.5 1 2 A= B= matrisleri için 4 1 1 3 A B= olup 1,2 12 ( ) 4.6180 4 max iimax ii i i A B a b ρ = = ≈ > =
elde edilir ki eşitsizlik sağlanmaz. Tanım 3.1.2.( M matrisi− )
{ : 0, }
n n n ij
Z = A∈R × a ≤ i≠ j olsun. ρ( )P P≥ matrisinin spektral yarıçapı ve 0 I , n n n× birim matris olmak üzere A=sIn−P ve s≥ρ( )P ,
(
s≥0)
olacak şekilde bir P≥ 0 matrisi varsa A∈Zn matrisine M matrisi− denir[16,20].n
M ile bütün n n× tipindeki singüler olmayan M matrisleri gösterilsin.
1 1
: { : }
n A A
− −
= ∈
Örnek 3.1.2. 1 9 1 1 P= , ( ) 4ρ P = , s= ≥5 ρ( ) 4P = alalım, 5 0 1 9 4 9 0 5 1 1 1 4 A=sI−P= − = − −
matrisi M matrisi− ’dir. Benzer şekilde
1 0 0 1 P=
, ( ) 1ρ P = , s= ≥2 ρ( ) 1P = alınması ile elde edilen,
2 0 1 0 1 0
0 2 0 1 0 1
A=sI−P= − =
birim matrisi de matrisi M matrisi− ’dir. Sonuç 3.1.1.
B n n× tipinde negatif olmayan bir matris olsun. Eğer, DBD−1 kendisinin sütun veya satır elemanlarına köşegen dominant olacak şekilde pozitif köşegen D matrisi varsa bu takdirde 1,..., max{ ( ) : 0, ( ) 1} max ii i n A B A A b ρ ρ = ≥ = = dir [2]. İspat. n
A∈Z olması için gerek ve yeter şart A matrisinin singüler olmaması ve A≥ 0 olmasıdır[16]. Mn ile 1
n
−
M ’in, pozitif köşegen D matrisi aracılığı ile benzerlik altında değişmez olduğu açıktır. Yani, 1
n n
DMD− =M ve 1 1 1
n n
DM− D− =M− dir. Ayrıca [25]’den
1
n
−
M ’in Hadamard-kapalı olması için gerek ve yeter şart n≤ olması gerektiği 3 bilinmektedir.
Örnek 3.1.3. 1 0
1,..., 5 5 ( ) max 3 2 ρ A B i nbii = + = ≤ = B matrisi değiştirilip 2 0 0 3 B= alındığında 2 0 0 3 A B= elde edilir ve 1,..., 3 ( ) max ii 3 i n A B b ρ =
= = = eşitlik durumu elde edilir ki bu da bizim sonucumuzu destekler bir sonuçtur.
Sonuç 3.1.2.
A ve B n n× tipinde negatif olmayan matrisler olsunlar. Eğer B∈ M ise bu takdirde n−1 ( )B izB ρ ≤ ve 1,..., ( ) ( ) max ii i n A B A b ρ ρ = ≤
dir. Böylece eğer 1
n B∈ M ise bu takdirde − 1,..., max{ ( ) : 0, ( ) 1} max ii i n A B A A b ρ ρ = ≥ = = dir [2]. İspat. 1 n
B− ∈ M olduğundan;[26]’dan DB D−1 −1, kesin olarak satır köşegen dominant olacak şekilde bir pozitif köşegen D matrisi vardır. Bu takdirde, 1
DBD− ’in tersi kendi sütun elemanlarına kesin olarak dominanttır[16].
3.2. 1
B− , M- Matrisi Olduğu Zaman Keskin Bir Üst Sınır ( ) s A , A∈ M matrisinin spektrumunu ve n ( ) min{Re :A s A( )}, τ = λ λ∈ olmak üzere ,A B∈ M ve n βij B−1 ∈ ise 1 1,..., ( ) ( ) min ii i n A B A τ − τ β = ≥ (3.5)
eşitsizliği sağlanır. [16]’da, 1 1 ( ) ( ) A A τ ρ − =
olduğu bilinmektedir ve bu değer A∈ M ’in bir pozitif öz değeridir. ( )n τ A sayısı; sık sık A matrisinin minimum öz değeri olarak isimlendirilir. Gerçekten de s>ρ( )P ve P≥ olmak 0 üzere eğer A=sIn−P ise
( )A s ( )P τ = −ρ ,
dir[22]. Böylece ( )τ A , A matrisinin singülerliğe ne kadar yakın olduğunun bir ölçüsüdür. Eğer ,A B∈ M ise n
1
n
A B − ∈M dir. [21]’da Chen τ(A B−1)
için 1 1,..., ( ) ( ) ( ) min 1 ( ) ( ) ii ii ii i n ii a b A B A B A B b β τ τ τ τ τ − = ≥ + − (3.6)
şeklinde keskin bir sınır bulmuştur. Her i=1,...,n için aii ≥τ( )A olduğundan (3.6), (3.5)’i gerektirir. (3.6) eşitsizliği
(
)
(
)
1 1 1 1 1 1 1,..., ( ) ( ) ( ) min ( ) ( ) 1 ii ii ii i n ii A B A B a A b B b ρ ρ τ β ρ ρ − − − − − − = ≤ + − formunda tekrar yazılabilir. Bununla birlikte, bu 1
(A B )
ρ −
için bir üst sınır değildir. Sonuç 3.12, Chen’in bulduğu sınırı ve onun ispatı üzerinde yoğunlaşıldığında, A≥ ve 0 B∈ M n−1 olmak üzere ρ(A B ) için keskin bir üst sınır bulmak istiyoruz. [26, Lemma 2.2]’deki lemmaya ihtiyaç duyacağız. Eğer A kesin köşegen dominant matris ise bu takdirde [16]’da iyi bilinen Gersgorin Teoremi’nden A singüler değildir [16].
Örnek 3.2.1. 4 9 1 4 n A= − ∈ − M ve 1 0 0 1 n B= ∈ M matrisleri için
