Bir matris polinomunun değerinin saptanması

(1)

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BİR MATRİS POLİNOMUNUN DEĞERİNİN SAPTANMASI

Hazırlayan Ayşe DURSUN DOKTORA TEZİ

MATEMATİK ANA BİLİM DALI

(2)

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BİR MATRİS POLİNOMUNUN DEĞERİNİN SAPTANMASI

AYŞE DURSUN

DOKTORA TEZİ

MATEMATİK ANA BİLİM DALI

(3)

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BİR MATRİS POLİNOMUNUN DEĞERİNİN SAPTANMASI Ayşe DURSUN DOKTORA TEZİ

MATEMATİK ANA BİLİM DALI

Bu tez 17/10/2008 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği/çokluğu ile kabul edilmiştir.

Prof. Dr. Ali SİNAN (Danışman)

Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL Prof. Dr. Ahmet Ali ÖÇAL Üye Üye

Yrd. Doç. Dr. Naim TUĞLU Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN Üye Üye

(4)

TEŞEKKÜR

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Ana Bilim Dalı’nda Prof. Dr. Ali SİNAN yönetiminde Doktora Tezi olarak hazırlanmıştır. Çalışmanın ortaya konulması ve her aşamasında desteğini esirgemeyen değerli hocalarım Sayın Prof. Dr. Ali SİNAN’a, Sayın Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL’e ve Sayın Prof. Dr. Ahmet Ali ÖÇAL’a teşekkür ederim. Ayrıca çalışmada yardımını esirgemeyen Sayın Yrd. Doç. Dr. Naim TUĞLU’ya teşekkür ederim.

Ayşe DURSUN

(5)

ÖZET ………. iii

ABSTRACT ……… iv

TEŞEKKÜR ……… v

1. GİRİŞ ……… 1

1.1 Literatür Özeti ve Algoritmaların Tanıtımı ………... 1

1.2 Yeni Algoritmalar ……… 5

1.3 Yeni Algoritmaların Genelleştirilmesi ………... 8

1.4 Tezin Yapısı ………... 9

2. Ψ(N, A) MATRİS POLİNOMUNUN ALGORİTMALAR YARDIMIYLA HESAPLANMASI İLE İLGİLİ ÖRNEKLER………. ₁₀

3. Ψ(N, A) MATRİS POLİNOMUNUN ALGORİTMALAR YARDIMIYLA HESAPLANMASI İLE İLGİLİ NÜMERİK ÖRNEKLER………... 40

4. Ψ(N, A) MATRİS POLİNOMUNUN HESAPLANMASI İLE İLGİLİ ALGORİTMALARIN KARŞILAŞTIRILMASI………... 56

5. SONUÇ VE DEĞERLENDİRME ………. 61

(6)

Doktora Tezi

B R MATR S POL NOMUNUN DE ER N SAPTANMASI

Ay e DURSUN Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal

Dan man: Prof. Dr. Ali S NAN 2008, 64 + vii Sayfa

Jüri: Prof. Dr. Ali S NAN Prof. Dr. aziye YÜKSEL Prof. Dr. Ahmet Ali ÖÇAL Yrd. Doç. Dr. Naim TU LU Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN

Bu çal mada, (N,A) matris polinomunun hesaplanmas ile ilgili algoritmalar incelenmi tir. (N,A) matris polinomunun hesaplanmas için bütün kare matrislere uygulanabilen iki yeni algoritma elde edilmi tir ve bu algoritmalar genelle tirilmi tir. Ayr ca elde edilen algoritmalar nümerik örneklerle çözülmü ve bir kare matris üzerinde uygulanm r. Bulunan sonuçlar literatürdeki sonuçlarla kar la lm lard r.

Anahtar Kelimeler: Matris, Matris Polinomu, Matris Kuvvetleri.

(7)

ON THE EVALUAT ON OF A MATRIX POLYNOM AL

Ay e DURSUN

Selçuk University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Ali S NAN 2008, 64 + vii Pages

Jury : Prof. Dr. Ali S NAN Prof. Dr. aziye YÜKSEL Prof. Dr. Ahmet Ali ÖÇAL Asist. Prof. Dr. Naim TU LU Asist. Prof. Dr. Yusuf BECEREN

In this work, the algorithms about the evaluation of (N,A) matrix polynomial have been investigated. Two new practical algorithms which can be applied to all the square matrix for the evaluating matrix polynomial (N,A) have been found and universalised. Moreover, the algorithms found have been solved with numerical examples and applied to a square matrix. The results have been compared with the results in literature.

(8)

1. G

N pozitif tamsay , A, n boyutlu kare matris ve I, n boyutlu birim matris olmak üzere,

2 N 1 (N,A) = I+A+A + +A

matris polinomlar n hesaplanmas matris teoride, mühendislik alanlar nda, ekonomi, olas k ve diferensiyel denklemler gibi konularda yayg n bir ekilde kullan lmaktad r. Literatürde (N, A) matris polinomunun hesaplanmas nda kolayl klar sa layan, bütün kare matrislere uygulanabilen, matris çarp mlar ve toplamlar minimum say da kullanan algoritmalar incelenmi tir. Bu algoritmalar

lem kolayl sa lar ve zaman kayb önler.

1. 1. Literatür Özeti ve Algoritmalar n Tan

(N, A) matris polinomunun hesaplanmas , Johnson ve ark. (1971), integral hesaplamalar nda, matris dönü ümleri gibi bir çok durumlarda kar za kmaktad r. Ayr ca ayr k zaman sistem analizi ve çizge (graf) teorisinde de uygulamalar vard r. Matris hesaplamalar nda Golub ve ark. (1983), uygulamal nümerik metotlarda Carnahan ve ark. (1969), matris hesaplanmas nda gerekli çarp mlar n say skaler olmad nda Paterson ve ark. (1973), bilgisayar programlamada Knuth (1981), matris polinomlar na gerek duyulmaktad r.

(N, A) matris polinomunun (I A )(I A) ile hesaplanabildi iN 1 bilinmektedir. Fakat I A singüler matris oldu unda ya da (I A) matrisinin1 hesaplanmas nümerik olarak zor oldu unda ba ka metotlara ihtiyaç duyulur. N say tek basamakl bir say ise bu polinomun de erini klasik yollardan hesaplayabiliriz. Fakat N say tek basamakl de ilse, bu polinomun de erinin klasik yollardan bulunu u imkans z olacakt r. Literatürde bu zorluklar ortadan kald rmaya yönelik yeni algoritmalar kar za ç kmaktad r. Bu amaçla, bütün kare matrislere uygulanabilen matris çarp mlar n say daha az gerektiren pratik ve kolay yeni algoritmalara da ihtiyaç duyulmu tur. (N, A) matris polinomunun bulunabilmesini

(9)

kolayla ran bu yeni algoritmalarda dikkat edilmesi gereken durum, algoritman n minimum say daki matris çarp mlar ve toplamlar ile yap labilmesidir.

(N, A) matris polinomunun hesaplanmas nda kullan lan metotlardan biri Carnahan ve ark. (1969), Horner’ n kural r. Bu kural N-2 tane matris çarp gerektir. Bu çarp mlar fazla miktarda oldu undan hatalara neden olabilir. Gereken çarp mlar n say Paterson ve ark. (1973), A’n n kuvvetleri için Horner’ n kural üzerine oturtulmu uygulamas yla indirgenebilir. (N, A) , bu uygulama ile 2 N 1 matris çarp mlar yla hesaplanabilir. Bu hesaplama çok büyük bir indirgemedir. Fakat onlar n kural genel polinom hesaplanmas için olu turulmu tur, bu nedenle (N, A) ’n n matris çarp mlar minimum say ile hesaplayamaz. (N, A) n n karakteristik özelliklerinden faydalanarak Westreich (1989), N’ nin asal çarpanlar ndan faydalanarak bir metot geli tirmi tir ve en az 3log₂(N) matris çarp gerektirmektedir. Bu nedenle indirgenen matris çarp mlar n say di er metotlardan daha azd r. Lei ve ark. (1992), (N, A) n n hesaplanmas için 2 log (N)2 1 matris çarp gerektiren bir metot geli tirmi lerdir. Dutta ve ark. (1992), (N, A) n n hesaplanmas için yeni bir algoritma olu turmu tur. Dimitrov ve ark. (1994), Lei ve ark. (1992), metodundan faydalanarak yeni bir algoritma sunmu lard r. Bu algoritma N = (i_ti_t ₁…i₁i₀)₂ ise

2 1

2 log (N) 2 i_t matris çarp gerektirmektedir. Dimitrov ve ark. (1994) bu çal mas nda N üçlük sayma düzenine göre oturtulmu tur ve daha az matris çarp içermektedir.

Westreich (1989), (N, A) matris polinomunun hesaplanmas için bütün kare matrislere uygulanabilen ve 3log₂(N) matris çarp gerektiren, pratik bir algoritma tan mlanm lard r.

er N = J.K ise K 1 J J+0 J J 1 0 (N, A) (J, A). (K, A ) (Ai + Ai ) i

(10)

N = p₁. p₂… p_k eklinde ise bu takdirde

(N, A) = ( p1,A). ( p2,A 1 P )… ( pk,A 1 2 1xpx...xpk p )

r. Burada öncelikle (p₁,A) bulunur. Daha sonra X = Ap1_{ve P =} _(p 1,A) olmak üzere (p₂,X), P = P. (p₂,X) ve X = Xp2_{hesaplan r. Bu durum} _{(N, A)} hesaplanana kadar devam eder.

Lei ve ark. (1992), (N, A) matris polinomunun hesaplanmas için bütün kare matrislere uygulanabilen ve 2[log₂(N)]-1 matris çarp gerektiren yeni bir algoritma geli tirmi lerdir.

Burada (N, A) = G(N, A) ve K pozitif tamsay olsun. E er. N = J.K ise bu takdirde, G(J.K,A) = G(J,A).G(K,AJ) formülünü kullanarak, 2 2 2 (I+A).G(K,A ), N=2K G(N,A) I + (A+A ).G(K,A ), N = 2.K+1

algoritmas elde edilir. G(N, A) matris polinomunun hesaplanmas nda izlenilecek ad mlar a daki ekildedir.

i. t [ log₂(N) ], A(0) = A

ii. N ikili sayma sisteminde hesaplan r. N = (i_ti_t ₁…i₁i₀)₂ iii. t₀ t-2+ i_t ₁, p = 0,1,2, …, t₀ A(p+1) A(p).A(p) iv. X I p = t-1, t-2, …, 0 i_p= 0 ise X (I+A(p)).X ip= 1 ise X I+(A(p)+A(p+1)).X v. G(N, A) = X

(11)

Westreich (1989)’ n algoritmas nda, N do al say büyük al nd nda, N ‘nin asal çarpanlar na ayr lmas ve buna göre i lem yap lmas durumunda oldukça zorlan lacakt r. Dutta ve ark. (1992), çal malar nda bu tür zorluklar ortadan kald rm lard r. (N, A) matris polinomunun hesaplanmas nda izlenilecek ad mlar

daki ekildedir.

A. er N say çift ise N = M, N say tek ise N–1= M olsun.

i. 1 = [log2 M]’ dir. Buradaki [log2 M], log2 M’nin tamsay k sm na e ittir.

ii. M1 = M – 2 1’dir. M1 = 0 ise, örne in M = 2 1 ise,

(M,A) = (I + A).(I + A2) (I + AM/2) eklindedir. Ve sonuca algoritman n -5- ad ile gidilir.

iii. 2> 3 > > p > 0 olmak üzere,

M1 = 2 2 + 2 3 + + 2 p

eklindedir. Buradaki 2, 3, p’ nin bulunu u a daki gibidir:

i = 2,3, , p ve i = [log2 Mi-1] ve Mi = Mi-1 – 2 i olmak üzere Mp= 0’ a

kadar devam edilir.

B. 2, 3, , p’ lerin bulunmas a daki ekildedir.

1. p = 1 ise bu takdirde p = I olur. Di er hallerde,

p = (I + A2).(I + A4) 1 2 p A olarak al r. 2. i = 1 1 1 1 ₂ ₂ 2 ... . i i i A A A , i = p – 1, p –2, , 1 3. S1 = 1 + 1 2 A ’dir. 4. Si = i.Si-1 + i 2 1 ₂ _... ₂ 2 A i = 2, 3, , p –1’. Sp = p. Sp-1 5. (M,A) = (I + A).Sp 6. N çift ise (N, A) = (M, A) ’ d r. N tek ise (N, A) = I+ A. (M,A)’d r.

Böylece (N, A) matris polinomu hesaplanm olur. Ayr ca bu çal ma Dursun A. (1999), taraf ndan daha detayl olarak incelenmi tir.

(12)

Dimitrov ve ark. (1994), (N, A) matris polinomunun hesaplanmas N ‘nin 3 ‘lük sayma düzenine göre kurmu lard r. Burada

(N, A) = G(N, A) = G(J,A).G(K,AJ) dir. 2 3 2 3 3 2 2 3 (I+A+A ).G(K,A ), N=3.K

G(N,A) I + (A+A +A ).G(K,A ), N = 3.K+1 I + A+A .(I+A+A ).G(K,A ), N = 3.K+2 Böylece (N, A) matris polinomu hesaplanm olur.

Dimitrov ve ark. (1995), (N,A) matris polinomunun hesaplanmas için etkili bir algoritma daha geli tirmi lerdir. Bu algoritma,

l

2 3

2 3 3

2

2 2

(I+A+A ).G(K,A ), N=3.K, N 0 veya 3 (mod 6)

I + (A+A +A ).G(K,A ), N = 3.K+1, N 1 veya 4 (mod 6)

G(N,A)

(I + A).G(3K+1,A ), N = 3.(2K)+2, N 2 (mod 6)

I +( A+A ).G(3K+2,A ) N = 3.(2K+1)+2, N 5 (mod 6)

eklindedir.

1. 2. Yeni Algoritmalar

Bu çal mada, (N, A) matris polinomunun az say da matris çarp mlar ile bulunabilmesini sa layan, bütün kare matrislere uygulanabilen iki yeni algoritma elde edilmi tir ve bu algoritmalar genelle tirilmi tir. Genelle tirilen bu algoritma ile

(13)

Yeni Algoritma 1

(N, A) matris polinomunun hesaplanmas için pratik bir algoritma elde edilmi tir. (N, A) matris polinomunun hesaplanmas nda izlenilecek ad mlar

daki ekildedir.

i. N = (itit 1…i1i0)4 olsun. ii. A(0) = A

A(0+1) A(0).A(0) = A.A = A2= A(1) A(1+1) A(1).A(0) = A2.A = A3= A(2) A(2+1) A(2).A(0) = A3.A = A4= A(3). iii. it= 3 ise bu takdirde

4t

A A, X = I+A(0)+A(1) olsun. i_t= 2 ise bu takdirde A4t A, X = I+A(0).

i_t= 1 ise X = I. iv. p = t-1, …, 0 ve p 0 için, i_p A4p A olsun. v. i_p = 0 ise X = (I+A(0)+A(1)+A(2)).X, i_p = 1 ise X = I+(A(0)+A(1)+A(2)+A(3)).X, i_p = 2 ise X = I+A(0)+A(1).(I+A(0)+A(1)+A(2)).X, ip = 3 ise X = I+A(0)+A(1)+A(2).(I +A(0)+A(1)+A(2)).X

olarak tan mlans n.

. (N, A) = X olarak hesaplanm olur.

Burada K pozitif tamsay r. Buna göre Yeni Algoritma 1’i a daki gibi de yazabiliriz.

(N, A) = G(N, A) ’d r.

G(K, A4) ifadesinde ki K = N/4 ’ dür. Yani N/4’ün tam k sm r. G(K, A4) = G( N/4 ,A4) olsun.

(14)

G( N/4 ,A4), G( N/4 /4 , (A4)4 ), . . . G( N/4 /4… , ( (A4)4)4...)

al narak, (N, A) matris polinomunun de eri hesaplanana kadar devam edilir. Buradan, 2 3 4 2 3 4 2 2 3 4 2 3 2 3 4 (I+A+A +A ).G(K,A ), N=4k I+A.(I+A+A +A ).G(K,A ), N=4k+1 (N,A) =

I+A+A .(I+A+A +A ).G(K,A ), N=4k+2

I+A+A +A .(I+A+A +A ).G(K,A ), N=4k+3

algoritmas elde edilir. Böylece (N, A) matris polinomu hesaplanm olur.

Yeni Algoritma 2

(N, A) matris polinomunun hesaplanmas için bütün kare matrislere uygulanabilen, pratik bir algoritma elde edilmi tir. K pozitif tamsay r. Bu algoritma N ‘ nin 5 ‘lik sayma düzenine göre kurulmu tur. Burada

(N, A) = G(N, A)

r. G(K, A5)ifadesinde ki K = N/5 ’ tir. Yani N/5’in tam k sm r. G(K, A5) = G( N/5 ,A5) olsun. G( N/5 ,A5) G( N/5 /5 , (A5)5 ), . . . G( N/5 /5 /5… , ( (A5)5)5...)

al narak, (N, A) matris polinomunun de eri hesaplanana kadar devam edilir. Buradan,

(15)

2 3 4 5 2 3 4 5 2 2 3 4 5 2 3 2 3 4 5 2 3 4 2 3 4 5 (I+A+A +A +A ).G(K,A ), N=5k I+A.(I+A+A +A +A ).G(K,A ), N=5k+1 (N,A) I+A+A .( I+A+A +A +A ).G(K,A ), N=5k+2 I+A+A +A .( I+A+A +A +A ).G(K,A ), N=5k+3 I+A+A +A +A .(I+A+A +A +A ).G(K,A ), N=5k+4 algoritmas elde edilir. Böylece (N, A) matris polinomu hesaplanm olur.

1.3. Yeni Algoritmalar n Genelle tirilmesi

Burada A n boyutlu kare matris, n 2, t = 1, 2, 3, …, n-1 ve n, N , k, K ’d r. Bu algoritma n ’ lik sayma düzenine göre kurulmu tur.

G(K, An) ifadesinde ki K = N /n ’ dir. Yani N/n’ in tam k sm r. G(K, An) = G( N /n ,An) olsun. G( N /n ,An), G( N/n /n , (An)n), . . . G( N/n /n /n… , (An)n)n...)

al narak, (N, A) matris polinomunun de eri hesaplanana kadar devam edilir. Buradan, 2 1 2 1 2 2 1 2 3 2 1 2 2 1 (I+A+A + +A ).G(K,A ), N=n.k I+A.(I+A+A + +A ).G(K,A ), N=n.k+1

I+A+A .(I+A+A + +A ).G(K,A ), N=n.k+2 (N,A)

I+A+A +A .(I+A+A + +A ).G(K,A ), N=n.k+3

I+A+A + +A .(I+A+A + +A ).G(K,A ), N=n.k+t

n n

t n n

algoritmas elde edilir. Böylece istedi imiz sayma sisteminde (N, A) matris polinomlar hesaplayabiliriz.

(16)

1. 4. Tezin Yap

Bu tez çal mas 5 bölümden olu maktad r. Birinci bölümde; (N, A) matris polinomunun hesaplanmas için buldu umuz yeni algoritmalar n tan ve genelle tirilmesi ile bu matris polinomunun hesaplanmas için literatür özetleri verilmi tir.

kinci bölümde; (N, A) matris polinomunun hesaplanmas ile ilgili buldu umuz iki yeni algoritmaya ve yap lm çal malara nümerik örnekler verilmi tir.

Üçüncü bölümde; (N, A) matris polinomunun hesaplanmas ile ilgili buldu umuz iki yeni algoritmaya ve yap lm çal malara bir kare matris üzerinde uygulanm nümerik örnekler verilmi tir.

Dördüncü bölümde; (N, A) matris polinomunun hesaplanmas ile ilgili buldu umuz iki yeni algoritman n ve yap lm çal malar n nümerik örnekleri kar la lm r.

(17)

2. (N A) MATR S POL NOMUNUN ALGOR TMALAR YARDIMIYLA,

HESAPLANMASI LE LG ÖRNEKLER

Örnek 2. 1. Westreich (1989),

(22,A)=I+A+A2+…+A21 matris polinomunu hesaplayal m.

N = 3.7+1 olsun. Bu takdirde

(22,A) = I + A. (3.7,A) olur.

(3.7,A) = (3,A). (7,A3) oldu undan,

(22,A) = I + A. (3,A). (7,A3) olur. Sonuç olarak,

(22,A) = I +A.(I+A+ A2).{(I+A12).(I+A3+A6) + A9} olarak bulunur.

Örnek 2. 2. Lei ve ark. (1992), (22,A) matris polinomunu hesaplayal m. 22 = (10110)₂ t₀= t-2+ i_t ₁ t₀= 4-2+0 = 2 p = 0, 1, 2, …, t₀ oldu undan, A(0) = A A(p+1) A(p).A(p)

A(0+1) = A(0).A(0) = A.A = A2 = A(1) A(1+1) = A(1).A(1) = A2. A2= A4= A(2) A(2+1) = A(2).A(2) = A4. A4= A8= A(3) olur. p = t-1, t-2, …, 0 ve X I ‘ d r.

p = 4-1 = 3

i3 = 0 ise X (I+A(p)).X oldu undan, X =( I+A(3)).X

(18)

X = (I+A8).1

X = I+ A8 olarak bulunur.

i₂= 1 ise X = I+(A(p)+A(p+1)).X oldu undan, X = I+(A(2)+A(3)).X

X = I+( A4+ A8). (I+ A8) olarak bulunur. i₁ = 1 ise X = I+(A(1)+A(2)).X oldu undan,

X = I+( A2+ A4).{ I+( A4+ A8). (I+ A8)} olarak bulunur. i₀ = 0 ise X = (I+A(O)).X oldu undan,

X = (I+A).{ I+( A2+ A4).[ I+( A4+ A8). (I+ A8)] } olup,

(22,A) = (I+A).{ I+( A2+ A4).[ I+( A4+ A8). (I+ A8)] } olarak bulunur.

Örnek 2. 3. Dutta ve ark. (1992), (22,A) matris polinomunu hesaplayal m. N = 22 M = 22 1 = [log2M] = [log222] = 4 M₁ = M-2 1_{= 22-2}4_{= 6} 2 = [log2M1] = [log26] = 2 M₂= M₁-2 2_{= 6-2}2_{= 2} 3 = [log2M2] = [log22] = 1 M3 = M2-2 3_{= 2-2= 0} 3= 1 3 = I, p = 3 i= ( I +A 2 i1 ).( I + A2i1 1)…( I + A2i 1), (i = p-1, p-2, …, 1) 1 = (I + A 2 2 ).(I + A23)= (I + A4).(I + A8) 2 = I + A 1 2 = I + A2, ₃ = I S₁ = ₁ + A21 S_i = _i.S_i ₁ + A21 22 ... 2i (i = 2, 3, …, p-1) Sp= p.Sp 1

(19)

S₁ = (I + A4).(I + A8) + A24 S1 = (I + A 4 ).(I + A8) + A16 S₂ =( I + A2).[(I + A4).(I + A8) + A16] + A21 22 S₂ =( I + A2).[(I + A4).(I + A8) + A16] +A20 S₃ = ( I + A2).[(I + A4).(I + A8) + A16] +A20 olup,

(22,A) = ( I + A ).{ ( I + A2).[(I + A4).(I + A8) + A16] +A20} olarak bulunur.

Örnek 2. 4. Dimitrov ve ark. (1994), (22,A) matris polinomunu hesaplayal m.

(22,A) = I + (A+A2+A3). (7, A3)

= I + (A+A2+A3).{ I + (A3+A6+A9). (2, A9)} (22,A) = I + (A+A2+A3).{ I + (A3+A6+A9).( I + A9)} olarak bulunur.

(22,A) = I + (A+A2+A3). (7, A3)

= I + (A+A2+A3).{I+(A3+A6+A9). (2, A9)} = I + (A+A2+A3).{I+(A3+A6_+A9_).(I+A9_)}

olarak bulunur.

Örnek 2. 6. Yeni Algoritma 1’e göre (22,A) matris polinomunu hesaplayal m.

22 = (112)₄ A(0) = A

A(0+1) A(0).A(0) = A.A = A2= A(1) A(1+1) A(1).A(0) = A2.A = A3= A(2) A(2+1) A(2).A(0) = A3.A = A4= A(3)

(20)

22 = (112)₄ oldu u için, t =2 olur. p = t-1, t-2, … 0, p = 2-1 = 1 i₁= 1, it= 1 ise X = I olur. ip A p 4

A oldu undan i₁ A4 A olur. X = I+(A(0)+A(1)+A(2)+A(3)).X X = I +A4+ (A4)2+( A4)3+( A4)4.I X = I+A4+A8+A12+A16 i0 A 0 4 A ise i0 A 1 A olur. i₀= 2 ise X = I+A(0)+A(1).(I+A(0)+A(1)+A(2)).X oldu undan,

X = I+A+ A2.(I+A+ A2+ A3).( I+A4+A8+A12+A16) olup,

(22,A)= I+A+A2.( I+A+A2+A3). {I+A4.(I+A4+A8+A12)} olarak bulunur. Ya da,

(22,A) = I+A+A2.( I+A+A2+A3).G(5,A4)

(22,A)=I+A+A2.(I+A+A2+A3).{I+A4.(I+A4+A8+A12)} eklinde de hesaplanabilir.

(22,A) = I+A+A2.( I+A+A2+A3+A4).G(4,A5)

= I+A+A2.( I+A+A2+A3+A4).(I+A5+A10+A15) olarak bulunur.

(21)

(30,A)= I+A+A2+…+ A29

matris polinomunu hesaplayal m.

N = 2.3.5 eklinde asal çarpanlar na ayral m. X = A2 ve P = (2,A) olsun. P = P. ( p2,X) oldu undan,

P = (2,A). (3,A2) yaz r.X = Xp2_{hesaplan r.}

P = (2,A). (3,A2). (5,A6) elde edilir. Sonuç olarak,

(30,A) = (I + A).(I+ A2+A4).{I+ (A6+A12).(I+ A12)} olarak bulunur.

Örnek 2. 9. Lei ve ark. (1992), (30,A) matris polinomunu hesaplayal m. 30 = (11110)2

t0 t-2+ it 1 t0 4-2+1 = 3

p = 0, 1, 2, …, t₀ oldu undan, A(0) = A

A(0+1) = A(0).A(0) = A.A = A2 = A(1) A(1+1) = A(1).A(1) = A2. A2= A4= A(2) A(2+1) = A(2).A(2) = A4. A4= A8= A(3) A(3+1) = A(3).A(3) = A8. A8= A16= A(4) olarak bulunur. X I ve p = 4-1 = 3 ’ tür. i₃ = 1 oldu undan, X = I+(A(p)+A(p+1)).X X = I+(A(3)+A(4)).X X = I+( A8+ A16).1 X = I+ A8+ A16 olarak bulunur.

(22)

i₂= 1 oldu undan, X = I+(A(p)+A(p+1)).X X = I+(A(2)+A(3)).X

X = I+( A4+ A8). (I+ A8+ A16) olarak bulunur. i1 = 1 oldu undan,

X = I+(A(1)+A(2)).X

X = I+( A2+ A4).{I+( A4+ A8). (I+ A8+ A16)} olarak bulunur. i₀ = 0 oldu undan,

X = (I+A(0)).X

X = (I+A){ I+( A2+ A4).[ I+( A4+ A8). (I+ A8+ A16)] } olup,

(30,A) = (I+A).{ I+( A2+ A4).[ I+( A4+ A8). (I+ A8+ A16)] } olarak bulunur.

Örnek 2. 10. Dutta ve ark. (1992), (30,A) matris polinomunu hesaplayal m. N = 30 M = 30 1 = [log2M] = [log230] = 4 M₁ = M-2 1_{= 30-2}4_{= 14} 2 = [log2M1] = [log214] = 3 M₂= M₁-2 2_{= 14-2}3_{= 6} 3 = [log2M2] = [log26] = 2 M₃ = M₂-2 3_{= 6-2}2_{= 2} 4 = [log2M3] = [log22] = 1 M₄= M₃-21 = 2-2 = 0 4 = 1, 4 = I, p = 4’ tür. i= ( I +A 2 i1 ).( I + A2i1 1)…( I + A2i 1), (i = p-1, p-2, …, 1) 1 = I + A 3 2 = I + A8 2 = I + A 2 2 = I + A4

(23)

3 = I + A 1 2 = I + A2 4 = I, S1 = 1 + A 1 2 S₁ = I + A8+A24= I + A8+ A16 S₂ = (I + A4).( I + A8+ A16) + A24 23 S₂ = (I + A4).( I + A8+ A16) + A24 S₃ = ( I + A2).[(I + A4).( I + A8+ A16) + A24] + A24 23 22 S₃ = ( I + A2).[(I + A4).( I + A8+ A16) + A24] + A28 S₄ = I. ( I + A2).[(I + A4).( I + A8+ A16) + A24] + A28 S₄ = ( I + A2).[(I + A4).( I + A8+ A16) + A24] + A28 (30,A) = ( I + A ).{ ( I + A2).[(I + A4).( I + A8+ A16) + A24] + A28} olarak bulunur.

(30,A) = (I + A+A2). (10,A3)

= (I + A+A2).{I + (A3+A6+A9). (3, A9)} = (I + A+A2).{I + (A3+A6+A9).(I+ A9+A18)} olarak bulunur.

(30,A) = (I + A+A2). (10,A3)

= (I + A+A2). {I +(A3+A6+A9). (3,A9)} = (I + A+A2). {I +(A3+A6+A9).(I+A9+A18)} olarak bulunur.

Örnek 2. 13. Yeni Algoritma 1’e göre (30,A) matris polinomunu hesaplayal m.

(24)

A(0) = A

A(0+1) A(0).A(0) = A.A = A2= A(1) A(1+1) A(1).A(0) = A2.A = A3= A(2) A(2+1) A(2).A(0) = A3.A = A4= A(3) 30 = (132)₄ oldu undan, t =2 olarak bulunur. p = 2-1 = 1 X = I i₁= 3, ip A p 4 A ise i1 A 4 A oldu undan, X = I+A(0)+A(1)+A(2).(I +A(0)+A(1)+A(2)).X X = I+A4+(A4)2+(A4)3.(I+A4+(A4)2+(A4)3).I X = I+ A4+ A8+ A12.(I+ A4+ A8+ A12) olur. i₀= 2

i₀ A40 A ise i₀ A1 A oldu undan, X = I+A(0)+A(1).(I+A(0)+A(1)+A(2)).X

X = I+A+ A2.(I+A+ A2+ A3). {I+ A4+ A8+ A12.(I+ A4+ A8+ A12)} olup

(30,A) = I+A+A2.( I+A+A2+A3). {I+A4+A8+A12.( I+A4+A8+A12)} olarak bulunur. Ya da,

(30,A) = I+A+A2.( I+A+A2+A3).G(7,A4)

= I+A+A2.( I+A+A2+A3). {I+A4+A8+A12.( I+A4+A8+A12)} eklinde de hesaplanabilir.

(30,A) = (I+A+A2+A3+A4).G(6,A5)

= (I+A+A2+A3+A4). {I+A5.(I+A5+A10+A15+A20)} olarak bulunur.

(25)

Örnek 2. 15. Lei ve ark. (1992),

(82,A) = I + A + A2+ … + A81 matris polinomunu hesaplayal m.

82 = (1010010)₂ t0 t-2+ it 1 t₀ 6-2+0 = 4 A(0) = A

A(0+1) = A(0).A(0) = A.A = A2 = A(1) A(1+1) = A(1).A(1) = A2. A2= A4= A(2) A(2+1) = A(2).A(2) = A4. A4= A8= A(3) A(3+1) = A(3).A(3) = A8. A8= A16= A(4) A(4+1) = A(4).A(4) = A16. A16= A32= A(5) X I ve p = 6-1 = 5’ tir.

i5 = 0 oldu undan, X = (I+A(5)).X

X = (I+ A32).1 = I+ A32 olarak bulunur. i₄= 1 oldu undan,

X = I+(A(4)+A(5)). (I+ A32)

X = I+( A16+ A32).(I+ A32) olarak bulunur. i₃= 0 oldu undan,

X = (I+A(3)).X

X = (I+ A8).{I+( A16+ A32).(I+ A32)} olarak bulunur. i₂= 0 oldu undan,

X = (I+A(2)).X

X = (I+ A4).(I+ A8).{I+( A16+ A32).(I+ A32)} olarak bulunur. i₁ = 1 oldu undan,

X = I+(A(1)+A(2)).X

X = I+( A2+ A4).(I+ A4).(I+ A8).{I+( A16+ A32).(I+ A32)} olarak bulunur.

(26)

X = (I+A(0))

X = (I+A).{ I+( A2+ A4).(I+ A4).(I+ A8).[I+( A16+ A32).(I+ A32)] } olup,

(82,A) = (I+A).{ I+( A2+ A4).(I+ A4).(I+ A8).[I+( A16+ A32).(I+ A32)] } olarak bulunur.

Örnek 2. 16. Dutta ve ark. (1992), (82,A) matris polinomunu hesaplayal m. N = M = 82 1 = [log2 M] = [log2 82] = 6 Mi = Mi-1 – 2 i M1 = M – 2 1 M1 = 82 – 26 = 18 => M1 = 18 2 = [log2 M1] = [log2 18] = 4 2 = 4 M2 = M1 – 2 2 = 18 – 24 = 2 M2 = 2 3 = [log2 M2] = [log2 2] = 1 3 = 1 M3 = M2 – 2 3 = 2 – 2 = 0 M3 = 0 ise Mp = 0 i = 1 1 1 1 ₂ ₂ 2 ... . i i i A A A 1 = (I+A 4 2

).(I+A25)=(I+A16).(I+A32) 2= (I+A

1 2

).(I+A22).(I+A23)= (I+A2 ).(I+A4).(I+A8 )

p = 1 ise o takdirde p = I olur. 3= I S1 = 1 + 1 2 A S1 = (I+A16).(I+A32) + 6 2 A S1 = (I+A16).(I+A32)+ A64

(27)

Si = i Si-1 + i 2 1 ₂ _... ₂ 2 A S2 = 2 S2-1 + 2 1 ₂ 2 A

S2 =(I+A2 ).(I+A4).(I+A8 ).[ (I+A16).(I+A32)+ A64 ] + A

4 6 ₂ 2

S2 = (I+A2 ).(I+A4).(I+A8 ).[ (I+A16).(I+A32)+ A64 ] + A80

Sp = p. Sp-1 S3 = 3.S2 S3 = I. S2 S3 = S2 (M,A) = (I + A) SP (82,A) = (I + A)S3 olup,

(82,A)=(I + A).{ (I+A2 ).(I+A4).(I+A8 ).[ (I+A16).(I+A32)+ A64] +A80} olarak bulunur.

(82,A) = I + (A+A2+A3). (27, A3)

= I + (A+A2+A3).(I + A3+A6). (9,A9)

= I + (A+A2+A3).(I + A3+A6).(I + A9+A18). (3,A27) = I + (A+A2+A3).(I + A3+A6).(I + A9+A18).(I+A27+A54) olarak bulunur.

(82,A) = I + (A+A2+A3). (27, A3)

= I + (A+A2+A3).(I + A3+A6). (9,A9)

= I + (A+A2+A3).(I + A3+A6).(I + A9+A18). (3,A27) = I+ (A+A2+A3).(I+ A3+A6).(I+ A9+A18).(I+A27+A54) olarak bulunur.

(28)

82 = (1102)₄ A(0) = A

A(0+1) A(0).A(0) = A.A = A2= A(1) A(1+1) A(1).A(0) = A2.A = A3= A(2) A(2+1) A(2).A(0) = A3.A = A4= A(3) 82 = (1102)₄ oldu undan t =3 olarak bulunur. p = 3-1 = 2 X = I i2 A 2 4 A oldu undan i2 A 16 A olarak bulunur. i₂= 1 oldu undan, X = I+(A(0)+A(1)+A(2)+A(3)).X X = I +A16+ (A16)2+ (A16)3+ (A16)4.I X = I+ A16+ A32+A48+A64 olarak bulunur. i1= 0 i₁ A4 A X = (I+A(0)+A(1)+A(2)).X X = (I+ A4+ (A4)2+ (A4)3).( I+ A16+ A32+A48+A64) X = (I+A4+A8+A12).(I+ A16+ A32+A48+A64) i0= 2, i0 A 1 A X = I+A(0)+A(1).(I+A(0)+A(1)+A(2)).X

X = I+A+ A2.(I+A+ A2+ A3).(I+A4+A8+A12).(I+ A16+ A32+A48+A64) olup,

(82,A) =I+A+A2.(I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12).{I+A16.(I+A16+A32+A48)} olarak bulunur. Ya da,

(82,A) = I+A+A2.( I+A+A2+A3).G(20,A4)

= I+A+A2.( I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12).G(5,A16)

= I+A+A2.( I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12). {I+A16.(I+A16+A32+A48)} eklinde de hesaplanabilir.

(29)

(82,A)= I+A+A2.( I+A+A2+A3+A4).G(16,A5)

= I+A+A2.( I+A+A2+A3+A4). {I+A5.(I+A5+A10+A15+A20).G(3,A25)} =(I+A+A2(I+A+A2+A3+A4).{I+A5(I+A5+A10+A15+A20)(I+A25+A50)} olarak bulunur.

Örnek 2. 21. Lei ve ark. (1992),

(105,A) = I + A + A2+ … + A104 matris polinomunu hesaplayal m.

105 = (1101001)₂

t₀ t-2+ i_t ₁ oldu undan t₀ 6-2+1 = 5 olarak bulunur. A(0) = A

A(0+1) = A(0).A(0) = A.A = A2 = A(1) A(1+1) = A(1).A(1) = A2. A2= A4= A(2) A(2+1) = A(2).A(2) = A4. A4= A8= A(3) A(3+1) = A(3).A(3) = A8. A8= A16= A(4) A(4+1) = A(4).A(4) = A16. A16= A32= A(5) A(5+1) = A(5).A(5) = A32. A32= A64= A(6) X I ve p = 6-1 = 5 ’ tir. i5 = 1 ise, X = I+(A(p)+A(p+1)).X X = I+(A(5)+A(6)).1 X = I+ A32+ A64 olur. i₄= 0 ise, X = (I+A(p)).X X = (I+A(4)).( I+ A32+ A64 X = (I+ A16).( I+ A32+ A64) olur. i₃= 1 ise,

(30)

X = I+(A(p)+A(p+1)).X

X = I+(A(3)+A(4)). (I+ A16).( I+ A32+ A64) X = I+ (A8+ A16).(I+ A16).( I+ A32+ A64) olur. i₂= 0 ise,

X = (I+A(2)).X

X = (I+ A4).{ I+ (A8+ A16).(I+ A16).( I+ A32+ A64)} olur. i₁ = 0 ise,

X = (I+A(p)).X

X = (I+A(1)). (I+ A4).{ I+ (A8+ A16).(I+ A16).( I+ A32+ A64)} X = (I+ A2).(I+ A4).{ I+ (A8+ A16).(I+ A16).( I+ A32+ A64)} olur. i₀ = 1 ise,

X = I+(A(p)+A(p+1)).X

X = I+(A(0)+A(1)). (I+ A2).(I+ A4).{ I+ (A8+ A16).(I+ A16).( I+ A32+ A64)} X = I+(A+A2).(I+ A2).(I+ A4).{ I+ (A8+ A16).(I+ A16).( I+ A32+ A64)} olup,

(105,A)=I+(A+A2).(I+ A2).(I+ A4).{ I+ (A8+ A16).(I+ A16).( I+ A32+ A64)} olarak bulunur.

Örnek 2. 22. Dutta ve ark. (1992), (105,A) matris polinomunu hesaplayal m. M = N –1 = 105 –1 = 104 1 = [log2 M] = [log2 104] = 6 M₁ = M-2 1 M₁ = 104-26= 40 2 = [log2 M1] = [log2 40] = 5 2 = 5 M₂= M₁-2 2_{= 40-2}5_{= 8} 3 = [log2M2] = [log28] = 3 M₃ = M₂-2 3_{= 8-2}3_{= 0 oldu undan,} p = 3 olur.

(31)

3 = ( I + A 2 ).(I + A4) i= ( I +A 2 i1 ).( I + A2i1 1)…( I + A2i 1), i = p-1, p-2, …, 1 1 = I + A 5 2 = I + A32 2 = (I + A 3 2 ).(I+A24) = (I + A8).(I+A16) S₁ = ₁ + A21 ve S_i = _i.S_i ₁ + A21 22 ... 2i i = 2, 3, …, p-1 Sp= p.Sp 1 S₁ = I + A32+A26 S₁ = I + A32+A64 S₂ = (I + A8).(I+A16).( I + A32+A64)+A26 25 S₂ = (I + A8).(I+A16).( I + A32+A64)+A96

S₃ = ( I + A2).(I + A4).{(I + A8).(I+A16).( I + A32+A64)+A96}

(104,A) = ( I + A). ( I + A2).(I + A4).{(I + A8).(I+A16).( I + A32+A64)+A96} (105,A) = I +A. ( I + A). ( I + A2).(I+ A4).{(I+ A8).(I+A16).(I+ A32+A64)+A96} olarak bulunur.

Örnek 2. 23. Dimitrov ve ark. (1994), (105,A) matris polinomunu hesaplayal m.

(105,A) = (I + A+A2). (35,A3)

= (I + A+A2). {I + A3+A6.(I+A3+ A6). (11,A9)}

=(I+A+A2).{I+A3+A6.(I+A3+A6).[I+A9+A18.(I+A9+A18).(3,A27)]}

2 3 6 3 6 9 18 9 18 27 54

(105,A)=(I+A+A ).{I+A +A .(I+A +A ).[I+A +A .(I+A +A ).(I+A +A )]} olarak bulunur.

Örnek 2. 24. Dimitrov ve ark. (1995), (105,A) matris polinomunu hesaplayal m.

(32)

= (I + A+A2).{ I +(A3+A6). (17,A6)}

= (I + A+A2).{ I +(A3+A6).( I + (A6+A12). (8, A12))}

= (I + A+A2).{ I +(A3+A6).[ I + (A6+A12).(I +A12). (4, A24)]} (105,A) =(I+A+A2).{I+(A3+A6).[I+(A6+A12).(I+A12).(I+A24+A48+A72)]} olarak bulunur.

105 = (1221)₄ A(0) = A

A(0+1) A(0).A(0) = A.A = A2= A(1) A(1+1) A(1).A(0) = A2.A = A3= A(2) A(2+1) A(2).A(0) = A3.A = A4= A(3) 105 = (1221)₄ oldu undan t =3 olur. p = 3-1 = 2 ’ dir.

i₂= 2

i₂ A16 A

X = I+A(0)+A(1).(I+A(0)+A(1)+A(2)).X X = I+A16+ (A16)2.(I+A16+ (A16)2+ (A16)3).I X = I+A16+A32.(I+ A16+A32+ A48)

i1= 2

i₁ A4 A,

X = I+A(0)+A(1).(I+A(0)+A(1)+A(2)).X

X = I+A4+ (A4)2.(I+A4+ (A4)2+ (A4)3).{I+A16+A32.(I+ A16+A32+ A48)} X = I+ A4+ A8.(I+ A4+ A8+ A12).{ I+A16+A32.(I+ A16+A32+ A48)}

i₀= 1, i₀ A1 A

X = I+(A(0)+A(1)+A(2)+A(3)).X

X = I+(A+ A2+ A3+ A4).{ I+A4+A8.( I+A4+A8+A12). [I+A16+A32.(I+A16+A32+A48)]}

(33)

(105,A) = I+(A+ A2+ A3+ A4).{ I+A4+A8.( I+A4+A8+A12). [I+A16+A32.(I+A16+A32+A48)]}

olarak bulunur. Ya da,

(105,A) = I+A.(I+A+A2+A3).G(26,A4)

= I+A.(I+A+A2+A3).{I+A4+A8.( I+A4+A8+A12).G(6,A16)} = I+A.(I+A+A2+A3).{ I+A4+A8.( I+A4+A8+A12).

[I+A16+A32.(I+A16+A32+A48)]} eklinde de hesaplanabilir.

(105,A) = (I+A+A2+A3+A4).G(21,A5)

= (I+A+A2+A3+A4).{I+A5.(I+A5+A10+A15+A20).G(4,A25)}

=(I+A+A2+A3+A4).{I+A5.(I+A5+A10+A15+A20).(I+A25+A50+A75)} olarak bulunur.

Örnek 2. 27. Lei ve ark. (1992),

(232,A)=I+A+A2+…+A231 matris polinomunu hesaplayal m.

232 = (11101000)₂

t₀ t-2+ i_t ₁ oldu undan t₀ 7-2+1 = 6 olur. A(0) = A

A(0+1) = A(0).A(0) = A.A = A2 = A(1) A(1+1) = A(1).A(1) = A2. A2= A4= A(2) A(2+1) = A(2).A(2) = A4. A4= A8= A(3) A(3+1) = A(3).A(3) = A8. A8= A16= A(4) A(4+1) = A(4).A(4) = A16. A16= A32= A(5) A(5+1) = A(5).A(5) = A32. A32= A64= A(6) A(6+1) = A(6).A(6) = A64. A64= A128= A(7) X I ve p = 7-1 = 6 ’ d r.

(34)

i₆ = 1 X = I+(A(p)+A(p+1)).X X = I+(A(6)+A(7)).1 X = I+A64+ A128 i₅= 1 X = I+(A(p)+A(p+1)).X X = I+(A(5)+A(6)).X X = I+( A32+ A64). (I+A64+ A128) i₄ = 0 X = (I+A(p)).X X = (I+A(4)).X

X = (I+ A16).{ I+( A32+ A64). (I+A64+ A128)} i₃ = 1

X = I+(A(p)+A(p+1)).X X = I+(A(3)+A(4)).X

X = I+( A8+ A16).(I+ A16).{ I+( A32+ A64). (I+A64+ A128)} i₂= 0

X = (I+A(p)).X, X = (I+A(2)). X

X = (I+A4).{ I+( A8+ A16).(I+ A16).[ I+( A32+ A64). (I+A64+ A128)]} i₁ = 0

X = (I+A(p)).X X = (I+A(1)).X

X = (I+ A2).(I+A4).{ I+( A8+ A16).(I+ A16).[ I+( A32+ A64). (I+A64+ A128)]} i₀= 0

X = (I+A(p)).X, X = (I+A(0)).X

X =(I+A).(I+ A2).(I+A4).{I+(A8+ A16).(I+A16).[ I+(A32+A64).(I+A64+ A128)]} olup,

(232,A)=(I+A).(I+A2).(I+A4).{I+(A8+A16).(I+A16).[I+(A32+A64). (I+A64+A128)]}

(35)

Örnek 2. 28. Dutta ve ark. (1992), (232,A) matris polinomununu hesaplayal m. M = N = 232 1 = [log2 M] = [log2 232] = 7 M₁ = M-2 1 M₁ = 232-27= 104 2 = [log2 M1] = [log2 104] = 6 2 = 6 M₂= M₁-2 2_{= 104-2}6_{= 40} 3 = [log2M2] = [log240] = 5 M₃ = M₂-2 3_{= 40-2}5_{= 8} 4 = [log2M3] = [log28] = 3 M₄= M₃-23= 8 – 8 = 0 i= ( I +A 2 i1 ).( I + A2i1 1)…( I + A2i 1), (i = p-1, p-2, …, 1) 1 = I + A 2 2 = I + A26= I + A64 2 = I +A 5 2 = I + A32 3 = (I + A 3 2 ).(I + A24) = ( I+ A8).( I + A16) 4 = (I + A 2 ).( I + A4) S₁ = I + A64+A128 S₂ = ( I + A32).( I + A64+A128)+A192 S3 = ( I+ A 8 ).( I + A16).{( I + A32).( I + A64+A128)+A192}+A27 26 25 S3 = ( I+ A 8 ).( I + A16).{( I + A32).( I + A64+A128)+A192}+A224

S₄ = (I + A2).(I + A4){( I+ A8).( I + A16).[( I + A32).(I + A64+A128)+A192]+A224} (232,A)=(I+A).(I+A2).(I+A4).{(I+A8).(I+A16).[(I+A32).(I+A64+A128)+

A192]+A224} olarak bulunur.

(36)

Örnek 2. 29. Dimitrov ve ark. (1994), (232,A) matris polinomununu hesaplayal m.

(232,A)= I + (A+A2+A3). (77, A3)

= I + (A+A2+A3). {I + A3+A6.(I+A3+ A6). (25, A9)}

=I+(A+A2+A3).{I+A3+A6.(I+A3+A6).[I+(A9+A18+A27). (8, A27)]} =I+(A+A2+A3).{I+A3+A6.(I+A3+A6).[I+(A9+A18+A27).{I+A27+A54. (I+A27+ A54). (2, A81)}] }

(232,A)=I+(A+A2+A3).{I+A3+A6.(I+A3+A6).[I+(A9+A18+A27). {I+ A27+A54. (I+A27+ A54).(I+ A81)}] }

olarak bulunur.

Örnek 2. 30. Dimitrov ve ark. (1995) göre (232,A) matris polinomununu hesaplayal m.

(232,A) = I + (A+A2+A3). (77, A3)

= I + (A+A2+A3).{I +(A3+A6). (38, A6)}

= I + (A+A2+A3).{I +(A3+A6).(I +A6). (19, A12 )}

= I+(A+A2+A3).{I+(A3+A6).(I+A6).[I+(A12 +A24+A36). (6, A36)]} =I+(A+A2+A3){I+(A3+A6).(I+A6).[I+(A12 +A24+A36).(I+A36+A72).

(2,A108)]}

(232,A)=I+(A+A2+A3).{I+(A3+A6).(I+A6).[I+(A12 +A24+A36).(I+A36+A72). (I+ A108)]}

olarak bulunur.

Örnek 2. 31. Yeni Algoritma 1’e göre (232,A) matris polinomununu hesaplayal m.

232 = (3220)4 A(0) = A

A(0+1) A(0).A(0) = A.A = A2= A(1) A(1+1) A(1).A(0) = A2.A = A3= A(2) A(2+1) A(2).A(0) = A3.A = A4

(37)

232 = (3220)₄ oldu undan t = 3 olur. p = 3-1 = 2

X = I+A(0)+A(1) ve A4t A oldu undan, A64 A ve X = I+A(0)+A(1) X = I+A64+A128 olur. i2= 2, i2 A 16 A X = I+A(0)+A(1).(I+A(0)+A(1)+A(2)).X X = I+A16+ (A16)2.(I+A16+ (A16)2+ (A16)3).X X = I+A16+ A32.(I+ A16+ A32+ A48).( I+A64+A128) i₁= 2, i₁ A4 A

X = I+A(0)+A(1).{I+A(0)+A(1)+A(2)}.X

X = I+A4+ (A4)2.(I+A4+ (A4)2+(A4)3).{ I+A16+ A32.(I+ A16+ A32+ A48). (I+A64+A128)}

X =I+A4+A8.(I+A4+A8+A12).{I+A16+ A32.(I+A16+A32+A48).(I+A64+A128)} i₀= 0, i₀ A1 A

X = (I+A(0)+A(1)+A(2)).X

X = (I+A+A2+A3).{I+A4+A8.(I+A4+A8+A12).[I+A16+A32.(I+A16+A32+A48). (I+A64+A128)]}

olup,

(232,A) =(I+A+A2+A3).{I+A4+A8.( I+A4+A8+A12).[ I+A16+A32. (I+A16+A32+A48).(I+A64+A128)]}

(232,A) = (I+A+A2+A3).G(58,A4)

= (I+A+A2+A3).{I+A4+A8.( I+A4+A8+A12).G(14,A16)} = (I+A+A2+A3).{I+A4+A8.( I+A4+A8+A12).[ I+A16+A32. (I+A16+A32+A48).G(3,A64)]}

= (I+A+A2+A3).{I+A4+A8.( I+A4+A8+A12).[ I+A16+A32. (I+A16+A32+A48).(I+A64+A128)]}

(38)

(232,A) = I+A+A2.( I+A+A2+A3+A4).G(46,A5)

=I+A+A2.( I+A+A2+A3+A4).{I+A5.(I+A5+A10+A15+A20).G(9,A25)} (232,A) =I+A+A2.( I+A+A2+A3+A4).{ I+A5.(I+A5+A10+A15+A20).

[I+A25+A50+A75+A100.(I+A25+A50+A75+A100)]} olarak bulunur.

Örnek 2. 33. Dimitrov ve ark. (1994),

(768,A)=I+A+A2+…+A767 matris polinomunu hesaplayal m.

(768,A) = (I + A+A2). (256, A3)

= (I+A+A2).{I+(A3+A6+A9). (85, A9)}

= (I+A+A2).{I+(A3+A6+A9).[I+(A9+A18+A27). (28, A27)]} =(I+A+A2).{I+(A3+A6+A9).[I+(A9+A18+A27).{I+(A27+A54+A81).

(9,A81)}]}

=(I+A+A2).{I+(A3+A6+A9).[I+(A9+A18+A27).{I+(A27+A54+A81). (I+A81+A162). (3,A243)}]}

(768,A) =(I+A+A2).{I+(A3+A6+A9).[I+(A9+A18+A27).{I+(A27+A54+A81). (I+A81+A162).(I+ A243+A486)}]}

olarak bulunur.

Örnek 2. 34. Dimitrov ve ark. (1995), (768,A) matris polinomunu hesaplayal m.

(768,A) = (I+A+A2). (256,A3)

= (I+A+A2).{I+(A3+A6+A9). (85, A9)}

= (I+A+A2).{I+(A3+A6+A9).[I +(A9+A18+A27). (28, A27)]} = (I+A+A2).{I+(A3+A6+A9).[I+(A9+A18+A27).{I+(A27+A54+A81).

(39)

= (I+A+A2).{I+(A3+A6+A9).[I+(A9+A18+A27).{I+(A27+A54+A81). (I + A81+A162). (3,A243)}]}

(768,A) = (I+A+A2).{I+(A3+A6+A9 ).[I+(A9+A18+A27).{I+(A27+A54+A81). (I + A81+A162).(I+A243+A486)}]}

olarak bulunur.

768 = (30000)₄ A(0) = A

A(0+1) A(0).A(0) = A.A = A2= A(1) A(1+1) A(1).A(0) = A2.A = A3= A(2) A(2+1) A(2).A(0) = A3.A = A4= A(3) 768 = (30000)₄ oldu undan t = 4 olur. p = 4-1 = 3 X = I+A(0)+A(1) i₄ A256 A X = I+ A256+ A512 i₃= 0 i₃ A64 A X = (I+A(0)+A(1)+A(2)).X X = (I+A64+ (A64)2+ (A64)3).( I+ A256+ A512) X = (I+ A64+ A128+ A192).( I+ A256+ A512) i2= 0 i₂ A16 A X = (I+A(0)+A(1)+A(2)).X X = (I+A16+ (A16)2+ (A16)3).( I+ A64+ A128+ A192).( I+ A256+ A512) X = (I+ A16+ A32+ A48).( I+ A64+ A128+ A192).( I+ A256+ A512) i₁= 0 i₁ A4 A

(40)

X = (I+A(0)+A(1)+A(2)).X

X = (I+A4+ A8+ A12).(I+A16+A32+A48).(I+A64+A128+A192).(I+A256+A512) i₀= 0, i₀ A1 A

X = (I+A(0)+A(1)+A(2)).X

X = (I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12).(I+A16+A32+A48).(I+A64+A128+A192). (I+A256+A512)

olup,

(768,A)=(I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12).(I+A16+A32+A48). (I+A64+A128+A192).(I+A256+A512)

(768,A) = (I+A+A2+A3).G(192,A4)

= (I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12).G(48,A16)

= (I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12).(I+A16+A32+A48).G(12,A64) = (I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12).(I+A16+A32+A48).

(I+A64+A128+A192).G(3,A256)

(768,A)= (I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12).(I+A16+A32+A48). (I+A64+A128+A192).(I+A256+A512)

eklinde de hesaplanabilir.

(768,A ) = I+A+A2+A3.( I+A+A2+A3+A4).G(153,A5)

= I+A+A2+A3.( I+A+A2+A3+A4).{ I+A5+A10+A15. (I+A5+A10+A15+A20).G(30,A25 )}

= I+A+A2+A3.( I+A+A2+A3+A4).{ I+A5+A10+A15.

(I+A5+A10+A15+A20).(I+A25 +A50+A75+A100).G(6,A125)} = I+A+A2+A3.( I+A+A2+A3+A4).{I+A5+A10+A15.

(I+A5+A10+A15+A20).(I+A25 +A50+A75+A100). [I+A125.(I+A125+A250+A375+A500)]}

(41)

Dimitrov ve ark. (1995), Dimitrov ve ark. (1994)’ de verilen algoritmay daki ekilde vermektedirler.

(I + A+A2).G(K,A3), N = 3K G(N, A) = I + (A+A2+A3).G(K, A3), N = 3K+1 I + A.(A+A2+ A3).G(K A3), N = 3K+2

Bu algoritmaya örnek olarak, (1536,A) matris polinomunu a daki ekilde hesaplam lard r.

(1536,A) = (I+A+A2).{I+A3.(A3+A6+A9).[I +A9.(A9+A18+A27).{I+A27. ( A27+A54+A81).(I + A81+A162).(I+ A243+A486).(I+A729)}]}

(1536,A) matris polinomunda 1536 tane toplama i lemi olmas gerekirken, bu algoritma ile toplama i lemi say 1497 olarak bulunmaktad r. Bu da verilen algoritman n yanl oldu unu göstermektedir.

(1536,A) matris polinomunun Dimitrov ve ark. (1994), do ru çözümü, (1536,A) = (I + A+A2). (512,A3)

= (I + A+A2).{I + A3+A6.(I+A3+ A6). (170, A9)}

= (I + A+A2).{I + A3+A6.(I+A3+ A6). [I + A9+A18.(I+A9+ A18) . (56, A27)]}

= (I + A+A2).{ I + A3+A6.(I+A3+ A6). [I + A9+A18.(I+A9+ A18). {I + A27+A54.(I+A27+ A54). (18, A81)}]}

= (I + A+A2).{ I + A3+A6.(I+A3+ A6). [I + A9+A18.(I+A9+ A18). {I + A27+A54.(I+A27+ A54).(I + A81+A162). (6,A243)}]}

= (I + A+A2).{ I + A3+A6.(I+A3+ A6). [I + A9+A18.(I+A9+ A18). {I + A27+A54.(I+A27+ A54).(I + A81+A162).(I + A243+A486). ( I+A729)}]}

(42)

(1536,A) = (I+A+A2). (512,A3)

= (I+A+A2).(I+A3). (256, A6)

= (I+A+A2).(I +A3).{I+(A6+A12+A18). (85, A18)}

=(I+A+A2).(I+A3).{I+(A6+A12+A18).[I+(A18+A36+A54). (28,A54)]} =(I+A+A2).(I+A3).{I+(A6+A12+A18).[I+(A18+A36+A54).

{I + (A54+A108+A162). (9, A162)}]}

= (I+A+A2).(I+A3).{I+(A6+A12+A18).[I+(A18+A36+A54). {I + (A54+A108+A162).(I + A162+A324). (3,A486)}]}

(1536,A)=(I+A+A2).(I+A3).{I+(A6+A12+A18).[I+(A18+A36+A54). {I+(A54+A108+A162).(I+A162+A324).(I+A486+A972)}]} olarak bulunur.

1536 = (120000)4 A(0) = A

A(0+1) A(0).A(0) = A.A = A2= A(1) A(1+1) A(1).A(0) = A2.A = A3= A(2) A(2+1) A(2).A(0) = A3.A = A4= A(3) t = 5 ve p = 5-1 = 4 ’ tür.

i₄= 2

i₄ A256 A

X = I+A(0)+A(1).(I+A(0)+A(1)+A(2)).X

X = I+A256+ (A256)2.(I+A256+ (A256)2+ (A256)3).I X = I+A256+A512.(I+ A256+A512+ A768)

i₃= 0

i₃ A64 A

(43)

X = (I+A64+ (A64)2+ (A64)3).X

X = (I+ A64+ A128+ A192).{ I+A256+A512.(I+ A256+A512+ A768)} i₂= 0, i₂ A16 A

X = (I+A(0)+A(1)+A(2)).X

X = (I+A16+ (A16)2+ (A16)3).(I+ A64+ A128+ A192).{ I+A256+A512. (I+ A256+A512+ A768)}

X =(I+A16+A32+A48).(I+A64+ A128+ A192).{I+A256+A512.(I+A256+A512+ A768)} i₁= 0, i₁ A4 A

X = (I+A(0)+A(1)+A(2)).X

X = (I+A4+ (A4)2+ (A4)3).(I+ A16+ A32+ A48).( I+ A64+ A128+ A192). {I+A256+A512.(I+ A256+A512+ A768)}

X = (I+A4+A8+A12).(I+A16+ A32+ A48).(I+A64+A128+A192).{I+A256+A512. (I+A256+A512+ A768)}

i₀= 0, i₀ A1 A X = (I+A(0)+A(1)+A(2)).X

X =(I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12).(I+A16+A32+A48).(I+A64+A128+A192). {I+A256+A512.(I+ A256+A512+ A768)}

olup,

(1536,A)=(I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12).(I+A16+A32+A48). (I+A64+A128+A192).{I+A256+A512.( I+A256+A512+ A768)} olarak bulunur. Ya da,

(1536,A) = (I+A+A2+A3).G(384,A4)

= (I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12).G(96,A16)

= (I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12).( I+A16+A32+A48).G(24,A64) = (I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12).(I+A16+A32+A48).

(I+A64+A128+A192).G(6,A256)

(1536,A) = (I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12).(I +A16+A32+A48). (I+A64+A128+A192).{I+A256+A512.( I+A256+A512+A768)}

(44)

(1536,A) = I+A.(I+A+A2+A3+A4).G(307,A5) =I+A.(I+A+A2+A3+A4).{I+A5+ A10. (I+A5+A10+A15+A20).G(61,A25 )}

= I+A.(I+A+A2+A3+A4).{ I+A5+ A10.(I+A5+A10+A15+A20). [I+A25 .(I+A25 +A50+A75+A100).G(12,A125)]}

= I+A.(I+A+A2+A3+A4).{ I+A5+ A10.(I+A5+A10+A15+A20). [I+A25 .(I+A25 +A50+A75+A100).{I+A125+A250.

( I+A125+A250+A375+A500).G(2,A625)}]}

(1536,A) = I+A.(I+A+A2+A3+A4).{ I+A5+ A10.(I+A5+A10+A15+A20). [I+A25 .(I+A25 +A50+A75+A100).{I+A125+A250.

( I+A125+A250+A375+A500).(I+A625)}]} olarak bulunur.

A(0) = A

A(0+1) A(0).A(0) = A.A = A2= A(1) A(1+1) A(1).A(0) = A2.A = A3= A(2) A(2+1) A(2).A(0) = A3.A = A4= A(3) 57 = (321)₄ oldu undan t = 2 olur.

X = I+A(0)+A(1) olarak al r ve A16 A ’ d r. X = I+A(0)+A(1) X = I+A16+ (A16)2 X = I+ A16+ A32 p = 2-1 = 1 i₁= 2 i1 A 4 A X = I+A(0)+A(1).(I+A(0)+A(1)+A(2)).X

(45)

X = I+A4+ (A4)2.(I+A4+ (A4)2+ (A4)3).( I+ A16+ A32) X =I+ A4+ A8.(I+ A4+ A8+ A12).( I+ A16+ A32)

i₀= 1

i₀ A1 A

X = I+(A(0)+A(1)+A(2)+A(3)).X

X = I+(A+A2+A3+A4).{I+A4+A8.(I+A4+A8+A12).(I+A16+A32)} olup,

(57,A)=I+(A+A2+A3+A4).{I+A4+A8.(I+A4+A8+A12).(I+A16+A32)} olarak bulunur. Ya da,

(57,A) = I+A.(I+A+A2+A3).G(14,A4),

=I+A.(I+A+A2+A3).{I+A4+(A4)2.(I+A4+(A4)2+(A4)3).G(3,(A4)4)} =I+A.(I+A+A2+A3).{I+A4+A8.(I+A4+A8+A12).(I+A16+A32)}

eklinde de hesaplanabilir.

45 = (231)4 A(0) = A

A(0+1) A(0).A(0) = A.A = A2= A(1) A(1+1) A(1).A(0) = A2.A = A3= A(2) A(2+1) A(2).A(0) = A3.A = A4= A(3) 45 = (231)4 oldu undan t = 2 ’ dir. X = I+A(0) olarak al r. A16 A X = I+ A16 p = 2-1 =1 i1= 3 i₁ A4 A X = I+A(0)+A(1)+A(2).(I +A(0)+A(1)+A(2)).X X = I+A4+ (A4)2+ (A4)3.(I+A4+ (A4)2+ (A4)3).( I+ A16)

(46)

X = I+ A4+ A8+ A12.(I+ A4+ A8+ A12). (I+ A16) i0= 1 i0 A 1 A X = I+(A(0)+A(1)+A(2)+A(3)).X

X = I+(A+A2+A3+A4).{I+A4+A8+A12.(I+A4+A8+A12).(I+A16)} olup,

(45,A) = I+(A+A2+A3+A4).{I+A4+A8+A12.(I+A4+A8+A12).(I+ A16)} olarak bulunur. Ya da,

(45,A)= I+A.(I+A+A2+A3). G(11,A4)

=I+A(I+A+A2+A3).{I+A4+(A4)2+(A4)3.(I+A4+(A4)2+(A4)3).G(2,A16)} (45,A) =I+ A.(I+A+A2+A3). {I+A4+ A8+ A12.(I+ A4+ A8+ A12).(I+A16)} eklinde de hesaplanabilir.

(47)

3. (N A) MATR S POL NOMUNUN ALGOR TMALAR YARDIMIYLA,

HESAPLANMASI LE LG NÜMER K ÖRNEKLER

(22, A)=I+(A+A2+A3).{(I+A12).(I+A3+A6)+A9} olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (22,A) = 1 0 0 1 + 1 6 0 1 1 4 0 1 1 2 0 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 24 1 0 1 6 1 12 1 18 1 = 22 0 462 22 olarak bulunur.

Örnek 3. 2. Lei ve ark. (1992),

(22,A)=(I+A).{I+(A2+A4).[I+(A4+A8).(I+A8)]} olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (22,A) = 1 0 1 0 0 1 2 1 . 1 0 1 0 1 0 0 1 4 1 8 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 8 1 16 1 0 1 16 1 = 22 0 462 22 olarak bulunur.

Örnek 3. 3. Dutta ve ark. (1992),

(48)

olarak bulunmu tu. Bu algoritmay 1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (22,A) = 1 0 1 0 0 1 2 1 . 1 0 1 0 0 1 4 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 8 1 0 1 16 1 32 1 40 1 olup, (22,A) = 22 0 462 22 olarak bulunur.

(22,A)=I+(A+A2+A3).{I+(A3+A6+A9).(I+A9)} olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (22,A) = 1 0 0 1 + 1 0 1 0 1 0 2 1 4 1 6 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 6 1 12 1 18 1 0 1 18 1 olup, (22,A) = 22 0 462 22 olarak bulunur.

(22,A)=I+(A+A2+A3).{I+(A3+A6+A9).(I+A9)} olarak bulunmu tu. Bunu

1 2 0 1 A matrisine uygularsak (22,A) = 1 0 0 1 + 1 0 1 0 1 0 2 1 4 1 6 1 .

(49)

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 6 1 12 1 18 1 0 1 18 1 olup, (22,A) = 22 0 462 22 olarak bulunur.

Örnek 3. 6. Yeni Algoritma 1’e göre, Bölüm 2’ de

(22,A)=I+A+A2.(I+A+A2+A3).{I+A4.(I+A4+A8+A12)} olarak bulunmu tu. Bunu

1 2 0 1 A matrisine uygularsak (22,A)= 1 0 0 1 + 1 0 2 1 + 1 0 4 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 4 1 6 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 8 1 0 1 8 1 16 1 24 1 olup, (22,A) = 22 0 462 22 elde edilir.

Örnek 3. 7. Yeni Algoritma 2’e göre,Bölüm 2’ de

(22,A)=I+A+A2.(I+A+A2+A3+A4).(I+A5+A10+A15) olarak bulunmu tu. Bunu

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (22,A)= 1 0 0 1 + 1 0 2 1 + 1 0 4 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 4 1 6 1 8 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 10 1 20 1 30 1

olur. Böylece (22,A) = 22 0

462 22 olarak bulunur.

(50)

(30,A)=(I+A).(I+A2+A4).{I+(A6+A12).(I+A12)} olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (30,A) = 1 0 1 0 0 1 2 1 . 1 0 1 0 1 0 0 1 4 1 8 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 12 1 24 1 0 1 24 1 olup, (30,A)= 30 0 870 30 olarak bulunur.

Örnek 3. 9. Lei ve ark. (1992),

(30,A)=(I+A).{I+(A2+A4).[I+(A4+A8).(I+A8+A16)] } olarak bulunmu tu. Bunu

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (30,A) = 1 0 1 0 0 1 2 1 . 1 0 1 0 1 0 0 1 4 1 8 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 8 1 16 1 0 1 16 1 32 1 = 30 0 870 30 olarak bulunur.

(30,A)=(I+A).{(I+A2).[(I+A4).(I+A8+A16)+A24]+A28} olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2

0 1

(51)

(30,A) = 1 0 1 0 0 1 2 1 . 1 0 1 0 0 1 4 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 8 1 0 1 16 1 32 1 48 1 56 1 olur. Böylece (30,A)= 30 0 870 30 elde edilir.

(30,A)=(I+A+A2).{I+(A3+A6+A9).(I+A9+A18)} olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (30,A)= 1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 4 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 6 1 12 1 18 1 0 1 18 1 36 1 = 30 0 870 30 olarak bulunur.

(30,A)=(I+A+A2).{I+(A3+A6+A9).(I+A9+A18)} olarak bulunmu tu. Bunu

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (30,A)= 1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 4 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 6 1 12 1 18 1 0 1 18 1 36 1 olur. Böylece

(52)

(30,A)= 30 0 870 30 olarak bulunur.

Örnek 3. 13. Yeni Algoritma 1’e göre,

(30,A)=I+A+A2.(I+A+A2+A3).{I+A4+A8+A12.(I+A4+A8+A12)} olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (30,A)= 1 0 0 1 + 1 0 2 1 + 1 0 4 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 4 1 6 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 8 1 16 1 24 1 0 1 8 1 16 1 24 1 olup, (30,A)= 30 0 870 30 olarak bulunur.

(30,A)=(I+A+A2+A3+A4).{I+A5.(I+A5+A10+A15+A20)} olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (30,A) = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 4 1 6 1 8 1 . 1 0 0 1 + 1 0 10 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 10 1 20 1 30 1 40 1 olup, (30,A)= 30 0 870 30 elde edilir.

(53)

Örnek 3. 15. Lei ve ark. (1992),

(82,A)=(I+A).{I+(A2+A4).(I+A4).(I+A8).[I+(A16+A32).(I+A32)] } olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (82,A)= 1 0 1 0 0 1 2 1 . 1 0 1 0 1 0 0 1 4 1 8 1 . 1 0 1 0 0 1 8 1 . 1 0 1 0 0 1 16 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 32 1 64 1 0 1 64 1 olur. Böylece (82,A) = 82 0 6642 82 olarak bulunur.

(82,A)=(I+A).{(I+A2).(I+A4).(I+A8).[(I+A16).(I+A32)+A64]+A80} olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (82,A)= 1 0 1 0 0 1 2 1 . 1 0 1 0 0 1 4 1 . 1 0 1 0 0 1 8 1 . 1 0 1 0 0 1 16 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 32 1 0 1 64 1 128 1 + 1 0 160 1 = 82 0 6642 82 olarak bulunur.

(54)

(82,A)=I+(A+A2+A3).(I+A3+A6).(I+A9+A18).(I+A27+A54) olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (82,A) = 1 0 0 1 + 1 0 1 0 1 0 2 1 4 1 6 1 . 1 0 1 0 1 0 0 1 6 1 12 1 . 1 0 1 0 1 0 0 1 18 1 36 1 . 1 0 1 0 1 0 0 1 54 1 108 1 = 82 0 6642 82 olarak bulunur.

(82,A)=I+(A+A2+A3).(I+A3+A6).(I+A9+A18).(I+A27+A54) olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (82,A) = 1 0 0 1 + 1 0 1 0 1 0 2 1 4 1 6 1 . 1 0 1 0 1 0 0 1 6 1 12 1 . 1 0 1 0 1 0 0 1 18 1 36 1 . 1 0 1 0 1 0 0 1 54 1 108 1 = 82 0 6642 82 olarak bulunur.

(82,A)=I+A+A2.(I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12).{I+A16.(I+A16+A32+A48)} olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2

0 1

(55)

(82,A) = 1 0 0 1 + 1 0 2 1 + 1 0 4 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 4 1 6 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 8 1 16 1 24 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 32 1 0 1 32 1 64 1 96 1 olup, (82,A) = 82 0 6642 82 olarak bulunur.

2 2 3 4 5 5 10 15 20 25 50 (82,A)=I+A+A (I+A+A +A +A ). I+A .(I+A +A +A +A ).(I+A +A ) olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (82,A)= 1 0 0 1 + 1 0 2 1 + 1 0 4 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 4 1 6 1 8 1 . 1 0 0 1 + 1 0 10 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 10 1 20 1 30 1 40 1 . 1 0 1 0 1 0 0 1 50 1 100 1 = 82 0 6642 82 olarak bulunur.

Örnek 3. 21. Lei ve ark. (1992),

(105,A)=I+(A+A2).(I+A2).(I+A4).{I+(A8+A16).(I+A16).(I+A32+A64)} olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2

0 1

(56)

(105,A)= 1 0 0 1 + 1 0 1 0 2 1 4 1 . 1 0 1 0 0 1 4 1 . 1 0 1 0 0 1 8 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . 0 1 16 1 32 1 0 1 32 1 1 0 1 0 1 0 0 1 64 1 128 1 olup, (105,A) = 105 0 10920 105 olarak elde edilir.

(105,A)=I+A.(I+A).(I+A2).(I+A4).{(I+A8).(I+A16).(I+A32+A64)+A96} olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (105,A) = 1 0 0 1 + 1 0 2 1 . 1 0 1 0 0 1 2 1 . 1 0 1 0 0 1 4 1 . 1 0 1 0 0 1 8 1 . 1 0 1 0 . 0 1 16 1 1 0 1 0 . 0 1 32 1 1 0 1 0 1 0 0 1 64 1 128 1 1 0 192 1 = 105 0 10920 105 olarak bulunur.

2 3 6 3 6 9 18 9 18 27 54

(105,A)=(I+A+A ). I+A +A .(I+A +A ).[I+A +A .(I+A +A ).(I+A +A )] olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2

0 1

(57)

(105,A)= 1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 4 1 . 1 0 0 1 + 1 0 6 1 + 1 0 12 1 . 1 0 1 0 1 0 0 1 6 1 12 1 . 1 0 1 0 1 0 0 1 18 1 36 1 . 1 0 1 0 1 0 0 1 18 1 36 1 . 1 0 1 0 1 0 0 1 54 1 108 1 = 105 0 10920 105 olarak bulunur.

(105,A)=(I+A+A2).{I+(A3+A6).[I+(A6+A12).(I +A12).(I+A24+A48+A72)]} olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (105,A) = 1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 4 1 . 1 0 0 1 + 1 0 1 0 6 1 12 1 . 1 0 0 1 + 1 0 1 0 12 1 24 1 . 1 0 1 0 0 1 24 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 48 1 96 1 144 1 = 105 0 10920 105 olarak bulunur.

2 3 4 8 4 8 12 16 32 16 32 48

(105,A)=I+A.(I+A+A +A ). I+A +A . I+A +A +A ). I+A +A .(I+A +A +A )

olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2

0 1

(58)

(105,A) = 1 0 0 1 + 1 0 2 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 4 1 6 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 8 1 16 1 0 1 8 1 16 1 24 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 32 1 64 1 0 1 32 1 64 1 96 1 olup, (105,A) = 105 0 10920 105 olarak bulunur.

(105,A)=(I+A+A2+A3+A4).{I+A5.(I+A5+A10+A15+A20).(I+A25+A50+A75)} olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (105,A) = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 4 1 6 1 8 1 . 1 0 0 1 + 1 0 10 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 10 1 20 1 30 1 40 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 50 1 100 1 150 1 = 105 0 10920 105 olarak bulunur.

Örnek 3. 27. Lei ve ark. (1992),

2 4 8 16 16 32 64 64 128

(232,A)=(I+A).(I+A ).(I+A ).{I+(A +A ).(I+A ).[I+(A +A ).(I+A +A )]} olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2

0 1

(59)

(232,A) = 1 0 1 0 0 1 2 1 . 1 0 1 0 0 1 4 1 . 1 0 1 0 0 1 8 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 16 1 32 1 0 1 32 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 64 1 128 1 0 1 128 1 256 1 = 232 0 53592 232 olarak bulunur.

2 4 8 16 32 64 128 192 224 (232,A)=(I+A).(I+A ).(I+A ).{(I+A ).(I+A ).[(I+A ).(I+A +A )+A ]+A } olarak bulunmu tu. Bu algoritmay

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (232,A) = 1 0 1 0 0 1 2 1 . 1 0 1 0 0 1 4 1 . 1 0 1 0 0 1 8 1 . 1 0 1 0 0 1 16 1 . 1 0 1 0 0 1 32 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . 0 1 64 1 0 1 128 1 256 1 384 1 + 1 0 448 1 = 232 0 53592 232 olarak bulunur.

(232,A)=I+(A+A2+A3).{I+A3+A6.(I+A3+A6).[I+(A9+A18+A27).{I+A27+A54 .(I+A27+ A54).(I+ A81)}] }

(60)

olarak bulunmu tu. Bu algoritmay 1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (232,A) = 1 0 0 1 + 1 0 1 0 1 0 2 1 4 1 6 1 . 1 0 0 1 + 1 0 6 1 + 1 0 12 1 . 1 0 1 0 1 0 0 1 6 1 12 1 . 1 0 0 1 + 1 0 1 0 1 0 18 1 36 1 54 1 . 1 0 0 1 + 1 0 54 1 + 1 0 108 1 . 1 0 1 0 1 0 0 1 54 1 108 1 . 1 0 1 0 0 1 162 1 = 232 0 53592 232 olarak bulunur.

(232,A)=I+(A+A2+A3){I+(A3+A6).(I+A6).[I+(A12 +A24+A36).(I+A36+A72). (I+ A108)]}

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (232,A) = 1 0 0 1 + 1 0 1 0 1 0 2 1 4 1 6 1 . 1 0 0 1 + 1 0 1 0 6 1 12 1 . 1 0 1 0 0 1 12 1 . 1 0 0 1 + 1 0 1 0 1 0 24 1 48 1 72 1 . 1 0 1 0 1 0 0 1 72 1 144 1 . 1 0 1 0 0 1 216 1 = 232 0 53592 232 olarak bulunur.

(61)

2 3 4 8 4 8 12

16 32 16 32 48 64 128

(232,A) = (I+A+A +A ).{I+A +A .(I+A +A +A ).

[I+A +A .(I+A +A +A ).(I+A +A )]}

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (232,A) = 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 4 1 6 1 . 1 0 0 1 + 1 0 8 1 + 1 0 16 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 8 1 16 1 24 1 . 1 0 0 1 + 1 0 32 1 + 1 0 64 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 32 1 64 1 96 1 1 0 1 0 1 0 0 1 128 1 256 1 = 232 0 53592 232 olarak bulunur.

(232,A) = I+A+A2.( I+A+A2+A3+A4).{ I+A5.(I+A5+A10+A15+A20). [I+A25+A50+A75+A100.(I+A25+A50+A75+A100)]}

1 2 0 1 A matrisine uygulayal m. (232,A) = 1 0 0 1 + 1 0 2 1 + 1 0 4 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 4 1 6 1 8 1 . 1 0 0 1 + 1 0 10 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 10 1 20 1 30 1 40 1 . 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 50 1 100 1 150 1 200 1 .

(62)

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

0 1 50 1 100 1 150 1 200 1

= 232 0

53592 232 olarak bulunur.

(63)

4. (N A) MATR S POL NOMUNUN HESAPLANMASI LE LG, ALGOR TMALARIN KAR ILA TIRILMASI

Westreich (1989),

(22,A) = I + ( A + A2+A3). {(I+A12).(I+A3+A6) + A9}, 7 matris çarp içermektedir.

Lei ve ark. (1992),

(22,A)=(I+A).{ I+( A2+ A4).[ I+( A4+ A8). (I+ A8)]}, 6 matris çarp içermektedir.

Dutta ve ark. (1992),

(22,A)=(I+A).{(I+A2).[(I+A4).(I+A8)+A16]+A20}, 8 matris çarp içermektedir.

Dimitrov ve ark. (1994),

(22,A)=I+(A+A2+A3).{I+(A3+A6+A9).(I+A9)}, 6 matris çarp içermektedir.

(22,A)=I+(A+A2+A3).{I+(A3+A6+A9).(I+A9)}, 6 matris çarp içermektedir.

Yeni Algoritma 1,

(22,A)=I+A+A2.(I+A+A2+A3).{I+A4.(I+A4+A8+A12)}, 8 matris çarp içermektedir.

Yeni Algoritma 2,

(22,A) = I+A+A2.( I+A+A2+A3+A4).(I+A5+A10+A15), 8 matris çarp içermektedir.

Westreich (1989),

(30,A) = (I + A).(I+ A2+A4).{I+ (A6+A12).(I+ A12)}, 7 matris çarp içermektedir.

Lei ve ark. (1992),

(30,A)=(I+A).{I+(A2+A4).[I+(A4+A8).(I+A8+A16)]}, 7 matris içermektedir.

(64)

(30,A)=(I+A).(I+A2).[(I+A4).(I+A8+A16)+A24] + A28} 9 matris çarp içermektedir.

(30,A)=(I+A+A2).{I+(A3+A6+A9).(I+A9+A18)}, 7 matris çarp içermektedir.

(30,A) = ( I +A+A2).{ I + ( A3 + A6 + A9).( I + A9 + A18)}, 7 matris çarp içermektedir.

Yeni Algoritma 1,

(30,A)=I+A+A2.(I+A+A2+A3).{I+A4+A8+A12.(I+A4+A8+A12)}, 8 matris çarp içermektedir.

Yeni Algoritma 2,

(30,A) = ( I + A+A2+A3+A4).{I+A5.(I+A5+A10+A15+A20)}, 9 matris çarp içermektedir.

Lei ve ark. (1992),

(82,A)=( I +A).{ I +(A2+ A4).( I + A4).(I+ A8).[ I +( A16+ A32).( I + A32)] }, 10 matris çarp içermektedir.

(82,A)=(I+A).{(I+A2).(I+A4).(I+A8).[(I+A16).(I+A32)+A64]+A80}, 12 matris çarp içermektedir.

(82,A)=I+(A+A2+A3).(I+A3+A6).(I+A9+A18).(I+A27+A54), 10 matris çarp içermektedir.

Yeni Algoritma 1,

(82,A)=I+A+A2.(I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12).{I+A16.(I+A16+A32+A48)} 12 matris çarp içermektedir.

(65)

Yeni Algoritma 2,

2 2 3 4 5 5 10 15 20 25 50 (82,A) = I+A+A (I+A+A +A +A ).{I+A (I+A +A +A +A ).(I+A +A )}, 13 matris çarp içermektedir.

Lei ve ark. (1992),

(105,A)=I+(A+A2).(I+A2).(I+A4).{I+(A8+A16).(I+A16).(I+A32+A64)}, 11 matris çarp içermektedir.

(105,A)=I+A.(I+A).(I+A2).(I+A4).{(I+A8).(I+A16).(I+A32+A64)+A96}, 13 matris çarp içermektedir.

(105,A) = (I+A+A2).{I+A3+A6.(I+A3+A6).[I+A9+A18.(I+A9+A18). (I+ A27+A54)]},

12 matris çarp içermektedir. Dimitrov ve ark. (1995),

(105,A) = (I+ A+A2).{I+(A3+A6).[I+(A6+A12).(I+A12).(I+A24+A48+A72)]} 11 matris çarp içermektedir.

Yeni Algoritma 1,

(105,A) = I+A.(I+A+A2+A3).{ I+A4+A8.( I+A4+A8+A12). [I+A16+A32.(I+A16+A32+A48)]},

13 matris çarp içermektedir. Yeni Algoritma 2,

(105,A)=(I+A+A2+A3+A4).{I+A5.(I+A5+A10+A15+A20).(I+A25+A50+A75)} 13 matris çarp içermektedir.

Lei ve ark. (1992),

(232,A) = ( I + A).( I + A2).( I + A4).{ I + ( A8+A16).( I + A16). [I+(A32+A64).(I+A64+A128)]},

13 matris çarp içermektedir. Dutta ve ark. (1992),

(232,A) = (I+A).(I+A2).(I+A4).{(I+A8).(I+A16).[(I+A32). (I+ A64+A128)+ A192]+A224},

(66)

(232,A) = I+(A+A2+A3).{I+A3+A6.(I+A3+A6).[I+(A9+A18+A27). {I + A27+A54.(I+A27+ A54).(I+ A81)}] },

(232,A) = I+(A+A2+A3).{I+(A3+A6).(I+A6).[I+(A12 +A24+A36). (I+A36+A72).(I + A36+A72).(I+ A108)]},

(232,A) = (I+A+A2+A3).{I+A4+A8.( I+A4+A8+A12).[ I+A16+A32. (I+A16+A32+A48).(I+A64+A128)]},

(232,A) = I+A+A2.( I+A+A2+A3+A4).{I+A5.(I+A5+A10+A15+A20). [I+A25+A50+A75+A100.(I+A25+A50+A75+A100)]},

(768,A) = (I+A+A2).{I+(A3+A6+A9).[I+(A9+A18+A27).{I+(A27+A54+A81). (I+A81+A162).(I+ A243+A486)}]},

(768,A) = (I+A+A2).{I+(A3+A6+A9 ).(I+(A9+A18+A27).[I+(A27+A54+A81). (I + A81+A162).(I+A243+A486)]},

(768,A) = (I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12).(I+A16+A32+A48). (I+A64+A128+A192).(I+A256+A512),

(768,A) = I+A+A2+A3.( I+A+A2+A3+A4).{ I+A5 +A10+A15. (I+A5 +A10+A15+A20).(I+A25 +A50+A75+A100).

(67)

[I+A125.(I+A125+A250+A375+A500)]}, 21 matris çarp içermektedir.

(1536,A) = (I + A+A2).{ I + A3+A6.(I+A3+ A6). [I + A9+A18. (I+A9+ A18).{I+A27+A54.(I+A27+A54).(I+A81+A162). (I+A243+A486).(I+A729)}]},

(1536,A) = (I + A+A2).(I +A3).{I +(A6+A12+A18).[I +(A18+A36+A54). {I + (A54+A108+A162).(I + A162+A324).(I+A486+A972)}]}, 18 matris çarp içermektedir.

Yeni Algoritma 1,

(1536,A) = (I+A+A2+A3).(I+A4+A8+A12).(I +A16+A32+A48). (I+A64+A128+A192).{I+A256+A512.( I+A256+A512+A768)}, 19 matris çarp içermektedir.

Yeni Algoritma 2,

(1536,A) = I+A.(I+A+A2+A3+A4).{ I+A5.(I+A5+A10+A15+A20). [I+A25 .(I+A25 +A50+A75+A100).{I+A125+A250. ( I+A125+A250+A375+A500).(I+A625)}]},

(68)

5. SONUÇ VE DE ERLEND RME

(22,A) matris polinomu; Westreich (1989), 7 matris çarp , Lei ve ark. (1992), 6 matris çarp , Dutta ve ark. (1992), 8 matris çarp , Dimitrov ve ark. (1994), 6 matris çarp , Dimitrov ve ark. (1995), 6 matris çarp , Yeni Algoritma 1, 8 matris çarp , Yeni Algoritma 2, 8 matris çarp içermektedir.

(30,A) matris polinomu; Westreich (1989), 7 matris çarp , Lei ve ark. (1992), 7 matris çarp , Dutta ve ark. (1992), 9 matris çarp , Dimitrov ve ark. (1994), 7 matris çarp , Dimitrov ve ark. (1995), 7 matris çarp , Yeni Algoritma 1, 7 matris çarp , Yeni Algoritma 2, 9 matris çarp içermektedir.

(82,A) matris polinomu,; Lei ve ark. (1992), 10 matris çarp , Dutta ve ark. (1992), 12 matris çarp , Dimitrov ve ark. (1994), 10 matris çarp , Dimitrov ve ark. (1995), 10 matris çarp , Yeni Algoritma 1, 10 matris çarp , Yeni Algoritma 2, 13 matris çarp içermektedir.

(105,A) matris polinomu; Lei ve ark. (1992), 11 matris çarp , Dutta ve ark. (1992), 13 matris çarp , Dimitrov ve ark. (1994), 12 matris çarp , Dimitrov ve ark. (1995), 11 matris çarp , Yeni Algoritma 1, 13 matris çarp , Yeni Algoritma 2, 13 matris çarp içermektedir.

(232,A) matris polinomu, Lei ve ark. (1992), 13 matris çarp , Dutta ve ark. (1992), 15 matris çarp , Dimitrov ve ark. (1994), 14 matris çarp , Dimitrov ve ark. (1995), 14 matris çarp , Yeni Algoritma 1, 15 matris çarp , Yeni Algoritma 2, 15 matris çarp içermektedir.

(768,A) matris polinomu; Dimitrov ve ark. (1994), 14 matris çarp , Dimitrov ve ark. (1995), 14 matris çarp , Yeni Algoritma 1, 17 matris çarp , Yeni Algoritma 2, 21 matris çarp içermektedir.

(1536,A) matris polinomu; Dimitrov ve ark. (1994), 21 matris çarp , Dimitrov ve ark. (1995), 18 matris çarp , Yeni Algoritma 1, 19 matris çarp , Yeni Algoritma 2, 24 matris çarp içermektedir.

Sonuç olarak Dimitrov ve ark. (1995), (N, A) matris polinomunun hesaplanmas , daha az matris çarp içerdi inden daha etkili bir algoritmad r. Ancak Yeni Algoritma 1 ve Yeni Algoritma 2 ile elde edilen algoritmalarda da

(69)

yap lan k saltmalar algoritmay daha kolay yapmaktad r. Örne in, Yeni Algoritma 1’de, 2 3 4 2 3 4 2 2 3 4 2 3 2 3 4 (I+A+A +A ).G(K,A ), N=4k I+A.(I+A+A +A ).G(K,A ), N=4k+1 (N,A)

I+A+A .( I+A+A +A ).G(K,A ), N=4k+2 I+A+A +A .( I+A+A +A ).G(K,A ), N=4k+3 I+A+A2+A3= B olarak yaz rsa,

4 4 2 4 2 3 4 B.G(K,A ), N=4k I+A.B.G(K,A ), N=4k+1 (N,A) I+A+A .B.G(K,A ) N=4k+2 I+A+A +A .B.G(K,A ), N=4k+3 hesaplama daha kolay yap r. Ayn ekilde yeni algoritma 2’ de,

(N, A) = 2 3 4 5 2 3 4 5 2 2 3 4 5 (I+A+A +A +A ).G(K,A ), N=5k I+A.(I+A+A +A +A ).G(K,A ), N=5k+1 I+A+A .( I+A+A +A +A ).G(K,A ),

2 3 2 3 4 5

2 3 4 2 3 4 5

N=5k+2 I+A+A +A .( I+A+A +A +A ).G(K,A ), N=5k+3 I+A+A +A +A .(I+A+A +A +A ).G(K,A ), N=5k+4 I+A+A2+A3+A4= C olarak yaz rsa,

(N, A) = 5 5 2 5 2 3 5 C.G(K,A ), N=5k I+A.C.G(K,A ), N=5k+1 I+A+A .C.G(K,A ), N=5k+2 I+A+A +A .C.G(K,A ), 2 3 4 5 N=5k+3 I+A+A +A +A .C.G(K,A ), N=5k+4 hesaplama daha kolay yap r.