– 317 –
www
.krakademi.com
MATEMATİK
Test 49 Çözümler
MODÜLER
ARİTMETİK
1.
Bilgi: x / y (mod a)ifadesinin anlamı x sayısı a ile bölündüğünde kalan y olacaktır. Bu denkliğe göre,
• a > 1 olmalıdır.
• x / y (mod a) & x – y / 0 (mod a) olur.
Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse;
55 / 1 (mod n) & 54 / 0 (mod n)
74 / 2 (mod n) & 72 / 0 (mod n)
olur. Dolayısıyla 54 ve 72 sayıları n sayısına tam bölünüyor demektir. n sayısının en büyük değeri 54 ve 72 sayılarının en büyük ortak böleni olacaktır. Buna göre,
54 72 18 3 4
Ebob(54, 72) = n = 18 bulunur.
Cevap: C
2.
Denklik işlemleri, eşitlik işlemleri gibi düşünülerekçözülebilir. ( ) ( ) ( ) ( ) mod mod mod mod x x x x x x 7 15 4 3 8 7 4 3 15 8 3 18 8 6 8 / / / / - + - +
Bu denkliğin anlamı; x sayısı 8 ile bölündüğünde 6 kalanını verir.
O hâlde, bu denkliği sağlayan iki basamaklı en küçük doğal sayı 14, iki basamaklı en büyük sayı 94 tür. Bu değerlerin toplamı da
14 + 94 = 108 bulunur.
Cevap: A
3.
3y·5x / 0 (mod 125) demek 3y·5x sayısının 125 ileyani 53 ile tam bölünmesi demektir. Dolayısıyla x
sayısı en az 3 olmalıdır. y pozitif tam sayı olduğu ve en az olacağı için y = 1 olmalıdır. Bu değerlerin ilk denkliği sağlayıp sağlamadığına bakılırsa,
( ) ( ) ( ) mod mod mod 3 5 0 45 3 5 0 45 135 0 45 x y 3 1 $ $ / / / 135 135 0 45 3
denkliği sağladığı görülür. Buna göre, . x y bulunur 3 1 4 + = + = Cevap: B
4.
4100 sayısının 7 ile bölümünden kalan4100 / x (mod 7) dir.
Bu ifadede x değerini bulmak için tabanın (yani 4 ün) kuvvetlerinin, mod ile (yani 7 ile) bölümünden kalana bakılır ve bu işlem tekrar eden eleman bulunana kadar devam eder.
Kuvvet hesaplanırken taban ile bir önceki kalan çarpı-lır ve mod değerine bölünerek kalan bulunur.
( ) ( ) ( ) ( ) mod mod mod mod 4 4 7 4 7 4 7 4 2 7 1 4 1 3 4 2 / / / / 16 14 2 7 2
Tekrar eden elemanın kuvveti (yani 3), verilen sayının kuvvetine bölünür. 100 99 1 " kalan 3 33
Bulunan kalan değeri tabanın (yani 4 ün) kuvvetine
yazılır. 41 sayısının 7 ile bölümünden kalan yukarıda
bulunan değerler göz önüne alındığında 4 olduğu görülür.
– 318 –
www
.krakademi.com
MATEMATİK
Test 49 Çözümler
MODÜLER
ARİTMETİK
5.
123123 sayısının birler basamağındaki rakamı osayı-nın 10 ile bölümünden kalana eşittir.
123123 / x (mod 10) olur.
Bu ifadede x değerini bulmadan önce taban moddan büyük olduğundan önce taban mod değerine bölünür ve bulunan kalanla işlem yapılır.
123 120 3 " kalan 10 12 Buna göre, 123123 / 3123 / x (mod 10) olur.
3123 / x (mod 10) ifadesinde x değerini bulmak için
tabanın kuvvetlerinin 10 ile bölümünden kalana bakı-lır ve bu işlem tekrar eden eleman bulunana kadar devam eder. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mod mod mod mod mod 3 10 3 3 10 3 9 10 3 7 10 1 3 3 10 1 2 3 4 5 / / / / /
Tekrar eden elemanın kuvveti (yani 4), verilen sayının kuvvetine bölünür. 123 120 3 " kalan 4 30
Bulunan kalan değeri tabanın (yani 3 ün) kuvvetine
yazılır. 33 sayısının 10 ile bölümünden kalan
yukarı-da bulunan değerler göz önüne alındığınyukarı-da 7 olduğu görülür.
Cevap: D
6.
73! + 7878 / x (mod 10) ifadesinde verilen 73! ve7878 sayılarının ayrı ayrı 10 ile bölümlerinden kalana
bakılır.
• 73! / a (mod 10) demek 73! sayısının 10 ile
bölü-münden kalan demektir. 73! ifadesinin açılımında 10 sayısı var olduğundan 73! sayısı 10 ile tam bölünüyor demektir yani kalan 0 dır. O hâlde a = 0 dır.
• 7878 / b (mod 10) ifadesinde b değerini
bulma-dan önce taban modbulma-dan büyük olduğunbulma-dan önce taban mod değerine bölünür ve bulunan kalanla işlem yapılır. 78 70 8 " kalan 10 7 Buna göre, 7878 / 878 / b (mod 10) olur.
878 / b (mod 10) ifadesinde b değerini bulmak için
taban kuvvetlerinin 10 ile bölümünden kalana bakı-lır ve bu işlem tekrar eden eleman bulunana kadar devam eder. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mod mod mod mod mod 10 10 10 10 10 8 8 8 4 8 2 8 6 8 5 1 2 3 4 5 / / / / /
Tekrar eden elemanın kuvveti (yani 4), verilen sayının kuvvetine bölünür. 78 76 2 " kalan 4 19
Bulunan kalan değeri tabanın (yani 8 in) kuvvetine
yazılır. 82 sayısının 10 ile bölümünden kalan
yukarı-da bulunan değerler göz önüne alındığınyukarı-da 4 olduğu görülür. Buna göre, ! ( ) ( ) ( ) . mod mod mod a b bulunur 73 78 10 0 4 10 4 10 78/ + + = + = Cevap: C
– 319 –
www
.krakademi.com
MATEMATİK
Test 49 Çözümler
MODÜLER
ARİTMETİK
7.
Doktor 1. nöbetini perşembe günü tutmuştur. 25.nöbe-ti istendiğinden 25 – 1 = 24 nöbet daha tutacaktır. 5 günde bir nöbet tuttuğuna göre 24·5 = 120 gün sonra 25. nöbetini tutar. Hafta 7 gün olduğundan 120 gün 7 ile bölünür. 120 50 7 49 1 " kalan 7 17
Verilen gün (yani perşembe) 0. gün kabul edilerek perşembe gününün ilerisine kalan kadar (yani 1 gün) sayılır.
. ü .
fl
g n g n
Per embe Cuma
0 1 ü
Buna göre, doktor 25. nöbetini cuma günü tutar.
Cevap: E
8.
45. nöbet verildiğine ve 14. nöbet istendiğine göre,arada 45 – 14 = 31 nöbet daha tutacaktır.
Asker 6 günde bir nöbet tuttuğu için 31·6 = 186 gün önce 14. nöbetini tutacaktır.
186 46 14 42 4 " kalan 7 26
Bulunan kalan 45. nöbet verilip 14. nöbet istendiğin-den geriye doğru sayılır.
.g n .g n .g n .g n .g n
Pazar Cumartesi Cuma Per embe ar amba
0 ü 1 ü 2 ü 3 ü 4 ü
fl Ç fl
- - -
-Buna göre, asker 14. nöbetini çarşamba günü tutar.
Cevap: B
9.
Selda her haftada yani 7 günde 3 nöbet tutmaktadır. İlknöbetini Pazartesi günü tutmuştur. 87 gün içerisinde 87
84
3 gün vardır. 7 12 hafta
O hâlde Selda haftada 3 nöbet tuttuğuna göre 12·3 = 36 nöbet tutar. Ancak ilk nöbetini tuttuktan sonra dendiği için ilk tuttuğu nöbet sonuca dahil edil-meyeceğinden 36 – 1 = 35 nöbet tutar.
Artan 3 gün Pazartesi, Salı ve Çarşamba günleridir. Selda Pazartesi ve Çarşamba nöbet tuttuğuna göre toplam 35 + 2 = 37 nöbet tutar. Cevap: C
10.
1223334444555556666667777777122 › basamakl 28 14444444444 44444444442 3Yazılan sayı her 28 basamakta tekrar başa döndü-ğünden (mod 28) e göre işlem yapılır.
Bu sayının 540. rakamını bulmak için 540 sayısı 28 e bölünür. 540 260 28 252 8 " rakam artmış 28 19
Artan 8 rakam yazılırsa 12233344 olur. O hâlde, 540. rakam 4 bulunur.
– 320 –
www
.krakademi.com
MATEMATİK
Test 49 Çözümler
MODÜLER
ARİTMETİK
11.
2, 8, 6 2 8 6, , , , 2, 8, 6 2 8 6, , , , 6 6adet adet g - - - -1444444 444444 12 3 444444 4444442 3şeklinde devam eder. Dolayısıyla her 6 terimde bir tekrar ettiği görülür. 50. terim sorulduğundan ve 6 da bir tekrar ettiğinden, 50 sayısı 6 ile bölünür.
50 48
2 " kalan 6 8
Kalan 2 olduğundan örüntünün 2. terimine bakılır. Buna göre, örüntünün 50. terimi –8 bulunur.
Cevap: A
12.
İlk toplantı ayın 5. gününde yani pazartesi yapılmışolsun.
.g n .g n .g n
Pazartesi Pazar Cumartesi
5 ü 4 ü 3 ü
O hâlde 3. gün cumartesi olur. Bu durumda ayın 5. gününde ilk toplantısını değil, ikinci toplantı yapılmış olurdu. Dolayısıyla ayın 5. günü pazartesi olamaz. Buna göre, ilk toplantı ayın 5. gününde yani cumar-tesi yapılmıştır.
.g n .g n .g n .g n .g n
Cumartesi Cuma Per embe ar amba Sal
5 ü 4 ü 3 ü 2 ü 1 ü
fl Ç fl ›
Ayın 20. günü sorulduğuna ve haftanın günleri 7 günde bir tekrar ettiğine göre,
. ? . ü g n Cumartesi g n 5 ü 20 15 gün sonraya gidilmelidir.
Verilen cumartesi gününden kalan kadar ileriye sayı-larak 20. gün bulunur.
. üg n . üg n
Cumartesi Pazar
0 1
Cevap: A
13.
Memur 5 günde bir, güvenlikçi 4 günde bir nöbettut-tuğuna göre, ikisi birlikte
Ekok(4, 5) = 20 günde bir nöbet tutarlar.
. . ? ö ö Cumartesi n bet n bet 35 19
16 nöbet önceye gidilmelidir.
İkisi beraber 20 günde bir nöbet tuttuklarına göre, 16·20 = 320 gün önce 19. nöbetlerini tutarlar.
320 40 28 35 5 " kalan 7 45
Bulunan kalan 35. nöbet verilip 19. nöbet istendiğin-den geriye doğru sayılır.
. . . .
. . . .
g n g n g n g n g n g n
Cmts Cuma Per ar Sal Pzts
0 ü 1 ü 2 ü 3 ü 4 ü 5 ü
fl Ç fl ›
- - - -
-Buna göre, 19. nöbetlerini birlikte pazartesi günü tutmuşlardır.
Cevap: A
14.
172 gün sorulduğundan ve hafta 7 gün olduğundan172 sayısı 7 ye bölünür. Bölüm kaç hafta geçtiğini kalan ise artık kaç gün olduğunu verir.
172 32 14 28 4 " kalan 7 24
Dolayısıyla 24 hafta geçtiği ve geriye sayılması gere-ken 4 gün olduğu görülür.
hafta kalan g nü
172=7 24 4$ . +.
O hâlde, 24 hafta geçtiğine göre, salı, çarşamba ve perşembe günleri 24 kez gelir. Yani
24·3 = 72 yapar.
Başlangıç günü salı günü seçilirse kalan 4 gün içinde çarşamba ve perşembe de vardır. Buna göre, salı, çarşamba ve perşembe günleri en çok
72 + 2 = 74 olur.
