T.C.
NECMETTĠN ERBAKAN ÜNĠVERSĠTESĠ EĞĠTĠM BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanlar Eğitimi Anabilim Dalı
Matematik Eğitimi Bilim Dalı
Yüksek Lisans Tezi
7. SINIF MATEMATĠK DERS KĠTAPLARININ PROBLEM ÇÖZME BECERĠLERĠNĠ GELĠġTĠRMESĠ VE STRATEJĠLERĠNĠ ĠÇERMESĠ
BAKIMINDAN ĠNCELENMESĠ
AyĢe Gamze HATAY
DanıĢman
Dr. Öğr. Üyesi Ahmet CĠHANGĠR
ii
TEġEKKÜR
Tez çalıĢmam boyunca benden yardımlarını esirgemeyen ve bu zorlu süreçte beni motive eden değerli danıĢman hocam Dr. Öğr. Üyesi Ahmet CĠHANGĠR‟ e, destek ve önerileriyle beni yönlendiren, değerli zamanlarını ayırarak yardımlarını esirgemeyen Sayın Dr. Öğr. Üyesi Selin ÇENBERCĠ‟ ye, Prof. Dr. Erhan ERTEKĠN‟ e ve Prof. Dr. Ahmet ERDOĞAN‟ a sonsuz teĢekkürlerimi sunarım.
Maddi ve manevi olarak hayatımın her anında yanımda olan beni yalnız bırakmayan sevgili babam Ahmet YALIMOL‟a; bu zorlu süreçte her türlü destek olan ve asla pes etmemeyi öğreten sevgili annem Emine YALIMOL‟a, bu yola baĢlamamda bana destek olan ve yapabileceğime inandıran canım abim Abdullah YALIMOL‟a, can kardeĢim Mustafa YALIMOL‟a ve tüm tez dönemi süresince küçük kızlarımızla ilgilenerek uygun bir ders çalıĢma ortamı sağlayan ve tezin dizgi çalıĢmalarında bana yardımcı olan sevgili eĢim Ömer Faruk HATAY ve onun ailesine sonsuz teĢekkür ederim.
En zorlu anlarımda bile yüzümü gülümseten minik kızlarım Miray ve Asel, bu süreçte sizlere fazla vakit ayıramadığım için özür dilerim. Sizleri çok seviyorum minik kuzularım.
AyĢe Gamze HATAY KONYA – 2020
iii
ĠÇĠNDEKĠLER
TEġEKKÜR ... ĠĠ ĠÇĠNDEKĠLER ... ĠĠĠ TEZ KABUL ... VĠ TEZ ÇALIġMASI ORĠJĠNALLĠK RAPORU ... VĠĠ BĠLĠMSEL ETĠK BEYANNAMESĠ ... VĠĠĠ KISALTMALAR ... ĠX ÖZET ... X ABSTRACT ... XĠ BÖLÜM 1 ... 1 1 GĠRĠġ ... 1 1.1 Problem Durumu ... 1 1.2 AraĢtırmanın Amacı ... 3 1.3 AraĢtırmanın Önemi ... 3 1.4 Problem Cümlesi ... 4 1.4.1 Alt Problemler ... 4 1.5 Varsayımlar ... 5 1.6 Sınırlılıklar ... 5 1.7 Tanımlar ... 5 BÖLÜM 2 ... 6
2 KAVRAMSAL ÇERÇEVE VE LĠTERATÜR TARAMASI ... 6
2.1 Problem Nedir? ... 6
2.2 Problem Türlerinin Sınıflandırılması ... 7
2.2.1 Sıradan (Rutin) Problem ... 7
2.2.2 Sıradan Olmayan (Rutin Olmayan) Problem ... 8
2.3 Problem Çözme Nedir? ... 9
2.4 Problem Çözme Süreci ... 10
2.4.1 Problemi Anlama ... 11
2.4.2 Plan Yapma ... 12
2.4.3 Planı Uygulama ... 12
2.4.4 Çözümü Değerlendirme ... 13
2.5 Problem Çözme Stratejileri ... 13
2.5.1 Sistematik Liste Yapma ... 14
iv
2.5.3 Bağıntı Bulma ... 16
2.5.4 Problemi BasitleĢtirme ... 17
2.5.5 Geriye Doğru ÇalıĢma ... 18
2.5.6 Tahmin ve Kontrol ... 20
2.5.7 Denklem ve EĢitsizlik Kurma ... 21
2.5.8 Tablo Yapma ... 22
2.5.9 Muhakeme Etme ... 23
2.5.10 Canlandırma ... 24
2.6 Ġlgili AraĢtırmalar ... 25
2.6.1 Problem Çözme Ġle Ġlgili Literatür Taraması ... 25 _Toc52786179 2.6.2 Ders Kitaplarının Ġncelenmesi Ġle Ġlgili Literatür Taraması ... 31
BÖLÜM 3 ... 37
3 YÖNTEM ... 37
3.1 AraĢtırmanın Modeli ... 37
3.2 Ġncelenen Kitaplar ... 37
3.3 Veri Toplama Araçları ... 38
3.4 Verilerin Toplanması ... 40
3.5 Verilerin Analizi ... 41
BÖLÜM 4 ... 42
4 BULGULAR ... 42
4.1 K1 ve K2 Ders Kitaplarındaki Çözümlü Problemlerin Problem Çözme Basamaklarının Çözüm AĢamalarına Göre Kullanım Durumlarını Gösteren Bulgular . 42 4.1.1 Tek AĢamalı ... 42
4.1.2 Ġki AĢamalı ... 43
4.1.3 Üç AĢamalı ... 44
4.1.4 Dört AĢamalı ... 44
4.2 K1 ve K2 Ders Kitaplarındaki Çözümlü Problemlerin Problem Çözme Becerilerini GeliĢtirmesi Bakımından Ġncelenmesine ĠliĢkin Bulgular ... 46
4.2.1 K1 ve K2 Ders Kitaplarındaki Çözümlü Problemlerin “Problemi Anlama” Basamağını Kullanım Durumlarına ĠliĢkin Bulgular ... 47
4.2.2 K1 ve K2 Ders Kitaplarındaki Çözümlü Problemlerin “Plan Yapma” Basamağını Kullanım Durumlarına ĠliĢkin Bulgular ... 60
4.2.3 K1 ve K2 Ders Kitaplarındaki Çözümlü Problemlerde “Planı Uygulama” Basamağını Kullanım Durumlarına ĠliĢkin Bulgular ... 66
4.2.4 K1 ve K2 Ders Kitaplarındaki Çözümlü Problemlerin “Çözümü Değerlendirme” Basamağını Kullanım Durumlarına ĠliĢkin Bulgular ... 69
4.3 K1 ve K2 Ders Kitaplarındaki Çözümlü Problemlerin Problem Çözme Stratejilerini Ġçerme Durumları Bakımından Ġncelenmesine ĠliĢkin Bulgular ... 79
4.3.1 Sistematik Liste Yapma ... 82
4.3.2 ġekil veya Diyagram Çizme ... 83
v
4.3.4 Problemi BasitleĢtirme ... 86
4.3.5 Geriye Doğru ÇalıĢma ... 88
4.3.6 Tahmin ve Kontrol ... 90
4.3.7 Denklem ve EĢitsizlik Kurma ... 92
4.3.8 Tablo Yapma ... 93
4.3.9 Muhakeme Etme ... 95
4.3.10 Canlandırma ... 97
BÖLÜM 5 ... 99
5 TARTIġMA, SONUÇ VE ÖNERĠLER ... 99
5.1 TartıĢma ve Sonuç ... 99
5.1.1 Ġncelenen Ders Kitaplarındaki Çözümlü Problemlerin Problem Çözme Becerilerini GeliĢtirmesi Bakımından Ġncelenmesine ĠliĢkin TartıĢma ve Sonuç ... 99
5.1.2 Ġncelenen Ders Kitaplarındaki Çözümlü Problemlerin Problem Çözme Stratejilerini Ġçerme Durumları Bakımından Ġncelenmesine ĠliĢkin TartıĢma ve Sonuç ... 106
5.2 Öneriler ... 107
KAYNAKÇA ... 108
EKLER ... 113
ix
KISALTMALAR
MEB: Milli Eğitim Bakanlığı
NCTM (National Council of Teachers of Mathematics): Ulusal Matematik
Öğretmenleri Konseyi
OECD (Organisation for Economic Co-operation and Development): Ekonomik
Kalkınma ve ĠĢbirliği Örgütü
PISA (Programme for International Student Assessment): Uluslararası Öğrenci
x
ÖZET
Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanlar Eğitimi Anabilim Dalı Matematik Eğitimi Bilim Dalı
Yüksek Lisans Tezi
7. SINIF MATEMATĠK DERS KĠTAPLARININ PROBLEM ÇÖZME
BECERĠLERĠNĠ GELĠġTĠRMESĠ VE STRATEJĠLERĠNĠ ĠÇERMESĠ BAKIMINDAN
ĠNCELENMESĠ AyĢe Gamze HATAY
Bu araĢtırmada; 2019 – 2020 öğretim yılında ülkemizde okutulması önerilen iki farklı 7.sınıf matematik ders kitabında yer alan çözümlü problemlerin, problem çözme becerilerini geliĢtirmesi ve stratejilerini içermesi bakımından incelenmesi amaçlanmıĢtır.
ÇalıĢmada nitel araĢtırma yöntemlerinden doküman incelemesi yöntemi kullanılmıĢtır. AraĢtırmada, veri toplamak amacıyla Gürel (2018)‟in çalıĢmasında kullanmıĢ olduğu veri analiz çerçevesinden yararlanarak hazırlanan Problem Kontrol Listesi ve Problem Çözme Stratejilerini Belirleme Formu kullanılmıĢtır. Bu araĢtırmada, önerilen iki farklı kitapta bulunan toplam 674 çözümlü problem incelenmiĢtir. Doküman incelemesi yoluyla elde edilen veriler, nitel veri analiz türlerinden betimsel analiz yöntemi ile incelenmiĢtir. Bu bağlamda incelenen problemlere ait bulgulara iliĢkin öğrenme alanlarına göre frekans ve yüzde değerleri hesaplanmıĢtır.
AraĢtırmanın bulgularına göre incelenen ders kitaplarında yer alan çözümlü problemlerin, problem çözme süreçlerinden; çoğunlukla “Planı Uygulama”, daha sonra “Plan Yapma” basamağını içerdiği belirlenmiĢtir. Ayrıca incelenen ders kitaplarındaki çözümlü problemlerin öğrenme alanlarına ve problem çözme basamaklarına göre dağılımında dengesizlik bulunduğu gözlenmiĢtir. Her iki ders kitabında yer alan çözümlü problemlerin problem çözme stratejilerini kullanma düzeylerinin yüksek olduğu belirlenmiĢ olup; çoğunlukla „ġekil veya Diyagram Çizme‟ ve „Denklem ve EĢitsizlik Kurma‟ stratejilerine yer verdikleri, diğer stratejileri çok az kullandıkları ortaya çıkmıĢtır.
Anahtar Kelimeler: Problem Çözme, Problem Çözme Becerileri, Problem Çözme Stratejileri, Matematik Ders Kitabı.
xi
ABSTRACT
Department of Secondary Science and Mathematics Education Mathematics Education Program
Master Thesis
INVESTIGATION OF 7TH GRADE MATHEMATICS COURSE BOOKS IN POINT OF THE DEVELOPMENT OF PROBLEM SOLVING SKILLS AND PROBLEM
SOLVING STRATEGIES AyĢe Gamze HATAY
In this study, it is aimed to examine the solved problems in two different 7th-grade mathematics textbooks that are recommended to be taught in our country for the 2019-2020 academic year, in terms of developing problem-solving skills and including strategies.
Document analysis method, one of the qualitative research methods, was used in the study. The Problem Checklist and the Problem Solving Strategies Determination Form prepared by using the data analysis framework that Gürel (2018) used in his study were used to collect data in the study. In this study, a total of 674 solved problems in two different books that are recommended were examined. The data obtained through document analysis were analyzed using the descriptive analysis method, one of the qualitative data analysis types. In this context, frequency and percentage values were calculated according to the learning areas related to the findings of the examined problems.
It is designated that according to findings of the survey, soluted problems that take place in analysed text boks include mostly “Carrying Out the Plan” later “Devising a Plan” which are of the processes of solving problems. In addition, it was observed that there was an imbalance in the distribution of the solved problems in the analyzed textbooks according to learning areas and problem solving steps. It has been determined that the use of problem solving strategies for the solved problems in both textbooks is determined to be high. In addition, both textbooks mostly include 'Drawing Figures or Diagrams' and 'Establishing Equations and Inequalities' strategies; It turns out that they use little of other strategies.
Keywords: Problem Solving, Problem Solving Skills, Problem Solving Strategies, Mathematics Textbook
1
BÖLÜM 1 1 GĠRĠġ
Sürekli geliĢen ve değiĢen insan düĢüncesi ile bilim ve teknoloji; insanların geleceği kontrol altına alabilme gücünü ve yeteneğini ortaya çıkarmıĢtır. Bu gücün ve yeteneğin kullanılabilmesi ve artırılabilmesi için insanoğlunun gelecekte hangi donanımlara sahip olması gerektiği belirlenmekte ve buna yönelik birtakım düzenlemeler yapılmaktadır (OECD, 2013; Aktaran: Çepni, 2016: 169). YaĢanan bu geliĢme ve değiĢmelerden dolayı ülkeler; eğitim sistemlerinde ve öğretim müfredatlarında sık sık değiĢiklik yapma ihtiyacı hissetmektedirler. Bu ihtiyacın sonucu olarak öğretim müfredatlarında yapılan düzenlemelerin ve yapılan değiĢikliklerin ders kitaplarına yansıtılmasını, dolayısıyla ders kitaplarının yeniden yazılmasını gerektirmektedir.
Bu geliĢmelere paralel olarak ülkemizde de Mili Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu BaĢkanlığınca zaman - zaman düzenlemelere gidilmiĢtir. Bu kapsamda Yayınevleri veya hizmet birimlerince hazırlanıp Mili Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu BaĢkanlığına gönderilen taslak ders kitaplarının mevcut müfredata uygunluğu altı panelist (en az ikisi alanında doktora ve üstü diplomaya sahip dört alan eğitimcisi /uzmanı ile bir görsel tasarım uzmanı ve bir dil uzmanı) tarafından elektronik ortamda incelenir. Hazırlanan bireysel raporlar ortak panel toplantısında değerlendirilerek ortak panel raporu oluĢturulur. Bu toplantı sonrasında panelistler taslak ders kitabını dört kritere (Ġçeriğin Anayasa ve kanunlara uygunluğu, içeriğin bilimsel olarak yeterliliği, içeriğin eğitim ve öğretim programının kazanımlarını gerçekleĢtirme yeterliliği, görsel tasarımın ve içerik tasarımının, öğrenmeyi destekleyecek nitelikte olması ve öğrencilerin geliĢim özelliklerine uygunluğu) göre oylarlar. Oylama sonucunda geçerli puanı almıĢ olan taslak ders kitabı ve oluĢturulan ortak panel raporu kurulda görevli uzmanların değerlendirmesine sunulur. Değerlendirme sonucunda yayınevi ve hizmet birimleri tespit edilen düzeltmeleri gerçekleĢtirerek kitapları basıma hazır hâle getirirler (MEB, 2019a: 11).
1.1 Problem Durumu
Bilim ve teknolojide yaĢanan geliĢmeler, bireyin bilgiye ulaĢımını kolaylaĢtırmıĢtır. Bu yüzden bilgiyi biriktiren insan modeli, yerini; bilgiyi sorgulayan, düĢünen, tartıĢan, sorun çözebilen ve liderlik yapabilen insan modeli almıĢtır. YaĢanan
2
hızlı değiĢime ayak uydurabilen bireyler yetiĢtirebilmek için, eğitim alanında da değiĢim kaçınılmaz hale gelmiĢtir (ġenocak ve TaĢkesenligil, 2005).
Bu hızlı değiĢim, eğitim sistemlerinin kendisini yenilemesi gerektiğini ortaya çıkarmıĢ ve sonuçta eğitim sistemleri bir takım değiĢimler geçirmiĢtir. Bu değiĢimlerle birlikte; sadece bilgiyi toplayan birey değil, bilgiyi üreten ve karĢılaĢtığı sorunlara çözüm üretebilen bireyler yetiĢtirmek amaç edinilmiĢtir. Bireyler hayatlarında karĢılaĢtığı sorunlarla, problem çözmeyi öğrenerek baĢa çıkabilmektedir. Bu davranıĢı etkin bir hale getirmek için bireylerin problem durumuna uygun stratejiler kullanmaları gerekmektedir (Ulu, 2008). GerçekleĢtirilen reform hareketleri ile problem çözmeye ilköğretim matematik müfredatının tüm aĢamalarında yer verilmiĢtir (NCTM, 2000). Ülkemiz Milli Eğitim Bakanlığı (MEB) ilköğretim matematik öğretim programında da; problem çözmenin bireylere kazandırılması gereken temel bir beceri olduğu belirtilmiĢtir (MEB, 2005). MEB tarafından 2005 yılında değiĢtirilen matematik öğretim programında; öğrencilerin inceleme yapabilecekleri, keĢfedebilecekleri, problem çözebilecekleri ve çözümlerini arkadaĢları ile paylaĢıp tartıĢabilecekleri ortamlar oluĢturmayı hedeflemiĢtir (Kayan ve Çakıroğlu, 2008: 218). MEB tarafından 2018 yılında güncellenen ortaokul matematik öğretimi programında yer alan matematik eğitiminin amaçları incelendiğinde; matematik problemlerini çözme sürecinde kendi matematiksel düĢünce ve akıl yürütmelerini geliĢtirebilecek ve bunları günlük hayattaki problemlerin çözümünde kullanabilecek bireylerin yetiĢtirilmesi hedeflenmektedir (MEB, 2018: 6). Matematik öğretim programlarında; problem çözmenin matematiğin herbir konusuna entegre edilmesi gerektiği vurgulandıkça problem çözme ve problem çözme süreçlerini incelemek önemli hale gelmiĢtir (Kayan ve Çakıroğlu, 2008: 219).
Ders kitapları, öğretim programlarının hedeflerini gerçekleĢtirmeyi amaçlayan öğretim araçlarından biridir (Kılıç ve Seven, 2007: 117). Ders kitapları, geliĢmiĢ veya geliĢmekte olan ülkelerde önemli bir eğitim aracı olarak kullanılmaktadır. Örneğin; Japon öğretmenler, ders esnasında deprem meydana gelmesi halinde, kurtarılması gereken öncelikli eĢyalar arasında kitapları da saymaktadırlar (Demirel ve Kıroğlu, 2019: 3). Amerika BirleĢik Devletleri‟nde gerçekleĢtirilen bir araĢtırmanın sonucuna göre, öğrenciler sınıfta geçirdikleri zamanın yaklaĢık %80‟inde ders kitaplarını kullanmakta ve ders kitaplarıyla ilgili etkinlikler yapmaktadırlar (Semerci, 2004: 49). Yayımlanan öğretim programlarının uygulanmasında kullanılan ders kitapları,
3
günümüzde de eğitimin temel bilgi kaynağı olma özelliğini korumaktadır (Dalkıran, 2013: 201).
Bu çalıĢmada; Milli Eğitim Bakanlığı tarafından dağıtılan ve 2019 – 2020 öğretim yılında ülkemizde okutulması önerilen 7.sınıf matematik ders kitaplarında yer alan çözümlü problemler, problem çözme becerilerini geliĢtirmesi ve çözüm stratejilerini içermesi yönünden incelenmektedir.
1.2 AraĢtırmanın Amacı
Problem çözme konusuna dair yapılan araĢtırmalarda, genellikle öğrencilerin veya öğretmenlerin problem çözme becerilerini veya problem çözerken kullandıkları strateji düzeylerini ve problem çözme becerilerinin öğretimine yönelik çalıĢmalar bulunmaktadır (Yazgan ve BintaĢ, 2005; Altun ve Arslan, 2006; Uysal, 2007; Çelebioğlu, 2009).
Problem çözme konusunda ders kitaplarının incelenmesine dair ülkemizde az sayıda çalıĢmanın mevcut olması bizi bu araĢtırmayı yapmaya yöneltmiĢtir ( Hacısalihoğlu Karadeniz, 2018; Çelik, 2019).
Bu bağlamda araĢtırmanın amacı; 2019-2020 öğretim yılında ülkemizde okutulması önerilen ortaokul matematik ders kitaplarından bazılarında yer alan çözümlü problemleri, problem çözme becerilerini ve çözüm stratejilerini içermesi bakımından incelemektir.
1.3 AraĢtırmanın Önemi
Milli Eğitim Bakanlığınca hazırlanan matematik öğretim programının genel amaçlarında, problem çözme konusuna oldukça önem verilmektedir. Milli Eğitim Bakanlığınca 2018 yılında güncellenerek yayımlanan ortaokul matematik öğretim programında yer alan matematik eğitiminin genel amaçları; “problem çözme sürecinde kendi düĢünce ve akıl yürütmelerini rahatlıkla ifade edebilecek, baĢkalarının matematiksel akıl yürütmelerindeki eksiklikleri veya boĢlukları görebilecek, matematiği öğrenmede deneyimleriyle matematiğe yönelik olumlu tutum geliĢtirerek matematiksel problemlere öz güvenli bir yaklaĢım geliĢtirecek bireyler yetiĢtirilmesi hedeflenmektedir.” biçiminde ifade edilmiĢtir (MEB, 2018).
Milli Eğitim Bakanlığı öğretim programları temel alınarak ders kitaplarının hazırlanmıĢ olması beklenmektedir. Bir baĢka ifadeyle, hazırlanan öğretim
4
programındaki hedefleri gerçekleĢtirebilmek için ders kitaplarının programa uygun olarak hazırlanmıĢ olması gerekmektedir (Arslan ve Özpınar, 2009a).
Öğretim programlarını yansıtan ders kitapları, en çok kullanılan öğretim materyali olarak günümüzde hala önemini korumaktadır. Ders kitapları; öğrenme – öğretme sürecinin temel araçlarından biridir ve okullarımızın üstlendiği bireyin toplumsal, sosyal ve ekonomik yönden geliĢtirilmesi iĢlevini gerçekleĢtirmesi bakımından önemlidir (Kızılçaoğlu, 2003).
Tüm bunlar dikkate alındığında bu çalıĢma, ortaokul matematik ders kitaplarının matematik programında yer alan problem çözme becerisi ve problem çözme stratejilerini içeren genel amaçlarla ne derecede örtüĢtüğünün araĢtırılması bakımından önemlidir. Ayrıca bu çalıĢma; ders kitabı yazarlarına hangi noktalara dikkat etmeleri ve hangi noktaları geliĢtirmeleri gerektiği hususunda, öğretmenlere ise ders kitaplarındaki sınırlılıkların farkına varıp gerekli önlemleri almaları konusunda yardımcı olması bakımından da önemlidir.
1.4 Problem Cümlesi
Bu araĢtırmanın problem cümlesini; “2019 – 2020 öğretim yılında ülkemizde okutulması önerilen 7.sınıf matematik ders kitapları, problem çözme becerilerini geliĢtirmesi ve problem çözme stratejilerini içerme durumları bakımından nasıldır?” sorusu oluĢturmaktadır.
1.4.1 Alt Problemler
Bu çalıĢmada aĢağıdaki alt problemlere cevap aranmıĢtır.
a. 7.sınıf matematik ders kitapları, problem çözme becerilerini geliĢtirmesi
bakımından nasıldır?
7.sınıf matematik ders kitaplarında yer alan çözümlü problemlerin, problemi anlama basamağını kullanım durumları nasıldır?
7.sınıf matematik ders kitaplarında yer alan çözümlü problemlerin, plan yapma basamağını kullanım durumları nasıldır?
7.sınıf matematik ders kitaplarında yer alan çözümlü problemlerin, planı uygulama basamağını kullanım durumları nasıldır?
7.sınıf matematik ders kitaplarında yer alan çözümlü problemlerin, çözümü değerlendirme basamağını kullanım durumları nasıldır?
5
7.sınıf matematik ders kitaplarında yer alan çözümlü problemlerin, problem çözme basamaklarını çözüm aĢamalarına göre kullanım durumları nasıldır?
b. 7.sınıf matematik ders kitaplarında yer alan çözümlü problemler, problem
çözme stratejilerini içerme durumları bakımından nasıldır?
c. 7.sınıf matematik ders kitaplarında yer alan çözümlü problemlerin, problem
çözme becerilerini geliĢtirmesi ve problem çözme stratejilerini içerme durumlarının öğrenme alanlarına göre değiĢimi nasıldır?
1.5 Varsayımlar
Bu araĢtırmada;
AraĢtırma kapsamında seçilen ders kitaplarının, problem çözme becerilerini geliĢtirmesi ve problem çözme stratejilerini içermesi bakımından analiz etmek için uygun olduğu varsayılmıĢtır.
Eğitim ortamında kullanılan tek kaynak kitabın ders kitapları olduğu varsayılmıĢtır.
Ġncelenen kitaplarda çözümü yapılan her türlü örnek, çözümlü problem olarak kabul edilmiĢtir.
Ders kitaplarındaki çözümlü problemlerin öğrencilerin problem çözme becerilerini geliĢtirdiği varsayılmıĢtır.
1.6 Sınırlılıklar
Bu araĢtırma, 2019 – 2020 öğretim yılında Milli Eğitim Bakanlığı tarafından okutulması önerilen iki tane 7.sınıf matematik ders kitabından elde edilen verilerle sınırlıdır. Ayrıca araĢtırmada, problem çözme basamakları denildiğinde Polya (1997)'nın problem çözme basamakları kastedilmektedir.
1.7 Tanımlar
Problem: Bireyin ilk kez karĢılaĢtığı ve çözümüne ulaĢmak için basit bir yolun
bulunmadığı ancak bireyin bilgi ve deneyimlerini kullanarak çözüm yoluna kavuĢabildiği durumlardır (Toluk ve Olkun, 2002: 568).
Problem Çözme: Ne yapılacağının bilinmediği durumlarda, yapılması gerekeni
6
BÖLÜM 2
2 KAVRAMSAL ÇERÇEVE VE LĠTERATÜR TARAMASI
Bu bölüm; problem, problem türleri, problem çözme, problem çözme süreci ve problem çözme stratejileri ile bu alanda yapılmıĢ ilgili araĢtırmalar alt baĢlıklarından oluĢmaktadır.
2.1 Problem Nedir?
Literatürde problem kavramı ile ilgili birçok tanıma yer vermiĢtir. Burada bazılarını veriyoruz.
Heddens ve Speer (1997)‟e göre, problem denilince daha çok dört iĢleme dayalı matematik problemleri akla gelmektedir (Aktaran: Altun, 2000: 87). Ancak bu kavram, bahsedilenden daha geniĢ bir anlam ifade eder. Yani bir problem, yalnızca matematikle ilgili olmak zorunda değildir. Problem, kiĢinin bir Ģeyler yapmak isteyip de ne yapacağına çarçabuk karar veremediği veya bilemediği bir durumdur (Altun, 2000: 88).
Hiebert, Carpenter, Fennema, Fuson, Wearne, Murray, Human ve Olivier (1997)‟ye göre problem, herhangi bir görev ya da etkinlik olarak tanımlanmıĢtır. Ancak
bu durumun çözümlenmesi aĢamasında bireylerin daha önceden ezberledikleri; kurallar,
yöntemler ya da bireyler tarafından belirlenmiĢ doğru çözüm metotları
bulunmamaktadır (Aktaran: Van De Walle, Karp ve Bay-Williams, 2012: 33).
Posamentier ve Krulik (2016: 2) problemi, öğrencilerin ilk defa karĢılaĢtığı ve
çözümünü doğrudan bilmediği bir durum olarak ifade etmiĢtir. Onlara göre, çözüm
yolunun gösterildiği benzer tip sorular problem yerine alıĢtırma olarak adlandırılmıĢtır.
Yazgan ve Arslan (2017: 2) ise problemi, çözüm gerektiren fakat çözümün mevcut bilgilerle bir bakıĢta belli olmadığı durum olarak tanımlamıĢlardır. Onlara göre problem; araĢtırma, tartıĢma ya da bir düĢüme meselesidir.
Verilen tanımlardan yola çıkarak problemi; bireyin hayatında ilk kez karĢılaĢtığı ve çözümüne hemen ulaĢamadığı, çözüm için bilgi ve deneyimlerini kullanmasını gerektiren bir durum olarak tanımlayabiliriz.
Literatürde yer alan problem tanımlarında, problemin üç temel özelliği üzerinde durulmaktadır. Bunlar;
1- Problemde, öğrencilerin seviyelerinin çok üstünde olan ve anlayamayacağı ifadeler yer almamalıdır.
7
Örnek 1: “Toplamları 41 eden iki sayının kareköklerinin toplamı 9 ediyor, bu
sayılar kaçtır?” sorusu lise öğrencisi için problemdir. Ancak problem metninde bir ilkokul öğrencisinin anlayamayacağı ifadeler yer aldığından, bu ilkokul seviyesindeki öğrenciler için bir problem değildir.
2- Problemin çözümünü bulma konusunda kiĢinin hazırlıksız olması gerekir.
Örnek 2: “25+19 = ?” Ģeklindeki sorular; “iki basamaklı doğal sayıları, iki basamaklı doğal sayılarla toplar.” kazanımına sahip olan bir ikinci sınıf öğrencisi için problem değil, alıĢtırmadır. Toplama kavramını kazanmıĢ ancak iki basamaklı sayılarla toplama iĢlemi konusunda bilgi ve becerisi olmayan bir öğrenci için problem olabilir.
3- Problemin çözümü aniden ortaya çıkmamalı ve bir çaba gerektirmelidir.
Örnek 3: “15 elmanın 7‟ sini yedim, kaç elmam kaldı” sorusu; 2.sınıf öğrencisi için önceden karĢılaĢmamıĢ olmak kaydıyla bir problemdir. Ancak 4.sınıf öğrencisi için sorunun cevabı apaçık olduğundan problem değildir (Altun, 2000: 88).
Yine örneklerden de anlaĢıldığı gibi, bir öğrenci için problem olan bir durum diğer öğrenci için problem olmayabilir. Çünkü bazı bireyler bir durumla daha önce karĢılaĢtıkları halde, bazıları hiç karĢılaĢmamıĢ olabilir (Baykul, 2000: 60).
2.2 Problem Türlerinin Sınıflandırılması
Literatüre bakıldığında problem türleri genellikle, sıradan (rutin) problem ve sıradan olmayan (rutin olmayan) problem Ģeklinde sınıflandırılmıĢtır (Altun, 2000: 89; Yazgan ve Arslan, 2017: 4).
2.2.1 Sıradan (Rutin) Problem
Bu tür problemler, ders kitaplarında bulunan dört iĢlem becerisi gerektiren problemlerdir. Bu problemlerin öğretimi, iĢlem becerilerini geliĢtirmesi ve öğrencilerin problemdeki verileri matematiksel ifade olarak yazmayı öğrenmesi açısından önemlidir (Altun, 2000: 89).
Polya (1957)‟ya göre, bir problemin çözümü hiçbir yenilik yapılmadan bilinen bir örneği adım-adım izleyerek yapılabiliyorsa bu problem sıradandır. Bu tür problemlerin çözümünde biraz dikkat ve sabır yeterli olmaktadır. Yani bu aĢamada bireylerin kendi yaratıcı yeteneklerini ortaya çıkarma gibi bir durumu olmayacaktır. (Aktaran: Yazgan ve Arslan, 2017: 4). AĢağıda sıradan (rutin) probleme örnek verilmiĢtir.
8
Örnek: “Ali 212 sayfalık bir kitabın birinci gün 30, ikinci gün 42 sayfasını
okudu. Üçüncü gün kitabın yarısına geldiğine göre üçüncü gün kaç sayfa kitap okumuştur (Altun, 2000: 89)?”
2.2.2 Sıradan Olmayan (Rutin Olmayan) Problem
Matematik öğretiminde alıĢtırma niteliğindeki rutin problemlerle yetinilmemeli, rutin olmayan problemlere de yer verilmelidir (MEB, 2013: 3). Souviney (1989)‟e göre; bu tür problemlerin çözümü dört iĢlem becerisinin ötesinde verileri organize etme, sınıflandırma ve iliĢkileri görme gibi üst düzey becerileri gerektirmektedir (Aktaran: Altun, 2000: 89).
Sıradan olmayan (rutin olmayan) problemlerde genellikle gerçek hayatta karĢılaĢılabilecek konular bulunmaktadır. Öğrenci bu tür problemleri çözerek günlük yaĢamdaki olayların bazı matematik kurallarına dayandığını keĢfeder. Bu durum öğrencilerin problem çözme yeteneklerini geliĢtirmesinin yanında, matematiğe karĢı olumlu tutum geliĢtirmesini de sağlar (Altun, 2000: 90).
Polya (1957)‟ye göre; öğrencilere sıradan matematiksel iĢlemlerinin mekanik performansından baĢka bir Ģey öğretmemek affedilmez bir hatadır. Bu durum yemek kitabının da altındaki bir düzeydedir. Çünkü yemek tariflerinde bile bireylerin hayal gücünü geliĢtirecek bir alan vardır, sıradan problemler ise buna fırsat vermez (Aktaran: Yazgan ve Arslan, 2017: 4).
AĢağıda verilen örnek sıradan olmayan (rutin olmayan) problemin açıklanmasına yardımcı olacaktır.
Örnek: “Bir adam bir oyundan; bir tilki, bir ördek ve bir çuval mısır kazanıyor. Bununla birlikte bir nehrin bir kıyısından öbür kıyısına geçmek zorunda, fakat bir kayık var ve çok küçük. Bu kayık adamla birlikte ancak birini alabiliyor. Mısırı geçirse tilki ördeği yiyebilir, tilkiyi geçirse bu durumda da ördek mısırı yiyebilir. Hiçbir zayiat olmadan bunları karşıya nasıl geçirebilir (Altun, 2000: 89)?”
Bu örneğin çözüm aĢamasında dört iĢlem yapmanın hiç gerekmediği ortadadır. Matematik vb. derslerde kullanılan formüller ve genellemeler de gerçek hayat problemlerinin çözümüdür. Örneğin; 1‟den itibaren n tane tek sayının toplamı ‟dir. ÇağdaĢ öğretim gereği bu formüller veya genellemeler öğrencilere buldurulmalıdır (Altun, 2000: 90).
MEB (2013: 3)‟e göre ise verilen problemin türünü belirlemek bireylerin bilgi birikimine bağlıdır. Örneğin “315 TL‟si olan Emine, tanesi 15 TL olan dolma
9
kalemlerden kaç tane alır?” gibi bir problem 2.sınıf öğrencilerini akıl yürüterek çözüm stratejilerini bulmaya yönelttiğinden onlar için rutin olmayan bir problemdir. Aynı problem 4.sınıf öğrencileri için bölme iĢlemini uygulayacakları rutin bir problemden ibarettir.
2.3 Problem Çözme Nedir?
“Problemin doğası gereği, her problem çözülmeyi beklemektedir (Dündar, 2014: 1294). Ġnsan yaĢamında birçok güçlükle karĢılaĢır. Bu güçlüklerin üstesinden gelen bireyler yetiĢtirmek çağdaĢ eğitimin hedeflerindendir. Problem çözme becerileri geliĢmiĢ bireyler; bilginin hamallığını yapmazlar, bilgiyi yaĢamlarında etkin kullanırlar. Bu yüzden problem çözme ve onun öğretimi son derece önemlidir (Altun, 2000: 89).
GeçmiĢte özellikle ilköğretimdeki öğrencilere, problemin türlerine göre çözüm yolları gösterilirdi. Öğrenci bir problemin çözüm yolunu hatırlar, bu yolu probleme uygulardı. Örneğin; faiz problemlerinin çözümü, basit veya bileĢik orantı yoluyla yapılırdı. Ancak böyle bir yaklaĢımda, öğrenci verilen problemi daha önceden çözüm yolunu öğrendiği problem türüne benzetemezse veya bu yolu hatırlayamazsa çözüm aĢamasında baĢarısız olmaktadır. Günümüzde ise öğrencilere bir iĢlemin nasıl yapıldığı öğretilip bu iĢlemin günlük yaĢam üzerinde uygulaması yaptırılmaktadır (Baykul, 2000: 61).
Toluk ve Olkun (2002: 569)‟a göre; problem çözme, bireylerin önceki bilgilerinin sentezini yaparak yeni bir problemin çözümünde bu bilgileri kullandığı bir süreçtir.
Altun (2000: 88) problem çözmeyi; “ne yapılacağının bilinmediği durumlarda yapılması gerekeni bilmektir” Ģeklinde tanımlamıĢtır. Buradan problem çözmenin sadece doğru sonuca ulaĢmadan ibaret olmadığı, aynı zamanda zihinsel süreç ve becerileri içeren bir eylem olduğu söylenebilir (Çetin, 2016: 34).
BaĢka bir tanıma göre problem çözme; çözüm yolu önceden bilinmeyen ve çözümü aĢikâr olmayan problemleri, öğrencilerin mevcut bilgileriyle akıl yürüterek çözüme kavuĢturmasıdır (MEB, 2013: 3).
Literatürde problem diye verilen durumların temel özelliklerinde, problem çözmenin önemi görülmektedir. Son yıllarda NCTM (1991) tarafından, matematik öğretiminde problem çözme, akıl yürütme ve iletiĢim gibi süreçlerin vurgulanması ve
10
öğretmenler tarafından biçimlendirilmesi gerekliliği belirtilmektedir (Aktaran: Posamentier ve Krulik, 2016: 1).
Problem çözme becerilerini geliĢtirmek, matematik öğretim programının temel amaçlarından birisidir. Buradan problem çözmenin ortaokul öğretim programındaki yeri ve önemi görülmektedir (MEB, 2013: 3).
NCTM (2000)‟ye göre; matematik öğretiminde ilginç ve iyi seçilmiĢ problemlerin çözümü matematiksel fikirlerin, bağıntıların keĢfini sağlayabilir (Aktaran: Yazgan ve Arslan, 2017: 2).
Sawada (1999) çalıĢmasında; problem çözmede Japonların neden Amerikalılardan daha iyi olduklarını araĢtırmıĢtır. AraĢtırmacı; Japonların, öğrencilerine yeni bir matematik kavramını öğretirken problem çözmeden yararlandıklarını saptamıĢtır (Toluk ve Olkun, 2002: 570).
2.4 Problem Çözme Süreci
“Problem çözmenin kuralları yok, ancak sistematiği vardır.” Yani, belirli adımlar atıldığında çözüm kesin olarak bulunamamaktadır. Bu aĢamada; öğretmen öğrencilerine problem çözme sistematiğini kavratmalı, sistematiğin uygulanması aĢamasında kullanılan problem çözme becerilerini ve stratejilerini kazandırmalıdır (Altun, 2000: 93).
Problem çözme esnasında; beynimizde hangi iĢlemlerin yapıldığı, problem çözme iĢinin nasıl gerçekleĢtiği kesin olarak bilinmemekle birlikte bu süreçteki bazı adımlar, yapılan araĢtırmalarla ayırt edilebilmektedir (Baykul, 2000: 63). Öğrencilere bu aĢamaların açıkça öğretiminin yapılması, problem çözme yeteneklerinin geliĢmesini sağlayabilir (Van De Walle, Karp ve Bay-Williams, 2012: 42).
Problemi çözebilmek için yapılması gereken ilk Ģey sorunu tespit etmektir. Bu süreç problemin fark edilmesi ile baĢlar. Daha sonra problem durumuyla ilgili kaynaklardan bilgi toplanır. Problemi çözecek olan kiĢi, eldeki verilere uygun hipotezler geliĢtirip en iyi çözüm yolunu bulur. Böylece problemin çözümü gerçekleĢmiĢ olur
(Ünsal ve Ergin, 2011: 74).
Rutin ve rutin olmayan problemlerin çözüm süreçleri konusunda en kabul gören yaklaĢım George Polya (1887-1985)‟nın dört aĢamalı sürecidir. Bu dört aĢamalı süreç Ģöyledir (Altun, 2000: 93):
11 2. Çözümle ilgili stratejinin seçilmesi, 3. Seçilen stratejinin uygulanması, 4. Çözümün değerlendirilmesi.
Öğrencilerin bu aĢamalara uygun hareket etmeleri, problemi çözmeyi sağlamaz, ancak problemin çözümünü kolaylaĢtırır. Çünkü birinci aĢamada istenenlerin ne olduğu, ikinci aĢamada çözüme uygun stratejinin belirlenmesi yine problemi çözen kiĢi tarafından belirlenmektedir (Altun, 2000: 94).
Kilpatrick (1985)‟e göre; bilim ve teknolojide yaĢanan geliĢmelere uyum sağlayan bireyler yetiĢtirmek için eğitimin birinci hedefi, öğrencilere problem çözme yeteneğini kazandırmaktır. Bu yöndeki baĢarılar problem çözme sürecindeki becerilerinin geliĢimine bağlıdır (Aktaran: Aydoğdu ve Ayaz, 2008: 593).
2.4.1 Problemi Anlama
Altun (2000: 94)‟a göre, bu basamakta iki temel sorunun cevabı aranır. Bunlar: 1. Problemde verilenler nelerdir?
2. Problemde istenenler nelerdir?
Öğrenci bu soruları tam olarak yanıtlayabiliyorsa problemi anlamıĢtır. Ayrıca aĢağıdaki sorulara cevap aranarak da öğrencilerin problemi anlayıp anlamadığı belirlenebilir.
1. Öğrenci problemi etkili ve vurgulu bir Ģekilde okuyabiliyor mu? 2. Problemde eksik veya fazla bilgi bulunmakta mıdır?
3. Problemden elde elden bilgiler nelerdir?
4. Problem durumuna uygun Ģekil veya diyagram çizebiliyor mu? 5. Problemi alt problemlere bölebiliyor mu?
Eğer birey; verilen problemi kendi ifadesiyle açıklayabiliyor, özetleyebiliyor, bu duruma uygun Ģekil, Ģema çizebiliyor ve verilenler ile istenenlerin neler olduğunu yazabiliyorsa problemi anlamıĢ demektir (Baykul, 2000: 61).
Aydoğdu ve Ayaz (2008: 594)‟ın araĢtırmasına göre; problem çözmede sorun yaĢayan öğrenciler, problemi okuduklarında anlayamadıklarını ve problemin çözümü için detaylı olarak düĢünemediklerini belirtmiĢlerdir. Ayrıca problem çözme konusunda baĢarılı olan, yani günlük hayatlarında problem çözebilen öğrencilerin çoğunlukla
12
problemi tam olarak anlamaya çalıĢtıkları gözlenmiĢtir. Burada problemi anlama basamağının, problem çözme becerilerin geliĢtirmesi bakımından önemi görülmektedir.
Albert Einstein; “Bana bir problem ve 1 saat süre verilse bu sürenin 45 dakikasını problemi anlamaya, 10 dakikasını çözüm yolları üretmeye, 5 dakikasını çözmeye ayırırım.” diyerek bu basamağın önemini belirtmiĢtir (Keskin Oğan ve Öztürk, 2019: 52).
2.4.2 Plan Yapma
Baykul (2000: 61) plan yapmayı, problemin çözümüne giden en önemli adım olarak görmüĢtür. Ancak problemi anlama basamağındaki kritik davranıĢları göstermeyen birinin bu adımı gerçekleĢtiremeyeceğini söylemiĢtir. Bu aĢamada stratejilerden yararlanarak, verilenlerle istenenler arasındaki matematiksel iliĢkiler bulunmaktadır.
Eğer öğrenci bu matematiksel iliĢkiyi hemen bulamıyorsa, aĢağıda verilen sorulara cevap arayarak kendine bir plan oluĢturmalıdır (Altun, 2000: 94).
1. Daha önce, verilen probleme benzer baĢka bir problem çözdün mü? O problemin çözümünde ne yaptın?
2. Verilen problemin çözümü aĢamasında kullanacağın bir bağıntı biliyor musun?
3. Problemin çözümünü yapamadıysan buna benzer bir problem bulup çözebilir misin?
4. Planladığın çözümde bütün bilgileri kullanabiliyor musun?
5. Verilen problemin cevabı hangi değerler arasındadır? Tahmin edebilir misin? 6. Problemi parçalara ayırıp çözebiliyor musun? Çözüme ne kadar yaklaĢıyorsun?
Yukarıda verilen soruların, problemin anlaĢılmasıyla iliĢkili olduğu aĢikârdır. Probleme uygun bir stratejinin belirlenebilmesi için öncelikle problemin anlaĢılmıĢ olması gerekir (Altun, 2000: 95).
2.4.3 Planı Uygulama
Problemdeki matematiksel iliĢkiler kurulup çözümde kullanılacak iĢlemler belirlendikten sonra yapılacak iĢ, bu planların uygulanmasıdır. Planın uygulanmasından sonra problemin sonucuna iliĢkin tahmin yürütülebilir (Baykul 2000: 64). Burada
13
bahsedilen “sonucun tahmin edilmesi” ifadesi; sonucun sayısal olarak bulunması değil, sınırlarının belirlenmesi olarak söylenebilir (Baykul, 2000: 80).
Bu basamakta seçilen stratejinin kullanılması ile problem adım adım çözülür. Eğer çözüme ulaĢılamazsa bir veya ikinci basamağa geri dönülerek strateji tekrar uygulanır. Çözüme hala ulaĢılamıyorsa strateji değiĢtirilerek adımlar tekrar edilir (Altun, 2000: 95).
2.4.4 Çözümü Değerlendirme
Bu adımda; problemin çözümünde kullanılan iĢlemlerin doğru olup olmadığı ve bulunan sonucun yapılan tahmine uygunluğu kontrol edilir (Baykul, 2000: 64).
Altun (2000: 96)‟a göre; çözümü değerlendirme basamağı sonuçların kontrolünden ibaret değildir. Bu aĢama daha geniĢ bir anlama sahip olup, içerisinde birçok etkinlik barındırır. Ona göre, bu safhanın temel soruları Ģöyledir:
1. Elde edilen sonuçların doğru olup olmadığını kontrol et. 2. Problemin baĢka bir çözüm yolu var mıdır?
3. Problemin farklı Ģekillerini ifade et ve bu problemlerin çözümlerinin nasıl olacağını düĢün.
Problem çözmede baĢarılı olan öğrencilerin çoğunlukla; problemin çözüm aĢamasında kullanılacak verileri, iĢlemleri, kuralları yazma ve problemde istenilenlerin neler olduğunu belirtme, problemi kendi ifadesiyle yazma, çözüm aĢamasında kullanılan iĢlemlerin sağlamasını yapma gibi kritik davranıĢlara sahip oldukları bulunmuĢtur. BaĢarısız öğrencilerin problem çözme konusunda baĢarılı olabilmeleri için bu davranıĢların öğretilmesi gerektiği belirtilmiĢtir (Erden, 1986: 113).
2.5 Problem Çözme Stratejileri
Problem çözme sürecinde değiĢik problemleri çözebilmek için birbirinden farklı problem çözme stratejileri kullanılmaktadır. Problem çözme sürecinde birden fazla strateji birlikte kullanılabilir (MEB, 2009: 14).
Literatürde en sık rastlanılan ve kullanılan stratejiler: “Sistematik Liste Yapma, ġekil veya Diyagram Çizme, Bağıntı Bulma, Problemi BasitleĢtirme, Geriye Doğru ÇalıĢma, Tahmin ve Kontrol, Denklem ve EĢitsizlik Kurma, Tablo Yapma, Muhakeme Etme, Canlandırma” Ģeklindedir (Yazgan ve Arslan, 2017: 5).
14
2.5.1 Sistematik Liste Yapma
Verilerle ilgili tüm olasılıkları yazmayı gerektiren problemlerde oldukça kullanıĢlı bir stratejidir. Bu tür problemlerde dikkatli bir Ģekilde ve seçilmiĢ bir sırayla sistematik liste yapmak çözümü kolaylaĢtırabilir (Altun, 2000: 118). AĢağıdaki örnek, bu stratejinin mantığının anlaĢılmasını sağlayacaktır.
Örnek 1: “4 komitenin (alt kurulun) her birinin kaç üyesi olduğunu sizin belirlediğinizi düşünün. Bunlar A, B, C, D komiteleri olsun. Her komite farklı sayıda üyeye sahip olacak. A komitesi en küçük, B biraz daha büyük, C biraz daha büyük ve D en büyük komitedir. Toplam 18 tane komite üyeniz var. 18 üyeyi dört komite arasından kaç farklı biçimde dağıtabilirsiniz (Yazgan ve Arslan, 2017: 7)?”
Problemin AnlaĢılması: Bu aĢamada verilenler ve istenenler belirtilmelidir. Verilen komite üye sayısının 18 olduğu bilinmektedir. Her komitenin üye sayısının farklı sayıda olduğu söylenmiĢtir. Problemde verilen dört komitenin üye sayısının kaç farklı biçimde dağılabileceği sorulmaktadır.
Plan Yapılması: A komitesi en küçük, B biraz daha büyük, C biraz daha büyük, D en büyük ve toplam üye sayısı 18 olacak Ģekilde verilebilecek üye sayılarının sistematik olarak listelenmesi gerekmektedir.
Planın Uygulanması:
A Komitesi B Komitesi C Komitesi D Komitesi Toplam Üye Sayısı
1 2 3 12 18 1 2 4 11 18 1 2 5 10 18 1 2 6 9 18 1 2 7 8 18 1 3 4 10 18 1 3 5 9 18 1 3 6 8 18 1 4 5 8 18 1 4 6 7 18 2 3 4 9 18 2 3 5 8 18 2 3 6 7 18 2 4 5 7 18 3 4 5 6 18
Çözümü Değerlendirme: Bu basamakta olası durumlar tekrar kontrol edilip
öğrencilere bu stratejiyi baĢka problemlerde kullanabilmeleri sağlanabilir. Ayrıca farklı toplam üye sayısıyla problem tekrarlanabilir.
15
2.5.2 ġekil veya Diyagram Çizme
Bu strateji problemin neyi ifade ettiğini anlamak için görsel olarak destekleyici çizimlerin kullanılmasını içermektedir. Bu stratejinin önemini eski bir Çin atasözü Ģöyle ifade etmektedir: “Bir resim bin kelimeye bedeldir.” Problemi çözerken Ģekil veya diyagram çizmek, verilen bilgilerin göz önünde canlandırılmasını sağlayarak problemin çözüm aĢamasında önemli rol oynar (Yazgan ve Arslan, 2017: 8). AĢağıda bu stratejinin kullanımına uygun bir örnek verilmiĢtir.
Örnek 2: “Bir top 160 cm yükseklikten aşağı atılıyor ve her seferinde atıldığı yüksekliğin yarısı kadar sıçrıyor. Yere çarptığı her seferde bu şekilde sıçramaya devam ediyor. Topun atıldığı andan 5.kez zemine çarptığı ana kadar sadece aşağıya doğru toplam kat ettiği yol nedir (Yazgan ve Arslan, 2017: 42)?”
Problemin AnlaĢılması: Problemde bir topun 160 cm yükseklikten aĢağı
atıldığı verilmiĢtir. Yere çarptığı her seferde atıldığı yüksekliğin yarısı kadar yüksekliğe sıçradığı ifade edilmiĢtir. Bu topun 5.kez zemine çarptığı ana kadar aĢağıya ne kadar yol kat ettiği sorulmaktadır. Bu durum aĢağıda verilen diyagramla temsil edilebilir.
Plan Yapılması: Bu problem çizilen diyagramdan yararlanılarak çözüme kavuĢturulabilir. Burada 160 cm yükseklikten aĢağı atıldığını, her bir seferinde atıldığı yüksekliğin yarısı kadar yüksekliğe sıçradığını temsil eden mesafelerin çizimi yapılarak problemin çözümü yapılabilir.
Planın Uygulanması:
ġekle göre, topun toplam:160+80+40+20+10=310 cm sıçradığı anlaĢılmaktadır.
Çözümü Değerlendirme: Topun atıldığı yüksekliğin boyu değiĢtirilerek
16
2.5.3 Bağıntı Bulma
Problemlerin bazılarının çözümleri, sayı dizilerini içeren örüntülerden oluĢmaktadırlar. Buradaki örüntülerin kuralını keĢfetmek çözümü sağlar (Altun, 2000: 123).
Bu stratejinin önemi NCTM (2000) tarafından Ģu Ģekilde ifade edilmiĢtir: “Bağıntılar her yerdedir. Bağıntıları aramaya ve onları matematiksel olarak ifade etmeye teĢvik edilen çocuklar, matematiğin yaĢadıkları dünyaya nasıl uygulandığını anlamaya baĢlarlar. Farklı bağıntılarla çalıĢma, çocukların bilgiyi düzenleme ve sınıflandırma yeteneklerinin geliĢmesine yardım eder.” Söz konusu strateji ülkemizdeki ilkokul ve ortaokul matematik programlarında “örüntüler ve süslemeler” adıyla yer alan tek stratejidir (Aktaran: Yazgan ve Arslan, 2017: 11). Bu stratejinin bir uygulaması, aĢağıdaki örnek problemin çözümünde görülmektedir.
Örnek 3: “Aşağıdaki dizide 29.sıradaki sayıların toplamı nedir (Yazgan ve Arslan, 2017: 14) ?”
Problemin AnlaĢılması: Ġlk 6 sırası verilen dizinin 29.sırasındaki sayıların toplam değeri sorulmaktadır.
Plan Yapılması: Soruda verilen diziye göre 1.sıradaki sayıların toplamının 1, 2.sıradaki sayıların toplamının 8, 3.sıradaki sayıların toplamının 27, 4.sıradaki sayıların toplamının 64, 5.sıradaki sayıların toplamının 125, 6.sıradaki sayıların toplamının 216 olduğu görülmektedir. Bu dizinin sıralarındaki sayıların toplam değeri , , , , , , … Ģeklinde bir örüntü oluĢturmaktadır. Verilenler doğrultusunda 29.sıradaki sayıların toplam değerini bulabilmek için bağıntı bulma stratejisini uygulayalım. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41
17
Planın Uygulanması:
Çözümü Değerlendirme: Yapılan incelemeye göre çözüm bir sayı dizisinin ilerlemesine göre yapılmıĢtır. Öğrencilere farklı bir sıradaki sayıların toplamı sorulabilir veya öğrencilerden dizinin genel kuralı istenebilir.
2.5.4 Problemi BasitleĢtirme
Büyük sayılar içeren ve karmaĢık olan bazı problemler zor gibi görünebilir. Bu tür problemlerin daha basit ve daha küçük sayılarla olan versiyonlarını gözden geçirmek çözüm hakkında yol gösterebilir. Yani burada iki durumdan bahsedilebilir:
(a) Problemi basite indirgeyerek verilen problemin çözüm yolunu keĢfetmektir. (b) Problemi önce olabilecek en küçük sayı ile incelemek, daha sonra sayıları büyülterek orijinal problemin çözümünü sağlayacak bir genelleme bulmaktır (Yazgan ve Arslan, 2017: 15). AĢağıda verilen örnek bu strateji kullanılarak çözülmüĢtür.
Örnek 4: “Maurice, birbirine yaslı 7 küpü bir sıraya koymuştur. Daha sonra,
onları kırmızı sprey boya ile boyamıştır. Boyaları kuruduğunda onları birbirinden ayırmıştır. Maurice, küplerin masaya ve aynı zamanda birbirlerine dokunan yüzeylerinin boyanmadığını fark etmiştir. 7 küpün kaç yüzeyi boyanmıştır (Posamentier ve Krulik, 2016: 49)?”
Problemin AnlaĢılması: 7 küp arka arkaya sıralanmıĢtır. Kırmızı sprey boya ile boyandıktan sonra küpler ayrılmıĢtır. Ancak küplerin birbirlerine ve masaya değen kısımlarının boyanmadığı belirtilmiĢtir. Verilen küplerin boyanmayan yüz sayısı istenmektedir.
Plan Yapılması: Problemde 7 küpün sıralandığı verilmiĢtir. 7 küpün boyalı yüz
sayısını hesaplamak yerine, küp sayısının daha küçük modelleri esas alınarak inceleme 1.sıradaki sayların toplam değeri = 13
2.sıradaki sayların toplam değeri = 23 3.sıradaki sayların toplam değeri = 33 4.sıradaki sayların toplam değeri = 43 5.sıradaki sayların toplam değeri = 53 6.sıradaki sayların toplam değeri = 63
…… …….
18
yapılabilir. Önce bir küpün, sonra daha çok sayıdaki küpün boyalı yüz sayısı hesaplanarak 7 küp için kaç yüzün boyalı olduğu bulunabilir.
Planın Uygulanması:
Küp Sayısı Boyanan Yüz Sayısı
1 5
2 8
3 11
4 14
Tablo incelendiğinde; küp sayısının üç katının iki fazlasının, boyalı yüz sayısına eĢit olduğu görülmektedir. Buna göre, 7 küpün 7×3+2 = 23 yüzü boyalıdır.
Çözümü Değerlendirme: 7 küpün boyalı yüz sayısının hesaplanması yerine daha az sayıda küpün boyalı yüz sayısı hesaplanarak problem çözülmüĢtür. Böylece daha basit bir problemin çözümünden yararlanılarak istenen çözüme ulaĢılmıĢtır. Problemdeki küp sayısı değiĢtirilip öğrencilere sorulabilir ya da öğrencilerden problemin genel kuralını bulmaları istenebilir.
2.5.5 Geriye Doğru ÇalıĢma
Bazı problemlerde kiĢiye probleminde geçen olayların son durumuyla ilgili bilgiler verilir ve ilk baĢtaki durumun ne olduğu sorulur. Bu tarz problemlerin çözümünde geriye doğru çalıĢma stratejisi oldukça kullanıĢlıdır. Eğer problemde aritmetik iĢlemlerin sonucu verildiyse, iĢlemler tersine çevrilerek problemin çözümü yapılır. “Hangi sayının 3 katının iki fazlası 17 eder?” Ģeklindeki problem buna örnektir. Yani eğer bir eylemler dizisinin sonucu verildiyse, son durumdan baĢlayıp daha önceki durumların incelenmesi gerekir. Ġlk baĢtaki duruma ulaĢana kadar bu iĢlem devam ettirilmelidir (Yazgan ve Arslan, 2017: 17). AĢağıdaki örnek bu stratejiyle çözülmüĢtür.
Örnek 5: “Üç kız sahip oldukları şekerleri ortaya koydukları bir oyun oynuyorlar. Bu oyunu kaybeden kız, diğer iki kıza sahip oldukları kadar kendi şekerlerinden veriyor. Oyunu 3 tur oynuyorlar. Sonuçta her kızın oyunda bir tur kaybettiği ortaya çıkıyor. Oyunun sonunda her bir kızda 40 şeker varsa, oyun başlamadan önce her bir kızın başlangıçta ne kadar şekerinin olduğunu bulunuz (Yazgan ve Arslan, 2017: 18).”
Problemin AnlaĢılması: Üç kız sahip oldukları Ģekerleri ile bir oyun
19
kendi Ģekerlerinden vermektedir.” Ģeklindedir. Ayrıca her kızın oyunda bir tur kaybettiği belirtilmiĢtir. 3.turun sonunda her kızın elinde 40 Ģeker olduğu ifade edilmiĢtir. Kızların baĢlangıçta sahip oldukları Ģeker miktarları istenmektedir.
Plan Yapılması: Problemde kızların oyunun sonunda sahip oldukları Ģeker miktarları bilinmektedir. Kurala göre son durumdan yola çıkarak ilk durumun belirlenmesi gerekmektedir. Dolayısıyla bu problemde geriye doğru çalıĢma stratejisi kullanılarak çözüme ulaĢılabilir.
Planın Uygulanması: 1.kız 2.kız 3.kız Son durum 40 40 40 3.tur 80* 20 20 2.tur 40 70* 10 BaĢlangıç 20 35 65* *Turda kaybedenler
3.turda 1.kızın kaybettiği düĢünülürse; 2.kızın (40-20=20) 20 tane Ģekeri, 3.kızın (40-20=20) 20 tane Ģekeri, 1.kızın (40+20+20=80) 80 tane Ģekeri bulunmaktadır.
2.turda 2.kızın kaybettiği düĢünülürse 1.kızın (80-40=40) 40 tane Ģekeri, 3.kızın (20-10=10) 10 tane Ģekeri, 2.kızın (40+20+10=70) 70 tane Ģekeri bulunmaktadır.
BaĢlangıçta 3.kızın kaybettiği düĢünülürse 1.kızın (40-20=20) 20 tane Ģekeri, 2.kızın (70-35=35) 35 tane Ģekeri, 3.kızın (20+35+10=65) 65 tane Ģekeri bulunmaktadır.
Çözümü Değerlendirme: Elde edilen sonucu kontrol edersek; baĢlangıçta 1.kızın 20, 2.kızın 35, 3.kızın 65 Ģekeri olduğu ve 3.kızın bu turu kaybettiği varsayıldığında diğer kızların sahip oldukları Ģeker miktarı kadar kendi Ģekerinden vermiĢ olacaktır. Böylece 1.kızın (20+20=40) 40, 2.kızın (35+35=70) 70, 3.kızın (65 - (20+35) =10) 10 tane Ģekeri olacaktır.
2.turda 2.kızın kaybettiği varsayıldığında diğer kızların sahip oldukları Ģeker miktarı kadar kendi Ģekerinden vermiĢ olacaktır. Böylece 1.kızın (40+40=80) 80, 3.kızın (10+10=20) 20, 2.kızın (70-(40+10)=20) 20 tane Ģekeri olacaktır.
3.turda 1.kızın kaybettiği varsayıldığında diğer kızların sahip oldukları Ģeker miktarı kadar kendi Ģekerinden vermiĢ olacaktır. Böylece 2.kızın (20+20=40) 40, 3.kızın (20+20=40) 40, 1.kızın (80-(20+20)=40) 40 tane Ģekeri olacaktır.
20
Dolayısıyla son durumda kızların her birinin elinde 40 Ģeker bulunacaktır. Oyunun sonundaki Ģeker sayısı değiĢtirilerek öğrencilere, baĢlangıçtaki Ģeker miktarları sorulabilir.
2.5.6 Tahmin ve Kontrol
Günlük hayatta sıklıkla kullandığımız bir stratejidir. Örneğin; bir rengi elde etmek için boyaları karıĢtırırız ve istediğimiz renk oluĢana kadar denemeye devam ederiz. Bu strateji kullanılırken problemde verilen bilgiler üzerine cevap ile ilgili körü körüne değil mantıklı bir tahmin yapılır ve tahmin test edilir. Eğer yapılan tahmin doğru değilse birinci tahminin sonuçları göz önüne alınarak ikinci bir tahmin daha yapılır. Bu süreç, istenilen sonuç elde edilene kadar devam eder (Yazgan ve Arslan, 2017: 19). AĢağıda verilen örnek bu strateji kullanılarak çözülmüĢtür.
Örnek 6: “Salad Works, alışveriş merkezinde yeni bir şubesini açmıştır. İlk gün,
4 düzine veya daha fazla, fakat 5 düzineden az salata satmışlardır. Tavuk salatasının iki katı kadar makarna salatası satmışlardır. Ton balığı salatasının ’i kadar tavuk salatası satmışlardır. Her bir salatadan ne kadar satmışlardır (Posamentier ve Krulik, 2016: 33)?”
Problemin AnlaĢılması: Problemde, yeni açılan bir mağazanın satmıĢ olduğu salata miktarları arasındaki iliĢki verilmiĢtir. Buna göre her bir salatadan ne kadar satıĢ yapıldığı istenmektedir.
Plan Yapılması: Bu problemde geçen verileri düzenleyen bir tablo oluĢturalım.
Bunun için tahmin ve kontrol stratejisi kullanalım. Ġlk tahmin olarak 6 tavuk salatası sattıklarını düĢünelim.
Planın Uygulanması:
Tahminler Tavuk Ton Balığı Makarna Toplam Durum
1.tahmin 6 18 12 36 Çok küçük
2.tahmin 7 21 14 42 Çok küçük
3.tahmin 8 24 16 48 Mümkün
4.tahmin 9 27 18 54 Mümkün
5.tahmin 10 30 20 60 Çok büyük
Çözümü Değerlendirme: Bu basamakta yapılan tahminin doğruluğu tekrar kontrol edilir. Öğrencilere problemdeki veriler arasındaki iliĢkiler değiĢtirilerek satıĢı yapılan diğer ürünlerin miktarları sorulabilir.
21
2.5.7 Denklem ve EĢitsizlik Kurma
Baykul (2000: 32), matematiği bazı semboller kullanan bir dil olarak tanımlamıĢtır. Bazı problemlerde bilinmeyenin yerine x, y gibi ifadeler kullanılarak matematiksel eĢitlik yazılıp, verilmeyen değerin bulunması problemi çözüme ulaĢtırır.
Denklem ve eĢitsizlik kurma stratejisi ortaokul (özellikle 7 ve 8.sınıf) ve lise öğrencilerinin kullanabileceği bir stratejidir. Aslında daha küçük çocuklarda bilinmeyen yerine dikdörtgen veya üçgen gibi geometrik Ģekilleri kullanarak daha basit düzeyde denklem oluĢturabilirler. Bu stratejide, problemde yer alan iliĢkileri eĢitlik veya eĢitsizlik olarak yazmak vardır (Yazgan ve Arslan, 2017: 22). AĢağıdaki örnek bu strateji kullanılarak çözülmüĢtür.
Örnek 7: “Bir bayrak takımı 4 koşucudan oluşmaktadır. Gülşen, Kemal, Rıza ve Zeynep. Tesadüfen koşucuların etaplarında koştukları sıra ile isimlerinin alfabetik sırası aynıdır. Her bir koşucu etabını, önceki koşucudan 2 sn daha hızlı koşmuştur. Takım yarışı 3 dk 40 sn. de bitirmiştir. Her koşucu etabını ne kadar sürede koşmuştur? (Yazgan ve Arslan, 2017: 23)”
Problemin AnlaĢılması: Problemde 4 koĢucudan oluĢan bir bayrak takımının
olduğu söylenmiĢtir. KoĢtukları sıra isimlerinin alfabetik sırası ile aynı olduğu belirtilmiĢtir. Her koĢucunun etabını önceki koĢucudan 2 sn daha hızlı koĢtuğu söylenmiĢtir. Takımın yarıĢı 3 dk 40 sn.de bitirdiği verilirken, koĢucuların etaplarını ne kadar sürede bitirdikleri bilinmemektedir. Problemin bilinmeyeni olan etap bitirme süreleri istenmektedir.
Plan Yapılması: YarıĢın ne kadar sürede bittiği bilinmektedir. Bu problemde Güler‟in etabı bitirme süresine x değiĢkeni verilerek bir eĢitlik oluĢturulabilir. Dolayısıyla bu problemin çözümünde denklem ve eĢitsizlik kurma stratejisinden yararlanılabilir.
Planın Uygulanması:
GülĢen‟in etabı bitirme süresi = x Kemal‟in etabı bitirme süresi = x – 2 Rıza‟nın etabı bitirme süresi = x – 4 Zeynep‟in etabı bitirme süresi = x – 6 x + (x – 2) + (x – 4) + (x – 6) = 220
22
Buradan GülĢen‟in koĢtuğu süre 58 sn, Kemal‟in koĢtuğu süre 56 sn, Rıza‟nın koĢtuğu süre 54 sn, Zeynep‟in koĢtuğu süre 52 sn olarak bulunur.
Çözümü Değerlendirme: Çözüm sürecini inceleyecek olursak; GülĢen‟in etabı bitirme süresi bir değiĢken olarak kabul edilip bir eĢitlik yazılması, problemde istenilenin bulunmasını kolaylaĢtırmıĢtır. Bu aĢamada bulunan değiĢkenin değeri yerine yazılarak problemin sağlaması yapılabilir. Ayrıca problemde koĢucu sayısı veya toplam bitirme süresi değiĢtirilerek öğrencilere sorulabilir.
2.5.8 Tablo Yapma
Bazı problemlerde bir örüntüyü ortaya çıkaracak ve böylece eksik bilginin belirlenmesini sağlayacak Ģekilde verileri bir tabloya yazmak, problemi çözüme kavuĢturabilir. Yani, tablolarda bulunan satır ve sütunlar problemde yer alan önemli değiĢkenleri listeler. Bu sayede veriler arasındaki bağıntılar ortaya çıkarılarak cevap bulunur. Bu nedenle tablo yapma stratejisi daha çok; Ģekil çizme, problemi basitleĢtirme ve bağıntı bulma stratejileri ile birlikte kullanılır (Yazgan ve Arslan, 2017: 23). AĢağıdaki örnek bu strateji kullanılarak çözülmüĢtür.
Örnek 8: “Bir marangoz, 3 ayaklı tabureler ile 4 ayaklı masalar yapmaktadır. Bir günün sonunda 31 ayak kullanmışsa, marangozun o gün yaptığı toplam masa ile tabure sayısı kaç olabilir (Yazgan ve Arslan, 2017: 23)?”
Problemin AnlaĢılması: Problemde, bir marangozun 3 ayaklı tabureler ve 4 ayaklı masalar yaptığı verilmiĢtir. Bir gün içerisinde 31 ayak kullanıldığı belirtilmiĢtir. Bir günün sonunda yapılan masa ve tabure sayısı sorulmaktadır.
Plan Yapılması: Eğer marangoz sadece tabure yaptıysa en fazla 10 (10×3=30 ayak) tabure yapabilir. Eğer tamamını masa yaptıysa en fazla 7 (7×4=28 ayak) masa yapabilir. Olası tüm durumları görebileceğimiz bir tablo yapmak problemin çözümüne yardımcı olabilir.
23
Planın Uygulanması:
Tabloda 31 değerini veren masa ve tabure sayıları görülmektedir. Buna göre marangoz; ya 7 masa ile 1 tabure veya 4 masa ile 5 tabure ya da 1 masa ile 9 tabure yapmıĢ olabilir.
Çözümü Değerlendirme: Tablo sayesinde problemin birden fazla cevabı
olduğu görülmüĢ ve olabilecek tüm durumlar belirtilerek ayrıntılı bir çözüm sunulmuĢtur. Problemde kullanılan ayak sayısı veya tabure ve masa sayıları değiĢtirilerek öğrencilere sorulabilir.
2.5.9 Muhakeme Etme
Baykul (2000: 32) matematiği, insanda mantıklı düĢünmeyi geliĢtiren mantıklı bir sistem olarak tanımlamıĢtır. Her bir problemin çözümü mantıksal düĢünme veya akıl yürütme gerektirse de, bazı problemlerin çözümü öncelikli strateji olarak mantıksal muhakeme etmeye bağlı olarak çözülmektedir (Posamentier ve Krulik, 2016: 100).
Söz konusu problemler, hangi ürünün alınması gibi basit bir mantık gerektiren sorular olabileceği gibi zincirleme mantıksal çıkarımlar yapmayı gerektiren zor sorular da olabilir. Zincirleme mantıksal çıkarımlar yapmayı gerektiren sorularda yapılan çıkarımlar, ikinci bir çıkarıma götürür ve bu çıkarım elde etme iĢlemi problemin çözümünde sonuca ulaĢıncaya kadar devam eder (Yazgan ve Arslan, 2017: 26). AĢağıdaki örnek bu strateji kullanılarak çözülmüĢtür.
Örnek 9: “Çölde mahsur kalan 3 adamın aynı büyüklükte 15 matarası vardır.
Mataraların; 5’i boş, 5’i yarı dolu ve 5’i de tam doludur. Adamların her biri çölün dışına farklı yollardan gitmeye ve bir vahaya gelirlerse biraz daha su almak için eşit
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 7 10 13 16 19 22 25 28 31* 34 2 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 3 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 4 19 22 25 28 31* 34 37 40 43 46 5 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 6 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 7 31* 34 37 40 43 46 49 52 55 58 Tabure Sayısı Masa S ay ısı
24
kapasiteleri olsun diye suyu eşit paylaşmaya karar verdiler. Mevcut suyu nasıl paylaşmışlardır (Yazgan ve Arslan, 2017: 27) ?”
Problemin AnlaĢılması: Mevcut 15 mataranın 5‟i boĢ, 5‟i yarı dolu, 5‟i tam
doludur. Çölde mahsur kalan 3 adam, mataralardaki suları eĢit paylaĢacaklardır. Nasıl bir dağıtım yapılması gerektiği sorulmaktadır.
Plan Yapılması: Mevcut 15 mataranın değiĢik gruplandırmaları yapılarak eĢit bir dağılım yapılacaktır. Verilenler doğrultusunda mantıksal çıkarımlar yapılarak problemin çözümü gerçekleĢtirilebilir.
Planın Uygulanması:
1.kiĢi 2.kiĢi 3.kiĢi
BoĢ BoĢ BoĢ
BoĢ BoĢ Yarım
Yarım Yarım Yarım Dolu Dolu Dolu Dolu Dolu Yarım
Çözümü Değerlendirme: Planın uygulanması aĢamasında yapılan mantıksal
çıkarımların problemin çözümünde önemli bir yeri olduğu görülmektedir. Problemdeki matara sayısı değiĢtirilerek öğrencilere sorulabilir.
2.5.10 Canlandırma
Daha çok küçük sınıflardaki öğrencilerin yararlandığı bu stratejide, küçük çocuklar problemde yer alan rolleri sahiplenip faaliyetleri canlandırabilirler. Bunları yaparken; pullar, fiĢler, ĢiĢe kapakları gibi materyallerden veya çizimlerden yararlanabilirler (Posamentier ve Krulik, 2016: 55).
Canlandırma stratejisi “gerçek yaĢam problemi çözme” adı verilen duruma benzerdir. Yani, öğrencilerin bildikleri bağlamsal durumlardaki problemleri çözmek için matematiksel becerilerini kullanmaları yönünde cesaretlendirilirler. Bu stratejiyi kullanırken çocuklara gerçek durumların yerine kullanılabilecek materyallerin varlığından bahsedilmesi önemlidir. Örneğin; içerisinde madeni paraların yer aldığı bir problemde gerçek bir paranın yerine yazılı kâğıtlar kullanabilirler. Ancak öğrencilerin kullanılan objelerden ziyade problemin kendisine odaklanması sağlanmalıdır (Yazgan ve Arslan, 2017: 28). AĢağıdaki örnek bu strateji kullanılarak çözülmüĢtür.
25
Örnek 10: “Annem kek pişirdi ve onu buzdolabına koydu. Babam geldi ve kekin ini yedi. Daha sonra, Sam geldi ve kalan kekin ini yedi. Sonra Susan kalanın ini yedi. O akşam Mitchell kalanın ini yedi. Bebek Arnell kalanın ini yedi ve son olarak annem kekin geri kalanını yedi. En fazla keki kim yedi (Posamentier ve Krulik, 2016: 64)?”
Problemin AnlaĢılması: Bu problemde tüm aile fertlerinin yedikleri kek miktarları kesir olarak ifade edilmiĢtir. Ailede en fazla keki kimin yediği sorulmaktadır.
Plan Yapılması: Bu problemde kek bir kağıda benzetilebilir ve bu kâğıt altı eĢ parçaya bölünebilir. Alternatif olarak problemi canlandırabilecek öğrenciler seçilerek problem çözümlenebilir. Bu problemin çözüme kavuĢturulmasında canlandırma stratejisinden yararlanılmalıdır.
Planın Uygulanması: Tüm keki temsilen bir kâğıt altı eĢ parçaya bölünebilir. o Baba tüm kekin ini yediği için geriye 5 eĢit parçanın yani kekin i kalır. o Sam kalanın ini yediği için geriye 4 eĢit parça yani kekin ü kalır. o Susan kalanın ini yediği için geriye 3 eĢit parça yani kekin ü kalır. o Mitchell kalanın ini yediği için geriye 2 eĢit parça yani kekin si kalır. o Arnell kalanın ini yediği için geriye 1 eĢit parça yani kekin i kalır. o Anne geri kalan 1 parçayı yani kekin ini yer.
Burada kesirlerin ifadesi farklı olsa da her bir kiĢinin aynı miktarda kek yediği görülmektedir.
Çözümü Değerlendirme: Verilenler ve kurallar doğrultusunda kullanılan kâğıt
parçaları çözüme ulaĢmada etkili olmuĢtur. Ayrıca kullanılan materyaller problemin anlaĢılmasını da sağlamıĢtır. Bu aĢamada öğrencilere kesir miktarları değiĢtirilerek sorular yöneltilebilir.
2.6 Ġlgili AraĢtırmalar
2.6.1 Problem Çözme Ġle Ġlgili Literatür Taraması
Problem Çözme Beceri ve Stratejilerinin Kullanım Durumlarına İlişkin Araştırmalar
Aydoğdu ve Ayaz (2008) çalıĢmalarında; problem çözme becerisinin ne olduğu
26
öğrencilerle görüĢmeler ve sınıf içi gözlemler yapmıĢlardır. Ayrıca araĢtırmada öğrencilerin matematiğe olan ön yargılarının, problem çözme yeterliklerinin, problem çözme yöntemlerini kavramalarının problem çözme baĢarılarına etkisi ve problem çözme konusunda yaĢanan sorunlar belirlenmeye çalıĢılmıĢtır. Öğrencilerin sonuca hemen ulaĢmak isteği ve ön öğrenmelerindeki eksiklik gibi nedenlerden problem çözme konusunda sıkıntı yaĢadıkları tespit edilmiĢtir. Problem çözmede baĢarılı olan ve bunu günlük yaĢamında kullanabilen öğrencilerin problem çözme basamaklarını tam olarak kullanmaya çalıĢtıkları, bu aĢamada sabırlı oldukları tespit edilmiĢtir. Öğrencilere verilen problemlerin, geliĢim seviyelerine uygun olması ve gerçek yaĢamla ilgili olması gerektiği önerilmiĢtir. Öğrencilere problem çözme becerisinin kazandırılması için okul-aile-öğrenci iĢbirliğinin sağlanması ve problem çözme aĢamalarının kavratılması gerektiği dile getirilmiĢtir.
Arsal (2009) araĢtırmasında; 4 ve 5.sınıf öğrencilerinin matematik problemlerinin çözümünde elde ettikleri problem çözme stratejilerini belirlemeyi ve problem çözme baĢarısını yordama gücünü ortaya koymayı amaçlamıĢtır. Veriler; araĢtırmacı tarafından geliĢtirilen “Matematik Problemlerini Çözme Stratejilerini Belirleme Ölçeği” ve Sadık (2006) tarafından geliĢtirilen “Problem Çözme BaĢarı Testi” ile toplanmıĢtır. Matematik Problemlerini Çözme Stratejilerini Belirleme Ölçeği‟nde 21 madde yer almaktadır. Bunlar; problemi okuma ve anlama (5 madde), problemi farklı ifade etme (4 madde), çözüm planı yapma (5 madde), problemin çözümü (2 madde) ve çözüm sonrası (5 madde)‟dır. Problem Çözme BaĢarı Testi‟nde bulunan 33 madde içerisinden 20 madde seçilmiĢtir. Problem çözme stratejileri kullanım durumlarının cinsiyet ve sınıf düzeyi bakımından anlamlı farklılığına bakmak için bağımsız gruplar için t-testi, problem çözme stratejilerinin problem çözme baĢarısını yordama gücünü belirlemek için çoklu regrasyon analizi yapılmıĢtır. AraĢtırma sonucuna göre 4 ve 5.sınıfların problem çözme stratejilerini kullanma düzeylerinin yüksek olduğu, cinsiyet bağlamında ise anlamlı bir farklılığın bulunmadığı tespit edilmiĢtir. 4.sınıfların problem çözme stratejilerini kullanma düzeyleri, problemi farklı ifade etme dıĢında 5.sınıflara göre daha yüksek bulunmuĢtur. Ayrıca problemi okuma ve anlama ile problemi farklı ifade etme maddelerinin, problem çözme baĢarısı üzerinde anlamlı bir yordayıcı oldukları görülmektedir. Diğer maddelerin ise problem çözme baĢarısı üzerinde anlamlı bir etkisinin bulunmadığı tespit edilmiĢtir. Problem
