İSTANBUL MENKUL KIYMETLER BORSASI ÜZERİNE SAKLI MARKOV MODELİ İLE BİR TAHMİNLEME

(1)

İSTANBUL MENKUL KIYMETLER BORSASI

ÜZERİNE SAKLI MARKOV MODELİ İLE BİR

TAHMİNLEME

1

Ersoy ÖZ

2 Özet

Ülkemizde son yıllarda finans sektörü üzerine yapılan geleceğe yönelik tahmin çalışmaları oldukça yaygınlaşmıştır. Bu tahmin yöntemleri genel olarak geçmiş verileri kullanarak geleceğe ilişkin yorum getirebilecek niteliktedirler. Hisse senetleri piyasası finans sektöründe önemli bir yere sahiptir. Bu piyasada işlem gören hisse senetleri için bir gösterge olan İstanbul Menkul Kıymetler Borsası Ulusal 100 Endeksi değerinin değişim oranı pek çok ekonomik nedene bağlı olabildiği gibi psikolojik ve siyasi nedenlere de bağlıdır.

Bu çalışmada, Markov Zincirleri üzerine kurulu olan Saklı Markov Modeli kullanılarak İstanbul Menkul Kıymetler Borsası Ulusal 100 Endeksi değerinin değişim oranlarını tahmin etmek amacı ile bir uygulama geliştirilmiştir. Saklı Markov Modeli’nin kullanıldığı bu tahminlemede etkili sonuçlar ortaya çıktığı görülmüştür.

Anahtar Kelimeler: Markov Zincirleri, Saklı Markov Modeli, Saklı Markov

Modeli Algoritmaları, İstanbul Menkul Kıymetler Borsası, Tahminleme.

AN ESTIMATION BY HIDDEN MARKOV MODEL FOR THE ISTANBUL STOCK EXCHANGE

Abstract

Futuristic estimations on the finance sector have become more frequent over the recent years in our country. These estimation methods are generally in the form of making comments about the future by using the past data. Stock market have an

1_{Makale çalışması yazarın doktora tezinden alınarak yapılmıştır.}

(2)

important place in finance sector. The change rate of the value of The Istanbul Stock Exchange National 100 index which is an indicator for the stocks that are transacted in this market can be based not just only on many economic reasons but also on psychological and political reasons.

In this study, to estimate the change rate of the value of The Istanbul Stock Exchange National 100 Index using Hidden Markov Model which is based upon Markov Chains, an application has been improved. By this estimation, at which Hidden Markov Model is used, effective results are observed.

Keywords: Markov Chains, Hidden Markov Model, Algorithms of Hidden

Markov Model, The Istanbul Stock Exchange, Estimation.

1. GİRİŞ

Markov Zincirleri, karar problemlerinde kullanılan ve geçmişteki olaylardan bağımsız olarak sadece mevcut süreç durumuna bağlı kalan sürecin, gelecekte nasıl gelişeceğini içeren olasılıkları bulunduran bir yapıdadır.

Saklı Markov (SM) Modeli, Markov Zincirleri üzerine kurulu ve Markov Zincirlerine bazı özellikler eklenerek oluşturulmuş bir modeldir. Markov Zincirlerinde başlangıç durum olasılıkları ve geçiş olasılıkları matrisi kullanılırken SM Modelinde ise bunlara ek olarak gözlem olasılıkları matrisi de kullanılır. Markov Zincirlerinde sistem herhangi durumda iken eldeki gözlem sadece sistemin bulunduğu durumdur. SM Modelinde ise sistemin herhangi bir anda hangi durumda olduğu bilinmez, fakat sistemin bir durumda iken bu durumun tetiklediği gözlem ortaya çıkar ve bu gözlem bilinir.

SM Modelinde yer alan gözlem olasılıkları matrisi sistemin herhangi bir anda herhangi bir duruma geldiğinde oluşan gözleme ait olasılıkları içeren bir matristir. Ayrıca sistemin herhangi bir anda içinde bulunduğu durum bilinmediği için modele “Saklı” denilmiştir.

SM Modeli parametreleri oluşturulurken geçmiş veriler kullanılır. Bu veriler baz alınarak sistemde geleceğe yönelik oluşacak gözlemlere ait olasılıklar ve gelecekte oluşacak gözlemlerin altında yatan saklı durumların bulunması için tahminler yapılmaktadır. Ayrıca gelecekte oluşacak herhangi bir gözlemin veya gözlem dizisinin meydana gelme olasılığını maksimum yapmak adına, başlangıç durum olasılıkları, geçiş olasılıkları matrisi ve gözlem olasılıkları matrisi elemanlarının yeniden tahmini yapılır. Bu tahmin yöntemlerinin tümü “Saklı Markov Modelinin Üç Temel Problemi” olarak incelenip her biri için çözüm algoritmaları geliştirilmiştir.

(3)

SM Modeli ilk olarak 1940’lı yıllarda çalışılmaya başlanmış olsa da teori ancak 1970’li yıllarda (Baum, 1972), (Petrie, 1969), (Baum ve Eagon, 1967) ve (Baum ve Petrie, 1966) tarafından geliştirilmiştir. Sonraki yıllarda özellikle bilgisayar sistemlerinin gelişmesi ile bilgisayara dayalı uygulama alanlarıda oldukça gelişmiştir. Bu alanda temel sayılabilecek çalışmalar şu şekildedir: Konuşma tanımada (Rabiner ve Juang, 1993), (Rabiner, 1989), karakter tanımada (Bing ve Ding, 2000), (Chen, Kundu ve Zhou, 1994), dijital iletişimde (Elliott, Aggoun ve Moore, 1995) ve modern iletişim ağlarında (Heffes ve Lucantoni, 1986). Biyoloji alanında özellikle bilgisayar dayalı olan moleküler biyoloji dalında da yaygın olarak çalışılmıştır. Bu çalışmalar; biyolojik dizileme analizinde (Asai, Hayamizu ve Handa, 1993), doku analizinde (Guoliang ve Xia, 2003), (Do ve Vetterli, 2002), moleküler biyolojide (Krogh, Brown, Mian, Sjolander ve Haussler, 1994) ve iyon kanalı araştırmalarında (Ball ve Rice, 1992)) olarak verilebilir. Ekonomi alanında ise (Hamilton, 1989, 1994) ve hisse senedi kar değişimlerinde (Ryden, Terasvirta ve Asbrink, 1998) tarafından çalışılmıştır.

Hisse senetlerinin fiyatlarına etki eden pek çok faktör bulunmaktadır. Bu faktörler temel olarak endojen faktörler ve egzojen faktörler olarak iki grupta toplanırlar. Endojen faktörler, firmanın kendi bünyesinde meydana gelen faktörlerdir. Egzojen faktörler ise firma dışında meydana gelen bir takım ekonomik ve siyasi faktörlerdir.

İstanbul Menkul Kıymetler Borsası genel endekslerinden olan İMKB Ulusal 100 Endeksi için egzojen faktörlerden faiz oranları, döviz kuru ve para arzı kullanılarak bu endeks değerinde oluşacak geleceğe yönelik değişim oranlarının tahmini üzerine bir uygulama geliştirilmiştir. Uygulamada verilerin alındığı zaman aralığı 1987 yılı Aralık ayından 2008 yılı Mart ayı da dahil olmak üzere 244 aylık değerden oluşmaktadır. Bu verilere dayanarak 2008 yılı Nisan ayı, 2008 yılı Nisan ve Mayıs ayları ve 2008 yılı Nisan, Mayıs ve Haziran ayları için İMKB Ulusal 100 Endeks değerinde oluşacak değişim oranları ile ilgili üç analiz yapılmıştır.

2. SAKLI MARKOV MODELİ

Markov analizi geçmişteki olaylardan bağımsız olarak, sadece mevcut süreç durumuna bağlı kalan sürecin, gelecekte nasıl gelişeceğini içeren olasılıkları bulunduran bir özelliğe sahiptir. Uygulamada pek çok süreç bu tanıma uymakta ve dolayısıyla da Markov analizi olasılık modelinin önemli bir türünü oluşturmaktadır (Öztürk, 2004; 645).

Markov analizinin temeli olan tesadüfi değişken, örnek uzayındaki her bir olayı reel sayılara dönüştüren bir fonksiyon olarak tanımlanabilir (Can, 2006; 7).

(4)

Stokastik süreç ise sabit bir olasılık uzayı üzerinde tanımlı gerçek değerli tesadüfi değişkenlerin bir koleksiyonudur (Dupacova vd., 2002; 231) ve zaman parametresi olmak üzere

t

)

,

(

X

_t

t

∈

T

şeklinde gösterilir.

İndeks kümesindeki sayıda zaman noktasının herhangi bir < < … <

kümesi için ’nin ’in verilen değerlerine göre koşullu

olasılık dağılımı yalnızca ’in değerine bağlı ise

n

1

,

t n t

X

1

t

)

T

2

t

n

t

X

_t_n

X

_t₂

,

_K

,

X

_t_n₋₁ 1 −

(

X

t

,

t

∈

stokastik

sürecine Markov süreci denir (Cinemre, 2003; 485).

S

=

{

x

₁

,

x

₂

,

_K

}

durum uzayı

ve < < … < için bir Markov süreci aşağıdaki eşitlikle açıklanır ve bu eşitliğe

Markovyen Varsayım denir.

1

t

₂

t

_n

)

(

)

,

(

X

_t

=

x

_n

X

_t₋₁

=

x

_n₋₁

X

_t₁

=

x

₁

=

P

X

_t

=

x

_n

X

_t₋₁

=

x

_n₋₁

P

_n _n

_K

_n _n (1)

Markovyen Varsayıma göre sürecin bir sonraki adımda bulunacağı durum geçmişten tamamen bağımsız olup, yalnızca mevcut duruma bağlıdır.

Markov Zincirlerinde tüm durumlar ve tüm ’ler için aşağıda verilen koşullu olasılığın varlığı kabul edilir:

t

ij t t

j

X

i

p

X

P

(

₊₁

=

)

=

,

i

,

j

∈ S

=

{

0 ,

1 ,

2 ,

_K

}

(2)

Burada ele alınan olasılıklarına tek adım geçiş olasılıkları denir (Tijms,

2003; 83). Bu ifadeye göre anında durumunda olan sürecin

ij

p

t

i

t

+

1

anında

j

durumunda olma olasılığı ile gösterilecektir. için aşağıdaki eşitlikler

geçerlidir: ij

p

_ij

1

0 ≤

p

_ij

≤

,

i

,

j

≥

0

(3)

1

0

=

∑

∞ = j ij

p

,

i

=

0 ,

1 ,

2 ,

_K

(4)

Yukarıdaki biçimde tanımlanan geçiş olasılıklarının oluşturdukları

matris Markov Zincirinin geçiş olasılıkları matrisidir (Chung ve Walsh, 2005; 291)

ve ile gösterilir. Herhangi bir matrisi, yukarıda verilen (3) ve (4)

koşullarını sağladığında stokastik matris olarak adlandırılır (Stirzaker, 2003; 400).

ij

p

P

]

[

p

_ij

P

=

Markov Zincirleri, Markovyen Varsayımı sağlayan ayrıca geçiş olasılıkları zamanla değişmeyen stokastik süreçlerdir.

(5)

Bir sistemin durum uzayı

S

=

{

1 ,

2 ,

_K

,

N

}

ve sistemin başlangıcında durumunda bulunma olasılığı aşağıdaki biçimde gösterilir:

i

i i

i

X

P

(

₀

=

)

=

π

(

0 )

=

π

,

i

=

_{1 K}

,

2 ,

,

N

(5) Bir SM Modeli, Markov Zincirine benzer fakat ondan daha genel ve daha esnektir. Ayrıca Markov Zinciri ile tam olarak modellenemeyen olayların modellenmesini sağlar. Bir SM Modeli kesikli zamanlı Markov Zincirinin bazı ekstra özellikler almış halidir. Eklenen temel özellik, Markov Zincirinin bir duruma geldiğinde, sabit ve zamandan bağımsız bir olayı meydana getirmesidir. Meydana gelecek olaylardan her biri zamandan bağımsızdır ve mevcut durumun her bir olaya ilişkin olasılığı, dağılım değerine bağlıdır (Ewens ve Grant, 2005; 409).

Bir SM Modelinde durumlar doğrudan gözlemlenemez. Bunun yerine her bir durumdan meydana gelen gözlem çıktıları oluşur (Steeb, 2005; 472). Gözlem çıktılarının bir araya gelmesi ile gözlem dizisi meydana gelir. SM Modelinde gözlem dizisinin altında yatan durum dizisinin bilinmemesi modele “Saklı” anlamını yükler.

Bir SM Modeli aşağıdaki biçimde tanımlanır (1-5):

1) Modeldeki durumların sayısı ile gösterilir. Genel olarak durumlar kendi içlerinde herhangi bir durumdan diğer durumlara ulaşabilecek şekilde bağlantılıdır. Yani durumlar ergodik bir yapıdadır.

N

{

S

N

}

S

=

₁

,

₂

,

_K

,

durumlar

kümesini ve

q

_t

,

t

anındaki durumu gösterir.

2) Her bir duruma ait gözlem sayısı

M

ile gösterilir. Gözlemler kesikli bir küme şeklinde ifade edilir. Gözlemler, modellenen sistemin fiziksel çıktılarına karşılık gelir.

V

=

{

v

₁

,

v

₂

,

_K

,

v

_M

}

ile gözlem kümesi ifade edilir.

Gözlemler, gözlem sırasında sistemin içinde olduğu duruma bağlıdır. Bu yüzden bir önceki gözlemden bağımsızdır ( Schliep vd., 2004, 121-135).

3) Durum geçiş olasılık dağılımı

A

=

{ }

a

_ij şeklinde gösterilir. 1≤

i,

j

≤

için ’ler negatif olmayan sayılar olup

N

ij

a

A

,

N

×

N

boyutunda bir matris ile ifade

edilir ve bu matrisin her bir satırındaki değerlerin toplamı ayrı ayrı 1’e eşittir. Bu şekilde ifade edilen durum geçiş olasılıkları zaman içerisinde değişmez ve bu olasılıklar gözlemlerden bağımsızdır (Bhar ve Hamori, 2004; 17).

(6)

4) Gözlem olasılık dağılımı

B

=

{

b

_j

(

k

)

}

ile gösterilir. Bu ifade,

t

anında

j

durumunda iken

v

_k gözleminin olasılığını verir. 1≤

j

≤

N

ve 1≤

k

≤

M

için

’lar negatif olmayan sayılardır.

)

(

k

b

_j

B

,

N

×

M

boyutunda bir matris olup her

bir satırındaki değerlerin toplamı ayrı ayrı 1’e eşittir.

5) Başlangıç durum dağılımı

π

=

{ }

π

_i ’dir. Başlangıç anında sistemin durumunda olma olasılığıdır ve aşağıdaki biçimde gösterilir ( Bicego ve Murino, 2004; 281-286). i

S

[

i

]

i

=

P

q

1

=

S

π

, 1≤

i

≤

N

(6)

B

A

M

N

,

ve

π

’nin uygun değerleri için SM Modeli

gözlem dizisini üretir.

T

O

₁ ₂

_K

O

=

T

, gözlem sayısı olmak üzere her bir

gözlemi

{

gözlemlerinden biridir (Rabiner, 1989; 257-286).

t

O

}

M

v

₁

,

₂

,

_K

,

Gösterimde kolaylık olması bakımından SM Modelinin parametreler kümesi

(

π

)

λ

=

A

,

B

,

şeklinde gösterilecektir.

SM Modeli gözlemlere bağlı olarak kesikli veya sürekli olarak sınıflandırılabilir (Xue ve Govindaraju, 2006; 458-462.). SM Modelinde meydana gelen gözlemler kesikli olduğunda, kesikli SM Modeli oluşur fakat bu model genel olarak SM Modeli adı ile ifade edilir. Gözlem dizisinin kesikli olmadığı durumlarda ise sürekli gözlem yoğunluklu SM Modeli veya kısaca sürekli SM Modeli oluşur.

2.1. Saklı Markov Modelinin Üç Temel Problemi ve Çözümleri

Uygulama alanlarında SM Modelini kullanabilmek için literatürde “SM Modelinin Üç Temel Problemi” olarak geçen üç problemin çözülmesi gerekmektedir. Üç problemin her biri uygulama alanına göre birbirinden bağımsız olarak kullanılabilir.

1. Problem ve Çözüm Algoritmaları: 1. Problem, bir SM Modelinde

verilen

λ

=

(

A

,

B

,

π

)

parametreleri ve

O

=

O

₁

O

₂

_K

O

_T gözlem dizisi için, bu

(7)

)

(

O

λ

P

’nın hesaplanmasında İleri-Yön (Forward) Algoritması ve Geri-Yön

(Backward) Algoritması kullanılır. Her iki algoritma ile hesaplanan

P

(

O

λ

)

değerleri aynıdır.

İleri-Yön Algoritması: İleri-Yön Algoritmasında kullanılacak olan İleri-Yön

değişkeni

α

_t

(

i

)

aşağıdaki biçimde tanımlanır:

)

,

(

)

(

₁ ₂

λ

α

_t

i

=

P

O

K

O

_t

q

_t

=

S

_i (7)

Verilen

λ

modeli için

α

_t

(

i

)

İleri-Yön değişkeni, anında

durumundaki sistemin kısmi gözlem dizisinin olasılığıdır.

t

S

_i

)

(

i

t

O

₁ ₂

_K

α

_t

değişkeni aşağıda verildiği gibi tümevarımsal bir yöntemle çözülür (Rabiner ve Juang 1993; 335):

1) Başlangıç: İlk değerin verilmesi

)

,

(

)

(

₁ ₁ 1

λ

α

i

=

P

O

q

=

S

_i

=

π

_i

b

_i

(

O

₁

)

,

t

=

1 ,

1≤

i

≤

N

(8) 2) Yineleme:

,

)

(

]

)

(

[

)

(

₁ 1 1 + = +

=

∑

j t N i ij t t

j

α

i

a

b

O

α

1≤

t

≤

T

−

1

, 1≤

j

≤

N

(9) 3) Sonlandırma:

∑

= =

=

N i T N i i t

S

i

q

O

P

O

P

1 1

)

(

)

,

(

)

(

λ

α

(10)

Geri-Yön Algoritması: Verilen

λ

modeli için

t

anında durumunda olan sistemin

i

S

1 +

t

anından itibaren son ana kadar olan kısmi gözlem dizilerinin

olasılığı, Geri-Yön değişkeni

β

_t

(i

)

ile tanımlanır. Geri-Yön Algoritmasının

adımları aşağıda verilmiştir (Becchetti ve Ricatti, 2004; 179):

1) Başlangıç:

1 )

(

i

=

T

β

, 1≤

i

≤

N

(11)

(8)

2) Yineleme:

∑

+ +

=

N _ij _j _t _t t

(

i

)

a

b

(

O

1

)

β

1

(

j

)

β

= j 1 ,

t

=

T

−

1 ,

T

−

2 ,

_K

,

1

, 1≤ ≤

i

N

(12)

2. Problem ve Çözüm Algoritması: 2. Problem,

O

=

O

₁

O

₂

_K

O

_T

şeklinde verilen bir gözlem dizisi ve

λ

modeli için, bu gözlemleri en uygun

biçimde açıklayan saklı durum dizisinin nasıl seçileceği ile

ilgilidir. T

q

Q

=

1 2

K

Bu problem, gözlem dizisinin oluşmasında meydana

gelmiş olan saklı durumların bulunması işlemini yapar. 2. Problemin çözümünde

Viterbi Algoritması kullanılır.

T

O

=

₁ ₂

_K

Viterbi Algoritması: Verilen

O

=

{

O

₁

O

₂

_K

O

_T

}

gözlem dizisi için en iyi saklı durum dizisi

Q

=

{

q

₁

q

₂

_K

q

_T

}

’yi bulmak için

]

,

[

max

)

(

₁ ₂ ₁ ₂ , , , 2 1 1

λ

δ

_t _t q q q t

i

P

q

i

O

t

K

=

− (13)

ifadesi tanımlanır.

δ

_t

(i

)

, anında durumunda olan sürecin, anına

kadar izlenen yol boyunca en yüksek olasılığı gösterir.

t

S

_i

t

)

(

1

j

t+

δ

ifadesi ise

δ

_t

(i

)

değişkenine tümevarım metodunun uygulanması ile elde edilir.

)

(

].

)

(

max

[

)

(

₁ 1 + +

=

t ij j t i t

j

δ

i

a

b

O

δ

(14)

Gerçek durum dizisine erişmek için

δ

_t₊₁

(

j

)

ifadesini maksimum yapan

bağımsız değişkenin izlenmesi gerekir. Bu işlem

ψ

_t

( j

)

dizisi ile yapılır. Viterbi algoritmasının adımları aşağıda verilmiştir (1-4):

1) Başlangıç:

)

(

)

(

₁ 1

i

π

i

b

i

O

δ

=

, 1≤ ≤

i

N

(15a)

0 )

(

1

i

=

ψ

(15b)

(9)

2) Yineleme:

)

(

]

)

(

[

max

)

(

₁ 1 i N t ij j t t

j

−

i

a

b

O

≤ ≤

=

δ

, 2≤

t

≤

T

, 1≤

j

≤

N

(16a)

]

)

(

[

max

arg

)

(

₁ 1 i N t ij t

j

−

i

a

≤ ≤

=

δ

ψ

, 2≤

t

≤

T

, 1≤

j

≤

N

(16b) 3) Sonlandırma:

)]

(

[

max

1 *

_i

P

_T N i≤

δ

≤

=

(17a)

)]

(

[

max

arg

1 *

_i

q

_T N i T

δ

≤ ≤

=

(17b)

4) Yol Durum Dizisi Geri İzleme:

)

(

* 1 1 * + +

=

_t _t t

q

ψ

,

t

=

T

−

1 ,

T

−

2 ,

_L

,

1

(18)

3. Problem ve Çözüm Algoritması: 3. Problem

λ

modeli için verilen herhangi bir gözlem veya gözlem dizisinin gelecekte meydana gelme olasılığının maksimum olması amacıyla model parametrelerinin optimize edilmesi ile ilgilidir.

SM Modelinin parametrelerinin

(

A

, B

,

π

)

tahmini için temel olarak,

iteratif bir prosedür olan Baum-Welch Algoritması kullanılır (Karlsson, 2004).

Welch Algoritması: SM Modelinin eğitimi olarak adlandırılan

Baum-Welch Algoritması İleri-Yön ve Geri-Yön değişkenlerine ait olasılıklar kullanılarak oluşturulur (Vaseghi, 2007; 364).

λ

modeli ve herhangi bir gözlem dizisi için

t

anında durumunda ve

anında durumunda olma olasılığı

i

S

1 +

t

S

_j

ξ

_t

( j

i

,

)

değişkeni ile gösterilir.

)

,

(

)

,

(

₁

λ

ξ

_t

i

j

=

P

q

_t

=

S

_i

q

_t₊

=

S

_j

O

(19)

)

,

( j

i

t

ξ

değişkeni, İleri-Yön ve Geri-Yön değişkenlerinin tanımları

(10)

∑∑

= = + + + + + +

₌

=

_N i N j t t j ij t t t j ij t t t j ij t t

j

O

b

a

i

j

O

b

a

i

O

P

j

O

b

a

i

j

i

1 1 1 1 1 1 1 1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

,

(

β

α

β

α

λ

β

α

ξ

(20)

(20) ifadesinin bir olasılık ölçütü olması amacıyla

α

_t

(

i

)

a

_ij

b

_j

(

O

_t₊₁

)

β

_t₊₁

(

j

)

ifadesi

P

(

O

λ

)

değerine bölünmüştür.

Verilen bir gözlem dizisi ve model için

t

anında durumunda

bulunulması olasılığı i

S

)

(i

t

γ

ile gösterildiğinde

γ

_t

(i

)

ile

ξ

_t

( j

i

,

)

arasında aşağıda veilen bağıntı yazılabilir:

∑

=

N j t t

i

j

1

)

,

(

)

(

ξ

γ

(21)

Yukarıda verilen formüller kullanılarak SM Modeli parametrelerinin yeniden

tahmini için bir yöntem tanımlanabilir. Yeni parametreler

λ

=

(

A

, B

,

π

)

ile

gösterilir. Bu parametrelerin tahmini ile ilgili formüller (22) ifadesinde verilmiştir:

=

i

π

γ

₁

(

i

)

,

∑

− = − =

=

₁ 1 1 1

)

(

)

,

(

T t t T t t ij

i

j

i

a

γ

ξ

,

∑

= = =

=

_T t t v O T t t j

j

k

b

t k 1 1

)

(

)

(

)

(

γ

(22)

3. HİSSE SENETLERİ PİYASASI

Hisse senetleri, anonim ortaklıklar tarafından çıkarılan ve belirli ortaklık sermayesine katılma payını temsil eden, yasa ve sermaye piyasası kural ve şartlarına uygun olarak düzenlenmiş kıymetli evraklardır (Tokaç, 2001).

Hisse senedi borsalarında, borsanın genel seyrini yansıtan göstergeler endekslerdir. Borsa endeksleri, bir sayısal gösterge olmalarına karşın; toplumun ve ekonominin geleceğine ilişkin beklentilerini de yansıtırlar böylece, sosyo-ekonomik ve sosyo-psikolojik açılardan da anlamlı bilgiler içerebilirler. Hisse senetleri endekslerinin göstermiş olduğu seyir, ekonomik gelişmelere karşı toplumsal davranış biçimlerinin seyri olarak da algılanabilir (Sayılgan, 2004; 43).

İMKB hisse senetleri piyasası endeksleri, borsada işlem gören hisse senetlerinin fiyat ve getirilerinin bütünsel ve sektörel bazda performanslarının

(11)

ölçülmesi amacıyla oluşturulmuştur. Bu endeksler tüm seans süresince hesaplanmakta, getiri endeksleri ise sadece seans sonunda hesaplanmakta ve yayınlanmakta olup, İMKB Ulusal 100 Endeksi Ulusal Pazar için temel endeks olarak kullanılmaktadır (İstanbul Menkul Kıymetler Borsası, 1997).

Hisse senetleri piyasalarının bir ülkenin ekonomik gelişiminde çok büyük katkıları vardır. Hisse senetleri piyasaları yolu ile şirketler önemli tutarda özkaynak sağlarken, ülkeler de yurt dışı piyasalardan döviz sağlarlar. Hisse senetleri ihraç eden şirketler, yeni ortaklar bularak şirketlerine özkaynak sağlamaktadır. Özkaynak yolu ile sağlanan finansmanın en önemli katkısı, şirketin finansman riski ile ilgilidir. Özkaynak yolu ile sağlanan sermayeye şirketin ödemesi gereken sabit bir faiz veya yükümlülük olmaması, anaparaların geri ödenme zorunluluğu bulunmaması şirkete bir risk yüklemeyecektir. Buna karşılık borçlanma yolu ile sağlanan kaynaklar işletmelerin finansman riskini artırmaktadır. Diğer taraftan bugün tüm ülkeler hisse senedi yolu ile uluslararası sermayeyi ülkelerine çekmek için çaba göstermektedir. Birçok gelişmekte olan ülke sermaye pazarlarında istikrarı sağlayarak her yıl milyarlarca dolar tutarında ülkelerine döviz girişi sağlamaktadır. Hisse senedi piyasalarının ekonomiye diğer katkıları şunlardır (Karan, 2001; 304-305);

• Hisse senetleri, geniş halk kitlelerinin küçük tasarruflarını büyük işletmeler içinde bir araya getirerek hızlı bir kalkınma için gerekli sermaye birikimini sağlar.

• Hisse senetleri, üretim araçlarının ve iktisadi işletmelerin mülkiyetini geniş halk topluluklarına dağıtmak suretiyle iktisadi refahı geniş bir tabana yayarlar, daha dengeli bir gelir dağılımını sağlarlar. Hisse senetleri, halkı, ekonomik kararlarda az çok söz sahibi yaparak demokrasinin iktisadi yanını tamamlar. Hisse senetleri, halkın tasarruflarına ek gelir sağlarken bunu faiz yoluyla değil, enflasyona karşı dayanıklı, enflasyonla birlikte değerlenen bir yatırım yoluyla sağlar.

3.1. Hisse Senedi Fiyatlarına Etki Eden Faktörler

Hisse senedi fiyatlarına etki eden faktörler, endojen ve egzojen faktörler olarak sınıflandırılabilir. Endojen faktörler firma içi faktörler olan tahmini şirket kazancı ve şirketin mali yapısındaki değişikliklerdir. Egzojen faktörler ise, firma dışından kaynaklanan faktörler olmaktadır.

3.1.1. Endojen Faktörler

Endojen faktörler firmanın kendi bünyesinde meydana gelen faktörlerdir. Hisse senedini ihraç eden şirketin mali yapısı, karlılık durumu gibi faktörler hisse senedinin piyasa fiyatını etkilemektedir.

(12)

3.1.2. Egzojen Faktörler

Genel olarak hisse senetlerinin fiyatlarını etkileyen egzojen faktörler aşağıdaki biçimde verilebilir (Kanalıcı, 1997; 43-59):

• Kurumlar Vergisi Oranındaki Değişiklikler (Tuncer, 1984; 267). • Hükümet Harcamalarındaki Değişiklikler (Edizdoğan, 1989; 42). • Gayri Safi Milli Hasıla’daki Değişiklikler.

• Fiyatlar Genel Seviyesindeki Değişiklikler (Bulutoğlu, 2003; 110) ve (Boeckh ve Coghlan, 1982; 57).

• Döviz Kurundaki Değişiklikler (Copeland, 1989; 4) ve (Feenstra, 2000; 269).

• Para Arzındaki Değişiklikler (Keyder, 1977; 10). • Faiz Oranlarındaki Değişiklikler (Dikmen, 1993; 51).

• Diğer Faktörler; siyasi faktörler, politik beklentiler ve güven unsuru olarak verilebilir.

4. UYGULAMA

Hisse senetlerinin fiyatlarına etki eden egzojen faktörlerden bazıları kullanılarak, İMKB Ulusal 100 Endeksinin değerinde oluşacak değişim oranlarının geleceğe yönelik tahmini üzerine bir uygulama geliştirilmiştir.

SM Modelinin kullanıldığı uygulamada üç analiz yapılmıştır. İlk olarak verilerin alındığı tarih aralığının bitişinden itibaren sonraki dönemlerde İMKB Ulusal 100 Endeksinin değişim oranının hangi yönde olacağına ilişkin olasılıklar tahmin edilmiştir. Bu tahmin için SM Modelinin 1. Problem’inde incelenen İleri – Yön ve Geri-Yön Algoritmaları kullanılmıştır. İkinci olarak, İMKB Ulusal 100 Endeksinde oluşacak bir değişim oranının, uygulamada kullanılan hisse senetleri fiyatlarına etki eden faktörlerin hangisinin değişiminden kaynaklandığı tahmin edilmiştir. Bu tahmin işlemi ile, uygulamada kullanılan faktörlerden en yüksek olasılıkla etkili olanı belirlenir. SM Modelinin 2. Probleminde verilen Viterbi Algoritması bu tahminlemede kullanılmıştır. Son olarak, İMKB Ulusal 100 Endeksinde herhangi bir değişim oranının meydana gelmesi olasılığını maksimum yapmak adına uygulamadaki model parametrelerinin yeniden belirlenmesi işlemi gerçekleştirilmiştir. Bu işlem için SM Modelinin 3. Probleminde verilen Baum-Welch Algoritması kullanılmıştır.

(13)

Çalışmada incelenen hisse senedi fiyatlarına etki eden faktörler, tüm hisse senetlerini genel olarak aynı şekilde etkilemektedir. Bu yüzden sadece bir hisse senedini kullanmak yerine genel endeks olan İMKB Ulusal 100 Endeksi kullanılmıştır.

İMKB Ulusal 100 Endeksi için bu endekste yer alan 100 adet firmanın kendi yapısında oluşacak değişikliklere ait verilerin elde edilmesi çok zor olduğundan ve bu verilerin elde edilebilse bile yayınlanma aralıklarının bir yıl veya altı ay gibi çok uzun zaman aralıklarında olması uygulama için kullanışlı olmayacaktır. Buna karşılık egzojen faktörler, herkes tarafından kolay ulaşılabilir ve yayınlanma aralıkları aylık, haftalık, günlük, saatlik ve hatta dakikalık olabilmektedir. Ayrıca egzojen faktörler endojen faktörlere göre hisse senedi fiyat oluşumlarında çok daha belirleyici olmaktadır.

Uygulamada, mevcut egzojen faktörlerden bir kısmı analiz dışı bırakılacaktır. Bunun temel nedeni kurumlar vergisi, hükümet harcamaları ve GSMH gibi faktörlerin hisse senedi fiyatları üzerinde dolaylı olarak etkileri bulunmasındandır. Burada kurulacak model çerçevesinde bu dolaylı etkiler analiz dışında bırakılmıştır. Ayrıca söz konusu değişkenlerin yıllık değerlerden oluşması ve modelin aylık bazda kurulacak olması nedeniyle bu faktörler kullanılmamıştır. Hisse senedi fiyatını etkileyen faktörlerden olan fiyatlar genel seviyesi ise modelin içerisinde içsel bağlantı yani çoklu doğrusal bağlantı problemi yaratabileceği için analize dahil edilmemiştir. Hisse senetleri fiyatlarına etki eden egzojen faktörlerden olan dolar kurları, faiz oranları ve para arzı uygulamada kullanılacak olan faktörlerdir.

İMKB Ulusal 100 Endeksinin değerinde oluşacak değişim oranlarının tahmini üzerine kurulu uygulama için 1987 yılı Aralık ayından 2008 yılı Mart ayı da dahil olmak üzere 244 aylık değer kullanılmıştır. Bu değerler her ayın son iş günüde oluşan İMKB Ulusal 100 Endeksi kapanış değerleridir ve ilgili ayın değerini göstermektedir. Her ayın değeri bir önceki ayın değeri ile oranlanarak aylık değişim oranları bulunmuştur. Böylece 243 ay için değişim oranı hesaplanmış olur. İlk değişim oranı 1988 yılı Ocak ayı için olup, son değişim oranı 2008 yılı Mart ayı içindir.

Hisse senetleri fiyatlarına etki eden egzojen faktörlerden olan dolar kurları, İMKB Ulusal 100 Endeksi üzerinde oldukça etkili olan bir faktör olup İMKB Ulusal 100 Endeksine alternatif bir yatırım aracıdır. İMKB Ulusal 100 Endeksi değişim oranlarının hesaplanmasında kullanılan veri aralığı dolar kurlarında meydana gelen değişim oranlarının hesaplanması için de kullanılmıştır. Bu veriler her ayın son iş günüde oluşan dolar kuru alış fiyatlarıdır. Her ay oluşan dolar kuru alış fiyatı bir önceki ayın dolar kuru alış fiyatı ile oranlanarak dolar kuru için aylık değişim oranları bulunmuştur.

(14)

Hisse senetleri fiyatlarına etki eden egzojen faktörlerden biri olan faiz oranları, İMKB Ulusal 100 Endeksi değişim oranlarının hesaplanmasında kullanılan diğer bir faktör olarak alınmıştır. Faiz oranları için kullanılan veriler yukarıda kullanılan aralıkta, her ayın son iş günüde oluşan aylık faiz oranlarıdır. Her ay oluşan faiz oranları bir önceki ayın faiz oranı ile oranlanarak faiz oranları için aylık değişim oranları bulunmuştur.

Uygulamada kullanılacak sonuncu faktör para arzıdır. Türkiye Cumhuriyet Merkez Bankası tarafından, para arzı için genel olarak üç farklı gösterge açıklanmaktadır. Bu göstergeler M1, M2 ve M3’tür. M1: Dolaşımdaki para, ticari ve bireysel vadesiz mevduatlar, vadesiz tasarruflar, diğer vadesiz mevduatlar ve Merkez Bankasındaki mevduatlardan oluşmakta olup uygulamada kullanılacak olan gösterge olacaktır. İMKB Ulusal 100 Endeksi değişim oranlarının hesaplanmasında kullanılan veri aralığı para arzında meydana gelen değişim oranlarının hesaplanması için de kullanılmıştır. Bu veriler her ayın son iş günüde oluşan para arzı değerleridir. Her ay oluşan para arzı bir önceki ayın para arzı ile oranlanarak para arzı için aylık değişim oranları bulunmuştur.

Uygulamada kullanılan verilerin tümü Türkiye Cumhuriyet Merkez Bankası (TCMB) Elektronik Veri Dağıtım Sistemi’nden temin edilmiştir.

Çalışmada incelenen hisse senedi fiyatlarına etki eden faktörlerden dolar kurları, faiz oranları ve para arzı, SM Modelinin durumlarını oluşturacaktır. Bu faktörlerden her biri veri olarak ayrı ayrı ele alınmış ve her bir faktör kendi içinde dört gruba ayrılmıştır.

Dolar kurlarında hesaplanan değişim oranlarında oluşan değerlerin gruplandırılması için artma ve azalma değerlerinin ortalamaları kullanılmıştır. Artma değerlerinin ortalaması 4,73’tür. Artma değerinin sıfır ile 4,73 arasında olması birinci seviye artma alt durumu olarak alınıp ADD1 ile sembolize edilmiştir. Artma değerinin 4,73’e eşit ve daha büyük olması ikinci seviye artma alt durumu olarak alınıp ADD2 ile sembolize edilmiştir. Dolar kuru değişim oranlarında oluşan azalma değerlerinin ortalaması -2,43’tür. Azalma değerlerinin -2,43’den daha küçük olması birinci seviye azalma alt durumu olarak alınıp ADD3 ile sembolize edilmiştir. Azalma değerlerinin -2,43’e eşit ve daha büyük olması ise ikinci seviye azalma alt durumu olarak alınıp ADD4 ile sembolize edilmiştir.

(15)

Tablo 1: Dolar Kuru Değişim Oranları ve Sembolleri

Değişim Oranı (D.O.) Sembol

0 ≤ D.O. < 4,73 ADD1

D.O. ≥ 4,73 ADD2

-2,43 < D.O. < 0 ADD3

D.O. ≤ -2,43 ADD4

Faiz oranlarında ve para arzında hesaplanan değişim oranlarında oluşan değerlerin gruplandırılması için de artma ve azalma değerlerinin ortalamaları kullanılmıştır. Kullanılan ortalama değerlere göre gruplandırma ve semboller, faiz oranları için Tablo2’de para arzı için ise Tablo3’de verilmiştir.

Tablo 2: Faiz Oranı Değişim Oranları ve Sembolleri

0 ≤ D.O. < 5,94 ADF1

D.O. ≥ 5,94 ADF2

-4,01 < D.O. < 0 ADF3

D.O. ≤ -4,01 ADF4

Tablo 3: Para Arzı Değişim Oranları ve Sembolleri

0 ≤ D.O. < 7,28 ADP1

D.O. ≥ 7,28 ADP2

-4,77 < D.O. < 0 ADP3

D.O. ≤ -4,77 ADP4

Yukarıda incelenen dolar kurları, faiz oranları ve para arzı değişim oranlarında yapılan gruplandırma sonucu oluşan değerler alt durum olarak ifade edilmiştir. Bu alt durumların elemanları {ADD1, ADD2, ADD3, ADD4}, {ADF1, ADF2, ADF3, ADF4} ve {ADP1, ADP2, ADP3, ADP4} şeklindedir. Her bir alt durum kümesinin elemanlarının birbirleri arasındaki geçişi mümkün olup, diğer alt durum kümesinin elemanlarına geçişi mümkün değildir. Çünkü bu elemanlar sadece ait oldukları veriler için bir gösterge niteliğindedir. Örneğin, herhangi bir ay için

(16)

dolar kuru değişim değerlerinden birisi olan ADD2 alt durumu bir sonraki ay ADD1, ADD2, ADD3 veya ADD4 alt durumlarından birisine geçiş yapar fakat hiçbir zaman {ADF1, ADF2, ADF3, ADF4} ve {ADP1, ADP2, ADP3, ADP4} alt durum kümelerinin hiçbir elemanına geçiş yapamaz. Benzer biçimde diğer alt durumlar için de aynı sonuç doğacaktır. SM Modelinde kurulacak olan geçiş olasılıkları matrisinde kullanılacak durumlar ve bu durumların birbirlerine geçişlerinin mümkün olması için alt durum olarak ifade edilen göstergelerde bir düzenleme yapılmıştır.

Herhangi bir ay için dolar kuru alt durumlarından herhangi birisi meydana geldiğinde, faiz oranları alt durumlarından birisi ve para arzı alt durumlarından da birisi oluşacaktır. Böylece aslında aylık olarak {ADD1, ADD2, ADD3, ADD4}, {ADF1, ADF2, ADF3, ADF4} ve {ADP1, ADP2, ADP3, ADP4} alt durum kümelerinin herhangi birer elemanı aynı anda oluşmuş olacaktır. Bu şekilde karşılıklı oluşabilecek, tüm olası alt durumlar ifade edilerek verilerin alındığı aralık için meydana gelmiş olasılıklar “durum” olarak ifade edilmiş ve sırası ile D1, D2, D3, … biçiminde sembolize edilmiştir. Herhangi üç alt durum kümesinin birer elemanının asla aynı anda oluşmadığı durumlar, durum olarak ifade edilmemiştir ve “Oluşmamış” yazılarak belirtilmiştir. Alt durumların karşılıklı meydana gelmesi ile oluşan durumlar Ek 1’de verilmiştir. Bu durumlar İMKB Ulusal 100 Endeksinde oluşan değişimleri etkileyen faktörler olarak ele alınmıştır. Sadece İMKB Ulusal 100 Endeksi takip edildiğinde durumlar doğrudan gözlemlenemezler. Dolayısıyla durumların İMKB Ulusal 100 Endeksini etkileyen “saklı durumlar” olduğu söylenebilir.

Ek 1’de verilmiş olan durumlar kullanılarak, verilerin alınıp değişim oranlarının hesaplandığı tarih aralığında durumlar oluşturulmuştur. Her bir ay için oluşan durumun bir önceki ay için duruma bağlı olduğu düşünülerek geçiş olasılıkları matrisi oluşturulmuştur. Bu matris 54×54 boyutundadır.

SM Modelinde, herhangi bir duruma ait gözlemler ve bu gözlemlere ait gözlem olasılıkları vardır. Bu gözlemler geçiş olasılıkları matrisinin durumlarına karşılık oluşur. İMKB Ulusal 100 Endeksinde meydana gelen değişim oranları SM Modelinde gözlemlere karşılık gelecek biçimde düşünülmüştür. Veriler için kullanılacak tarih aralığında İMKB Ulusal 100 Endeksi için hesaplanan değişim oranları alt durumlarda olduğu gibi dört ayrı gruba ayrılmıştır. İMKB Ulusal 100 Endeksinde hesaplanan değişim oranlarında oluşan değerlerin gruplandırılması için artma ve azalma değerlerinin ortalamaları kullanılmıştır. Kullanılan ortalama değerlere göre gruplandırma ve semboller Tablo 4’de verilmiştir.

(17)

Tablo 4: İMKB Ulusal 100 Endeksi Değişim Oranları ve Sembolleri

0 ≤ D.O. < 15,53 G1

D.O. ≥ 15,53 G2

-9,54 < D.O. < 0 G3

D.O. ≤ -9,54 G4

Tablo 4’de verilmiş olan gözlem sembolleri kullanılarak, 1988 yılı Ocak ayı ile 2008 yılı Mart ayıda dahil 243 ay için oluşturulan durumlara karşılık gözlem olasılıkları matrisi oluşturulmuştur. Gözlem olasılıkları matrisi, herhangi bir zamanda herhangi bir durum yani {D1, D2, D3, …,D54} kümesinin elemanlarından birisi meydana geldiğinde bu zamanda oluşan gözlemin yani {G1, G2, G3, G4} kümesinin elemanlarından herhangi birisinin alınması ile oluşturulmuştur. Dolayısıyla oluşturulan gözlem olasılıkları matrisi 54×4 boyutunda olacaktır.

SM Modeli parametrelerinden olan başlangıç durum olasılıkları ise, başlangıç anında her bir durumun meydana gelme olasılığı aynı olduğundan tüm durumların olasılıkları eşit alınmıştır. Çünkü modelde yer alan durumlardan hiçbirinin diğer durumlara göre bir önceliği bulunmamaktadır.

SM Modeli gözlemlere bağlı olarak genel bir ifade ile sürekli veya kesikli olmak üzere iki kategoriye ayrılır. Uygulamada yer alan gözlemler kesikli olduğundan, kullanılan SM Modelinin, kesikli SM Modeli olduğu basitçe söylenebilir.

SM Modelini oluşturan ve açıklaması yapılan tüm parametreler kullanılarak, İMKB Ulusal 100 Endeksinin değerinde oluşacak değişim oranlarının tahmini için üç ayrı analiz yapılacaktır. Bu analizler; verilerin alındığı tarih aralığının bitişi olan 2008 yılı Mart ayını takiben yapılacak olup, 2008 yılı Nisan ayı ve 2008 yılı Nisan ve Mayıs aylarına yönelik olacaktır. Bu üç analiz; SM Modelinde incelenen gözlem dizisi olasılığı, gözlem dizisinin altında yatan saklı durumların bulunması ve model parametrelerinin yeniden yapılandırılması problemlerinden oluşmaktadır.

Uygulamada incelenecek olan SM Modelinin üç temel problemi için çözüm algoritmları MatlabR2007b yazılım programı içerisinde yer alan SM Modeli çözüm algoritmaları araçları kullanılarak yapılmıştır.

(18)

4.1. 2008 Yılı Nisan Ayı Tahmin Analizi

2008 yılı Nisan ayına yönelik İMKB Ulusal 100 Endeksinde meydana gelecek değişim oranları, {G1, G2, G3, G4} gözlem kümesinin elemanlarından birisi ile ifade edilebilen bir oran olacaktır. SM Modelinin üç temel probleminden birincisi, verilen bir SM Modelinde, model tarafından gözlem kümesinde yer alan bir gözlemin üretilme olasılığı hesaplar. Birinci problemin çözümünde kullanılan İleri-Yön ve Geri-Yön Algoritmaları ile {G1, G2, G3, G4} gözlem kümesinin her bir elemanının gözlemlenme olasılığı hesaplanmıştır. Bu olasılıklar Tablo 5’de verilmiştir.

Tablo 5: 2008 Yılı Nisan Ayı Gözlemleri için Tahmin Edilen Gözlem Olasılıkları

Gözlem Gözlem Olasılığı (%)

G1 38,41 G2 21,55 G3 19,50 G4 20,53

2008 yılı Nisan ayı için tahmin edilen gözlem olasılıklarından en yükseği %38,41 ile G1 gözlemidir. Bu sonuca göre 2008 yılı Nisan ayında İMKB Ulusal 100 Endeksinde 2008 yılı Mart ayına göre %15,53’ü geçmeyen bir artış olacağı söylenebilir. Gerçek verilere göre 2008 yılı Nisan ayında oluşan değişimin G1 olduğu görülür. Dolayısıyla oldukça etkili bir tahmin yapılmış olur.

SM Modelinin üç temel probleminden ikincisi, modelin saklı kısmının açığa çıkarılması yani herhangi bir gözlemi en uygun biçimde açıklayan saklı durumun bulunmasıdır. Saklı durumun bulunmasında ele alınan gözlemin oluşmasında en etkili olan yani en yüksek olasılıklı olan durum seçilir. Bu işlem için SM Modelinin ikinci probleminin çözümünde verilen Viterbi Algoritması kullanılmıştır.

2008 yılı Nisan ayı için tahmin edilen gözlem olasılıkları ile birlikte bu olasılıkların hesaplanmasında etkili olan durumlar ve durumların içerdiği alt durumlar Tablo 6’da verilmiştir.

(19)

Tablo 6: 2008 Yılı Nisan Ayı Gözlemleri için Tahmin Edilen Gözlem Olasılıkları, Durum Tahminleri ve Alt Durumlar

Gözlem Gözlem Olasılığı (%) Durum

Tahmini Alt Durumlar

G1 38,41 D2 ADD1, ADF1, ADP2

G2 21,55 D1 ADD1, ADF1, ADP1

G3 19,50 D1 ADD1, ADF1, ADP1

G4 20,53 D3 ADD1, ADF1, ADP3

2008 yılı Nisan ayı için tahmin edilen gözlem olasılıklarından en yükseği olan G1 için Viterbi Algoritması ile yapılan durum tahmini D2 olarak bulunmuştur. Gerçek verilere göre 2008 yılı Nisan ayında G1 gözlemine karşılık D37 durumunun oluştuğu görülmüştür. Basit bir ifade ile bu tahminin etkili olamadığı sonucu söylenebilir. Fakat alt durumlar incelendiğinde, G1 gözlemine ait tahmin edilen D2 durumunun içerdiği alt durumlar ADD1, ADF1, ADP2 şeklinde iken, gerçek verilerde oluşan alt durumlar ADD3, ADF3, ADP1 şeklindedir. Tahmin edilen alt durumlara göre dolar kurunda ortalama artma oranından daha küçük bir artma beklenirken, ortalama azalma oranından daha küçük bir azalma meydana gelmiştir. Benzer biçimde faiz oranında ortalama artma oranından daha küçük bir artma beklenirken, ortalama azalma oranından daha küçük bir azalma meydana gelmiştir. Para arzında ise ortalama artma oranından daha büyük bir artma beklenirken, ortalama artma oranından daha küçük bir artma meydana gelmiştir. Bu sonuçlara göre Viterbi Algoritması ile yapılan durum tahminin çok etkili olmasa da yaklaşık sonuçlar ortaya koyduğu söylenebilir.

2008 yılı Nisan ayı için oluşturulan tüm olası gözlem ve gözlem dizileri için model parametrelerinin yeniden düzenlenmesi işlemi gerçekleştirilmiştir. Bu işlem SM Modelinin 3. Probleminin çözümünde incelenen Baum-Welch Algoritması kullanılarak yapılmıştır. Baum-Welch Algoritması kullanılarak, herhangi bir gözlem veya gözlem dizisinin oluşma olasılığı maksimum yapmak amacı ile model parametrelerinin tahmini yapılmıştır. Tüm olası gözlem ve gözlem dizilerine yönelik model parametreleri için yapılan tahmin sonrasında, yeni parametrelerin kullanılması ile parametre düzenlemesinin yapıldığı gözlem veya gözlem dizisine ait olasılıklar %100 olarak bulunmuştur.

(20)

4.2. 2008 Yılı Nisan ve Mayıs Ayları Tahmin Analizi

2008 yılı Nisan ve Mayıs aylarına yönelik İMKB Ulusal 100 Endeksinde meydana gelecek değişim oranları için gözlem kümesi elemanlarından ikili diziler oluşturularak bu diziler için gözlem olasılıkları ve oluşturulan dizileri en yüksek olasılıkla açıklayan durum dizileri tahmin edilmiştir. Bu tahminler ve durum dizileri tahmininde ortaya çıkan durumların içerdiği alt durumlar Tablo 7’de verilmiştir.

Tablo 7: 2008 Yılı Nisan ve Mayıs Ayları Gözlemleri için Tahmin Edilen Gözlem Olasılıkları, Durum Dizisi Tahminleri ve Alt Durumlar

Gözlem Dizisi Gözlem Dizisi Olasılığı (%) Durum Dizisi Tahmini Alt Durumlar

G1, G1 11,80 D40, D38 ADD3, ADF4, ADP1, ADD3, ADF3, ADP3

2008 yılı Nisan ve Mayıs aylarında gerçek gözlemler sırası ile G1 ve G3 şeklindedir. Bu gözlemlerin oluşmasına ilişkin tahmin ise %11,53 olmuştur. Bu değer en yüksek olasılık olan %11,80’den sonraki yüksek olasılıktır. En yüksek

(21)

olasılık olan %11,80 değeri de G1, G1 dizisinin oluşacağını göstermektedir. Diğer tüm gözlem dizisi tahmin olasılıkları ise bu iki değerin oldukça altındadır. 2008 yılı Nisan ayı için yapılan tahminde olduğu gibi bu tahminin de oldukça etkili olduğu söylenebilir.

2008 yılı Nisan ve Mayıs ayları için oluşan G1 ve G3 gözlemleri için durum dizisi D46, D34 olarak tahmin edilmiştir. Gerçek verilere göre ise 2008 yılı Nisan ve Mayıs aylarında G1, G3 gözlem dizisine karşılık D37, D46 durum dizisinin oluştuğu görülür. Tahmin edilen durumların içerdiği alt durumlar, ADD4, ADF1, ADP3, ADD3, ADF1, ADP3 şeklinde iken gerçek durumlara ilişkin alt durumlar ADD3, ADF3, ADP1, ADD4, ADF1, ADP3 şeklindedir.

Tahmin edilen alt durumlara göre Nisan ayında dolar kurunda ortalama azalma oranından daha büyük bir azalma beklenirken, ortalama azalma oranından daha küçük bir azalma meydana gelmiştir. Faiz oranında ortalama artma oranından daha küçük bir artma beklenirken, ortalama azalma oranından daha küçük bir azalma meydana gelmiştir. Para arzında ise ortalama azalma oranından daha küçük bir azalma beklenirken, ortalama artma oranından daha küçük bir artma meydana gelmiştir. Mayıs ayında ise dolar kurunda ortalama azalma oranından daha küçük bir azalma beklenirken, ortalama azalma oranından daha büyük bir azalma meydana gelmiştir. Faiz oranında ortalama artma oranından daha küçük bir artma beklenirken, bu beklenti meydana gelmiştir. Para arzında ise ortalama azalma oranından daha küçük bir azalma beklenirken, bu beklenti meydana gelmiştir.

Bu sonuçlara göre Viterbi Algoritması ile yapılan durum tahminin bazı alt durumlar için etkili bazılar içinse yaklaşık sonuçlar ortaya koyduğu söylenebilir.

2008 yılı Nisan ve Mayıs ayları için Baum-Welch Algoritması kullanıldığında elde edilen yeni parametrelerin kullanılması ile herhangi bir gözlem veya gözlem dizisine ait olasılıklar Nisan ayı için yapılan analizde de olduğu gibi %100 olarak bulunmuştur.

5. SONUÇ VE DEĞERLENDİRME

İMKB Ulusal 100 Endeksinin değerinde oluşacak değişim oranlarının, geleceğe yönelik tahmini üzerine SM Modeli kullanılarak bir uygulama geliştirilmiştir. Çalışma kapsamında İMKB Ulusal 100 Endeksini etkileyen faktörlerden dolar kuru, faiz oranı ve para arzı faktörleri kullanılmıştır. Bu faktörlerin her birinde oluşan değişim oranları alt durum olarak ifade edilmiş olup, kendi içlerinde dört kategoriye ayrılmıştır. Her bir faktöre ait alt durumların aynı anda meydana gelmesi ile durumlar oluşturulmuştur. İMKB Ulusal 100 Endeksi

(22)

değerinde oluşan değişim oranları da gözlem olarak ifade edilip, alt durumlarda olduğu gibi dört kategoriye ayrılmıştır.

Alt durumların birleşmesi ile oluşan durumlar SM Modelinin saklı durumları, İMKB Ulusal 100 Endeksi değerindeki değişim oranları ise SM Modelinin gözlemleri olarak alınmıştır.

SM Modelinin 1. Probleminin çözümünde incelenen İleri-Yön ve Geri-Yön Algoritmalarının, uygulamada incelenen gözlem ve gözlem dizisi olasılıklarının tahmin edilmesinde, belirli koşullar altında çok iyi sonuçlar verdiği söylenebilir. Bu koşullar; geçiş olasılıkları ve gözlem olasılıkları matrislerinin mümkün olduğunca geçmişe dayalı en uzun zaman aralığı kullanılarak oluşturulması ve tahmin edilecek dizinin eleman sayısının fazla olmamasıdır.

Viterbi Algoritması, herhangi bir gözlemi en uygun biçimde açıklayan saklı durumları bulmaya yönelik olarak geliştirilmiş bir algoritmadır. İMKB Ulusal 100 Endeksinin değerinde oluşan değişim oranlarına yani gözlemlere karşılık oluşan durumlar zaman içerisinde genellikle farklı biçimlerde olmuştur. Dolayısıyla herhangi bir gözlem meydana geldiğinde oluşan durum çoğunlukla her seferinde farklı olmuştur. Durumun farklı olması durumu meydana getiren alt durumların farklı olmasından kaynaklanmaktadır. İMKB Ulusal 100 Endeksi, psikolojik ve siyasi faktörlerden olumlu veya olumsuz yönde çok fazla etkilendiği için, oluşacak bir değişim oranı dolar kuru, faiz oranı ve para arzı faktörlerinde oluşacak değişim oranları ile açıklanamayabilir. Bundan dolayı bu faktörlerin farklı değişim oranlarının aynı anda meydana gelmesi ile oluşan durumlara karşılık gelen gözlemler genelde farklı olmuştur.

Viterbi Algoritması ile yapılan tahminlemenin etkili olabilmesi için modelde yer alan gözlemler oluştuğunda, her bir gözleme karşılık oluşan durumun belirli özelliklerle göre zaman içerisinde sıklıkla yeniden oluşması gerekir. Yani herhangi bir gözlemi açıklayan saklı durumun yüksek olasılıklarla değişmeyen olması gerekmektedir.

Baum-Welch Algoritması ile model parametrelerinin yeniden belirlenmesi işlemi sonucunda yeni parametrelere göre hesaplanan gözlem ve gözlem dizisi olasılıklarının maksimum düzeyde oluştuğu görülmüş olup bu algoritmanın model parametrelerinin yeniden belirlenmesinde oldukça etkili olduğu söylenebilir.

İMKB Ulusal 100 Endeksi değerinde oluşan değişim oranlarının tahmini üzerine yapılan uygulamanın genel olarak etkili olduğu söylenebilir. Bu tip bir uygulama için ele alınan gözlemlerin saklı durumlar tarafından tam olarak ifade edilebilmesi gerekir. Ayrıca, İMKB Ulusal 100 Endeksini etkileyen faktörlerin daha fazla sayıda alınması tahminlemenin daha iyi olacağı sonucu ortaya çıkar. Fakat bu

(23)

durumda faktörlerin kategorilendirilmesi ile çok fazla sayıda durum oluşacaktır. Örneğin, uygulamada ele alınan üç faktör yerine beş faktör alınsaydı, bu faktörlerin

dört kategoriye ayrılması ile yaklaşık adet durum oluşurdu. Gözlem

olasılıkları matrisinin 1024×5 boyutunda ve geçiş olasılıkları matrisinin de 1024×1024 boyutunda olacak olması model için kullanışlı olmayacaktır. Bunun yerine daha az sayıda faktör alınması ise İMKB Ulusal 100 Endeksi değerinde oluşan değişim oranlarının tahmin edilmesi için yetersiz kalacaktır.

1024

4

5

₌

KAYNAKÇA

ASAI, K., HAYAMIZU, S., HANDA, K. (1993), “Prediction of protein secondary structure by the hidden Markov model”, Comput. Appl. Biosci. 9, 141–146. BALL, F., RICE, J.A. (1992), “Stochastic models for ion channels: Introduction and

bibliography”, Math. Biosci. 112, 189–206.

BAUM, L.E., PETRIE, T. (1966), “Statistical inference for probabilistic functions of finite state Markov chains”, Ann. Math. Statist. 37, 1554–1563.

BAUM, L.E., EAGON, J.A. (1967), “An inequality with applications to statistical estimation for probabilistic functions of Markov processes and to a model for ecology”, Bull. Am. Math. Stat. 37, 360-363.

BAUM, L.E. (1972), “An inequality and associated maximization technique in statistical estimation for probabilistic functions of Markov processes”,

Inequalities 3, 1-8.

BECCHETTI, Claudio, RICATTI, Lucio Prina (2004), Speech Recognition Theory

and C++ Implementation, Jhon-Wiley & Sons Inc., England.

BHAR, Ramaprasad, HAMORI, Shigeyuki (2004), Hidden Markov Models

Applications to Financial Economics, Kluwer Academic Publishers, The

Netherlands.

BICEGO, Manuele, MURINO, Vittorio (2004), “Investigating Hidden Markov Models’ Capabilities in 2D Shape Classification”, IEEE Transactions On

Pattern Analysis And Machine Intelligence, Vol.26, No.2, 281-286.

BING, F., DING, X.Q. (2000), “Off-line handwritten Chinese character recognition with hidden Markov models”, In: 5th International Conference on Signal

Processing Proceedings, 2000, WCCC-ICSP 2000, vol. 3, New York.

BOECKH, J. Anthony, COGHLAN, Richard T. (1982), The Stock Market and

(24)

BULUTOĞLU, Kenan (2003), Tepeden Dibe Borsalar, Yapı Kredi Yayınları, İstanbul.

CAN, Tuncay (2006), Sektörler Arası İlişkilerin Markov Zincirleri ile Analizi ve

Türkiye Örneği, Derin Yayınları, İstanbul.

CHEN, M.Y., KUNDU, A., ZHOU, J. (1994), “Off-line handwritten word recognition using a hidden Markov model type stochastic network”, IEEE

Trans. Pattern Recognition Mach. Intel. 16, 481–496.

CHUNG, Kai Lai, WALSH, John B. (2005), Markov Processes, Brownian Motion,

and Time Symmetry, Second Edition, Springer Science+Business Media

Inc., United States of America.

CİNEMRE, Nalan (2003), Yöneylem Araştırması, İkinci Baskı, Beta Basım Yayım Dağıtım, İstanbul.

COPELAND, Laurence S. (1989), Exchange Rates and International Finance, Addison-Wesley Publishing Company, England.

DİKMEN, M. Orhan (1993), “Faiz Politikaları ve Türkiye’deki Uygulamalar”,

İktisadi Araştırmalar Vakfı Semineri, İstanbul.

DO, M.N., VETTERLI, M. (2002), “Rotation invariant texture characterization and retrieval using steerable wavelet-domain hidden Markov models”, IEEE

Trans. Multimedia. 4, 517-527.

DUPACOVA, Jitka, HURT, Jan, STEPAN, Josef (2002), Stochastic Modeling in

Economics and Finance, Kluwer Academic Publishers, United States of

America.

EDİZDOĞAN, Nihat (1989), Kamu Maliyesi, Kamu Ekonomisi, Kamu Harcamaları

ve Bütçe, Atlas Ofset, Bursa.

ELLIOTT, Robert, J., AGGOUN, Lakhdar, MOORE, John, B. (1995), Hidden

Markov Models: Estimation and Control, Second Printing,

Springer-Verlag, United States of America.

EWENS, Warren, GRANT, Gregory (2005), Statistical Methods in Bioinforatics:

An Introduction, Second Edition, Springer Science+Business Media Inc,

United States of America.

FEENSTRA, Robert C. (2000), The Impact of International Trade on Wages, The University of Chicago Pres, United States of America.

GUOLIANG, F., XIA. X.G. (2003), “Wavelet-based texture analysis and synthesis using hidden Markov models”, IEEE Trans. Circ. Syst. I: Fundam. Theory

(25)

HAMILTON, J.D. (1989), “A new approach to the economic analysis of nonstationary time series and the business cycle”, Econometrica 57, 357– 384.

HAMILTON, James, D. (1994), Time Series Analysis, Princeton University Pres, United States of America-New Jersey.

HEFFES, H., LUCANTONI, D. (1986), “A markov modulated characterization of packetized voice and data traffic and related statistical multiplexer performance”, IEEE Journal on Selected Areas in Comminication 4, 856-867.

İstanbul Menkul Kıymetler Borsası (1997), “İMKB Hisse Senedi Endeksleri”, http://www. imkb.gov.tr/ endeksler/hissex.htm (Erişim Tarihi: 10 Ocak 2009).

KANALICI, Hülya (1997), Hisse Senedi Fiyatlarının Tesbiti ve Tesir Eden

Faktörler, Tisamat Basım Sanayi, Sermaye Piyasası Kurulu, Yayın No: 77,

Ankara.

KARAN, Mehmet Baha (2001), Yatırım Analizi ve Portföy Yönetimi, Gazi Kitabevi, Ankara.

KARLSSON, Magnus (2004), “Hidden Markov Models”, http://www. math.chalmers.se /~olleh/Markov_Karlsson.pdf (Erişim Tarihi: 21 Şubat 2008).

KEYDER, Nur (1977), Para Arzı ve Talebi: Türkiye Üzerine Bir Deneme, Baylan Matbaası, Ankara.

KROGH, A., BROWN, M., MİAN, I.S., SJOLANDER, K., HAUSSLER, D. (1994), “Hidden Markov Models in computational biology: Applications to protein modeling”, J. Molecular Biology 235, 1501-1531.

ÖZTÜRK, Ahmet (2004), Yöneylem Araştırması, Genişletilmiş 9. Baskı, Ekin Kitabevi Yayınları, Bursa.

PETRIE, T. (1996), “Probabilistic functions of finite state Markov chains”, Ann.

Math. Statist. 40, 97–115.

RABINER, L.R. (1989), “A tutorial on hidden Markov models and selected applications in speech recognition”, Proceedings Of The IEEE, Vol. 77, No. 2, 257–286.

RABINER, Lawrence, JUANG, Biing-Hwang (1993), Fudamentals of Speech

Recognition, Prentice Hall International Inc., Prentice Hall Signal

(26)

RYDEN, T., TERASVIRTA, T., ASBRINK, S. (1998), “Stylized facts of daily return series and the hidden markov model”, Journal of Applied

Econometrics, 13(3), 217-244.

SAYILGAN, Güven (2004), Hisse Senetleri Piyasası Endeksleri Kuram Uygulama

Bir Model Önerisi, Turhan Kitabevi Yayınları, Ankara.

SCHLIEP, Alexander, GEORGI, Benjamin, RUNGSARITYOTIN, Wasinee, COSTA, Ivan G., SCHÖNHUTH, Alexander. (2004), “The General Hidden Markov Model Library: Analyzing Systems with Unobservable States”,

Forschung und wissenschaftliches Rechnen: Beitrage zum Heinz-Billing Preis, Series GWDG-Bericht, 121-135.

STEEB, Willi-Hans (2005), The Nonlinear Workbook, 3rd Edition, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore.

STIRZAKER, David (2003), Elementary Probability, 2nd Edition, Cambridge University Press, United States of America.

TIJMS, Henk C. (2003), A First Course in Stochastic Models, John Wiley & Sons, Inc., England.

TOKAÇ, Adnan (2001), “IBS Analiz Temel Borsa Bilgileri”, http://analiz.ibsyazilim.com/ egitim/tbb.html#hisse (Erişim Tarihi: 10 Aralık 2008).

TUNCER, Selahattin (1984), Vergi Uygulamaları, 5. Baskı, Okan Yayıncılık, İstanbul.

Türkiye Cumhuriyet Merkez Bankası, “TCMB Elektronik Veri Dağıtım Sistemi”, http://evds. tcmb.gov.tr/ (Erişim Tarihi: 18 Temmuz 2008).

VASEGHI, Saeed V. (2007), Multimedia Signal Processing Theory and

Applications in Speech, Music and Communications, John-Wiley & Sons

Ltd., England.

XUE, Hanhong, GOVINDARAJU, Venu (2006), “Hidden Markov Models Combining Discrete Symbols and Continuous Attributes in Handwriting Recognition”, IEEE Transactions On Pattern Analysis And Machine

(27)

Ek1: Alt Durumların Karşılıklı Meydana Gelmesi ile Oluşan Durumlar Dolar Kuru Alt Durumlar Faiz Oranı Alt Durumlar Para Arzı Alt Durumlar Durum Dolar Kuru Alt Durumlar Faiz Oranı Alt Durumlar Para Arzı Alt Durumlar Durum

ADD1 ADF1 ADP1 D1 ADD3 ADF1 ADP1 D32

ADD1 ADF1 ADP4 D4 ADD3 ADF1 ADP4 Oluşmamış

ADD1 ADF2 ADP3 D7 ADD3 ADF2 ADP3 Oluşmamış ADD1 ADF2 ADP4 Oluşmamış ADD3 ADF2 ADP4 Oluşmamış

ADD1 ADF3 ADP2 D9 ADD3 ADF3 ADP2 Oluşmamış

ADD2 ADF1 ADP4 D19 ADD4 ADF1 ADP4 Oluşmamış ADD2 ADF2 ADP1 D20 ADD4 ADF2 ADP1 Oluşmamış ADD2 ADF2 ADP2 D21 ADD4 ADF2 ADP2 Oluşmamış ADD2 ADF2 ADP3 D22 ADD4 ADF2 ADP3 Oluşmamış