Yeni Ürünler

makale

ÇOK SERBESTLÝK DERECELÝ SÝSTEMLERÝN LÝNEER

OLMAYAN TÝTREÞÝMÝ: GENELLEÞTÝRÝLMÝÞ

DÝFERANSÝYEL QUADRATURE YAKLAÞIMI

Ü

GÝRÝÞ

lkemizde son 10 yýlda meydana gelen þiddetli depremler; deprem mühendisliði ve dolayýsýyla yapý dinamiði disiplininin önemini bir daha vurgulamýþtýr. Bir baþka ifadeyle bilginin ne kadar pahalý olduðu ve bunun ihmali durumunda ise bize ne kadar pahalýya patlayacaðýný çok iyi vurgulamýþtýr. Çaðdaþ deprem mühendisliði; standartlarda sýnýrlarý belirtilen küçük veya orta þiddetli depremlerde yapýlarýn elastik, daha yüksek þiddetli depremlerde ise elasto-plastik sýnýrlar içinde deformasyonlar yapmasýný öngörür [1]. Yani, orta þiddetli büyüklükte kabul edilecek bir deprem için herhangi bir ekonomik kayba neden olmadan veya hasar oluþmayacak þekilde yapýnýn yanýt vermesi, bundan daha büyük depremlerde ise yapýda geçici veya kalýcý çeþitli deformasyonlar oluþsa da yapý elemanlarýnýn gevrek ve ani kýrýlmalar yapmamasý veya tamamýyla mekanizme durumuna geçmemesi istenir. Bu amaçlara ulaþmak; yapýnýn tasarlanmasý, analizi ve gerçekleþtirilmesi süresince pek çok faktöre baðlýdýr. Ancak, yapý sistemlerinin analizi kapsamýnda her zaman; daha hassas sonuçlara daha az bilgisayar ihtiyacý ve daha kýsa zaman kullanarak ulaþmak esastýr. Yani elde edilecek çözümün ekonomik olmasý istenir. Fiziksel bir sistemin matematik modelinin elde edilmesi, mühendislik uygulamalarýndaki ilk aþamadýr. Bu denklem; sistemin sürekli ve ayrýk kabul çözümüne göre, kýsmi veya adi türevli bir diferansiyel, bir integral veya nadir olarak bir lineer denklem sistemi elde edilir. Gerek mühendisliðin; akýþkanlar ve katý cisimler mekaniði, sürekli ortamlar mekaniði gibi uygulamalý alanlarýnda ve gerekse temel bilimlerde karþýlaþýlan denklemler genelde lineer ya da nonlineer türde bir kýsmi diferansiyel denklem olmakta ve problem neticede bir sýnýr deðer veya baþlangýç deðer probleminin çözümüne indirgenmektedir [2,3]. Daha az düðüm noktasý kullanarak daha kýsa sürede sonuca ulaþma çabalarý neticesinde diferansiyel quadrature metodu önerilmiþtir. Metot; aðýrlýk katsayýlarýnýn hesaplanmasýndaki güçlüklerin giderilmesi ve kullanýlan yaklaþým fonksiyonlarýnýn bulunmasýndan sonra yaygýnlaþmýþ ve ancak 1987 yýlýndan sonra yapý mekaniði ve akýþkanlar mekaniði problemlerine baþarýyla uygulanmýþtýr [4, 5, 6, 7, 8]. Günümüze kadar son on yýl içinde plak, kabuk ve kiriþlerin statik, dinamik ve stabilite hesabýnda baþarýyla kullanýlmýþ olup, diferansiyel quadrature Ömer CÝVALEK *,

Hikmet Hüseyin ÇATAL**

Genelleþtirilmiþ diferansiyel quadrature metodu çok serbestlik dereceli sistemlerin lineer olmayan serbest ve zorlanmýþ titreþim analizine uygulanmýþtýr. Çok serbestlik dereceli sisteme ait hareket denklemi diferansiyel quadrature metodu ile, çözüm bölgesindeki düðüm noktalarýnda bilinmeyen fonksiyon deðerleri olarak tanýmlanmýþ bir lineer denklem takýmýna indirgenmiþtir. Sistem dinamik yanýtý olarak; deplasmanlar hesaplanmýþtýr. Bulunan sonuçlar yapý dinamiði açýsýndan yeter doðruluða ve hassasiyete sahiptir.

Anahtar sözcükler : Çok serbestlik dereceli sistem, lineer olmayan titreþim, genelleþtirilmiþ diferansiyel quadrature

Generalized differential quadrature method is applied to the nonlinear free and forced vibration analysis of the multi degree of freedom systems. The equation of motion of the multi degree of freedom system is reduced to a linear algebraic equation in terms of the unknown function values at the grid points in the field domain via differential quadrature method. Displacements are found as the dynamic response of the system. It is found that the obtained results are accurate and efficient in point view of the structural dynamic disciplines.

Keywords : Multi degree of freedom system, nonlinear vibration, generalized differential quadrature.

* _{Yrd. Doç.Dr., Akdeniz Üniversitesi, Ýnþaat Müh.} Böl., Mekanik Ana Bilim Dalý

makale

elemanlar metodu, 1992 yýlýnda genelleþtirilmiþ diferansiyel quadrature (GDQ) ve 1995 yýlýnda harmonik diferansiyel quadrature(HDQ) metodu gibi üç farklý versiyonu önerilmiþ olup aðýrlýk katsayýlarýnýn hesaplanmasý ve seçilen polinom fonksiyonu açýsýndan orijinal diferansiyel quadrature'dan farklýlýk gösterir[9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]. Bu çalýþmanýn amacý çok serbestlik dereceli (ÇSD) olarak modellenen fiziksel sistemlerin dinamik analizini idare eden matematik modellerinin uygun baþlangýç koþullarý ile birlikte genelleþtirilmiþ diferansiyel quadrature metodu ile çözmektir.

DÝFERANSÝYEL QUADRATUR (DQ) METODU

Diferansiyel quadrature metodu; bir fonksiyonun verilen bir ayrýk noktadaki bir uzay deðiþkenine göre kýsmi türevi, o deðiþken bölgesinin bütün ayrýk noktalarýndaki fonksiyon deðerlerinin aðýrlýklý bir lineer toplamý ile ifade edilir, þeklinde tanýmlanan düþünceye dayanýr. Yeter yaklaþýkta sonuçlar elde etmek için daha az sayýda grid kullanan diferansiyel quadrature metodu; fizik ve mühendislikte karþýlaþýlan baþlangýç deðer ve sýnýr deðer problemleri için farklý bir yaklaþým ortaya koymuþtur. Diferansiyel quadrature metodunun uygulanmasý sýrasýnda ortaya çýkan en önemli kavram aðýrlýk katsayýlarýnýn hesabýdýr. Bu amaçla test fonksiyonu olarak çeþitli tipte polinomlar ve fonksiyonlar önerilmiþtir. Spektral yöntemlere benzer olarak çeþitli tipteki orthogonal polinomlarýn (Chebyshev, Lagrange, Legendre vb.) kullanýldýðý Genelleþtirilmiþ Diferansiyel Quadrature (GDQ), kuvvet fonksiyonlarýnýn kullanýldýðý orijinal Diferansiyel Quadrature (DQ) veya son zamanlarda yapýlan bazý çalýþmalarda gördüðümüz harmonik fonksiyonlarýn kullanýlmasýný öneren Harmonik Diferansiyel Quadrature (HDQ) metotlarý literatürde bilinen ve kullanýlan yöntemlerdir. Kuvvet polinomlarýnýn kullanýlmasý ile tek boyutlu bir y (x) fonksiyonun birinci türevini xi (i=1,2,...,N) noktalarýnda N ayrýk nokta için göz önüne alýrsak i .nci ayrýk nokta için birinci türev

); x ( ø a x ø ) x ( ø N _j 1 j ij xi x i x =_∂∂ = ∑ = = i=1,2,...,N (1)

olacaktýr. Burada xj deðiþken bölgesindeki ayrýk noktalarý, Y(xj) bu noktalardaki fonksiyon deðerlerini, ve aij birinci dereceden türev için bu deðerleri fonksiyon deðerlerine baðlayan aðýrlýk katsayýlarýný ifade eder. Kuvvet polinomlarý kullanýmýnda (1) denklemi tam olarak alýndýðýnda, test fonksiyonu olarak (N-1) veya daha küçük dereceden seçilen polinom fonksiyonu için;

Yk(x) = xk-1_{, k = 1,2,...,N (2)} verilen denklem (1)'de yerine yazýlýrsa aþaðýda belirtildiði formda bir lineer denklem takýmý verir.

( )

k 1x a xk 1 j N 1 j ij 2 k i − = − _{= ∑} − ₍₃₎ i = 1,2,...,N ve k = 1,2,...,N için

Benzer iþlemler iki ve daha fazla dereceden türev ifadeleri için de yazýlabilir. Böylece, her bir dereceden türev için aðýrlýk ifadeleri birinci dereceden türev ifadesinden farklý olmaktadýr. Ýkinci dereceden türev için metot

( )

b ø (x ); x ø x ø N _j 1 j ij xi x 2 2 i xx =∂_∂ = ∑ = = i = 1,2,...,N (4)

olarak verilir. Burada bij ikinci dereceden türev için aðýrlýk katsayýsýdýr. Denklem (4) birinci dereceden aðýrlýk katsayýlarý cinsinden

( )

A A (x ) x x k N 1 k jk N 1 j ij xi x 2 2 i xx =∂_∂Ψ = ∑ ∑ Ψ Ψ = = = i= 1,2,...,N (5)

olarak yazýlýr. Denklem (2) ile verilen polinom fonksiyon uygulanýrsa ikinci dereceden türev ifadesi

( )(

k 1 k 2

)

x B xk 1 j N 1 j ij 3 k i − = − _{= ∑} − − ₍₆₎

olmaktadýr. Bu denklem yukarýda verilen (3) denklemine benzer yaklaþýmla çözülür. Eðer spesifik yani özel olarak hesap yapýlmak istenen bir nokta var ise bu noktaya göre düzenlenmiþ eþit olmayan aralýklý grid nokta seçimi de benzer olarak yapýlýr.

makale

GENELLEÞTÝRÝLMÝÞ DÝFERANSÝYEL

QUADRATURE (GDQ)

Ýlk önerilen diferansiyel quadrature yaklaþýmýnda aðýrlýk katsayýlarýnýn hesaplanmasýnda çeþitli güçlükler ortaya çýkmaktadýr. Birinci yöntemde elde edilen denklemin katsayýlar matrisi Vandermonde sistemi olduðundan determinantýnýn hesabýnda güçlük çýkar ve denklemin çözümü tekildir. Özellikle grid sayýsý arttýkça sonuçlarýn hassasiyeti azalabilmektedir. N grid sayýsý 20 den büyük olduðu durumlarda sonuçlarýn güvenirliliði azalmaktadýr. Bunlara ilaveten, her bir iþlem adýmýnda NxN denklem takýmýný çözme zorunluluðu vardýr. Ýkinci yaklaþýmda ise farklý sýnýr þartlarý ve geometri için metodun uygulanabilirliði azalmaktadýr. Yani; gerek, daha az sayýda grid noktasý seçilerek her iþlem adýmýnda bir lineer denklem takýmý çözmeyi gerektiren birinci yöntemde gerekse de düðüm noktalarýnýn daðýlýmýný kýsýtlayan Legendre yaklaþýmýnda metodun uygulanabilirliði açýsýndan çeþitli güçlükler vardýr. Dolayýsýyla; hem bu güçlükleri gidermek açýsýndan hem de metodun kullaným alaný ve uygulanabilirliðini kolaylaþtýrmaya yönelik çabalar sonucunda iki ayrý grup tarafýndan baðýmsýz olarak metot geliþtirilerek aðýrlýk katsayýlarýnýn hesabý farklý grid noktalarý ve yüksek dereceden türevler için uygun bir formda elde edilebilmiþ ve genelleþtirilmiþ diferansiyel quadrature metodu ortaya çýkmýþtýr. Shu ve Richards [5] aðýrlýk katsayýlarý için herhangi bir tekilliðe neden olmayan ve büyük sayýda lineer denklem takýmý çözümü gerektirmeyen analitik ifadeler önermiþlerdir. Bu metotta birinci ve ikinci dereceden türevler için;

, N ., 1,2,... j i, ; ) x ( M ) x x ( ) x ( M Ai x j (1) j i i (1) (1) j = ₋ = j ¹¹i (7) , N ., 1,2,... j i, ; ) y ( P ) y y ( ) y ( P Bi y j (1) j i i (1) (1) j = ₋ = j ¹¹i (8) Burada ) y y ( ) y ( P ), x x ( ) x ( M Ny _j i j 1, j i i (1) j Nx i j 1, j i (1)

_i

_{= ∏ − = ∏ −} ≠ = ≠ = (9,10) ; x x A A A r A

[

]

j i 1) (r ij (1) ij 1) (r ii (r) ij = − ₋ − − i,j =1,2,....,Nx , j¹i; ve r = 2,3,...., Nx-1 (11) ; y y A B B s B

[

]

j i 1) (s ij (1) ij 1) (s ii (s) ij = − ₋ − − _{i,j =1,2,....,Ny ,}

j¹i; ve s = 2,3,..., Ny-1 için (12)

1 N 1,2,..., r ve N .., 1,2,... i ; A x x Nx i j 1, j (r) ij (r) ii

A

− = = ∑ − = ≠ = ₍₁₃₎ 1 N 1,2,..., r ve N .., 1,2,... i ; B y y Ny i j 1, j (s) ij (s) ii =− ∑ B = = − ≠ = (14)

Üniform grid noktalarý için denklem (7) ve (8) ile verilen aþaðýdaki forma indirgenir.

(

)

( )( )(

i j j 1!N j

)

! Äx i( 1!)N i! ) 1 ( Aij= − i+j ₋− ₋ − ₋ i, j = 1,2,...,N, j¹i (15)

( )(

)

( )( )(

i j j 1!M j

)

! Äy i 1!M i! ) 1 ( Bij= − i+j ₋− ₋ − ₋ i, j = 1,2,...,M j¹i (16)

Burada Dx = xi -xi-1 ve Dy = yi -yi-1. Bütün grid noktalarýndaki fonksiyon deðerleri hesaplanýnca herhangi bir noktadaki türev yaklaþýmlarý

(x) á ) y , x ( ) y (x, Nx _{j i} 1 i i j = ∑ Ψ Ψ = (17) (y) â ) y , x ( y) , x ( Ny _{j j} 1 j i i = ∑ Ψ Ψ = (18) (y) â (x) á ) y , x ( y) (x, Ny _{j i j} 1 j i Nx 1 i ∑ Ψ ∑ = Ψ = = (19)

Burada á_i(x) ve â_j(y) _{deðerleri sýrasýyla x ve y} doðrultularýndaki Lagranj enterpolasyon polinom fonksiyonlarýdýr. Diferansiyel quadrature metodunda

makale

çözümün hassasiyeti bazý problem türlerinde sýnýr koþullarýna baðlý olsa da (sýnýr deðer problemlerinde) genelde bu hassasiyet düðüm (grid) noktalarýnýn seçimine ve sayýsýna baðlýdýr. Düðüm noktalarý sonlu farklar metodunda teþkil edilen þebeke (network) seçimi, veya sonlu elemanlar metodunda seçilen sonlu eleman að tipi ile hemen hemen benzerdir. Bu benzerlik yapýsal bir benzerlik olmayýp fiziksel sistemi temsil eden matematik model için çözümün bulunacaðý temel noktalar bazýndadýr. Daha önce yapýlan çalýþmalarda gösterilmiþtir ki; lineer türden denklemler ve homojen sýnýr koþullarýna sahip problemlerde eþit aralýklý seçilen düðüm noktalarý çözüm hassasiyeti açýsýndan yeterlidir. Eþit aralýklý noktalar ile iþlem kýsmen kolay ve uygulamasý daha basittir, ancak eþit olmayan nokta aralýðý için az da olsa sonuçlarýn hassaslýðý azalýp bazýlarýnda artar [16,17]. Düðüm noktalarýnýn seçiminde sýkça kullanýlan bir yöntem her doðrultuda yani her bir koordinat yönünde (zamana baðlý problemlerde zaman ekseninde) eþit aralýklý seçilen grid daðýlýmý seçmektir. Bu tür grid [4,5]:

1 N 1 i x x i= −₋ ; i = 1,2,...Nx (20) olarak verilir.

ÇOK SERBESTLÝK DERECELÝ SÝSTEMLER Mühendislik yapýlarýnýn büyük bir çoðunluðu kullaným süreleri boyunca bir veya daha fazla dinamik yüklemeye maruz kalýrlar. Yapýya etkiyen kuvvetler en genel manada; periyodik ve periyodik olmayan kuvvetler veya deterministik ve keyfi (random) kuvvetler olarak dört farklý grupla sýnýflandýrýlabilir. Yapýlarýn serbest veya zorlanmýþ titreþim etkileri altýnda dinamik analizi, deprem mühendisliði ve yapý dinamiði disiplininin temel kavramlarýndan biridir. Depreme dayanýklý yapý tasarýmý; titreþim frekanslarý, mod ve karþý gelen mukabele spektrumlarý gibi parametreler ile ilgilenir. Dinamik yükler etkisindeki yapýlarýn analizi ve dizayný zamana

baðlý deðiþen kuvvetlerin dikkate alýnmasýný gerektirir. Kuvvetler zamana baðlý olup, yapýnýn karakteristikleri ve davranýþý önemlidir. Rüzgar, deprem, darbe, patlama kuvvetleri, endüstriyel yapýlarda makina ve motorlarýn oluþturduðu titreþim kuvvetleri, fabrika krenlerinde oluþan titreþimlerin yapýya etkileri veya uçak-uzay sanayinde kullanýlan gövde ve kanat gibi elemanlarýn maruz olduðu aero-dinamik yüklerin oluþturduðu etkiler örnek olarak verilebilir. Etkiyen kuvvetlerin sabit bir deðeri yoktur. Yani yükler zamanýn bir fonksiyonu þeklinde ifade edilirler. Böylece yapý kütlesine etkiyen kuvvetlerde zamanla deðiþeceðinden yapýnýn yanýtýnýn deðiþmesine neden olacaktýr. Statik çözümlemede tek bir sonuç olduðu halde, dinamik analiz neticesinde elde edilen çözüm zamana baðlý bir fonksiyon þeklinde olup, bir çözüm kümesi þeklindedir. Bu çözüm kümesinin veya fonksiyonun ekstrem deðerleri çözüm olarak alýnýr. Bunlardan baþka ve en önemlisi, statik çözümlemede yer deðiþtirmelere karþýlýk dinamik analizde atalet kuvvetleri oluþur. Sonsuz serbestlik dereceli sistemlerinin çözümünde çeþitli matematik güçlükler ortaya çýkmakta buna karþýn süreksiz ortam problemlerinin çözümünde gerekli olan hesaplayýcý kapasitesi ve hesap süresi artmaktadýr. Tek serbestlik dereceli bir sistemde kütlenin tek bir noktada toplandýðý kabulü matematik modelleme yapýlabilmektedir. Çoðu mühendislik sisteminde bu yaklaþým mühendislik analizi açýsýndan yeter hassasiyette sayýsal sonuçlar verir. Bazý durumlarda, örneðin bir kesme çerçevesinde veya deprem etkisindeki bir yapýda her kata gelen kuvvetlerin, her katýn rölatif deplasmanlarý veya titreþim frekanslarýnýn bulunmasý gerekebilir. Bu gibi durumlarda sistem uygun bir þekilde ve yeter sayýda ayrýk sisteme ayrýlarak analiz yoluna gidilir. Böylece, sistemin hareketi sadece bir tek koordinat doðrultusu ile ifade edilemez. Sonuç olarak sistem; kütle, sönüm, rijitlik terimleri açýsýndan deplasman sayýsý dikkate alýnarak matris formda yazýlýr. Bu amaçla Þekil 1'de görülen çerçeveyi dikkate alalým.

makale

F3 (t) F2 (t) F1 (t) Kütle Sönüm Rijitlik m3 c3 k3 m2 c2 k2 m1 c1 k1

Þekil 1. (a) Çok Serbestlik Dereceli Örnek Bir Sistem

m

1

_m

₂

_m

₃ F3(t)

c

1

c

2

_c

₃

k

1

k

₂

k

3 u1 u2

_u

3 F1(t) F2(t)

Þekil 1. (b) Kütle-Yay- Sönüm Elemaný Olarak Matematik Model

Her bir kütle için hareketin denge denkleminden

(

c c

)

u c u

(

k k

)

u k u _F (t)

u

m1&&1+ 1+ 2 &1− 2&2+ 1+ 2 1− 2 2= 1

(

)

(

)

(t) F u k u k k u k u c u c c u c u m 2 3 3 2 3 2 1 2 3 3 2 3 2 1 2 2 2 = − + + − − + +

− & & &

&& (t) F u k u k u c u c u

m3&&3− 3&2+ 3&3− 3 2+ 3 3= 3

elde edilir. Bu denklemler kapalý matris formda } F(t) { } U ]{ K [ } U ]{ C [ } U ]{ M [ _ij &&_j + _ij &_j + _{ij j} = _{i (21)}

olarak yazýlýr. Burada kütle, sönüm ve rijitlik matrisleri;

          = m 0 0 0 m 0 0 0 m ] M [ 3 2 1 ij _;           − − + − − + = c c 0 c c c c 0 c c c ] C [ 3 3 3 3 2 2 2 2 1 ij           − − + − − + = k k 0 k k k k 0 k k k ] K [ 3 3 3 3 2 2 2 2 1 ij

olarak tanýmlar. Ayrýca deplasman, hýz, ivme ve kuvvet vektörleri sýrasýyla

{ }

          = U U U U 3 2 1 ij _,

{ }

_          = U U U U 3 2 1 ij & & & & _,

{ }

          = U U U U 3 2 1 ij && && && && ve

{ }

_          = F F F ) t( F 3 2 1 ij

þeklinde verilir. Serbest titreþim durumunda hareket denklemi ) t( F u ] K [ dt du ] C [ t d du ] M [ 2 2 = + + ₍₂₂₎

olarak verilir. Bu denklemde [M], kütle, [C] sönüm ve [K] rijitlik matrislerini, u = deplasman vektörünü belirtir. Denklem t = t / Dt için boyutsuzlaþtýrýlarak tekrar düzenlenirse

makale

) t ( F u ] K [ d du t 1 ] C [ d du t) ( 1 ] M [ _{2 2}2 + = τ∆ τ ∆ + τ ∆ (23)

ifadesi elde edilir. Burada t Ì [0, Dt]. Diferansiyel quadrature formunda denklem [23];

)t ( F u ] K [ u A t 1 ] C [ u B t) ( 1 ] M [ N _{j ij j j} 1 j ij 2 N 1 j ∆ τ = + ∆ + ∑ ∆ =

∑

= (24)

olarak yazýlýr. Denklemde Aij ve Bij ifadeleri bir önceki bölümde hesaplanmasý verilen diferansiyel quadrature yöntemi için gerekli birinci ve ikinci mertebeden aðýrlýk katsayýlarýdýr. Böylece her bir zaman adýmý için bilinmeyen deplasmanlar hesaplanýr.

Lineer Olmayan Dinamik Analiz

Herhangi bir sistemde, malzemenin yük-deformasyon eðrisi tek deðerli ve daha önce oluþan hareketten etkilenmiyorsa esnek davranýþ, tersi duruma ise esnek olmayan davranýþ denilir. Bununla birlikte yapýnýn esnek olmasý ayný zamanda yapýnýn doðrusal davranmasýný gerektirmez. Esneklik sýnýrlarý üzerinde deformasyona uðrayan birçok yapý elemaný doðrusal olmayan davranýþ gösterebilir ve iç sürtünmeler, plastik kaymalar nedeni ile sahip olduðu mekanik enerjinin bir kýsmýný kaybeder. Bu olaya histeresis, bu gibi elemanlardan oluþan esnek olmayan sistemlere ise histerestik sistemler denir. Betonarme ve çelik yapý elemanlarýnýn çoðunda deformasyonlar belirli bir deðeri aþýnca doðrusal olmayan histerestik davranýþ oluþur. Dinamik sistemlerin lineer analizinde; yay eleman ile kazanýlan yük, deplasman ile, viskoz sönümleme mekanizmasý vasýtasýyla sönümlenen enerjinin, hýz ile orantýlý olduðu kabul edilmiþ idi. Bu modelde kütle zaman ile deðiþmez özelliktedir. Böylece sistemin hareket denklemi ikinci mertebeden sabit katsayýlý lineer bir diferansiyel denklem olur. Bununla birlikte; yapýnýn dinamik karakteristiklerinin lineer durumda olduðu gibi hemen ifade edilmesi mümkün olmayan bazý fiziksel durumlarda vardýr. Böyle sistemlerin analizi; yay kuvvetinin deplasman veya sönüm kuvvetinin hýz ile

orantýlý olarak deðiþmediði bir model ile tanýmlanýr. Sonuç olarak hareket denklemi lineer olmayan bir denklem olur ve çözümü biraz daha karmaþýk olup bazý sayýsal iþlemler ve yöntemler ile yapýlýr. Bu yöntemler arasýnda en fazla bilinen adým adým integrasyon veya iterasyon metotlardýr. Bu yöntemler içinde bilinen ve en fazla kullanýlanlar; matris iterasyonuna dayalý Stodola-Vianello, transfer matrisi olarak da bilinen Holzer, Rayleigh, Newmark-b, Wilson-q, Adams-Stormer metodu, Hilber- a metodu, merkezi farklar, sonlu elemanlar, Houbolt, sayýsal integrasyona dayalý; trapez kuralý, sabit ivme ve ortalama ivme yöntemleri verilebilir. Lineer olmayan analizde sistemin rijitliði sabit olmaz. Bu durumda (24) denklemi

) t ( F ) s ( F u A t 1 ] C [ u B t) ( 1 ] M [ N _{j ij j j} 1 j ij 2 N 1 j ∆ τ = + ∆ + ∑ ∆ =

∑

= (25) olarak ifade edilir. Burada F(s) her bir adýmda rijitlik deðiþimine baðlý olarak hesaplanacak lineer olmayan yay kuvvetidir. Hareketin lineer olmayan denkleminin mümkün bir çözümü için pek çok metot vardýr. Bunlar arasýnda en etkili olan yöntem adým adým integrasyondur. Bu metotta, mukabele Dt gibi bir zaman artýmýyla ve genellikle eþit aralýklý olarak elde edilir. Her bir aralýk baþýnda dinamik denge þartý kurulur. Sonra Dt zaman artýmý için mukabele yaklaþýk olarak elde edilir. Ancak bu iþlem süresince k ve c deðerlerinin Dt aralýðý süresince sabit kaldýðý kabul edilir. Bu katsayýlarýn lineer deðiþmemesi nedeniyle her bir zaman artýmýnýn baþýnda yeniden oluþturularak iþleme devam edilir. Böylece mukabele, her bir zaman aralýðý sonunda hesaplanan deplasman ve hýz deðerlerinin bir sonraki adým için baþlangýç koþulu olarak alýnmasý ile elde edilir. Rijitlik katsayýsý ve sönüm katsayýsý deðerleri ilk adýmda hesaplanýr ve bir sonraki zaman artýmýna kadar sabit kaldýðý kabul edilir. Böylece lineer olmayan bir sistem ardýþýk lineer sistemlerin davranýþýna indirgenir.

Herhangi bir yapý sistemde plastik akmaya yani plastik bölgede deformasyona müsaade edilirse tekrar kazanýlan kuvvet Þekil 2' de gösterildiði gibi olur [19]. Bu eðride lineer elastik davranýþýn olduðu bir bölge ve daha büyük

makale

þekil deðiþtirmeler için plastik akma bölgesi oluþur. Yapý yüklenmediði zaman, ilave ters yüklemenin oluþturduðu basýnç, plastik akma oluþuncaya kadar davranýþ tekrar elastik olur. Bu duruma karþý gelen kuvvet-deplasman eðrisi Þekil 3'de [19] verilmiþtir. Bu þekilde Rt ve Rc çekme ve basýnçdaki kuvveti, ut ve uc ise bunlara karþýlýk gelen deplasmanlarý gösterir [19].

Malzeme ve/veya geometrik bakýmdan lineer olmayan bir sistemin davranýþý eþdeðer bir doðrusal yani davranýþý lineer olan sistemden þu bakýmlardan farklýdýr.

Doðrusal olmayan bir sistem doðrusal sisteme göre daha yumuþaktýr ve bu nedenle görünür frekansý daha düþüktür. Yine doðrusal olmayan sistemde histeresis varsa sistemin titreþim enerjisinin bir kýsmýný bu histeresis nedeniyle kaybeder.

UYGULAMA

Örnek 1: Yukarýda anlatýlan yöntemin yeterliliðini göstermek amacýyla üç serbestlik dereceli bir sistemin zorlanmýþ titreþimini dikkate alalým. Sisteme ait kütle, sönüm ve rijitlik matrisleri ile kütlelere etkiyen yük vektörü sýrasýyla;

[ ]

          = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 M _;

[ ]

          − − − − = 66 . 0 66 . 0 0 66 . 0 26 . 1 60 . 0 0 60 . 0 26 . 1 C _;

[ ]

          − − − − = 10 10 0 10 20 10 0 10 20 K

{ }

t 20 9 sin 2 . 0 2 . 0 2 . 0 ) t( F π           = _; 0£ t £ 20 ve

{ }

F(t) =0; t > 20

þeklinde tanýmlýdýr. Sisteme ait baþlangýç koþullarý 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 (

u

u

u

1 = 2 = 3 = ve

u

&

1(0)=

u

&

2(0)=

u

&

3(0)=0 Çözüm neticesinde elde edilen deplasmanlar ilk 7 saniye ve her bir kütle için Þekil 4, 5 ve 6'da Shahruz

Deplasman

Kazanýlan kuvvet _plastik

plastik

Elastik yükleme

Elastik

boºaltma

Þekil 2. Gerçek Plastik Davranýþ

Deplasman (u) Kuvvet ( R ) plastik plastik umax T C Rc Rt E1 E2 E0 ut uc

Þekil 3. Elasto-Plastik Yükleme Boþaltma Diyagramý Modeli

u(1) -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 1 2 3 4 5 6 7 Zaman(t) Deplasm an GDQ Shahruz,1999

Þekil 4. Birinci Deplasman Doðrultusunda Elde Edilen Sonuçlarýn Karþýlaþtýrýlmasý

Deplasman (u) Rt

makale

ve Lords tarafýndan [18] verilen sonuçlar ile birlikte verilmiþtir.

Örnek 2: Üç katlý ve tek açýklýklý çerçeveye her bir kat hizasýnda aþaðýda verilen (Þekil 7) üçgen yükler etkimektedir. Sistem parametreleri; k1 = k2 = k3 = 1500 Kg /cm ve kütleler sýrasýyla m1 = m2 = m3 = m = 0.3886 Kg / sn2 _{cm. Hesaplanan deplasman deðerleri} Þekil 8'de karþýlaþtýrmalý olarak verilmiþtir.

Örnek 3: Aþaðýda verilen gergili sistemin gergilerine(halat) ait malzeme gerilme-þekil deðiþtirme baðýntýsý nonlineerdir. Çerçeve geometri ve gergilerine ait gerilme-þekil deðiþtirme baðýntýlarý aþaðýdadýr. Ýþlemler Dt = 0.25 ve 0 £ t £ 3.0 sn için yapýlacaktýr. Sistem kütle, rijitlik ve sönüm matrisleri ile baþlangýç koþullarý aþaðýda özetlenmiþtir. Kütle matrisi

      = 1 0 0 1 M

Baþlangýç rijitlik matrisi

          − − =               − − = 100 100 100 200 è cos L AE è cos L AE è cos L AE è cos L AE 2 K 2 2 2 2 u(3) -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 1 2 3 4 5 6 7 Zaman(t) Deplasm an GDQ Shahruz,1999

Þekil 6. Üçüncü Deplasman Doðrultusunda Elde Edilen Sonuçlarýn Karþýlaþtýrýlmasý F3 u2 u3 m m u1 m F2 F1 t [sn] F (t) [Kg] 1000 2000 3000 0.2

Þekil 7. Üç Katlý Çerçeve Sistem ve Etkiyen Yükler u(2) -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 1 2 3 4 5 6 7 Zaman(t) De pl as ma n GDQ Shahruz,1999

Þekil 5. Ýkinci Deplasman Doðrultusunda Elde Edilen Sonuçlarýn Karþýlaþtýrýlmasý

makale

-18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 u-1(Paz-1998) u-1(HDQ) u-2(Paz-1998) u-2(HDQ) u-3(Paz-1998) u-3(HDQ) t u(cm )

Þekil 8. Üç Katlý-Tek Açýklýklý Kat Çerçevesinin Sönümsüz Zorlanmýþ Titreþim

Birinci baðlantýda (halatta) akma baþlayýnca K1

          − − =               − − α + = 100 100 100 120 è cos L AE è cos L AE è cos L AE è cos L AE ) 1 ( K 2 2 2 2 1

Ýkinci baðlantýda (halatta) akma baþlayýnca K2

          − − =               α α − α − α + = 20 20 20 120 è cos L AE è cos L AE è cos L AE è cos L AE ) 1 ( K 2 2 2 2 2 ε σ σy εy E1 E2 = α E1 m1 = m2 = 1 kg*sn2 /cm A1 = A2 = 2.5 cm2 E1 = 37500 kg / cm2 E2 = 7500 kg / cm2 σy = 75 kg /cm2 εy = 0.002 L = 400 cm h = 300 cm α = 0.20 u1 u2 E, A1 E, A2 h h L

makale

Her iki baðlantýda (halatta) akma baþlayýnca K₁₂

          − − =               α α − α − α = 20 20 20 40 è cos L AE è cos L AE è cos L AE è cos L AE 2 K 2 2 2 2 12 Sönüm matrisi       − − = 1 1 1 2 C Baþlangýç koþullarý       =       0 0 ) 0 ( u ) 0 ( u 20 10 ve _    =       50 30 ) 0 ( u ) 0 ( u 20 10 & &

olarak verilmiþtir. Hesaplanan deplasman deðerleri Þekil 10'da verilmiþtir.

SONUÇ

Çalýþmada GDQ metodu çok serbestlik dereceli sistemlerin lineer ve lineer olmayan titreþim hesabýna uygulanmýþtýr. GDQ metodu aðýrlýk katsayýlarýnýn hesabýnda herhangi bir tekillik doðurmamakta ve daha az

düðüm nokta sayýsý ile daha hassas sonuçlar vermektedir. DQ metodu ise daha doðru sonuçlar için daha fazla sayýda düðüm noktasýna ihtiyaç duymakta, ancak daha çok düðüm sayýsý kullanýlýnca hesap süresi artmaktadýr. GDQ metodu ile aðýrlýk katsayýlarýnýn hesabý cebirik bir formülasyon ile yapýlabilmektedir. Sonuçlarýn yaklaþýklýðý, gerektirdiði hesaplayýcý kapasitesi ve uygulama alanýnýn çeþitliði dikkate alýnýnca DQ metotlarýnýn farklý geometri ve malzeme özelliklerine sahip yapýlarýn dinamik hesabýnda kullanýlacak etkili bir metot olacaðý ve bu iþlemlerin lineer olmayan analiz içinde geliþtirilebileceði söylenebilir.

TEÞEKKÜR

Yazarlar; uyarýlarý ve düzeltmeleriyle yazýnýn mevcut durumuna gelmesinde büyük katkýlarý olan deðerli Hakemlere teþekkür eder. Birinci yazar Akdeniz Üniversitesinin maddi katkýlarý için teþekkür eder.

KAYNAKÇA

1. Chopra, A.K., Dynamics of Structures, Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice- Hall, New Jersy,1995.

2. Celia, M .A., Gray, W.G., Numerical Methods For Differential Equations, Fundamental Concepts For Scientific And Engineering Applications, Prentice Hall, New Jersey,1992. 3. Crandall, S.H., Engineering Analysis, A Survey of Numerical

Procedures, McGraw-Hill, Book Company, New York, 1956. 4. Du H, Lim MK, Lin, RM. Application of Generalized Differential Quadrature Method to Structural Problems. International Journal for Numerical Methods in Engineering 1994; 37:1881-1896.

5. Shu C, Richards BE. Application of Generalized Differential Quadrature to Solve Two- Dimensional Incompressible Navier -Stokes equations. International Journal for Numerical Methods in Fluids 1992;15:791-798.

6. Civalek, Ö., Çok Serbestlik Dereceli Sistemlerin Harmonik Diferansiyel Quadrature (HDQ) Metodu ile Lineer ve Lineer Olmayan Dinamik Analizi, Doktora Tezi, Dokuz Eylül Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Ýzmir, 2003.

7. Civalek, Ö., Application of Differential Quadrature (DQ) and 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3 GDQ-u1 GDQ-u2

Þekil 10. Ýki Katlý Gergili Çerçevenin Sistemin Sönümlü Lineer Olmayan Serbest Titreþimi (1 ve 2.Kat Hizasýndaki Deplasmanlarý)

makale

Harmonic Differential Quadrature (HDQ) for Buckling Analysis

of Thin Isotropic Plates and Elastic Columns, Engineering Structures, An International Journal, 26(2), 171-186,2004. 8. Civalek, Ö., Ülker, M., Harmonic Differential Quadrature

(HDQ) For Axisymmetric Bending Analysis Of Thin Isotropic Circular Plates, International Journal of Structural Engineering and Mechanics, Vol. 17(1), 1-14, 2004.

9. Civalek, Ö., Çatal, H.H., Plaklarýn Diferansiyel Quadrature Metodu ile Stabilite ve Titreþim Analizi, IMO Teknik Dergi, 2003; Vol. 14 (1), 2835-2852.

10. Civalek, Ö., Çatal, H.H., Diktörtgen ve Kare Plaklarýn Diferansiyel Quadrature Metodu ile Statik Hesabý., Dokuz Eylül Üniversitesi Fen ve Mühendislik Dergisi,2003(Baskýda). 11. Civalek, Ö., Çatal, H.H., Linear Static And Vibration Analysis Of Circular And Annular Plates By The Harmonic Differential Quadrature (HDQ) Method, Osmangazi Üniversitesi, Mühendislik ve Mimarlýk Fakültesi Dergisi,Vol.16(1),45-76, 2003.

12. Civalek, Ö., Diferansiyel Quadrature Metodu Ýle Elastik Çubuklarýn Statik, Dinamik ve Burkulma Analizi, XVI Mühendislik Teknik Kongresi, Kasým, ODTU, Ankara, 2001. 13. Civalek, Ö., Çatal, H.H., Diferansiyel Quadrature

Yöntemleriyle Yapýlarýn Karþýlaþtýrmalý Dinamik Analizi, Beþinci Ulusal Deprem Mühendisliði Konferansý, 26-30 Mayýs 2003, Bildiri no : AT-033, Ý.T.Ü., Ýstanbul.

14. Civalek, Ö., Çatal,H.H., Bir ve Ýki Boyutlu Yapýlarýn Genelleþtirilmiþ Diferansiyel Quadrature Yöntemiyle Dinamik Analizi, Türkiye Ýnþaat Mühendisleri Odasý, Mühendislik Haberleri, Sayý 417, s.39-46,2002.

15. Civalek, Ö., Çatal, H.H., Stability and Vibration Analysis Of Plates By Differential Quadrature Method, Turkish Chamber of Civil Engineerings, Digest, 14, December, 2003. 16. Civalek, Ö., Three Different Type Differential Quadrature Methods (DQM) For Linear Buckling Analysis Of Uniform Elastic Columns, Technical Journal of Yýldýz Technique University, 4,51-59, 2003.

17. Civalek, Ö., Diferansiyel Quadrature Metodlarý ve Mühendislik Alanýndaki Uygulama Potansiyeli, Yapý Dünyasý, Þubat, Sayý:95,37-42,2004.

18. Shahruz, S.M, Lords, T.R.C, Upper Bounds on Responses of Linear Systems Under Transient Loads, J.of Sound and Vibration, 1999; 227(4), 886-894.

19. Paz, M., Structural dynamics, theory and computation, Champman & Hall.,1997.

Adý-Soyadý :... Meslek :... Ýþyeri Adý :...

Adres ve Posta Kodu : ...

... Telefon :... e-posta :... Kayýtlý Olduðunuz ODA :...

Oda Sicil No :... ÝSTENÝLEN DERGÝ

Dergi Yýllýk Abone Bedeli

[ ] Mühendis ve Makina ... 30.000.000 [ ] Endüstri Mühendisliði ... 15.000.000 [ ] Tesisat Mühendisliði ... 18.000.000 Tek Dergi Bedelsiz ❑ _{Mühendis ve Makina ❑ Endüstri Mühendisliði ❑ Tesisat Mühendisliði}

Ödenen Miktar :... Ödeme Þekli :... Gereðini bilgilerinize sunarým. Tarih ... / ... / 2004 Ýmza

• 96954 No.lu Posta Çeki hesabýna, fotokopisiyle beraber bir dilekçe

• Ýþ Bankasý Yeniþehir/ANK. Þb. 4218 89872 Hs. Banka dekontu ile beraber bir dilekçe

✄

✄

✄

✄

✄