Tesadüfi değişkenlerin sıralı istatisklerinin momentleri / Moments of order statistics of random variables

T.C.

FIRAT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN MOMENTLERĠ

Cübeyr SABANCI

Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı

DanıĢman: Doç. Dr. Mehmet GÜNGÖR OCAK–2011

T.C.

FIRAT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI

ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN MOMENTLERĠ

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Cübeyr SABANCI

(08221109)

Anabilim Dalı: Matematik

Programı: Uygulamalı Matematik

Tez DanıĢmanı: Doç. Dr. Mehmet GÜNGÖR

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: 11 Ocak 2011 OCAK–2011

T.C.

FIRAT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI

ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN MOMENTLERĠ

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Cübeyr SABANCI

(08221109)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: 11 Ocak 2011 Tezin Savunulduğu Tarih: 27 Ocak 2011

Tez DanıĢmanı: Doç. Dr. Mehmet GÜNGÖR (F.Ü) Diğer Jüri Üyeleri: Prof. Dr. Mikail ET (F.Ü)

Yrd. Doç. Dr. Mahmut IġIK (F.Ü)

II ÖNSÖZ

Bu çalışmanın planlanmasında ve yürütülmesinde çalışmalarım süresince benden destek ve ilgilerini esirgemeyen bilgi ve hoşgörülerinden yararlandığım değerli hocam sayın Doç. Dr. Mehmet GÜNGÖR’ e en içten teşekkür ve saygılarımı sunarım.

Cübeyr SABANCI ELAZIĞ – 2011

III ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa No ÖNSÖZ...II ĠÇĠNDEKĠLER...III ÖZET...IV SUMMARY...V SEMBOLLER LĠSTESĠ...VI 1. GĠRĠġ...1 1.1. Temel Tanımlar...2 2. BAĞIMSIZ VE AYNI DAĞILIMLI OLMAYAN SÜREKLĠ TESADÜFĠ

DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN DAĞILIMLARI...6 3. BAĞIMSIZ VE AYNI DAĞILIMLI OLMAYAN SÜREKLĠ TESADÜFĠ

DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN MOMENTLERĠ...10 4. SONUÇLAR...16 KAYNAKLAR...18 ÖZGEÇMĠġ...

IV ÖZET

Bu tez, dört bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, temel tanım ve teoremler verilmiştir

İkinci bölümde, bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonları incelenmiştir.

Üçüncü bölümde, bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin beklenen değer, varyans ve kovaryansı elde edilmiştir.

Son bölümde, sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin momentleriyle ilgili bazı sonuçlar verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Sıralı İstatistikler, Bağımsız Tesadüfi Değişkenler, Aynı Dağılımlı Olmayan Tesadüfi Değişkenler, Sürekli Tesadüfi Değişkenler, Dağılım Fonksiyonu, Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu, Beklenen Değer, Varyans, Kovaryans.

V SUMMARY

Moments of Order Statistics of Random Variables

This thesis consists of four chapters.

In the first chapter, the fundamental definitions and theorems are given.

In the second chapter, the probability density and distribution functions of order statistics of independent and nonidentically distributed continuous random variables are examined.

In the third chapter, the expected value, variance and covariance of order statistics of independent and nonidentically distributed continuous random variables are obtained.

In the last chapter, the some results related to the moments of order statistics of continuous random variables are given.

Key Words: Order statistics, Independent Random Variables, Nonidentically Distributed Random Variables, Continuous Random Variables, Distribution Function, Probability Density Function, Expected Value, Variance, Covariance.

VI

SEMBOLLER LĠSTESĠ

F : Dağılım fonksiyonu

f : Olasılık yoğunluk fonksiyonu

s

1. GĠRĠġ

Sıralı istatistikler, istatistik teorisinde oldukça önemli bir yere sahiptir. Çünkü; sıralı istatistiklerin dağılımları, örneklemin alındığı dağılımdan bağımsızdır.

Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli bir anakütleden gelen sıralı istatistikler için sağlanan bazı bağıntılar ve momentler, Arnold vd. [1], David [2] ve Reiss [3] tarafından elde edilmiştir. Arnold vd. [1], bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonlarını elde etmişlerdir. Cao ve West [4], bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli bir anakütleden gelen sıralı istatistiklerin dağılımları için bağıntılar vermişlerdir. Corley [5], sürekli çok değişkenli tesadüfi değişkenlerin farklı anlamlarda sıralı istatistiklerini tanımlamıştır. Vaughan ve Venables [6], permanent yardımıyla bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin olasılık yoğunluk fonksiyonlarını ifade etmişlerdir. Balakrishnan [7] ve Bapat ve Beg [8], permanent yardımıyla bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonlarını elde etmişlerdir.

Bu çalışmada; bağımsız fakat aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin dağılımları ve momentleri farklı şekillerde ifade edilmiştir.

2 1.1. Temel Tanımlar

Tanım 1.1.1. Bir tesadüfi değişken, herhangi bir aralıktaki bütün reel değerleri alabiliyorsa bu tesadüfi değişkene sürekli tesadüfi değişken denir [9].

Tanım 1.1.2. X, sürekli bir tesadüfi değişken olsun.

i. f(x)0, xR ii.



   1. ) ( dxx f

koşullarını sağlayan f(x)’e X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu denir [9].

Tanım 1.1.3. X, olasılık yoğunluk fonksiyonu f olan sürekli tesadüfi değişken olsun.

X’in dağılım fonksiyonu,

R x du u f x X P x F x    



  , ) ( ) ( ) ( şeklinde tanımlanır [9].

Tanım 1.1.4. X, olasılık fonksiyonu f(x) olan bir tesadüfi değişken ve Y’de olasılık fonksiyonu f( y) olan bir tesadüfi değişken olsun. Ayrıca X ve Y’nin bileşik olasılık fonksiyonu f(x,y) olsun. Eğer,

3 ) ( ) ( ) , (x y f x f y f 

eşitliği sağlanıyorsa X ve Y’ye bağımsız tesadüfi değişkenler denir [9].

Tanım 1.1.5. X₁,X₂, ... ,X_n tesadüfi değişkenlerinin meydana gelme sırası değil büyüklüklerinin sırası göz önüne alınırsa bu tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistikleri,

n n n

n X X

X_1:  _2:  ...  _:

olarak ifade edilir.

n r

X _: , r-inci sıralı istatistik denir. Buradan, ) , . . . , , ( min _{1 2} : 1n X X Xn X  ve ) , . . . , , ( max _{1 2} :n n n X X X X  yazılabilir [3].

4

Tanım 1.1.6. X, olasılık fonksiyonu f olan sürekli tesadüfi değişken olsun. X’in beklenen değeri,



    x f x dx X E( ) ( ) , x.

olarak ifade edilir [10].

Tanım 1.1.7. X tesadüfi değişkeninin varyansı,

2 2 )] ( [ ) ( ) (X E X E X Var  

olarak ifade edilir [10].

Tanım 1.1.8. X ve Y tesadüfi değişkenlerinin beklenen değerleri E( X) ve E(Y) ise X ve Y arasındaki kovaryans, ) ( ) ( ) ( ) , (X Y E XY E X E Y Cov  

şeklinde ifade edilir [10].

Teorem 1.1.1. Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

r n r n r F x f x F x r n r n x f       [ ( )] ( )[1 ( )] ! ) ( ! ) 1 ( ! ) ( 1 :

5

Teorem 1.1.2. Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli bir anakütleden gelen X_r:n ve X_s:n’nin

bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu, 1rsn ve x₁x₂ olmak üzere

s n r s r n s r x F x f x F x F x f x F s n r s r n x x f             )] ( 1 [ ) ( )] ( ) ( [ ) ( )] ( [ ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) , ( 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 : ,

şeklinde ifade edilir [2].

Teorem 1.1.3. Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin dağılım fonksiyonu,

j n j n r j n r F x F x j n j n x F     



[ ( )] [1 ( )] ! ) ( ! ! ) ( :

şeklinde ifade edilir [1].

Teorem 1.1.4. Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli bir anakütleden gelen X_r:n ve X_s:n’nin

bileşik olasılık fonksiyonu, 1rsn ve x₁ x₂ olmak üzere

2 1 2 1 2 2 1 )] ( 1 [ )] ( ) ( [ )] ( [ ! ) ( ! ) ( ! ! ) , ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 : , j n j j j n s j j r j n s r x F x F x F x F j n j j j n x x F          

 

2. BAĞIMSIZ VE AYNI DAĞILIMLI OLMAYAN SÜREKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN DAĞILIMLARI

Bu bölümde, bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin olasılık ve dağılım fonksiyonları verilecektir.

n

X X

X₁, ₂,..., bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenler olsun. i

X (i1,2,...,n) tesadüfi değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f ve dağılım _i

fonksiyonu F olsun. Bu tesadüfi değişkenlerin büyüklüklerine göre sıralanmasıyla elde _i

edilen sıralı istatistikler, X_1:nX_2:n... X_n:n olsun.

Bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin olasılık yoğunluk fonksiyonu, xR olmak üzere

                 







  3 ) ( 3 ) 1 ( 2 1 ) ( 1 2 1, 1 1 : ( ) ( ) ( ) [1 ( )]        n n n n n r x F x f x F x f     (2.1)

şeklinde ifade edilir. Burada; { , ,..., 1( 1)}

) 2 ( 1 ) 1 ( 1 1      r  , 2 {2(1)}, { , ,..., } ) ( 3 ) 2 ( 3 ) 1 ( 3 3 r n      ,    için __  ve {1,2,..., } 3 1 n    



 olmak üzere



2 1,   n n , _ 



2  1  üzerinden toplamı ifade eder.

7 n

r

X _: ’nin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

      _         







    n r i i r i P n r F x f x F x r n r x f r 1 1 1 : ( ) ( ) [1 ( )] ! ) ( ! ) 1 ( 1 ) (     (2.2)

şeklinde de ifade edilebilir. Burada



P

, (1,2,...,n)’nin bütün (i1,i2,...,in) permütasyonları üzerinden toplamı ifade etmektedir [2].

Bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli bir anakütleden gelen X_r:n ve X_s:n’nin

bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu, 1rsn_, x₁ x₂ ve x₁,x₂R olmak üzere

                           









   5 ) ( 4 ) 1 ( 4 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 1 ( 2 1 ) ( 1 4 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 , , , 2 1 : , )] ( 1 [ ) ( )] ( ) ( [ ) ( ) ( ) , (              n n n n n n n n s r x F x f x F x F x f x F x x f        (2.3)

şeklinde ifade edilir. Burada; ₁{₁(1),₁(2),...,₁(r1)}, ₂ {₂(1)}, ₃ {₃(1),₃(2),...,₃(sr1)}, } { ₄(1) 4    , ₅{₅(1),₅(2),...,₅(ns)},   için _ _  ve {1,2,..., } 5 1 n    



 olmak üzere



4 3 2 1,  ,  ,   n n n n , _ 



4  1 

8 n

r

X _: ve X_s:n’nin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu,

                         









       n s i i s r i i i r i P n s r x F x f x F x F x f x F s n r s r x x f s r 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 : , )] ( 1 [ ) ( )] ( ) ( [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) , (        (2.4)

şeklinde de ifade edilebilir.

Bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin dağılım fonksiyonu,

                         









   2 ) ( 2 1 ) ( 1 1 1 1 : ( ) ( ) [1 ( )]      n n n n r j n r x F x F x F     (2.5)

şeklinde ifade edilir. Burada; ₁{₁(1),₁(2),...,₁(j)}, ₂{₂(1),₂(2),...,₂(nj)},

  1 2 ve 12{1,2,...,n} olmak üzere



1  n

, ₁ üzerinden toplamı ifade eder.

n r

X _: ’nin dağılım fonksiyonu,

                     









    )] ( 1 [ ) ( ! ) ( ! 1 ) ( 1 1 : F x F x j n j x F i n j i j P n r j n r _{ }   (2.6)

9

Bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli bir anakütleden gelen X_r:n ve X_s:n’nin

bileşik dağılım fonksiyonu, 1rsn _ve x₁x₂ olmak üzere

  







                                        n s j j r j n n n n n n s r x x F x F x F x F x F 2 2 1 1 2 3 ) ( 3 2 ) ( 2 ) ( 2 1 ) ( 1 , 1 2 1 1 2 1 1 2 1 : , ( , ) ( ) [ ( ) ( )] [1 ( )]                 (2.7)

şeklinde ifade edilir. Burada; ₁{₁(1),₁(2),...,₁(j1)}_{, { , ,...,} ( )_}

2 ) 2 ( 2 ) 1 ( 2 2 1 2 j j       , } ..., , , { ₃(1) ₃(2) ₃( ) 3 2 j n      ,   için __  ve {1,2,..., } 3 1 n    



 olmak üzere



2 1,   n n , _ 



2  1 

üzerinden toplamı ifade eder.

n r

X _: ve X_s:n’nin bileşik dağılım fonksiyonu,

                              









 

       )] ( 1 [ )] ( ) ( [ ) ( ! ) ( ! ) ( ! 1 ) , ( 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 : , 2 2 1 1 2 2 1 x F x F x F x F j n j j j x x F i n j i i j j i j P n s j j r j n s r        (2.8)

3. BAĞIMSIZ VE AYNI DAĞILIMLI OLMAYAN SÜREKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN MOMENTLERĠ

Bu bölümde, bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin beklenen değer, varyans ve kovaryansı ifade edilecektir.

Sürekli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin beklenen değeri,

dx x f x X E rn



rn     ( ) ) ( : : (3.1)

olarak ifade edilir.

(2.1), (3.1)’de kullanılırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli bir anakütleden gelen X_r:n’nin beklenen değeri,

dx x F x f x F x X E n n n n n r









                               3 () 3 ) 1 ( 2 1 ) ( 1 2 1, 1 1 : ) ( ) ( ) [1 ( )] (            (3.2)

11 (2.2), (3.1)’de kullanılırsa dx x F x f x F r n r x X E n r i i r i P n r







r



                            1 1 1 : ( ) ( ) [1 ( )] ! ) ( ! ) 1 ( 1 ) (     (3.3)

olarak da elde edilebilir.

Ayrıca; X_r:n ve X_s:n’nin çarpımının beklenen değeri, 1rsn ve x₁x₂olmak üzere

 

     1 1 2 2 1 : , 2 1 : : ) ( , ) ( x n s r n s n r X x x f x x dx dx X E (3.4)

olarak ifade edilir.

(2.3), (3.4)’de kullanılırsa kullanılırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli bir anakütleden gelen X_r:n ve X_s:n’nin çarpımının beklenen değeri,

1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 , , , 2 1 : : 5 ) ( 4 ) 1 ( 4 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 1 ( 2 1 ) ( 1 4 3 2 1 1 )] ( 1 [ ) ( )] ( ) ( [ ) ( ) ( ) ( dx dx x F x f x F x F x f x F x x X X E n n n n n n n x n s n r                                    









 

                           (3.5)

12 (2.4), (3.4)’de kullanılırsa 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 : : )] ( 1 [ ) ( )] ( ) ( [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) ( 1 dx dx x F x f x F x F x f x F s n r s r x x X X E n s i i s r i i i r i P x n s n r s r                                









 

                  (3.6)

olarak da elde edilebilir.

Tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin varyansı,





2 : 2 : : ) ( ) ( ) (Xrn E Xrn E Xrn Var   (3.7)

olarak ifade edilir.

(3.1), (3.7)’de kullanılırsa sürekli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin varyansı, 2 : : 2 : ) ( ) ( ) ( _       

_

_

      dx x f x dx x f x X Var _{rn rn rn} (3.8)

13

(2.1), (3.8)’de kullanılırsa kullanılırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli bir anakütleden gelen X_r:n’nin varyansı,

2 1 1 , 1 1 , 2 : 3 ) ( 3 ) 1 ( 2 1 ) ( 1 2 1 3 ) ( 3 ) 1 ( 2 1 ) ( 1 2 1 )] ( 1 [ ) ( ) ( )] ( 1 [ ) ( ) ( ) (                                                            

















          dx x F x f x F x dx x F x f x F x X Var n n n n n n n n n r                       (3.9)

olarak elde edilir.

(2.2), (3.8)’de kullanılırsa 2 1 1 1 1 1 1 2 : )] ( 1 [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( 1 )] ( 1 [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( 1 ) (                                                    

















              dx x F x f x F r n r x dx x F x f x F r n r x X Var n r i i r i P n r i i r i P n r r r         (3.10)

olarak da elde edilebilir.

Sürekli bir anakütleden gelenX_r:n ve X_s:n arasındaki kovaryans,

) ( ) ( ) ( ) , (X_r:n X_s:n E X_r:n X_s:n E X_r:n E X_s:n Cov   (3.11)

14

(3.1) ve (3.4), (3.11)’ de kullanılırsa sürekli bir anakütleden gelenX_r:n ve X_s:n

arasındaki kovaryans,              

 





          2 2 : , 2 1 1 : , 1 1 2 2 1 : , 2 1 : : , ) ( , ) ( ) ( ) ( 1 dx x f x dx x f x dx dx x x f x x X X Cov _{r n s n} x n s r n s n r (3.12)

olarak da ifade edilebilir.

(2.1) ve (2.3), (3.12)’de kullanılırsa kullanılırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli bir anakütleden gelen X_r:n ve X_s:n arasındaki kovaryans,

                                                                                       

























 

                 2 1 2 2 1 2 , 2 1 1 1 1 1 1 , 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 , , , 2 1 : : 3 ) ( 3 ) 1 ( 2 1 ) ( 1 2 1 3 ) ( 3 ) 1 ( 2 1 ) ( 1 2 1 5 ) ( 4 ) 1 ( 4 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 1 ( 2 1 ) ( 1 4 3 2 1 1 )] ( 1 [ ) ( ) ( )] ( 1 [ ) ( ) ( )] ( 1 [ ) ( )] ( ) ( [ ) ( ) ( ) , ( dx x F x f x F x dx x F x f x F x dx dx x F x f x F x F x f x F x x X X Cov n n n n n n n n n n n n n n n x n s n r                                           (3.13)

olarak elde edilir.

15 (3.14) )] ( 1 [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( 1 )] ( 1 [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( 1 )] ( 1 [ ) ( )] ( ) ( [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) , ( 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 : : 1                                   _                   _       _               

























 

                         dx x F x f x F r n r x dx x F x f x F r n r x dx dx x F x f x F x F x f x F s n r s r x x X X Cov n r i i r i P n r i i r i P n s i i s r i i i r i P x n s n r r r s r               

4. SONUÇLAR

n

X X

X1, 2,..., bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenler olsun. i

X (i1,2,...,n) tesadüfi değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f ve dağılım _i

fonksiyonu F olsun. Burada, _i f_i  f ve F_iF alınırsa X₁,X₂,...,X_n bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenler elde edilir. Bu yaklaşımla, aşağıdaki sonuçlar verilebilir.

Sonuç 4.1. Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin beklenen değeri,

dx x F x f x F r n r n x X E _rn



r n r                [ ( )] ( )[1 ( )] ! ) ( ! ) 1 ( ! ) ( _: 1 (4.1)

olarak ifade edilir.

Ġspat. (3.2) veya (3.3)’de f_i  f ve F_i F alınırsa, (4.1) elde edilir.

Sonuç 4.2. Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin varyansı,

17 2 1 1 2 : )] ( 1 [ ) ( )] ( [ ! ) ( ! ) 1 ( ! )] ( 1 [ ) ( )] ( [ ! ) ( ! ) 1 ( ! ) (                          





          dx x F x f x F r n r n x dx x F x f x F r n r n x X Var r n r r n r n r (4.2)

olarak ifade edilir.

Ġspat. (3.9) veya (3.10)’da f_i  f ve F_i F alınırsa, (4.2) elde edilir.

Sonuç 4.3. Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli bir anakütleden gelenX_r:n ve X_s:n

arasındaki kovaryans,                          





 

                  2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 : : ! ) ( ! ) 1 ( )] ( 1 [ ) ( )] ( [ ! ! ) ( ! ) 1 ( )] ( 1 [ ) ( )] ( [ ! ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( )] ( 1 [ ) ( )] ( ) ( [ ) ( )] ( [ ! ) , ( 1 dx r n r x F x f x F n x dx r n r x F x f x F n x dx dx s n r s r x F x f x F x F x f x F n x x X X Cov r n r r n r s n r s r x n s n r (4.3)

olarak ifade edilir.

KAYNAKLAR

[1] Arnold, B. C., Balakrishnan, N. and Nagaraja, H. N., 1992. A first course in order statistics, John Wiley and Sons Inc., New York.

[2] David, H. A., 1981. Order statistics, John Wiley and Sons Inc., New York.

[3] Reiss, R. -D., 1989. Approximate distributions of order statistics, Springer-Verlag, New York.

[4] Cao, G. and West, M., 1997. Computing distributions of order statistics,

Communications in Statistics-Theory and Methods, 26, 755-764.

[5] Corley, H. W., 1984. Multivariate order statistics, Communications in

Statistics-Theory and Methods, 13, 1299-1304.

[6] Vaughan, R. J. and Venables, W. N., 1972. Permanent expressions for order statistics densities, Journal of the Royal Statistical Society, Ser. B, 34, 308-310.

[7] Balakrishnan, N., 2007. Permanents, order statistics, outliers and robustness,

Revista Matematica Complutense, 20,7-107.

[8] Bapat, R. B. and Beg, M. I., 1989. Order statistics for nonidentically distributed variables and permanents, Sankhyā, Ser. A, 51, 79-93.

[9] Milton, J. S. and Arnold, J. C., 2003. Introduction to probability and statistics, McGraw-Hill, Boston.

ÖZGEÇMĠġ

Cübeyr SABANCI, 1983 yılında Malatya’da doğdu. İlk ve orta öğrenimini Malatya’da tamamladı. 2006 yılında İnönü Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü’nden mezun oldu. 2009 yılında Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Uygulamalı Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans eğitimine başladı.