Normlu uzaylarda lineer operatörlerin spektral teorisi üzerine

NORMLU UZAYLARDA LİNEER OPERATÖRLERİN

SPEKTRAL TEORİSİ ÜZERİNE

Pamukkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı

Pembe (BARIM) BAŞEL

Danışman: Prof. Dr. M. Ali SARIGÖL

Eylül 2008 DENİZLİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ ONAY FORMU

Pembe (BARIM) BAŞEL tarafından Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL yönetiminde hazırlanan “Normlu Uzaylarda Lineer Operatörlerin Spektral Teorisi Üzerine” başlıklı tez tarafımızdan okunmuş, kapsamı ve niteliği açısından bir Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmiştir.

Pamukkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun …./…./2008 tarih ve …….. sayılı kararıyla onaylanmıştır.

Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL Müdür

Bu tezin tasarımı, hazırlanması, yürütülmesi, araştırmalarının yapılması ve bu bulguların analizlerinde bilimsel etiğe ve akademik kurallara özenle riayet edildiğini; bu çalışmanın doğrudan birincil ürünü olmayan bulguların, verilerin ve materyallerin bilimsel etiğe uygun olarak kaynak gösterildiğini ve alıntı yapılan çalışmalara atfedildiğini beyan ederim.

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans öğrenimim ve tez çalışmalarım boyunca gösterdiği her türlü destek ve yardımdan dolayı çok değerli sayın hocam Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL’e ve Matematik Bölümündeki tüm hocalarıma en içten dileklerimle teşekkür ederim.

Ayrıca bu çalışmanın yapılması esnasında bana destek olmaya çalışan eşim Reşat BAŞEL’e komik sorunlarımda yardımcı olan arkadaşlarım Özkan SANDIKÇI ve Gülseli (ERMEZ) BURAK’a ve özellikle de yanımda olan annem Hafize BARIM ve babam Osman BARIM’a teşekkür ederim.

ÖZET

NORMLU UZAYLARDA LİNEER OPERATÖRLERİN SPEKTRAL TEORİSİ ÜZERİNE

(BARIM) BAŞEL, Pembe Yüksek Lisans Tezi, Matematik ABD Tez Yöneticisi: Prof. Dr. M. Ali SARIGÖL

Eylül 2008, 58 Sayfa

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, bu çalışmada kullanılacak olan temel tanım ve teoremler verilmiştir.

İkinci bölümde, normlu uzaylar üzerinde tanımlanan sınırlı lineer operatörlerinin spektral teorisine bir giriş verilerek spektral ve resolvent kavramları ayrıntılı olarak incelenmiştir.

Üçüncü bölümde ise öncelikle sıfır dizi uzayında Cesaro operatörünün sonrasında ise yakınsak dizi uzayında Ağırlıklı Ortalama operatörünün spektrumları incelenmiş ve çeşitli uzaylarda bu iki operatörün spektrumları üzerinde durulmuştur.

Son olarak dördüncü bölümde de sıfır dizi uzayında Rhaly operatörünün spektrumu ve ince spektrumu incelenmiştir.

Anahtar Kelimeler: Spektral Teori, Spektrum Kümesi, Resolvent Kümesi, Resolvent Operatörü, İnce Spektrum, Cesaro Operatörü, Ağırlıklı Ortalama Operatörü, Rhaly Operatörü

Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL

Prof. Dr. Sadulla JAFAROV Doç. Dr. Muzaffer ADAK

ABSTRACT

ABOUT SPECTRAL THEORY OF LINEAR OPERATORS IN NORMED SPACES

(BARIM) BAŞEL, Pembe M. Sc. Thesis in Mathematics Supervisor: Prof. Dr. M. Ali SARIGÖL

September 2008, 58 Pages

This study consists of four chapters.

In the first chapter the definitions and the theorems are given that used in other chapters.

In the second chapter an entry to spectral theory of bounded linear operators in normed spaces are given and the concept of spectrum and resolvent are detailed.

In the third chapter firstly the spectrum of Cesaro operator in null sequences space and then the spectrum of Weighted mean operators in convergent sequences space are considered and spectrums of these operators are examined in various spaces.

Finally in the fourth chapter spectrum and fine spectrum of Rhaly operators are considered in null sequences spaces.

Key Words: Spectral Theory, Spectrum Set, Resolvent Set, Resolvent Operator, Fine Spectra, Cesaro Operators, Weighted Mean Operators, Rhaly Operators

Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL

Prof. Dr. Sadulla JAFAROV Assoc. Prof. Dr. Muzaffer ADAK

İÇİNDEKİLER

Sayfa

Yüksek Lisans Tezi Onay Formu ……….….i

Bilimsel Etik Sayfası ……….……...ii

Teşekkür ………...iii

Özet ……….iv

Abstract ………v

İçindekiler ………vi

Tablolar Dizini ………...vii

Simgeler ve Kısaltmalar Dizini ……….viii

GİRİŞ ………1

BİRİNCİ BÖLÜM - TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR ………..3

1.1.Temel Tanımlar ………...3

1.2. Temel Teoremler ………6

1.3. Matris Dönüşümleri ………8

1.4. Bazı Özel Operatörler ………...10

İKİNCİ BÖLÜM - NORMLU UZAYLARDA LİNEER OPERATÖRLERİN SPEKTRAL TEORİSİ ...13

2.1.Sonlu Boyutlu Normlu Uzaylarda Spektral Teorisi ………..13

2.2. Spektral ve Resolvent Kavramı ………16

2.3. Sınırlı Lineer Operatörlerin Spektral Özellikleri ………..20

2.4. Resolvent ve Spektrumun Diğer Özellikleri ……….23

ÜÇÜNCÜ BÖLÜM - CESARO VE AĞIRLIKLI ORTALAMA OPERATÖRLERİNİN SPEKTRUMLARI ………..29

3.1. c Uzayında Cesaro Operatörünün Spektrumu ……….29 ₀ 3.2. c, _p,bv₀,bv Uzaylarında Cesaro Operatörünün Spektrumu ……….. 34

3.3. c Uzayında Ağırlıklı Ortalama Operatörünün Spektrumu ………..36

3.4. c₀ ve _pUzaylarında Ağırlıklı Ortalama Operatörünün Spektrumu ………...44

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM - c UZAYINDA RHALY OPERATÖRÜNÜN SPEKTRUMU ₀ VE İNCE SPEKTRUMU ………..……….49

KAYNAKLAR ………...56

TABLOLAR DİZİNİ

Tablo 2.1. Resolvent ve Spektrum kümelerinin şartları ………17 Tablo 2.2. _{T ve T Operatörlerinin İnce Spektrum şartlarının kesişim durumları …...28} *

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ : Kompleks sayılar kümesi

0

c : sıfıra yakınsayan dizilerin uzayı

c : yakınsak diziler uzayı

∞ : sınırlı diziler uzayı

p : 1≤ p<∞ olmak üzere p. kuvvetleri mutlak yakınsak seri oluşturan dizilerin uzayı

1 : mutlak yakınsak seri oluşturan dizilerin uzayı bv : sınırlı salınımlı diziler uzayı

0

bv : sınırlı salınımlı ve sıfıra yakınsayan diziler uzayı

bs : sınırlı seri oluşturan diziler uzayı

(

X Y

)

B , : X normlu uzayından Y normlu uzayına tanımlı bütün sınırlı lineer

operatörlerin kümesi

( )

X

B : X normlu uzayından yine kendi içine tanımlı bütün sınırlı lineer

operatörlerin kümesi 1 C : Cesaro operatörü a R : Rhaly operatörü *

X : X normlu uzayının sürekli duali

*

T : T operatörünün adjointi

( )

Çek T : T operatörünün çekirdeği

( )

T

R : T operatörünün görüntü uzayı

( )

T

R : R

( )

T kümesinin kapanışı

( )

T

σ : T operatörünün spektrum kümesi

( )

T

p

σ : T operatörünün nokta spektrum kümesi

( )

T

c

σ : T operatörünün sürekli spektrum kümesi

( )

T

r

σ : T operatörünün residual (artık) spektrum kümesi

( )

T

ρ : T operatörünün resolvent kümesi λ

T : T operatörünün λ öz değerine karşılık gelen operatörü λ

R : T operatörünün λ öz değerine karşılık gelen resolvent operatörü

( )

r Tσ : T operatörünün spektral yarıçapı

( )

1

O : sınırlı ifade

( )

A_nx : x dizisinin A matrisi altındaki dönüşüm dizisi

x

A

lim :

( )

A_nx dönüşüm dizisinin limiti

E : ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{∈ − ≤} 2 1 2 1 :λ λ C F : ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{∈ − <} 2 1 2 1 :λ λ C G : ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≥ 0 :n P p n n

GİRİŞ

Spektral teori modern fonksiyonel analiz ve uygulamalarının ana dallarından biridir. Ana hatlarıyla ters operatörlerin genel özellikleri ve bu operatörlerin orijinal operatörlerle olan ilişkileri ile ilgilenir. Bu alanın gelişmesinde Strum ve Liouville’nin sınır değer problemini araştırmaları ile Fredholm’un ünlü integral denklemlerinin teorisi önemli olmuştur.

Sonsuz boyutlu uzaylar üzerindeki dönüşümlerin spektrumları ve kullanım alanları oldukça ilginçtir. Örneğin fizikte kuantum mekaniğinde, Hamilton dönüşümünün nokta spektrumu sistemin sınır değerindeki enerji seviyelerine karşılık gelir. Yine bir örnek olarak toplanabilme teorisinde, daha önceden analitik yöntemlerle incelenmiş olan Mercerian Teoremlerinin fonksiyonel analiz yöntemleriyle daha kısa ve anlaşılır biçimde yeniden ele alınmasını sağlamıştır.

Bu çalışmada ise önce normlu uzaylar üzerinde tanımlanan T:X →X sınırlı lineer operatörlerinin spektral teorisine bir giriş verilerek c uzayında Cesaro ₀

operatörünün sonrasında ise c uzayında Ağırlıklı Ortalama operatörünün spektrumları ve son olarak da c uzayında Rhaly operatörünün ince spektrumu incelenecektir. Bu ₀

operatörlerle dünyada ve ülkemizde yapılan çalışmalara kısaca bakacak olursak şöyledir:

Cesaro operatörünün spektrumu ile ilgili ilk çalışmalar 1965 yılında A.Brown, P.R.Halmos ve A.L.Sheilds’in çalışmalarında ₂ Hilbert uzayında Cesaro operatörünün sınırlılığını gösterip, spektrumunu incelemeleriyle başlamış, 1972 de G.Leibowitz’in _p uzayındaki çalışmasıyla devam etmiştir. Cesaro operatörünün spektrumu ile ilgili diğer çalışmalardan bazıları ise 1985 de J.B.Reade’nin c uzayında, 1986 da J.I.Okutoyi’nin ₀

0

, ,bv bv

c uzaylarında, 2003 de A.M.Akhmedov ve F.Başar’ın c₀ ve bv uzaylarında yaptıkları çalışmalardır. Cesaro operatörünün ince spektrumu ile ilgili çalışmalardan bazıları ise 1975 de R.B.Wenger’nin cuzayında, 2004 de A.M.Akhmedov ve F.Başar’ın

0

Ağırlıklı ortalama operatörünün spektrumu ile ilgili ilk çalışmalar 1977 yılında F.P.Cass ve B.E.Rhoades’in c uzayında ağırlıklı ortalama operatörünün spektrumunu incelemeleriyle başlamış, 1978 de J.M.Cartlidge’nin doktora çalışmasında _p uzayındaki incelemesiyle devam etmiştir. Ağırlıklı ortalama operatörünün ince spektrumu ile ilgili çalışmalardan biri de B.E.Rhoades’in 1987 de c uzayında yaptığı ₀

çalışmadır.

Rhaly operatörünün spektrumu ile ilgili ilk çalışmalar 1987 yılında G.Leibowitz’in c₀,c, _puzaylarında Rhaly operatörünün sınırlılığını göstermesiyle başlamış, 1989 da JR.H.C.Rhaly’nin ₂ uzayındaki çalışmasıyla devam etmiştir. Rhaly operatörü ile ilgili sonraki çalışmalar ise 1996 de M.Yıldırım’ın kompakt Rhaly operatörün spektrumunu ve ince spektrumunu incelemesiyle devam etmiştir.

Spektral teoride bu operatörlerden farklı olarak time operatörü ve fark operatörü gibi operatörlerin spektrumları ile ilgili çalışmalar da yapılmış olup ilginç çalışmalardan birinin de 1972 de N.K.Sharma’nın konservatif matrislerin spektrumları ile ilgili çalışması olduğu da söylenebilir.

BÖLÜM 1

TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR

Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanacağımız temel tanım ve teoremleri vereceğiz.

1.1. Temel Tanımlar

Tanım 1.1.1: (Vektör uzayı) L boştan farklı bir küme ve K reel veya kompleks sayılar cismi olsun.

:L L L ve :K L L + × → ⋅ × → fonksiyonları ∀ x,y,z∈L veα,β∈K için L y x l₁) + ∈ (kapalılık özelliği) z y x z y x l₂) +( + )=( + )+ (birleşme özelliği) x x

l₃) +θ =θ + olacak şekilde θ∈L vardır. (birim eleman) θ = + − = − + x x x x

l₄) ( ) ( ) olacak şekilde −x∈L vardır. (ters eleman)

x y y x l₅) + = + (değişme özelliği) L x

l₆) α⋅ ∈ (skalerle çarpma işleminde kapalılık)

y x y x l₇) α⋅( + )=α⋅ +α⋅ x x x l₈) (α +β)⋅ =α⋅ +β⋅ ) ( ) ( ) 9 x x l αβ ⋅ =α⋅ β⋅ x x üzere olmak eleman birim K l₁₀)1∈ 1⋅ =

şartlarını sağlıyorsa L uzayına bir vektör uzayı (lineer uzay) denir.

Tanım 1.1.2: (Alt Vektör Uzayı) L, K cismi üzerinde bir vektör uzay ve M, L uzayının bir alt kümesi olsun. ∀α∈Kve∀x,y∈M için

M x ve M y x+ ∈ α ∈

şartları sağlanıyorsa M kümesine L uzayının alt uzayı denir. Bu iki şart

M y x+β ∈

α olarak da alınabilir.

Tanım 1.1.3: (Lineer Bağımsızlık) L, K cismi üzerinde bir vektör uzayı ve

{

x x xn

}

S = ₁, ₂,..., kümesi de L uzayının sonlu bir alt kümesi olsun. α_i∈K olmak üzere

1 0 1, 2,..., 0 n i i i i x i n için α α = = ⇒ = =

∑

önermesi doğru ise K cismi üzerinde x₁,x₂,...,x_nvektörlerine veya S kümesine lineer bağımsız denir.

Tanım 1.1.4: (Normlu Uzay) Reel veya kompleks K cismi üzerinde tanımlanmış X vektör uzayında ⋅ : X → fonksiyonu

1) , 0 , 0 n ∀ ∈x X x≠θ için x > x = ⇔ =x θ 2) , n ∀ ∈λ K ∀ ∈x X için λx = λ ⋅ x 3) , n ∀x y X için x y∈ + ≤ x + y

şartlarını sağlıyorsa ⋅ fonksiyonuna, X uzayı üzerinde bir norm, X uzayına da normlu uzay denir.

Tanım 1.1.5: (Lineer Operatör) ℘

( )

T ve ℜ

( )

T aynı cisim üzerindeki vektör uzayları olmak üzere T:℘

( )

T → ℜ

( )

T biçimindeki dönüşüme operatör denir. Bu operatör için ∀ ,x y∈℘

( )

T ve α skaler olmak üzere

Tx x T Ty Tx y x T α α = + = + ) ( ) (

şartları sağlanıyorsa T ye lineer operatör adı verilir. Değer kümesi reel sayılar veya kompleks sayılar olan operatörlere fonksiyonel denir.

Buna göre T nin çekirdeği Çek T

( )

ile gösterilirse

( ) {

T = x∈X Tx∈Y

}

℘ :

( ) {

T = y∈Y y=Tx x∈X

}

ℜ : ,

( )

{

( )

:

}

Çek T = x∈℘ T Tx=θ olur. (Kreyszig 1989, sh 82)

Tanım 1.1.6: (Sınırlı Lineer Operatör) X ve Y iki normlu uzay ve ℘

( )

T ⊂ X olmak üzere T:℘

( )

T →Y bir lineer operatör olsun. Eğer ∀x∈℘

( )

T için

x c

Tx ≤

olacak şekilde bir c≥0 reel sayısı varsa T operatörüne sınırlı lineer operatör denir. (Soldaki norm Y uzayındaki sağdaki norm ise X uzayındaki normdur.) Burada bu eşitsizliği sağlayan c sayılarının en büyük alt sınırına T nin normu denir. Bu norm

( ) x Tx T x T x 0 sup ≠℘ ∈ =

eşitliği ile de verilebilir. X den X ’e olan bütün sınırlı lineer dönüşümlerin uzayı

(

,

)

B X X veya B X

( )

ile gösterilir. Bu durumda B X

( )

,

( )

0 sup x T x T x ≠ = ile normlu uzay olur. (Kreyszig 1989, sh 91)

Tanım 1.1.7: (Ters Operatör) T:℘

( )

T →Y lineer dönüşümü verilsin. Eğer tanım kümesindeki farklı noktaların T altındaki görüntüleri farklı yani x₁,x₂∈℘

( )

T ve

2 1 2

1 x Tx Tx

x ≠ ⇒ ≠ ise T ’ye injektif veya 1-1 adı verilir. Bu durumda Tx₀ = y₀

eşitliği için her y₀∈ℜ

( )

T elemanını x₀∈℘

( )

T elemanına dönüştüren

( )

T

( )

T

T−1_:ℜ →℘ _{dönüşümü mevcuttur ve bu operatöre T nin tersi denir. (Kreyszig} 1989, sh 87)

Tanım 1.1.8: (Kapalı Lineer Operatör) XxY =

{

( , ):x y x X ve y Y∈ ∈

}

, ) , ( ) , ( ) , (x₁ y₁ + x₂ y₂ = x₁ +x₂ y₁+y₂ ) , ( ) , (x y αxαy α =

işlemlerine göre bir vektör uzayı ve ( , )x y = x + y ile normlu uzaydır. T X: →Y bir lineer operatör olsun. Eğer T operatörünün G T( )=

{

( , ):x y x X y T x∈ , = ( )

}

grafiği,

XxYnormlu uzayında kapalı ise T ye kapalı operatör denir. (Kreyszig 1989, sh 292)

Tanım 1.1.9: (Dual Uzay) X normlu uzay olsun. Bu durumda

( )

_{( )}

x f x x f f x X x x X x 1 0 sup sup = ∈ ≠ ∈ = =

normu ile normlanan X üzerindeki tüm sınırlı lineer fonksiyonellerin teşkil ettiği normlu uzay, X uzayının dual uzayı olarak adlandırılır ve X ile gösterilir. (Kreyszig ' 1989, sh 119)

Tanım 1.1.10: (Adjoint operatör)X , K cismi üzerinde normlu uzay ve *

X , X

in sürekli dualini göstermek üzere yani *

(

)

,

X =B X K olmak üzere, her x X∈ ve her

*

( )

(

( )

)

*_: * * _, *

T X →X T f x= f T x

biçiminde tanımlanan _{T operatörüne T nin adjointi denir. (Kreyszig 1989, sh 232)} *

Bazı özel uzaylar ve üzerlerinde tanımlanan normlar: 1.

{

( )

_k : lim _k

}

k

c= x= x x mevcut kümesine yakınsak dizilerin uzayı, 2. ₀ =

{

=

( )

:lim _k =0

}

k

k x

x x

c kümesine sıfır dizilerinin uzayı,

3.

( )

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{= <∞} = ∞ k k k x x

x :sup kümesine sınırlı dizilerin uzayı,

4.

( )

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{= <∞ < <∞} = x x

∑

x p k p k k

p : ,1 kümesine p. kuvvetten mutlak yakınsak diziler uzayı, 5.

( )

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{= − <∞} =

∑

₊ k k k k x x x x

bv : ₁ kümesine sınırlı salınımlı diziler uzayı denir. 6. bv₀ =c₀ ∩bv

Burada c c ve0, ∞, k k

x

x =sup ile birlikte bir normlu uzay _pise

1 1 p p k p k x ∞ x = ⎛ ⎞

= ⎜_⎝

∑

⎟_⎠ ,

(

p≥1

)

ile birlikte bir normlu uzaydır. 1.2. Temel Teoremler

Teorem 1.2.1: X ve Y iki normlu uzay ve ℘

( )

T ⊂ X olmak üzere

( )

T Y

T:℘ → bir lineer operatör olsun. Bu durumda

a) T operatörünün sürekli olması için gerek ve yeter şart sınırlı olmasıdır. b) Eğer T bir tek noktada sürekli ise süreklidir.

(Kreyszig 1989, sh 97)

Teorem 1.2.2: X Y normlu uzay ve , ℘

( )

T ⊂ X tanım kümesi , ℜ

( )

T ⊂Ydeğer kümesi olmak üzere T:℘

( )

T → ℜ

( )

T lineer operatörü verilmiş olsun. T nin tersinin olması için gerek ve yeter şart çekirdeğinin sadece sıfır vektöründen oluşmasıdır. (Kreyszig 1989, sh 87)

Teorem 1.2.3: (Açık Dönüşüm-Sınırlı Ters) X Banach uzayından Y Banach uzayı üzerine tanımlanan sınırlı lineer T operatörü bir açık dönüşümdür. Eğer T bijektif (1-1 ve örten) ise _{T sürekli dolayısıyla sınırlıdır. (Kreyszig 1989, sh 286)} −1

Teorem 1.2.4: (Kapalı Lineer Operatör) X ve Y normlu uzaylar ve

( )

T ⊂X

℘ olmak üzere T:℘

( )

T →Y bir lineer operatör olsun. Bu durumda T operatörünün kapalı olması için gerek ve yeter şart x_n∈℘

( )

T için x_n → ve x

y

Tx_n → olduğunda x∈℘

( )

T ve Tx= olmasıdır. (Kreyszig 1989, sh 293) y

Lemma 1.2.5: (Kapalı Operatör) X ve Y normlu uzaylar ve ℘

( )

T ⊂ X tanım kümesi ile birlikte T:℘

( )

T →Y sınırlı bir lineer operatör olsun. Bu durumda

a) ℘

( )

T kümesi X uzayının kapalı bir alt kümesi ise T kapalıdır.

b) T kapalı ve Y tam ise ℘

( )

T kümesi X uzayının kapalı bir alt kümesidir.

(Kreyszig 1989, sh 295)

Teorem 1.2.6: Eğer Y bir Banach uzayı ise B

(

X,Y

)

bir Banach uzayıdır. (Kreyszig 1989, sh 118)

Teorem 1.2.7: X sonlu boyutlu bir normlu uzay ve M , X uzayının bir alt

kümesi olsun. M kümesinin kompakt olması için gerek ve yeter şart M kümesinin

kapalı ve sınırlı olmasıdır. (Kreyszig 1989, sh77)

Lemma 1.2.8: (Çarpımın Tersi): X, Y, ve Z vektör uzayları olmak üzere

Y X

T: → ve S:Y →Z operatörleri bijektif ( 1-1 ve örten) lineer operatörler olacak şekilde alalım. Bu durumda ST çarpımının tersi

( )

ST − Z→X

: 1 mevcuttur ve

( )

−1₌ −1 −1 S T ST dir. (Kreyszig 1989, sh 89)

Teorem 1.2.9: X normlu uzay ve T B X∈

( )

olsun. Bu durumda

( )

* * *

Teorem 1.2.10: T operatörünün yoğun bir değer kümesinin olması için gerek ve yeter şart _T* _{operatörünün 1-1 olmasıdır. (Goldberg 1966, II.3.7. Theorem )}

Teorem 1.2.11: _ℜ

( )

_T* _=X* _{olması için gerek ve yeter şart T operatörünün}

sınırlı bir terse sahip olmasıdır. (Goldberg 1966, II.3.11. Theorem)

1.3. Matris Dönüşümleri

Tanım 1.3.1: A=

( )

a_nk reel veya kompleks terimli bir sonsuz matris ve

( )

k

x= x herhangi bir dizi olsun. Eğer n∀ ∈ için

( )

_∑

∞ = = 0 k k nk n a x Ax

serileri yakınsak ise Ax=

(

( )

Ax _n

)

dizisine x dizisinin A matrisi ile elde edilen dönüşüm dizisi denir.

Eğer ∀x∈X için Ax dönüşüm dizisi mevcut ve Y uzayına ait ise A matrisi X uzayından Y dizi uzayına bir matris dönüşümü tanımlar denir.

X dizi uzayını Y dizi uzayına dönüştüren bütün matrislerin sınıfı

(

X ,Y

)

ile gösterilir ve A matrisi X uzayından Y uzayının içine ise A∈

(

X,Y

)

yazılır. Toplamı yada limiti koruyan matrislerin sınıfı ise

(

X,Y;p

)

ile gösterilir. Özel olarak A∈

( )

c,c

ise A matrisine konservatif matris ve A∈

(

c,c;p

)

ise A matrisine regüler matris denir.

Teorem 1.3.2: A∈B

( )

c₀ olması için gerek ve yeter şart i) =

∑

<∞ k nk n a A sup

ii) ∀ için k lim _nk =0 n a

şartlarının sağlanmasıdır. (Maddox 1970, sh 163)

Teorem 1.3.3: (Silverman -Teoplitz)A=

( )

a_nk matrisinin regüler olması için gerek ve yeter şart

i) =

∑

<∞ k nk n a A sup

ii) n∀ için lim _nk =0 n a iii) lim 1 1 =

∑

∞ = k nk n a

şartlarının sağlanmasıdır. (Maddox 1970, sh165)

Teorem 1.3.4: A∈B

( )

c olsun. Eğer A matrisi =

∑

<∞ n nk k

b

B sup şartını gerçekleyen bir A−1=B _{tersine sahip ise A}−1_∈B

( )

_{c dir. (Wilansky 1984, sh 92)}

Teorem 1.3.5: A∈B

( )

_∞ olması için gerek ve yeter şart sup nk

n k

A =

∑

a < ∞

şartının sağlanmasıdır. (Maddox 1970, sh 174)

Teorem 1.3.6: A B∈

( )

₁ olması için gerek ve yeter şart sup nk

k _n

A =

∑

a < ∞

şartının sağlanmasıdır. (Maddox 1970, sh 167)

Teorem 1.3.7: Eğer A B∈

( )

_∞ ∩B

( )

₁ ise A B∈

( )

_p ,

(

1 p< < ∞

)

dır. (Maddox 1970, sh 174)

Teorem 1.3.8: (Riesz Thorin): A∈B

( )

_∞ olsun. Eğer A B∈

( )

_p ,

(

1 p≤ < ∞

)

ve q> ise p A B∈

( )

_q dur. (Cartlidge 1978)

Teorem 1.3.9: (Abel Dini Teoremi)

∑

∞

=0

n n

d pozitif terimli ıraksak bir seri olsun.

n n d d d D = ₀ + ₁+...+ olmak üzere

∑

∞ =0 n n n D d

α serisi; α >1 için yakınsak, α ≤1için ıraksaktır. (Knopp 1971, sh 290)

1.4.Bazı Özel Operatörler

Tanım 1.4.1 (Cesaro operatörü) : Bir x=

( )

x_n dizisini onun aritmetik ortalaması olan

( )

0 1 ... 1 n n x x x y y n + + + ⎛ ⎞ = _{= ⎜ ⎟} +

⎝ ⎠ dizisine dönüştüren dönüşüme Cesaro operatörü denir ve C₁ ile gösterilir. Bu operatörün matris gösterimi

( )

1 1 0 0 0 0 ... 1 2 1 2 0 0 0 ... 1 3 1 3 1 3 0 0 ... 1 4 1 4 1 4 1 4 0 ... nk C c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ veya 1 ,0 1 0 , nk k n c n k n ⎧ _{≤ ≤} ⎪ =⎨ + ⎪ _> ⎩

ifadesi ile verilir.

Okutoyi 1986 da yaptığı doktora çalışmasında da

a) c₀*, _p* vebv₀* uzaylarına sırasıyla izometrik olarak izomorf olan

bs ve

q ,

1 uzayları üzerinde göz önüne alınan * 1

C adjoint operatörünün matris gösteriminin

( )

* * 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 ... 0 1 2 1 3 1 4 1 5 ... 0 0 1 3 1 4 1 5 ... 0 0 0 1 4 1 5 ... nk C c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ veya kısaca * 1 ,0 1 0 , nk n k c k k n ⎧ _{≤ ≤} ⎪ =⎨ + ⎪ _< ⎩ olduğunu göstermiştir.

b) _c* _vebv* _{uzaylarına sırasıyla izometrik olarak izomorf olan , ve C⊕bs} 1

uzayları üzerinde göz önüne alınan C₁* adjoint operatörünün matris gösteriminin ise

* * 1 1 0 0 0 0 ... 0 1 1 2 1 3 1 4 ... 0 0 1 2 1 3 1 4 ... 0 0 0 1 3 1 4 ... nk C c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ veya kısaca ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < < ≤ ≤ < = = = = n k k n k k n n k n c_nk 0 , 0 1 , 1 , 0 , 0 0 , 1 * olduğunu göstermiştir.

Teorem 1.4.2: Cesaro operatörü regülerdir.

Tanım 1.4.3.(Ağırlıklı Ortalama operatörü )

∑

= = ≥ ≥ > n k k n n ve P p p için n p 0 0 0 , 1 0 olmak üzere ,0 0 , k k nk p k n P a k n ⎧ _{≤ ≤} ⎪ = ⎨ ⎪ _> ⎩

biçiminde verilen A=

( )

a_nk matrisi ile tanımlanan operatöre ağırlıklı ortalama operatörü denir ve bu operatörün matris gösterimi

( )

0 0 0 1 1 1 0 1 2 2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 3 0 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ... 0 ... nk p P p p P P a p p p P P P p p p p P P P P ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ şeklindedir.

Tanım 1.4.4. (Rhaly operatörü ) Bir a=

( )

a_n skaler dizisi için ,0 0 , n a nk a k n R a diğer durumlar ≤ < ⎧ = _{= ⎨} ⎩

biçiminde verilen R_a =

( )

a_nk matrisinin tanımladığı operatöre Rhaly operatörü denir ve bu operatörünün matris gösterimi

0 1 1 2 2 2 0 0 0 ... 0 0 ... 0 ... a a a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ şeklindedir.

Teorem 1.4.5: R operatörünün _a c üzerinde sınırlı bir lineer operatör olması ₀

için gerek ve yeter şart t a a R

BÖLÜM 2

NORMLU UZAYLARDA LİNEER OPERATÖRLERİN SPEKTRAL TEORİSİ

Bu bölümde temel oluşturması nedeniyle önce sonlu boyutlu uzaylar üzerindeki operatörlerin spektrum ve resolventlerine kısaca değindikten sonra sonsuz boyutlu uzaylardaki operatörlerin spektrum ve resolventleri detaylı olarak incelenecektir.

2.1.Sonlu Boyutlu Normlu Uzaylarda Spektral Teori

X sonlu boyutlu bir normlu uzay ve T :X → X bir lineer operatör olduğunda X uzayının bazına bağlı olarak T lineer operatörü matrisler ile gösterilebilir.

( )

jk

A= α reel yada kompleks terimli nxntipinde karesel bir matris ise özdeğer ve özvektörler

(1) Ax=λx

denklemi ile tanımlanırlar.

Tanım 2.1.1: x≠0olmak üzere Ax=λx denkleminin bir çözümü varsa bu λ sayısına A=

( )

α_jk kare matrisinin özdeğeri ve bu özdeğere karşılık gelen x vektörüne ise özvektörü denir. (Burada λ , X normlu uzayının tanımlandığı K cisminin elemanıdır.)

λ özdeğerine karşılık gelen özvektörler ile sıfır vektörü, X uzayının bir alt vektör uzayını oluşturur ve bu uzaya λ ya karşılık gelen özuzayı denir.

A kare matrisinin tüm öz değerlerinin σ(A) kümesi, A matrisinin spektrum

kümesi ve kompleks düzlemde bu spektrum kümesinin tümleyeni olan ρ( )A = −σ( )A

kümesine ise resolvent kümesi denir. Buna göre A=

( )

α_jk kare matrisi için

( ) {

A :Ax x x, 0

}

σ = λ =λ ≠

( )A ( )A

ρ = −σ

olur. nxn tipindeki A kare matrisi için özdeğer ve özvektörleri bulmak için öncelikle

nxntipindeki I birim matrisi için (1) denklemi (2) (A−λI)x=0

şeklinde yazılır. Bu ifade, x=

(

ξ₁,...,ξ_n

)

vektörünün bileşenlerini bilinmeyen olarak alan n tane lineer denklemin homojen bir sistemidir. (2) denkleminin x≠0 biçimde bir çözümünün olması için det(A− Iλ )=0 olmalıdır. Yani A kare matrisinin karakteristik denklemi det(A−λI)için

(3) 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 ... ... det( ) ... 0 ... ... n n n n n n nn A I α λ α α α α α λ α α λ α α α λ α α α α α λ − − − = − = −

olmalıdır. (Çünküdet(A− Iλ )≠0 olduğunda 0(A−λI)x= denkleminin x=0 çözümü elde edilir. Bu ise aşikar çözüm olup zaten bilinmektedir.) Bu ifade ise A kare matrisinin karakteristik polinomunun, λ ya bağlı n. dereceden bir polinom olduğu gösterir.

Matrisin özdeğerlerinin nasıl bulanacağını ifade eden bu sonuç aşağıdaki teorem ile ifade edilebilir:

Teorem 2.1.2: nxn tipindeki A=

( )

α_jk kare matrisinin özdeğerleri, A kare matrisinin karakteristik denklemi olan (3) denklemi ile bulunur ve A kare matrisinin en az bir tane ve en fazla n tane farklı özdeğeri vardır. (Kreyszig 1989)

Kare matrislerdeki bu sonuç n boyutlu X normlu uzayı üzerindeki T :X →X

lineer operatörüne şöyle uygulanır: e=

{

e₁,e₂,...,e_n

}

, X normlu uzayının herhangi bir bazı ve bu baza göre T lineer operatörüne karşılık gelen matris T_C =

( )

α_jk olsun. Bu durumda T matrisinin özdeğerleri, T lineer operatörünün özdeğerleri olur. Yine bu _C

matrisin spektrum ve resolvent kümesi, T lineer operatörün spektrum ve resolvent kümesi olur.

Teorem 2.1.3: Sonlu boyutlu X normlu uzayı üzerinde verilmiş bir T :X →X

lineer operatörünün X uzayının farklı bazlarına bağlı olarak tüm matris gösterimleri aynı özdeğerlere sahiptir. (Kreyszig 1989)

Tanım 2.1.4: T₁ veT₂ , nxn tipinde sırasıyla e ve e≈ bazlarına göre aynı T operatörünü temsil eden matrisler olsun. Eğer T C 1T₁C

2 = − eşitliğini sağlayacak şekilde

singüler olmayan bir C matrisi mevcut ise nxn tipindeki T₂ ye, T₁ e benzerdir denir. Buna göre:

a) Sonlu boyutlu X normlu uzayı üzerinde aynı T lineer operatörünü temsil eden iki matris, X normlu uzayının herhangi iki bazına göre benzerdir.

b) Benzer matrisler, aynı özdeğerlere sahiptir.

Teorem 2.1.5 (Varlık Teoremi) Sonlu boyutlu kompleks X ≠

{ }

0 normlu uzayında bir lineer operatörün en az bir tane özdeğeri vardır. (Kreyszig 1989)

Teorem 2.1.6: X vektör uzayı üzerinde lineer bir T operatörünün farklı n

λ λ

λ₁, ₂,..., özdeğerlerine karşılık gelen x₁,x₂,...,x_n özvektörleri lineer bağımsızdır. (Kreyszig 1989)

İspat: Kabul edelim ki

{

x₁,x₂,...,x_n

}

kümesi lineer bağımlı olsun. Bu kümenin lineer bağımsız olacak şekilde bir

{

x₁,x₂,...,x_m−1

}

alt kümesini alalım. Diyelim ki x _m

elemanı bu kümenin elemanlarının lineer kombinasyonu olarak ifade edilen ilk vektör olsun. Bu durumda

(4) x_m =α₁x₁+...+α_m−1x_m−1

olacak şekilde α α₁, ₂,...,α_m skalerleri vardır. T −λ_mI operatörü (4) eşitliğinin her iki tarafına uygulanırsa

(

)

(

)

(

)

∑

∑

− = − = − = − = − 1 1 1 1 m j j m j j m j j m m m x x I T x I T λ λ α λ λ

eşitliği elde edilir. x vektörü, _m λ_m özdeğerine karşılık gelen bir özvektör olduğundan bu eşitliğin sol tarafı sıfırdır. Dolayısıyla 1j=1,2,...,m− için x vektörleri lineer _j

bağımsız olduğundan α_j

(

λ_j −λ_m

)

=0 olmalıdır. j=1,2,...,m−1 için λ_j ≠λ_m olduğundan da α_j =0 olmalıdır. Buna göre (4) ifadesinden x_m =0 olur. Ancak x _m

vektörü bir özvektör olduğundan 0x_m ≠ dır. Çelişki. O halde varsayım yanlış olup,

{

x1,x2,...,xn

}

kümesi lineer bağımsızdır.

2.2.Spektral ve Resolvent Kavramı

Normlu kompleks X ≠

{ }

0 uzayı ve ℘ )(T ⊂ X tanım kümesi olmak üzere

X T

T:℘ )( → lineer operatör olsun. λ bir kompleks sayı ve I da ℘(T) kümesi üzerinde birim operatör olmak üzere,

(1) T_λ =T−λI

operatörünü tanımlayalım. Eğer T operatörünün tersi varsa, bu ters operatöre T nin _λ resolvent operatörü denir ve R_λ(T) ile gösterilir. Buna göre

(2) R_λ(T)=T_λ−1=

(

T−λI

)

−1

olur. Kullanılan T operatörü bilindiğinde kısalık için R_λ(T) yerine R_λ kullanılır. )

(T

R_λ resolvent operatörü, T_λx= y denklemini çözmeye yardımcı olduğundan “resolvent-çözen” adı uygundur. Bu durumda R_λ(T) mevcut olmak üzere

y T R y T x 1 ( ) λ λ = = −

olur. Lineer operatörlerin tersi de lineer operatör olduğundan R _λ

resolvent operatörü de bir lineer operatördür.

Burada önemli olan R resolvent operatörünün özelliklerinin araştırılmasının, T _λ

operatörünün özelliklerinin incelenmesi için temel olmasıdır. T ve _λ R operatörlerinin _λ

bir çok özelliği λ kompleks sayısına bağlıdır. Spektral teori de bu özelliklerle ilgilenir.

Tanım 2.2.1: X ≠

{ }

0 kompleks normlu uzayı ve ℘ )(T ⊂ X tanım kümesi olmak üzere T:℘ )(T →X lineer operatör olsun. Eğer

1

( )R R T_λ( ) mevcut

2

( )R R Tλ( ) sınırlı

3

( )R R T_λ( ) , X uzayı içinde yoğun bir kümede tanımlı

şartları sağlanıyorsa λ kompleks sayısına T operatörünün regüler değeri ve bütün regüler değerlerin oluşturduğu ρ(T)kümesine, T operatörünün resolvent kümesi denir. Buna göre

( ) {

}

(

)

{

1

}

: : , T regüler değer

T I mevcut sınırlı ve X de yoğun bir kümedetanımlı

ρ λ λ

λ λ −

=

= −

olur. Resolvent kümesinin kompleks düzlemindeki σ( )T = −ρ( )T tümleyeni, T operatörünün spektrumu ve λ∈σ(T)kompleks sayısı da T operatörünün spektral değeri olur. Buna göre

( ) {

T : spektral değer

}

σ = λ λ

Herhangi bir X vektör uzayı üzerinde tanımlı T operatörünün spektrumunu açık olarak belirtmemiz gerektiğinde σ

(

T X,

)

ile gösterilir.

) (T

σ spektrum kümesi aşağıdaki gibi ayrık üç kümeye ayrılabilir:

Nokta Spektrum: (Discret-ayrık spektrum) R_λ(T) resolvent operatörünün mevcut olmadığı λ sayılarının kümesi olup σ_p(T) ile gösterilir. Bu durumda

) (T p

σ

λ∈ kompleks sayısı T operatörünün bir özdeğeri olur.

Sürekli Spektrum: R_λ(T) resolvent operatörünün mevcut olduğu, ( )R şartının ₃

sağlanıp ( )R şartının sağlanmadığı yani, ₂ R_λ(T) resolvent operatörünün sınırsız olduğu λ sayılarının kümesidir ve σ_C(T) ile gösterilir.

Residü Spektrum: (Artık spektrum) R_λ(T) resolvent operatörünün mevcut olduğu (sınırlı veya sınırsız) fakat ( )R şartının sağlanmadığı yani ₃ R_λ(T)resolvent operatörünün tanım kümesinin X uzayında yoğun olmadığı λ sayılarının kümesidir ve

) (T r

σ ile gösterilir.

Bu tanımda ifade edilen şartlar aşağıdaki tablo ile verilebilir:

Tablo 2.1. Resolvent ve Spektrum kümelerinin şartları

λkompleks sayısının ait olduğu küme Sağlanan şartlar Sağlanmayan şartlar ) (T ρ resolvent ( ),( ),( )R₁ R₂ R ₃ ) (T p σ nokta spektrum ( )R ₁ ) (T C σ sürekli spektrum ( ),( )R₁ R ₃ ( )R ₂ ) (T r σ residü spektrum ( )R ₁ ( )R ₃

Dikkat edilirse tablodaki dört küme ayrıktır ve birleşimleri tüm kompleks düzlemi oluşturur. Yani

( )

T p

( )

T C

( )

T r

( )

T

ρ σ σ σ

= ∪ ∪ ∪

dir. Bu tanımdaki bazı kümelerin boş küme olup olmaması tartışılması gereken bir varlık problemidir.

Teorem 1.2.2 nedeniyle T_λ−1 =R_λ :ℜ(T_λ)→℘(T_λ)

dönüşümünün mevcut olması için gerek ve yeter şart 0T_λx= olduğunda x=0 olmasıdır, yani T _λ

operatörünün çekirdeğinin

{ }

0 olmasıdır. Yani eğer 0∃ ≠ vektörü için x

(

−

)

=0

= T I x x

T_λ λ ise T operatörünün tersi yani _λ R resolvent operatörü mevcut _λ

değildir. O halde λ∈σ_p(T) dir. Bu ise λ değerinin T operatörünün özdeğeri olmasıdır. Bu durumda x vektörü T operatörünün λ özdeğerine karşılık gelen bir özvektörü olur. (Veya eğer X uzayı bir fonksiyon uzayı ise T operatörünün bir özfonksiyonu olarak adlandırılır.) Sonlu boyutlu uzaylarda olduğu gibi özuzay T nin λ özdeğerine karşılık gelen bütün özvektörleri ile 0 dan ibaret olan, ( )℘T nin alt uzayı T nin λ ya karşılık gelen öz alt uzayını oluşturur.

Buradaki özdeğerin tanımı bir önceki tanım ile uyumludur. Çünkü sonlu boyutlu uzay üzerinde tanımlı lineer operatörün spektrumu sadece nokta spektrumu olup sürekli ve residü spektrumu boş kümedir. Dolayısıyla sonlu boyutlu uzaylarda her spektral değer bir özdeğerdir.

Eğer X sonsuz boyutlu ise bu durumda T operatörünün özdeğer olmayan spektral değerleri olabilir. Yani spektrum kümesinin elemanı olup nokta spektrum kümesinin elemanı olmayan değerler olabilir. Bunu aşağıdaki örnekle görelim.

Örnek 2.2.2: X = Hilbert dizi uzayı üzerinde ₂ x=

( )

ξ_j ∈ olmak üzere ₂ (3)

(

ξ₁,ξ₂,...

) (

0,ξ₁,ξ₂,...

)

ile tanımlanan T: ₂ → lineer operatörünü tanımlayalım. _{2 2} uzayındaki norm

2 1 1 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

∑

∞ = j j x x olduğuna göre

(

)

(

)

1 2 2 1 2 1 2 1 0, , ,... _j , ,... j Tx ξ ξ ∞ ξ ξ ξ x = ⎛ ⎞ = =_{⎜ ⎟} = = ⎝

∑

⎠

olduğundan T sınırlıdır. Aynı zamanda =sup =sup1=1 ≠ ≠θ x θ x x Tx T dir. Dolayısıyla a) 0Tx= ⇒ = dır, yani x 0 1

(

) (

)

0( ) : ( ) , 1, ,...2 2, ,...3 R T =T− T X →X ξ ξ → ξ ξ

operatörü mevcuttur. Yani R T₀

( )

,( )R şartını sağlar. Fakat (3) ifadesinden ₁ T(X) kümesi, Y =

{

( )

η_j :η₁ =0

}

uzayının bir alt uzayıdır. Bu ise T(X)≠ X olmasıdır yani

) (X

T kümesi X uzayı içinde yoğun değildir. Yani R T₀

( )

,( )R şartını sağlamaz. Şu ₃

halde λ=0, T operatörünün resolvent kümesinin bir elemanı olmayıp, spektrum kümesinin elemanıdır. Yani λ=0 bir spektral değerdir.

b) Ayrıca (3) den Tx= ⇒ = dır ve 0 x 0 0 vektörü öz vektör değildir. Dolayısıyla λ=0 özdeğer değildir.

X tam uzay, T:X →X operatörü sınırlı ve lineer olmak üzere eğer bazı λ kompleks sayıları için R_λ(T) resolventi mevcut ve X uzayının tamamı üzerinde tanımlı ise Açık dönüşüm – Sınırlı Ters teoremi nedeniyle söz konusu λ lar için resolventin sınırlı olduğu da söylenebilir.

Lemma 2.2.3: X kompleks Banach uzayı üzerinde T:X →X lineer operatörü ve λ∈ρ(T) olsun. Eğer

(a) T kapalı veya (b) T sınırlı

ise bu taktirde R_λ(T) resolvent operatörü, X uzayının tamamı üzerinde tanımlı ve sınırlıdır. (Kreyszig 1989)

2.3.Sınırlı Lineer Operatörlerin Spektral Özellikleri

Bu kısımda verilen bir operatörün spektrumunun genel özellikleri ele alınacaktır. Bu özellikler operatörün kendisine ve operatörün tanımlandığı uzaya bağlıdır. Önce kompleks X Banach uzayı üzerinde tanımlı ve sınırlı T lineer operatörleri ile başlayacağız. Yani T B X∈

( )

alacağız.

Teorem 2.3.1: X Banach uzayı olmak üzere T B X∈

( )

alalım. Eğer T <1 ise bu durumda

(

I−T

)

−1, X uzayının tamamı üzerinde sınırlı lineer bir operatördür ve eşitliğin sağındaki seri B X

( )

kümesinin üzerindeki norma göre yakınsak olmak üzere

(1)

(

)

2 ... 0 1 _{= = + + +} −

∑

∞ = − T T I T T I j j dır. (Kreyszig 1989)

İspat: Tümevarımdan _Tj _{≤ T} j _{dır. Ayrıca}

∑

_T j _{geometrik serileri T <1} için yakınsak olduğundan (1) ifadesindeki seri T <1için mutlak yakınsaktır. X uzayı Banach uzayı olduğundan tamdır, Teorem 1.2.6 gereğince de B X

( )

tamdır. Dolayısıyla mutlak yakınsaklık serinin yakınsaklığını gerektirir. Buna göre (1) serisi yakınsaktır. Şimdi ∀x∈X ,

∑

T j

( ) ( )

x ₌S x _{serisinin toplamını S ile gösterelim. Bu durumda}

(

₋

)

−1

= I T

S olduğunu göstermek yeterlidir. S , (1) serisinin kısmi toplamlar dizisini _n

göstermek üzere (2)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 3 1 1 2 1 ... ... ... ... n n n n n n n n I T S I T I T T T I T T T T T T T I T S I T I T T T I T I T + + + − = − + + + + = + + + + − − − − − = − − = + + + + − = −

yazılabilir. Öte yandan T <1 olduğundann→∞ için _Tn+1_→0 _{olur. Böylece (2) de} ∞

→

n için limite geçilirse

(3)

(

I−T

)

S=I ve S

(

I−T

)

=I

elde edilir. Bu ise S=

(

I−T

)

−1 olmasıdır. ■

Şimdi bu teoremin ilk uygulaması olarak sınırlı bir lineer operatörün spektrumunun kompleks düzlemde kapalı bir küme olduğunu gösterelim.

Teorem 2.3.2: X kompleks Banach uzayı üzerinde tanımlı sınırlı lineer bir T operatörünün )ρ(T resolvent kümesi açıktır ve dolayısıyla )σ(T spektrumu kapalıdır. (Kreyszig 1989)

İspat: Eğer ρ(T)=∅ ise ispat aşikardır. Şimdi ρ(T)≠∅ olsun. Bu durumda )

(

0 ρ T

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

0 0 0 0 0 0 0 0 1 ₁ 0 0 0 0 0 T T I T I I I T I I T I I T I T I T T I R λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − ₋ = − = − + − = − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = − _⎣ − − − _⎦= _⎣ − − _⎦ ⎡ ⎤ = _⎣ − − _⎦ olur. Eğer (4) V =I−

(

λ−λ₀

)

R_λ0 dersek T T V 0 λ

λ = yazılabilir. )λ0∈ρ(T ve T operatörünün sınırlılığından Lemma

2.2.3-b gereğince

0

λ

R resolvent operatörü X uzayının tamamı üzerinde tanımlı ve

sınırlıdır. Şu halde _{R0 T0} 1 _{B X( )}

λ = λ− ∈ dir. Teorem 2.3.1 deki T operatörü yerine

(

λ λ− 0

)

Rλ0 ∈B X

( )

operatörü alınırsa

(

λ−λ0

)

Rλ0 <1 olmak üzere tüm λ değerleri

için

[

(

)

]

1 1 0 0 − − ₌ − − R V

I λ λ _λ operatörü X uzayının tamamı üzerinde tanımlı ve sınırlı olup, (5)

[

(

)

]

∑

[

(

)

]

∑

∞

(

)

= ∞ = − − _{= − − = − = −} 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 j j j j j R R R I V λ λ _λ λ λ _λ λ λ _λ dır. Ayrıca (6)

(

)

0 0 Rλ 1 λ λ− < ⇒ 0 0 Rλ 1 λ λ− ⋅ < ⇒ 0 1 0 λ λ λ R < − dır. Şu halde _T0 1 _{R0 B X( )}

λ− = λ ∈ olduğundan ve (4) ifadesinden (6) yi sağlayan her λ değeri için T_λ operatörünün

(7) 1

( )

₀ 1 1 ₀ 1 1 ₀ λ λ λ λ λ T T V V T V R R = − = − = − − = −

şeklinde bir tersi vardır. Dolayısıyla (6), T operatörünün λ₀ın regüler λ değerlerinden ibaret komşuluğunu gösterir. (R_λ mevcut,

0

1

λ λ V R

R = − olduğundan sınırlı ve X uzayının tamamında tanımlıdır.) λ₀∈ρ(T) keyfi olduğundan ρ(T) resolvent kümesi açık kümedir. Dolayısıyla tümleyeni ( )σ T = −ρ( )T kapalıdır. ■

Teorem 2.3.3: X kompleks Banach uzayı ve bu uzay üzerinde tanımlı sınırlı lineer bir T operatörü alalaım. )R_λ(T resolvent operatörü her λ₀∈ρ(T)için kompleks düzlemde 0 1 0 λ λ λ R <

(8)

∑

∞

(

)

= + − = 0 1 0 0 j j j_R R_λ λ λ _λ

gösterimine sahiptir. Bu disk, ρ(T)resolvent kümesinin bir alt kümesidir. (Kreyszig 1989)

Teoremin ispatı için, yukarıdaki (7 ifadesinde (5) ifadesindeki eşitlik yazılırsa

(

)

_∑

(

)

∑

_{= −} + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 0 0 0 j j j j_{R R R} R_λ λ λ _{λ λ} λ λ _λ elde edilir.

Teorem 2.3.4: X kompleks Banach uzayı üzerinde sınırlı T:X →X lineer operatörünün σ(T) spektrumu kompakttır ve

(9) λ ≤ T

ile verilen diskin içindedir. Yani T operatörünün ρ(T)resolvent kümesi boş değildir. (Kreyszig 1989)

İspat: Teorem 1.2.7 den σ

( )

T nin kapalı ve sınırlı olduğunu göstermek yeterlidir. Teorem 2.3.2 den σ

( )

T kümesi kapalıdır. O halde sınırlılığa bakmak yeterlidir. λ≠0 alalım. Teorem 2.3.1 gereğince

(10)

(

)

1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 j j R T I T I I T I T T λ λ λ _λ λ _λ λ λ λ λ − − − − _∞ = ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞ = − =_{⎜ ⎜} − _⎟⎟ = −_{⎜ ⎜} − _⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ = _⎜ − _⎟ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∑

⎝ ⎠

yazılabilir. Buradaki seri 1 = <1

λ λ

T

T eşitsizliğini sağlayan her λ için yakınsaktır. Yani λ > T için yakınsaktır. Aynı teorem sebebiyle λ > T şartını sağlayan λ değerleri )ρ(T resolvent kümesinin elemanlarıdır. Dolayısıyla ( )σ T = −ρ( )T

eşitliğinden σ

( )

T spektrumunun elemanları (9) ifadesindeki diskin içinde olmalıdır. Bu ise σ(T) spektrum kümesinin sınırlı olmasıdır.

Tanım 2.3.5: X ≠

{ }

0 ve ( )T B X∈ olsun. σ(T), T nin spektrumu olmak üzere

λ σ λ σ ) ( sup ) ( T T r ∈ =

(11) n n n T T r ∞ → = lim ) ( σ dır. (Brown ve Page 1970, sh 237)

Teorem 2.3.6: X ≠

{ }

0 ve ( )T B X∈ olsun. Bu durumda _{σ( )T}* _⊂σ

( )

_{T dir.}

Eğer X bir Banach uzayı ise _{σ( )T}* _=σ

( )

_{T dır. (Brown ve Page 1970, sh 242)}

2.4. Resolvent ve Spektrumun Diğer Özellikleri

Teorem 2.4.1: X kompleks Banach uzayı, T B X∈

( )

ve λ,μ∈ρ

( )

T alalım. Bu durumda

a) T operatörünün R resolvent operatörü, _λ

(1) R_μ −R_λ =

(

μ −λ

)

R_μR_λ

[

λ,μ∈ρ(T)

]

resolvent denklemini sağlar.

b) R resolvent operatörü, T operatörü ile değişmeli olan bir _λ S B X∈ ( ) operatörü ile değişmelidir.

c) Ayrıca

(2) R_λR_μ =R_μR_λ

[

λ,μ∈ρ(T)

]

dir. (Kreyszig 1989)

İspat:

a) T operatörü sınırlı olduğundan Lemma 2.2.3’ü uygularsak R resolvent _λ

operatörü X uzayının tamamı üzerinde tanımlı ve sınırlıdır. Yani T operatörünün değer _λ

kümesi X uzayının kendisidir.

(

R_λ :X →X ,T:X →X

)

O halde I, X uzayı üzerinde birim operatör olmak üzere λ,μ∈ρ

( )

T için I =T_λR_λ ve I =R_μT_μ yazılabilir. Dolayısıyla

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

λ μ

(

)

λ

(

)

μ λ μ λ μ λ μ λ μ μ λ λ μ λ μ λ μ λ μ μ λ μ λI T I R R I I R R R T R R T T R R T R R T R IR I R R R − = + − = − − − = − = − = − = − dır. Yani R_μ −R_λ =

(

μ −λ

)

R_μR_λ bulunur.

b) ( )S B X∈ operatörü T ile değişmeli yani ST =TS olsun.

(

)

(

T I

)

S TS IS TS S S T S TS S ST SI ST I T S ST λ λ λ λ λ λ λ λ λ − = − = − = − = − = − = − =

ifadelerinden T_λS=ST_λ dır. O halde (a) şıkkında bulunan I =T_λR_λ =R_λT_λ eşitliği kullanılırsa λ λ λ λ λ λ λ λ λ λS R SI R ST R R T SR ISR SR R = = = = =

dır. Yani R_λS =SR_λ dır. Bu ise R resolvent operatörünün S ile değişmeli olmasıdır. _λ

c) Öncelikle (b) şıkkında R_λ yerine R , T yerine T ve S yerine de T alınırsa, T _μ

operatörü kendi ile değişmeli olduğundan R resolvent operatörü T operatörü ile _μ

değişmelidir.

Şimdi de (b) şıkkında R_λ yerine R_λ, T yerine T ve S yerine de R alınırsa, _μ R_λ

resolvent operatörü R_λ resolvent operatörü ile değişmelidir. Yani R_λR_μ =R_μR_λ dir. ▪

Spektral teorisinde önemli bir yeri olan diğer bir sonuç spektral dönüşüm teoremidir. Ön hazırlık amacıyla matris özdeğer teorisi ile başlayalım:

Eğer λ, A kare matrisinin bir özdeğeri ise ∃ x≠0 için Ax=λx olduğunu biliyoruz. Buradan ise

x x Ax x A AAx x A2 _{= = λ =λ =λλ =λ}2

yazılabilir. Yani A2x_=λ2x _{bulunur. Bu şekilde devam edilirse m∀ ∈} + _için

x x Am _=λm

olduğu elde edilir. Yani λ , A kare matrisinin bir özdeğeri ise _λm_{, A kare matrisinin} m

bir özdeğeridir ve daha genel olarak

( )

1 ₀

1λ ... α α λ α λ = + − + + − n n n n p ,

( )

A A A I p n n n n 0 1 1 ... α α α + + + = −

− matrisinin bir özdeğeridir.

Şimdi de sonlu boyutta elde edilen bu sonucun herhangi bir boyuttaki Banach uzayına da genişletilebileceğini görmeye çalışalım. Ancak bu yapılırken sınırlı bir lineer operatörün spektrumunun boştan farklı olduğu sonucu kullanılır.

Aşağıdaki teoremde p

(

σ

( )

T

)

=

{

μ∈ μ = p

( )

λ λ σ: ∈

( )

T

}

sembolünü kullanacağız.

Teorem 2.4.2: (Polinomlar için spektral dönüşüm teoremi) X kompleks Banach uzayı, T B X∈

( )

ve

( )

1 ... ₀ ,

(

0

)

1 + + ≠ + = − − n n n n n pλ α λ α λ α α olsun. Bu durumda (3) σ

(

p

( )

T

)

= p

(

σ

( )

T

)

dir. Yani p

( )

T T Tn I n n n 0 1 1 ... α α α + + + = − − operatörünün σ

(

p

( )

T

)

spektrumu, T

operatörünün σ

( )

T spektrumuna ait noktaların p polinomu altındaki görüntülerinden ibarettir. (Kreyszig 1989)

İspat: σ

( )

T ≠∅ olduğu bilinmektedir. Eğer n=0 ise eşitlik açıktır. Zira

( )

(

)

{ }

0

(

( )

)

p σ T = α =σ p T dır. 0

n> olsun. Bu durumda σ

(

p

( )

T

)

⊂ p

(

σ

( )

T

)

ve p

(

σ

( )

T

)

⊂σ

(

p

( )

T

)

olduğunu göstermek yeterlidir.

a) σ

(

p

( )

T

)

⊂ p

(

σ

( )

T

)

olduğunu görelim. Kolaylık açısındanμ∈ için

( )

T S

p = diyelim. Eğer

(

p

( )

T −μI

)

−1 =

(

S−μI

)

−1 =S_μ−1 operatörü mevcut ise bu durumda _S 1

μ− operatörü, p

( )

T polinomunun resolvent operatörü olur. μ yü sabit

olarak alalım. X kompleks uzay olduğundan Sμ

( )

λ = p

( )

λ −μ ile verilen polinom

lineer çarpanlara ayrılabilir. Buna göre S_μ nün kökleri γ₁,γ₂,...,γ_n olmak üzere (μ ye bağlı olan)

(4) S_μ = p

( )

λ − =μ α λ γ_n

(

− ₁

)(

λ γ− ₂

) (

... λ γ− _n

)

şeklinde yazılabilir. Bu durumda (4) ifadesine karşılık olarak

( )

n

(

1

)(

2

) (

... n

)

S_μ = p T −μI =α T−γ I T−γ I T−γ I

yazabiliriz. Eğer her bir γ_j kökü ρ

( )

T resolvent kümesinin elemanı ise bu durumda her bir T−γ_jI Lemma 2.2.3 gereğince X in tamamında sınırlı bir inverse sahip olur. Lemma 1.2.8 den

(

) (

1

) (

1

)

1 1 1 1 1 ... n n n S_μ T γ I T γ I T γ I α − − − − − = − − − dir. Bu durumda −1 μ

S operatörü mevcut, sınırlı ve X uzayının tamamında tanımlı olduğundan μ sabiti p

( )

T polinomunun resolvent kümesinin elemanı, yani

( )

(

pT

)

ρ

μ∈ olur.

Şimdi μ∈σ

(

p

( )

T

)

alalım. Bu durumda ∃γ_j için γ_j ∈σ

( )

T olur. (4) ifadesi göz önüne alınırsa

( ) ( )

_{j j} 0 S_μ γ = p γ − = μ ve dolayısıyla

( )

j

(

( )

)

p p T μ− γ ∈ σ

elde edilir. Fakat μ σ∈

(

p T

( )

)

keyfi olduğundan

( )

(

pT

)

p

(

σ

( )

T

)

σ ⊂

olduğu görülür.

b) p

(

σ

( )

T

)

⊂σ

(

p

( )

T

)

olduğunu görelim. Bunun için κ∈p

(

σ

( )

T

)

alalım. Bu durumda p

(

σ

( )

T

)

=

{

p

( )

λ :λ∈σ

( )

T

}

görüntü tanımından ∃ β∈σ

( )

T değeri için

( )

β

κ = p olur. Şimdi β∈σ

( )

T için iki durum söz konusudur: T−βI operatörünün ya bir tersi vardır, ya da bir tersi yoktur.

1. durum: T−βI operatörünün bir tersi mevcut olmasın. κ = p

( )

β eşitliği düzenlenirse p

( )

β −κ =0dır. Bu ise β nın Sκ

( )

λ = p

( )

λ κ− ile verilen polinomun

bir kökü olmasıdır. O halde g

( )

λ polinomu Sκ

( )

λ polinomunun diğer tam bölenlerinin ve α_n baş katsayısının çarpımını göstermek üzere S_κ

( )

λ = p

( )

λ κ− =

(

λ β−

) ( )

g λ yazılabilir. Bu gösterime göre de

(5) Sκ

( )

λ = p T

( )

−κI =

(

T−βI g T

) ( )

elde edilir. g

( )

T nin bütün çarpanları T−βI ile değişmeli olduğundan

( )

( )(

)

Sκ λ =g λ λ β− şeklinde de yazılabilir. O halde

(6) S_κ

( )

λ =g T T

( )(

−βI

)

yazılabilir. Eğer S_κ ifadesinin bir tersi mevcut olsaydı (5) ve (6) ifadelerinden

(

) ( )

1 1

( )(

)

I ₌ T ₋βI g T S_κ− ₌S_κ− g T T₋βI

ifadesi elde edilir. Buradan ise T−βI operatörünün bir tersi vardır. Halbuki kabulümüz

I

T−β operatörünün tersinin mevcut olmadığı idi. O halde S_κ ifadesinin S_κ−1 tersi mevcut değildir. Yani κ elemanı için p

( )

T polinomunun resolvent operatörü

( )

(

₋

)

−1₌ −1

κ

κI S T

p mevcut değildir. O halde κ elemanı, p

( )

T polinomunun spektrumun elemanıdır. Yani κ∈σ

(

p

( )

T

)

dır. κ∈p

(

σ

( )

T

)

keyfi olarak alındığından

I

T−β operatörünün bir tersi mevcut olmamak üzere p

(

σ

( )

T

)

⊂σ

(

p

( )

T

)

bulunur. 2. durum: T−βI operatörünün bir tersi mevcut olsun. κ∈σ

(

p

( )

T

)

yani

( )

(

pT

)

ρ

κ∉ olduğunu gösterelim. Bunun için de ( ),( )R₁ R ve R şartlarından en az ₂ ( )₃ birinin sağlanmadığını görmeliyiz. ( )R şartının sağlanmadığını yani ₃ T−βI