Hankel ve circulant matrislerin terslerinin normları üzerine

(1)

v

%X oDOÕúPD EHú E|OPGHQ ROXúPDNWDGÕU%LULQFL E|OPGH oDOÕúPD LOH LOJLOL OLWHUDWUKDNNÕQGDELOJLYHULOPLúWLUøNLQFLE|OPGHPDWULVWHUVOHULLOHLOJLOLWDQÕPYH WHRUHPOHUYHULOPLúWLUhoQFE|OPGHLVHQRUPODUODLOJLOLWHPHOWDQÕPYHWHRUHPOHU YHULOPLúWLU

'|UGQF YH EHúLQFL E|OP EX oDOÕúPDQÕQ HVDV NÕVPÕQÕ ROXúWXUPDNWDGÕU '|UGQF E|OPGH LON RODUDN &DWDODQ YH 0RW]NLQ VD\ÕODUÕ\OD WDQÕPODQDQ +DQNHO matrislerinin l_p QRUPODUÕ LoLQ VW VÕQÕUODU YH EX PDWULVOHULQ +DGDPDUG oDUSÕPÕQÕQ

)UREHQLXV QRUPX LoLQ VÕQÕUODU HOGH HGLOPLúWLU g]HO RODUDN 7HRUHP 7HRUHP 7HRUHP YH 7HRUHP WDUDIÕPGDQ ROXúWXUXOXS LVSDWODQPÕúWÕU 'DKD VRQUD &DWDODQ VD\ÕODUÕQD ED÷OÕ WDQÕPODQDQ

[

]

n

j i n i j C A 1 , )) , (mod(− ₌ = úHNOLQGHNL FLUFXODQW maWULVLQ )UREHQLXV QRUPX LoLQ VW VÕQÕU KHVDSODQPÕúWÕU

n j i i j n A 1 , ) mod( =             −

= biçimindeki circulant matrisin spektral normu için alt ve üst

VÕQÕUHOGHHGLOPLúYHEXPDWULVLQJUXSWHUVLQLQQRUPXLQFHOHQPLúWLU$\UÕFDEXPDWULV ile B=

[

M(mod(j−i,n))

]

_in_,_j₌₁ matrLVLQLQ +DGDPDUG oDUSÕPÕQÕQ VSHNWUDO QRUPX

KHVDSODQPÕúWÕU <LQH 7HRUHP 7HRUHP 7HRUHP YH 7HRUHP WDUDIÕPGDQROXúWXUXOXSLVSDWODQPÕúWÕU

%HúLQFL E|OPGH G|UGQF E|OPGH YHULOHQ ED]Õ WHRUHPOHU LoLQ ELOJLVD\DU SURJUDPODUÕYHJUDILNOHUYHULOPLúWLU %XoDOÕúPD<UG'Ro'U1HFDWL7$ù.$5$WDUDIÕQGDQ\|QHWLOPLúYH6HOoXN hQLYHUVLWHVL$UDúWÕUPD)RQXWDUDIÕQGDQQROXSURMHLOHGHVWHNOHQPLúWLU%X oDOÕúPDQÕQ\UWOPHVLQGH\DUGÕPFÕRODQKRFDP<UG'Ro'U1HFDWL7$ù.$5$¶ \DWHúHNNUOHULPLVXQDUÕP Aynur YALÇINER

(2)

vi $'R÷DOVD\ÕODUNPHVL ,:5HHOVD\ÕODUNPHVL .RPSOHNVVD\ÕODUNPHVL λ : A n×nPDWULVLQLQ|]GH÷HUL ) ( A σ : APDWULVLQLQ|]GH÷HUOHULQGHQROXúDQNPH ) ( A ρ : APDWULVLQLQVSHNWUDO\DUÕoDSÕ H A : A m×nPDWULVLQLQHúOHQLNWUDQVSR]X $+DGDPDUGoDUSÕP 1 − A : A n× matrisinin tersi n +

A : A matrisinin Moore-Penrose tersi

D

A : A n×n matrisinin Drazin tersi

#

A : A n× matrisinin grup tersi n

) 1 (− $

A : A m×n matrisinin Hadamard tersi

1

⋅ : A matrisinin sütun normu

∞

⋅ : APDWULVLQLQVDWÕUQRUPX

p

⋅ : A matrisinin " normu p

2

⋅ : A matrisinin spektral normu

F

⋅ : A matrisinin Frobenius (Euclidean) normu )

( p

ζ : Riemann zeta fonksiyonu n C Q&DWDODQVD\ÕVÕ n M Q0RW]NLQVD\ÕVÕ ) ( A

Ind : A n× matrisinin indeksi n

) ( A

(3)

vii

Tablo 5.1._{7HRUHP ¶ GH ELULQFL WRSODP LoLQ S ROPDVÕ GXUXPXQGD VRQXo} tablosu

Tablo 5.3. _{7HRUHP¶GHLNLQFLWRSODPLoLQS ROPDVÕGXUXPXQGDVRQXoWDEORVX} Tablo 5.4. _{7HRUHP¶GHLNLQFLWRSODPLoLQS ROPDVÕGXUXPXQGDVRQXoWDEORVX} Tablo 5.5._{7HRUHP ¶ GH ELULQFL WRSODP LoLQ S ROPDVÕ GXUXPXQGD VRQXo} tablosu

Tablo 5.7. Teorem¶GHLNLQFLWRSODPLoLQS ROPDVÕGXUXPXQGDVRQXoWDEORVX Tablo 5.8._{7HRUHP¶GHLNLQFLWRSODPLoLQS ROPDVÕGXUXPXQGDVRQXoWDEORVX} ùHNLO 7HRUHP ¶ GH ELULQFL WRSODP LoLQ S ROPDVÕ GXUXPXQGD VRQXo WDEORVXQGDNLGH÷HUOHULoLQHOGHHGLOHQúHNLO

ùHNLO 7HRUHP ¶ GH ELULQFL WRSODP LoLQ S ROPDVÕ GXUXPXQGD VRQXo WDEORVXQGDNLGH÷HUOHULoLQHOGHHGLOHQúHNLO

ùHNLl 5.4. 7HRUHP ¶ GH ELULQFL WRSODP LoLQ S ROPDVÕ GXUXPXQGD VRQXo WDEORVXQGDNLGH÷HUOHULoLQHOGHHGLOHQúHNLO

ùHNLO 7HRUHP ¶ GH LNLQFL WRSODP LoLQ S ROPDVÕ GXUXPXQGD VRQXo WDEORVXQGDNLGH÷HUOHULoLQHOGHHGLOHQúHNLO

ùHNLO Teorem 4.1¶ GH LNLQFL WRSODP LoLQ S ROPDVÕ GXUXPXQGD VRQXo WDEORVXQGDNLGH÷HUOHULoLQHOGHHGLOHQúHNLO

ùHNLO 7HRUHP ¶ GH ELULQFL WRSODP LoLQ S ROPDVÕ GXUXPXQGD VRQXo WDEORVXQGDNLGH÷HUOHULoLQHOGHHGLOHQúHNLO

ùHNLO Teorem 4.1.3’ de birinci toSODP LoLQ S ROPDVÕ GXUXPXQGD VRQXo WDEORVXQGDNLGH÷HUOHULoLQHOGHHGLOHQúHNLO

(4)

viii

ùHNLO Teorem 4.1.3’ de birinci toplam için p=3 oOPDVÕ GXUXPXQGD VRQXo WDEORVXQGDNLGH÷HUOHULoLQHOGHHGLOHQúHNLO

ùHNLO 7HRUHP ¶ GH LNLQFL WRSODP LoLQ S ROPDVÕ GXUXPXQGD VRQXo WDEORVXQGDNLGH÷HUOHULoLQHOGHHGLOHQúHNLO

ùHNLO 7HRUHP ¶ GH LNLQFL WRSODP LoLQ S ROPDVÕ GXUXPXQGD sonuç WDEORVXQGDNLGH÷HUOHULoLQHOGHHGLOHQúHNLO

(5)

ix ÖZET………..iii ABSTRACT………...iv ÖNSÖZ………v SEMBOLLER………vi TABLO _{9(ù(.ø//ø67(6ø………..vii} *ø5øù………...1 0$75ø67(56/(5ø……….5 2.1. GHQHOOHúWLULOPLú0DWULV7HUVOHUL«««««««««««««««««« 2.1.1. Moore-Penrose Tersi………...5 2.1.2. Drazin Tersi………6 2.1.3. Grup Tersi……….16 2.2. Hadamard Tersi………20 3. NORMLAR………...24 9HNW|U1RUPODUÕ………...24

3.2. Matris NormlDUÕ………...24

0$75ø6/(5ø17(56/(5ø1ø11250/$5,………29

4.1. &DWDODQYH0RW]NLQ6D\ÕODUÕQD%D÷OÕ7DQÕPODQDQ+DQNHO0DWULVOHULQLQ HDGDPDUG7HUVOHULQLQ1RUPODUÕ………...…32

4.2. Circulant Matrislerin ve Circulant Matrislerin Terslerinin NorPODUÕ………41

1h0(5ø.6218d/$5……….47

6218d9(g1(5ø/(5………..59

(6)

*ø5øù

%LU PDWULVL SR]LWLI UHHO VD\Õ\D G|QúWUPH LúOHPL RODQ PDWULV QRUPODUÕ PDWHPDWL÷LQ oHúLWOL DODQODUÕQGD |QHPOL ELU \HU WHúNLO HGHU gUQH÷LQ Ax= lineer b

GHQNOHP VLVWHPLQLQ o|]OHELOLUOL÷LQL NDUDNWHUL]H HGHQ 1

)

(A = A A−

κ úDUW VD\ÕVÕQÕQ

KHVDEÕQGDPDWULVQRUPODUÕQDLKWL\DoYDUGÕU

$\UÕFDAx= lineer denklem sisteminin çözümü A matrisi singüler olmayan b

kare matris ise x= bA−1úHNOLQGHGLU'ROD\ÕVÕ\OD³%DúNDPDWULVWHUVOHULWDQÕPODQDELOLU

mL"´VRUXVXJQGHPHJHOPLúWLU

M. P. Drazin (1958), halkalar üzerinde Drazin ters olarak bilinen JHQHOOHúWLULOPLúWHUVLQYDUOÕ÷ÕQÕYHWHNOL÷LQLJ|VWHUPLúWLU

I. Erdelyi (1967), singüler A ve B matrisleri için

Bx Ax=λ

úHNOLQGHNLPDWULVGHQNOHPLQLQo|]PQGHQKDUHNHWOH\HQLELUJHQHOOHúWLULOPLúPDWULV WHUVLWDQÕPODPÕúYHEXQXJUXSWHUVLRODUDNDGODQGÕUPÕúWÕU

& &DR YH DUNDGDúODUÕ ₍ ₎# # #

A B

AB = ROPDVÕ LoLQ JHUHNOL úDUWODUÕ

LQFHOHPLúOHUGLU

0DWULV oDUSÕPODUÕQGDQ RODQ +DGDPDUG oDUSÕPÕ SHUL\RGLN IRQNVL\RQODUÕQ NRQYROV\RQODUÕQÕQ WULJRQRPHWULN PRPHQWOHULQGH LQWHJUDO GHQNOHPOHULQLQ oHNLUGHNOHULQLQ oDUSÕPÕQGD NÕVPL GLIHUHQVL\HO GHQNOHPOHULQ ]D\ÕI PLQXPXP SUHQVLSOHULQGHYHRODVÕOÕNWHRULVLQGHNXOODQÕOÕU

$\QÕER\XWOXYHHOHPDQODUÕVÕIÕUGDQIDUNOÕPDWULVOHULQDLOHVL+DGDPDUGoDUSPD LúOHPLQHJ|UHELUJUXSROXúWXUXU%XLúOHPHJ|UHPDWULVLQWHUVL+DGDPDUGWHUVLRODUDN bilinir.

R. B. Bapat (1988), AHOHPDQODUÕSR]LWLIRODQn× tipinde simetrik bir matris n

ve A¶QÕQELUWDQHSR]LWLI|]GH÷HULYDUVDAPDWULVLQLQ+DGDPDUGWHUVLQLQSR]LWLI\DUÕ WDQÕPOÕROGX÷XQXJ|VWHUPLúWLU

R. Reams (1999), AHOHPDQODUÕSR]LWLIRODQn×n tipinde simetrik bir matris ise, A¶ QÕQ ELU WDQH SR]LWLI |] GH÷HUL YDUsa ve A ters çevrilebilir ise A¶ QÕQ SR]LWLI WDQÕPOÕROGX÷XQXJ|VWHUPLúWLU

(7)

5 6 9DUJD VLQJOHU ROPD\DQ ELU VÕQÕI PDWULV LoLQ _A−1 _∞_{QÕQ VW}

VÕQÕUÕQÕLQFHOHPLúWLU

Y. Wei ve X. Li (2001), A ve E n n matrisler ve × Ind(A)=Ind(B)=1 olmak

üzere _B# _, _BB# _, # # # A A B − ve # # # AA AA BB − LoLQVWVÕQÕUODUHOGHHWPLúWLU

Y. Wei ve H. Diao (2005), singüler Toeplitz matrisin grup tersini alt üçgen ve üVWoJHQ7RHSOLW]PDWULVOHULQoDUSÕPODUÕQÕQWRSODPÕúHNOLQGHLIDGHHWPLúOHUGLU

< :HL YH DUNDGDúODUÕ VLQJOHU 7RHSOLW] PDWULVLQ 'UD]LQ WHUVLQL DOW oJHQ YH VW oJHQ 7RHSOLW] PDWULVOHULQ oDUSÕPODUÕQÕQ WRSODPÕ úHNOLQGH LIDGH HWPLúOHUGLU

X. Cui (2004), A PDWULVLQLQ VLQJOHU ROPDVÕ GXUXPXQGDκ(A)= A AD

úHNOLQGHWDQÕPODQDQúDUWVD\ÕVÕQÕLQFHOHPLúYH ) ( ) ( inf D D U A A = ρ A ρ A ∈ ⋅ ROGX÷XQXJ|VWHUPLúWLU

H. Diao ve Y. Wei (2005), A matrisinin Toeplitz, Hankel ve circulant PDWULVOHUROPDVÕGXUXPXQGDVLQJOHUOLQHHU\DSÕVDOVWUXFWXUHGVLVWHPRODUDNELOLQHQ

b

Ax= úHNOLQGHNLLQGHNVOLVLVWHPLQLQκstructúDUWVD\ÕVÕQÕLQFHOHPLúOHUGLUg]HOLNOH

\DSÕVDO ROPD\DQ VLVWHPLQ úDUW VD\ÕVÕκ için

κ κstruct RUDQÕQÕ KHVDSODPÕúODUGÕU %X RUDQÕQAPDWULVLQLQVLQJOHUFLUFXODQWPDWULVROPDVÕGXUXPXQGD , 1 ) , ( ) , ( 2 2 1 , , # ≤ _A _x ≤ x A A A Ab circ b A κ κ APDWULVLQLQ+DQNHOPDWULVLROPDVÕGXUXPXQGD , 1 ) , ( ) , ( 2 1 , , # ≤ _A _x ≤ x A A A Ab Hankel b A κ κ ve APDWULVLQLQ7RHSOLW]PDWULVLROPDVÕGXUXPXQGD 1 ) , ( ) , ( 2 1 , , # ≤ _A _x ≤ x A A A Ab Toep b A κ κ

(8)

úHNOLQGHROGX÷XQX\DQL\DSÕVDOVLVWHPLQúDUWVD\ÕVÕQÕQ\DSÕVDOROPD\DQVLVWHPLQúDUW VD\ÕVÕQGDQGDKDL\LROGX÷XQXEHOLUOHPLúOHUGLU

R. Arens ve M. Goldberg (1994), W =(w_ij) SR]LWLI HOHPDQOÕ n× matris n

olmak üzere ∞ ∞ = W A A_W_, $ , A=(a_ij) úHNOLQGHELUQRUPWDQÕPODPÕúODUGÕU%XQRUPLoLQ _∞ ≤ _∞ _∞ , , , W W W A B AB ve ,... 2 , 1 , , ,∞ ≤ A ∞ k = A _Wk W k |]HOLNOHULQLQVD÷ODQPDVÕLOH ) 1 ( 2 ) 1 ( ) (W$− ≤W$− ROPDVÕQÕQHúGH÷HUROGX÷XQXJ|VWHUPLúOHUGLU

R. Mathias (1993), A matrisinin Hadamard operatör normunu } 1 : max{ ≤ = _∞ ∞ A B B A $

úHNOLQGH WDQÕPODPÕúWÕU *HQHOOHúWLULOPLú FLUFXODQW PDWULVLQ +DGDPDUG RSHUDW|U QRUPXQXLQFHOHPLúWLU

S. Solak (20)LERQDFFLYH/XFDVVD\ÕODUÕQÕNXOODQDUDNFLUFXODQWPDWULVOHU WDQÕPODPÕú YH EX PDWULVOHULQ VSHNWUDO YH (XFOLGHDQ QRUPODUÕ LoLQ VÕQÕUODU HOGH HWPLúWLU

5'RQDJKH\YH/:6KDSLUR0RW]NLQVD\ÕODUÕQÕQROXúWX÷XIDUNOÕ GXUXPX EHOLUWPLú YH 0RW]NLQ VD\ÕODUÕ YH &DWDODQ VD\ÕODUÕ DUDVÕQGDNL LOLúNL\L J|VWHUPLúOHUGLU 0$LJQHU0RW]NLQVD\ÕODUÕQÕNXOODQDUDN             + + n n n n n M M M M M M M M M 2 1 1 2 1 1 0 ve             − + + 1 2 1 1 3 2 2 1 n n n n n M M M M M M M M M úHNOLQGH+DQNHOPDWULVOHULWDQÕPODPÕúYHEXPDWULVOHULQGHWHUPLQDQWÕQÕKHVDSODPÕúWÕU %XoDOÕúPDGDLVH

(9)

            = + + + + n n n n n C C C C C C C C C D 2 2 1 2 4 3 1 3 2 ve             = + + + + n n n n n M M M M M M M M M N 2 2 1 2 4 3 1 3 2

úHNOLQGH LIDGH HGLOHQ +DQNHO PDWULVOHULQLQ +DGDPDUG WHUVOHULQLQ lp QRUPODUÕQÕ KHVDSODQGÕ

'DKD VRQUD &DWDODQ VD\ÕODUÕQD ED÷OÕ WDQÕPODQDQ FLUFXODQW PDWULVLQ Vpektral QRUPX LoLQ VW VÕQÕU HOGH HGLOGL 6LQJOHU FLUFXODQW PDWULVLQ (3 PDWULVL ROGX÷XQD dikkat çekilerek n j i n i j n A 1 , ) , mod( _ ₌     − =

úHNOLQGHNL FLUFXODQW PDWULVLQ JUXS WHUVLQLQ )UREHQLXV QRUPX LQFHOHQGL YH VSHNWUDO QRUPXLoLQDOWYHVWVÕQÕUODUHOGHHGLOGL$\UÕFDEXPDWULVLOH

[

]

n j i n i j M B 1 , )) , (mod( − ₌ = PDWULVLQLQ+DGDPDUGoDUSÕPÕQÕQVSHNWUDOQRUPXKHVDSODQGÕ

(10)

0$75ø67(56/(5ø

*HQHOOHúWLULOPLú0DWULV7HUVOHUL

%LOLQGL÷LJLELKHUKDQJLELUA matrisinLQWHUVLQLQROPDVÕLoLQNDUHPDWULVROPDVÕ YHVLQJOHUROPD\DQELUPDWULVROPDVÕJHUHNPHNWHGLU%XGXUXPGDA matrisinin tersi YDUGÕUWHNWLUYH_A−1_{LOHJ|VWHULOLU$QFDNX\JXODPDOÕPDWHPDWL÷LQoHúLWOLDODQODUÕQGD}

singüler matrislerin ve dikdörtgen matrislerin terslerine de LKWL\DoGX\XOPDNWDGÕU2 KDOGH E|\OH PDWULVOHULQ WHUVOHUL QDVÕO KHVDSODQDELOLU" %X WU PDWULVOHULQ WHUVOHULQH JHQHOOHúWLULOPLú WHUV GHQLU %LU PDWULVLQ JHQHOOHúWLULOPLú WHUVL DúD÷ÕGDNL o úDUWÕ VD÷ODPDOÕGÕU i)_{6LQJOHUROPD\DQPDWULVOHULQVÕQÕIÕQGDQGDKDJHQLúPDWULVOHULQVÕQÕIÕLoLQROPDOÕGÕU} ii)_{6LQJOHUROPD\DQPDWULVOHULQWHUVLQLQVD÷ODGÕ÷ÕoHúLWOL|]HOOLNOHULVD÷ODPDOÕGÕU} iii)_{6LQJOHUROPD\DQPDWULVLoLQDOÕúÕOPÕúWHUVHLQGLUJHQPHOLGLU} 2.1.1. Moore-Penrose Tersi 7DQÕP ∈A m×n olsun. A AXA= (1) X XAX = (2) AX AX)H = ( (3) XA XA)H = ( (4) GHQNOHPOHULQL VD÷OD\DQ WHN X ∈n×m_{matrisine A matrisinin Moore-Penrose tersi} denir ve A+LOHJ|VWHULOLU(÷HUA singüler olmayan bir matris ise X = A−1 dir. (Ben-Israel, Greville 1974)

%X WDQÕP \ÕOÕQGD 3HQURVH WDUDIÕQGDQ YHULOPLúWLU $QFDN GDKD |QFH 0RRUHWDUDIÕQGDQEDúNDELUúHNLOGHYHULOGL÷LLoLQ0RRUH-Penrose tersi olarak bilinir.

7DQÕP GHNL G|UW GHQNOHPH Penrose denklemleri denir. Bu dört GHQNOHPLQED]ÕODUÕQÕVD÷OD\DQJHQHOOHúWLULOPLúWHUVOHUGHYDUGÕU

(11)

7DQÕP ∈A m×nolsun. (1), (2), (3) ve (4) Penrose dHQNOHPOHULDUDVÕQGDi., j.

ve k.GHQNOHPOHULVD÷OD\DQG∈Cn×m matrisine A matrisinin (i,j,k)-tersi denir. (Ben-Israel, Greville 1974)

gUQH÷LQA matrisi için AGA= ve A GAG=GVD÷ODQÕ\RUVDG matrisi A¶QÕQ(1,2)-

tersidir.

2.1.2. Drazin Tersi

Moore-3HQURVH WHUVL YH GL÷HU (i,j,k)-WHUVOHULQ HQ |QHPOL |]HOOL÷L ELU OLQHHU FHELUVHO GHQNOHP VLVWHPL LoLQ ED]Õ WLS o|]POHU VD÷ODPDODUÕGÕU <DQL EX WHUVOHU “denklem çözen” terslerdir.

$QFDN EX WHUVOHU ED]Õ JHUHNOL |]HOOLNOHUH VDKLS GH÷LOOHUGLU gUQH÷LQ EX terslerin A,B∈n×n matrisleri için

i) _AA− ₌ _A−_A_,

ii) ₍_A−₎p ₌₍_Ap₎−_,_p_>₀

iii) _λ_∈_σ₍_A₎_⇔_λ+ _∈_σ₍_A−₎

iv) _Ap+1_A− ₌ _Ap

úDUWODUÕQÕ VD÷OD\DQ A−,B− ∈C(i, j,k)RODFDN úHNLOGH ELU C(i,j,k) VÕQÕIÕ \RNWXU 8\JXODPDDODQODUÕQDED÷OÕRODUDNELUJHQHOOHúWLULOPLúWHUVLQFHELUVHOGHQNOHPo|]HQ WHUVOHULQ |]HOOLNOHUL \HULQH GL÷HU ED]Õ |]HOOLNOHUH VDKLS ROPDVÕ LVWHQHELOLU *UXS YH Drazin teUVOHU KHP \XNDUÕGDNL |]HOOLNOHUL VD÷ODU KHP GH VLQJOHU ROPD\DQ PDWULVLQ tersine (i,j,k)-terslerden daha çok benzerler.

Not. _{'UD]LQWHUVLVDGHFHNDUHPDWULVOHULoLQWDQÕPODQDELOLU} 7DQÕP ∈A m×nolmak üzere ∈ = y A R( ) { m_y₌ _Ax_, _x_∈n_` ifadesine $¶QÕQJ|UQWV ve ∈ = x A N( ) { n:Ax=0}

(12)

Lemma 2.1.2.1. A, n_{üzerLQGHWDQÕPODQDQELUOLQHHUG|QúPROVXQ} n ) ( ) (Ak N Ak R + = RODFDNúHNLOGHELUQHJDWLIROPD\DQNWDPVD\ÕVÕYDUGÕU (Campbell, Meyer 1979) %XUDGDWDQÕWÕODQNVD\ÕVÕROGXNoD|QHPOLGLU 7DQÕP2.2. A, n_{üzerLQGHWDQÕPODQDQELUOLQHHUG|QúPROVXQ} n ) ( ) (Ak N Ak R +

= veya denk olarak rank(Ak)=rank(Ak+1)RODFDNúHNLOGHNLHQ NoNQHJDWLIROPD\DQNWDPVD\ÕVÕQD A QÕQLQGHksi denir ve Ind( A) ile gösterilir.

(÷HU A ters çevrilebilir bir matris ise Ind(A)=0GÕU$\UÕFDInd(0)=1 dir. 7DQÕP ∈A n×nve Ind(A)=kolsun.

i) XAX = X ii) AX = XA iii) k k A X A +1 =

úDUWODUÕQÕVD÷OD\DQWHN X matrisine A¶QÕQDrazin tersi denir ve D

A ile gösterilir. Teorem 2.1.2.1. _A_∈n×n_ve_Ind₍_A₎_{= k} _>₀_{olsun. C singüler olmayan matris ve N} indeksi k olan nilpotent matris olmak üzere

1 0 0 ₋       = P N C P A RODFDNúHNLOGHVLQJOHUROPD\DQ3PDWULVLYDUGÕU$\UÕFD 1 1 0 0 0 ₋ −       = P C P AD

dir. (Campbell, Meyer 1979)

7DQÕP ∈H n×nPDWULVLQLQHOHPDQODUÕDúD÷ÕGDNLúDUWODUÕVD÷ODUVDH

matrisine Hermite EúHORQFormdaGHQLUYHNÕVDFD+()LOHJ|VWHULOLU i) H üst üçgen matris,

ii) hii¶OHUYH\D¶HHúLW

iii) 1≤k ≤núHNOLQGHNLKHUk için h_ii =0 ise h_ik =0, iv) h_ii =1 ise k ≠ için i h_ki =0GÕU

(13)

Singüler bir matrisin Dra]LQWHUVLDúD÷ÕGDNLJLELKHVDSODQDELOLU Algoritma 2.1.2.1. A∈n×n ve Ind(A)=k olsun.

1) p, p≥kRODFDNúHNLOGHELUWDPVD\ÕROVXQp her zaman n¶HHúLWDOÕQDELOLU

2) p

A matrisi H.E.F.’ ye indirgenir. (Bu matrisi H_Ap ile gösterelim.)

3) H_ApPDWULVLQGHVÕIÕUGDQIDUNOÕN|úHJHQHOHPDQODUÕQÕQROGX÷XVWXQODUEHOLUOHQLUYH p

A PDWULVLQGH EXQD NDUúÕOÕN JHOen sütunlar seçilir. Bu sütunlara v₁,v₂,v₃,...,v_r

diyelim.

4) p

A

H

I− PDWULVL KHVDSODQÕU YH VÕIÕUGDQ IDUNOÕ VWXQODU EHOLUOHQLU %X VWXQODUD

n r

r v v

v₊₁, ₊₂,..., diyelim.

5) Singüler olmayan P=[v₁,...,v_r,v_r₊₁,...,v_n] matrisi kurulur. 6) _P−1_KHVDSODQÕU 7) P−1APKHVDSODQÕU _      = − N C AP P 0 0

1 _{IRUPXQGDGÕU%XUDGDC singüler olmayan}

matris ve N nilpotent matristir. 8) _C−1_KHVDSODQÕU 9) 1 1 0 0 0 ₋ −       =P C P AD den ADKHVDSODQÕU&DPSEHOO0H\HU Örnek 2.1.2.1.           − − − − − = 2 2 2 2 2 2 0 0 4 A PDWULVLQLQWHUVLQLKHVDSOD\DOÕP 1) APDWULVLQLQLQGHNVLQLELOPHGL÷LPL]LoLQp=3DODOÕP           − − = 0 0 64 0 0 0 0 0 64 3 A 2)           = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 A H 3)           − − = 64 0 64 1 v

(14)

4)           = − 1 0 0 0 1 0 0 0 0 3 A H I GROD\ÕVÕ\OD           = 0 1 0 2 v ,           = 1 0 0 3 v 5)           − − = 1 0 64 0 1 0 0 0 64 P 6)           − − = − 1 0 1 0 1 0 0 0 64 / 1 1 P 7)           − − − = − 2 2 0 2 2 0 0 0 4 1 AP P . Böylece C =−4, _      − − = 2 2 2 2 N 8) 4 1 1 ₌₋ − C 9)           − − =          − = − 0 0 4 / 1 0 0 0 0 0 4 / 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 / 1 1 P P AD

Sonuç 2.1.2.1. A singüler olmayan bir matris ise _AD _{= A}−1

dir. (Ben-Israel, Greville 1974)

Teorem 2.1.2.2. A∈n×nve Ind(A)=k olsun. p negatif olmayan birWDPVD\ÕYH ∈

X n×nmatrisi XAX = ,X AX = XA ve Ap+1X = ApúDUWODUÕQÕVD÷OÕ\RUVDp≥ k

ve _X ₌ _AD_{dir. (Campbell, Meyer 1979)}

Lemma 2.1.2.2. A∈n×nLoLQDúD÷ÕGDNLOHUGR÷UXGXU i) H D D H A A ) ( ) ( = ii) ₍_Al₎D ₌₍_AD₎l_,_l₌₁_,₂_,... iii) D D D D A A ) ) = (( (Ben-Israel, Greville 1974) Singüler olmayan A ve B matrisleri için

1 1 1 ) (AB − =B− A− GÕU%X|]HOOLNVLQJOHUPDWULVLQ'UD]LQWHUVLLoLQVD÷ODQPD]<DQL D D D A B AB) ≠ (

(15)

GÕU$QFDNA ve BPDWULVOHULGH÷LúPHOLLVH D D D A B AB) = ( olur. Teorem 2.1.2.3. A,B∈n×n ve AB =BA ise i) D D D D D B A A B AB) = = ( ii) D D BA B A = ve ABD =BDA

olur. (Campbell, Meyer 1979)

7DQÕP ∈A n×n_{ve p}_{SR]LWLIWDPVD\ÕROVXQ}_λ_∈_σ_{( A}₎_için₍_A₋_λ_I₎p_x₌₀ ve (A−_λI)p−1x≠0_{ise x vektörüne}_λ_{|] GH÷HULQH NDUúÕOÕN JHOHQ GHUHFHVL p olan} JHQHOOHúWLULOPLú|]YHNW|U denir. (Bronson,1970)

%LOLQGL÷LJLELVLQJOHUROPD\DQELUA matrisi için x’ in λ∈σ( A)|]GH÷HULQH NDUúÕOÕNJHOHQGHUHFesi pRODQELUJHQHOOHúWLULOPLú|]YHNW|UROPDVÕLoLQJHUHNYH\HWHU úDUWx’ in _A−1_{matrisi için}_λ−1_∈_σ₍_A−1₎_{|]GH÷HULQHNDUúÕOÕNJHOHQGHUHFHVLp olan bir}

JHQHOOHúWLULOPLú |] YHNW|U ROPDVÕGÕU %X |]HOOLN VLQJOHU PDWULVOHULn Drazin tersleri LoLQGHVD÷ODQÕU

Teorem 2.1.2.4. A∈n×n ve Ind(A)=k olsun.

i) λ∈σ( A)ROPDVÕLoLQJHUHNYH\HWHUúDUWλ+ ∈σ(AD)ROPDVÕGÕU

ii) x’ in A matrisinin 0≠λ ∈σ(A) |] GH÷HULQH NDUúÕOÕN JHOHQ GHUHFHVL p olan

JHQHOOHúWLULOPLú |] YHNW|U ROPDVÕ LoLQ JHUHN YH \HWHU úDUW x’ in λ−1∈σ(AD) öz GH÷HULQHNDUúÕOÕNJHOHQGHUHFHVLpRODQJHQHOOHúWLULOPLú|]YHNW|UROPDVÕGÕU

iii) x’ in λ =0|]GH÷HULLoLQJHQHOOHúWLULOPLú|]YHNW|UROPDVÕLoLQJHUHNYH\HWHU úDUWx∈N(Ak)=N(AD)ROPDVÕGÕU&DPSEHOO0H\HU

A singüler olmayan bir matris ise _A−1_{, A}_{¶ QÕQ ELU SROLQRPX RODUDN LIDGH}

edilebilir. Bu özHOOLNEWQVLQJOHUPDWULVWHUVOHULLoLQVD÷ODQPD](÷HUA kare matris ise A+ = p( A)RODFDNúHNLOGHELUp(x) polinomu yoktur. Ancak A¶QÕQ'UD]LQWHUVL her zaman A¶QÕQELUSROLQRPXRODUDNLIDGHHGLOHELOLU

Teorem 2.1.2.5. _A_∈n×n_ise_AD ₌ _p_{( A}₎_{RODFDNúHNLOGHELU}_p_(x₎_{SROLQRPXYDUGÕU} (Campbell, Meyer 1979)

(16)

øVSDW P ve C singüler olmayan matrisler ve N indeksi k olan nilpotent matris olmak üzere 1 0 0 ₋       = P N C P

A \D]ÕODELOLU C VLQJOHU ROPD\DQ ELU PDWULV ROGX÷XQGDQ

) ( 1 C q C− = RODFDNúHNLOGHELUq(x)SROLQRPXYDUGÕUCampbell ve Meyer (1979)’ ye

göre p(x) polinomu _p₍_x₎₌_xk_[_q₍_x_)]k+1_{úHNOLQGHWDQÕPODQDELOLU%XGXUXPGD}

D k k k k k k A P C P P C q C P P N q C q C P A q A A p =       =       =             = = − − − + − + + 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 )] ( [ ) ( 0 0 ) ( 0 0 0 )] ( [ ) (

BöyOHFHLVSDWWDPDPODQÕU (Campbell, Meyer 1979) v

$úD÷ÕGDNL WHRUHP D

A A

p( )= RODFDN úHNLOGHNL p(x) SROLQRPXQXQ QDVÕO NXUXODFD÷ÕQÕJ|VWHULU

Teorem 2.1.2.6. A∈n×n olsun. λ₀ =0 olmak üzere {λ₀,λ₁,...,λ_t}-ler A matrisinin IDUNOÕ |] GH÷HUOHULQL J|VWHUVLQ mi, λi |]GH÷HULQLQ FHELUVHO NDWÕ YH

t m m m m n m= − ₀ = ₁+ ₂ +...+ olsun. ( ) ( ... 1) 1 1 0 0 − − + + + = m m m x x x x p α α α derecesi n-1YHNDWVD\ÕODUÕ ) ,..., 2 , 1 ( ). ( )! 1 ( ) 1 ( ), ( 1 ), ( 1 ) 1 ( 1 2 t i p m p p i m m i i m i i i i i i i = = − − ′ = − = − − λ λ λ λ λ λ m

m× lineer denklem sisteminin tek çözümü olan polinom olsun. O zaman D

A A

p( )= GÕU(Campbell, Meyer 1979)

øVSDW ∈A n×n_{PDWULVL -RUGDQ IRUPXQD EHQ]HU ROGX÷XQGDQ Campbell ve Meyer} J|VWHUPLúWLU NL J=diag[B₁,...,B_h] ve N =diag[F₁,...,F_g] EORN N|úHJHQ

(17)

matrisler olmak üzere 1 0 0 ₋       = T N J T A \D]ÕODELOLU+HUELUB_jVÕIÕUGDQIDUNOÕELU|] GH÷HUHNDUúÕOÕNJHOHQ-RUGDQEORNWXU<DQL 0 , 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ≠                 = × l s s l l l l j B λ λ λ λ λ (2.1) úHNOLQGHGLU+HUELUFjGHVÕIÕU|]GH÷HULQHNDUúÕOÕNJHOHQ-RUGDQEORNWXU$oÕNRODUDN

J singüler olmayan ve N∈m0×m0_indeksi

0

) (A m Ind

k = ≤ olan nilpotent matristir.

Böylece 1 1 0 0 0 ₋ −       =T J T

AD dir. _Nm0 =0ROGX÷XQGDQ_p₍_N₎=₀GÕUYH

1 1 0 0 0 ) ( ) ( 0 0 ) ( ) ( − _ −      =       = T T p J T N p J p T A

p dir. Campbell ve Meyer (1979)’ e

görep(J)=diag[p(B₁),...,p(B_h)] ROGX÷XQGDQ KHU j için p(B_j)=B_j−1 ROGX÷XQX

J|VWHUPHN\HWHUOLGLUNXOODQÕODUDN . 1 0 0 0 0 1 1 1 0 ) 1 ( 1 1 1 ) ( 0 0 0 0 ! 1 ) (2! ) ( ! 1 ) ( ) ( 0 )! 1 ( ) ( ! 2 ) ( ! 1 ) ( ) ( ) ( 1 2 2 1 3 2 ) 1 ( − − × − =                           − − − − =                         ′ ′′ ′ − ′′ ′ = j l l l l s l s l l l s s l l l l l l s l l l j B p p p p p s p p p p B p λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

(18)

Teorem 2.1.2.6 _AD_{¶QLQKHVDSODQPDVÕQGDNXOODQÕOÕU}

Örnek 2.1.2.2. Teorem 2.1.2.6 kullanarak

            − − − − − − = 1 0 0 1 3 3 1 2 6 5 2 4 5 4 1 4 A matrisinin WHUVLQLKHVDSOD\DOÕP

A’QÕQ|]GH÷HUOHULσ(A)={0,0,1,1}dir. Böylece m₀ =2 ve m₁ =2 olur.

Teorem 2.1.2.6 dan p(x)= x2(α₀ +α₁x) ve AD = A2(α₀I+α₁A) elde edilir. Burada

0 α ve α₁ 1 0 1 0 3 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 α α α α + = ′ = − + = = p p

sisteminin çözümünden α₀ =4 ve α₁=−3 olarak bulunur. Böylece

            − − − − − − − = − = 1 1 1 0 1 1 1 0 2 2 3 1 3 3 2 1 ) 3 4 ( 2 A I A AD olur.

Her A∈n×n PDWULVLQLQ LNL WDQH |QHPOL SROLQRPX YDUGÕU %XQODU PLQLPDO

polinom ve karakteristik polinomdur. Önce A matrisinin minimal polinomu olan

0 1 1 1 ... ) (x = x +α ₋ x − + +α x+α m d _d d SROLQRPXQXJ|]|QQHDODOÕPAVLQJOHUROPD\DQPDWULVROPDVÕLoLQJHUHNYH\HWHU úDUWα₀ ≠0ROPDVÕGÕU%XGXUXPGD ) ... ( 1 1 2 2 1 1 0 1 I A A A A d α_d d α α α + + + + − = − − − −

olur. A PDWULVLQLQ VLQJOHU ROGX÷XQX IDU] HGHOLP A singüler ise α₀ =0 GÕU

1 1

0 ...

0=α =α = =α_i₋ ve α_i ≠0RODFDNúHNLOGHHQNoNGR÷DOVD\Õya i diyelim. Bu

i VD\ÕVÕQD VÕIÕU |] GH÷HULQLQ LQGHNVL GHQLU $úD÷ÕGDNL WHRUHP J|VWHUPHNWHGLU NL A

(19)

Teorem 2.1.2.7. _A_∈n×n_ve _≠₀ i

α olmak üzere m(x)= xd +α_d₋₁xd−1+...+α_ixi,

A¶ QÕQ PLQLPDO SROLQRPX ROVXQ %X GXUXPGD i=Ind( A) GÕU (Campbell, Meyer

1979)

øVSDW C singüler olmayan matris ve N indeksi k olan nilpotent matris olmak üzere

1 0 0 ₋       = P N C P

A \D]ÕODELOLUm(A)=0ROGX÷XQGDQCampbell ve Meyer (1979)’ e göre, i i i d d i d i i i i d d d N I N N N N N N N m ) ... ( ... ) ( 0 1 1 1 1 1 1 α α α α α + + + = + + + + = = − − − − + + − −

olur. (Nd−i+α_d₋₁Nd−i−1+...+α_iI)WHUVoHYULOHELOLUROGX÷XQGDQNi =0YHGROD\ÕVÕ\OD

k

i≥ elde edilir. i>kROGX÷Xnu kabul edelim. O zaman

1 − = i i D_A _A A olur. m(x)=xiq(x)úHNOLQGH\D]DUVDN ) ( ) ( 0=m A = Aiq A

YHHúLWOL÷LQKHULNLWDUDIÕQÕVROGDQ_{A ile çarparsak}D ) ( 0₌ _Ai−1_q _A

elde edilir. Böylece r(x)= xi−1q(x) polinomu der[r(x)]<der[m(x)]ve r(A)=0 olan bir polinomdur. Bu da m(x)¶LQPLQLPDOSROLQRPROPDVÕ\ODoHOLúLU2KDOGHk=i dir. (Campbell, Meyer 1979) v

Sonuç 2.1.2.2. A∈n×n, Ind(A)=k olsun ve m₀VÕIÕU|]GH÷HULQLQFHELUVHONDWÕQÕ

göstersin. Her zaman m₀ ≥kGÕU(Campbell, Meyer 1979)

D

A , APDWULVLQLQNDUDNWHULVWLNSROLQRPXQDED÷OÕRODUDNGDLIDGHHGLOHELOLU

Teorem 2.1.2.8. A∈n×n ve Ind(A)=k olsun. A matrisinin karakteristik denklemini ) 0 ( ), ( ) ... ( 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 + + + = ≠ + = − − −− + m m m m m n n m n m x q x x x x x β β β β úHNOLQGH\D]DOÕPYH

(20)

    = < + + + − = − − − − − + n m n m x x x r m m n n m n m 0 0 1 2 1 1 , 0 ), ... ( 1 ) ( 0 0 0 0 β β β

olsun. O zaman her l≥ için k AD = Al[r(A)]l+1 dir. (Campbell, Meyer 1979) øVSDW m₀ =n ise APDWULVLQLOSRWHQWPDWULVYHGROD\ÕVÕ\ODAD =0GÕUm₀ <n

durumunu inceleyelim. Campbell ve Meyer (1979)’ e göre

) ( 0= _Am0_q _A HúLWOL÷LQLQKHULNLWDUDIÕVROGDQ₍_AD₎m0+1LOHoDUSÕOÕUVD ) ( 0₌ ADq A ve buradan da ) ( A r AA AD = D HOGHHGLOLU+HULNLWDUDIÕQ(l+1)-LQFLNXYYHWLDOÕQÕUVD 1 1 )] ( [ ) (AD l+ = AAD r A l+

ve her iki taraf soldan AlLOHoDUSÕOÕUVD

1 )] ( [ + = l l D A r A A

elde edilir. (Campbell, Meyer 1979) v

Bir matrisin indeksi, matrisin boyutundan ve m₀ VÕIÕU |] GH÷HULQLQ FHELUVHO

NDWÕQGDQID]ODRODPD\DFD÷ÕLoLQDúD÷ÕGDNLVRQXoHOGHHGLOLU

Sonuç 2.1.2.3. A∈n×n için _AD = _An_[_r₍_A_)]n+1 = _Am0_[_r₍_A_)]m0+1_{dir. (Campbell,} Meyer 1979)

Teorem 2.1.2.9. A ve C kare matrisler, Ind(A)=k ve Ind(C)=l ve

      = C B A M 0 olmak üzere       = _D D D C X A M 0 dir ve burada

(21)

D D D k i i D i D D l i i i D D BC A C C B A AA I CC I BC A A X _ −      − + −       =

∑

− = − = 2 1 0 1 0 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( úHNOLQGHGLU(Campbell, Meyer 1979) Sonuç 2.1.2.4. A kare matris ve

      = 0 0 1 B A M , _      = 0 0 2 B A M , _      = A B M₃ 0 0 , _      = A B M 0 0 1 úHNOLQGHNLNDUHPDWULVOHULoLQ       = 0 0 ) ( 2 1 B A A M D D D , _      = 0 ) ( 0 2 2 D D D A B A M , _      = D D D A B A M₃ ₂ ) ( 0 0 ,       = _D D D A A B M 0 ) ( 0 2 4

olur. (Campbell, Meyer 1979)

2.1.3. Grup Tersi

*UXSWHUVL'UD]LQWHUVLQ|]HOELUKDOLROPDNODEHUDEHU|QHPOLX\JXODPDODUÕ YDUGÕU*UXSWHUVLDGÕ,(UGHO\LWDUDIÕQGDQYHULOPLúWLUdQNYHULOHQELUA matrisinin pozitif ve negatif kuvvetleri birimi AA#RODQELUGH÷LúPHOLJUXSWXU (Erdelyi, 1967)

'UD]LQ WHUVL KHU NDUH PDWULV LoLQ YDUGÕU DQFDN JUXS WHUVL VDGHFH LQGHNVL RODQ matrisler için vDUGÕU

7DQÕP ∈A n×n ve Ind(A)=1 ise A matrisinin Drazin tersine grup tersi denir ve A# ile gösterilir. Yani, A#

i) # # # A AA A = ii) _AA# ₌ _A#_A iii) _AA#_A₌ _A GHQNOHPOHULQLVD÷OD\DQWHNPDWULVWLU7HNOL÷LGHDúD÷ÕGDNLJLELJ|VWHULOHELOLU A matrisinin X ve YJLELLNLWDQHWHUVLROGX÷XQXNDEXOHGHOLP E XA AX = = ve AY =YA=F diyelim. Bu durumda FE AYAX AX E= = = FE YAXA YA F = = =

(22)

Y YAY YF YE YAX FX EX XAX X = = = = = = = =

olur. (Ben-Israel, Greville 1974)

7HRUHP¶LQ|]HOKDOLDúD÷ÕGDNLJLELGLU

Sonuç 2.1.3.1. A∈n×n_için_A#_{ROPDVÕLoLQJHUHNYH\HWHUúDUW}

1 0 0 0 ₋       =P C P A

RODFDNúHNLOGH singüler olmayan P ve CPDWULVOHULQLQROPDVÕGÕU(Campbell, Meyer 1979)

Sonuç 2.1.3.2. A singüler olmayan bir matris ise _A# _{= A}−1_{dir. (Ben-Israel, Greville}

1974) Lemma 2.1.3.1. A∈n×n_{LoLQDúD÷ÕGDNLOHUGR÷UXGXU} i) ₍_A#₎# ₌ _A ii) H H A A ) ( ) ( # = # iii) ( )# ₌( #) , ₌1,2,... l A Al l (Ben-Israel, Greville 1974)

7DQÕm 2.1.3.2. ∈A n×n ve rank(A)=rROVXQ(÷HUA+A= AA+ oluyorsa A matrisine EP matrisi denir.

Teorem 2.1.3.1. A∈n×n_olsun._AD ₌ _A# ₌ _A+_{ROPDVÕLoLQJHUHNYH\HWHUúDUWA}

PDWULVLQLQ(3PDWULVLROPDVÕGÕU&DPSEHOO0H\HU

øVSDW A, EP matrisi ise _A+_A_{= AA}+_dir._A+_{her zaman A matrisinin (1,2)-tersi}

ROX÷XQGDQ D

A A

A+ = # = olur. Tersine A+ = A# olsun. AA+ = AA# = A#A= A+A

olur. Yani A matrisi EP matrisidir. (Campbell, Meyer 1979) v

EP matrislerinin en önemli örneklerinden biri circulant matrislerdir. 7DQÕP 2.1.3.3. i=1,2,...,n için c_i∈ olmak üzere

            = = − − − − 0 2 1 2 0 1 1 1 0 1 1 0, ,..., ) ( c c c c c c c c c c c c circ C n n n n

(23)

úHNOLQGHNLPDWULVHcirculant matrisGHQLU%LUFLUFXODQWPDWULVLONVDWÕUÕQYH\DVWXQ HOHPDQODUÕLOHWHPVLOHGLOLU'L÷HUVDWÕUODULONVDWÕULOHD\QÕHOHPDQODUDVDKLSWLUDQFDN her ELU VDWÕUÕQ HOHPDQODUÕ ELU |QFHNL VDtÕUGDQ ELU DGÕP VD÷D ND\PÕúWÕU Circulant matrisler denk olarak

) (mod n k i j− ≡ olmak üzere ] [ ] [c_ij c_k C= = úHNOLQGHGHWDQÕPODQDELOLU'DYLV 7DQÕP 2.1.3.4. n≥1VDELWELUWDPVD\ÕYH       +       = = n i n e w n i π π π 2 sin 2 cos 2 olsun.

[

]

            = = − − − − = − − ) 1 )( 1 ( 1 1 1 , ) 1 )( 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n j i j i H w w w w n w n F

úHNOLQGHNLPDWULVHFourier matrisi denir ve Fourier matrisi üniterdir.

Teorem 2.1.3.2. C circulant matris ve i=0,1,...,n−1 için λ_i −ler C matrisinin öz GH÷HUOHULROVXQ Λ , C matrisiQLQ|]GH÷HUOHULQGHQROXúDQN|úHJHQPDWULV, yani

) ,..., , ( ₀ ₁ ₋₁ = Λ diag λ λ λn olmak üzere F F C = HΛ dir. (Davis, 1979)

λ-lar skalerler olmak üzere

   = = ≠ = + + 0 , 0 0 , / 1 λ λ λ λ λ ve Λ=diag(λ₀,λ₁,...,λ_n₋₁) için, ) ,..., , ( ₀+ ₁+ +₋₁ + ₌ Λ diag λ λ λn úHNOLQGHGLU$\UÕFDCPDWULVLQLQ|]GH÷HUOHUL

(24)

1 ,..., 1 , 0 , ) ( 1 0 − = =

∑

− = − n j w c C n k jk k j λ úHNOLQGHGLU (Davis, 1979)

Teorem 2.1.3.3. C circulant matris ve C= FHΛF olmak üzere C matrisinin Moore-Penrose tersi

F F C+ = HΛ+

úHNOLQGHGLU(Davis, 1979)

Sonuç 2.1.3.3. Circulant matrisler EP matrisidir. øVSDWC circulant matris olmak üzere

F F F F F F CC+ =( HΛ )( HΛ+ )= HΛΛ+ ve F F F F F F C C+ ₌₍ H_Λ+ ₎₍ H_Λ ₎₌ H_Λ+_Λ úHNOLQGHGLU Λ N|úHJHQPDWULVROGX÷XQGDQ Λ Λ = ΛΛ+ + ve sonuç olarak C C CC+ = + elde edilir. v

C singüler circulant matris ise indeksi 1’ dir. (Diao, Wei 2005)

Gerçekten; C= FHΛF ve C2 =FHΛ2FúHNOLQGHGLUFH ve F matrisleri singüler olmayan mDWULVOHUROGX÷XLoLQ ) ( ) ( ) (C =rank F ΛF =rank Λ rank H ve ) ( ) ( ) (C2 =rank F Λ2F =rank Λ2 rank H

olur. Λ N|úHJHQ PDWULV ROGX÷XQGDQ rank(Λ)=rank(Λ2) ve sonuç olarak )

( )

(C rank C2

rank = HOGHHGLOLUøQGHNVWDQÕPÕQGDQC matrisinin indeksi 1 olur.

Yani, singüler circulant C matrisi için C+ =C#GÕU

Sonuç 2.1.3.4. #

(25)

øVSDW # # # # ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( C C F F F F F F F F F F F F C C H H H H H H H H H H H H = Λ Λ = Λ Λ = Λ Λ = Λ Λ = + + + + + + + + elde edilir. v 2.2. Hadamard Tersi

$\QÕ ER\XWOX DQFDN NDUH ROPD\DQ KHUKDQJL A ve B PDWULVOHUL LoLQ DOÕúÕOPÕú PDWULVoDUSÕPÕ AB WDQÕPODQDPD]$QFDNEXPDWULVOHULoLQ+DGDPDUGoDUSÕPÕA$ B

WDQÕPODQDELOLU $OÕúÕOPÕú PDWULV oDUSÕPÕ JLEL +DGDPDUG oDUSÕPÕ GD ELUOHúPH YH WRSODPD]HULQHGD÷ÕOPD|]HOOL÷LQHVDKLSWLU+DGDPDUGoDUSÕPÕQDJ|UHELULPHOHPDQ PDWULVL EWQ HOHPDQODUÕ RODQ PDWULVWLU YH EX PDWULV J ile gösterilir. Hadamard oDUSÕPÕQD J|UH PDWULVLQ WHUV HOHPDQÕ +DGDPDUG WHUVL RODUDN ELOLQLU 0DWULVOHULQ +DGDPDUG WHUV oHYULOHELOLU ROPDVÕ LoLQ HOHPDQODUÕQÕQ VÕIÕUGDQ IDUNOÕ ROPDVÕ JHUHNLU +DGDPDUG oDUSÕPÕQÕQ DOÕúÕOPÕú PDWULV oDUSÕPÕQGDQ HQ |QHPOL IDUNÕ GH÷LúPHOL ROPDVÕGÕU+RUQ

+DGDPDUG oDUSÕPÕ JHQLú ELU X\JXODPD DODQÕQD VDKLSWLU 3HUL\RGLN IRQNVL\RQODUÕQ NRQYROV\RQODUÕQÕQ WULJRQRPHWULN PRPHQWleri, integral GHQNOHPOHULQLQ oHNLUGHNOHULQLQ oDUSÕPÕ NÕVPL GLIHUHQVL\HO GHQNOHPOHULQ ]D\ÕI PLQXPXP SUHQVLSOHUL YH RODVÕOÕN WHRULVLQGHNL NDUDNWHULVWLN IRQNVL\RQODU EXQODUD örnek verilebilir. (Horn, Johnson, 1991)

7DQÕP ∈A m×n ve B∈m×n matrisleri için ] [a_ijb_ij B

A$ =

úHNOLQGHWDQÕPODQDQoDUSÕPDA ve B matrislerinin +DGDPDUGoDUSÕPÕ denir. 7HRUHP6FKXUdDUSÕP7HRUHPL ∈A n×n ve B∈n×nSR]LWLI\DUÕWDQÕPOÕ

matrisler ise A$ GHSR]LWLI\DUÕWDQÕPOÕGÕU B

∈ A n×nPDWULVLSR]LWLI\DUÕWDQÕPOÕLVH6FKXUWHRUHPL

[ ]

₍ ₎2 ij a A A$ = +DGDPDUGoDUSÕPÕQÕQYH

(26)

[

3

]

) ( ) (A A a_ij A$ $ = oDUSÕPÕQÕQYHGROD\ÕVÕ\ODk =1,2,... için,

[

k

]

ij k a A$ = ( ) úHNOLQGHNLAPDWULVLQLQEWQSR]LWLIWDPVD\ÕNXYYHWOHULQLQSR]LWLI\DUÕWDQÕPOÕ ROPDVÕQÕJDUDQWLHGHU+RUQ, 1990)

7DQÕPa_ij ≠0 olmak üzereA=[a_ij]∈m×n matrisi verilsin.

        = − ij a A$( 1) 1

úHNOLQGHWDQÕPODQDQPDWULVHA matrisinin Hadamard tersi denir. (Horn, 1990)

Bir matrisin Hadamard ters çevriOHELOLU ROPDVÕ LoLQ HOHPDQODUÕQÕQ VÕIÕUGDQ IDUNOÕROPDVÕJHUHNLU$QFDNPDWULVLQHOHPDQODUÕLoLQGHVÕIÕUEXOXQPDVÕGXUXPXQGD WDQÕPÕDúD÷ÕGDNLJLELJHQHOOHúWLUHELOLUL] 7DQÕPA=[a_ij]∈m×nverilsin.     = ≠ = − 0 , 0 0 , 1 ) 1 ( ij ij ij a a a A$ úHNOLQGHWDQÕPODQDQPDWULVHA¶QÕQJHQHOOHúWLULOPLú+DGDPDUGWHUVLGHQLU Teorem 2.2.2. A∈,n×nPDWULVLSR]LWLIHOHPDQOÕELUWDQHSR]LWLI|]GH÷HUHVDKLS simetrik matris olsun. Bu durumda _A$(−1)_{SR]LWLI\DUÕWDQÕPOÕGÕU%DSDW}

Teorem 2.2.3. A∈,n×nPDWULVLSR]LWLIHOHPDQOÕELUWDQHSR]LWLI|]GH÷HUHVDKLS VLPHWULNPDWULVROVXQ(÷HUA matrisi ters çevrilebilir ise _A$(−1)_poziti_{IWDQÕPOÕGÕU}

(Reams, 1999)

Lemma 2.2.1. A,B∈,n×n olsun. D∈,n×n ve E∈,n×nN|úHJHQPDWULVOHUROPDN

üzere ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (A B E DAE B DA BE AE DB A DBE D $ = $ = $ = $ = $ GÕU(Horn, Johnson, 1991)

7DQÕP ∈A ,n×n singüler olmayan matris olmak üzere

1

)

( ≡ −

(27)

ve T T(A) A (A ) 1 − ≡ Φ $

ile gösterilir. (Horn, Johnson, 1991)

Lemma 2.2.2. A∈,n×n_{singüler olmayan matris ve}_D_,_E_∈_,n×n_{singüler olmayan} N|úHJHQPDWULVOHUROPDN]HUH i) ₍_DAE₎ ₍_A₎ T T =Φ Φ ii) Φ(DAE)=(D−1E)−1Φ(A)(D−1E) olur. (Horn, Johnson, 1991)

A singüler matris ve Ind(A)=1ROVXQ7DQÕP¶GHNLΦ( A) ve Φ_T( A) ifadelerini bu A matrisi için yazarsak

# ) (A A A g _≡ _$ Φ T g T(A) A (A ) # $ ≡ Φ

olur. Φg( A) ve Φ_Tg( A) için Lemma 2.2.2 sa÷ODQPD]DQFDNA matrisi circulant PDWULVLVHDúD÷ÕGDNLOHPPDHOGHHGLOLU

Lemma 2.2.3. A∈,n×n singüler circulant matris ve D,E∈,n×n skaler matrisler olmak üzere i) (DAE) g(A) T g T = Φ Φ ii) _Φg(_DAE)₌(_D−1_E)−1_Φg(_A)(_D−1_E) olur. øVSDW

i) D ve EVLQJOHUROPD\DQPDWULVOHUROGX÷XLoLQrank(DAE)=rank(A)GÕU 7DQÕPGDQ

T g

T(DAE) (DAE) ((DAE) )

#

$ =

Φ (2.2) \D]ÕOÕUD, E ve A matrisleri circulant matULVROGX÷XLoLQ

E ve DVLQJOHUROPD\DQPDWULVOHUROGX÷XLoLQE# = E−1 ve D# = D−1 dir. (2.2) GHQNOHPLWHNUDUG]HQOHQLUYH/HPPDJ|]|QQHDOÕQÕUVD # # # # ) (DAE =E A D

(28)

) ( ) ( ) ) ( ( ) ( )) ( ) )( (( ) ( ) ( # # 1 1 # 1 A A A A D DA E A D DAE DAE g T T T T g T Φ = = = = Φ − − − $ $ $ elde edilir.

ii) _Φg(DAE)_{QLQWDQÕPÕYH/HPPDNXOODQÕODUDN}

) )( ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ) (( ) ( ) ) (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 # 1 1 1 # 1 1 1 # 1 1 1 # 1 1 # 1 # E D A E D E D A A E D E D A A E D D A AE E D D A DAE E D A E DAE DAE DAE DAE g g − − − − − − − − − − − − − − − − Φ = = = = = = = Φ $ $ $ $ $ $ olur. v

(29)

3. NORMLAR

9HNW|U1RUPODUÕ

7DQÕP(V,+)GH÷LúPHOLELUJUXSYH(F,+,⋅) bir cisim olsun. Her a,b∈F ve her u,v∈V için, i) au∈ , V ii) a(bu)=(ab)u, iii) (a+ )b u =au+bu, iv) a(u+ )v =au+av, v) 1u=u(1, FFLVPLQLQELULPHOHPDQÕGÕU

DNVL\RPODUÕVD÷ODQÕUVDV kümesine F cismi üzerinde bir YHNW|UX]D\Õ (veya lineer uzay) denir. 7DQÕP V, FFLVPL]HULQGHWDQÕPODQPÕúELUYHNW|UX]D\ÕROPDN]HUH → ⋅ V: ,+ G|QúPKHUu,v∈V ve α∈Fiçin i) u ≥0 ve u =0⇔u=0, ii) αu =α u , iii) u+v ≤ u + v

DNVL\RPODUÕQÕVD÷ODUVDEXG|QúPHnorm, VX]D\ÕQDGDnormlu uzay denir.

0DWULV1RUPODUÕ

7DQÕP M_n(F)HOHPDQODUÕF cisminden aOÕQDQn× matrislerin kümesini n

göstermek üzere

→ ⋅ :M_n(F) ,+ G|QúPKHUA,B∈M_n(F) ve her α∈F için, i) A ≥0 ve A =0⇔ A=0,

(30)

ii) αA = α A , iii) A+B ≤ A + B , iv) AB ≤ A B

DNVL\RPODUÕQÕVD÷ODUVDEXG|QúPHmatris normu denir. Matris normu A∈M_n(F) için A LOH J|VWHULOLU (÷HU VDGHFH i), ii) ve iii) DNVL\RPODUÕ VD÷ODQÕUVD EX QRUPD JHQHOOHúWLULOPLúPDWULVQRUPXGHQLU

<XNDUÕGDNLQRUPDNVL\RPODUÕQÕVD÷OD\DQED]ÕPDWULVQRUPODUÕúXúHNLOGH verilebilir:

A, n× matris olmak üzere n

∑

= ≤ ≤ = n i ij n j a A 1 1 1 max

ifadesine A matrisinin sütun normu,

∑

= ≤ ≤ ∞ = n j ij n i a A 1 1 max ifadesine A matrisinin VDWÕUQRUPX,

) ( 2 / 1 1 , 2 A A iz a A H n j i ij F  =      =

∑

=

ifadesine A matrisinin Frobenius (Euclidean veya Schur veya " ) normu, ₂ =

2

A max{ λ :λ, AHA¶QÕQ|]GH÷HUL`

ifadesine A matrisinin spektral normu,

) 1 ( / 1 1 , ∞ < ≤       =

∑

= p a A p n j i p ij p

ifadesine A matrisinin " normu denir. _p

Herhangi bir ⋅ PDWULVQRUPXLoLQH÷HUA ters çevrilebilir bir matris ise 1 1 ₌ − AA RODFD÷ÕQGDQ 1 1 − − _≤ = AA A A I olur ve

(31)

A I A−1 ≥ úHNOLQGH −1 A LoLQDOWVÕQÕUHOGHHGLOLU 7DQÕP 3.2.2. A matrisiniQPXWODNGH÷HUFHHQE\N|]GH÷HULQHA¶QÕQspektral \DUÕoDSÕ denir ve ρ( A) ile gösterilir.

Teorem 3.2.1. Herhangi bir ⋅ matris normu için

A A)≤ (

ρ

HúLWVL]OL÷LVD÷ODQÕU1REOH

Teorem 3.2.2. A <1 ve I =1 ise I+ singüler olmayan matristir ve A

(

)

A A I A ≤ + ≤ − + − 1 1 1 1 1 VD÷ODQÕU1REOH

øVSDW λi’ler A PDWULVLQLQ|] GH÷HUOHULROPDN ]HUH 7HRUHP ¶GHQ λi <1 dir. Noble (1969)’ a göre I+A¶QLQ |] GH÷HUOHUL 1+λ_i¶OHU ROGX÷XQGDQ I+ öz A

GH÷HUOHULVÕIÕUGDQIDUNOÕYHGROD\ÕVÕ\ODI+ ters çevrilebilir bir matristir. A I A I A I+ )( + )−1= ( (3.1) ve 1 = I ROGX÷XQGDQ

(

)

1

(

)

(

)

1 1 1≤ I+A I+A − ≤ + A I+ A − (3.2) HOGHHGLOLU$\UÕFD\LQH1REOH¶DJ|UHHúLWOL÷L\HQLGHQG]HQOHQLUVH 1 1 ) ( ) (I+A − = I−A I+A − ve 1 1 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (I+ A − ≤ + A I+A − ≤ + A I+ A − (3.3) ROXUYHYHGHQLVSDWWDPDPODQÕU1REOHv

7DQÕP 3.2.3. Herhangi bir A∈Mn matrisi ve U,V∈Mn üniter matrisleri için

A

(32)

ise bu norma üniter invaryant matris normu denir. F

F A

UAV = ve UAV ₂ = A₂ dir. Yani Frobenius normu ve spektral QRUPQLWHULQYDU\DQWPDWULVQRUPODUÕGÕU (Horn, Johnson 1985)

Teorem 3.2.3. Herhangi bir A∈n×n matrisi için

2 1 2

∑

= ≥ n i i F A λ GÕU ve 2 1 2

∑

= = n i i F A λ ROPDVÕLoLQJHUHNYH\HWHUúDUWAPDWULVLQLQQRUPDOROPDVÕGÕU (Horn, Johnson 1985)

Lemma 3.2.1. _A_∈n×n_,_rank₍_A₎₌_r_ve_Ind₍_A₎₌₁_{olsun. Bu durumda}

# # AA I AA = − olur. (Wei, 1999) øVSDW:HLJ|VWHUPLúWLUNLAPDWULVLQLQ6FKXUSDUoDODQÕúÕQGDQQ üniter matris, BN|úHJHQHOHPDQODUÕVÕIÕUGDQIDUNOÕELUPDWULVYHCN|úHJHQHOHPDQODUÕVÕIÕU olan bir matris olmak üzere

H Q C D B Q A _      = 0

\D]ÕODbilir. _rank(_A)₌_rank(_A2)_ROGX÷XQGDQ ₌₀

C elde edilir. Sonuç 2.1.2.4’den H Q D B B Q A _      = − − 0 0 ) ( 1 2 1 # olur. Buradan H r Q D B I Q AA _      = − 0 0 1 # ve H r n Q I D B Q AA I _      − = − − − 0 0 1 #

elde edilir ve sonuçta

# # AA I AA = − olur. (Wei, 1999) v T_{DQÕP 3.2.4. A,}_m_×_n_{matris olsun.}

(33)

m i a A r n j ij i( ) , 1,2,..., 1 2 = =

∑

=

ifadesine A matrisinin (XFOLGHDQVDWÕUX]XQOX÷X ve

n j a A c m i ij j( ) , 1,2,... 1 2 = =

∑

=

ifadesine de A matrisinin (XFOLGHDQVWXQX]XQOX÷X denir. (Horn, Johnson 1991) Teorem 3.2.4. A, B ve C m× matrisler ve n A=B$C olsun.

∑

= = n j ij i b B r 1 2 1( ) max ve

∑

= = n i ij j c C c 1 2

1( ) max olmak üzere

) ( ) ( ₁ 1 2 r B c C A ≤ dir. (Mathias, 1990)

(34)

0$75ø6/(5ø17(56/(5ø1ø11250/$5,

Bu bölümde Catalan ve MRW]NLQ VD\ÕODUÕQGDQ ID\GDODQÕODUDN WDQÕPODQDQ PDWULVOHULQQRUPODUÕLQFHOHQGL

&DWDODQVD\ÕODUÕELUWDPVD\ÕGL]LVLGLUYH(XOHU¶LQoRNJHQE|OPHSUREOHPLRODUDN bilinen “n-NHQDUOÕELUG]JQoRNJHQNDoWDQHIDUNOÕn-2 tane üçgene bölünebilir?” sorusunun cevabÕGÕU%LU&DWDODQVD\ÕVÕ

! )! 1 ( )! 2 ( 2 1 1 n n n n n n C_n + =       + = úHNOLQGHIRUPOHHGLOLU%|\OHFHLONVD\ÕODU n 0 1 2 3 4 5 6 … n C 1 1 2 5 14 42 132 … úHNOLQGHGLU

7DQÕP 4.1. Herhangi bir f(x) fonksiyonunun

∑

∞ = = 0 ) ( n n nx a x f úHNOLQGHVHULDoÕOÕPÕQGD{a₀,a₁,a₂,...}NDWVD\ÕODUÕELUVD\ÕGL]LVLYHUL\RUVDf(x) fonksiyonuna üretici fonksiyon (generating function) denir. f(x) üretici fonksiyonu ED]HQGHHQXPHUDWHRODUDNDGODQGÕUÕOÕU

(35)

p n f(x) seri 1 x x − 1 3 2 x x x+ + n 2 ) 1 ( x x − 4 3 2 4 3 2x x x x+ + + 2 n 3 ) 1 ( ) 1 ( x x x − + 2 3 4 16 9 4x x x x+ + + 3 n 4 2 ) 1 ( ) 1 4 ( x x x x − + + 2 3 27 8x x x+ + 4 n 5 2 ) 1 ( ) 1 10 )( 1 ( x x x x x − + + + 2 3 81 16x x x+ + (http://mathworld.wolfram.com) &DWDODQVD\ÕODUÕLoLQUHWLFLIRQNVL\RQ ... 5 2 1 2 4 1 1 2 3 0 + + + + = = − −

_∑

∞ = x x x x C x x n n n úHNOLQGHYHULOPHNWHGLU'HXWVFK6KDSLUR

0RW]NLQ VD\ÕODUÕ GD ELU WDPVD\Õ GL]LVLGLU 'RQDJKH\ YH 6KDSLUR EX VD\ÕODUÕIDUNOÕúHNLOGHLIDGHHWPLúOHUGLUgzellikle (0,0)’ den (0,n)’ e sadece (1,0), (1,1) ve (1,- DGÕPODUÕQÕ NXOODQDUDN JLGHQ \RO VD\ÕVÕ 0RW]NLQ VD\ÕVÕGÕU 0RW]NLQ VD\ÕODUÕM₀ = M1, ₁=1 olmak üzere

) 2 ( 2 0 2 1+ ≥ =

∑

− = − − − M M n M M n k k n k n n IRUPO\OHLIDGHHGLOLU$LJQHU%|\OHFHLONVD\ÕODU n 0 1 2 3 4 5 6 … n M 1 1 2 4 9 21 51 … úHNOLQGHGLU0RW]NLQVD\ÕODUÕLoLQUHWLFLIRQNVL\RQ ... 21 9 4 2 1 2 3 2 1 1 2 3 4 5 0 2 2 + + + + + + = = − − − −

∑

∞ = x x x x x x M x x x x n n n

(36)

úHNOLQGHGLU$LJQHU &DWDODQYH0RW]NLQVD\ÕODUÕDUDVÕQGD k k n C k n M

∑

≥      = 0 2 k n k n M k n C

∑

= +       = 0 1 úHNOLQGHELULOLúNLEXOXQPDNWDGÕU. (Aigner 1998) Teorem 4.1. Her n≥1LoLQDúD÷ÕGDNLOHUGR÷UXGXU i) n n n n M M M M ₁ 1 + − ≤ ii) 3 1 < − n n M M iii) lim 3 1 = − ∞ → n n n _M M dir. (Aigner 1998) &DWDODQYH0RW]NLQVD\ÕODUÕQÕQHQJ]HO|]HOLNOHULQGHQELUL+DQNHO matULVOHULQHX\JXODPDODUÕGÕU             = + + n n n n n C C C C C C C C C A 2 1 1 2 1 1 0 (4.1) ve             = − + + 1 2 1 1 3 2 2 1 n n n n n C C C C C C C C C B (4.2) +DQNHOPDWULVOHULQLQGHWHUPLQDQWÕ¶GLU$LJQHU $\UÕFD

(37)

            = + + n n n n n M M M M M M M M M K 2 1 1 2 1 1 0 (4.3) ve             = − + + 1 2 1 1 3 2 2 1 n n n n n M M M M M M M M M L (4.4) olsun.

Her n için detK =1GLU$\UÕFDn≡0,1 için; detL =1 (mod6), n ≡2,5 için; )

6 (mod 0

detL= ve n≡3,4 için; detL=0(mod6)GÕU$LJQHU 7DQÕP p>1 olmak üzere

∑

∞ = = 1 1 ) ( n p n p ζ

fonksiyonuna Riemann zeta fonksiyonu denir.

&DWDODQYH0RW]NLQ6D\ÕODUÕQD%D÷OÕ7DQÕPODQDQ+DQNHO0DWULVOHULQLQ +DGDPDUG7HUVOHULQLQ1RUPODUÕ Bu bölümde             = + + + + n n n n n C C C C C C C C C D 2 2 1 2 4 3 1 3 2 (4.5) ve             = + + + + n n n n n M M M M M M M M M N 2 2 1 2 4 3 1 3 2 (4.6)

úHNOLQGH +DQNHO PDWULVOHUL WDQÕPODQDUDN bu matrislerin Hadamard terslerinin " p QRUPODUÕ LoLQ VW VÕQÕUODU HOGH HGLOGL %XQD ED÷OÕ RODUDN YH GH YHULOHQ

(38)

Hankel matrislerinin Hadamard terslerinin " QRUPODUÕQÕQ VW VÕQÕUODUÕ YHULOGL_p $\UÕFD EX PDWULVOHULQ +DGDPDUG oDUSÕPODUÕQÕQ )UREHQLXV QRUPX LoLQ VÕQÕUODU KHVDSODQGÕ

Teorem 4.1.1. D PDWULVLGHNLJLELWDQÕPODQVÕQ%XGXUXPGD1< p<∞ olmak üzere p p p p _C D 4 ) 1 ( 1 ) ( + ≤ − _ζ $ VWVÕQÕUÕJHoHUOLGLU øVSDW Matrisin " QRUPXQXQWDQÕPÕQGDQ p

∑

− = + + = + − ₌ ₊ 1 − 1 1 1 1 ) 1 ( n k p k n n k p k p p _C k n C k D$

olur. Buradan birinci toplam için

∑

= = + < n k p n k p k k C k 1 1 1 1 (4.7) ROGX÷XQX n]HULQGHQWPHYDUÕPODLVSDWOD\DELOLUL] n=1LoLQVD÷ODQGÕ÷ÕDoÕNWÕU n-1∈$için

∑

− = − = + < 1 1 1 1 1 1 n k p n k p k k C k (4.8) LIDGHVLQLQGR÷UXROGX÷XQXNDEXOHGHOLP n∈$ için

∑

= = + < n k p n k p k k C k 1 1 1 1 ROGX÷XQXJ|VWHUHOLP 2 1 n C_n₊ ≥ ROGX÷XQGDQ n C n n C_n _n 1 1 1 1 2 1 ≤ ⇒ ≤ + + YHGROD\ÕVÕ\OD p p n n C n 1 1 ≤ + (4.9)

(39)

elde edilir. Böylece (4.8) ve (4.9) ifadelerinden nLoLQHúLWVL]OLNLVSDWODQÕU ifadesinde n→∞LoLQOLPLWDOÕQÕUVD lim ( ) 1 1 p C k n k p k n

∑

<ζ = + ∞ → (4.10) ROXU'L÷HUWDUDIWDQ _      + = n n n C_n 2 1 1 ROPDVÕQGDQID\GDODQDUDN 2 2 4 ) ! ( )! 1 ( )! 2 ( )! 1 ( )! 2 ( )! 2 2 ( 2 1 1 1 2 2 2 1 1 + + = + + + + =       +       + + + = + n n n n n n n n n n n n n n C C n n

elde edilir. Her n≥4 için +1 _≥3 n n C C GLU%XQXWPHYDUÕPODLVSDWODUVDN 4 = n için 3 14 42 4 5 ₌ ₌ C C 5 = n için 3 42 132 5 6 ₌ _≥ C C 1 − = s n için 3 1 2 4 1 ≥ + − = − s s C C s s olsun. s n= için 3 2 2 4 1 _≥ + + = + s s C C s s ROGX÷XQXJ|VWHUPHOL\L] 3 2 2 4 ) 2 ( 3 2 4 6 3 2 4 3 3 2 4 3 1 2 4 ≥ + + ⇒ + ≥ + ⇒ + ≥ + ⇒ + ≥ − ⇒ ≥ + − s s s s s s s s s s olur. p n p n p n p n n k p k n C C n C n C n C k n 2 4 3 2 1 1 1 1 ... 3 2 1 + + − + − + − = − + + + − = + +

∑

WRSODPÕJ|]|QQHDOÕQÕUVD 2 = n için p k p k C C k 4 1 1 3 1 2 = −

∑

= + 3 = n için