Biharmonik ve ƒ-biharmonik altmanifoldlar

T.C.

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

BİHARMONİK VE f-BİHARMONİK ALTMANİFOLDLAR

DOKTORA TEZİ

FATMA KARACA

T.C.

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

BİHARMONİK VE f-BİHARMONİK ALTMANİFOLDLAR

DOKTORA TEZİ

FATMA KARACA

Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Cihan ÖZGÜR (Tez Danışmanı) Prof. Dr. Kadri ARSLAN

Prof. Dr. Cengizhan MURATHAN

Doç. Dr. Bengü BAYRAM

Yrd. Doç. Dr. Fırat EVİRGEN

BALIKESİR, HAZİRAN-2016

KABUL

VE ONAY

SAYFASI

Fatma

KARACA

tarafindan haztrlanan

"BiHARMON|K

VE

7r BiHARMONiK

ALTMANifOlOf,,m"

adlt tez gal5masmm savunma snavr

17.06.2016 tarihinde yaprlmrg olup aga$rda verilen

jiiri

tarafindan oy

birlifi

/cp

gok+trgu ile Bahkesi.'Uniu.rcit.ri F.n-gilimleri Enstittisti Matematik Anabilim

bdr

DoktoraTezi olarak kabul edilmigtir'

Jiiri Uyeleri

Daru$man

Prof. Dr. Cihan OZCUR

uy.

Prof. Dr. Kadri ARSLAN

uy.

Prof. Dr. Cengizhan MURATHAN

uy.

Dog. Dr. Bengii BAYRAM

uy.

Yio. Poq. Dr. FrratEVIRGEN

Bahkesir Universitesi Fen

Jiiri flyeleri tarafindan kabul edilmig olan bu tez Bilimleri Enstittisti Ydnetim Kurulunca onanml$tff '

Fen B ilimleri Enstittisii Miidiirii

Dog. Dr. Necati Ozogtuin

. 4..

ÖZET

BİHARMONİK VE f-BİHARMONİK ALTMANİFOLDLAR DOKTORA TEZİ

FATMA KARACA

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

(TEZ DANIŞMANI: PROF. DR. CİHAN ÖZGÜR)

BALIKESİR, HAZİRAN - 2016

Bu çalışmada, biharmonik ve f-biharmonik altmanifoldlar ile f-biharmonik eğriler ele alınmıştır. Çarpım uzaylarının altmanifoldlarının f-biharmonik olma koşulları verilmiştir. Ayrıca, f-biminimal immersiyon tanımı verilip; Riemann manifoldları üzerindeki eğriler ve hiperyüzeylerin f-biminimal olma koşulları elde edilmiş ve bazı örnekler verilmiştir.

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümüdür.

İkinci bölümde, konuyla ilgili temel tanım ve kavramlar verilmiştir.

Üçüncü bölümde, iki reel uzay formun çarpım altmanifoldlarının f-biharmonik olması için gerek ve yeter şartlar elde edilmiştir.

Dördüncü bölümde, f-biminimal immersiyon tanımı verilip; Riemann manifoldları üzerinde f-biminimal eğriler ve hiperyüzeyler ele alınıp, f-biminimal yüzey örnekleri bulunmuştur. Son olarak, Sasakian uzay formlar üzerinde bir f-biminimal Legendre eğri örneği elde edilmiştir.

Beşinci bölümde, Sol uzayları, Cartan-Vranceanu 3-boyutlu uzayları ve homojen kontakt 3-manifoldları üzerindeki eğrilerin f-biharmonik olma koşulları bulunmuştur.

ANAHTAR KELİMELER: Biharmonik, f-biharmonik, f-biminimal, Sol uzay, Cartan-Vranceanu 3-boyutlu uzayı, homojen kontakt 3-manifold, Sasakian uzay form.

ABSTRACT

BIHARMONIC AND f-BIHARMONIC SUBMANIFOLDS PH.D THESIS

FATMA KARACA

BALIKESIR UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE MATHEMATICS

(SUPERVISOR: PROF. DR. CİHAN ÖZGÜR ) BALIKESİR, JUNE 2016

In this thesis, we consider biharmonic and biharmonic submanifolds and f-biharmonic curves. We obtain necessary and sufficient conditions for submanifolds of product spaces to be f-biharmonic. Moreover, we define f-biminimal immersions and we investigate f-biminimal curves, f-biminimal hypersurfaces in Riemannian manifolds and give some examples.

This thesis consists of five chapters. The first chapter is introduction.

In the second chapter, we give fundamental definitions and notions to be used in the other chapters.

In the third chapter, we obtain necessary and sufficient conditions for submanifolds of product of two real space forms to be f-biharmonic.

In the fourth chapter, we define biminimal immersions. We consider f-biminimal curves and f-f-biminimal hypersurfaces in a Riemannian manifold and give examples of f-biminimal surfaces. Finally, we consider f-biminimal Legendre curves in Sasakian space forms and we find an example.

In the fifth chapter, we find necessary and sufficient conditions for curves in Sol spaces, Cartan-Vranceanu 3-dimensional spaces and homogeneous contact 3-manifolds to be f-biharmonic.

KEYWORDS: Biharmonic, f-biharmonic, f-biminimal, Sol space, Cartan-Vranceanu 3-dimensional space, homogeneous contact 3-manifold, Sasakian space form.

İÇİNDEKİLER

Sayfa ÖZET ... i ABSTRACT ... ii İÇİNDEKİLER ... iii SEMBOL LİSTESİ ... iv ÖNSÖZ ... v 1. GİRİŞ ... 1 2. TEMEL KAVRAMLAR ... 3 2.1 Riemann Manifoldları ... 3

2.2 Hemen Hemen Değme Metrik Manifoldlar ... 8

2.3 Harmonik, f-Harmonik, Biharmonik, f-Biharmonik Dönüşümler ... 10

3. ÇARPIM UZAYLARININ f-BİHARMONİK ALTMANİFOLDLARI .... 13

4. f-BİMİNİMAL İMMERSİYONLAR ... 26

4.1 Biminimal İmmersiyonlar ... 26

4.2 f- Biminimal İmmersiyonlar ... 27

4.3 Sasakian Uzay Formlar Üzerinde f-Biminimal Legendre Eğriler... 40

5. f-BİHARMONİK EĞRİLER ... 45

5.1 Sol Uzayları Üzerinde f-Biharmonik Eğriler ... 45

5.2 3-Boyutlu Cartan-Vranceanu Uzayları Üzerinde f-Biharmonik Eğriler ... 51

5.3 Homojen Kontakt 3-Manifoldlar Üzerinde f-Biharmonik Eğriler ... 57

6. SONUÇ VE ÖNERİLER ... 62

7. KAYNAKLAR ... 63

SEMBOL LİSTESİ

M Manifold

ϕ (1,1)-tensör Alanı

ξ Karakteristik Vektör Alanı

η (Hemen Hemen) Değme Yapı

g Metrik Tensör

p

T M Tanjant Uzay

(M)

χ Vektör Alanları Uzayı

∇ Levi-Civita (Riemann) Koneksiyonu

⊥

∇ Normal Demette Levi-Civita Koneksiyonu ( ) Eψ Enerji Fonksiyoneli ( ) f E ψ f-Enerji Fonksiyoneli 2( ) E ψ Bienerji Fonksiyoneli 2,f( ) E ψ f-Bienerji Fonksiyoneli ( ) τ ψ Gerilim Alanı ( ) f τ ψ f- Gerilim Alanı 2( )

τ ψ İkinci Gerilim Alanı

2,f( )

τ ψ f- İkinci Gerilim Alanı

∆ Laplas Dönüşümü

⊥

∆ Normal Demette Laplas Dönüşümü

λ

κ Eğrinin λ Eğrilik Fonksiyonu . N

R N Manifoldunun Riemann Eğrilik Tensörü

ÖNSÖZ

Bu çalışmada, çeşitli Riemann manifoldları üzerindeki eğri ve altmanifoldlar incelenmiştir. Bu eğri ve altmanifoldların biharmonik, f-biharmonik ve f-biminimal olma koşulları elde edilmiş ve örnekler verilmiştir.

Çalışmalarım sırasında bana her türlü konuda örnek ve destek olan danışmanım Prof. Dr. Cihan ÖZGÜR’e teşekkürlerimi sunarım.

Ayrıca çalışmalarım süresince daima yanımda olan eşim ve aileme de sevgi ve teşekkürlerimi sunarım.

1.

GİRİŞ

J. Eells ve J. H. Sampson, 1964 yılında Riemann manifoldlarının harmonik dönüşümlerini çalışmışlardır [1]. Daha sonra, 1983 yılında J. Eells ve L. Lemaire, k -harmonik dönüşümler fikrini önermişlerdir [2]. G. Y. Jiang ise, 1986 yılında 2-harmonik (bi2-harmonik) dönüşümler için Euler-Lagrange denklemlerinden faydalanarak ikinci gerilim alanı denklemini elde etmiştir [3]. B. Y. Chen, Öklid uzayının bir altmanifoldunun biharmonik olmasını ∆ = koşulunun sağlanması H 0 olarak tanımlamıştır [4]. Öklid uzayının altmanifoldları için G. Y. Jiang ve B. Y. Chen’in biharmoniklik tanımları çakışmaktadır. Genel olarak bu kavramlar birbirlerinden farklıdır. 2004 yılında N. Course, f-harmonik dönüşümleri tanımlamıştır [5]. W-J. Lu ise, 2013 yılında Riemann manifoldları arasındaki f-biharmonik dönüşüm tanımını vermiş ve Euler-Lagrange denklemlerini kullanarak f-ikinci gerilim alanı denklemini hesaplamıştır [6]. Bu çalışmalardan faydalanarak, Y-L. Ou, 2014 yılında biharmonik dönüşümlerin bazı temel özelliklerini çalışmış ve

f-biharmonik altmanifold kavramını tanıtmıştır [7].

J. Roth, 2013 yılında iki uzay formun çarpım manifoldlarının bir altmanifoldunun biharmonik olması için gerek ve yeter şartları araştırmıştır [8].

L. Loubeau ve S. Montaldo, 2008 yılında biminimal immersiyon kavramını tanımlamışlar ve Riemann manifoldları üzerindeki eğrilerin ve hiperyüzeylerin biminimal olması için gerek ve yeter şartları elde etmişlerdir [9].

R. Caddeo, C. Oniciuc ve P. Piu, 2004 yılında Heisenberg gruplarında eğrilerin biharmonik olma şartlarını elde etmişler ve Heisenberg gruplarındaki bütün biharmonik eğrilerin helis olduğunu ispatlamışlardır [10]. Daha sonra 2006 yılında, Y-L. Ou ve Z-P. Wang, Sol uzaylarında biharmonik eğrilerin karekterizasyonu elde etmişlerdir [11]. 2006 yılında, R. Caddeo, S. Montaldo ve C. Oniciuc ise Cartan-Vranceanu 3-boyutlu uzaylarında bütün biharmonik eğrilerin karakterizasyonunu elde etmişler ve bu eğrilerin açık parametrizasyonunu vermişlerdir [12].

2007 yılında ise J. Inoguchi, kontakt 3-manifoldların biminimal altmanifoldlarını incelemiş ve homojen kontakt 3-manifoldlar üzerinde eğrilerin biminimal olma şartlarını elde etmiştir [13].

Yukarıdaki çalışmalardan yola çıkılarak, bu tezin üçüncü bölümünde çarpım uzaylarının biharmonik altmanifoldları incelenmiştir. Dördüncü bölümde, f-harmoniklik, f-biharmoniklik ve biminimallik tanımlarından faydalanılarak f-biminimal immersiyon kavramı tanımlanmış ve tanımlanan bu kavramdan yararlanılarak Riemann manifoldları üzerinde eğri ve hiperyüzeylerin f-biminimal olma koşulları araştırılmıştır. Elde edilen sonuçlar örneklerle desteklenmiştir. Beşinci bölümde, Sol uzayları, Cartan-Vranceanu 3-boyutlu uzayları ve homojen kontakt uzaylarındaki f-biharmonik eğriler üzerinde durulmuştur.

2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde diğer bölümlerde kullanılacak olan temel tanımlar ve kavramlar verilecektir.

2.1 Riemann Manifoldları

Tanım 2.1.1: ( , )M g Riemann manifoldu, ∇ M de Levi-Civita koneksiyonu olmak üzere, ∀X Y Z, , ∈χ(M) için

: ( ) ( ) ( ) ( )

R χ M ×χ M ×χ M →χ M ,

[ , ]

( , ) _{X Y Y X X Y}

R X Y Z= ∇ ∇ Z− ∇ ∇ Z− ∇ Z

ile tanımlanan R dönüşümü M üzerinde bir (1, 3) tensör alanıdır ve M

manifoldunun Riemann eğrilik tensörü olarak adlandırılır [14].

Tanım 2.1.2:

(

M g,

)

bir Riemann manifold ve

2 ( , ) ( , ) ( , ) 0 g X X g Y Y −g X Y ≠ olmak üzere, 2 ( , , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) R X Y Y X K X Y g X X g Y Y g X Y = −

{

X Y ,

}

tarafından gerilen düzlemin kesitsel eğriliği olarak adlandırılır [14]. M

manifoldunun eğrilik tensörü ∀X Y Z, , ∈χ(M) için,

{

}

( , ) ( , ) ( , )

R X Y Z =c g Y Z X−g X Z Y

olmak üzere, eğer M manifoldunun kesitsel eğriliği c sabitine eşit ise, M ye reel

uzay form denir ve M c( ) ile gösterilir.

Eğer,

0

c= ise ( )M c ≅En Öklid uzayı,

2 1 c r = ise M c( )≅S rn( ) küresi, 2 1 c r

= − ise M c( )≅Hn( )r Hiperbolik uzaydır [15].

Tanım 2.1.3: M n -boyutlu bir Riemann manifoldu ve p∈M olsun. p

noktasının bir komşuluğu U M⊂ ve E E₁, ₂,...,E_n∈χ

( )

U vektör alanları U nun her

noktasında ortonormal olmak üzere,

(

)

( ) 0 i

EEj p

∇ = denklemi sağlanıyorsa

{ }

n₁ i i

E ₌

vektör alanlarına p∈M noktasında lokal geodezik çatı alanı adı verilir [16], [22].

Tanım 2.1.4:

(

M g n-boyutlu bir Riemann manifoldu ve ,

)

{

e e₁, ₂, ... ,e_n

}

( )

M

χ nin bir ortonormal çatı alanı olsun.

( ) ( )

(

)

: , Ric χ M ×χ M →C∞ M  1 ( , ) ( , ) ( ( , ) , ) n i i i X Y Ric X Y g R e X Y e = → =

∑

(2.1) şeklinde tanımlı (0, 2)-tipindeki Ric tensör alanına, M üzerinde Ricci eğrilik tensör

alanı adı verilir [17].

Tanım 2.1.5:

(

M g n-boyutlu bir Riemann manifold ve ,

)

{

e e₁, ₂, ... ,e_n

}

( )

M

χ nin bir ortonormal çatı alanı olmak üzere;

1 ( , ) n i i İ scal Ric e e = =

∑

(2.2) fonksiyonuna M nin skaler eğrilik fonksiyonu adı verilir [18].

Tanım 2.1.6: G bir diferensiyellenebilir manifold olsun. Eğer G aynı zamanda bir grup yapısına sahip ve

1 ( , ) G G G σ τ στ− × → →

dönüşümü bir C∞ dönüşüm ise G ye bir Lie grubu adı verilir [19].

Tanım 2.1.7: (M g, ) ve ( , )N g birer Riemann manifoldu ve ψ : M →N

diferensiyellenebilir bir dönüşüm olsun. ∀ ∈p M için dψ_p =(ψ_∗)_p dönüşümü birebir ise ψ ye M den N ye bir immersiyon denir. M manifolduna da immersed

altmanifold veya kısaca altmanifold denir [20].

, _p X Y T M ∀ ∈ için

(

( ) ( )

)

(

)

( ) , , p p g X Y g X Y ψ ψ ψ = ise ψ ye izometrik

immersiyon adı verilir. Burada g T M_p den indirgenen metriktir [20].

Tanım 2.1.8: M ve N sırası ile n ve

(

n m+

)

boyutlu Riemann manifoldları

olmak üzere M, N nin altmanifoldu ve ∇ ve ∇~ sırası ile M ve N de

Levi-Civita koneksiyonları olsun. Böylece X ve Y, M üzerinde vektör alanları olmak

üzere;

B: (χ M)× χ(M)→ χ⊥(M)

∇_XY = ∇_XY+B X Y( , ) (2.3)

biçiminde Gauss formülü elde edilir. Burada ∇_XY ve B X Y

(

,

)

, ∇_XY nin sırasıyla

tanjant ve normal bileşenleridir. (2.3) ile tanımlanan B ye M nin ikinci temel formu adı verilir [20].

Tanım 2.1.9: : (ψ Mn, )g →(Nn m+ , )g bir immersiyon olsun.

{ }

e_{i i=1,..n}

( )

M

χ nin bir çatı alanı olmak üzere,

1 1 1 ( , ) n i i i H B e e izB n = n =

∑

=

ile tanımlanan H fonksiyonuna immersiyonun ortalama eğrilik vektör alanı denir [20].

Tanım 2.1.10: : (ψ Mn, )g →(Nn m+ , )g bir immersiyon olsun.

( )

, X Y χ M ∀ ∈ için

(

( , ),

)

(

,

)

g B X Y H =λg X Y olacak şekilde n

M üzerinde bir λ fonksiyonu var ise n

M yarı-umbilik altmanifold

olarak adlandırılır [20].

Tanım 2.1.11: ψ : (M g, )→( , )N g bir izometrik immersiyon olsun. M ye n

normal bir birim vektör alanı ξ olsun. ∇ ξX nin teğet ve normal bileşenleri sırasıyla ( ) A X_ξ − ve ∇ ξ⊥_X olmak üzere;

( )

( )

( )

: A χ M ×χ⊥ M →χ M dönüşümü iyi tanımlıdır. Böylece

X A X X

⊥ ξ

∇ ξ = − + ∇ ξ (2.4)

biçiminde Weingarten denklemi elde edilir. Burada A_ξ şekil operatörü, ∇⊥ deM

nin T M⊥ normal demetindeki (normal) koneksiyon adını alır [20].

M nin şekil operatörü A_ξ ile ikinci temel form B arasında;

g A X Y( ξ , )=g B X Y( ( , ), )ξ (2.5) bağıntısı vardır. [20].

Tanım 2.1.12: ψ : (M g, )→( , )N g bir izometrik imersiyon olsun. Nn m+ nin

eğrilik tensörü N

R ve _{M nın eğrilik tensörü} n R olmak üzere,

( , , , ) ( , , , ) ( ( , ), ( , )) N

R X Y Z W =R X Y Z W −g B Y Z B X W

+g B X Z B Y W( ( , ), ( , )) (2.6) ile tanımlanan denkleme Gauss denklemi adı verilir [20].

Tanım 2.1.13: ( , )M g n− boyutlu bir Riemann manifoldu ve γ: I →M

birim hızlı bir eğri olsun. Eğer γ eğrisi üzerinde

1 1 2 2 1 1 2 3 1 1 = = , = , = , ... = T T T r r r E T T E E E E E E γ κ κ κ κ _{− −} ′ ∇ ∇ − + ∇ − (2.7)

olacak şekilde E E1, 2,...,E r ortonormal vektör alanları varsa, γ eğrisine oskülatör mertebesi r olan bir Frenet eğrisi (1≤ ≤r n) denir. Buradaki κ₁,...,κ_r−1 fonksiyonlarına γ nın eğrilik fonksiyonları dır [21].

Tanım 2.1.14: (M g1, M₁) ve (M2,gM2) Riemann manifoldları ve f 0,>

1

M üzerinde bir C∞ fonksiyon olmak üzere M =M₁× _fM₂ katlı çarpım manifoldu

1 2

2

M M

g=g + f g (2.8) metrik tensörü ile oluşturulmuş M1×M2 çarpım manifoldudur [22].

Tanım 2.1.15: (M g, ) ve ( , )N g iki Riemann manifoldu olsun. ψ : M →N

dönüşümü için 2 ( ) W iz W ψ ψ ∆ = − ∇

şeklinde tanımlanan ∆ dönüşümüne Laplas operatörü denir.

M üzerindeki diferensiyellenebilir bir f fonksiyonun Laplası ise

div(grad )

f f

∆ =

şeklinde tanımlıdır [18].

2.2 Hemen Hemen Değme Metrik Manifoldlar

Bu kısımda hemen hemen değme metrik manifold ve Sasakian yapı tanımları verilecektir.

Tanım 2.2.1: M (2 1)-n+ boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. M

üzerindeki her X Y Z , , vektör alanı için

2

= I , ( ) = 1, = 0, = 0

ϕ − + ⊗η ξ η ξ ϕξ η ϕ_

( , ) = ( , ) ( ) ( ), ( ) = ( , )

g ϕ ϕX Y g X Y −η X η Y η X g X ξ

eşitliklerini sağlayacak şekilde ϕ (1,1)-tipinde tensör alanı, ξ vektör alanı, η

1-formu ve g Riemann metriği varsa; ( , , , )ϕ ξ η g dörtlüsüne hemen hemen değme

metrik yapı, ( , , , , )M ϕ ξ η g beşlisine de hemen hemen değme metrik manifold denir.

Eğer dη =Φ koşulu da sağlanıyorsa, ( , , , , )M ϕ ξ η g ye değme metrik manifold denir. Burada, Φ( , ) = ( ,X Y g X ϕY) eşitliği ile verilen

Φ

dönüşümüne, M nin temel 2-formu denir [15].

Tanım 2.2.2: Bir M Riemann manifoldu üzerindeki her , ,X Y Z vektör alanı

için

2

[ , ]( , ) =ϕ ϕ X Y ϕ [ , ] [X Y + ϕ ϕX, Y]−ϕ ϕ[ X Y, ]−ϕ[ ,X ϕY] ile tanımlanan [ , ]ϕ ϕ dönüşümüne ϕ nin Nijenhuis torsion tensörü denir [15].

Eğer, ( , , , )ϕ ξ η g hemen hemen değme metrik yapısı için

[ , ] 2ϕ ϕ + dη ξ⊗ = 0

eşitliği sağlanıyorsa, bu yapıya normaldir denir. Normal değme metrik manifoldlara

Sasakian manifold adı verilir [15].

Tanım 2.2.3: 2 1

(M n+ , , , , )ϕ ξ η g bir Sasakian manifold olsun. T M_p tanjant uzayında ξ ye dik bir X birim vektörü

{

X,ϕX

}

ortonormal olacak şekilde var ise

{

X,ϕX

}

düzlemine T M_p nin ϕ kesiti denir [15]. –

(

,

)

(

(

,

)

,

)

K X ϕX = g R X ϕX ϕX X şeklinde tanımlanan K X

(

, ϕX

)

' e

M nin ϕ−kesitsel eğriliği adı verilir [15].

Tanım 2.2.4: Eğer 2 1

(M n+, , , , )ϕ ξ η g Sasakian manifold sabitϕ -kesitsel eğriliğine sahip ise bir Sasakian uzay form olarak adlandırılır ve her X Y Z, , ∈χ

( )

M

için eğrilik tensor alanı,

( , ) ( 3)

{

( , ) - ( , )

}

( -1){ ( , ) - ( , ) 4 4 c c R X Y Z = + g Y Z X g X Z Y + g X ϕ ϕZ Y g Y ϕ ϕZ X +2 ( ,g X ϕ ϕY) Z+η(X) ( ) - ( ) ( )η Z Y η Y η Z X +g X Z( , ) ( ) - ( , ) (η Y ξ g Y Z η X) }ξ (2.9) şeklinde verilir [15]. Tanım 2.2.5: r

M (M2n+1, , , , )ϕ ξ η g Sasakian manifoldunun bir altmanifoldu olsun. Eğer her r

p

X ∈T M için η(X)=0 ise M ye r (M2n+1, , , , )ϕ ξ η g nin integral

altmanifoldu adı verilir. Bir Sasakian manifoldun 1-boyutlu integral altmanifolduna

da M nin bir Legendre eğrisi denir [23].

Böylece, γ :I→M =(M2n+1, , , , )ϕ ξ η g olmak üzere, γ eğrisinin T tanjant vektör alanı için η( )T =0 denklemi sağlanıyorsa γ eğrisine Legendre eğrisi denir [23].

2.3 Harmonik, f-Harmonik, Biharmonik, f-Biharmonik Dönüşümler Bu kısımda harmonik, biharmonik, f-harmonik ve f-biharmonik dönüşümlerin tanımları verilecektir.

Tanım 2.3.1: ( , )M g ve ( , )N g iki Riemann manifoldu ve ψ : (M g, )→( , )N g diferensiyellenebilir bir dönüşüm olsun. Ω ⊂M bir kompakt küme olmak üzere, ψ

nin enerji fonksiyoneli

2 1 ( ) = 2 g Eψ dψ υ Ω

∫

ile tanımlanır. Burada υ , g Müzerinde kanonik hacim formdur. Eğer ψ , E( )ψ enerji fonksiyonelinin bir kritik noktası ise, ψ harmoniktir denir [1].

Tanım 2.3.2: (M g, ) ve ( , )N g iki Riemann manifoldu ve ψ : (M g, )→( , )N g bir diferensiyellenebilir dönüşüm olsun. Ω ⊂M bir kompakt küme olmak üzere, eğer ψ 2 2 1 ( ) = ( ) 2 g E ψ τ ψ υ Ω

∫

ile tanımlı bienerji fonksiyonelinin bir kritik noktası ise, biharmonik dönüşüm adını alır.

Burada τ ψ ψ nin ( ),

τ ψ( ) = iz d∇ ψ (2.10) ile tanımlanan gerilim alanıdır. E2( )ψ bienerji fonksiyonelinin Euler-Lagrange

denklemi,

τ ψ₂( ) =−∆τ ψ( )−izRN(dψ τ ψ, ( ))dψ = 0 (2.11)

biharmonik dönüşüm denklemini verir ve τ ψ ikinci gerilim alanı olarak ₂( ) adlandırılır [3].

Her harmonik dönüşümün biharmonik dönüşüm olduğu açıktır. Eğer dönüşüm harmonik olmayan biharmonik bir dönüşüm ise, bu dönüşüme has

biharmonik dönüşüm denir [3].

Tanım 2.3.3: (M g, ) ve ( , )N g iki Riemann manifoldu ve : (M g, ) ( , )N g

ψ →  bir diferensiyellenebilir dönüşüm olsun. f ∈C∞(M, ) ve

M

Ω ⊂ bir kompakt küme olmak üzere, eğer ψ

2 1 ( ) = 2 f g E ψ f dψ υ Ω

∫

(2.12) ile tanımlı f-enerji fonksiyonelinin bir kritik noktası ise, f-harmonik dönüşüm adını alır. E_f( )ψ f-enerji fonksiyonelinin Euler-Lagrange denklemi,

τ ψf( ) = fτ ψ( )+dψ(gradf) = 0 (2.13)

f-harmonik dönüşüm denklemini verir ve τ ψ f-gerilim alanı olarak adlandırılır _f( ) [5], [24].

Tanım 2.3.4: (M g, ) ve ( , )N g iki Riemann manifoldu ve ψ : (M g, )→( , )N g bir diferensiyellenebilir dönüşüm olsun. Böylece Ω ⊂M bir kompakt küme olmak üzere, bu küme üzerinde tanımlı bir ψ fonksiyonu

2 2, 1 ( ) = ( ) 2 f g E ψ f τ ψ υ Ω

∫

(2.14) biçiminde f-bienerji fonksiyonelinin bir kritik noktası ise, ψ f-biharmonik dönüşüm adını alır. E2,f( )ψ f-bienerji fonksiyonelinin Euler-Lagrange denklemi,

_2,f( ) = f ₂( )

( )

f ( ) 2 gradf ( ) 0

ϕ

τ ψ τ ψ + ∆ τ ψ + ∇ τ ψ = (2.15)

f-biharmonik dönüşüm denklemini verir ve τ_2,f( )ψ f-ikinci gerilim alanı olarak adlandırılır [6].

Eğer dönüşüm harmonik ve biharmonik olmayan f-biharmonik bir dönüşüm ise, bu dönüşüme has f-biharmonik dönüşüm denir [6]. Eğer f sabit bir fonksiyon ise

f-biharmonik dönüşüm biharmonik dönüşüme dönüşür.

3. ÇARPIM UZAYLARININ f-

BİHARMONİK

ALTMANİFOLDLARI

[8] nolu kaynakta, J. Roth, iki reel uzay formun çarpım manifoldunun biharmonik altmanifoldlarını araştırmış ve bu tip altmanifoldların biharmonik olmaları için gerek ve yeter şartları elde etmiştir.

Bu bölümde çarpım manifoldlarının f-biharmonik altmanifoldları ele alınacaktır. İki reel uzay formun çarpım manifoldunun bir altmanifoldunun f-biharmonik olması için gerek ve yeter şartlar elde edilecektir. Elde edilen sonuçlar J. Roth’un sonuçlarının bir genellemesi olup orijinaldir.

Tanım 3.1: M m -boyutlu bir Riemann manifoldu ve 1 2

1 2

( ) ( )

n n

M c ×M c

1 2

n + − boyutlu n Riemann çarpım uzayı olsun. 1 2

1 2

:M Mn ( )c Mn ( )c

ψ → × bir

izometrik immersiyon olmak üzere, ∇ ve F sırasıyla 1 2

1 2

( n( ) n ( ), )

M c ×M c g çarpım

uzayının Levi-Civita koneksiyonu ve çarpım yapısıdır. Her nj( )

j j

X ∈TM c için

1 2

X = X +X

olmak üzere, F çarpım yapısı, 1 2 1 2

1 2 1 2 : n( ) n ( ) n ( ) n ( ) F TM c ×TM c →TM c ×TM c olacak şekilde 1 2 1 2 ( ) F X +X = X −X

tanımlı

( )

1,1 tipinde bir tensör alanıdır [25]. Çarpım yapısı aşağıdaki özelliklere sahiptir: 2 ( ) F =I F ≠I , ( , ) ( , ), g FX Y =g X FY 0 F ∇ = . 13

Önerme 3.2: 1 2

1 2

(Mn( )c ×Mn ( ), )c g çarpım uzayı olsun. 1 2

1 2

( ) ( )

n n

M c ×M c

çarpım uzayı üzerinde her X Y Z, , vektör alanları için, 1 2

1 2 ( ) ( ) n n M c ×M c nin eğrilik tensor alanı,

[

]

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) R X Y Z =a g Y Z X −g X Z Y+g FY Z FX −g FX Z FY +b g Y Z FX

[

( , ) −g X Z FY( , ) +g Y FZ X( , ) −g X FZ Y( , )

]

(3.1) biçimindedir. Burada 1 2 4 c c a= + ve 1 2 4 c c b= − dir [25]. Tanım 3.3: 1 2 1 2 ( ) ( ) n n m

M ⊂M c ×M c çarpım uzayı için X∈T M_p ve p

T M

ξ_∈ ⊥

olsun. FX ve Fξ tanjant ve normal kısımlarına ayrılırsa

FX =kX +hX ve Fξ =sξ ξ+t (3.2) şeklinde yazılabilir. Burada :k T Mp →T Mp , h T M: p T Mp

⊥

→ , s T M: _p⊥ →T M_p

ve t T M: _p⊥ →T M_p⊥

( )

1,1 tipinde tensör alanlarıdır [17].

Sonuç 3.4: k ve t simetriktir ve aşağıdaki özellikleri sağlarlar:

k X2 = X −shX, (3.3) t2ξ ξ= −hsξ, (3.4) ksξ+stξ =0, (3.5) hkX +thX =0, (3.6) g hX( , )ξ =g X s( , ξ) (3.7) [17].

İlk olarak aşağıdaki teoremi ifade ve ispat edelim:

Teorem 3.5: M m -boyutlu bir Riemann manifoldu, 1 2 1 2 ( ) ( ) n n M c ×M c de 1 2

n + −n boyutlu bir Riemann çarpım uzayı ve 1 2

1 2

( ) ( )

n n

N =M c ×M c olmak üzere : M N

ψ → bir izometrik immersiyon olsun. Bu takdirde M altmanifoldunun f-biharmonik olması için gerek ve yeter şart

ln (., _H(.)) f 2 _{grad f} [ ( ) ] [ ( ) ] H izB A H H a mH hsH iz k tH b mtH iz k H f ⊥ ∆ ⊥ ∆ + − − ∇ = − + + + ve 2 2 ( (.)) 2 ln [ ( ) ] [ 1] 2 H H m grad H + iz A_∇⊥ + A grad f = −a ksH +iz k sH +b m− sH denklemlerinin sağlanmasıdır.

İspat: { },ei 1 i≤ ≤ m χ

( )

M nin lokal geodezik ortonormal çatı alanı olmak üzere, (2.10)denkleminden faydalanılarak

{

}

1 ( ) = ( ) ( ) i i m e i e i i iz d ψd e d e τ ψ ψ ψ ψ = ∇ =

∑

∇ − ∇ (3.8) denklemi elde edilir. Böylece

( , ) ( ) ( )

i i

i i e i e i

B e e = ∇ψdψ e −dψ ∇ e (3.9) olduğundan (3.9) eşitliği (3.8) denkleminde yerine yazılırsa,

1 ( ) ( , ) m i i i B e e mH τ ψ = =

∑

= (3.10) denklemi elde edilir. Benzer şekilde (2.11) denkleminden,

2( ) = ( ) ( , ( )) N izR d d τ ψ −∆τ ψ − ψ τ ψ ψ

{

}

1 1 ( ) ( ( ), ( )) ( ) i i ei i m m N e e e i i i i R d e d e ψ ψ ψ _{τ ψ ψ τ ψ ψ} ∇ = = =

∑

∇ ∇ − ∇ −

∑

1 ( ( ), ) ( ) m N i i i m H R dϕ e H dϕ e =   = − _∆ + _ 

∑

 (3.11) bulunur. (3.1) denkleminden yararlanılarak,

1 1 ( ( ), ) ( ) { [ ( , ( )) ( ) ( ( ), ( )) m m N i i i i i i i i R dψ e H dψ e a g H dψ e dψ e g dψ e dψ e H = = = −

∑

∑

( , ( ))_i ( )_i ( ( ),_i ( ))_i ] g FH dψ e Fdψ e g Fdψ e dψ e FH + − [ ( , ( ))_i ( )_i ( ( ),_i ( ))_i b g H dψ e Fdψ e g dψ e dψ e FH + − ( , ( ))i ( )i ( ( ),i ( ))i ]} g H Fdψ e dψ e g dψ e Fdψ e H + −

denklemi yazılır ve gerekli düzenlemeler yapılır ise

1 ( ( ), ) ( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] m N T i i i T R d e H d e a mH F FH iz k FH b mFH FH iz k H ψ ψ = = − + − + − + −

∑

elde edilir. Ayrıca, F çarpım yapısı tanjant ve normal bileşenlerine ayrılır ise

1 ( ( ), ) ( ) [ ( ) ( ) ] m N i i i R dψ e H dψ e a mH ksH hsH iz k sH iz k tH = = − + + − −

∑

+ −b[ msH−mtH+sH−iz k H( ) ] (3.12) denklemi bulunur. Diğer taraftan Gauss formülü ve Weingarten denklemi kullanılarak,

{

(

)

}

1 1 ( ) i i i i m m e e e H i e i i H ψ ψH ψ A e ⊥H = = ∆ = − ∇ ∇

∑

= −

∑

∇ − + ∇ 1 1 1 ( ) ( , ( )) i _ei m m m e H i i H i i i i i A e B e A e A e_∇⊥ ⊥H = = = =

∑

∇ +

∑

+

∑

+ ∆ . . ( (.)) (., .) ( .) H H H iz A izB A iz A_⊥ H ∇ ⊥ = ∇ + + + ∆ (3.13) elde edilir. Şimdi (3.13) denkleminde yer alan iz(∇_.A_H(.)) terimini hesaplayalım. Böylece _. 1 , ( (.)) ( ) ( ( ), ) i i m H e H i e H i j j i i j iz A A e g A e e e = ∇ =

∑

∇ =

∑

∇ , , i ( H( ),i j) j i ( ( ,i j), ) j i j i j e g A e e e e g B e e H e =

∑

=

∑

16

{

}

, ( , ) ( , ) i j j i e e i j e i e j i j g ψ ψe H e g ψe ψH e =

∑

∇ ∇ + ∇ ∇

{

}

, ( , ) ( ( , ), ) i j i e e i j i j e j i j g ψ ψe H e g B e e ⊥H e =

∑

∇ ∇ + ∇ , , ( , ) ( ) i j _ei e e i j H i i j i j g ψ ψe H e A_∇⊥ e =

∑

∇ ∇ +

∑

(3.14) denklemi bulunur. 1 2 1 2 ( ) ( ) n n

N =M c ×M c çarpım manifoldunun eğrilik tensörünün

(3.1) açılımı kullanılarak, _{[ , ]} , , ( , ) ( ( , ) , ) i j j i i j N e e i j i j i e e i e e i i j i j g ∇ ∇ψ ψe H e = g R e e e + ∇ ∇ψ ψe + ∇ψ e H

∑

∑

( , ) j e mg H H = ∇ 2 2 m grad H = (3.15)

sonucuna ulaşılır. İlk olarak (3.15) eşitliği (3.14) denkleminde yerine yazılırsa,

2 1 , ( ) ( ) 2 i _ei m e H i _H i i i j m A e grad H A_∇⊥ e = ∇ = +

∑

∑

(3.16) elde edilir. Daha sonra (3.16) eşitliği (3.13) denkleminde yerine yazılırsa,

. 2 ( (., (.))) 2 ( .) 2 H m H grad H iz B A iz A_∇⊥ ⊥H ∆ = + + + ∆ (3.17)

bulunur. (3.12) ve (3.17) eşitlikleri (3.11) denkleminde yerlerine yazılırsa,

. 2 2( ) { ( (., (.))) 2 ( .) 2 H m m grad H iz B A iz A H τ ψ ⊥ ⊥ ∇ = − + + + ∆ [ ( ) ( ) ] a mH ksH hsH iz k sH iz k tH + − + + − − + −b[ msH−mtH+sH−iz k H( ) ]} (3.18) elde edilir. 17

Weingarten denklemi ve (3.10) denkleminden faydalanılarak, ∇ψ_gradfτ ψ( )= ∇ψ_gradfmH

=m(−A gradf_H + ∇_gradf⊥ H) (3.19) denklemi hesaplanır. Son olarak (3.10), (3.18) ve (3.19) eşitlikleri (2.15) denkleminde yerlerine yazılırsa,

. 2 { ( (., (.))) 2 ( .) 2 H m fm grad H iz B A iz A_∇⊥ ⊥H − + + + ∆ [ ( ) ( ) ] a mH ksH hsH iz k sH iz k tH + − + + − − + −b[ msH−mtH+sH−iz k H( ) ] f H 2A grad_H ln f 2 _gradlnfH} 0 f ⊥ ∆ − + − ∇ =

denklemi bulunur. Son denklem tanjant ve normal kısımlarına ayrıldığında istenilen sonuç elde edilir.

■

Sonuç 3.6:M, 1 2

1 2

( ) ( )

n n

M c ×M c Riemann çarpım uzayının m − boyutlu bir

altmanifoldu olmak üzere,

(1) FH , M de tanjant ise, M altmanifoldunun f-biharmonik olması için gerek

ve yeter şart ln (., _H(.)) f 2 _{grad f} [ ( 1) ( ( ))] 0 H izB A H H a m b iz k H f ⊥ ∆ ⊥ ∆ + − − ∇ − − + = (3.20) ve 2 2 ( (.)) 2 ln [ ( ) ( 1)] 0 2 H H m

grad H + iz A_∇⊥ + A grad f − aiz k +b m− FH = (3.21)

denklemlerinin sağlanmasıdır.

(2) FH , M de normal ise, M altmanifoldunun f-biharmonik olması için gerek ve yeter şart ln (., _H(.)) f 2 _{grad f} [ ( ( ))] [ ( ( ))] 0 H izB A H H am b iz k H bm a iz k FH f ⊥ ∆ ⊥ ∆ + − − ∇ − + − + = ve 2 2 ( (.)) 2 ln 0 2 H H m grad H + iz A_∇⊥ + A grad f = denklemlerinin sağlanmasıdır.

İspat: (1) Eğer FH tanjant seçilirse, (3.2) denklemleri kullanılarak,

FH =sH (3.22) ve

tH = (3.23) 0 elde edilir. Ayrıca (3.4) denkleminden,

hsH =H (3.24) bulunur. (3.22), (3.23) ve (3.24) denklemleri Teorem 3.5 de yerlerine yazılırsa istenilen sonuçlar elde edilir.

(2) Eğer FH normal seçilirse, (3.2) denklemlerini kullanılarak

sH = (3.25) 0 ve

FH =tH (3.26) denklemleri elde edilir. (3.25) ve (3.26) denklemleri Teorem 3.5 de yerine yazılırsa sonuçlar bulunur.

■

Yukarıdaki teoremden faydalanılarak yarıçapı r olan iki kürenin çarpım

manifoldunun bir altmanifoldu için aşağıdaki sonuç elde edilir:

Sonuç 3.7: M, p( )r ×n p− ( )r çarpım manifoldunun m≥ boyutlu ve 2 sıfırdan farklı sabit ortalama eğrilikli altmanifoldu olsun. Eğer, FH M de tanjant ise aşağıdaki durumlar sağlanır:

(1) Eğer, M bir has f-biharmonik altmanifold ise

2 2 1 ( 1) 2 0 inf f m r f H m ∆  _{− +}      < ≤       dır.

(2) f Laplas dönüşümü ∆ nın µ reel özdeğerine karşılık gelen bir özfonksiyonu olmak üzere M nin bir has f-biharmonik altmanifold olması

için gerek ve yeter şart Maltmanifoldunun yarı-umbilik olması ve

0 H ⊥ ∇ = , 2 1 2 ln ( ) 0, 2 H A grad f iz k FH r − = 2 1 (., (.)) ( 1) 2 H izB A m H r µ   =_ − + _   denklemlerinin sağlanmasıdır.

İspat: Öncelikle r yarıçaplı küreler için (3.1) deki eğrilik tensöründe yeralan

a ve b katsayılarını hesaplayalım: (3.1) gereği, 1 2 2 2 2 1 1 1 4 4 2 c c _{r r} a r + + = = = (3.27) ve 1 2 2 2 1 1 0 4 4 c c _{r r} b − − = = = (3.28) eşitlikleri bulunur. 20

M , p( )r ×n p− ( )r çarpım manifoldunun sıfırdan farklı sabit ortalama

eğrilikli altmanifoldu olsun ve FH M ye tanjant olacak şekilde seçilsin.

(3.22), (3.23), (3.24) denklemleri ve benzer şekilde (3.27) ve (3.28) denklemleri (3.20) de yerlerine yazılırlarsa,

(., (.)) 2 _ln 1₂ ( 1) 0 2 H grad f f H izB A H H m H f r ⊥ ∆ ⊥ ∆ + − − ∇ − − = (3.29)

denklemi elde edilir. (3.29) denkleminin H ile iç çarpımı alınırsa,

( , ) ( (., H(.)), ) ( , ) f g H H g izB A H g H H f ⊥ ∆ ∆ + − 2 ( _ln , ) 1₂ ( 1) ( , ) 0 2 grad f g H H m g H H r ⊥ − ∇ − − = (3.30)

denklemi bulunur. Ayrıca H nın sabit olması ve Weingarten denklemi kullanılarak, 1 ( (., (.)), ) ( ( , ( )), ) m H i H i i g izB A H g B e A e H = =

∑

2 1 ( ( ), ( )) m H i H i H i g A e A e A = =

∑

= (3.31) ve g(∇⊥_gradlnfH H, )= (3.32) 0 denklemlerine ulaşılır. (3.31) ve (3.32) eşitlikleri (3.30) denkleminde yerlerine yazılırsa, ( , ) 2 2 1₂( 1) 2 2 H f g H H H A m H f r ⊥ ∆ ∆ = − + − (3.33)

elde edilir. Ayrıca (3.33) denkleminden

2 2 1₂ ( 1) 2 2 H f H A m H f r ⊥ ∆  ∇ + =_ + − _   (3.34) 21

dır [8]. Diğer taraftan Cauchy-Schwarz eşitsizliği kullanılarak,

A_H 2 ≥m H 4 (3.35) elde edilir. Böylece (3.35) eşitsizliği (3.34) denkleminde yerine yazılır ise,

1₂( 1) 2 4 2 4 2 f m H m H H m H f r ⊥ ∆  + − ≥ + ∇ ≥     (3.36)

bulunur. Diğer taraftan H sıfırdan farklı bir sabit olduğundan, (3.36) denklemi

2 2 1 ( 1) 2 0 inf f m f r H m ∆  _{+ −}      < ≤       (3.37) şeklinde yazılabilir.

f Laplas dönüşümü ∆ nın µ reel özdeğerine karşılık gelen bir

özfonksiyonu olacak şekilde seçilirse, f

f µ

∆

= elde edilir. Böylece, (3.37) denkleminden yararlanılarak 2 2 1 ( 1) 2r m H m µ  _{+ −}      = (3.38)

yazılabilir. (3.38) eşitliği (3.36) denkleminde yerine yazılırsa

∇⊥H =0 (3.39)

elde edilir. Ek olarak, (3.39) denklemi ve

2 2 1 ( 1) 2r m H m µ  _{+ −}      = denklemi (3.34)

denkleminde yerlerine yazılırsa,

2 2 2 1 ( 1) 2 H m r A m µ  _{+ −}      =

elde edilir. Yani, M altmanifoldu yarı-umbiliktir.

Diğer taraftan, (3.21) denklemi kullanılırsa, 2 1 2 ln ( ) 0 2 H A grad f iz k FH r − =

bulunur. Benzer şekilde (3.20) denklemi,

2 1 (., (.)) ( 1) 2 H izB A m H r µ   =_ + − _  

denklemine dönüşür. Böylece ispat tamamlanmış olur.

■

( ) ( )

p n p r × − r

  çarpım manifoldunun hiperyüzeyleri için f-biharmoniklik şartı aşağıdaki önerme ile ifade edilir:

Önerme 3.8: 1

, n

M − p( )r ×n p− ( )r çarpım manifoldunun sıfırdan farklı

sabit ortalama eğrilikli hiperyüzeyi ve FH, Mn−1 e tanjant olsun. Mn−1

hiperyüzeyinin f-biharmonik olması için gerek ve yeter şart

2 1 ln ( ) 4 H A grad f iz k FH r = ve 2 ( ₂2) 2 n f B r f − ∆ = + denklemlerinin sağlanmasıdır. İspat: 1 , n

M − p( )r ×n p− ( )r çarpım manifoldunun sıfırdan farklı sabit

ortalama eğrilikli bir hiperyüzeyi ve FH, Mn−1 hiperyüzeyine tanjant olsun. (3.20) denkleminden, 2 1 (., (.)) ( 2) 2 H f izB A n H f r ∆  =_ + − _  

elde edilir. Son denklemin H ile iç çarpımı alınırsa,

1 2 2 1 1 ( ( , ( )), ) ( 2) 2 n i H i i f g B e A e H n H f r − = ∆  =_ + − _  

∑

bulunur. 23

Buradan (2.5) denklemi kullanılarak 2 1₂ ( 2) 2 2 H f A n H f r ∆  =_ + − _   (3.40) elde edilir. Diğer taraftan, [17] nolu kaynaktan

A_H 2 = B 2 (3.41) olduğu bilinmektedir ve M bir hiperyüzey olduğundan bir tane birim normal vektör

alanı vardır. Yani,

2

1

H = (3.42)

Böylece (3.41) ve (3.42) eşitlikleri (3.40) denkleminde yerine yazılır ise,

2 1₂ ( 2) 2 f B n f r ∆  =_ + − _   (3.43) sonucu bulunur. Benzer şekilde, (3.21) denkleminden faydalanılarak,

2 1 ln ( ) 4 H A grad f iz k FH r =

elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.

■

Yukarıdaki önermeyi kullanarak f-biharmonik hiperyüzeyler için aşağıdaki önerme verilebilir:

Önerme 3.9:Mn−1, p( )r ×n p− ( )r çarpım manifoldunun sıfırdan farklı sabit

ortalama eğrilikli has f-biharmonik hiperyüzeyi ve FH , Mn−1 e tanjant olsun. Mn−1

hiperyüzeyinin skaler eğriliği,

{

}

1 2 2 2 2 1 ( 1)( 3) ( 2) ( ) ( 1) 2 n M f scal n n n iz k n H r f − ∆ = − − − − + + − − şeklindedir. 24

İspat: Gauss denkleminden faydalanılarak, 1 1 1 1 1 ( ( , ) , ) ( ( , ), ( , )) n n n N i j j i i i j j M i i scal − g R e e e e g B e e B e e − − = = =

∑

+

∑

1 1 ( ( , ), ( , )) n j i j i i g B e e B e e − = −

∑

yazılabilir. Son denklemden,

1 2 2 2 1 ( ( , ) , ) ( 1) n N M i j j i i scal g R e e e e n H B − = =

∑

+ − − (3.44) elde edilir. Ayrıca (3.1) denklemi kullanılarak,

1 1 1 2 1 1 1 1 ( ( , ) , ) { ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 n n n N i j j i j j i i i j i j i i i g R e e e e g e e g e e g e e g e e r − − − = = = = −

∑

∑

∑

1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )} n n j j i i i j i j i i g Fe e g Fe e g Fe e g Fe e − − = = +

∑

−

∑

elde edilir. Son denklemde i üzerinden toplam alınırsa,

{

}

1 2 2 1 1 ( ( , ) , ) ( 1)( 3) ( ) 2 n N i j j i i g R e e e e n n iz k r − = = − − +

∑

(3.45) bulunur.

Son olarak, (3.43) ve (3.45) denklemleri (3.44) denkleminde yerine yazılırsa,

{

}

1 2 2 2 2 1 ( 1)( 3) ( 2) ( ) ( 1) 2 n M f scal n n n iz k n H r f − ∆ = − − − − + + − −

denklemi elde edilir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

■

4. f-

BİMİNİMAL İMMERSİYONLAR

Bu bölümde biminimal ve f-biminimal immersiyon kavramları tanıtılıp; Riemann manifoldları üzerinde f-biminimal eğriler, f-biminimal hiperyüzeyler araştırılacak ve f-biminimal yüzey örnekleri elde edilecektir. Ayrıca, Sasakian uzay formlar üzerinde bir Legendre eğrisinin f-biminimal olması için gerek ve yeter şart elde edilerek bir f-biminimal Legendre eğri örneği verilecektir.

4.1 Biminimal İmmersiyonlar

Biminimal immersiyonlar ilk kez, E. Loubeau ve S. Montaldo tarafından [9] nolu kaynakta tanımlanmıştır ve biminimal eğriler ile hiperyüzeyler incelenmiştir.

Şimdi [9] nolu kaynakta tanımlanan biminimal immersiyon tanımını verelim: Tanım 4.1.1: (M g, ) ve ( , )N g iki Riemann manifoldu ve : (M g, ) ( , )N g

ψ →  bir immersiyon ve λ∈  bir sabit olsun. E₂( )ψ bienerji fonksiyonelinin normal varyasyonları için eğer ψ ,

2, ( ) = 2( ) ( )

E _λ ψ E ψ +λ ψE

ile tanımlı λ− bienerji fonksiyonelinin bir kritik noktası ise ψ ye biminimal

immersiyon adı verilir. E_2,λ( )ψ λ− bienerji fonksiyonelinin Euler-Lagrange

denklemi kullanılarak ψ nin biminimal olması için gerek ve yeter şartın

_τ_2,λ

( )

ψ  =_⊥ _τ ψ₂

( )

_⊥−λ τ ψ_

( )

_⊥ =0 (4.1) olması gerektiği [9] nolu kaynakta elde edilmiştir. Eğer λ= ise ψ ye serbest 0

biminimal immersiyon adı verilir [9].

4.2 f- Biminimal İmmersiyonlar

Bu bölümde f-biminimal immersiyon tanımı verilerek, eğriler ve hiperyüzeyler için f-biminimallik şartları elde edilecektir.

İlk olarak aşağıdaki tanımı ifade edelim:

Tanım 4.2.1: (M g, ) ve ( , )N g iki Riemann manifoldu ve : (M g, ) ( , )N g

ψ →  bir immersiyon ve λ∈  bir sabit olsun. E_2,f( )ψ ve Ef( )ψ f-bienerji ve f-enerji fonksiyonellerinin normal varyasyonları için eğer ψ

2, ,f( ) = 2,f( ) f( )

E _λ ψ E ψ +λE ψ (4.2) ile tanımlı λ− −f bienerji fonksiyonelinin bir kritik noktası ise, ψ f-biminimal

immersiyon adını alır.

Eğer λ= ise ψ ye serbest f-biminimal immersiyon 0 adı verilir. Eğer dönüşüm biminimal olmayan biminimal bir dönüşüm ise, bu dönüşüme has

f-biminimal dönüşüm denir.

Önerme 4.2.2: ψ : (M g, )→( , )N g bir immersiyon olsun. ψ immersiyonunun f-biminimal olması için gerek ve yeter şart E_{2, ,λf}( )ψ

bienerji

f

λ− − fonksiyonelinin Euler-Lagrange denkleminin,

τ_{2, ,}λ f

( )

ψ τ_2,f

( )

ψ λ τ ψf

( )

0

⊥ ⊥ ⊥

  =  −   =

      (4.3) olmasıdır.

İspat:

{ }

ψt _{t I∈} , ψ nin bir diferensiyellenebilir varyasyonu olmak üzere ,

t I p M

∀ ∈ ∈ için Ψ

( )

t p, =ψ_t

( )

p ve Ψ

(

0, p

)

=ψ

( )

p denklemlerini sağlayan : I M M

Ψ × → bir diferensiyellenebilir dönüşüm olsun. V∈ Ψ−1

( )

TN olmak üzere,

( )

(0, ) 0 , p t t p d V p d p M dt = ψ t ∂   = = Ψ _{ } ∀ ∈ ∂  

denklemleri ile verilsin [6].

(4.2) denkleminden faydalanılarak,

2, ,f( t) t 0 = 2,f( t) t 0 f( t) t 0

d d d

E E E

dt λ ψ = dt ψ = +λdt ψ = (4.4)

denklemi elde edilir. [6] nolu kaynaktan,

(

)

( )

{

}

( ) ( )

2,f( t) t 0 ei ei eiei , g d E f iz f V dt ψ ψ ψ ψ _{= ∇} τ ψ τ ψ υ Ω =

_∫

∇ ∇ − ∇ + ∆ 2 ψ_gradfτ ψ

( )

f izR

{

N

(

τ ψ

( )

,dψ

( )

e_i

)

dψ

( )

e_i

}

,V υ_g Ω +

_∫

+ ∇ − (4.5)

denklemi yazılabilir. Benzer şekilde, [5] ve [24] nolu kaynaklarda,

( ) ₀

{

(

( )

(

)

)

}

(

)

, i i f t t e i e i g d E f iz d e d e d gradf V dt ψ ψ ₌ ψ ψ ψ υ Ω = −

_∫

∇ − ∇ + (4.6)

denklemi elde edilmiştir. Son olarak, (4.5) ve (4.6) denklemleri (4.4) denkleminde yerlerine yazılır ve f-biminimal immersiyon tanımı kullanılırsa (4.3) denklemi elde edilir.

■

Böylece aşağıdaki önerme ifade edilebilir:

Önerme 4.2.3: M, n≥2 boyutlu, bir Riemann manifoldu ve :I (Mn, )g

γ ⊂ →_ bir eğri olsun. γ eğrisinin Frenet çatısı

{ }

Ei i=_1,2...n ve λ∈  olmak üzere, γ eğrisinin f-biminimal olması için gerek ve yeter şart

{

3 2

}

1 1 1 2 1 ( ( 1, 2) 1, 2) ( ) 1 2 ' 1' 0 f κ′′−κ −κ κ −κ g R E E E E + f′′−λ κf + f κ = ,

{

1 2 ( 1 2) 1 ( ( 1, 2) 1, 3)

}

2 ' 1 2 0 f κ κ′ + κ κ ′−κ g R E E E E + f κ κ = ,

{

1 2 3 1 ( ( 1, 2) 1, 4)

}

0 f κ κ κ κ− g R E E E E = , 1 ( ( 1, 2) 1, j) 0, 5 fκ g R E E E E = ≤ ≤j n denklemlerinin sağlanmasıdır. 28

İspat: Frenet çatı tanımı kullanılarak, γ eğrisinin gerilim alanı, ( ) ( ( )) ( ) _{1 1 2} t t t iz d d d E E t t γ γ τ γ γ _∂ γ γ _{∂ ∂} κ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ = ∇ − ∇ = ∇ = ∂ ∂ (4.7)

bulunur. Ayrıca γ eğrisinin ikinci gerilim alanı, (4.7) denklemi yardımı ile

2( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) t t t t R d d t t γ γ γ γ τ γ τ γ γ τ γ γ ∂ ∂ ∂ ∂ _∇ ∂ ∂ ∂ ∂   _{∂ ∂}   = ∇ ∇ − ∇_{ } − ∂ ∂     ( ) ( ( ), ( )) ( ) t t R d d t t γ γ_{τ γ} γ _{γ τ γ γ} ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ ∇ − ∂ ∂ _{1 2} ( ₁, _{1 2}) ₁ t t E R E E E γ γ _κ γ _κ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ ∇ − [ ₁' _{2 1 2}'] ₁ ( ₁, ₂) ₁ t E E R E E E γ _{κ κ κ} γ ∂ ∂ = ∇ + − 2 1 2 1 1 1 2 3 1 1 2 1 [ ' ] ( , ) t E E E R E E E γ _{κ κ κ κ κ} γ ∂ ∂ = ∇ − + − 3 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 3 ( 3κ κ ')E (κ '' κ κ κ )E (2κ κ' κ κ ')E = − + − − + + +(κ κ κ_{1 2 3})E₄−κ₁R E E Eγ( ₁, ₂) ₁ (4.8) elde edilir. Benzer şekilde γ eğrisinin f-gerilim alanı, (4.7) denklemi kullanılarak

( ) = ( ) ( )

f f d gradf

τ γ τ γ + γ

= f(κ₁E₂)+ f E' ₁ (4.9) bulunur. Diğer taraftan,

( ) ' ( ) gradf t t f d t γ _{τ γ} γ γ _γ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = ∇ ∇ ∂ ' ₁ t t f γ_∂ γ_∂E ∂ ∂ = ∇ ∇ = f '(−κ₁2E₁+κ₁'E₂+κ κ_{1 2}E₃) (4.10) 29

denklemi bulunur. (4.7), (4.8) ve (4.10) denklemleri (2.15) denkleminde yerlerine yazılır ise 3 2 2,f( ) f{( 3 1 1')E1 ( 1'' 1 1 2 )E2 (2 1' 2 1 2')E3 τ γ = − κ κ + κ −κ −κ κ + κ κ κ κ+ +(κ κ κ_{1 2 3})E₄−κ₁R E E Eγ( ₁, ₂) ₁}+ f ''(κ₁E₂) 2 1 1 1 2 1 2 3 2 '{f κ E κ 'E κ κ E} + − + + (4.11) sonucuna ulaşılır. Elde edilen (4.9) ve (4.11) denklemleri (4.3) denkleminde yerlerine yazılır ise,

( )

3 2 2, ,λ f f{( 1'' 1 1 2 )E2 (2 1' 2 1 2')E3 τ γ ⊥ κ κ κ κ κ κ κ κ   = − − + +   +(κ κ κ_{1 2 3})E₄−κ₁R E E Eγ( ₁, ₂) ₁}+ f ''(κ₁E₂) +2 '{f κ₁'E₂+κ κ_{1 2}E₃}−λ κf( ₁E₂)

bulunur. (4.3) denklemi gereği, son denklem

3 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 1 2 1 {( '' ) (2 ' ') ( ) ( , ) } f κ −κ −κ κ E + κ κ +κ κ E + κ κ κ E −κ R E E Eγ 1 2 1 2 1 2 3 1 2 ''( ) 2 '{ ' } ( ) 0 f κ E f κ E κ κ E λ κf E + + + − = (4.12) haline dönüşür.

Son denklemin sırasıylaE ,₂ E₃, E ve ₄ E_j, 5≤ ≤j n ile iç çarpımı alınırsa teoremin ifadesindeki denklemler elde edilir.

■

Eğer γ bir yüzey ya da sabit kesitsel eğrilikli bir 3-boyutlu Riemann manifoldu üzerinde bir eğri ise aşağıdaki sonuçlar elde edilir:

Sonuç 4.2.4: (1)γ G Gauss eğrilikli bir yüzey üzerinde bir eğri olsun. γ , eğrisinin f-biminimal olması için gerek ve yeter şart κ eğriliğinin,

(

3

)

( ) 2 ' ' 0

f κ′′−κ +κG + f′′−λ κf + f κ =

diferensiyel denklemini sağlamasıdır.

(2) M c c sabit 3( ), kesitsel eğrilikli, 3-boyutlu bir Riemann manifoldu ve

3

:I (M c g( ), )

γ ⊂ →_ bir eğri olsun.γ eğrisinin f-biminimal olması için gerek ve yeter şart γ eğrisinin eğrilik ve torsiyonu olan κ ve τ nun

{

3 2

}

'' ( ) 2 ' ' 0

f κ κ− −κτ +κc + f′′−λ κf + f κ =

{

' ( )

}

2 ' 0

f κ τ + κτ ′ + f κτ =

diferensiyel denklem sistemini sağlamasıdır.

İspat: (1) γ bir yüzey üzerinde eğri olduğu için

E₃ = (4.13) 0 dır. (4.13), κ1 = ve κ κ2 = eşitlikleri ve Önerme 4.2.3 yardımı ile γ eğrisinin f-τ

biminimallik şartı

{

3 2

}

( ( , ) , ) ( ) 2 ' ' 0

f κ′′−κ −κτ −κg R T N T N + f′′−λ κf + f κ = (4.14)

denklemi ile verilir. Diğer taraftanγ G Gauss eğrilikli bir yüzey üzerinde bir eğri , olduğundan,

( ( , ) , )

g R T N T N = −G

yazılabilir. Son eşitlik ve κ2 = = , (4.14) denkleminde yerine yazılır ise τ 0

(

3

)

( ) 2 ' ' 0

f κ′′−κ +κG + f′′−λ κf + f κ = sonucuna ulaşılır.

(2) γ :I ⊂ → (M c g3( ), ) olduğundan γ eğrisinin Frenet çatısı

{

E1 =T E, 2 =N E, 3 =B

}

şeklindedir. Böylece Önerme 4.2.3 kullanılarak, γ eğrisinin

f-biminimallik şartları olan

{

3 2

}

( ( , ) , ) ( ) 2 ' ' 0 f κ′′−κ −κτ −κg R T N T N + f′′−λ κf + f κ = (4.15) ve f

{

κ τ′ +(κτ)′−κg R T N T B( ( , ) , )

}

+2 'f κτ =0 (4.16) denklemlerine ulaşılır. Diğer taraftan 3 ( )

M c c sabit kesitsel eğrilikli 3-boyutlu bir Riemann

manifoldu olduğundan,

g R T N T N( ( , ) , )= −c ve

g R T N T B( ( , ) , )=0

denklemleri yazılabilir. Son iki eşitlik (4.15) ve (4.16) denklemlerinde yerlerine yazılır ise istenilen sonuçlar elde edilir.

■

Şimdi 1

:Mn Nn

ψ _→ +

bir izometrik immersiyon olsun. B, υ ve η=Hυ

sırasıyla ψ dönüşümünün ikinci temel formu, birim normal vektör alanı ve ortalama eğrilik vektör alanlarını göstersinler. Böylece aşağıdaki önermeyi verebiliriz:

Önerme 4.2.5:ψ :Mn →Nn+1 bir izometrik immersiyon olmak üzere Mn,

1

n

N + de bir hiperyüzey olsun. ψ ’ nin f-biminimal olması için gerek ve yeter şart

( )

2 ( , ) f 2 ln H H B HRic H H grad f H f υ υ ∆ λ ∆ = _{ } − − + − denkleminin sağlanmasıdır.

İspat: { },ei 1 i≤ ≤ n χ

( )

M üzerinde bir lokal geodezik ortonormal çatı alanı olmak üzere, (2.10) denkleminden faydalanılarak,

{

}

1 ( ) = ( ) ( ) i i n e i e i i iz d ψd e d e n nH τ ψ ψ ψ ψ η υ = ∇ =

∑

∇ − ∇ = = (4.17) 32

denklemi yazılabilir. (4.17) denkleminin υ ile iç çarpımı alınırsa,

[

τ ψ( )

]

⊥=nH (4.18) sonucu bulunur.

Benzer şekilde (2.11) denkleminden faydalanılarak

τ ψ₂( ) =−∆τ ψ( )−izRN(dψ τ ψ, ( ))dψ

{

}

1 1 ( ) ( ( ), ) ( ) i i eii n n N e e e i i i i nH R d e nH d e ψ ψ ψ _{υ ψ υ ψ} ∇ = = =

∑

∇ ∇ − ∇ −

∑

{

}

1 1 ( ) ( ) ( ( ), ) ( ) i i ei i n n N e e e i i i i n ψ ψ Hυ ψ_∇ Hυ H R dψ e υ ψd e = =   = _ ∇ ∇ − ∇ − _ 

∑

∑



{

}

1 ( [ ] ) ( ) i i i ei i n e i e e i e i n ψ e H υ H ψυ e H υ H ψ_∇ υ = ∇ + ∇ − ∇ − ∇ =

∑

1 ( ( ), ) ( ) n N i i i nH R d

ψ

e

υ ψ

d e = −

∑

{

}

1 ( ( [ ]) 2 [ ] ) ( ) i i i i ei i n i i i e e e e i e i n e e H υ e H ψυ H ψ ψυ e H υ H ψ_∇ υ = + ∇ + ∇ ∇ − ∇ − ∇ =

∑

1 ( ( ), ) ( ) n N i i i nH R d

ψ

e

υ ψ

d e = −

∑

denklemi elde edilir. Son denklemin υ ile iççarpımı alınırsa,

₂ 1 ( ) = ( , ) ( ( ( ), ) ( ), ) n N i i i n H nHg ψ nH g R d e d e τ ψ υ υ

ψ

υ ψ

υ = ∆ − ∆ −

∑

(4.19) bulunur. 33